1 不定积分定义
不定积分知识点
不定积分知识点
1. 一般积分：用数学中的积分运算来解决求某一函数在某一区间上的积分值的问题，是微积分中最基本的运算。
2. 不定积分：也称为普通积分，指的是在没有给定积分上限下求某一函数的积分值的问题，是一种比较复杂的积分运算。
3. 基本定理：不定积分的积分值等于原函数值减去原函数的积分值。
4. 替代变量法：将原函数中的变量替换成新的变量，以便更容易求解不定积分。
5. 公式法：对于一些常见的不定积分，可以直接使用相应的公式求解。
6. 分部积分法：将一个不定积分分成多个定积分，然后分别求解，最后把这些定积分的结果加起来即可得到不定积分的结果。
高数—不定积分 讲解和例题-PPT (1)
课外作业
习 4 — 1（A） （ ） 1（双） （ 习 4 — 1（B） （ ） 1（5，6，7，11）， （ ， ， ， ）， ），2
§2. 换元积分法
y = sin2x 是复合函数， 是复合函数，
∫ sin2xd x
1. 凑常数
如何积分？ 如何积分？
一、第一类换元法 ( 凑微分法 )
(d2x = 2dx) 1 例1： sin2xd x = ∫ sin2x d 2 x (2x = u) ∫ 2 1 1 1 = ∫ sinudu = − cos u+ C = − cos 2x + C. + 2 2 2
2
= x − x + arctan x + C.
1 3 3
从理论上来讲， 从理论上来讲，只需把积分结果 求导，就可检验积分是否正确。 求导，就可检验积分是否正确。但由 于函数变形及原函数间可相差一个常 数等因素，一般不检验。 数等因素，一般不检验。 所以注重积分过程的正确性是至 关重要的。 关重要的。 即每一步运算都要看能否还原到 上一步。 上一步。
dx 例5： 2 ∫ x − a2 (a > 0) 1 1 1 = ∫ − dx 2a x − a x + a 1 d( x − a) d( x + a) = ∫ −∫ 2a x −a x+a 1 = [ln x − a − ln x + a ] + C 2a 1 x −a = ln + C. 2a x + a dx 1 a+ x = ln + C. (a > 0) 同理： 同理： 2 2 ∫ a − x 2a a − x
例： 求通过点 ( 1, 2 )，且其上任一点处的 ， 切线斜率等于该点横坐标6倍的一条曲线 倍的一条曲线。 切线斜率等于该点横坐标 倍的一条曲线。 解：设所求曲线方程为 y = f (x) . 由题意，曲线上点(x, 的切线斜率 由题意，曲线上点 y)的切线斜率 dy = 6x, dx 2 ∴y = ∫ 6xdx = 3x + C , 为一簇积分曲线。 为一簇积分曲线。
不定积分定义
dx
ax
ln a
C.
( 1).
(5) ex dx ex C.
(6) sin x dx cos x C
第15页/共29页
(7) cos x dx sin x C.
(8)
dx
sin2 x
csc2 x
dx
cot x C.
(9)
dx cos2 x
sec2 x
dx
tan
x
C.
(10) sec xtan x dx sec x C.
解 设所求的曲线方程为 y f ( x),依题意可知
y' x，
所以
y
x
dx
1 2
x
2
C
把(2, 3)代入上述方程，得
C 1，
因此所求曲线的方程为
x2 y 1.
2
第14页/共29页
二、基本积分公式
(1) k dx kx C
(2)
x
dx
x 1
1
C
(3)
dx x
ln
|
x
|
C
.
(4)
a
x
第10页/共29页
例6 验证等式 sec xdx ln sec x tan x C成立.
解 依据不定积分的定义， 只要验证等式右端函数 的导数
是左端的被积函数即可 .
当（sec x tan x） 0时，由于
[ln(secx tan x)]
1
(sec x tan x sec2 x)
两个原函数只差一个常数项. 设 F(x) f (x), G(x) f (x)
G(x) F(x) G(x) F(x) 0
G(x) F(x) C, 即G(x) F(x) C
不定积分的概念(1)
例例66
dx x3 x
x
4 3
dx
x
4 3
1
4 1
C
3x
1 3
C
3
C .
3x
3
x34x3434113411CC3x3x1313CC 33x33xCC. .
堂上练习:
x
(xx(x2x(2x52)5d)5xd)xdx(x(x52(52x552 x5x125)12xd)12xd)xdx
积分曲线，而f(x)正是积分曲线的 斜率.
2x的积分曲线
例3
设通过点(1, 3), 且其切线斜率为 2X的曲线方程.
解： 设所求曲线方程为y f x,由题意知 f x 2x,即f x是2x的一个原函数,而且
2xdx x2 C
即2x的积分曲线族为y x2 C， 将x 1, y 3 代入， 得C 2， 故所求的曲线方程为y x2 2
第四章 不定积分
4.1 不定积分的概念与性质
教学目标:
1、理解原函数和不定积分的概念
2、熟练掌握不定积分的性质和基本积分公式
教学重点：
综合运用不定积分的性质和基本积分公式求 不定积分。
§4.1 不定积分的概念
一、不定积分的概念 二、不定积分的性质 三、直接积分法
前言
早在两千多年前，数学家们就已经开始注意到累 积计算的重要性，随着生产的发展，这类问题不断有 人提出，如求某块平面图形的面积，某条定曲线的长 度等等． 其中某些问题甚至得到了解决． 例如，阿 基米得(Archimedes)、开普勒(Kepler)、卡瓦列里 (Cavaliere)都在具体问题中得到了后来用积分计算 得到的相同结果． 费马(Fermat)与巴洛(Barrow)已 初步意识到某些问题与微分之间存在互逆关系． 但 当时并没有一般地引入积分概念，他们的方法也不具 有普遍意义． 直到十七世纪，牛顿和莱布尼兹各自 独立地看到了积分问题是微分问题的逆问题，并从微 分逆运算的角度提了简洁的一般解决办法．
不定积分与定积分的定义
不定积分与定积分的定义
(1)
定积分和不定积分是数学中一类常见的概念，它们都可以用来
估算某个面积以及积分。
不定积分又称为抽象积分，是用来估算某个
积分在某个空间内某个函数的值的方法，而定积分就是在一定的函数
和某个限定区间求这个函数的定积分的过程。
不定积分是用来估算函数在某段时间内所取值的积分，它可以用
来估算面积或者某函数在一定空间内的值。
它通常以d比如dx来表示，这里的d意味着对函数求偏导数，而dx表示求偏导时要将函数中的某
变量恒定，通过求偏导数可以估计函数在这一空间内的积分值。
定积分则是在某个限定区间内求函数的一个积分，它的定义是把
这一段区间分解成多个小的区间，积分的值是将每一小段的值加起来
的总和。
它的计算方法有很多种，比如梯形法、辛普森法、龙贝格法等，不同的计算方法都有适合的应用场景。
总的来说，定积分和不定积分都是一类比较常见的概念，它们都
可以用来估算某函数在某一空间内所取值的积分，不定积分用来估计
某函数在某时间段内平均取什么值，而定积分则是在某区间求这个函
数的定积分值，可以综合使用来估算一个完整的函数面积，从而求出
有意义的面积概念。
不定积分概念
ln(x)
C.
1dx x
ln
|
x
|
C
.
二、 基本积分表
实例
x 1 x
1
xdx x1 C . 1
( 1)
启示 能否根据求导公式得出积分公式？
结论 既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式.
基本积分表
(1) kdx kx C (k是常数);
(2) x dx x1 C ( 1);
例 求 x5dx.
解
x6 x5 ,
6
x5dx x6 C . 6
例 求 cos xdx.
解
sin x cos x
cos xdx sin x C.
例求
1dx. x
解 当x 0时，
ln x 1 ,
x
1dx x
ln
x
C.
当x 0时， ln(x) 1 (1) 1
x
x
1dx x
x
原函数存在定理：如果函数 f ( x)在区间I上连续,
则存在可导函数F( x), 使 F( x) f ( x), x I .
简言之：连续函数一定有原函数.
例如 sin x cos x (sin x C) cos x
(sin x＋1) cos x （C 为任意常数） 原函数非唯一：
若 F(x) f (x), 则对任一常数 C,有(F(x) C) f (x), 即 F(x) C 都是 f (x) 的原函数.
x
C;
(10) sec x tan xdx sec x C;
(11) csc x cot xdx csc x C;
例 求积分 x2 xdx.
5
解 x2 xdx x 2dx
(完整版)不定积分
例3 求经过点(1,3)，且其切线的斜率为2x的曲线方程。 解：由曲线切线斜率为2x且不定积分定义可知
2xdx x2 C
得曲线簇 y=x2+C, 将x=1,y=3代入，得 C=2 所以 y=x2+2
三、不定积分的基本公式和运算法则
1、不定积分的基本公式
(sin x) cos x
sin x 是cos x 的一个原函数.
(sin x 1) cos x
sin x 1 是cos x 的一个原函数.
(sin x C) ?
