中国矿业大学(徐州)09级理学院数学分析卷参考答案
09级高数测验2电子教案
09 级高数测验2中国矿业大学(北京)《09级高等数学单元测验四》试卷、填空题(每空4分，共48 分)1.2设D为椭圆—42y_91，则二重积分dxdy 6。
D2.设D是由不等式|x| | y | 1所确定的闭区域，则二重积分(|x|Dy)dxdy3.设D是由直线x -，y x及x轴所围成的闭域'则二重积分sin xdxdy 1。
4 2寂4.二次积分0 dx f(x,y)dy交换积分顺序后的形式为0 x 丁丁4 0dy y匚 f (x,y)dx。
45. 已知D:x，则二重积分f(x, y)dxdy在极坐标D1系下的二次积分为02d 0^ f(rcos,rsin )rdr6.若D是由圆x2y22x围成的闭区域，则(x y)dxdy _。
D7.设D是直线y x，x 1和x轴围成的区域，则二重积分2 1 1exdxdy伫。
8.设是由曲面z x2 y2及平面z 1所围成的闭区域，则三重积分 f(x, y, z)dxdydz在直角坐标系下的三次积分为1 1 x2 11dx "“dy応厂7 fdz，柱坐标系下的三次积分为2 1 10 d 0dr r f(rcos,rsin,Z)dZ。
9.设是由曲面x 2y 2 z 21所围成的闭区域，则三重积分三、（9分）计算三重积分Iz 2dv ，其中是由不等式""2 2 2ze 、x y z 1 x 2—dxdydz _0_。
z 0所确定的闭区域。
10.已知椭圆2七1的周长为a，则对弧长的曲线积分解: 原式°z 2dz 0dxdy c2 °z ab(〔22)dzc2(2xy 3x24y )ds 12a 。
ab dzab ~~2c °z 4dz 011.两类曲线积分的关系为:abc 33abc 3 5 — abc 3 15Pdx Qdy Rdz(P cosQ cos Rcos )ds o、（9分） 计算二重积分2 2(x 2 xye x y )dxdy ，其中D 为圆域D四、(15 分) 计算曲面 z X 2y 2与z a 2 x 2 y 2所围立体的解：原式 x 2dxdyxxye Dy dxdy解:体积和表面积。
09级《工科数分》(下A解答)
09级《工科数学分析》(下)试题A 参考答案一．填空题（每小题4分，总12分。
将答案按题号写在答题纸上，不写解题过程）1、222,0y C Cx C =+≥的常数；2、3 ；3、0 ，34-. 二．选择题（每小题4分，总12分。
每小题给出四种选择，有且仅有一个是正确的，将你认为正确的代号按题号写在答题纸上）1、C;2、B ；3、B.三（7分）、解：sin ,xz f e y x ∂'=∂2222sin sin ;x x z f e y f e y x∂'''=+∂ 同理2222sin cos ;x x zf ey f e y y∂'''=-+∂结合已知得0.f f ''-=解这个常微分方程得 1212(),,t t f t C e C e C C -=+为任意常数。
四（8分）、解：设32(18)F x y z x y z λ=+++-，令2233230200180x y z F x y z F x yz F x y F x y z λλλλ⎧=+=⎪=+=⎪⎨=+=⎪⎪=++-=⎩，解出9,6,3x y z ===由题意知最大产出必存在，所以9,6,3x y z ===为所求。
五（7分）、解：令23zF z e xy =-+-，则有()2|4,x P F P y '==()2|2,y P F P x '==()(1)|0.z z P F P e '=-=故 切平面方程为4(1)2(2)0(0)0x y z -+-+⋅-= 即 240x y +-= 法线方程120420x y z ---==即 120.210x y z ---== 六（8分）、解：依题意令密度函数为k ρ=为待定常数。
由球体的对称性只需求其对z 轴的转动惯量22()d z I x y V ρΩ=+⎰⎰⎰即可。
又由题设m dV ρΩ=⎰⎰⎰。
2008-2009年第二学期高数(经管类)B卷答案
中国矿业大学徐海学院2008－2009学年第二学期《高等数学(经管)》试卷（B ）卷 考试时间：120分钟 考试方式：闭卷班级： 姓名： 学号：一、 填空题（本题共15分，每小题3分）1、已知三向量)0,2,1(),3,1,1(),1,3,2(c b a --，则c b a⋅⨯)(= 22、(,)(0,0)limx y →= 1/43、已知223z x xy y =++，则(1,2)dz = 8dx +7dy4、曲面221z x y =+-在点（2，1，4）处的切平面方程为 4x+2y-z-6=05、级数nnn 1)1(1∑∞=- 条件收敛 （选填“条件收敛”，“发散”，“绝对收敛”） 二、选择题（每小题3分，共计15分）1.函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=⎧⎨⎪⎩⎪222222000，下面说法正确的是____________. AA .处处连续B .处处有极限，但不连续C .仅在（0,0）点连续D .除（0,0）点外处处连续2. 曲线x t y t z t ===,,42在点(,,)4816处的法平面方程为_____________. BA .x y z --=-8132B .x y z ++=8140C .1248=+-z y xD .x y z +-=81163. 已知曲线)(x y y =经过原点，且在原点处的切线与直线062=++y x 平行，而)(x y 满足微分方程052=+'-''y y y ，则曲线的方程为=y （ ）AA .x e x 2sin -B .)2cos 2(sin x x e x -C .)2sin 2(cos x x e x -D .x e x 2sin4. 若区域D 为222x y x +≤，则二重积分(Dx y +⎰⎰化成累次积分为__________. DA. 2cos 22(cos sin d πθπθθθ-+⎰⎰;B.2cos 30(cos sin )d r dr πθθθθ+⎰⎰;C. 2cos 3202(cos sin )d r dr πθθθθ+⎰⎰;D.2cos 322(cos sin )d r dr πθπθθθ-+⎰⎰.5、幂级数2(2)!(!)nn n x n ∞=∑的收敛半径为（ ）C A .1； B .2；C .1/4；D .1/2。
09下数值分析答案(A)
《数值分析》I课程试题参考答案及评分标准（中文试卷）( A卷)适用专业年级：信息与计算科学07级 考试时间: 100分钟命题人：吕勇一、解------------------------------------------------------5分则插值多项式。
---------------------------------------- -------10分二、 证明设，以为节点的Lagrange插值多项式为 --3分余项为-----------------------------------------------------6分由于为线性函数，当时，。
--------------------------------9分则：，所以结论得证-------------------------------------------------10分三、证明 ----------------------------------------------------5分-------------------------8分 ---------------------------------------------------10分四、证明设则根据插值多项式原理-------------------------------------------------------------------------------------6分两端在上积分-------------------------------------------------------------10分五、解设，。
