第一类曲面积分的计算

9.4 第一类曲面(对面积的)积分

M = ∫∫ f ( x, y , z )dS
S
当积分曲面是封闭曲面时,常记当积分曲面是封闭曲面时常记
f ( x, y, z)dS ∫∫
S
9.4.2 第一类曲面积分的计算法
按照曲面的不同情况分为以下三种：按照曲面的不同情况分为以下三种：
1. 若曲面Σ :
则
Σ
z = z( x, y)
∫∫ f ( x , y , z )dS
Σ
2 2 其中 Σ 为抛物面 z = x + y （0 ≤ z ≤ 1）.
依对称性知：解依对称性知：
z
抛物面 z = x 2 + y 2 轴对称，关于z轴对称，
被积函数| xyz |关于 xoz 、 yoz 坐标面对称
y
x
为第一卦限部分曲面) 有 ∫∫ = 4 ∫∫ 成立，( Σ 1为第一卦限部分曲面
∫∫ f ( x, y, z)dS =∫∫ f ( x, y, z)dS +∫∫ f ( x, y, z)dS. Σ Σ Σ
1 2
Remark: (1)当曲面 Σ 为光滑或分片光滑曲面片当曲面为光滑或分片光滑曲面片,f(x,y,z)在Σ 在续时,f(x,y,z)在 Σ 上必可积以下恒设此条上必可积,以下恒设此以下恒设此2条上连续时在件满足. 件满足 (2)第一类曲面积分有如定积分类似的性质从略第一类曲面积分有如定积分类似的性质,从略第一类曲面积分有如定积分类似的性质从略. (3)第一类曲面积分的物理意义曲面的质量第一类曲面积分的物理意义:曲面的质量第一类曲面积分的物理意义
Σ Σ1
dS = 1 + z ′x 2 + z ′y 2 dxdy

第二章第二节第一型曲面积分doc

第18 章曲面积分第二节第一类型曲面积分1、第一类型曲面积分的定义问题：设∑是3R 中一张有面积的曲面，∑上按面密度)(p ρρ=分布着某种物质，问如何求出分布在∑上物质的总质量？沿用以前用过的作法，将∑分成若干小块n S S S ,,,21 ，并在每一小块i S 上任意取定一点i p ，这时小块i S 上的质量)()(i i i S p m σρ≈，n i ,,2,1 =。

于是曲面片∑上的质量就近似地等于)()(1i ini S pσρ∑= 。

当我们把曲面片∑无限细分时，上面的和式的极限就可以定义为展布在曲面片∑上物质的质量M ，即)()(lim1i ini S pM σρ∑==。

以上的实例引导出下面的第一类型曲面积分的定义。

定义18.2 设∑是3R 中一张可求面积的曲面片，f 是定义在∑上的函数,分割T 把∑分成若干更小的曲面片n S S S ,,,21 。

定义分割T 的宽度为},,2,1,max{||||n i diamS T i ==，在每一小片i S 上任意取定一点i p ，如果和数)()(1i i ni S p f σ∑=当0||||→T 时有有限的极限，并且其极限值不依赖于分割及点ip 在iS上的选择，那么称这个极限值为函数f 沿曲面∑的第一型曲面积分，记作σd f ⎰∑，或dSf ⎰⎰∑。

2、第一类型曲面积分的计算公式由曲面面积元素的表达式dudv r r d v u ||||⨯=σ，或从定义出发，求出右端的极限，便可得出第一型曲面积分的计算公式：（1）设正则曲面∑有参数向量方程)),(),,(),,((),(v u z v u y v u x v u r r ==，∆∈),(v u ，f 是定义在∑上的连续函数，则σd f ⎰∑dudvr r v u z v u y v u x f v u ||||)),(),,(),,((⨯=⎰⎰∆dudvF EG v u z v u y v u x f ⎰⎰∆-=2)),(),,(),,((；（2）当曲面∑是由显式D y x y x z ∈=),(),,(ϕ表达时，其中D 是有面积的平面区域，)(1D C ∈ϕ，f 是定义在∑上的连续函数，则有σd f ⎰∑dxdyzx y x y x f D⎰⎰∂∂+∂∂+=22)()(1)),(,,(ϕϕϕ。