定理：若F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的所有原 函数都可以表示成F(x)+C（C为任意常数）。
３.函数f(x)的任意两个原函数之间有什么关系？ 定理 函数f(x)的任意两个原函数的差是一个常数。
当x<0时， (ln | x |)' [ln( x)]' ( 1)(x)' 1
x
x
所以
1 x
dx
ln
|
x
|
C
(x
0)
关于不定积分，还有如下等式成立：
1. [ f ( x)dx]' f ( x) 或 d f ( x)dx f ( x)dx 2. f '(x)dx f (x) C 或 df (x) f (x) C
解： (1) (sinx)'= cos x cos xdx sin x C
(2)
1
x4
x3
4
(3)
ex ex
x3dx
1 4
x4
C
e x e x C
例2 验证等式：
cos(2
不定积分
x 1 dx 2 ax b b ln ax b C 18 ax b a 1 令ax b t , 则x t b , dt adx a 1 dx dt a 1 t b 1 1 t b 1 1 b a 原式= dt 2 dt 2 1dt 2 dt t a a t a a t t b 1 t b ax b b 2 2 dt 2 2 ln t 2 ln ax b 2 a a t a a a a 1 2 ax b b ln ax b a
积分方法常见的技巧
我们用我们新学的办法来推出一些新公式： 7 tan xdx ln cos x C
sin x 1 1 tan xdx cos x dx cos x d cos x cos x d cos x 令 cos x u，则 1 原式= du ln u C ln cos x C u
我们分部份来计算，由公式（17），得到
1 a2 1 2 ax b dx = 2a3 ax b C
1 2abx 2b ax 2b ax b b 2b 2b2 1 dx 2 dx 3 dax 2 dx 3 d ax b 2 a ax b a ax b a ax a a ax b 2bx 2b2 2 3 ln ax b C a a
t g 1 x
这种方法我们称为第二类换元法。 注意：上面公式有一定的成立条件的： 1.f ( g (t )) g '(t ) 有原函数。 2.x g (t ) 有反函数。
3.分部积分法 这个方法既是最好理解的，又是最难运用的：
uv 'dx udv vu vdu
不定积分的定义
不定积分的定义不定积分是微积分中重要的概念之一，可以用来求出函数的原函数。
这篇文章旨在介绍不定积分的定义，以及如何求解不定积分。
不定积分定义不定积分的定义是：设f(x)是定义在区间I上的一个函数，如果存在一个函数F(x)，使得对于区间内任意一点x∈I，都有F'(x) = f(x)，那么F(x)就是f(x)在区间I上的一个原函数，记作：∫ f(x) dx = F(x) + C其中C是任意常数，称为“积分常数”。
不定积分的求解方法在求解不定积分时，我们需要先找到f(x)的原函数F(x)，然后将F(x)加上一个任意常数C，即可得到函数的不定积分。
但是，F(x)的求解并不总是容易的，有时需要使用一些技巧和公式。
下面介绍一些常用的求解不定积分的方法：1. 直接求导数对于一些常见的函数，我们可以根据其求导数的知识来求解其不定积分。
例如，我们知道sin(x)的导数是cos(x)，那么sin(x)的不定积分就是-cos(x) + C。
2. 代换法有时候，我们可以通过代换来简化不定积分的求解。
例如，当需要求解∫2x(1+x^2)dx时，我们可以将1+x^2看做一个整体，令u = 1+x^2，那么dx = du/2x，将其代入原式中得到：∫2x(1+x^2)dx = ∫u du = (u^2/2) + C = (1+x^2)^2/2 + C3. 分部积分法对于一些积分形式为乘积形式的函数，我们可以使用分部积分法来求解其不定积分。
例如，需要求解∫x^2sin(x)dx时，我们可以将其分解为x^2的导数和sin(x)的原函数相乘，即：∫x^2sin(x)dx = -x^2cos(x) + 2∫xcos(x)dx对于∫xcos(x)dx，我们仍然可以使用分部积分法，将x看做一个整体，cos(x)的原函数为sin(x)，以此类推。
最终得到：∫x^2sin(x)dx = -x^2cos(x) + 2xsin(x) + 2cos(x) + C4. 三角换元法三角换元法是一种常用的代换方法，在需要求解一些三角函数的不定积分时特别有用。
数学分析(第81节不定积分概念与基本积分公式)
详细描述
直接积分法基于不定积分的定义，通 过凑微分、变量替换等方式将不定积 分转化为定积分，从而求得原函数。
换元积分法
总结词
换元积分法是通过引入新的变量 来简化不定积分的方法。
详细描述
换元积分法通过引入新的变量， 将复杂的不定积分转化为简单的 不定积分，从而方便求解。常用 的换元方法有三角换元和倒代换
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公式示例
对于不定积分 $int x sin x dx$，分部积分法得到原函数 $x cos x - int cos x dx$。
03
不定积分的应用
解决实际问题
物理问题
不定积分在解决物理问题中有着 广泛的应用，如求变速运动的位 移、速度和加速度，以及求解热
传导方程等。
工程问题
在工程领域中，不定积分常被用于 解决各种实际问题，如求解流体动 力学中的压力分布、求解弹性力学 中的应力分布等。
直接积分法
利用基本初等函数的积分 公式和性质进行计算。
换元积分法
通过引入中间变量进行换 元，将复杂函数的不定积 分转化为简单函数的不定 积分。
分部积分法
将两个函数的乘积进行不 定积分，转化为分别对两 个函数进行不定积分后再 相减。
不定积分的几何意义
水平切线
不定积分表示函数图像上 方的面积，其几何意义是 曲线下的面积。
斜率
不定积分表示曲线在某一 点的切线的斜率，即该点 的导数值。
速度与加速度
不定积分可用于描述物理 中的速度和加速度，以及 工程中的流量和压力等实 际问题。
02
基本积分公式
直接积分法
总结词
公式示例
直接积分法是最基本的积分方法，通 过将不定积分转化为定积分来求解。
3-1不定积分的概念和性质
注意 根据定理1，若 F ( x) 是 f ( x) 的一个原函数
则 f ( x) 的不定积分为
ò f ( x) dx = F ( x) + C.
结论：
（1）一个函数的原函数不惟一，且有无穷多个。
（2）同一函数的原函数之间只相差一个常数。
（3）若 F(x) 为
的一个原函数，则 F(x) C
(9)
ò
1 dx = arcsin x + C = - arccos x + C 1- x2
1
(10) ò 1+ x2 dx = arctan x + C = - arccot x + C
(11) ò sec x tan xdx = sec x + C
(12) ò csc x cot xdx = - csc x + C
2
d
x a
1 a
arctan
x a
C.
例 11
1 dx (a 0) a2 x2
1
1
x a
2
d
x a
arcsin
x a
C
.
例 12
1 x2 a2 dx
1 2a
x
1
一奇一偶，则 将奇次方的函
数拆出一个，
sin2 x cos4 x cos xdx 凑成另一个的
微分
sin2 x
1 sin2 x
2
不定积分的概念与性质
1 1 dx dx 2 2 x 1 x
(8)原式=
2 2 1 x x
x 2 1 x 2
1 1 1 dx 2 dx arctan x C 2 x x 1 x
(9)原式=
2 1+ x 1
例：
sin x cos x ，
sin x 是 cos x 的一个原函数；
2 x 2 x ， x2 是 2 x 的一个原函数；
问题讨论:
1. 具备什么条件的函数才有原函数？ 定理5.2(原函数存在定理) 存在原函数 ．即：连续函数必有原函数！(下章证明) 初等函数在定义区间上连续
4
机动
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1+2x 2 ( 7) 2 dx 2 x 1 x
1 (8) 2 dx 2 x 1 x
2 2 1+ x x
x2 (9) dx 2 1 x
解： (7)原式
x 2 1 x 2 1 arctan x C x
4 x3 3x 2 5 x 1 (4) dx x
3 1 2 2 (3)解：原式 2 x 2 x x 1 dx 5 3 2 2 2 2 2 2 x x x x C 5 3
1 2 (4)解：原式 4 x 3 x 5 dx x 1 3 1 2 4 x 3 x 5 x ln x C 3 2
1 1 x (1 x 2 ) dx dx dx (5) 解: 原式 = 2 2 x 1 x x(1 x )
arctan x ln x C
1不定积分概念与基本积分公式
第八章 不定积分§1不定积分的概念与基本积分公式教学目标：通过本节内容的学习，达到以下教学目标与要求： 一级目标：熟练掌握不定积分及原函数的概念 二级目标：掌握一些简单的不定积分的计算方法教学内容和重、难点：1. 不定积分2. 原函数3. 不定积分的简单计算 重点：不定积分难点：不定积分的计算教学方法和教具使用：讲授法。
教学过程：一、原函数与不定积分定义1 设在区间I 上有()()F x f x '=，则称()F x 为()f x 在区间I 上的一个原函数. 如：()()sin cos ,,x x x '=∈-∞+∞，sin x ∴是cos x 在区间(),-∞+∞上的一个原函数.定理8.1 若()f x 在区间I 上连选，则函数()f x 在区间I 上存在原函数.定理8.2 设函数()f x 在区间I 上存在原函数，()F x 是()f x 在区间I 上的一个原函数，则()f x 的原函数的一般表达式为()F x C +，其中C 为任意常数. 证 因为()F x 是()f x 在区间I 上的一个原函数，所以，()(),.F x f x x I '=∈于是，对任意常数C ，有()()()F x C F x f x ''+==⎡⎤⎣⎦， 故对任意常数C ，()F x C +为函数()f x 在区间I 上的一个原函数. 反之，设()G x 为()f x 在区间I 上的任意一个原函数，则()()G x f x '=，.x I ∈故()(),.F x G x x I ''=∈从而存在常数C ，使得()().G x F x C =+定义2 函数()f x 在区间I 上原函数的一般表达式，称为()f x 在区间I 上的不定积分，记作(),f x dx ⎰其中⎰程为积分符合，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x 称为积分变量.根据不定积分的定义，若()F x 是()f x 在区间I 上的一个原函数，则()().f x dx F x C =+⎰求出C 称为积分常数.如231cos sin ,.3xdx x C x dx x C =+=+⎰⎰易知，()()()(),.f x dx f x d f x dx f x dx '⎡⎤=⎣⎦=⎰⎰ 二、基本积分表 1.0.dx C =⎰2..dx x C =+⎰3.()111x x dx C αααα+=+≠-+⎰. 