古希腊数学史
数学史(第2章古希腊数学)
第2章古代希腊数学主题：希腊文化与理论数学的起源人类理性思维的形成在唯理的社会气氛中，希腊人将埃及和美索不达米亚的数学经验算术和几何法则加工成具有初步逻辑结构的论证数学体系。
概述：希腊数学分为三个阶段：一是从公元前6C到约公元前3C，这一时期以雅典为中心，形成了论证几何数学的思想基础和有关方法上的基础；二是从约公元前3C到约公元前30年，这一时期主要以亚历山大为中心，形成的系统的论证几何体系，建立理论方法，为数学的发展提供了一种基本的观点和方法。
三是从约公元前30年到公元6C，这是希腊数学发展后期，主要发展带有实用特点的数学。
同时也有对前人进行评述和整理工作。
主要成就：1 论证数学的鼻祖及主要贡献：泰勒斯（前625－前547）泰勒斯领导的爱奥尼亚学派据说开了希腊命题论证之先河，并证明了四条定理和“泰勒斯定理”。
毕达哥拉斯（前580－前500）毕达哥拉斯创立了毕达哥拉斯学派，从事哲学和数学研究。
普鲁克鲁斯在《评注》中论述了毕达哥拉斯学派的主要成就有：（1）证明了毕达哥拉斯定理，即勾股定理。
其方法最著名的猜测是“面积剖分法”。
（2）正多面体作图（包括正四、六、八、十二、二十面体）。
以正十二面体的作图最为著名，它的每个面都是正五边形，并且和“黄金分割”相关（注：黄金分割这一名字并不是来源该学派，见书36页注）。
（3）关于数的研究，毕达哥拉斯学派的基本信条是“万物皆数”（这里指整数），并讨论了许多数论的性质，如偶数与奇数，完全数等。
该学派还有关于“形数”的研究，他们把数作为几何思维元素的精神，“形数”体现了数与形的结合。
（4）发现了不可公度量。
评论：毕达哥拉斯学派把数看成是世界的基础，客观上形成对世界数量关系的认识，是人类认识上的一大进步。
加强了数概念中的理论倾向，推动了几何学的抽象化倾向，这些研究使人类抽象思维能力达到了一个高的水平。
不可公度量的发现，由此产生了“第一次数学危机”，这一问题的根本解决是人们对连续性有更精确的定义后才完全解决。
《数学史》古希腊数学 ppt课件
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2.3 亚历山大后期和希腊数学的衰落
通常从公元前30-公元6世纪的这一段时期，称为 希腊数学的“亚历山大后期”。
亚历山大后期的希腊几何，已失去前期的光辉。这一时期开 始阶段唯一值得一提的是几何学家海伦（Heron，公元前1世纪公元1世纪间），代表作《量度》，主要讨论各种几何图形的面 积和体积的计算，其中包括后来以它的名字命名的三角形面积公 式
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总评
▪ 《圆锥曲线论》可以说是希腊演绎几何的最高成 就。阿波罗尼奥斯用纯几何的手段达到了今日解 析几何的一些主要结论，这是令人惊叹的。
▪ 另一方面，这种纯几何的形式，也使其后数千年 间的几何学裹足不前。几何学中的新时代，要到 17世纪，笛卡尔等人打破希腊式的演绎传统后， 才得以来临。
▪ 此书集前人之大成，且提出很多新的性质。他推广了梅内赫莫斯 （公元前4 世纪，最早系统研究圆锥曲线的希腊数学家）的方法，证 明三种圆锥曲线都可以由同一个圆锥体截取而得，并给出抛物线、 椭圆、双曲线、正焦弦等名称。
▪ 书中已有坐标制思想。他以圆锥体底面直径作为横坐标，过顶点的 垂线作为纵坐标，这给后世坐标几何的建立以很大的启发。他在解 释太阳系内5大行星的运动时， 提出了本轮均轮偏心模型，为托勒密 的地心说提供了工具。
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《圆锥曲线论》中包含了许多即使是按今天的 眼光看也是很深奥的结果，尤其突出的是第5卷关于 从定点到圆锥曲线的最长和最短线段的探讨，其中 实质上提出了圆锥曲线的法线包络即渐屈线的概念， 它们是近代微分几何的课题。
第3、4卷中关于圆锥曲线的极点与极限的调和 性质的论述，则包含了射影几何的萌芽思想。
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亚历山大里亚时期的希腊数学
古希腊数学发展史的历程
古希腊数学发展史的历程
古希腊数学发展史可以追溯到公元前6世纪至公元前4世纪的希腊城邦时期。
在这个时期，一些重要的数学思想和概念被提出并发展起来。
公元前6世纪，古希腊开始出现第一个数学家，他们被称为毕达哥拉斯学派。
毕达哥拉斯学派主要研究数和形，并强调数与万物的关系。
他们发现了一些重要的数学定理，例如毕达哥拉斯定理，该定理描述了直角三角形中直角边的关系。
公元前5世纪，古希腊的数学家泰勒斯和皮塔哥拉斯等人开始研究几何学。
泰勒斯被认为是几何学的奠基人，他提出了一些基本的几何学原理。
皮塔哥拉斯则进一步发展了几何学，并建立了一个有组织的几何学体系。
在公元前4世纪，古希腊的数学家欧几里得成为了最著名的数学家之一。
他的著作《几何原本》对几何学的发展做出了巨大贡献。
这本著作包含了很多基本几何概念和定理，被认为是古希腊几何学的经典之作。
除了几何学，古希腊数学家还研究了代数学和数论。
例如，欧几里得还研究了整数的性质，并提出了欧几里得算法来求解最大公约数。
而且，古希腊的数学家阿基米德也在代数学方面做出了重要贡献。
总的来说，古希腊数学发展史见证了许多重要数学思想和概念的诞生。
他们的贡献对后来的数学发展产生了深远影响，至今仍然被广泛应用。
《数学史》古希腊数学(1)解析
轶事典故
▪
欧多克斯是证明一年不是整三百六十五天而是三百
