1 不定积分定义
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则称 F( x) 是 f ( x) 在 区间I 上的一个原函数
例1 sin x cos x
sin x 是 cos x 的一个原函数 (, )
ln x 1
ln x 是
1
x
的一个原函数 (0, )
x
例如 在(,上) 是sin x 的c原os函x 数 而 sin x 1,ssiin x 21,sin x 3 也是它的原函数
数,而是无穷多个(全部)原函数,通常说成
一族函数,反映在几何上则是一族曲线,
这族曲线称为f (x)的积分曲线族.
O
x
y F(x) C
y F(x)
x
在相同的横坐标处,所有积分曲线的斜率均为k,因 此,在每一条积分曲线上,以x为横坐标的点处的切线 彼此平行（如图）.f (x)为积分曲线在(x, f (x))处的 切线斜率.
= f (x) g(x)，
这说明 f (x)dx 是g(函x)数dx
所以欲证的等式成立.
的f不(x定) 积g(分x)，
例11 求 (2x3 5x2 4x 3)dx.
解 (2x3 5 x2 4x 3)dx 2x3dx 5 x2dx 4xdx 3dx
2 x3dx 5 x2dx 4 xdx 3 dx
即 sin x 加任意常数都是 cos x 的原函数.
这样就给我们提出了问题： ✓原函数存在的条件？ ✓原函数有多少个？ ✓这些原函数之间有何关系？ ✓如何求出这些原函数？
原函数存在定理 若函数ƒ(x)在区间I上连续, 则ƒ(x)
在区间I上的原函数一定存在.
例2
f (x) x2 CR
F (x) 1 x3, 3
为了更好地理解积分运算是导数（微分）运算的逆运算，我 们在介绍积分运算时，把乘方运算（开方）和它作比较：
若 a已知，b未知，由a 我们熟悉乘方运算：
b,则称（3）式为乘方
23 8 (1)
运算，称b为a的立方。
若于是b已提知出新，问a未题知 ：，由
b ?3 a8,则称（(23)）式为
开这方不运是乘算方，运称算a，为而b的是它 立的方逆根 运算。—开方运算。 一般来说，在下式里
1
4 1
x3
C
1
3x 3
C
4 3
1
(2) 2x exdx 2x e x C ln 2 (2e)x dx (2e)x C ln(2e)
练习：求
2x ex dx
三、不定积分的运算性质
性质1 函数代数和的不定积分等于不定积分的代数
和，即 (1) [ f ( x) g( x)]dx f ( x)dx g( x)dx;
解
( 1
3 x2
2 )dx 1 x2
3arctan x 2arcsin x C
练习
( x 1)3 x2 dx
x
3
3
x2 x2
3
x
1dx
例13 求
x4 x2
2 1
dx.
解
x4 x2
2 1
dx
(
x2
1)(x2 x2 1
1)
1
dx
(
x2
1)
1
x2
1
dx
(
x2
1)dx
1
x2
dx 1
G(x) F(x) G(x) F(x) 0
G(x) F(x) C, 即G(x) F(x) C
结论 : 若 F(x) f (x),
则 f (x)的 原函数都可用 F(x) C 表示.
定义: f ( x)dx表示函数f ( x)的原函数的全体,
则称 f ( x)dx 为 f ( x)的不定积分
x2
xdx
5
x 2dx
51
x2 5 1 C
2
x
7 2
7
C.
例9
求
1 x3
dx x
2
解
1 x3
dx x
7
x 2dx
71
x2 71
C
2 5
5
x2
C.
2
例10 求（1） 1 dx, （2）2x exdx
解
x3 x
a xdx a x C ln a
(1)
1 dx x3 x
4
x 3dx
解
1 2
求 sin2
sin2 x dx 2
(1 cos
x dx 2
x)dx
1 ( x sin x) C 2
练习： cos2 x dx 2
小结
原函数与不定积分的概念
F(x) f (x)
F(x)是f (x)的一个原函数 f (x)的所有原函数可以表示 为F(x) C
f (x)dx F(x) C
x
1 dx x
ln
x
C
(x 0)
当x 0时， 有ln(x)' 1 (x)' 1 (1) 1 ,
x
x
x
1 dx x
ln(
x)
C
(x 0)
ln x 当x 0,
ln x ln( x)
当x 0,
所以
1dx x
ln
x
C
( x 0).
不定积分与微分的关系
微分运算与积分运算互为逆运算.