--------------------------------------------------------------------3分，---------------------------------------------------------------6分，。
中国矿业大学(徐州)理学院2010级201112月份大二上学期数学分析(3)复习题( 简)2011
数学分析（3）复习题一、 多元函数的极限、连续、微分学1．讨论二元函数⎩⎨⎧<<=其它,00 ,1),(2x y y x f 在点)0,0(的二重极限、二次极限、偏导数及沿任意方向的方向导数。
（注：如果存在，把它求出来；如果不存在，要说明理由。
）参见P95例4等2．证明: ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,)(),(2222232222y x y x y x y x y x f在点(0,0) 处连续且偏导数存在， 但不可微 。
3．证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=0,00,1sin )(),(22222222y x y x y x y x y x f 在点)0,0(连续且偏导数存在，但偏导数在)0,0(不连续，而f 在)0,0(可微． 参见：P117习题74．设(,)x yu f y z =，其中f 为可微函数，求,,u u u x y z∂∂∂∂∂∂． 参见：P123习题15．设(,)u u x y =可微，在极坐标变换cos ,sin x r y r θθ==下，求22⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂y u x u 的表达式。
参见：P120例2 6．设函数(,)z f x y =在点(1,1)处可微，且(1,1)(1,1)(1,1)1,2,3,f ff x y ∂∂===∂∂ ()(,(,))x f x f x x ϕ=，求31()x d x dx ϕ=． 7．设23(,,)f x y z x y z =++，求f 在点0(1,1,1)P 的梯度及沿方向:(2,2,1)l -的方向导数．8．利用二元函数的泰勒公式证明:0,0x y ∀>>和01θ<<有, 1(1)x y x y θθθθ-≤+-.进一步证明下面的Yong ’s 不等式: 若111(0,0)p q p q +=>>, 则对0,0a b ∀>>有11p q ab a b p q≤+. 提示: 对函数1x y θθ-在(1,1)点展开为一阶泰勒公式,再利用雅可比矩阵的半负定性.最后取1,,pqx a y b pθ===即可. 9．求函数3322(,)339f x y x y x y x =-++-的极值点和极植.提示: 见课件;类似于教材P138例6; 利用极植的必要条件和充分条件.10．求二元函数2(,)(4)z f x y x y x y ==--在直线6x y +=,x 轴和y 轴所围成的闭区域D 上的最大值和最小值.提示: 先求在区域D 内的驻点,再求函数在直线6x y +=上的最值点,最后比较. 11．在xy 平面上求一点,使它到三直线0x =,0y =及2160x y +-=的距离平方和最小. 提示: 见教材P141习题 11.二、隐函数定理及应用1．已知：sin 10xy e xy +--=，求x dydx=和22x d y dx =提示：利用隐式方程求导法。
中国矿业大学(徐州)02级数学分析(1)试题(A卷)
数学分析(上)试题（适用数学系2002级，120分钟，2003年1月15日）班级____________姓名____________序号_______成绩____________一、求解下列各题（每题4分共40分）1．!lim n n c n∞→（0>c 为常数）2．xx x x x sin tan )sin(sin )tan(tan lim0--→3．x x xx )1cos 1(sinlim +∞→ 4．求b a ,使⎩⎨⎧<-≥+=0120)(x e x b ax x f x在点0=x 可导。
5．求155345++-=x x x y 在]2,1[-上的最大值与最小值。
6．⎰+dx x xx 221arctan 7．11)1ln(lim4sin 02-++⎰→x dtt xx8．])1(cos 2cos cos 1[1lim n nxn n x n x n-++++∞→ （R x ∈） 9．⎰∞+-0dx e x x n （+∈N n ）10．⎰--b ax b a x dx ))((（b a <）二（10分）、设)(x f 在区间I 上有界，记)(inf ,)(sup x f m x f M Ix Ix ∈∈==称m M I f -=ω),(为函数f 在区间I 上振幅。
证明)()(sup ),(,x f x f I f Ix x ''-'=ω∈'''三（10分）、设)(x f 在有限开区间),(b a 上连续，证明)(x f 在),(b a 上一致连续的充要条件是)(lim x f a x +→与)(lim x f b x -→都存在且有限。
（提示使用一致连续性定理）四（10分）、证明：方程033=+-c x x （c 为常数）在区间]1,0[内不可能有两个不同的实根。
五（10分）、设)(x f 在)(0x U 连续，在)(00x U 可导，证明：如果)0(0+'x f 存在，则)(0x f +'也存在，且)0()(00+'='+x f x f 。
09年全国高考理科数学试题及答案
2009年全国高考理科数学试题及答案2009年普通高等学校招生全国统一考试数学第Ⅰ卷本试卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A，B互斥，那么球的表面积公式S?4πR 其中R表示球的半径2P(A?B)?P(A)?P(B) 如果事件A，B相互独立，那么球的体积公式V?43πR 3P(AB)?P(A)P(B) 一、选择题：其中R表示球的半径21. 设集合S?x|x?5,T?x|x?4x?21?0,则S????T? Ａ.?x|?7?x??5?Ｂ.?x|3?x?5? Ｃ.?x|?5?x?3?Ｄ.?x|?7?x?5? ?a?log2x(当x?2时)?２.已知函数f(x)??x2?4在点x?2处连续，则常数a的值是(当x?2时）??x?2Ａ.２Ｂ.３Ｃ.４Ｄ.５(1?2i)2３.复数的值是3?4iＡ.－１Ｂ.１Ｃ.－iＤ.i 4.已知函数f(x)?sin(x??2)(x?R)，下面结论错误的是．． A.函数f(x)的最小正周期为2? B.函数f(x)在区间?0,???上是增函数??2?1 C.函数f(x)的图像关于直线x?0对称D.函数f(x)是奇函数 5.如图，已知六棱锥P?ABCDEF的底面是正六边形，PA?平面ABC,PA?2AB，则下列结论正确的是 A. PB?AD B. 平面PAB?平面PBC C. 直线BC∥平面PAE D. 直线PD与平面ABC所称的角为45 6.已知a,b,c,d为实数，且c?d。
则“a?b”是“a?c?b?d”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C．充要条件 D. 既不充分也不必要条件?x2y2?2?1(b?0)的左右焦点分别为F1,F2，其一条渐近线方程为y?x，7. 已知双曲线2b点P(3,y0)在该双曲线上，则PF1?PF2= A. -12 B. -2C. 0D. 4 8. 如图，在半径为3的球面上有A,B,C三点，?ABC?90,BA?BC，?球心O到平面ABC的距离是32，则B、C两点的球面距离是2A.?4? B.?C.? 3329. 已知直线l1:4x?3y?6?0和直线l2:x??1，抛物线y?4x 上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 C. 1137D. 51610. 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。
2009年高考试题—数学理(江苏卷)解析版-推荐下载
上，且在第二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2，
则点 P 的坐标为 ▲ .