六十五天又六小时的第一个希腊人。既然埃及人对此已
有所了解，那么欧多克斯只不过是把这传到了希腊，而
并不是他发现的。
▪
他接受了柏拉图关于行星必须在正圆轨道上运行的
观点。然而他在观察了行星运动之后不得不承认，行星
的实际运动并不是正圆轨道上的匀速运动。为了当时所
轶事典故
▪ 后来，在今天土耳其西北岸的锡塞克斯创办了他自己 的学校，最后他把学校迁到雅典，在那里任教多年。那 时他已成为公认的有成就的哲学家。他再次拜访了过去 的老师柏拉图，主人专为他举行了宴会。（当公元前367 年柏拉图在西西里时，欧多克斯甚至可能还是柏拉图学 园的积极负责人。）在这些年里，他提出了许多几何证 法，后来被纳入欧几里得所总结的几何学。他还对不能 直接确定其长度和面积的图形的近似值开始进行研究， 这在一百年后由阿基米德作了进一步的发展。
主要贡献：倡导逻辑演绎结构
• 亚里斯多德学派(吕园学派)
代表人物：亚里士多德(Aritotle,BC.383-BC.322) 欧多谟斯
主要贡献：倡导逻辑演绎结构。
▪ 欧多克斯
欧多克斯（Eudoxus of Cnidus, 408 BC - 355 BC） 希腊天文 学家和数学家。
公元前约400年生于奈得斯。欧多克斯在柏拉图学园中学习时， 处境十分困难。他很贫困，故住在雅典的港口比雷埃夫斯，因为这 里可以找到较便宜的的住处。这样他每天往返学校不得不走十英里。 毕业后他到了埃及，进行天文学的我们今天称作研究生的学业。
西比阿斯：发明 “割圆曲线”. 如果这种曲线能够作出，那么它不但能够三等分角，而
且可以任意等分角，并且也可以用来化圆为方。
数学发展史上的四个高峰
数学发展史上的四个高峰
数学发展史上存在着许多重大的事件和里程碑式的发现，但是其中仍然有一些是无法被忽略的重要高峰。
下面将介绍数学发展史上的四个高峰。
第一高峰：古希腊数学
古希腊数学是数学发展史上的第一个高峰。
早在公元前6世纪，古希腊人就开始研究数学，并取得了一些重要的成果。
他们用几何学方法解决了很多数学问题，比如平方根和三角函数的计算。
古希腊人还开发了一套形式化的逻辑系统，这成为了现代数学的基础。
第二高峰：文艺复兴数学
文艺复兴时期，数学经历了第二个高峰。
在欧洲，数学家们开始对古希腊数学的成果进行研究，并进行了深入的发展。
他们开发了代数学、微积分学和概率论等重要分支，这些成果为现代科学的发展奠定了基础。
第三高峰：19世纪数学革命
19世纪是数学发展史上的第三个高峰。
这是由于当时许多重要的数学家在短时间内取得了很多重要的成果，这些成果大大推动了数学的发展。
比如高斯、欧拉和拉格朗日等人在代数和分析领域做出了很多突破性的贡献。
第四高峰：20世纪数学
20世纪是数学发展史上的最后一个高峰。
在这个时期，数学经历了巨大的变革和发展。
比如，20世纪初，G·庞加莱提出了拓扑学
的想法，这引发了一个新的分支的发展。
随后，数学家们还在计算机科学和数学物理学等领域做出了很多重要的发现，这些成果深刻地改变了数学的面貌。
西方数学发展史
西方数学发展史以下是各个时期的简要概述：1.古希腊数学（公元前600年-公元500年）：o古典希腊时期是西方数学的黄金时代，伊奥尼亚学派的泰勒斯、毕达哥拉斯学派对数论和几何有重大贡献，比如毕达哥拉斯定理。
o欧几里得编写了《几何原本》，奠定了欧氏几何的基础，包括公理化方法。
o阿基米德在静力学与浮力原理、圆周率的计算等方面做出了杰出成就。
o阿波罗尼奥斯对圆锥曲线的研究也对后世产生了深远影响。
2.中世纪数学（公元500年-1500年）：o在中世纪早期，欧洲数学的发展相对缓慢，但阿拉伯世界翻译并注解了大量的希腊数学著作，使得数学知识得以传承。
o中世纪晚期，欧洲开始出现复兴迹象，斐波那契的著作《算盘书》对商业计算和数学教育有着重要推动作用，他著名的“斐波那契数列”成为数论研究的一个经典课题。
3.文艺复兴与近代数学（1500年-1700年）：o文艺复兴时期，科学和艺术的繁荣带动了数学的发展。
笛卡尔发明了解析几何，将代数方法应用于几何问题，开辟了新的数学领域。
o帕斯卡和费马分别在概率论和数论方面做出了开创性的工作，如帕斯卡定律和费马大定理。
o牛顿和莱布尼茨独立发明了微积分，这是数学史上的一个里程碑事件，为后续物理学和其他学科提供了强大的工具。
4.18世纪到现代数学（1700年至今）：o18世纪启蒙时代的数学家如欧拉、拉格朗日和高斯等人在分析学、数论、代数学等领域取得了众多突破。
o19世纪初，随着非欧几何的发现（如黎曼几何），数学逐渐脱离了纯粹直观和经验的束缚，更加抽象和严谨。
o近代数学分支繁多，群论、拓扑学、集合论、逻辑学等新兴领域纷纷崛起，计算机科学的发展也促进了离散数学和计算数学的繁荣。
5.19世纪：o伽罗华提出了群论，为代数学开辟了新的研究方向，解决了根式解代数方程的可能性问题。
o库默尔在数论中引入理想数概念，发展了解析数论的雏形。
o戴德金和康托尔分别在实数理论与集合论方面取得了革命性进展，其中康托尔创立了现代无限集合论，并提出了著名的连续统假设。
数学史话从古希腊到现代数学的发展演变
数学史话从古希腊到现代数学的发展演变数学史话：从古希腊到现代数学的发展演变数学作为一门学科，自古希腊时代起便扮演了重要的角色。
在历史的长河中，数学的发展经历了许多重要的转折点和突破。
本文将带您穿越时空，了解古希腊到现代数学的发展演变。
一、古希腊数学的奠基古希腊被视为数学的摇篮，这得益于许多著名数学家和哲学家的贡献。
其中最著名的包括毕达哥拉斯、欧几里得和阿基米德。
毕达哥拉斯定理是古希腊数学的里程碑之一，它揭示出三边长度之间的关系，为几何学奠定了基础。