4.1ln .dx x C x =+⎰5.x xe dx e C =+⎰.6.()0,1ln xxa a dx C a a a=+>≠⎰. 7.cos sin xdx x C =+⎰. 8.sin cos .xdx x C =-+⎰9.2sec tan .xdx x C =+⎰10.2csc cot .xdx x C =-+⎰11.sec tan csc .x xdx x C ⋅=-+⎰ 12.csc cot csc .x xdx x C ⋅=-+⎰13.arcsin .x C =+14.2arctan .1dxx C x =++⎰定理8.3 设()f x 和()g x 在区间I 上都存在原函数，则 1）()()()()f x g x dx f x dx g x dx ±=±⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰；2）()()()0.kf x dx k f x dx k =≠⎰⎰例1 求函数()1011nn n n p x a x a xa x a --=++++的不定积分.（自学）例2 ()()2244222222231121121112121112arctan .3x x x x dx dx x x x dx x dx x dx dx x x x x x C +-++-+==+++⎛⎫=-+=-+ ⎪++⎝⎭=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 例3()222222222222sin cos 11cos sin cos sin cos sin seccsc sec csc tan cot .dx x x dx dx x x x x x x x x dx xdx xdxx x C +⎛⎫==+⎪⎝⎭+=+=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰例4 求不定积分cos3sin .x xdx ⋅⎰（注：这个题应该放在换元积分法后面讲）例5()()()()()()()2222222221010101021010210102110102.2ln10xx xxxxxxx x dx dxdx dx dx dx x C ------=+-⎡⎤=+-=+-⎢⎥⎣⎦=--+⎰⎰⎰⎰⎰⎰作业及习题选解p1817.设()2arctan f x x '=，求().f x解 由()2arctan f x x '=知()2tan f x x '=，因此()()22tan sec 1tan .f x xdx x dx x x C ==-=-+⎰⎰另解：因为()()21arctan arctan 1f x f x x ''=⋅⎡⎤⎣⎦+，所以 ()()()2arctan 1arctan .f x x f x ''=+⎡⎤⎣⎦因()2arctan f x x '=，故()()()22221arctan ,arctan .1x x f x x f x x ''+==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+于是()()()2221arctan 1arctan 11tan arctan arctan ,tan ,tan .x f x dx dx x x C x x x x C f u u u C f x x x C ⎛⎫==-=-+ ⎪++⎝⎭=-+=-+=-+⎰⎰。
5.3 不定积分的概念与性质
1 3 = x x + arctan x + C 3 1 + 2x2 dx . 练习: 练习: 求积分 ∫ 2 2 x (1 + x )
例9 求积分 ∫ 解
1 dx . 1 + cos 2 x
1 1 1 dx = 1 ∫ 1 + cos 2 x ∫ cos 2 x dx = 2 tan x + C . 2
n
则
∫ f (x)dx = ∑ki ∫ fi (x)dx i=1
例5. 求
[(2e)x 5 2x )dx 解: 原式 = ∫
(2e)x 2x = +C 5 ln(2e) ln 2
ex 5 x =2 +C ln 2 +1 ln 2
3 2 )dx . 练习: 练习: 求积分 ∫ ( 2 2 1+ x 1 x
= sec x + csc x
2 2
6. 求不定积分 解：
(e2x ex +1)
7. 已知 求A,B.
∫
x2 1 x2
dx = Ax 1 x + B∫
2
dx 1 x2
解: 等式两边对 x 求导, 得
x2 1 x2
= A 1 x
2
Ax2 1 x2
+
B 1 x2
1 x2 A+ B = 0 ∴ 2A =1
ex dx = ex + C ∫
x
(12)
a +C (13) ∫ a dx = ln a
x
ex ex sh x = 2 ex + ex ch x = 2
(14)
(15)
∫sh xdx = ch x+ C
不定积分的概念与性质
x
c
(6)
sin 2
1 x cos2
x
dx
sin2 x cos2 x sin2 x cos2 x dx
1 ( cos2
x
1 sin 2
x
)dx
tan
x
cot
x
c
知识回顾 Knowledge Review
祝您成功！
四、不定积分的性质 性质1 求不定积分与求导数（或微分）互为逆运算
（1） [ f (x)dx] f (x) 或 d f (x)dx f (x)dx
（2） F(x)dx F(x) C 或 dF(x) F(x) C
性质2 kf (x)dx k f (x)dx (k 0)
性质3 ( f (x) g(x))dx f (x)dx g(x)dx
dx
x arctan x C
(2)
1 x2 (1
2x2 x2
)
dx
(1 x2 ) x2 x2 (1 x2 ) dx
1 ( x2
1
1 x2
)dx
1 arctan x C x
(3)
sin2
x 2
dx
1
cos 2
x
dx
1 2
(1 cos x)dx
1 (x sin x) c 2
(1
cos
x)dx
1 (x sin x) c 2
【作业】 求不定积分
(1) x x dx
1 e2x
(3) 1 ex dx
x4
(5) x2 1 dx
(2) 1 x x2 dx x(1 x2 ) 1
(4) x2 (x2 1) dx
1
(6) sin2 x cos2 x dx
同济大学(高等数学)-第四章-不定积分
第四章 不定积分前面讨论了一元函数微分学，从本章开始我们将讨论高等数学中的第二个核心内容：一元函数积分学．本章主要介绍不定积分的概念与性质以及根本的积分方法．第1节 不定积分的概念与性质1.1 不定积分的概念在微分学中，我们讨论了求一个函数的导数〔或微分〕的问题，例如，变速直线运动中位移函数为()s s t =， 那么质点在时刻t 的瞬时速度表示为()v s t '=．实际上，在运动学中常常遇到相反的问题，即变速直线运动的质点在时刻t 的瞬时速度()v v t =，求出质点的位移函数()s s t =．即函数的导数，求原来的函数．这种问题在自然科学和工程技术问题中普遍存在．为了便于研究，我们引入以下概念．1.1.1原函数定义1 如果在区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()f x ，即对任一x I ∈，都有()()F x f x '= 或 d ()()d F x f x x =， 那么函数()F x 就称为()f x 在区间I 上的原函数．例如，在变速直线运动中，()()s t v t '=，所以位移函数()s t 是速度函数()v t 的原函数； 再如，(sin )'cos x x =，所以sin x 是cos x 在(,)-∞+∞上的一个原函数．1(ln )'(0),x x x=>所以ln x 是1x在(0,)+∞的一个原函数． 一个函数具备什么样的条件，就一定存在原函数呢？这里我们给出一个充分条件．定理1 如果函数()f x 在区间I 上连续，那么在区间I 上一定存在可导函数()F x ，使对任一∈x I 都有()()'=F x f x ．简言之，连续函数一定有原函数．由于初等函数在其定义区间上都是连续函数，所以初等函数在其定义区间上都有原函数．定理1的证明，将在后面章节给出. 关于原函数，不难得到下面的结论：假设()()'=F x f x ，那么对于任意常数C ，()+F x C 都是()f x 的原函数．也就是说，一个函数如果存在原函数，那么有无穷多个．假设()F x 和()φx 都是()f x 的原函数，那么[()()]0'-≡F x x φ，必有()()φ-F x x =C ,即一个函数的任意两个原函数之间相差一个常数．因此我们有如下的定理：定理2 假设()F x 和()φx 都是()f x 的原函数，那么()()-=F x x C φ〔C 为任意常数〕． 假设()()'=F x f x ，那么()+F x C 〔C 为任意常数〕表示()f x 的所有原函数．我们称集合{}()|F x C C +-∞<<+∞为()f x 的原函数族．由此，我们引入下面的定义．1.1.2不定积分定义2 在区间I 上，函数()f x 的所有原函数的全体，称为()f x 在I 上的不定积分， 记作()d ⎰f x x ．其中⎰称为积分号，()f x 称为被积函数，()d f x x 称为被积表达式，x 称为积分变量． 由此定义，假设()F x 是()f x 的在区间I 上的一个原函数，那么()f x 的不定积分可表示为()d ()=+⎰f x x F x C ．注 〔1〕不定积分和原函数是两个不同的概念，前者是个集合，后者是该集合中的一个元素．〔2〕求不定积分，只需求出它的某一个原函数作为其无限个原函数的代表，再加上一个任意常数C ．例1 求23d x x ⎰．解 因为32()3,'=x x 所以233d x x x C =+⎰．例2 求sin cos d x x x ⎰．解 〔1〕因为2(sin )2sin cos ,'=x x x 所以21sin cos d sin 2x x x x C =+⎰．〔2〕因为2(cos )2cos sin ,'=-x x x 所以21sin cos d cos 2x x x x C =-+⎰． 〔3〕因为(cos 2)2sin 24sin cos ,'=-=-x x x x 所以1sin cos d cos 24=-+⎰x x x x C ． 例3 求1d x x⎰． 解 由于0x >时，1(ln )'=x x ，所以ln x 是1x在(0,)+∞上的一个原函数，因此在(0,)+∞内，1d ln x x C x=+⎰．又当0x <时，[]1ln()x x '-=，所以ln()-x 是1x在(,0)-∞上的一个原函数，因此在(,0)-∞内，1d ln()=-+⎰x x C x ．综上，1d ln x x C x=+⎰．例4 在自由落体运动中，物体下落的时间为t ，求t 时刻的下落速度和下落距离． 解 设t 时刻的下落速度为()=v v t ，那么加速度d ()d va t g t==〔其中g 为重力加速度〕． 因此()()d d v t a t t g t gt C ===+⎰⎰，又当0t =时，(0)0=v ，所以0C =．于是下落速度()=v t gt ． 又设下落距离为()=s s t ，那么ds()dt=v t ．所以 21()()d d 2===+⎰⎰s t v t t gt t gt C ， 又当0t =时，(0)0=s ，所以0C =．