[解析] 考查导数的几何意义和计算能力.
y 3x2 10 2 x 2 ，又点 P 在第二象限内，
x 2 ,点 P 的坐标为（-2，15）.
10.已知 a
系为 ▲ .
5 1
，函数
2
[解析] 考查指数函数的单调性.
f
(x)
2号
7
7
02
ax ，若实数 m 、 n 满足
a 5 1 (0,1) ，函数 f (x) ax 在 R 上递减.由 f (m) f (n) 得：m<n. 2
11.已知集合 A x log2 x 2, B (, a) ，若 A B ，则实数 a 的取值范围是 (c, ) ，
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2009 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅰ试题
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页，包含填空题（第 1 题——第 14 题）、解答题（第 15 题——第 20 题）.本 卷满分 160 分，考试时间为 120 分钟.考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回. 2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答 题卡的规定位置. 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符. 4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须 用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚. 5.如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗. 6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损.
中国矿业大学(徐州)09级_大一上学期_数学分析(1)期末试题(A卷)及答案
中国矿业大学第1学期《 数学分析(1) 》试卷(A)一、叙述题(每题5分共20分)1．叙述)(x f 在区间I 上有上确界A 的定义。
2．叙述lim ()x f x →+∞=-∞的定义，并叙述lim ()x af x -→不是无穷大的定义。
3. 叙述闭区间上连续函数的介值性定理。
4. 叙述导数极限定理。
二、计算题（每题5分共20分）1． 设lim n n a a →∞=（0,0n a a >>），求n2．求曲线221,x t y t t =-=-在1t =对应点的切线方程。
3．求30tan sin limsin x x xx→-。
三、证明题（每题10分共60分） 1．设222111123n a n=++++ ，证明数列{}n a 收敛。
2. 设)(x f 在),(+∞-∞连续，且A x f x =-∞→)(lim ，B x f x =+∞→)(lim 。
证明)(x f 在),(+∞-∞上一致连续。
3. 设0lim ()x x g x →=+∞，而lim ()u f u A →+∞=，证明lim [()]x x f g x A →=。
4. 设21sin,0()20,0x x x f x xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩（1）求导函数()f x '；（2）证明()f x '在点0x =不连续；（3）证明()f x 在点0x =的任何邻域不单调。
5. 证明不等式：2arctan 1hh h h <<+，其中0h >。
参考答案一、叙述题(每题5分共20分) （略）二、计算题1．解 取0ε满足a <ε<00，由a a n n =∞→lim 知，+∈∃N N ，当N n >时，00ε+<<ε-a a a n从而nn n na a a 00ε+<<ε-上式两边取极限并利用结论1lim=∞→n n c (0>c 为常数)和迫敛性得1lim =∞→nn n a 。
中国矿业大学高数模拟试卷
中国矿业大学高数模拟试卷中国矿业大学2009—2010高等数学期末姓名： 班级： 学号：一、填空：（每小题4分，总16分） 1．极限2223lim32--+→x x x = . 2．()=+→xx x sin 3021lim .3．函数2x y =在3=x 处的微分为. ；4．cos sin cos sin x x dx x x-+⎰= .二、选择：（每小题4分，总16分）1．判断下列变量在给定的变化过程中哪些不是无穷小量？ ( )A ．13--x ()0→x ；B ．xx sin ()∞→x ；C ．12532+-x x x ()∞→x D.⎪⎭⎫⎝⎛++x x x 1sin 212 ()0→x ； 2．2sin112)(xx arctg x x f ππ-⋅=的间断点类型是（ ）（A ）可去； （B ）跳跃； （C ）无穷； （D ）A 、B 、C 都有.3．对于不定积分⎰dx x f )(，在下列等式中正确的是 . （A ）)(])([x f dx x f d =⎰； （B ）)()(x f x df =⎰；（C ）)()(x f dx x f ='⎰； （D ）)()(x f dx x f dxd =⎰.4．()xx x x xx 1sin lim 1lim 10∞→-→++等于 A.e B.1-e C.1+e D.11+-e三、 计算下列极限：（每小题5分，总20分）1. x x x 5sin 2sin lim 0→; 2．求x x x tan 01lim ⎪⎭⎫⎝⎛+→. 3．25435lim 23231-+-+-+→x x x x x x x 4．求x x xx x sin tan lim 20-→. 四、求函数)]ln[ln(ln x y =的导数.（4分） 五、计算下列积分：（每小题5分，总20分）1．⎰-dx xx 2)2sin 2(cos 2．⎰dx e x x 33． 求dxx x⎰ln 2. 4.⎰dx ex六、已知)(x f 的一个原函数为x x ln )sin 1(+,求⎰dx x xf )(' （本题8分）七、求曲线x y ln =在[2，6]内的一条切线，使得该切线与直线6,2==x x 和曲线x y ln =所围成的面积最小。
中国矿业大学09~10学年第1学期
中国矿业大学09～10学年第 1 学期《材料成形基础》试卷（B）卷考试时间：120 分钟考试方式：半开卷学院班级姓名学号一、填空题（每空0.5分，共20分）1. 单位时间、单位体积生成固相核心的数目称为形核率。
2．液态金属(合金)凝固时的形核有两种方式，一种是依靠液态金属(合金)内部自身的结构自发地形核，称为均质形核；另一种是依靠外来夹杂所提供的异质界面非自发地形核，称为非均质形核或异质形核。
3．液态金属凝固时，其中的过热热量和结晶潜热热量一般以传导传热、对流换热和辐射换热三种方式向铸型等外界释放。
4. 具有层状凝固方式的铸件，凝固过程中容易补缩，组织致密，性能好。
5．润湿角是衡量界面张力的标志，润湿角θ≤90°，表面液体能润湿固体。
6．两个组元熔点相近、两条液相线基本对称、两相长大速度基本相同的非小晶面—非小晶面合金，容易形成对称型共生区。
7．液态金属凝固过程中的液体流动主要包括自然对流和强迫对流。
8．铸件凝固方式有逐层凝固、体积凝固、中间凝固，其中逐层凝固方式容易产生集中性缩孔，一般采用同时凝固原则可以消除；体积凝固方式易产生分散性缩松，采用顺序凝固原则可以消除此缺陷。
9．塑性变形的物体体积保持不变，其表达式可写成ε1 + ε2 + ε3 =0。
10．塑性反映了材料产生塑性变形的能力，可以用最大变形程度来表示。
11．塑性变形时，由于外力所作的功转化为热能，从而使物体的温度升高的现象称为温度效应。
12．使后一刻的应力张量为前一刻应力张量的K(K≥1)倍称为简单加载。
13．冲裁件的切断面由圆角带、光亮带、断裂带三个部分组成。
14．一般的，随着变形程度的增加，材料的塑性下降。
15．细晶超塑性时要求其组织超细化、等轴化和稳定化。
16．轧制时，变形区可以分为后滑区、中性面和前滑区三个区域。
17．相变超塑性要求材料具有相变或同素异构转变。
18.多晶体塑性变形时，除了晶内的滑移和产生，还包括晶界的滑动和转动。
2009年普通高等学校招生全国统一考试数学(江苏卷)全解全析