欧几里得的《几何原本》被视为几何学的权威之作，详细地介绍了平面和立体几何的基本规则和推理方法。
阿基米德在解决几何问题的同时，还为数学奠定了坚实的物理基础，开创了静力学领域。
二、中世纪数学的低谷在古希腊之后，数学的发展进入了一个相对停滞的时期。
中世纪时期，数学并未受到太多的重视，主要集中在阐述古希腊数学的著作翻译和注释方面。
然而，在伊斯兰世界，阿拉伯数学家们在数学领域做出了重要的贡献。
他们将印度数字系统引入欧洲，并发展了代数学、三角学和几何学，为数学的复兴奠定了基础。
三、文艺复兴时期的数学革命文艺复兴时期，数学经历了一次革命性的变革，开启了现代数学的大门。
这个时期的主要催化剂是意大利数学家费马和脱卡利等人的工作。
费马定理和脱卡利的解析几何奠定了代数几何的基础。
同时，新的数学计算工具的发展，如对数表和计算尺，使得数学运算更加高效和精确。
四、十九世纪数学的突破十九世纪是数学史上的一个丰富时期，其中涌现出许多杰出的数学家。
拉格朗日和拉普拉斯在分析学和微分方程领域做出了突破性贡献，开创了变分法和拉普拉斯方程的研究。
与此同时，高斯和勒让德在数论、代数和几何学方面的工作也推动了数学的发展。
他们的理论为后来的数学家提供了坚实的基础。
五、现代数学的多元发展进入二十世纪，数学进一步多元化和专业化。
在20世纪初，勒贝格和测度论的出现推动了实分析学的发展。
同时，庞加莱和希尔伯特的工作也为拓扑学和数理逻辑奠定了基础。
数学史古希腊数学
几何《原本》第十二卷
▪ 第十二卷主要论述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥和球等立体的体积定理。 并用穷竭法加以证明。
▪ 命题5 等高三棱锥之比等于它们底之比。 ▪ 命题7 三棱柱可以分成三个彼此相等的三棱锥。 ▪ 命题10 圆锥是同底等高圆柱的三分之一。
欧几里得与几何《原本》
• 《原本》在我国传播 • 1607年徐光启（1562－1633）与意大利传教士利玛窦（M.Ricci，
1552-1610）合译O.Clauvius（1537－1612）校订、增订的拉丁文本 《原本》前6卷。 • 1857年，李善兰（1811－1882）与英国传教士伟烈亚历（A.Wylie， 1815－1887）续译后9卷。
▪ 命题14 同圆内等弦的弦心距相等；弦心距相等则弦相等。 ▪ 命题22 内接于圆的四边形，其对角和是二直角。 ▪ 命题32 直线切于一圆，弦与切线的夹角等于弦所对圆周角。 ▪ 命题35 圆内有相交二弦，其中一弦上所截线段围成的长方形等于
另一弦上所截线段围成的长方形。
几何《原本》第四卷
▪ 第四卷，有16个命题，主要论述圆的内接和外切图形 ▪ 命题12 作已给圆的外切正五边形。 ▪ 命题15 作已给圆的内接正六边形。
▪ 命题2 求不互素数的最大公约数。 ▪ 命题19 四数成比例，则第一、四两数乘积等于第二、三两数乘积，
反之亦然。
几何《原本》第七、八、九卷
▪ 命题35：给出了关于完全数的一个著名定理：若几何
级数（从1开始）一些项之和 1 2 22 2n1是
质数，那么这个和同最末一项的乘积是完全数，即
(1 2 22 2n1 )2n1
数学中的数学史与数学思想
数学中的数学史与数学思想数学作为一门古老而重要的学科，其发展历史可以追溯到古代文明的起源。
数学史是研究数学领域内发展、进化和创新的学科，而数学思想则是数学家们在解决问题和发现规律时应用的思维方式和方法。
本文将从数学史与数学思想两个方面来探讨数学的发展历程。
一、数学史数学史的研究可以分为不同的时期，每个时期都有其独特的数学发展特点和代表性的数学家。
下面将以几个重要时期为例，介绍数学史的发展。
1. 古希腊数学古希腊数学是数学史上的一个重要时期。
在这个时期，古希腊数学家们开始用严谨的演绎推理方法来解决问题。
毕达哥拉斯学派提出了著名的毕达哥拉斯定理，将几何和数学联系起来，开创了几何学的发展。
欧几里德整理并系统化了当时已有的数学知识，将其总结成著名的《几何原本》。
2. 古印度数学古印度数学在古希腊数学之后发展起来，对代数学和数论有重要贡献。
古印度数学家们发展了十进制数位系统，并且提出了零的概念，这对于数字的表示和计算具有重要意义。
同时，他们还发展了一种被称为“双调理论”的代数方法，这种方法对于解二次方程和高次方程起到了重要的推动作用。
3. 中世纪数学中世纪数学是数学史上一个相对较暗淡的时期。
在这个时期，教会对科学的统治使得数学的发展受到了限制，数学家们的研究只能是个别的、零散的。
然而，中世纪数学仍然保留了古希腊和古印度数学的遗产，保留并传承了许多重要的数学知识。
二、数学思想数学思想是数学家们在解决问题和发现规律时候的思维方式和方法。
下面将介绍一些重要的数学思想。
1. 归纳法归纳法是一种重要的数学推理方法，它通常用于证明一个性质在所有自然数上成立。
归纳法的基本思想是通过证明一个基本情况成立，然后假设对于某个正整数k成立，通过这个假设证明在k+1情况下也成立，从而推导出该性质对于所有自然数成立。
2. 逆向思维逆向思维在解决复杂问题和发现新的规律时起到了重要的作用。
逆向思维的基本思路是从最后的结果出发，逆向倒推，找到问题的解决途径。
四大古国数学发展史
四大古国数学发展史数学作为一门古老而又重要的学科，在人类历史上扮演着重要的角色。
在过去的几千年里，有四个古国对数学的发展做出了突出的贡献，它们分别是古埃及、古巴比伦、古印度和古希腊。
本文将从这四个古国的数学发展历程入手，介绍它们的数学成就和对后世的影响。
古埃及数学发展史古埃及被公认为是最早进行数学研究的文明之一。
