二次函数导学案

第二十二章二次函数

22.1 二次函数的图象和性质

22.1.1 二次函数

活动1知识准备

1.y＝3x－1是函数；y＝1

2x既是一次函数，又是函数.

2.对于函数y＝（m＋1）x m2－2，当m＝时，该函数是正比例函数.

活动2教材导学

二次函数的概念

（1）正方形的边长是x cm，面积是y cm2，则y关于x的函数关系式是 .因为x2是二次项，所以它（填“是”或“不是”）一次函数.

（2）用一根长800 cm的木条做一个长方形的窗框，若其中一边长为x cm，则它的面积y cm2与x cm之间的函数关系式为，要使自变量x有现实意义，它的取值范围是.

（3）以上两个函数有什么共同特点？

►知识点一二次函数的定义

一般地，形如（a，b，c是常数，）的函数，叫做二次函数.其中，x 是自变量，

a，b，c分别是函数解析式的, 和.

►知识点二用二次函数表示变量之间的关系

在一般情况下，二次函数自变量的取值范围是.

在实际问题中，自变量的取值要使有意义.

探究问题一二次函数的判别

例1下列函数中，哪些是关于x的二次函数？

（1）y＝9x2－x；（2）y＝－1

3x

2；（3）y＝4－x＋x3；（4）y＝

1

x2＋x

2；

（5）y＝（x－1）2－（x＋1）（x－2）；（6）y＝ax2＋4x＋1.

[归纳总结] 判断一个函数是否是二次函数，首先要把它化为，然后再判断含有自变量的代数式是否同时满足以下三个条件：（1）；（2）；（3）是自变量的二次式.

探究问题二用二次函数表示变量之间的关系

例2[教材问题1变式题]暑假期间，九（8）班n名同学约定每两个同学之间通电话一次.

（1）写出互通电话的次数m与n之间的函数解析式，并指出m是n的什么函数；

（2）当n＝10时，互通电话的次数是多少？

一、选择题

1.下列函数中属于二次函数的是（ ）

A.y ＝x （x ＋1）

B.xy ＝1

C.y ＝2x 2－2（x ＋1）2

D.y ＝3x 2＋1 2.下列实际问题中，可以看作二次函数模型的有（ ） ①正常情况下，一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数b 与这个人的年龄a 之间的关系为b ＝0.8（220－a ）；

②圆锥的高为h ，它的体积V 与底面半径r 之间的关系为V ＝1

3πr 2h （h 为定值）；

③物体自由下落时，下落高度h 与下落时间t 之间的关系为h ＝1

2

gt 2（g 为定值）；

④导线的电阻为R ，当导线中有电流通过时，单位时间所产生的热量Q 与电流I 之间的关系为Q ＝RI 2（R 为定值）.

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

3.下列函数的自变量的取值范围不是任意实数的是（ ）

A.y ＝－3x

B.y ＝4x ＋2

C.y ＝6

x

D.y ＝x 2－2x

4.半径是3的圆，如果半径增加2x ，那么面积S 和x 之间的函数关系式是（ ）

A.S ＝2π（x ＋3）2

B.S ＝9π＋x

C.S ＝4πx 2＋12x ＋9

D.S ＝4πx 2＋12πx ＋9π

5.若函数y ＝（2－m ）·x m 2－

2是关于x 的二次函数，则m 的值是（ ） A.2 B.－2 C.±2 D.±1

6.用一根长为50 cm 的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为x （cm ），它的面积为y （cm 2），则y 与x 之间的函数关系式为（ ）

A.y ＝－x 2＋50x

B.y ＝x 2－50x

C.y ＝－x 2＋25x

D.y ＝－2x 2＋25

7.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价.若每件商品的售价为x 元，则可卖出（350－10x ）件，那么商品所赚钱数y 元与售价x 元之间的函数关系式为（ ）

A.y ＝－10x 2－560x ＋7350

B.y ＝－10x 2＋560x －7350

C.y ＝－10x 2＋350x

D.y ＝－10x 2＋350x －7350 二、填空题

8.二次函数y ＝ax 2中，当x ＝1时，y ＝2，则a ＝ . 三、解答题

9.把下列二次函数化成一般形式，并指出二次项系数、一次项系数及常数项. （1）y ＝x 2＋（x ＋1）2； （2）y ＝（2x ＋3）（x －1）＋5； （3）y ＝4x 2－12x （1＋x ）； （4）y ＝（x ＋1）（x －1）.

[归纳] 在确定二次函数的二次项系数、一次项系数及常数项时，需先把函数关系式化为 .

22.1.2 二次函数y＝a x2的图象和性质

活动1知识准备

1.一次函数的图象是一条.

2.画函数图象的主要步骤是、、.

3.请你写出一次项系数、常数项都为0的一个二次函数：.

4.点（－2，4）关于y轴对称的点的坐标是.

活动2教材导学

1.二次函数y＝ax2的图象

（1）画二次函数y＝x2的图象.

列表：

在图22－1－10的平面直角坐标系里画出二次函数y＝x的图象.

在平面直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线

顺次连接各点，便得到了二次函数的图象，我们把这

样的图象叫做，抛物线有一条对称

轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线

的.

（2）在上面的平面直角坐标系里画出二次函数y

＝－x2的图象.

2.二次函数y＝ax2图象的性质

二次函数y＝x2图象的特点：

（1）抛物线的开口向（填“下”或

“上”）；

（2）图象是中心对称图形还是轴对称图

形？；对称轴是。

（3）当x＜0时，曲线自左向右（填

“下降”或“上升”），即y值随x值的增大

而（填“增大”或“减小”）；

（4）当x＞0时，曲线自左向右（填“下降”或“上升”），即y值随x值的增大

而（填“增大”或“减小”）；

（5）图象在x轴的（填“上方”或“下方”）；

（6）顶点是抛物线上位置最（填“高”或“低”）的点，y有最（填“大”或“小”）值，顶点坐标是。

思考：类似地，你能得出二次函数y＝－x2图象的特点吗？