绝密★启用前2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回．2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符．4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．5.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差()2211ni i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上.1． 若复数z 1=4+29i ，z 2=6+9i ，其中i 是虚数单位，则复数(z 1−z 2)i 的实部为 ▲ ． 2． 已知向量a 和向量b 的夹角为30︒，|a |=2，|b |=3，则向量a和向量b 的数量积a ·b = ▲ ．3． 函数f (x )=x 3−15x 2−33x +6的单调减区间为 ▲ ． 4． 函数y =A sin(ωx +φ)（A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0）2π3-在闭区间[−π,0]上的图象如图所示，则ω= ▲ ．5． 现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为 ▲ ．6． 某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：则以上两组数据的方差中较小的一个2s 为 ▲ ． 7． 右图是一个算法的流程图，最后输出的W = ▲ ．8．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4．类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ▲ ．9． 在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y =x 3−10x +3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 ▲ ． 10． 已知a =f (x )=a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为 ▲． 11． 已知集合A ={x |log 2x ≤2}，B =(−∞,a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ,+∞)，其中c =▲ ． 12． 设α 和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α 内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α 平行于β； （2）若α 外一条直线l 与α 内的一条直线平行，则l 和α 平行；（3）设α 和β相交于直线l ，若α 内有一条直线垂直于l ，则α 和β垂直； （4）直线l 与α 垂直的充分必要条件是l 与α 内的两条直线垂直． 上面命题中，真命题的序号 ▲ ．（写出所有真命题的序号）． 13． 如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 1,A 2,B 1,B 2为椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线A 1B2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段O T 的中点，则该椭圆的离心率为 ▲ ．14． 设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n =a n +1（n =1，2，…）若数列{b n }有连续四项在集合{−53,−23,19,37,82}中，则6q = ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．15． （本小题满分14分）设向量a =(4cos α ,sin α )，b =(sin β,4cos β)，c =(cos β,−sin β)， （1）若a 与b −2c 垂直，求tan(α +β)的值； （2）求+b c 的最大值；（3）若tan α tan β=16，求证：a ∥b ．16． （本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上，A 1D ⊥B 1C ． 求证：（1）EF ∥平面ABC ； （2）平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C ．ABC A1B 1C 1 EF D第16题图17． （本小题满分14分）设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，满足22225234a a a a +=+，S 7=7． （1）求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ； （2）试求所有的正整数m ，使得12m m m a a a ++为数列{S n }中的项．18． （本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1∶(x +3)2+(y −1)2=4和圆C 2∶(x −4)2+(y −5)2=4．（1）若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为l 的方程；（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．19． （本小题满分16分）按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为m m a +；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为n n a+．如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为h 1和h 2，现假设甲生产A ，B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A ，B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A ，B 的单价分别为m A 元和m B 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙．（1）求h 甲和h 乙关于m A ，m B 的表达式；当35A B m m =时，求证：h 甲=h 乙；（2）设35A B m m =，当m A ，m B 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？（3）记（2）中最大的综合满意度为h 0，试问能否适当选取m A ，m B 的值，使得0h h 甲≥和0h h 乙≥同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．20． （本小题满分16分）设a 为实数，函数f (x )=2x 2+(x −a )|x −a |． （1）若f (0)≥1，求a 的取值范围； （2）求f (x )的最小值；（3）设函数h (x )=f (x )，x ∈(a ,+∞)，直接写出（不需给出演算步骤）不等式h (x )≥1的解集．2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）全解全析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上.1．若复数z1=4+29i，z2=6+9i，其中i是虚数单位，则复数(z1−z2)i的实部为▲．【答案】−20．【解析】z1−z2=−2+20i，故(z1−z2)i=−20−2i．【说明】考查复数的四则运算．2．已知向量a和向量b的夹角为30︒，|a|=2，|b|=3，则向量a和向量b的数量积a·b= ▲．【答案】3．【解析】cos 23θ===a b a b．【说明】考查向量的数量积（代数）运算．3．函数f (x)=x3−15x2−33x+6的单调减区间为▲．【答案】(1,11)-．【解析】2()330333(11)(1)f x x x x x=--=-+'，由(11)(1)0x x-+<得单调减区间为(1,11)-．【说明】考查函数的单调性，考查导数在研究函数性质中的应用．4．函数y=A sin(ωx+φ)（A，ω，φ为常数，A>0，ω>0）2π3-在闭区间[−π,0]上的图象如图所示，则ω= ▲．【答案】3．【解析】如图，2π3T=，所以3ω=．【说明】考查三角函数的图象和性质，考查周期性的概念．5．现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为▲．