1 2
x4
5 3
x3
2x2
3x
C.
注 逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意 常数．由于任意常数之和仍是任意常数，因此只 要写出一个任意常数即可
例12(1) 求 x2( x3 3)dx
解
x2( x3 3)dx
(
x5
3x2
)dx
1 6
x6
x3
C
(2)
求
( 1
3 x2
2 )dx. 1 x2
(2)
x dx
x 1
1
C
(3)
dx x
ln
|
x
|
C .
(4)
a
x
dx
ax
ln a
C.
( 1).
(5) ex dx ex C.
(6) sin x dx cos x C
(7) cos x dx sin x C.
(8)
dx
sin2 x
csc2 x
dx
cot x C.
(9)
dx cos2 x
F(x) f (x)
(1)如果f(x)在某区间上存在原函数，那么原函数不是
唯一的,且有无穷多个
若 F(x) f (x), 则[F(x) C] f (x)
即若 F(x) 是 f (x)的原函数，则 F(x) C 亦是 .
(2) 若函数 f (x) 在区间 I 上存在原函数，则其任意
两个原函数只差一个常数项. 设 F(x) f (x), G(x) f (x)
第四章 积分及其应用 本章主要内容
一元函数的不定积分和定积分的概念与性质、 积分法、无穷区间的广义积分和定积分的应用。
§4.1不定积分概念与性质 【学习本节要达到的目标】 1、理解不定积分和原函数的概念 2、理解不定积分与微分的关系 2、掌握不定积分的性质
回顾: 微分学的基本问题是“已知一个函数, 如何求它的导数.”
x3 x arctan x C.
3
例14
求
1 x 2 (1
2x2 x2
dx )
.
解
1 x2 (1
2x2 x2
dx )
1 x2 x2
x2 (1
x2
dx )
1 x 2 dx
1
1 x2dx
1 arctan x C
x
练习 求
1 x x2
x(1
x2
dx. )
解
1 x x2
a3 b (3)
若也F熟(x悉)已导知数，运f (算x)：未知，由F(x)
fx(2x),则2x称（3）('1式)' 为求导运算，
称f (x)为F(x)的导数。若 f (x)已 知同，F样(提x)未出知问，题由：f (x) F(x),则 称（?3）'式2x为积分(2运)' 算，称F (x)为
x(1
x2
dx )
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x (1 x2 x(1 x2 )
)dx
1
1 x2
1 x
dx
1
1 x2
dx
1dx x
arctan x ln | x | C
例15 求 cot2 xdx 解 cot2 xdx
(csc2 x 1)dx
cot x x C
练习：求 tan2 xdx
例16
是左端的被积函数即可 .
当（sec x tan x） 0时，由于
[ln(secx tan x)]
1
(sec x tan x sec2 x)
ln(sec x tan x)
secx,
所以，已给等式成立.
当（sec x tan x） 0时，类似地可以验证已给等式成立.
综上所述，已给等式成立.
性质1可以推广到有限多个函数的情形，即
[ f1(x) f2 (x) fn (x)]dx
f1(x)dx f2 (x)dx fn (x)dx.
性质2 被积函数中不为零的常数因子可以移到积分
号的前面.
(2) kf ( x)dx k f ( x)dx. (常数 k 0)
注意：不定积分没有积和商的运算法则。
即
积分变量
f ( x)dx F( x) C
积 分 号
被 积 函 数
被积表达式
常
数
项
例3 求 x5dx
解
( x6 ) x5 , 6
x5dx
x6 6
C
例4
求
1
1 x
2
dx
解
arctan
x
1
1 x2
1
1 x2
dx
arctan
x
C
例5
求
1 x
dx
解 当x 0时，有(ln x)' 1 .
基本积分公式
直接积分法
直接积分法:用基本积分公式及积分性质求积分的方法 用直接积分法求不定积分要注意对被积函数变形
作业
P92. A组 2（1）；3（1）（3）（5）（7）（9） B组 1
(1) [ f (x)dx]' f (x) 或 d f (x)dx f (x)dx，
(2) F'(x)dx F (x) C 或 dF (x) F (x) C，
先积后微 形式不变
先微后积 差一常数
例6 验证等式 sec xdx ln sec x tan x C成立.