早在公元前3000年左右，古埃及人就开始使用简单的计数系统，他们用一种称为“法老九法”的记数法来表示数字。
这种记数法基于九个不同的符号，分别代表1、10、100等。
另外，古埃及人还开发了一种称为“海米奇”的计算工具，类似于现代的计算尺，用来进行简单的加减乘除运算。
古埃及人的数学主要应用于土地测量、建筑施工等实际问题。
他们熟练掌握了平方根和倒数的计算方法，能够精确计算出土地的面积和体积。
此外，古埃及人还发展了一种称为“方法”的数学手段，用来解决线性方程组和二次方程等问题。
这些数学成果为古埃及人的农业生产和社会管理提供了重要的支持。
古巴比伦数学发展史古巴比伦是古代中东地区的一个重要文明，他们的数学成就也非常突出。
公元前2000年左右，古巴比伦人已经掌握了基本的算术运算和几何知识。
他们使用的计数系统采用60为基数，这种计数方法被称为“六十进制”，并且被广泛应用于时间和角度的计量中。
古巴比伦人在代数学、几何学和三角学方面都有很高的造诣。
他们发展了一种称为“巴比伦数表”的数学表格，其中包含了一系列数字和运算符号，用来解决各种数学问题。
古巴比伦人还发明了用直角三角形的边比值来表示角度的方法，这一概念后来为希腊数学家所继承和发展。
古印度数学发展史古印度是数学发展史上的又一个重要角色。
早在公元前1000年左右，古印度人就开始进行高级的数学研究。
他们发展了一种称为“印度数表”的计数系统，其中包含了一系列数字和运算符号，用来进行复杂的数学运算。
这种计数系统后来被阿拉伯人引入到欧洲，成为现代数学的基础。
古印度人在代数学、几何学和算术学方面都有独特的贡献。
数学史第二讲古代希腊数学ppt课件
希腊化时期的数学
• 5公理
1. 等于同量的量彼此相等. 2. 等量加等量, 和相等. 3. 等量减等量, 差相等. 4. 彼此重合的图形是全等的. 5. 整体大于部分.
• 5公设
1. 假定从任意一点到任意一点可作一直线. 2. 一条有限直线可不断延长. 3. 以任意中心和直径可以画圆. 4. 凡直角都彼此相等. 5. 若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小 于两直角, 那么把两直线无限延长, 它们都在同旁内 角和小于两直角的一侧相交.
机械上
阿基米德对于机械的研究源自于他在亚历山大城求学时期，有一天阿基米德在 久旱的尼罗河边散步，看到农民提水浇地相当费力，经过思考之后他发明了一种 利用螺旋作用在水管里旋转而把水吸上来的工具，后世的人叫它做“阿基米德螺 旋提水器”。埃及一直到二千年后的现代，还有人使用这种器械。
这个工具成了后来螺旋推进器的先祖。
希腊化时期的数学
数学之神
“给我一个支点，我 就可以移动地球。”
阿基米德 (公元前287-前212年)
希腊化时期的数学
阿基米德(公元前287－前212年) (希腊, 1983)
用穷竭法计算 平面图形面积
数学上：几何
将一个曲边图形“细”分成若干个 “小的矩形或三角形”(即各种简单 “直边形”)。 首先分别求这些“小直边形的面积”
投石器和起重机
阿基米德利用杠杆原理制造了一种叫作石弩的抛石机，能把 大石块投向罗马军队的战舰，或者使用发射机把矛和石块射向罗 马士兵，凡是靠近城墙的敌人，都难逃他的飞石或标枪······
阿基米德还发明了多种武器，来阻挡罗马军队的前进。根据一 些年代较晚的记载，当时他造了巨大的起重机，可以将敌人的战 舰吊到半空中，然后重重地摔下使战舰在水面上粉碎。
古希腊数学发展史
欧几里得《原本》可以说是数学史上的 第一座理论丰碑。它最大的功绩，是在 于数学中演绎范式的确立，这种范式要 求一门学科中的每个命题必须是在它之 前已建立的一些命题的逻辑结论，而所 有这样的推理链的共同出发点，是一些 基本定义和被认为是不证自明的基本原 理—公设或公理。这就是后来所谓的公 理化思想。
毕达哥拉斯学派第一次数学危机
毕达哥拉斯(Pythagoras，公元前572～497年)出 生于靠爱奥尼亚沿海的萨摩斯岛．青年时代， 毕达哥拉斯曾就学于泰勒斯．以后他曾到亚洲 和埃及旅行，特别是在埃及，他学到了很多数 学知识．约在公元前530年，毕氏返回到故里， 并建立了毕达哥拉斯学派。致力于哲学与数学 的研究，相传“哲学”(意为“智力爱好”)和 “数学”(意为“可 学到的知识”)这两个词正 是毕达哥拉斯本人所创。 大约在公元前五世纪末传说由希帕苏斯 (Hippasus)发现了不可通约量的存在，这对毕 氏学派的“一切量均可通约”的观念是一个莫 大的打击．数学史上把这称为第一次数学危
第二讲 古希腊数学
论证数学的发端
古代希腊的地理范围，包括希腊半岛、爱琴
海诸岛和小亚细亚西部沿海地带
希腊数学一股指从公元前600年至公元600年 间，活动于希腊半岛、爱琴海区域、马其顿 与色雷斯地区、意大利半岛、小亚细亚以及 非州北部的数学家们创造的数学。 大批游历 埃及和美索不达米亚的希腊商人、学者带回 了从那里收集的数学知识，在古代希腊城邦 社会特有的唯理主义气氛中，这些经验的算 术与几何法则被加工升华为具有初步逻辑结 构的论证数学体系。
2、无限性概念的早期探索
希腊人在理性数学活动的早期，已经接触 到了无限性、连续性等深刻的概念，对 这些概念的探讨，也是雅典时期希腊数 学的特征之一。
数学史--第二讲-古希腊数学--课件
2020/7/18
• 亚里士多德学派（吕园学派）：由柏拉图的学生亚里 士多德（前384－前322）于公元前335年创立。相传 亚里士多德曾作过亚历山大大帝的老师。前面提到的 《几何学史》的作者欧多谟斯是亚里士多德的学生。
