第一讲：相似三角形——比例线段

第一讲相似三角形一一相似与比例线段

第一课时

一.放缩与相似

1.相似形的概念

一般地，把一个图形放大或缩小，得到的图形和原来的图形，形状一定相同。我们把形状相同的两个图形叫做相似形。

2.相似形的特征

(1)相似三角形的特征

.■1川凸弋丿萨“弋’*

ZA' = ZA ; ZB'= ZB; ZC' = ZC

AB AG AB AC BQ =K BC

(2)相似多边形的特征

推论：如果两个多边形相似，他们必定同为n边形，而且各角对应相等，各边对应成比例。【典型例题】

1.如果一张地图的比例尺为1:3000000，在地图上量得大连到长春的距离为25cm，那么长春到大连的实际距离为 __________ 千米。

【同类变式】

2.在地图上，都标有比例尺。现在一张比例尺为1:5000的图纸上，量得？ABC的三边：AC=3cm,BC=4cm,AB=5cm, 求这个图纸所反映的实际？A'B'C'的周长是多少米？

3.某两地在比例尺为1:5000000 的地图上的距离是30cm，两地的实际距离是多少？如果

5. 一张长方形纸片对折后所得的长方形与原长方形是相似形，求原长方形的长与宽之比。

【同类变式】

6. E 、F 分别为矩形 ABCD 的边AD 、BC 的中点，若矩形ABCD 与矩形EABF 相似，AB=1 。 求矩形

ABCD 的面积。

7. 在相同时刻的物高和影长成正比例， 如果在某时， 旗杆在地面上的影长为 10m 此时身高 是1.8

米，小明的影长是 1.5 米，求旗杆的高度。

8. 把一个矩形截去一个正方形后，所剩的矩形与原矩形是否相似？若相似说明理由；若不

相似，问矩形的短边与长边之比为多少时一定能相似？

在该地图上 A 地（正方形场地）面积是

4. 下列说法正确的有（ ）个

（1 ）有一个角是 100o

的等腰三角形相似 （3 ）所有的等腰直角三角形相似 （5 ）所有的矩形都相似

A ．2 个

B. 3 个

3cm 2

,问该地实际面积是 __________

（2）有一个角是 80o

的等腰三角形相似 （4）所有的正六边形都相似 （ 6 ）所有的正方形都相似

C. 4 个

D. 5 个

二. 比例线段

(1)线段的比：我们把两条线段的长度叫做线段的比。记作 a:b 或-。

b

⑵ 比例线段：在四条线段

a b c d 中，其中两条线段 a, b 的比等于两条线段 c,d 的比，即

a c

，那个这四条线段叫做比例线段。其中， a b c d 叫做成比例的项。

b d

(3) 比例外项，比例内项，第四比例项

⑷ 比例中项：如果比例内项的两条线段是相等的，即 a:b =b:c ,那么线段b 叫做线段的比例

中项。 ★比例的性质

(1)比例的基本性质

a c

ad =bc (运用等式的基本性质)

b d

特别地，a:b = b:c ，那么b 2

= ac ,反之亦然 ⑵合比,分比性质

c d

(两种证明方法)，

d

(3)等比性质

推论

1

a 2 a 3 - a

n a

1 .a

2 = .=空=k

b i b 2 b 3

■-bi b 2 b n

注意 b i +b 2+b 3+...+ b n 工0 ⑷反比性质 丄 m a c b d

如果 ，那么 一

b d

a c

(5)更比性质

d ，那么 k ，那么也旦=色 D b 2 D a

2

b 2

a c a

b de

如果，那么（父换内项）或（父换外项）

b d e d b a

【典型例题】

1. （1）已知a, b, e, d是成比例线段，其中 a=3, b=2, e=6,求d的大小

⑵ 已知线段a, b, e其中一条线段是另两条线段的比例中项，且a=3, b=6,求e的大小

2. 已知2x 3y 0,则J

x 2y

3. 已知3 e,a b e

5

24,求 a 2b e

4. 若互不相等的四条线段的长

5. e m a b

B.

d m b

f 4 ，若a 2e e

3

a

a,b, e, d 满足

一

b

a e

C.

e

4e

e, m是任意实数，则各正确的（d

a d

d abed

D.

abed

0,则

b 2d 4f

a 2e 4e

6.已知x, y, z三个不同的正数，且x y x ,

。求 x：y z y

第二课时

三. 黄金分割 ★黄金分割：当AP:AB=上土1

~0.618，我们称之为黄金分割。

2

——I

: 5 1

注⑴黄金分割数寸不是一条线段的长。它指的是一条线段被点P

黄金分割所分成的 两条线段中较长的

线段比上原线段的比值。

⑵条件Ap >p B ，

Ap ：AB

= v 是在这个前提下才能成立

(3)黄金分割清晰定义：线段上一点把它分成两条线段，其中较长线段是较短线段与原

线段的比例中项，这种分割叫做黄金分割。

1. (1)已知线段AB=10cm ，点C 是AB 的黄金分割点， 且AC>BC,求线段AC 和BC 的长。

7.已知

AD DB

AE

,AD=15

EC

,AB=40 , AC=28，求 AE 的长度。

8.已知

AE AD

Il 求证

AE ⑴ED BE AE ED EC ；（2）BE EC