解 依据不定积分的定义， 只要验证等式右端函数 的导数
例7 已知某曲线过点 (1,2), 其上点(x, y)处切线
的斜率为x的两倍，求其方程
解 设曲线方程 y f (x)
y
则由题意知 f (x) 2x
f (x) 2xdx x2 C
又曲线过点(1,2),
2 1 C, 即C 1 故所求曲线为 y x2 1.
0
x
不定积分的几何意义
函数f (x)的原函数图形称为f (x)的积 y 分曲线,不定积分表示的不是一个原函
练习 设曲线通过点(2,3),且其上任一点的切线斜率等 于这点的横坐标，求此曲线方程.
解 设所求的曲线方程为 y f ( x),依题意可知
y' x，
所以
y
x
dx
1 2
x2
C
把(2, 3)代入上述方程，得
C 1，
因此所求曲线的方程为
x2 y 1.
2
二、基本积分公式
(1) k dx kx C
sec2 x
dx
tan
x
C.
(10) sec xtan x dx sec x C.
(11) csc x cot x dx csc x C.
(12)
1 dx arcsin x C.
1 x2
(13)
1
1 x2
dx
arctan
x
C.
x dx x1 C
1
例8 求 x2 xdx
解
那么, 如果已知一个函数的导数, 要求原来的函数, 这类问题, 是微分法的逆问题. 这就产生了积分学.
提出这样的逆问题，是因为它存在于许多实际的问 题中，例如：已知速度求路程；已知加速度求速度；已 知曲线上每一点处的切线斜率（或斜率所满足的某一规 律），求曲线方程等等。
要解决这些实际问题，自然会想到微分运算的逆运 算，这就是产生积分运算的原因。
性质1 函数代数和的不定积分等于不定积分的代数
和，即 (1) [ f ( x) g( x)]dx f ( x)dx g( x)dx;
证 只要证明上式右端的导数等于左端的被积函数 即可.由导数运算法则以及不定积分与微分的关 系，有
[ f (x)dx g(x)dx]' [ f (x)dx]' [ g(x)dx]'
这不是求导运算，而是它的
f (逆x)的运原算函—数积。分运算。
同样，在下式里
F(x) f (x) (3)'
通过上面的比较，对积分运算与原函数有了初步认识，以下 先给出原函数与不定积分的有关的定义。
一、原函数与不定积分
定义 对于定义在区间I上的函数f ( x)若对 x I ,
有 F( x) f ( x)
例1 sin x cos x
sin x 是 cos x 的一个原函数 (, )
ln x 1
ln x 是
1
x
的一个原函数 (0, )
x
例如 在(,上) 是sin x 的c原os函x 数 而 sin x 1,ssiin x 21,sin x 3 也是它的原函数
数,而是无穷多个(全部)原函数,通常说成
一族函数,反映在几何上则是一族曲线,
这族曲线称为f (x)的积分曲线族.
O
x
y F(x) C
y F(x)
x
在相同的横坐标处,所有积分曲线的斜率均为k,因 此,在每一条积分曲线上,以x为横坐标的点处的切线 彼此平行（如图）.f (x)为积分曲线在(x, f (x))处的 切线斜率.
= f (x) g(x)，
这说明 f (x)dx 是g(函x)数dx
所以欲证的等式成立.
的f不(x定) 积g(分x)，
例11 求 (2x3 5x2 4x 3)dx.
解 (2x3 5 x2 4x 3)dx 2x3dx 5 x2dx 4xdx 3dx
2 x3dx 5 x2dx 4 xdx 3 dx
即 sin x 加任意常数都是 cos x 的原函数.
这样就给我们提出了问题： ✓原函数存在的条件？ ✓原函数有多少个？ ✓这些原函数之间有何关系？ ✓如何求出这些原函数？
原函数存在定理 若函数ƒ(x)在区间I上连续, 则ƒ(x)
在区间I上的原函数一定存在.
例2
f (x) x2 CR
F (x) 1 x3, 3
为了更好地理解积分运算是导数（微分）运算的逆运算，我 们在介绍积分运算时，把乘方运算（开方）和它作比较：
若 a已知，b未知，由a 我们熟悉乘方运算：
b,则称（3）式为乘方
23 8 (1)
运算，称b为a的立方。
若于是b已提知出新，问a未题知 ：，由
b ?3 a8,则称（(23)）式为
开这方不运是乘算方，运称算a，为而b的是它 立的方逆根 运算。—开方运算。 一般来说，在下式里
1
4 1
x3
C
1
3x 3
C
4 3
1
(2) 2x exdx 2x e x C ln 2 (2e)x dx (2e)x C ln(2e)
练习：求
2x ex dx
三、不定积分的运算性质
性质1 函数代数和的不定积分等于不定积分的代数
和，即 (1) [ f ( x) g( x)]dx f ( x)dx g( x)dx;
解
( 1
3 x2
2 )dx 1 x2
3arctan x 2arcsin x C
练习
( x 1)3 x2 dx
x
3
3
x2 x2
3
x
1dx
例13 求
x4 x2
2 1
dx.