于是下落距离21()2=s t gt ． 1.1.3不定积分的几何意义设函数()f x 是连续的，假设()()F x f x '=，那么称曲线()y F x =是函数()f x 的一条积分曲线．因此不定积分()d ()f x x F x C =+⎰在几何上表示被积函数的一族积分曲线．积分曲线族具有如下特点〔如图4.1〕：〔1〕积分曲线族中任意一条曲线都可由其中某一条平移得到；〔2〕积分曲线上在横坐标相同的点处的切线的斜率是相同的，即在这些点处对应的切线都是平行的．图4-1例5 设曲线通过点(1,2)，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程．解 设曲线方程()=y f x ，曲线上任一点(,)x y 处切线的斜率d 2d yx x=，即()f x 是2x 的一个原函数．因为22d =+⎰x x x C ，又曲线过(1,2)，所以21C =+，1C =．于是曲线方程为21y x =+．1.2 根本积分公式由定义可知，求原函数或不定积分与求导数或求微分互为逆运算， 我们把求不定积分的运算称为积分运算．既然积分运算与微分运算是互逆的，那么很自然地从导数公式可以得到相应的积分公式．例如，因11x μμ+'⎛⎫ ⎪+⎝⎭=x μ，所以11x x dx C μμμ+=++⎰〔1μ≠-〕． 类似可以得到其他积分公式，下面一些积分公式称为根本积分公式． ①d k x kx C =+⎰〔k 是常数〕; ②1d 1x x x C μμμ+=++⎰〔1μ≠-〕;③1d ln x x C x=+⎰; ④sin d cos x x x C =-+⎰; ⑤cos d sin x x x C =+⎰; ⑥221d sec d tan cos x x x x C x==+⎰⎰; ⑦221d csc d cot sin x x x x C x==-+⎰⎰; ⑧sec tan d sec x x x x C =+⎰; ⑨csc cot d csc x x x x C =-+⎰; ⑩21d arctan C 1x x x =++⎰，21d cot 1x arc x C x -=++⎰;⑪arcsin x x C =+，arccos x x C =+⎰;⑫e d e x x x C =+⎰;⑬d ln xxa a x C a=+⎰;以上13个根本积分公式，是求不定积分的根底，必须牢记．下面举例说明积分公式②的应用．例6求不定积分x x ⎰．解xx ⎰52d x x =⎰512512x C +=++7227x C =+． 以上例子中的被积函数化成了幂函数x μ的形式，然后直接应用幂函数的积分公式②求出不定积分．但对于某些形式复杂的被积函数，如果不能直接利用根本积分公式求解，那么可以结合不定积分的性质和根本积分公式求出一些较为复杂的不定积分．1.3 不定积分的性质根据不定积分的定义，可以推得它有如下两个性质．性质1 积分运算与微分运算互为逆运算〔1〕()d ()'⎡⎤=⎣⎦⎰f x x f x 或d ()d ()d ⎡⎤=⎣⎦⎰f x x f x x ． 〔2〕()d ()'=+⎰F x x F x C 或d ()()=+⎰F x F x C 性质2 设函数()f x 和()g x 的原函数存在，那么[]()()d ()d ()d +=+⎰⎰⎰f x g x x f x x g x x ．易得性质2对于有限个函数的都是成立的．性质3 设函数()f x 的原函数存在，k 为非零的常数，那么()d =⎰kf x x ()d ⎰k f x x ．由以上两条性质，得出不定积分的线性运算性质如下：[]()()d ()d ()d +=+⎰⎰⎰kf x lg x x k f x x l g x x ．例7 求23d 1⎛⎫+⎝⎰x x． 解23d 1⎛⎫+⎝x x213d 21x x x =-+⎰3arctan x =2arcsin x -C +．例8 求221d (1)+++⎰x x x x x ．解 原式=22(1)d (1)+++⎰x x x x x 211d 1x x x ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭⎰3arctan 3x x x C =-++． 例9 求2e d x x x ⎰．解 原式(2e)d xx =⎰1(2e)ln 2exC =+2e 1ln 2x x C =++． 例10 求1d 1sin x x+⎰．解 1d 1sin x x+⎰()()1sin d 1sin 1sin xx x x -=+-⎰21-sin d cos x x x=⎰ 2(sec sec tan )d =-⎰x x x x tan sec x x C =-+．例11 求2tan d x x ⎰．解 2tan d x x ⎰=2(sec 1)d tan -=-+⎰x x x x C ．注 本节例题中的被积函数在积分过程中，要么直接利用积分性质和根本积分公式，要么将函数恒等变形再利用积分性质和根本积分公式，这种方法称为根本积分法．此外，积分运算的结果是否正确，可以通过它的逆运算〔求导〕来检验，如果它的导函数等于被积函数，那么积分结果是正确的，否那么是错误的．下面再看一个抽象函数的例子：例12 设22(sin )cos '=f x x ，求()f x ？解 由222(sin )cos 1sin '==-f x x x ，可得()1'=-f x x ， 从而21()2=-+f x x x C ．习题4-11．求以下不定积分．〔1〕41d x x⎰； 〔2〕x ⎰； 〔3〕； 〔4〕()2d ax b x -⎰；〔5〕22d 1x x x +⎰； 〔6〕4223d 1x x x x +++⎰；〔7〕x ； 〔8〕22d 1x x⎛⎫+⎝⎰； 〔9〕32e d x x x⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰； 〔10〕()22d 1x xx+⎰；〔11〕x ；〔12〕2tan d x x ⎰； 〔13〕2sin d 2xx ⎰；〔14〕cos 2d cos sin x xx x-⎰；〔15〕21cos d 1cos 2xx x++⎰； 〔16〕()sec sec tan d x x x x +⎰；〔17〕2352d 3x xxx ⋅-⋅⎰；〔18〕x ．2．某产品产量的变化率是时间t 的函数，()=+f t at b 〔a ，b 为常数〕．设此产品的产量函数为()p t ，且(0)0=p ，求()p t ．3．验证12arcsin(21)arccos(12)=-+=-+x C x C 3C =． 4．设33()d f x x x C '=+⎰，求()f x ？第2节 换元积分法和不定积分法2.1 换元积分法上一节介绍了利用根本积分公式与积分性质的直接积分法，这种方法所能计算的不定积分是非常有限的．因此，有必要进一步研究不定积分的求法．这一节，我们将介绍不定积分的最根本也是最重要的方法——换元积分法，简称换元法．其根本思想是：利用变量替换，使得被积表达式变形为根本积分公式中的形式，从而计算不定积分． 换元法通常分为两类，下面首先讨论第一类换元积分法．2.1.1第一类换元积分法定理1 设()f u 具有原函数，()=u x ϕ可导，那么有换元公式()[()]()d ()d =⎡⎤'=⎣⎦⎰⎰u x f x x x f u u ϕϕϕ． 〔4.2.1〕证明 不妨令()F u 为()f u 的一个原函数,那么[]()()d ()=⎡⎤=+⎣⎦⎰u x f u u F x C ϕϕ．由不定积分的定义只需证明([()])[()]()''=F x f x x ϕϕϕ，利用复合函数的求导法那么显然成立．注 由此定理可见，虽然不定积分[()]()d '⎰f x x x ϕϕ是一个整体的记号，但从形式上看，被积表达式中的d x 也可以当做自变量x 的微分来对待．从而微分等式()d d '=x x u ϕ可以方便地应用到被积表达式中．例1 求33e d x x ⎰．解 3333e d e (3)d e d(3)x x x x x x x '=⋅=⎰⎰⎰e d =⎰u u e =+u C ， 最后，将变量3u x =代入，即得333ed e xx x C =+⎰．根据例1第一类换元公式求不定积分可分以下步骤:〔1〕将被积函数中的简单因子凑成复合函数中间变量的微分； 〔2〕引入中间变量作换元；〔3〕利用根本积分公式计算不定积分； 〔4〕变量复原．显然最重要的是第一步——凑微分，所以第一类换元积分法通常也称为凑微分法．例2 求()9945d x x +⎰．解 被积函数9945（）+x 是复合函数，中间变量45=+u x ，45（）=4'+x ，这里缺少了中间变量u 的导数4，可以通过改变系数凑出这个因子：99999911(45)d (45)(45)d (45)d(45)44'+=⋅+⋅+=++⎰⎰⎰x x x x x x x 991d 4=⎰u u 1001001(45)4100400+=⋅+=+u x C C ．例3 求22d xx x a +⎰． 解221x a+为复合函数，22u x a =+是中间变量，且222x a x '+=（）， 22222222221111d ()d d()22'=⋅+=++++⎰⎰⎰x x x a x x a xax a x a 221111d ln ln()222==+=++⎰u u C x a C u ． 对第一类换元法熟悉后，可以整个过程简化为两步完成．例4 求x ⎰．解 322211)(1)23=--=--+⎰x x x C ．注 如果被积表达式中出现()d +f ax b x ，-1()d ⋅m m f x x x ，通常作如下相应的凑微分：1()d ()d()+=++f ax b x f ax b ax b a ， 111()d ()d()-+=⋅++n n n n f ax b x x f ax b ax b a n．例5 求1d (12ln )x x x +⎰．解 因为1d d ln x x x=，亦即11d d(1+2ln )2x x x=，所以1111d d ln d(1+2ln )(12ln )12ln 212ln x x x x x x x==+++⎰⎰⎰ 1ln 1+2ln 2x C =+． 例6 求arctan 22d 1xx x +⎰．解 因为21d d arctan 1x x x =+，所以 arctan arctan arctan 222d 2d arctan ln 21x x xx x C x ==++⎰⎰．例7 求x ．解x =x C ==-⎰．在例4至例7中，没有引入中间变量，而是直接凑微分．下面是根据根本微分公式推导出的常用的凑微分公式．①x=②211d d x x x=-．③1d dln x x x=． ④e d de x x x =．⑤ cos d d sin x x x =． ⑥ sin d d cos x x x =-． ⑦221d sec d d tan cos ==x x x x x． ⑧ 221d csc d d cot sin =-=-x x x x x．d(arcsin )d(arccos )x x x ==-．⑩21d d(arctan )d(arccot )1x x x x ==-+． 在积分的运算中，被积函数有时还需要作适当的代数式或三角函数式的恒等变形后，再用凑微分法求不定积分．例8 求221d x a x +⎰． 