• 希腊人的兴趣并不在于图形的实际作出，而是在尺规 的限制下从理论上去解决这些问题，这是几何学从实 际应用向系统理论过渡所迈出的重要的一步。
2020/7/18
• 诡辩学派的希比阿斯为了三等分任意角而发明了“割 圆曲线”。
• 柏拉图学派的梅内赫莫斯为解决倍立方体问题发现了 圆锥曲线。
• 诡辩学派的安提丰提出用“穷竭法”去解决化圆为方 问题，这是近代极限理论的雏形。先作圆内接正方形 ，以后每次边数加倍，得8、16、32、…边形。安提 丰深信“最后”的多边形与圆的“差”必会“穷竭” 。这提供了求圆面积的近似方法，和中国的刘徽的割 圆术思想不谋而合。
2020/7/18
因为毕达哥拉斯学派的许多几何证明都是建立在任何 量都是可公度的基础上，所以引发了第一次数学危机 。 • 数字神秘主义 例如：偶数是可分解的、从而也是容易消失的、阴性 的、属于地上的，代表黑暗和邪恶。奇数是不可分解 的、阳性的、属于天上的，代表光明和善良。 • 证明的思想 例如：勾股定理的证明，推测毕达哥拉斯从铺地砖中 获得了启发。
2020/7/18
2.2.2阿基米德的数学成就
• 阿基米德 (公元前 287-212) 是公认的古希腊时代最伟大 的数学家。他生于西西里岛 的叙拉古，但很可能曾在亚 历山大学习数学，后回到故 乡，仍与亚历山大学派有密 切联系。后被罗马士兵杀害 。
数学史古希腊数学
▪ 即
▪ 两角1 和的余 c 弦公 式2 ： r c 0 d c r 1 r d 8 c d c 0 r 1 r d 8 d0
▪即
co s cc oo s ss i sn in
1 c 1 2 r 8 0 d c 0 1 r c 8 d 1 r 0 8 c d0 rd
从而估测圆周率为3. ▪ 圆周率 ▪ 海伦借助阿基米德的结论计算密率为 ▪即
211872 195882
67441 62351
3.14159 043.1 24 71601578
亚历山大里亚时期的希腊数学
▪ 弓形面积
B
D
E
▪ 其推A导思路1是bhh
2
▪ （1）取弧AB，BC中点M，N，得
A
C
▪ （2）同理，继续分割，得弓形面积
sin 1 Crd2
120
弦表(相当于正弦三角函数表): 给出了(1/2) 0 到1800 每隔 (1/2) 0 的圆心角所对的弦的长度，相当于给出了从 00 到 900 每隔 (1/4)0 的角的正弦。
托勒密定理： 圆内接四边形中，两条对角线长的乘积等于两对对边长乘积之和。
《大成》中的球面三角关系 C
海伦公式
▪ 《量度》共三卷 ▪ 斜三角形面积 ▪ 已知三角形的三条边求其面积的海伦公式.
S p p a p b p c
p a b c 2
H
A
F
E
O
B
C
KD
L
亚历山大里亚时期的希腊数学
▪ 圆内接正多边形面积与边长的关系 ▪ 依次计算正三角形、正五边形、六边形、…、正十二边形的面积与边长的关系，得出圆内接正多边形面积，
▪ 《圆锥曲线》 ▪ 《圆锥曲线》分8卷，共487个命题。现存前7卷，共382个命题。 ▪ 第一卷给出了圆锥曲线的定义和基本性质。 ▪ 从一个对顶（直圆或斜圆）锥得到3种圆锥曲线。双曲线有两个分支，也是他首先发现的。
数学史资料
数学史资料数学作为一门古老的学科，在人类历史上已经有着数千年的历史。
从最原始的计算工具，到现代复杂的数学理论，数学一直是人类社会持续发展的重要组成部分。
本文将介绍数学史的发展历程和一些数学领域的基础知识。
1、古代数学古代数学是指在西方古希腊和早期东方文明中，诞生的数学学科。
古代数学起源于公元前3000年左右的巴比伦和古埃及。
在那个时代，人们使用简单的计算工具，如木板、羊皮纸和算盘等，来进行基础的运算和计算。
古希腊数学的起源可以追溯到公元前6世纪。
希腊数学家发展了几何学，并设计了可以精确测量角度的工具，如量角器。
这些成果使得希腊文明成为古代数学的鼻祖。
在古代数学的发展历程中，爱因斯坦公认的古代数学家欧几里得是一位伟大的数学家。
他的著作《几何原本》包含许多几何学的基本定理和公式。
另一位著名的古代数学家是阿基米德。
他发展了物理学和几何学，并设计了可以测量园的周长和面积的工具。
这些古代数学家的成就对现代数学的发展产生了深远的影响。
2、中世纪数学中世纪数学是在公元5世纪至16世纪期间，在欧洲和阿拉伯国家发展起来的数学学科。
在这个时期，数学逐渐成为了一种独立的学科，并且与其他学科密切相关。
中世纪数学包括代数学、几何学和三角学等领域。
在这个时期，阿拉伯数学家也做出了许多重要的贡献。
阿拉伯数学家发明了数值法，并且开发出了一些解方程的方法。
中世纪时期最著名的数学家是阿拉伯数学家阿尔-哈里兹米。
他的书《代数的胜利》详细介绍了代数学的原理与应用。
尼可洛和勒让德则深入研究几何学，并发现了许多重要的公式和定理。
此外，中世纪数学家还开发出了用于计算圆周率的公式，并开发了几何学中的平滑曲线和三角函数。
3、现代数学现代数学是从17世纪开始，在欧洲和美国等国家快速发展起来的一门学科。
现代数学中的代数学、几何学、解析几何学、数论、分析数学、微积分等领域的发展，是近现代科学发展和工业化进程的基础。
17世纪的法国数学家笛卡尔提出了解析几何学，这使得人们能够在基于坐标的几何分析中使用代数学的方法。
数学发展史时间轴及事件
数学发展史时间轴及事件1.古埃及数学（公元前3000年-公元前1000年）数学在古埃及有着悠久的历史。
古埃及人发展出了一套完整的计数系统，以及用于计算和测量的一系列实用技术和工具。
例如，他们使用了“象形数字”来表达数值，同时发明了一种称为“祭坛测量的土地”的算法，用于计算矩形或金字塔的面积。