解
x4 x2
2 1
dx
(
x2
1)(x2 x2 1
1)
1
dx
(
x2
1)
1
x2
1
dx
(
x2
1)dx
1
x2
dx 1
G(x) F(x) G(x) F(x) 0
G(x) F(x) C, 即G(x) F(x) C
结论 : 若 F(x) f (x),
则 f (x)的 原函数都可用 F(x) C 表示.
定义: f ( x)dx表示函数f ( x)的原函数的全体,
则称 f ( x)dx 为 f ( x)的不定积分
x2
xdx
5
x 2dx
51
x2 5 1 C
2
x
7 2
7
C.
例9
求
1 x3
dx x
2
解
1 x3
dx x
7
x 2dx
71
x2 71
C
2 5
5
x2
C.
2
例10 求（1） 1 dx, （2）2x exdx
解
x3 x
a xdx a x C ln a
(1)
1 dx x3 x
4
x 3dx
解
1 2
求 sin2
sin2 x dx 2
(1 cos
x dx 2
x)dx
1 ( x sin x) C 2
练习： cos2 x dx 2
小结
原函数与不定积分的概念
F(x) f (x)
F(x)是f (x)的一个原函数 f (x)的所有原函数可以表示 为F(x) C
f (x)dx F(x) C
x
1 dx x
ln
x
C
(x 0)
当x 0时， 有ln(x)' 1 (x)' 1 (1) 1 ,
x
x
x
1 dx x
ln(
x)
C
(x 0)
ln x 当x 0,
ln x ln( x)
当x 0,
所以
1dx x
ln
x
C
( x 0).
不定积分与微分的关系
微分运算与积分运算互为逆运算.
1 2
x4
5 3
x3
2x2
3x
C.
注 逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意 常数．由于任意常数之和仍是任意常数，因此只 要写出一个任意常数即可
例12(1) 求 x2( x3 3)dx
解
x2( x3 3)dx
(
x5
3x2
)dx
1 6
x6
x3
C
(2)
求
( 1
3 x2
2 )dx. 1 x2
(2)
x dx
x 1
1
C
(3)
dx x
ln
|
x
|
C .
(4)
a
x
dx
ax
ln a
C.
( 1).
(5) ex dx ex C.
(6) sin x dx cos x C
(7) cos x dx sin x C.
(8)
dx
sin2 x
csc2 x
dx
cot x C.
(9)
dx cos2 x
F(x) f (x)
(1)如果f(x)在某区间上存在原函数，那么原函数不是
唯一的,且有无穷多个
若 F(x) f (x), 则[F(x) C] f (x)
即若 F(x) 是 f (x)的原函数，则 F(x) C 亦是 .
(2) 若函数 f (x) 在区间 I 上存在原函数，则其任意
两个原函数只差一个常数项. 设 F(x) f (x), G(x) f (x)
第四章 积分及其应用 本章主要内容
一元函数的不定积分和定积分的概念与性质、 积分法、无穷区间的广义积分和定积分的应用。
§4.1不定积分概念与性质 【学习本节要达到的目标】 1、理解不定积分和原函数的概念 2、理解不定积分与微分的关系 2、掌握不定积分的性质
回顾: 微分学的基本问题是“已知一个函数, 如何求它的导数.”
x3 x arctan x C.
3
例14
求
1 x 2 (1
2x2 x2
dx )
.
解
1 x2 (1
2x2 x2
dx )
1 x2 x2
x2 (1
x2
dx )
1 x 2 dx
1
1 x2dx
1 arctan x C
x
练习 求
1 x x2
x(1
x2
dx. )
解
1 x x2
a3 b (3)
若也F熟(x悉)已导知数，运f (算x)：未知，由F(x)
fx(2x),则2x称（3）('1式)' 为求导运算，
称f (x)为F(x)的导数。若 f (x)已 知同，F样(提x)未出知问，题由：f (x) F(x),则 称（?3）'式2x为积分(2运)' 算，称F (x)为
x(1
x2
dx )
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x (1 x2 x(1 x2 )
)dx
1
1 x2
1 x
dx
1
1 x2
dx
1dx x
arctan x ln | x | C
例15 求 cot2 xdx 解 cot2 xdx
(csc2 x 1)dx
cot x x C
练习：求 tan2 xdx
例16
是左端的被积函数即可 .