解 将函数变形2222111.1a x a x a =+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由d d x x a a=，所以得到221d x a x +⎰2111darctan 1x xC aa a ax a ==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰． 例9求x ． 解1x x x aa ⎛⎫==⎪⎝⎭ arcsinxC a=+． 例10 求tan d x x ⎰． 解 tan d x x ⎰=sin d d cos ln cos cos cos x x xx C x x-==-+⎰⎰． 同理，我们可以推得cot d ln sin x x x C =+⎰．例11 求3sin d x x ⎰．解 3222sin d sin sin d sin dcos (1-cos )dcos x x x x x x x x x ==-=-⎰⎰⎰⎰31cos cos 3x x C =-++．例12 求23sin cos d x x x ⎰．解 232222sin cos d sin cos cos d sin cos dsin x x x x x x x x x x ==⎰⎰⎰2224sin (1sin )dsin (sin sin )dsin x x x x x x =-=-⎰⎰3511sin sin 35x x C =-+． 例13 求2sin d x x ⎰． 解 21cos 211sin d d sin 2224x x x x x x C -==-+⎰⎰． 例14 求sec d x x ⎰． 解 12211sec d d cos d cos d sin d sin cos 1sin x x x x x x x x x x--====-⎰⎰⎰⎰⎰ 1sin 1ln ln sec tan 2sin 1x C x x C x +=+=++-． 同理，我们可以推得csc d ln csc cot x x x x C =--+⎰．注 对形如sin cos d m n x x x ⎰的积分，如果m ，n 中有奇数，取奇次幂的底数〔如n 是奇数，那么取cos x 〕与d x 凑微分，那么被积函数一定能够变形为关于另一个底数的多项式函数，从而可以顺利的计算出不定积分;如果m ，n 均为偶数，那么利用倍角〔半角〕公式降幂，直至将三角函数降为一次幂，再逐项积分．例15 求sin 2cos3d x x x ⎰． 解 sin 2cos3d x x x ⎰=11sin 5d sin d 22x x x x -⎰⎰=11cos5cos 102x x C -++ =11cos cos5210x x C -+． 一般的，对于形如以下形式sin cos d mx nx x ⎰， sin sin d mx nx x ⎰， cos cos d mx nx x ⎰，的积分〔m n ≠〕，先将被积函数用三角函数积化和差公式进行恒等变形后，再逐项积分．例16 求221d x x a -⎰． 解 因为 2211111()()2⎛⎫==- ⎪-+-+-⎝⎭x a x a a x a x a x a， 所以 221111111d d d d 22⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪-+-+-⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰x x x x a x a x a a x a x a x a111d()d()2x a x a a x a x a ⎛⎫=--+ ⎪-+⎝⎭⎰⎰ ()11ln ln ln 22x a x a x a C C a a x a-=--++=++． 这是一个有理函数〔形如()()P x Q x 的函数称为有理函数，()P x ，()Q x 均为多项式〕的积分，将有理函数分解成更简单的局部分式的形式，然后逐项积分，是这种函数常用的变形方法．下面再举几个被积函数为有理函数的例子．例17 求23d 56x x x x +-+⎰．解 先将有理真分式的分母256x x -+因式分解，得256-+=x x (2)-x (3)-x ．然后利用待定系数法将被积函数进行分拆．设232356x A B x x x x +=+---+=(3)(2)(2)(3)-+---A x B x x x ， 从而 3(3)(2)+=-+-x A x B x ， 分别将3,2x x ==代入3(3)(2)+=-+-x A x B x 中，易得56A B =-⎧⎨=⎩．故原式=56d 23x x x -⎛⎫+⎪--⎝⎭⎰=5ln 26ln 3x x C --+-+． 例18 求33d 1x x +⎰． 解 由321(1)(1)+=+-+x x x x ， 令323111A Bx Cx x x x +=+++-+， 两边同乘以31x +，得23(1)()(1)=-++++A x x Bx C x ．令1,x =-得1A =；令0,x =得2C =；令1x =，得1B =-． 所以32312111x x x x x -+=+++-+． 故3223121213d d ln 1d 12111-+--⎛⎫=+=+- ⎪++-+-+⎝⎭⎰⎰⎰x x x x x x x x x x x x =2221d 1d(1)32ln 12211324x x x x x x x ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭+-+-+⎛⎫-+⎪⎝⎭⎰⎰．21=ln 1ln(1).2x x x C +--+++2.1.2 第二类换元积分方法定理2 设()=x t ψ是单调，可导的函数，并且()0'≠t ψ，又设[]()()'f t t ψψ具有原函数，那么有换元公式，[]1()()d ()()d -=⎡⎤'=⎣⎦⎰⎰t x f x x f t t t ψψψ，其中，1()-x ψ是()=x t ψ的反函数．证明 设[]()()'f t t ψψ的原函数为()t φ．记1()()-⎡⎤=⎣⎦x F x φψ，利用复合函数及反函数求导法那么得[][]d d 1()()()()()d d ()''=⋅=⋅=='t F x f t t f t f x t x t φψψψψ， 那么()F x 是()f x 的原函数．所以11()()d ()[()][()]()d --=⎡⎤'=+=+=⎣⎦⎰⎰t x f x x F x C x C f t x t ψφψψψ．利用第二类换元法进行积分，重要的是找到恰当的函数()=x t ψ代入到被积函数中，将被积函数化简成较容易的积分，并且在求出原函数后将1()t x ψ-=复原．常用的换元法主要有三角函数代换法、简单无理函数代换法和倒代换法．一、三角函数代换法例19 求22d a x x -⎰(0)>a ．解 设ππsin ,,22x a t t ⎛⎫=∈- ⎪⎭⎝，22cos a x a t -=，d cos d x a t t =，于是22d a x x -⎰=2222cos cos d cos d sin cos 22a a a t a t t a t t t t t C ⋅==++⎰⎰．因为 ππsin ,,22x a t t ⎛⎫=∈- ⎪⎭⎝，所以arcsin ,xt a = 为求出cos t ，利用sin xt a=作辅助三角形〔图4-2〕，求得22cos a x t a-=， 所以 22222221d d arcsin 22a x a x x a x x x a x C a -=-=+-+⎰⎰．图4-2例20 求22d x x a+⎰(0)>a ．解 令2ππtan ,,,d sec d 22x a t t x a t t ⎛⎫=∈-= ⎪⎭⎝，22d xx a +⎰=21cos sec d sec d ln sec tan t a t t t t t t C a ⋅==++⎰⎰． 利用tan xt a=作辅助三角形〔图4-3〕，求得 22ππsec ,,22x a t t a +⎛⎫=∈- ⎪⎭⎝ 所以 ()2222122d ln ln xx x a c x x a C a ax a ⎛⎫+ ⎪=++=+++ ⎪+⎝⎭⎰．图4-3例21 求22x a-(0)>a ．解 当x a >时，令πsec ,0,,d sec tan d 2x a t t x a t t t ⎛⎫=∈=⋅ ⎪⎭⎝，22x a -=11cot sec tan d sec d ln sec tan t a t t t t t t t C a⋅⋅⋅==++⎰⎰．利用cos at x=作辅助三角形〔图4-4〕，求得22tan x a t -=所以 (2222122lnln x x a C x x a C aax a -=+=+-+-，1(ln )C C a =-． 当x a <-时，令x u =-那么u a >，由上面的结果，得((2222112222ln ln u u a C x x a C x a u a =-=-+=---+--=(221,(2ln )x x a C C C a --+=-． 综上，2222ln x x a C x a =-+-．图4-4注 22a x -22a x +22x a -换元：sin x a t =，tan x a t =，sec x a t =±将根号化去．但是具体解题时，要根据被积函数的具体情况，选取尽可能简捷的代换，不能只局限于以上三种代换．二、简单无理函数代换法 例22 求12x+．解 令22,,d d 2u u x x x u u ===，12x +=d 11d 11u u u u u ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭⎰⎰(ln 12ln 12u u C x x C =-+++． 例23 求3(1+)x x．解 被积函数中出现了两个不同的根式，为了同时消去这两个根式，可以作如下代换： 令6t x =6x t =，5d 6d x t t =，从而522322361d 6d 61d (1)11(1+)t t t t t t t t t x x ⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰ 666(arctan )6()t t C x x C =-+=+．例24 求211d xx x x +． 解 为了去掉根式，作如下代换：1x t x +=，那么211x t =-，222d d (1)t x t t =--，从而222222112d (1)d 2d (1)x t x t t t t t x x t +-=-⋅=--⎰⎰ 32322133x t C C x +⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭． 一般的，如果积分具有如下形式〔1〕()d n R x ax b x +⎰，那么作变换n t ax b +〔2〕(,)d n m R x ax b ax b x ++⎰，那么作变换pt ax b +p 是m ，n 的最小公倍数；〔3〕(R x x ⎰，那么作变换t = 运用这些变换就可以将被积函数中的根数去掉，被积函数就化为有理函数． 三、倒代换法在被积函数中如果出现分式函数，而且分母的次数大于分子的次数，可以尝试利用倒代换，即令1x t=，利用此代换，常常可以消去被积函数中分母中的变量因子x ．例25 求6d (1)+⎰xx x ．