曲线积分与曲面积分-第一类曲面积分

D yz = {( y , z ) y ≤ R, 0 ≤ z ≤ H }.
o
x
Σ1 R y
dS dS = 2 I = ∫∫ 2 ∫∫ R2 + z 2 2 R +z Σ1 Σ
2 d S = 1 + x 2 + xz d y d z y
= 1+ ( = R
y R y
2 2 2
)2 + 0 d y d z
Σ
Σ1 Σ2
(3) 对称性：
对面积的曲面积分
∫∫ f ( x , y , z ) d S，
Σ
对称性的利用类似于三重积分 .
如：若 f ( x , y , z ) 在 Σ 上连续， Σ 关于 yoz 面对称，则 f ( x, y, z) = f ( x, y, z) 0, ∫∫ f ( x, y, z)d S = 2∫∫ f ( x, y, z)d S, f ( x, y, z) = f ( x, y, z) Σ
dS , 其中 ∑是介于平面 I = ∫∫ 2 2 2 x + y +z Σ
Σ = Σ1 + Σ 2
2 2
z = 0 , z = H 之间的圆柱面 x 2 + y 2 = R 2 .
解 (方法1)
Σ1 : x =
z
H
Σ2
R y ,
( y , z ) ∈ D yz
( y , z ) ∈ D yz
Σ 2 : x = R2 y 2 ,
∫∫ f ( x , y )dσ
D Ω
I是空间闭区域Ω→∫∫∫ f ( x , y , z )dv I是曲线 Γ → I是曲线 Σ →
∫ f ( x , y, z )ds

第一型曲面积分

|| T || 为分割 T 的细度，即为诸
Si 中的最大直径.
定义1 设 S 是空间中可求面积的曲面,
f 为( x, y, z)
定义在 S 上的函数. 对曲面 S 作分割 T, 它把 S 分成
n 个小曲面块 Si (i 1, 2, L , n), 以 Si 记小曲面块
Si 的面积, 分割 T 的细度
D
其中
E xu2 yu2 zu2 , F xu xv yu yv zuzv , G xv2 yv2 zv2 .
例2 计算
I z dS , 其中 S 为 S
螺旋面(图22-3)的一部分:
z
x ucos v,
S
:
y
u sin
v,
(u,v)
D
,
2
z v,
O
(a, 0, 0)
I f ( x, y, z)dS .
(1)
S
于是, 前述曲面块的质量可由第一型曲面积表示为:
特别地, 当
块 S 的面积.
m ( x, y, z)dS . S
f ( x, y, z) 1 时,曲面积分
dS 就是曲面
S
二、第一型曲面积分的计算
第一型曲面积分需要化为二重积分来计算.
定理 22.1
z
例1 计算
S z dS , 其中 S
h
是球面 x2 y2 z2 a2 被
平面 z h (0 h a) 所截
O
a
x
y
得的顶部 (图22-1).
图 22 1
解曲面 S 的方程为 z a2 x2 y2 , 定义域 D 为
圆域 x2 y2 a2 h2 . 由于
1 zx2 zy2

第一型曲面积分

二、第一型曲面积分的计算
第一型曲面积分需要化为二重积分来计算.
定理22.1 设有光滑曲面
S : z z( x , y ) , ( x , y ) D ,
f ( x , y , z ) 为 S 上的连续函数, 则

S
2 f ( x , y , z )dS f ( x , y , z ( x , y )) 1 z x z 2 dxdy . y D
(2)
( 定理证明与曲线积分的定理20.1相仿, 不再详述. )
山西大同大学数计学院
例1 计算