当（sec x tan x） 0时，由于
[ln(secx tan x)]
1
(sec x tan x sec2 x)
ln(sec x tan x)
secx,
所以，已给等式成立.
当（sec x tan x） 0时，类似地可以验证已给等式成立.
综上所述，已给等式成立.
性质1可以推广到有限多个函数的情形，即
[ f1(x) f2 (x) fn (x)]dx
f1(x)dx f2 (x)dx fn (x)dx.
性质2 被积函数中不为零的常数因子可以移到积分
号的前面.
(2) kf ( x)dx k f ( x)dx. (常数 k 0)
注意：不定积分没有积和商的运算法则。
即
积分变量
f ( x)dx F( x) C
积 分 号
被 积 函 数
被积表达式
常
数
项
例3 求 x5dx
解
( x6 ) x5 , 6
x5dx
x6 6
C
例4
求
1
1 x
2
dx
解
arctan
x
1
1 x2
1
1 x2
dx
arctan
x
C
例5
求
1 x
dx
解 当x 0时，有(ln x)' 1 .
基本积分公式
直接积分法
直接积分法:用基本积分公式及积分性质求积分的方法 用直接积分法求不定积分要注意对被积函数变形
作业
P92. A组 2（1）；3（1）（3）（5）（7）（9） B组 1
(1) [ f (x)dx]' f (x) 或 d f (x)dx f (x)dx，
(2) F'(x)dx F (x) C 或 dF (x) F (x) C，
先积后微 形式不变
先微后积 差一常数
例6 验证等式 sec xdx ln sec x tan x C成立.
解 依据不定积分的定义， 只要验证等式右端函数 的导数
例7 已知某曲线过点 (1,2), 其上点(x, y)处切线
的斜率为x的两倍，求其方程
解 设曲线方程 y f (x)
y
则由题意知 f (x) 2x
f (x) 2xdx x2 C
又曲线过点(1,2),
2 1 C, 即C 1 故所求曲线为 y x2 1.
0
x
不定积分的几何意义
函数f (x)的原函数图形称为f (x)的积 y 分曲线,不定积分表示的不是一个原函
练习 设曲线通过点(2,3),且其上任一点的切线斜率等 于这点的横坐标，求此曲线方程.
解 设所求的曲线方程为 y f ( x),依题意可知
y' x，
所以
y
x
dx
1 2
x2
C
把(2, 3)代入上述方程，得
C 1，
因此所求曲线的方程为
x2 y 1.
2
二、基本积分公式
(1) k dx kx C
sec2 x
dx
tan
x
C.
(10) sec xtan x dx sec x C.
(11) csc x cot x dx csc x C.
(12)
1 dx arcsin x C.
1 x2
(13)
1
1 x2
dx
arctan
x
C.
x dx x1 C
1
例8 求 x2 xdx
解
那么, 如果已知一个函数的导数, 要求原来的函数, 这类问题, 是微分法的逆问题. 这就产生了积分学.
提出这样的逆问题，是因为它存在于许多实际的问 题中，例如：已知速度求路程；已知加速度求速度；已 知曲线上每一点处的切线斜率（或斜率所满足的某一规 律），求曲线方程等等。
要解决这些实际问题，自然会想到微分运算的逆运 算，这就是产生积分运算的原因。
性质1 函数代数和的不定积分等于不定积分的代数
和，即 (1) [ f ( x) g( x)]dx f ( x)dx g( x)dx;
证 只要证明上式右端的导数等于左端的被积函数 即可.由导数运算法则以及不定积分与微分的关 系，有
[ f (x)dx g(x)dx]' [ f (x)dx]' [ g(x)dx]'
这不是求导运算，而是它的
f (逆x)的运原算函—数积。分运算。
同样，在下式里
F(x) f (x) (3)'
通过上面的比较，对积分运算与原函数有了初步认识，以下 先给出原函数与不定积分的有关的定义。
一、原函数与不定积分
定义 对于定义在区间I上的函数f ( x)若对 x I ,
有 F( x) f ( x)