解 令211,d d x x t tt ==-， 6d (1)+⎰x x x =52661d d 1111t t t t t t t -=-+⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭⎰⎰661d(1)61+=-+⎰t t 61ln 16t C =-++ 611ln 16C x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭． 例26求x ． 解 设211,d d ,x x t tt ==-则 于是1222241d (1)d ⎫=-=--⎪⎝⎭⎰x t a t t t t t , 当0x >时，有31222222222231()(1)d(1)23-=---=-+⎰a x x a t a t C a a x ． 0x <时，结果相同．本例也可用三角代换法,请读者自行求解．四、指数代换 例27 求2d e (e 1)+⎰x x x．解 设1e ,d d ,x t x t t==则 于是222d 1d e (e 1)(1)=++⎰⎰x x x t t t22111d arctan 1t t C t t t ⎛⎫=-=--+ ⎪+⎝⎭⎰--e arctane x x C =--+． 注 本节例题中，有些积分会经常遇到，通常也被当作公式使用．承接上一节的根本积分公式，将常用的积分公式再添加几个〔0a >〕：①tan d ln cos x x x C =-+⎰; ②cot d ln sin x x x C =+⎰; ③cscd x ⎰=ln csc cot x x C -+; ④sec d ln sec tan x x x x C =++⎰; ⑤2211d arctan xx C a a a x=++⎰; ⑥221d xx a -⎰=1ln 2x a C a x a -++; ⑦arcsin xx C a =+>（a 0）;⑧(ln x C =+;⑨ln x C =． 例28 求．解=2arcsin3-=+x C ． 例29 求．解=11ln(222=+x C ． 例30 求解ln 1=-x C ．例31 求322d (22)x x x x -+⎰．解 被积函数为有理函数，且分母为二次质因式的平方，把二次质因式进行配方：2(1)1x -+，令ππ1tan ,,22⎛⎫-=∈- ⎪⎝⎭x t t ，那么2222sec x x t -+=，2d sec d x t t =．所以332224(1tan )d sec d (22)sec x t x t t x x t +=⋅-+⎰⎰23cos (1tan )d t t t =+⎰3(sin cos )d cos t t t t+=⎰ 3122(sin cos 3sin 3sin cos cos )d t t t t t t t -=+++⎰ 2ln cos cos 2sin cos t t t t t C =--+-+．图4-5按照变换ππ1tan ,22x t t ⎛⎫-=∈- ⎪⎝⎭作〔辅助三角形图4-5〕，那么有2cos 22t x x =-+，2sin 22t x x =-+，于是322221d ln(22)2arctan(1)2(22)22x x x x x x C x x x x =-++--+-+-+⎰．2.2 分部积分法前面我们得到了换元积分法．现在我们利用“两个函数乘积的求导法那么〞来推导求积分的另一种根本方法—分部积分法．定理1 设函数()=u u x ，()=v v x 具有连续的导数，那么d d =-⎰⎰u v uv v u ．〔4.2.2〕证明 微分公式d()d d =-uv u v v u 两边积分得d d =-⎰⎰uv u v v u ，移项后得d d =-⎰⎰u v uv v u ．我们把公式〔4.2.2〕称为分部积分公式．它可以将不易求解的不定积分d u v ⎰转化成另一个易于求解的不定积分d v u ⎰．例32 求cos d x x x ⎰．解 根据分部积分公式，首先要选择u 和d v ，显然有两种方式，我们不妨先设,cos d d ,u x x x v == 即sin v x =，那么cosd dsin sin sin d sin cos x x x x x x x x x x x C ==-=++⎰⎰⎰．采用这种选择方式，积分很顺利的被积出，但是如果作如下的选择： 设cos ,d d ,u x x x v == 即212v x =，那么222111cos d cos d cos sin d 222x x x x x x x x x x ==-⎰⎰⎰， 比拟原积分cos d x x x ⎰与新得到的积分21sin d 2x x x ⎰，显然后面的积分变得更加复杂难以解出．由此可见利用分部积分公式的关键是恰当的选择u 和d v ．如果选择不当，就会使原来的积分变的更加复杂．在选取u 和d v 时一般考虑下面两点: 〔1〕v 要容易求得；〔2〕d v u ⎰要比d u v ⎰容易求出． 例33 求e d x x x ⎰．解 令,e d d ,e x x u x x v v ===,那么e d de e e d e e x x x x x x x x x x x x C ==-=-+⎰⎰⎰．例34 求2e d x x x ⎰．解 令2,e d d ,e x x u x x v v ===，那么利用分部积分公式得22222e d dee e d e 2e d xxx x x x x x x x x x x x ==-=-⎰⎰⎰⎰，这里运用了一次分部积分公式后，虽然没有直接将积分积出，但是x 的幂次比原来降了一次，e d xx x ⎰显然比2e d xx x ⎰容易积出，根据例4.3.2，我们可以继续运用分部积分公式，从而得到222e d e2e d e 2de xxx x x x x x x x x x =-=-⎰⎰⎰2e 2(e e )x x x x x C =--+ 2e (22)x x x C =-++．注 当被积函数是幂函数与正〔余〕弦或指数函数的乘积时，幂函数在d 的前面，正〔余〕弦或指数函数至于d 的后面．例35 求ln d x x x ⎰． 解 令ln ,u x =21d d 2x x x =，212v x =，那么 222111ln d ln d ln d 22x x x x x x x x x x ⎛⎫==-⋅ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰2211ln 22x x x C ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 22ln 124x x x C =-+．在分部积分公式运用比拟熟练后，就不必具体写出u 和d v ，只要把被积表达式写成d ⎰u v的形式，直接套用分部积分公式即可． 例36 求arctan d x x x ⎰．解 222211arctan d arctan d arctan d 221x x x x x x x x x x ⎛⎫==- ⎪+⎝⎭⎰⎰⎰21(arctan arctan )2=-++x x x x C ． 注 当被积函数是幂函数与对数函数或反三角函数的乘积时，对数函数或反三角函数在d 的前面，幂函数至于d 的后面．下面再来举几个比拟典型的分部积分的例子．例37 求e sin d x x x ⎰．解 〔法一〕e sin d sin de e sin e cos d x x x x x x x x x x ==-⎰⎰⎰e sin cos de x x x x =-⎰=e sin e cos e sin d x x x x x x x --⎰，∴ 1e sin d e (sin cos )2=-+⎰x xx x x x C ． 〔法二〕x e sin d e d(cos )e (cos )cos d(e )=-=-+⎰⎰⎰x x x x x x x x =e cos cos e d e cos e dsin x x x x x x x x x -+=-+⎰⎰ =e cos e sin sin de x x x x x x -+-⎰ =e cos e sin e sin d x x x x x x x -+-⎰，∴ 1e sin d e (sin cos )2=-+⎰x x x x x x C ．当被积函数是指数函数与正〔余〕弦函数的乘积时，任选一种函数凑微分，经过两次分部积分后，会复原到原来的积分形式，只是系数发生了变化，我们往往称它为“循环法〞，但要注意两次凑微分函数的选择要一致．例38 求3sec d x x ⎰．解 32sec d sec d tan sec tan sec tan d x x x x x x x x x ==⋅-⋅⎰⎰⎰3sec tan sec d sec d x x x x x x =⋅+-⎰⎰，利用 1sec d ln sec tan x x x x C =++⎰ 并解方程得3sec d x x ⎰=1(sec tan ln sec tan )2⋅++x x x x +C ．在求不定积分的过程中，有时需要同时使用换元法和分部积分法．例39求x ⎰．解令2,d 2d t t x t t ===，e 2d 2de 2e 2e d 2e 2e t t t t t t x t t t t t t C C ===-=-+=-+⎰⎰⎰⎰．例40 求cos(ln )d x x ⎰． 解 令ln ,e ,d e d t t t x x x t ===，cos(ln )d x x ⎰=()()1cos e d e sin cos sin ln cos ln 22t t xt t t t C x x C ⋅=++=++⎰． 下面再看一个抽象函数的例子．例41 ()f x 的一个原函数是sin xx，求()d '⎰xf x x ？ 解 因为()f x 的一个原函数是sin x x ，所以sin ()d =+⎰xf x x C x， 且 2sin cos sin ()'-⎛⎫==⎪⎝⎭x x x xf x x x ．从而 原式()()d d[()]()d '===-⎰⎰⎰xf x x x f x xf x f x x cos 2sin x x xC x-=+．习题4-2一、求以下不定积分． 1．2014(23)d -⎰x x ； 2．23d (12)-⎰xx ；3．()d +⎰k a bx x 〔0b ≠〕； 4．sin3d x x ⎰； 5．()cos d x x αβ-⎰； 6．tan5d x x ⎰； 7．3e d x x -⎰； 8．210d x x ⎰； 9．121e d x x x⎰；10．2d 19xx +⎰； 11．2d πsin 24x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰；12．x ⎰；13．2(23)d 38--+⎰x xx x ；14．；15．e sin e d x x x ⎰； 16．2e d x x x ⎰； 17．x ； 18．θ；19．；20．22(arctan )d 1+⎰x x x ；21．2d 3x x x+⎰；22．21d 413x x x x -++⎰；23．2cos d x x ⎰； 24．4sin d x x ⎰； 25．1tan d sin 2xx x+⎰； 26．22cos sin d x x x ⎰； 27．3cos d x x ⎰； 28．35sin cos d x x x ⎰； 29．4sec d x x ⎰；30．4tan d x x ⎰； 31．