2.古希腊数学（公元前600年-公元500年）古希腊数学在西方数学史上占据了重要的地位。
在这个时期，出现了许多杰出的数学家，如毕达哥拉斯、欧几里得和阿基米德等。
他们为数学界的发展做出了巨大的贡献，如毕达哥拉斯提出了著名的勾股定理，欧几里得写下了著名的《几何原本》，阿基米德则发明了微积分的基本原理。
3.中世纪欧洲数学（公元500年-1500年）在中世纪欧洲，数学得到了进一步的发展。
在这个时期，出现了许多修道士和学者，如奥尔本修道士和尼科马科斯等。
他们对数学进行了深入的研究，并在代数、几何和三角学等领域取得了一些重要成果。
同时，中世纪欧洲的数学教育也变得日益重要，一些大学纷纷开设数学课程。
4.文艺复兴时期数学（公元1500年-1700年）在文艺复兴时期，数学经历了巨大的变革和发展。
人们重新审视古希腊数学，并在此基础上进行创新。
代数学逐渐成为数学的主流，同时平面几何和立体几何也得到了极大的发展。
一些重要的数学思想和方法开始形成，如极限、导数和微积分等。
在这个时期，一些重要的数学家如雷科德、韦达和牛顿等为数学界的发展做出了巨大贡献。
雷科德在其著作《大术》中系统地阐述了代数符号和算术方法，韦达则发展出了符号代数，为现代代数奠定了基础。
牛顿则在微积分和物理学等领域做出了杰出的贡献。
5.近现代数学（公元1800年至今）近现代数学的发展可以说是日新月异。
在19世纪，数学家们开始研究更抽象的问题，如数论、抽象代数和拓扑学等。
同时，概率论和统计学也得到了迅速的发展。
20世纪初，数学开始与物理学、工程学等领域紧密联系，出现了许多应用数学分支，如量子力学、计算机科学、经济学等。
古希腊数学发展史资料
2、阿基米德的数学成就
阿基米德(公元前287一前212)出生于西西里岛 的叙拉古，早年曾在亚历山大城跟过欧几里 得的门生学习，后来虽然离开了亚历山大， 但仍与那里的师友保持着密切联系。他的许 多成果都是通过与亚历山大学者的信而保存 下来。因此，阿基米德通常被看成是亚历山 大学派的成员。 阿基米德著述极为丰富，内 容涉及数学、力学及天文学等，其中流传于 世的有： (1)《圆的度量》；
公设： （1）假定从任意一点到任意一 点可作一直线； （2）一条有限直线可 不断延长； （3）以任意中心和直径可 以画圆； （4）凡直角部彼此相等； （5）若一直线落在两直线上所构成的 同旁内角和小于两直角，那么把两直线 无限延长，它们将在同旁内角和小于两 直角的一侧相交。
公理： （1）等于同量的量彼此相等； （2）等量加等量，和相等； （3）等量 减等量，差相等； （4）彼此重合的图 形是全等的； （5）整体大于部分。 欧 几里得以这些基本定义、公设和公理作 为全书推理的出发点。
1、三大几何问题
(1)化圆为方，即作一个与给定的圆面积 相等的正方形。
(2)倍立方体，即求作一立方体，使其体 积等于已知立方体的两倍。
(3)三等分角，即分任意角为三等分。
2、无限性概念的早期探索
希腊人在理性数学活动的早期，已经接触 到了无限性、连续性等深刻的概念，对 这些概念的探讨，也是雅典时期希腊数 学的特征之一。
大约在公元前五世纪末传说由希帕苏斯 (Hippasus)发现了不可通约量的存在，这对毕 氏学派的“一切量均可通约”的观念是一个莫 大的打击．数学史上把这称为第一次数学危
雅典时期的希腊数学
1、伊利亚学派（芝诺）； 2、原子论学派 3、诡辩学派； 4、雅典学院(柏拉图学派)； 5、亚里士多德学派；
古希腊数学发展史
古希腊数学地中海的灿烂阳光——古希腊文明著称于世。
拥有特殊的地理环境的克里特岛是希腊文明的发端,同时,政治和经济的发展造就了希腊文化。
希腊文化汲取了各种各样的优秀东方文化。
其中,希腊数学就是希腊文化中的一个主要分支。
希腊数学汇集了巴比伦精湛的算术和埃及神奇的几何学。
以希波战争为界限划分为前后2个历史时期。
希波战争前的希腊数学就是以爱奥尼亚学派和毕达哥拉斯学派为主要代表的。
希波战争之后,则以巧辩学派,埃利亚学派,原子论学派柏拉图学派的成就为代表。
尤其是从BC480年到BC336年,数学史上又称为雅典时期。
雅典时期哲学和经济的空前繁荣诞生了像亚里斯多德这样的百科全书般的杰出人物。
BC4世纪以后的希腊数学慢慢成为了独立的学科。
数学的历史进入了一个新的阶段——初等数学时期。
在这一个时期里,初等几何,算术,初等代数大体已经分化出来。
同17世纪出现的解析几何学,微积分学相比,这一时期的研究内容可以用“初等数学”来概括,因此叫做初等数学时期。
在这一大时期里,希腊各地涌现了许许多多的学派,他们共同作用于希腊数学的发展。
在这些学派中最有影响力的主要有三大流派;(一)爱奥尼亚学派——古希腊历史上的第一个学派爱奥尼亚学派是由彼赋盛名的“希腊科学之父”泰勒斯创立。
泰勒斯是一个精明的商人,他流转于各地经商,并从巴比伦河埃及等地带回了数学知识,故而创立了爱奥尼亚学派。
他在数学上的最著名的业绩是测量金字塔的高度,而划时代的贡献是开始引入了命题证明的思想,因而被认为是希腊几何的先驱。
关于泰勒斯,希腊史诗并无明确的记载,但据可靠的材料我们可以推断出下列五大命题的发现时归功于泰勒斯:(1)圆的直径将圆平分。
(2)等腰三角形两底角相等。
(3)两条直线相交,对顶角相等。
(4)有两角夹一边分别相等的两个三角形全等。
(5)对半圆的圆周角是直角。
其中,第五个命题还被人们称为“泰勒斯定理”。
泰勒斯证明了或视图证明这些命题,使得数学从具体的,实验的阶段开始向抽象的,理论的阶段过渡,这是数学史上的一个重大创举。
古希腊数学史
信徒 普通听讲者
二、毕达哥拉斯学派 3．多边形数 ．
应用之妙 精神之美
多边形数
多面体数
?