S
1 dS , 其中 S z
a
x
z
h
是球面 x 2 y 2 z 2 a 2 被
O
平面 z h (0 h a ) 所截得的顶部 (图22-1).
2
y
图 22 1
2 2
解曲面 S 的方程为 z a x y , 定义域 D 为
a 2 h2
0
a r dr 2 2 a r r dr 2 2 a r
2 a 2 h2 0
πa ln(a r )
2
a 2aπ ln . h
山西大同大学数计学院
例2 计算
( xy zx yz )dS ,
S
z
其中 S 为圆锥面 z
x2 y2
O
被圆柱面 x 2 y 2 2ax 所割下的部分 (图22-2). 解对于圆锥面 z 有
EG F 2 1 u 2 .
然后由公式 (3) 求得:
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I v 1 u dudv vdv
2 0 D

第一类曲面积分和第二类积分的联系

第一类曲面积分和第二类积分的联系曲面积分是在曲面上对向量场进行积分的一种数学工具。

在曲面积分的理论中，有两种常见的类型，分别是第一类曲面积分和第二类曲面积分。

这两类积分在数学中有着密切的联系，在实际问题的求解中也具有重要的应用价值。

首先，我们来了解一下第一类曲面积分。

第一类曲面积分是对标量场在曲面上的积分，它描述了标量场通过曲面的流量。

简单来说，如果我们有一个曲面S，那么第一类曲面积分可以表示为∫∫Sf(x,y,z) dS。

其中，f(x,y,z)是定义在曲面上的标量场，dS是曲面的微元面积。

第一类曲面积分的结果是一个数值，表示标量场通过曲面的总量。

而第二类曲面积分则是对向量场在曲面上的积分。

它描述了向量场在曲面上的分布情况。

与第一类曲面积分类似，如果我们有一个曲面S，那么第二类曲面积分可以表示为∫∫S F·n dS。

其中，F是定义在曲面上的向量场，n是曲面上某一点的单位法向量，dS是曲面的微元面积。

第二类曲面积分的结果也是一个数值，表示向量场在曲面上的总贡献。

现在我们来讨论第一类曲面积分和第二类曲面积分的联系。

首先，它们的求解方法是不同的。

对于第一类曲面积分，我们可以使用曲面的参数方程将其转化为二重积分进行计算。

而对于第二类曲面积分，我们需要使用高斯公式将其转化为三重积分来求解。

其次，它们的物理意义也是不同的。

第一类曲面积分描述了标量场通过曲面的流量，可以理解为某一物理量的总量。

而第二类曲面积分描述了向量场在曲面上的分布情况，可以理解为某一物理量的密度分布。

另外，第一类曲面积分和第二类曲面积分在某些情况下是可以对应的。

在某些特殊的条件下，两类曲面积分可以相互转化。

比如在均匀场的情况下，第一类曲面积分可以表示为第二类曲面积分。

这种对应关系在实际问题的求解中起着重要的作用，可以简化计算过程，提高求解效率。

综上所述，第一类曲面积分和第二类曲面积分在数学理论中密切相关，并在实际问题的求解中具有重要的应用价值。

§6.5 第一类曲面积分的计算

S
得投影区域Dxy ,被积函数 f x , y , z 中的z换为
曲面方程z z x , y
f x, y, z x, y
f x , y , z dS S
D
xy
z z f x, y, z x, y 1 x y dxdy .
2
2
2. 若曲面S：y y( x , z )
则
S
f ( x , y , z )dS f [ x , y( x , z ), z ] 1 y x y z dxdz;
2 2 Dxz
3. 若曲面S：x x( y , z )
则
f ( x , y , z )dS S
M i i , i , i Si ,
mi f i ,i , i Si .
求和
m f i ,i , i si .
n 1

f i ,i , i si . 取极限 m lim 0
n 1

为所有小块的最大直径 .
x 2 y 2 dS
S2

D
xy
x 2 y 2 dxdy

s1 : z
x2 y2
D
1

2 0
d r rdr
2 0
1

2
1 2 2 x y dS 2 S1 S2 S

2 1 .