【答案】0.2【解析】随机抽取2根竹竿的取法有10种，而长度恰好相差0.3m的取法有2种，所以概率为0.2．【说明】考查古典概型．6．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：则以上两组数据的方差中较小的一个2s为▲．【答案】25．【解析】第一组数据7x =甲，212(10010)55S =++++=甲；第二组数据7x =乙，245S =乙．【说明】考查总体特征数的估计．实际上，根据数据的分布，知甲班的数据较为集中（甲班极差为2，众数为7，乙班极差为3，众数为6，7）． 7． 右图是一个算法的流程图，最后输出的W = ▲ ． 【答案】22．W =22．【说明】本题考查算法初步，考查流程图（循环结构）．值得注意的是，本题的循环结构并非是教材中所熟悉的当型或直到型，因此该流程图是一个非结构化的流程图，对学生的识图能力要求较高．8． 在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4．类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ▲ ． 【答案】1：8 【解析】由题意知，面积比是边长比的平方，由类比推理知：体积比是棱长比的立方．【说明】本题考查合情推理之类比推理．9． 在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y =x 3−10x +3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 ▲ ． 【答案】(2,15)-．【解析】设点P 的横坐标为x 0，由2310y x '=-知203102x -=，又点P 在第二象限，02x =-，所以(2,15)P -．【说明】本题考查导数的几何意义——曲线切线的斜率．10． 已知a =f (x )=a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为 ▲．【答案】m n <【解析】由01<<知01a <<，函数()x f x a =是减函数，由()()f m f n >知m n <．【说明】本题考查函数的单调性，指数函数的性质等概念．11． 已知集合A ={x |log 2x ≤2}，B =(−∞,a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ,+∞)，其中c =▲ ． 【答案】4【解析】由log 2x ≤2得0<x ≤4，(0,4]A =；由A B ⊆知4a >，所以c =4． 【说明】本题考查对数函数的性质，集合间的基本关系（子集）等概念． 12． 设α 和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α 内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α 平行于β； （2）若α 外一条直线l 与α 内的一条直线平行，则l 和α 平行；（3）设α 和β相交于直线l ，若α 内有一条直线垂直于l ，则α 和β垂直； （4）直线l 与α 垂直的充分必要条件是l 与α 内的两条直线垂直． 上面命题中，真命题的序号 ▲ ．（写出所有真命题的序号）． 【答案】（1）（2）【解析】由线面平行的判定定理知，（2）正确；相应地（1）可转化为一个平面内有两相交直线分别平行于另一个平面，所以这两个平面平行．【说明】本题考查空间点、线、面的位置关系．具体考查线面、面面平行、垂直间的关系与转化． 13． 如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 1,A 2,B 1,B 2为椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线A 1B2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段O T 的中点，则该椭圆的离心率为 ▲ ．【答案】5【解析】直线12A B 的方程为1yx a b+=-，直线1B F 的方程为1y x c b +=-，两方程联立方程组得T 2(,)ac ab bc a c a c+--，则点M (,)2()ac ab bc a c a c +--，由点M 在椭圆上，代入整理得：223100a ac c --=，23100e e --=，又 0e >，所以离心率为5． 【说明】本题考查椭圆的概念、标准方程与几何性质．14． 设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n =a n +1（n =1，2，…）若数列{b n }有连续四项在集合{−53,−23,19,37,82}中，则6q = ▲ ． 【答案】9-【解析】由条件知数列{a n }中连续四项在集合{}54,24,18,36,81--中，由||1q >，所以{a n }中连续四项可能为（1）24-，36，54-，81，32q =-，69q =-；（2）18，24-，36，54-，不合；其它情形都不符合．【说明】本题考查等比数列的概念与通项公式．在本题中，如果将集合中的各数均除以3，得到集合{}232323,2,23,32,3-⨯-⨯⨯，再从其中选出四个数进行适当地排列，这样的解法更利于看清问题本质．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．15． （本小题满分14分）设向量a =(4cos α ,sin α )，b =(sin β,4cos β)，c =(cos β,−sin β)， （1）若a 与b −2c 垂直，求tan(α +β)的值； （2）求+b c 的最大值；（3）若tan α tan β=16，求证：a ∥b ． 【解析】（1）∵a ⊥b −2c ，∴(2)20⋅-=⋅-⋅=a b c a b a c ．即4sin()8cos()0αβαβ+-+=，∴tan()2αβ+=． （2）(sin cos ,4cos 4sin )ββββ+=+-b c ，()()222sin cos 16cos sin ββββ+=++-b c 1730sin cos ββ=-1715sin 2β=-，∴当sin2β=−1时，2+b c 最大值为32，所以+b c的最大值为（3）∵tan tan 16αβ=，∴sin sin 16cos cos αβαβ=，即4cos 4cos sin sin 0αβαβ⋅-=， 所以a ∥b ．16． （本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上，A 1D ⊥B 1C ． 求证：（1）EF ∥平面ABC ； （2）平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C ．【解析】（1）因为E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，所以EF ∥BC ，又EF ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴EF ∥平面ABC ； （2）在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，1111BB A BC ⊥面，∵A 1D ⊂平面A 1B 1C 1，∴11BB AD ⊥． 又11AD BC ⊥，BB 1 B 1C =B 1，∴111AD BC C ⊥面B ． 又11AD AFD ⊂面，所以平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C ．17． （本小题满分14分）设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，满足22225234a a a a +=+，S 7=7． （1）求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ； （2）试求所有的正整数m ，使得12m m m a a a ++为数列{S n }中的项． 【解析】（1）设公差为d ，则22225243a a a a -=-，由性质得43433()()d a a d a a -+=+，因为0d ≠，所以430a a +=，即1250a d +=，又由77S =得176772a d ⨯+=，解得15a =-，2d =所以{}n a 的通项公式为27n a n =-，前n 项和26n S n n =-． （2）12(27)(25)(23)m m m m m a a a m ++--=-，令23m t -=，12(4)(2)m m m t t a aa t++--=86t t =+-， 因为t 是奇数，所以t 可取的值为1±，当1t =，2m =时，863t t +-=，2573⨯-=，是数列{}n a 中的项；1t =-，1m =时，8615t t +-=-，数列{}n a 中的最小项是5-，不符合．