二、毕达哥拉斯学派 4．不可公度 ．
万物皆数 可公度 苏斯
阿基米德
若想预见数学的未来，正确的方法是研究它的历史和现状。 若想预见数学的未来，正确的方法是研究它的历史和现状。 ——H．彭加勒 ．
二、毕达哥拉斯学派 1．毕达哥拉斯（Pythagoras） ． ）
• 希腊论证数学的另一位祖师 • 公元前 公元前551—前479年 前 年 • 精于哲学、数学、天文 精于哲学、数学、 学、音乐理论 • 毕达哥拉斯学派创始人 • 信奉“万物皆数 信奉“ ” 费洛罗斯曾说: 人们所知道的任何事物都包含数 因此， 人们所知道的任何事物都包含数。 费洛罗斯曾说:“人们所知道的任何事物都包含数。因此，如果没有数
1.查阅资料，了解第一次数学危机的背景、 1.查阅资料，了解第一次数学危机的背景、 产生和解决； 2.查阅资料，了解勾股定理（毕达哥拉斯定 2.查阅资料，了解勾股定理（毕达哥拉斯定 理）的各种不同的证明方法； 3.查阅资料，了解各种不同的“形数” ，探 3.查阅资料，了解各种不同的“形数” 究其中蕴含的关系。
就既不可能表达，也不可能理解任何事物。 就既不可能表达，也不可能理解任何事物。”
二、毕达哥拉斯学派 2．勾股定理（毕达哥拉斯定理） ．勾股定理（毕达哥拉斯定理）
c = a +b
2 2
2
毕氏学派百牛大祭
希 法 中 腊——已婚妇女定理 已婚妇女定理 国——驴桥问题 驴桥问题 国----商高定理 ----商高定理
勾股定理毕达哥拉斯定理二毕达哥拉斯学派222bac??毕氏学派百牛大祭希腊已婚妇女定理法国驴桥问题中国商高定理阿拉伯新娘的坐椅620028国际数学家大会会徽1972年星际飞船先锋10号带着着出入相补图飞向太空欧几里得的证明原图赵爽的弦图刘徽的青朱出入图321一三二bcaa7二毕达哥拉斯学派信徒普通听讲者?mathematics数学8二毕达哥拉斯学派3
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古希腊数学史
古希腊的地理范围，除了现在的希腊半岛外，还包括整个爱琴海区域和北面的马其顿
和色雷斯、意大利半岛和小亚细亚等地。
公元前5、6世纪，特别是希、波战争以后，雅典取得希腊城邦的领导地位，经济生活高度繁荣，生产力显著提高，在这个基础上产生了光辉灿烂的希腊文化，对后世有深
远的影响。
希腊数学的发展历史可以分为三个时期。
第一期从伊奥尼亚学派到柏拉图学派为止，约为公元前七世纪中叶到公元前三世纪；第二期是亚历山大前期，从欧几里得起到公
元前146年，希腊陷于罗马为止；第三期是亚历山大后期，是罗马人统治下的时期，
结束于641年亚历山大被阿拉伯人占领。
从古代埃及、巴比伦的衰亡，到希腊文化的昌盛，这过渡时期留下来的数学史料
很少。
不过希腊数学的兴起和希腊商人通过旅行交往接触到古代东方的文化有密切关系。
伊奥尼亚位于小亚细亚西岸，它比希腊其他地区更容易吸收巴比伦、埃及等古国积累
下来的经验和文化。
在伊奥尼亚，氏族贵族政治为商人的统治所代替，商人具有强烈的活动性，有利于思
想自由而大胆地发展。
城邦内部的斗争，帮助摆脱传统信念在希腊没有特殊的祭司阶层，也没有必须
遵守的教条，因此有相当程度的思想自由。
这大大有助于科学和哲学从宗教分离开来。
古希腊第一位科学家—泰勒斯
米利都是伊奥尼亚的最大城市，也是泰勒斯的故乡，泰勒斯是公认的希腊哲学鼻祖。
早年是一个商人，曾游访巴比伦、埃及等地，很快就学会古代流传下来的知识，并加
以发扬。
以后创立伊奥尼亚哲学学派，摆脱宗教，从自然现象中去寻找真理，以水为万物的根源。
当时天文、数学和哲学是不可分的，泰勒斯同时也研究天文和数学。
他曾预测一次日食，促使米太(在今黑海、里海之南)、吕底亚(今土耳其西部)两国停止战争，多数学者认为该次日食发生在公元前585年5月28日。
他在埃及时曾利用日影及比例关系算出金字塔的高，使法老大为惊讶。
泰勒斯在数学方面的贡献是开始了命题的证明，它标志着人们对客观事物的认识从感性上升到理性，这在数学史上是一个不寻常的飞跃。
伊奥尼亚学派的著名学者还有阿纳克西曼德和阿纳克西米尼等。
他们对后来的毕达哥拉斯有很大的影响
毕达哥拉斯毕达哥拉斯公元前580年左右生于萨摩斯，为了摆脱暴政，移居意大利半岛南部的克罗顿。
在那里组织一个政治、宗教、哲学、数学合一的秘密团体。
后来在政治斗争中遭到破坏，毕达哥拉斯被杀害，但他的学派还继续存在两个世纪之久。
毕达哥拉斯学派企图用数来解释一切，不仅仅认为万物都包含数，而且说万物都是数。
他们以发现勾股定理(西方叫做毕达哥拉斯定理)闻名于世，又由此导致不可通约量的发现。
这个学派还有一个特点，就是将算术和几何紧密联系起来。
他们找到用三个正整数表示直角三角形三边长的一种公式，又注意到从 1起连续的奇数和必为平方数等等，这既是算术问题，又和几何有关，他们还发现五种正多面体。
伊奥尼亚学派和毕达哥拉斯学派有显著的不同。
前者研习数学并不单纯为了哲学的兴趣，同时也为了实用。
而后者却不注重实际应用，将数学和宗教联系起来，想通过数学去探索永恒的真理。
公元前五世纪，雅典成为人文荟萃的中心，人们崇尚公开的精神。
在公开的讨论或辩论中，必须具有雄辩、修辞、哲学及数学等知识，于是“智人学派”应运而生。
他们以教授文法、逻辑、数学、天文、修辞、雄辩等科目为业。
在数学上，他们提出“三大问题”：三等分任意角；倍立方，求作一立方体，使其体积是已知立方体的二倍；化圆为方，求作一正方形，使其面积等于一已知圆。