22d sin cos xx x⎰；32．4；33．；34．322d (1)-⎰x x ；35．3322d (1)+⎰x xx ；36．2x ；37．3222d ()+⎰xx a ；38．x ； 39． 40． 41．；42．；43．x ； 44．x ；45．42d xx x -⎰； 46．2d (1)+⎰xx x ．二、求以下不定积分．1．sin 2d x x x ⎰； 2．-(e e )d 2-⎰x x x x ； 3．2cos d x x x ω⎰； 4．2d x x a x ⎰；5．ln d x x ⎰； 6．ln d n x x x ⎰〔1n ≠〕； 7．arctan d x x ⎰； 8．arccos d x x ⎰； 9．e cos d ax nx x ⎰；10．2ln(1)d +⎰x x x ；11．32ln d xx x⎰；12．2(arcsin )d ⎰x x ；13．2cos d x x x ⎰； 14．2tan d x x x ⎰；15．22cos d x x x ⎰； 16．2ln cos d cos xx x⎰；17．3ln d xx x ⎰； 18．x ⎰．三、()f x 的一个原函数是2-e x ，求()d '⎰xf x x .第3节 有理函数的积分3.1 有理函数的积分有理函数的形式:有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数,即具有如下形式的函数: mm m m nn n n b x b x b x b a x a x a x a x Q x P ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++=----11101110)()(,其中m 和n 都是非负整数; a 0,a 1,a 2,⋅⋅⋅,a n 及b 0,b 1,b 2,⋅⋅⋅,b m 都是实数,并且a 0≠0,b 0≠0.当n <m 时,称这有理函数是真分式;而当n ≥m 时,称这有理函数是假分式. 假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式.例如1111)1(1122223++=+++=+++x x x x x x x x . 真分式的不定积分:求真分式的不定积分时,如果分母可因式分解,那么先因式分解,然后化成局部分式再积分.例1 求⎰+-+dxx x x 6532.解⎰+-+dx x x x 6532⎰--+=dx x x x )3)(2(3⎰---=dx x x )2536(⎰⎰---=dx x dx x 2536=6ln|x -3|-5ln|x -2|+C . 提示:)3)(2()32()(23)3)(2(3----++=-+-=--+x x B A x B A x B x A x x x ,A +B =1,-3A -2B =3,A =6,B =-5. 分母是二次质因式的真分式的不定积分: 例2 求⎰++-dxx x x 3222.解⎰++-dx x x x 3222dx x x x x x )3213322221(22++-+++=⎰dx x x dx x x x ⎰⎰++-+++=321332222122 ⎰⎰+++-++++=2222)2()1()1(332)32(21x x d x x x x d C x x x ++-++=21arctan 23)32ln(212. 提示:321332221323)22(213222222++⋅-++-⋅=++-+=++-x x x x x x x x x x x .例3 求⎰-dx x x 2)1(1.解⎰⎰-+--=-dx x x x dx x x ])1(1111[)1(122⎰⎰⎰-+--=dx x dx x dx x 2)1(1111C x x x +----=11|1|ln ||ln .提示:222)1(1)1(1)1(1)1(1-+--=-+-=-x x x x x x x x x 22)1(1111)1(1)1(1-+--=-+-+--=x x x x x x x x .3.2 三角函数有理式的积分三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四那么运算所构成的函数,其特点是分子分母都包含三角函数的和差和乘积运算.由于各种三角函数都可以用sin x 及cos x 的有理式表示,故三角函数有理式也就是sin x 、cos x 的有理式. 用于三角函数有理式积分的变换:把sin x 、cos x 表成2tan x 的函数,然后作变换2tan xu =:222122tan 12tan 22sec 2tan 22cos 2sin 2sin u u x xx x x x x +=+===, 222222112sec 2tan 12sin 2cos cos u u x x x x x +-=-=-=.变换后原积分变成了有理函数的积分. 例4 求⎰++dx x x x )cos 1(sin sin 1. 解 令2tanx u =,那么212sin u u x +=,2211cos u u x +-=,x =2arctan u ,du u dx 212+=. 于是⎰++dx x x x )cos 1(sin sin 1⎰+-++++=)111(12)121(2222u u u u u u du u 212+⎰++=du u u )12(21 C u u u +++=|)|ln 22(212C x x x +++=|2tan |ln 212tan 2tan 412. 说明: 并非所有的三角函数有理式的积分都要通过变换化为有理函数的积分. 例如,⎰⎰++=++=+Cx x d xdx x x )sin 1ln()sin 1(sin 11sin 1cos .习题4-3求以下不定积分．1.x dx x +⎰33；2.x dx x x ++-⎰223310； 3.x dx x x +-+⎰2125； 4.()dx x x +⎰21 ；5.()()x dx x x ++-⎰22111；6.()()x dx x ++⎰22211；7.sin dx x +⎰23； 8.cos dxx +⎰3；9.sin dx x +⎰2 ； 10.sin cos dx x x++⎰1；11.sin cos dxx x -+⎰25； 12.⎰.第4节 MATLAB 软件的应用在高等数学中，经常利用函数图形研究函数的性质，在此，我们应用MA TLAB 命令来实现这一操作.MATLAB 符号运算工具箱提供了int 函数来求函数的不定积分，该函数的调用格式为：Int(fx,x) %求函数f(x)关于x 的不定积分参数说明：fx 是函数的符号表达式，x 是符号自变量，当fx 只含一个变量时，x 可省略. 例计算下面的不定积分.sin .cos x xI dx x+=+⎰1syms xI=int((x+sin(x)/(1+cosx))) I=X*tan(x/2)说明：由上述运行结果可知，int 函数求取的不定积分是不带常数项的，要得到一般形式的不定积分，可以编写以下语句：syms x c fx=f(x); int(fx,x)+c以sin cos x xI dx x +=+⎰1为例，编写如下语句可以得到其不定积分：syms x cfx=(x+sin(x))/(1+cos(x)); I=int(fx,x)+c I=C+x*tan(x/2)在上述语句的根底上再编写如下语句即可观察函数的积分曲线族： ezplot(fx,[-2,2]) hf=ezplot(fx,[-2,2]); xx=linspace(-2,2);plot(xx,subs(fx,xx),’k’,’LineWidth’,2) hold on for c=0:6Y=inline(subs(I,C,c));Plot(xx,y(xx),’LineStyle’,’- -’); Endlegend(‘函数曲线’，’积分曲线族’，4).总习题4 (A)一、填空题1．假设()f x 的一个原函数为cos x ，那么()d f x x ⎰=． 2．设()d sin f x x x C =+⎰，那么2(1)d xf x x -⎰＝． 3．2e d x x x =⎰． 4．1d 1cos 2x x=+⎰．5．22(arctan )d 1x x x +⎰＝．二、选择题1．曲线()y f x =在点(,())x f x 处的切线斜率为1x，且过点2(e ,3)，那么该曲线方程为． (A) ln y x =(B) ln 1y x =+(C) 211y x =-+ (D) ln 3y x =+2．设()f x 的一个原函数是2e x -，那么()d xf x x '=⎰．(A) 222e x x C --+ (B) 222e x x -- (C) 22e (21)x x C ---+(D) ()()d xf x f x x +⎰3．设()F x 是()f x 的一个原函数，那么．(A) ()()d ()f x x F x '=⎰(B) ()()d ()f x x f x '=⎰(C)d ()()F x F x =⎰(D) ()()d ()F x x f x '=⎰4．设()f x 的原函数为1x，那么()f x '等于． (A) ln x(B)1x(C) 21x -(D)32x 5．2d x x x =⎰．(A) 22xxx C -+(B) 222ln 2(ln 2)x xx C -+(C) 22ln (ln 2)2x x x x C -+(D) 222x x C + 三、计算以下各题1．x ；2．1d e e x xx --⎰； 3．2ln(1+)d x x ⎰； 4．2d 23++⎰xx x ；5．sin ecosxd xx ⎰；6．742d (1)x xx +⎰；7．12e d x x -⎰； 8．；9．1d e 1xx -⎰； 10．3d (1)xx x -⎰；11．x x ；12．x ； 13．4d 1xx -⎰； 14．； 15．32ln d x x x ⎰； 16．17．x ⎰； 18．19．20．4sin d 2xx ⎰；21．24(tan tan )d x x x +⎰；22．2sec d 1tan ⎛⎫ ⎪+⎝⎭⎰x x x ；23．sin(lnx)d x ⎰； 24．5；25．x ；26．54tan sec d t t t ⎰；27．3sin x π⎰； 28．64tan cos d sin x x x x⎰；29．44d sin cos xx x⎰；30．1sin d 1sin +-⎰xx x；31．x x ；32．x ⎰；33．e (1)d +⎰x x x x ； 34．x ；35．2ln(1)d x x x +⎰；36．x ． (B)1.〔1999、数学一〕设()f x 是连续函数()F x 是()f x 的原函数,那么( ). (A) 当()f x 是奇函数时,必是偶函数.(B) 当()f x 是偶函数时,()F x 必是奇函数.(C) 当()f x 是周期函数时,()F x 必是周期函数.(D) 当()f x 是单调增函数时,()F x 必是单调增函数.2.〔2006、数学二〕 求arctan xxe dx e ⎰. 3.〔2003、数学二〕 计算不定积分.)1(232arctan dx x xe x ⎰+.4.(2021、数学三)计算不定积分ln(1dx +⎰(0)x >.。
不定积分的概念和性质市公开课一等奖省赛课获奖课件
结论 既然积分运算和微分运算是互逆, 所以 能够依据求导公式得出积分公式.