所以满足条件的正整数2m =． 18． （本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1∶AB CA1B 1C1 EF D第16题图(x +3)2+(y −1)2=4和圆C 2∶(x −4)2+(y −5)2=4．（1）若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为l 的方程；（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．【解析】(1) 0y =或7(4)24y x =--，（2）法一）设点P (,)a b ，1l ：()y b k x a -=-，则2l ：1()y b x a k-=--由截得的弦长相等可得1C 到1l 与2C 到2l 的距离相等，即11|4()5()|a b k k ----+=，即 |31||45|k ka b k a kb ---+=--++，整理得：222222(3)2(3)(1)(1)(5)2(4)(5)(4)a k ab k bb k a b k a +++-+-=-+--+- 因为有无数组解，所以对应项系数相等，解得：32a =-，132b =；或52a =，12b =-．所以满足条件的点P 坐标为313(,)22-或51(,)22-．法二）依题意点P 在线段1C 2C 的中垂线上，且与1C 、2C 构成等腰直角三角形，设点P (,)a b ， 则713()42b a -=--，又120PC PC ⋅=，即22670a b a b +---=，解得：32a =-，132b =；或52a =，12b =-． 满足条件的点P 坐标为313(,)22-或51(,)22-．19． （本小题满分16分）按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为m m a +；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为n n a+．如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为h 1和h 2，现假设甲生产A ，B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A ，B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A ，B 的单价分别为m A 元和m B 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙．（1）求h 甲和h 乙关于m A ，m B 的表达式；当35A B m m =时，求证：h 甲=h 乙；（2）设35A B m m =，当m A ，m B 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？（3）记（2）中最大的综合满意度为h 0，试问能否适当选取m A ，m B 的值，使得0h h 甲≥和0h h 乙≥同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．【解析】h =甲h =乙当35A B m m =时，h =甲，h =乙h 甲=h 乙．当35A B m m =时，h =甲，而520B m ≤≤， 所以当20B m =时，甲、乙两人的综合满意度均最大，此时12A m =．（3≥即31024120A B A B m m m m ≥++ ①且3406120A B A B m m m m ≥++ ②， 由①及520B m ≤≤得：24120310B A B m m m +≥-，又241202008[12,48]310310B B B m m m +=+∈--， 只有当12A m =，20B m =时，不等式①成立． 由②及312A m ≤≤得：4012036A B A m m m +≥-，又4012040200[20,80]36336A A A m m m +=+∈--， 只有当20B m =，12A m =时，不等式②成立．综上，不存在满足条件的A m 、B m 的值．20． （本小题满分16分）设a 为实数，函数f (x )=2x 2+(x −a )|x −a |． （1）若f (0)≥1，求a 的取值范围； （2）求f (x )的最小值；（3）设函数h (x )=f (x )，x ∈(a ,+∞)，直接写出（不需给出演算步骤）不等式h (x )≥1的解集． 【解析】（1）若(0)1f ≥，即||1a a -≥，则{21a a <≥，所以1a ≤-． （2）当x a ≥时，22()32,f x x ax a =-+22min(),02,0()2(),0,033f a a a a f x a a f a a ≥≥⎧⎧⎪⎪==⎨⎨<<⎪⎪⎩⎩ 当x a ≤时，22()2,f x x ax a =+-{{2min 2(),02,0()(),02,0f a a a a f x f a a a a -≥-≥==<<综上22min2,0()2,03a a f x a a -≥⎧⎪=⎨<⎪⎩． （3）x a ≥时，()1h x ≥得223210x ax a -+-≥，222412(1)128a a a ∆=--=-，①当a a ≤≥时，0∆≤，不等式的解集为(,)a +∞；②当a <<0,∆>得(0x x x a ⎧⎪≥⎨>⎪⎩，i a <<时，不等式的解集为(,)a +∞；ii ）a ≤≤)+∞；iii ）a <<时，不等式的解集为3([)3a a +-+∞.。
中国矿业大学（徐州）09级大一上学期数学分析（1）期末试题（A卷）及答案
中国矿业⼤学（徐州）09级⼤⼀上学期数学分析（1）期末试题（A卷）及答案中国矿业⼤学09～10学年第1学期《数学分析(1) 》试卷(A)考试时间：120分钟考试⽅式：闭卷学院理学院班级__ _ _______姓名___ _______学号__________⼀、叙述题(每题5分共20分)1．叙述)(x f 在区间I 上有上确界A 的定义。
2．叙述lim ()x f x →+∞=-∞的定义，并叙述lim ()x af x -→不是⽆穷⼤的定义。
3. 叙述闭区间上连续函数的介值性定理。
4. 叙述导数极限定理。
⼆、计算题（每题5分共20分）1．设lim n n a a →∞=（0,0n a a >>），求n2．求曲线221,x t y t t =-=-在1t =对应点的切线⽅程。
3．求30tan sin lim sin x x xx →-。
4．求34()2f x x x =-的极值。
三、证明题（每题10分共60分）1．设222111123n a n=++++，证明数列{}n a 收敛。
2. 设)(x f 在),(+∞-∞连续，且A x f x =-∞→)(lim ，B x f x =+∞→)(lim 。
证明)(x f 在),(+∞-∞上⼀致连续。
3. 设0lim ()x x g x →=+∞，⽽lim ()u f u A →+∞=，证明 0lim [()]x x f g x A →=。
4. 设21sin ,0()20,0x x x f x x x ?+≠?=??=?（1）求导函数()f x '；（2）证明()f x '在点0x =不连续；（3）证明()f x 在点0x =的任何邻域不单调。
5. 证明不等式：2arctan 1h h h h <<+，其中0h >。
6. 设()f x 在[,]a b 具有⼆阶导数，且()0f x ''≥，证明对[,]a b 内任意n 个点12,,,nx x x 有不等式 11()()n ni i i ii i f x f x λλ==≥∑∑ 其中10(1,2,,),1ni i i i n λλ=>==∑参考答案⼀、叙述题(每题5分共20分)（略）⼆、计算题（每题5分共20分）1．设lim n n a a →∞=（0,0n a a >>），求n 解取0ε满⾜a <ε<00，由a a n n =∞→lim 知，+∈?N N ，当N n >时， 00ε+<<ε-a a a n从⽽n n n n a a a 00ε+<<ε- 上式两边取极限并利⽤结论1lim =∞→n n c (0>c 为常数)和迫敛性得1lim =∞→n n n a 。
徐州市2009年6月高二年级学科调研考试word稿苏教版