这些问题的难处，是作图只许用直尺(没有刻度的尺)和圆规。
希腊人的兴趣并不在于图形的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这些问题，这是几何学从实际应用向系统理论过渡所迈出的重要的一步。
这个学派的安提丰提出用“穷竭法”去解决化圆为方问题，这是近代极限理论的雏形。
先作圆内接正方形，以后每次边数加倍，得8、16、32、…边形。
安提丰深信“最后”的多边形与圆的“差”必会“穷竭”。
这提供了求圆面积的近似方法，和中国的刘徽的割圆术思想不谋而合
公元前三世纪，柏拉图在雅典建立学派，创办学园。
他非常重视数学，但片面强调
数学在训练智力方面的作用，而忽视其实用价值。
他主张通过几何的学习培养逻辑思
维能力，因为几何能给人以强烈的直观印象，将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中。
</p>
这个学派培养出不少数学家，如欧多克索斯就曾就学于柏拉图，他创立了比例论，
是欧几里得的前驱。
柏拉图的学生亚里士多德也是古代的大哲学家，是形式逻辑的奠
基者。
他的逻辑思想为日后将几何学整理在严密的逻辑体系之中开辟了道路。
这个时期的希腊数学中心还有以芝诺为代表的埃利亚学派，他提出四个悖论，给
学术界以极大的震动。
这四个悖论是二分说，一物从甲地到乙地，永远不能到达。
因为想从甲到乙，首先要通过道路的一半，但要通过这一半，必须先通过一半的一半，
这样分下去，永无止境。
结论是此物的运动被道路的无限分割阻碍着，根本不能前进
一步；阿基琉斯(善跑英雄)追龟说，阿基琉斯追乌龟，永远追不上。
因为当他追到乌
龟的出发点时，龟已向前爬行了一段，他再追完这一段，龟又向前爬了一小段。
这样
永远重复下去，总也追不上；飞箭静止说，每一瞬间箭总在一个确定的位置上，因此
它是不动的；运动场问题，芝诺论证了时间和它的一半相等
以德谟克利特为代表的原子论学派，认为线段、面积和立体，是由许多不可再分的
原子所构成。
计算面积和体积，等于将这些原子集合起来。
这种不甚严格的推理方法
却是古代数学家发现新结果的重要线索
公元前四世纪以后的希腊数学，逐渐脱离哲学和天文学，成为独立的学科。
数学的历
史于是进入一个新阶段——初等数学时期这个时期的特点是，数学(主要是几何学)已建立起自己的理论体系，从以实验和观察为依据的经验科学过渡到演绎的科学。
由少数几个原始命题(公理)出发，通过逻辑推理得到一系列的定理。
这是希腊数学的
基本精神。
在这一时期里，初等几何、算术初等代数大体己成为独立的科目。
和17世纪出现的解析几何学、微积分学相比，这一个时期的研究内容可以用“初等数学”来概括，
因此叫做初等数学时期。
埃及的亚历山大城，是东西海陆交通的枢纽，又经过托勒密王的加意经营，逐渐成
为新的希腊文化中心，希腊本土这时已经退居次要地位。
几何学最初萌芽于埃及，以
后移植于伊奥尼亚，其次繁盛于意大利和雅典，最后又回到发源地。
经过这一番培植，已达到丰茂成林的境地。
从公元前四世纪到公元前146年古希腊灭亡，罗马成为地中海区域的统治者为止，
希腊数学以亚历山大为中心，达到它的全盛时期。
这里有巨大的图书馆和浓厚的学术空气，各地学者云集在此进行教学和研究。
其中成
就最大的是亚历山大前期三大数学家欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯。
古希腊杰出的数学家—欧几里得欧几里得的《几何原本》是一部划时代的著作。
其伟大的历史意义在于它是用公理法建立起演绎体系的最早典范。
过去所积累下来的数学知识，是零碎的、片断的，可以比作砖瓦木石；只有借助于逻
辑方法，把这些知识组织起来，加以分类、比较，揭露彼此间的内在联系，整理在一
个严密的系统之中，才能建成宏伟的大厦。
《几何原本》体现了这种精神，它对整个数学的发展产生深远的影响
阿基米德是物理学家兼数学家，他善于将抽象的理论和工程技术的具体应用结合起来，又在实践中洞察事物的本质，通过严格的论证，使经验事实上升为理论。
他根据力学
原理去探求解决面积和体积问题，已经包含积分学的初步思想。
阿波罗尼奥斯的主要
贡献是对圆锥曲线的深入研究。
除了三大数学家以外，埃拉托斯特尼的大地测量和以他为名的“素数筛子”也很
出名。
天文学家喜帕恰斯制作“弦表”，是三角学的先导。
公元前146年以后，在罗马统治下的亚历山大学者仍能继承前人的工作，不断有所发明。
海伦(约公元62)、门纳劳斯(约公元100)、帕普斯等人都有重要贡献。
天文学家托勒
密将喜帕恰斯的工作加以整理发挥，奠定了三角学的基础。
晚期的希腊学者在算术和代数方面也颇有建树，代表人物有尼科马霍斯(约公元100)和丢番图(约250)前者是杰拉什(今约旦北部)地方的人。
著有《算术入门》，后者的《算术》是讲数的理论的，而大部分内容可以归入代数的
范围。
它完全脱离了几何的形式，在希腊数学中独树一帜，对后世影响之大，仅次于《几何原本》。
公元325年，罗马帝国的君士坦丁大帝开始利用宗教作为统治的工具，把一切学术都置于基督教神学的控制之下。
公元529年，东罗马帝国皇帝查士·丁尼下令关闭雅典的柏拉图学园以及其他学校，严禁传授数学。
许多希腊学者逃到叙利亚和波斯等地。
数学研究受到沉重的打击。
641年，亚历山大
被阿拉伯人占领，图书馆再次被毁，希腊数学至此告一段落。