第12页
基 (1) kdx kx C (k是常数);
本
积
(2)
xdx x1 C ( 1); 1
分 表
(3)
dx x
说明:
ln x x 0,
C;
dx x
ln
x
C
,
x 0, [ln( x)] 1 ( x) 1 ,
解
1
sin2 x cos2 xdx
4 sin 2
4 x cos2
xdx
22
22
4
1 sin2
dx x
4cot x C
说明: 以上几例中被积函数都需要进行恒 等变形, 才能使用基本积分表.
第23页
例 12 已知一曲线 y f ( x)在点( x, f ( x))处的 切线斜率为sec2 x sin x ，且此曲线与 y 轴的交 点为(0,5)，求此曲线的方程. 解 dy sec2 x sin x,
1, x 0 在 (, ) 内是否存在原函数？ 为何？
第29页
思索题解答
不存在.
假设有原函数 F ( x)
x C, x 0
F ( x) C,
x0
x C, x 0
但F ( x)在 x 0处不可微， 故假设错误
所以 f ( x) 在 (, ) 内不存在原函数.
结论 每一个含有第一类间断点函数都没 有原函数.
x3
C2 )
lim ( x
x1
C3 )
1 3
C2
1
C3
C
2 3
C3
1 x3 2 C x 1
33
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1 2
x4
5 3
x3
2x2
3x
C.
注 逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意 常数．由于任意常数之和仍是任意常数，因此只 要写出一个任意常数即可
例12(1) 求 x2( x3 3)dx
解
x2( x3 3)dx
(
x5
3x2
)dx
1 6
x6
x3
C
(2)
求
( 1
3 x2
2 )dx. 1 x2
数,而是无穷多个(全部)原函数,通常说成
一族函数,反映在几何上则是一族曲线,
这族曲线称为f (x)的积分曲线族.
O
x
y F(x) C
y F(x)
x
在相同的横坐标处,所有积分曲线的斜率均为k,因 此,在每一条积分曲线上,以x为横坐标的点处的切线 彼此平行（如图）.f (x)为积分曲线在(x, f (x))处的 切线斜率.
(1) [ f (x)dx]' f (x) 或 d f (x)dx f (x)dx，
(2) F'(x)dx F (x) C 或 dF (x) F (x) C，
先积后微 形式不变
先微后积 差一常数
例6 验证等式 sec xdx ln sec x tan x C成立.
解 依据不定积分的定义， 只要验证等式右端函数 的导数
性质1 函数代数和的不定积分等于不定积分的代数
和，即 (1) [ f ( x) g( x)]dx f ( x)dx g( x)dx;
证 只要证明上式右端的导数等于左端的被积函数 即可.由导数运算法则以及不定积分与微分的关 系，有
[ f (x)dx g(x)dx]' [ f (x)dx]' [ g(x)dx]'
sec2 x
dx
tan
x
C.
(10) sec xtan x dx sec x C.
(11) csc x cot x dx csc x C.
(12)
1 dx arcsin x C.
1 x2
(13)
1
1 x2
dx
arctan
x
C.
x dx x1 C
1
例8 求 x2 xdx
解
(2)
x dx
x 1
1
C
(3)
dx x
ln
|
x
|
C .
(4)
a
x
dx
ax
ln a
C.
( 1).
(5) ex dx ex C.
(6) sin x dx cos x C
(7) cos x dx sin x C.
(8)
dx
sin2 x
csc2 x
dx
cot x C.
(9)
dx cos2 x
F(x) f (x)
(1)如果f(x)在某区间上存在原函数，那么原函数不是
唯一的,且有无穷多个
若 F(x) f (x), 则[F(x) C] f (x)
即若 F(x) 是 f (x)的原函数，则 F(x) C 亦是 .
(2) 若函数 f (x) 在区间 I 上存在原函数，则其任意
两个原函数只差一个常数项. 设 F(x) f (x), G(x) f (x)
= f (x) g(x)，
这说明 f (x)dx 是g(函x)数dx
所以欲证的等式成立.
的f不(x定) 积g(分x)，
例11 求 (2x3 5x2 4x 3)dx.
解 (2x3 5 x2 4x 3)dx 2x3dx 5 x2dx 4xdx 3dx
2 x3dx 5 x2dx 4 xdx 3 dx
这不是求导运算，而是它的
f (逆x)的运原算函—数积。分运算。
同样，在下式里
F(x) f (x) (3)'
通过上面的比较，对积分运算与原函数有了初步认识，以下 先给出原函数与不定积分的有关的定义。
一、原函数与不定积分
定义 对于定义在区间I上的函数f ( x)若对 x I ,
有 F( x) f ( x)
那么, 如果已知一个函数的导数, 要求原来的函数, 这类问题, 是微分法的逆问题. 这就产生了积分学.
提出这样的逆问题，是因为它存在于许多实际的问 题中，例如：已知速度求路程；已知加速度求速度；已 知曲线上每一点处的切线斜率（或斜率所满足的某一规 律），求曲线方程等等。
要解决这些实际问题，自然会想到微分运算的逆运 算，这就是产生积分运算的原因。
a3 b (3)
若也F熟(x悉)已导知数，运f (算x)：未知，由F(x)
fx(2x),则2x称（3）('1式)' 为求导运算，
称f (x)为F(x)的导数。若 f (x)已 知同，F样(提x)未出知问，题由：f (x) F(x),则 称（?3）'式2x为积分(2运)' 算，称F (x)为
练习 设曲线通过点(2,3),且其上任一点的切线斜率等 于这点的横坐标，求此曲线方程.
解 设所求的曲线方程为 y f ( x),依题意可知
y' x，
所以
y
x
dx
1 2
x2
C
把(2, 3)代入上述方程，得
C 1，
因此所求曲线的方程为
x2 y 1.
2
二、基本积分公式
(1) k dx kx C
性质1可以推广到有限多个函数的情形，即
[ f1(x) f2 (x) fn (x)]dx
f1(x)dx f2 (x)dx fn (x)dx.
性质2 被积函数中不为零的常数因子可以移到积分
号的前面.
(2) kf ( x)dx k f ( x)dx. (常数 k 0)
注意：不定积分没有积和商的运算法则。
x3 x arctan x C.
3
例14
求
1 x 2 (1
2x2 x2
dx )
.
解
1 x2 (1
2x2 x2
dx )
1 x2 x2
x2 (1
x2
dx )
1 x 2 dx
1
1 x2dx
1 arctan x C
x
练习 求
1 x x2
x(1
x2
dx. )
解
1 x x2
x(1
x2
dx )
x (1 x2 x(1 x2 )
)dx
1
1 x2
1 x
dx
1
1 x2
dx
1dx x
arctan x ln | x | C
例15 求 cot2 xdx 解 cot2 xdx
(csc2 x 1)dx
cot x x C
练习：求 tan2 xdx
例16
例7 已知某曲线过点 (1,2), 其上点(x, y)处切线
的斜率为x的两倍，求其方程
解 设曲线方程 y f (x)
y
则由题意知 f (x) 2x
f (x) 2xdx x2 C
又曲线过点(1,2),
2 1 C, 即C 1 故所求曲线为 y x2 1.
0
x
不定积分的几何意义
函数f (x)的原函数图形称为f (x)的积 y 分曲线,不定积分表示的不是一个原函
1
4 1
x3
C
1
3x 3
C
4 3
1
(2) 2x exdx 2x e x C ln 2 (2e)x dx (2e)x C ln(2e)
练习：求
2x ex dx
三、不定积分的运算性质
性质1 函数代数和的不定积分等于不定积分的代数
和，即 (1) [ f ( x) g( x)]dx f ( x)dx g( x)dx;
G(x) F(x) G(x) F(x) 0
G(x) F(x) C, 即G(x) F(x) C
结论 : 若 F(x) f (x),
则 f (x)的 原函数都可用 F(x) C 表示.
定义: f ( x)dx表示函数f ( x)的原函数的全体,
则称 f ( x)dx 为 f ( x)的不定积分
是左端的被积函数即可 .
当（sec x tan x） 0时，由于
[ln(secx tan x)]
1
(sec x tan x sec2 x)
ln(sec x t成立.
当（sec x tan x） 0时，类似地可以验证已给等式成立.
综上所述，已给等式成立.
则称 F( x) 是 f ( x) 在 区间I 上的一个原函数
例1 sin x cos x
sin x 是 cos x 的一个原函数 (, )
ln x 1
ln x 是
1
x
的一个原函数 (0, )
x
例如 在(,上) 是sin x 的c原os函x 数 而 sin x 1,ssiin x 21,sin x 3 也是它的原函数
x2
xdx
5
x 2dx
51
x2 5 1 C
2
x
7 2
7
C.
例9
求
1 x3
dx x
2
解
1 x3
dx x
7
x 2dx
71
x2 71
C
2 5
5
x2
C.
2
例10 求（1） 1 dx, （2）2x exdx
解
x3 x
a xdx a x C ln a
(1)
1 dx x3 x
4
x 3dx
解
1 2
求 sin2
sin2 x dx 2
(1 cos