徐州市2009年6月高二年级学科调研考试数学（理）试题随机变量X 的均值和方程方差分别是211(),()(),nni i i i i i E X x p V X x p μ====-∑∑其中()E X μ=一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．． 1．复数2i(1i)+（i 为虚数单位）的实部= ▲ ．2．四本不同的书全部分给三个人，每人至少一本的分法有_________种．3．5432()5101051f x x x x x x =-+-+-已知()12_______f i +=则． 4．已知随机变量X 的分布表如下,其中a ,b ,c 成等差，则()1P x ==_____235．设随机变量Z 服从标准正态分布N （0，1），已知( 1.52)0.9357P Z ≤=，则( 1.52)P Z ≤= ▲ . 0.87146. 袋中有红、黄、白色球各一个，有放回地抽取3次，每次任取一个，则取出球的颜色不全相同的概率是 ▲ .7．某医疗机构通过抽样调查(样本容量n ＝1000)，利用2×2列联表和χ2统计量研究患肺病是否与吸烟有关. 计算得24.453χ=，经查对临界值表知2(3.841)0.05P χ≥≈，现给出四个结论：①在100个吸烟的人中约有95个人患肺病； ②若某人吸烟，那么他有95％的可能性患肺病； ③有95％的把握认为“患肺病与吸烟有关”； ④只有5％的把握认为“患肺病与吸烟有关”. 其中正确的一个结论是 ▲ .8．51.997精确到0.001的近似值为 ．9．在十进制中，数码2009＝0123910010010210⨯+⨯+⨯+⨯，那么在十进制中的数码2009折合成五进制的数码为 ． 10.已知1(),()()1xf x f x f x x==-记，[]1()()n n f x f f x -=()1,n n >∈N ，则()n f x = .11．由1，2，3，4，5组成的无重复数字的五位数中大于23154小于43521的有 个.12．已知抛物线2(0)y a x b x c a =++≠的对称轴在y 轴左其中,,{3a b c ∈-，210123}--，，，，，，在这些抛物线中，记随机变量||a b ξ=-，则E ξ=__________．13．1250,,,,a a a 是从1,0,1-这三个整数中取值的数列，若12509a a a ++=,且2221250(1)(1)(1)107a a a ++++++=，则1250,,,a a a 当中取零的个数为 ▲ ．14．设三位数n abc =（10010a b c =++，其中,,{1,2,3,,9}a b c ∈⋅⋅⋅），若以a ，b ，c 为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n 有 个． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答案纸指定区域内．．．．．．．．作答，解答时就写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分14分）已知复数z 满足: 13,z i z =+- （1）求z 的值；（2）求22(1)(34)2i i z++的值 ；16．(本题满分14分)从5名女同学和4名男同学中选出4人参加四场不同的演讲，分别按下列要求，各有多少种不同选法？⑴男、女同学各2名；⑵男、女同学分别至少有1名；⑶在(2)的前提下，男同学甲与女同学乙不能同时选出． 17．（本小题满分14分，只需从,A B 两题中选做一题）A （选修4—1几何证明选讲）如图，⊙O 的半径OB 垂直于直径AC ，M 为AC 上一点，BM 的延长线交⊙O 于点N ，过N 的切线交CA 的延长线于P ，连结ON ．（1）求证：PC PA PM ⋅=2；（2）若⊙O 的半径为32，OM OA 3=，求MN 的长．（第17题－A ）OCM NA PBCB （选修4－2矩阵与变换）已知矩阵A 对应的变换是先将某平面图形上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，再将所得图形绕原点按顺时针方向旋转90°． （1）求矩阵A 及A 的逆矩阵B ；（2）已知矩阵M = 3 32 4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求M 的特征值和特征向量； （3）若α=81⎡⎤⎢⎥⎣⎦在矩阵B 的作用下变换为β，求M 50β（运算结果用指数式表示）．18．（本小题满分16分）已知nax x 223)(+的展开式记为R ，n x )13(-的展开式记为T ．已知R 的奇数项的二项式系数的和比T 的偶数项的二项式系数的和大496． （1）求R 中二项式系数最大的项； （2）求R 中的有理项；（3）确定实数a 的值使R , T 中有相同的项，并求出相同的项．19．(本小题满分16分)某先生居住在城镇的A 处，准备开车到单位C 处上班，若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如下图（例如,路段AB 发生堵车事件的概率为110，路段BC 发生堵车事件的概率为115）． （1）请你为其选择一条由A 到C 的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小； （2）若记路线A B C →→中遇到堵车次数为随机变量ξ，求ξ的数学期 望E ξ．20．（本小题满分16分）已知n S 是数列{n1}的前n 项和。
2009年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国Ⅰ.理)含详解
2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第错误！未找到引用源。
卷（选择题）和第错误！未找到引用源。
卷（非选择题）两部分．第错误！未找到引用源。
卷1至2页，第错误！未找到引用源。
卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷考生注意：1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．． 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+24πS R = 如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B = 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R = n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径一、选择题(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A B ，则集合[()u AB I 中的元素共有（A ）（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个解：{3,4,5,7,8,9}A B = ，{4,7,9}(){3,5,8}U A B C A B =∴= 故选A 。
也可用摩根律：()()()U U U C A B C A C B =（2）已知????i 则复数z ??（B ??）w w w k s ??u c o m ?????????????? （A ）????i?????????? B??????i?????????????????? C????i?????????????????? D????i 解：(1)(2)13,13z i i i z i =+⋅+=+∴=- 故选B 。
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中国矿业大学大一第二学期理学院数学卷考试时间：120分钟 考试方式：闭卷院系__ _______班级___ ______姓名__ ________学号___ _______一 单项选择题（每小题3分，共15分）1. 若函数()f x 在 [,]a b 上可积，则()f x 在[,]a b 上（ ）A 连续B 有间断点C 有界D 有原函数 2. ()22220limd d x x t t xe te t →∞=⎰⎰（ ）A 1B 0C 1-D 发散 3. 下列反常积分中，收敛的是（ ） A1x ⎰B 1311d x x -⎰ Csin d x x +∞⎰D1x +∞⎰4. 下列级数条件收敛的是（ ）A 12(1)sin nn n ∞=-∑ B12(1)35nn nn ∞=-+∑一 C 1(1)10nn n n∞=-∑ D 11(1)n n n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑5. 下列命题正确的是（ ）A 若重极限存在，则累次极限也存在并相等；B 若累次极限存在，则重极限也存在但不一定相等；C 若重极限不存在，则累次极限也不存在；D 重极限存在，累次极限也可能不存在二、填空题（每空3分,共15分）1． 22222lim[]12n n nnnn n n →∞+++=+++ .2．10d x =⎰.3．2211(1)n x n∞=+∑的收敛域为 . 4. 设22,0()0,0,0x x f x x x x ππ⎧<<⎪==⎨⎪--<<⎩,则其傅里叶级数当0x =时收敛于 .5. 设2(,)cos(1)(f x y x y y =-+-，则(1,1)y f = . 三（10分）设,0p q >，且111p q+=，又设,0a b >，试用函数的凸性证明： 11p q ab a b p q≤+.四（10分）将函数22()arctan 1xf x x =-在0x =展开为幂级数.五（10分）把函数()(02)f x x x π=≤≤展开傅里叶级数.六（10分）设f 为],[b a 上的非负连续函数，证明：如果0)(=⎰ba dx x f ，则],[,0)(b a x x f ∈≡.七（10分）求级数1211(1)(21)(21)n n n x n n -∞+=--+∑的收敛域及其和函数.八（10分）过点(4,0)作曲线y =的切线．(1) 求切线的方程；(2) 求由这条切线与该曲线及x 轴绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.九（10分）设函数()f x 在区间[,]a b 上可积，且()0f x a ≥>，证明：1()f x 在区间[,]a b 上也可积.中国矿业大学09~10学年第二学期 《数学分析(2)》试卷（A ）卷参考答案一 单项选择题（每小题3分，共15分）1. 若函数()f x 在 [,]a b 上可积，则()f x 在[,]a b 上（ C ）A 连续B 有间断点C 有界D 有原函数2. ()22220limd d x x t t xe te t →∞=⎰⎰（ B ）A 1B 0C 1-D 发散 3. 下列反常积分中，收敛的是（ A ）A1x ⎰B 1311d x x -⎰ Csin d x x +∞⎰D1x +∞⎰4. 下列级数条件收敛的是（ A ）A 12(1)sin nn n ∞=-∑ B12(1)35nn nn ∞=-+∑一 C 1(1)10nn n n∞=-∑D 11(1)n n n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑5. 下列命题正确的是（ D ）A 若重极限存在，则累次极限也存在并相等；B 若累次极限存在，则重极限也存在但不一定相等；C 若重极限不存在，则累次极限也不存在；D 重极限存在，累次极限也可能不存在二、填空题（每空3分,共15分）1． 22222lim[]12n n nn n nn n→∞+++=+++ 4π.2． 10d x =⎰2.3． 2211(1)n x n∞=+∑的收敛域为 [2,0]-.4. 设22,0()0,0,0x x f x x x x ππ⎧<<⎪==⎨⎪--<<⎩,则其傅里叶级数当0x =时收敛于 22π-.5.设2(,)cos(1)(f x y x y y =-+-，则(1,1)y f = 0. 三（10分）设,0p q >，且111p q+=，又设,0a b >，试用函数的凸性证明： 11p q ab a b p q≤+. 证 令 ()ln f x x =-，则 21()0(0)f x x x''=>>，所以()f x 是(0,)+∞上的凸函数。
那么对任意12,(0,)x x ∈+∞， ,0p q >，且111p q+=，有 12121111()()()f x x f x f x p q p q+≤+， 即有12121111ln ln ln x x x x pq p q ⎛⎫-+≤-- ⎪⎝⎭.也就是12121111ln ln ln x x x x p q pq ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭ 若,0a b >，取12,p qx a x b ==，得1111ln ln ln p q p q a b a b p q pq ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭， 两边取指数就是11p q ab a b p q≤+. 四（10分）将函数22()arctan1xf x x=-在0x =展开为幂级数. 解 22222()arctan2(1)11n nn x f x x x x ∞='⎛⎫'===- ⎪-+⎝⎭∑,1x <, 因此20()(0)()02(1)xxn n n f x f f t dt t dt ∞='=+=+-∑⎰⎰210(1)221n n n x n ∞+=-=+∑，1x <五（10分）把函数()(02)f x x x π=≤≤展开傅里叶级数.解 20012a xdx πππ==⎰，2202111cos sin sin 0n a x nxdx x nx nxdx n n ππππππ==-⎰⎰221cos 00nx n ππ==2202111sin cos cos 0n b x nxdx x nx nxdx n n ππππππ==-+⎰⎰22212sin 0nx n n nππ=-+=-所以02()sin n f x x nx nπ∞===-∑，02x π<<六（10分）设f 为],[b a 上的非负连续函数，证明：如果0)(=⎰ba dx x f ，则],[,0)(b a x x f ∈≡.证 反证法 假设()f x 在[,]a b 不是恒为为零，即存在0[,]x a b ∈，0()0f x >.不妨设0a x b <<，由连续函数的性质，存在0(,)(,)U x a b δ⊂，当0(,)x U x δ∈时，有0)(21)(00>>x f x f 从而⎰⎰⎰⎰++--++=b x x x x abadx x f dx x f dx x f dx x f δδδδ0000)()()()(⎰δ+δ-≥00)(x x dx x f 0)()(210000>=>⎰+-δδδx f dx x f x x 与条件矛盾，假设不成立。
故],[,0)(b a x x f ∈≡.七（10分）求级数1211(1)(21)(21)n n n x n n -∞+=--+∑的收敛域及其和函数. 解 易求的级数的收敛域为[1,1]-。
令1211(1)()(21)(21)n n n S x x n n -∞+=-=-+∑，(0)0S =。
于是 121(1)(),[1,1]21n nn S x x x n -∞=-'=∈--∑，令 (),0()0,0S x x x f x x '≠⎧=⎨=⎩，那么 ()f x '=122211(1)1n n n x x ∞--=-=+∑， 从而()()arctan xf x f x dx x '==⎰，即得()arctan S x x x '=，于是201()arctan arctan arctan 222xx x S x x xdx x x ==-+⎰，[1,1]x ∈-。
八（10分）过点(4,0)作曲线y =的切线．(1) 求切线的方程；(2) 求由这条切线与该曲线及x 轴绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积. 解 (1)令()f x =则()f x '=.过点(4,0)作曲线y =的切线,切线与x 轴交点的横坐标是2342y x x y x--=='-+， 得52x =，即切点横坐标为52x =。
于是切线斜率为5()2f '=，切线方程是4)y x =-。
(2) 所求旋转体的体积为224355224)6x dx dx πππ⎛⎫--=⎪⎝⎭⎰⎰。
九（10分）设函数()f x 在区间[,]a b 上可积，且()0f x a ≥>，证明：1()f x 在区间[,]a b 上也可积.证 因为()0f x a ≥>，故110()f x a<≤。
由f 在[,]a b 上可积，任给0ε>，必分别存在分割T ，使得2f ii T x a ωε'∆≤∑。
对于[,]a b 上T 所属的每一个i ∆，有1,,11()()supsup()()()()ii fi x x x x f x f x f x f x f x f x ω''''''∈∆∈∆'''-=-='''''' 2,1sup ()()i x x f x f x a '''∈∆'''≤- 21f i aω≤所以有121ffi i ii TTx x m ωω∆≤∆∑∑ε<.也就是1f在[,]a b 上可积。