三、第一类曲面积分的计算
定理设积分面S由方程z z x , y 给出, S在
xoy平面上的投影区域为Dxy , 且z z x , y

第5讲曲面积分的计算

第5讲曲面积分一.第一型曲面积分的计算1(,,)lim (,,)niiiid i Sf x y z dS f Sξηζ→==∆∑⎰⎰1.曲面的面积设曲面S 的方程为：(,)z f x y = (,)xy x y D ∈.xyD S =⎰⎰若曲面方程为(,)x x y z =,将曲面投影到yOz 面上(投影域为yz D )yzD S =⎰⎰若曲面方程为(,)y y z x =,将曲面投影到zOx 面上(投影域为zx D )zxD S =例1 求球面2222x y z R ++=(0z ≥)介于平面(0)z h h R =<<和平面0z =之间部分的面积.2. 第一型曲面积分的计算设S 的方程为：(,)z z x y = (,)xy x y D ∈.(,,)(,,(,xySD f x y z dS f x y z x y =⎰⎰⎰⎰若曲面方程为(,)x x y z =(,,)((,),,yzSD f x y z dS f x y z y z =⎰⎰⎰⎰若曲面方程为(,)y y z x =(,,)(,(,),zxSD f x y z dS f x y z x z =⎰⎰⎰⎰例1 计算SxzdS ⎰⎰,其中S 是锥面z =被圆柱面222(0)x y ax a +=>所截下部分.例2 计算SzdS ⎰⎰,其中S 是由圆柱面222x y R +=,平面0z =和z x R -=所围立体的表面.二、向量值函数在有向曲面上的积分 1、曲面的侧空间曲面方程：(,)(,)(,)(,,)0(,)(,)(,)(,)(,)(,)z z x y x y D x y F x y z y y z x z x D z x x x y z y z D y z =∈⎧⎪=⇔=∈⎨⎪=∈⎩任一点处的法向量(,,)x y z n F F F =在光滑曲面S 上取一定点0M ，则曲面S 在点0M 处的单位法向量有两个方向，选取其中的一个方向作为曲面S 在点0M 处的单位法向量，记为0n .双侧曲面：S 上的动点M 从点0M 出发,在曲面S 上连续移动而不超过S 的边界回到0M 时,其单位法向量与出发前的0n 相同。

4 第一型曲面积分

§4 第一型曲面积分
第一型曲面积分的概念第一型曲面积分的计算
一第一型曲面积分的概念
实例
是光滑的, 若曲面 Σ 是光滑的 , 它的面密度为连续
求它的质量. 函数ρ( x , y , z ) , 求它的质量.
所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面, 平面,且当点在曲面上连续移动时, 上连续移动时,切平面也连续转动. 面也连续转动.
1. 若面Σ: 曲
则
Σ
z = z(x, y)
∫∫ f ( x , y , z )dS
=
∫∫
D xy
′x 2 + z′y 2 dxdy; f [ x , y , z ( x , y )] 1 + z
定理: 定理设有光滑曲面 f (x, y, z) 在 ∑ 上连续则曲面积分上连续,
z
Σ
o x Dxy
Σ
y + z = 5 被柱面 x + y = 25 所截得的部分.
2 2
解积分曲面 Σ：z = 5 − y ,
投影域： Dxy = {( x , y ) | x 2 + y 2 ≤ 25}
2 2
与上半球面 z = a2 − x2 − y2 的解: 锥面 z = x + y 交线为为上半球面夹于锥面间的部分, 设∑1 为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xoy 面上的投影域为 Dxy = { ( x, y) x2 + y2 ≤ 1 a2 }, 则 2
I = ∫∫ (x2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ y2 ) dS
∑1
I = ∫∫ (x2 + y2) dS
∑1
= ∫∫
Dx y
(x + y )

第四节第一类曲面积分

)
（1）确定的方程: z z(x, y);
（2）确定在xoy 面上的投影区域 Dx y
（3）将曲面方程 z z(x, y) 及
dS
1
zx2
(
x,
y)
z
2 y
(
x,
y)
d
xd
y
代入 f (x, y, z) d S中即可。一投、二代、三换
说明: 1) 如果曲面方程为 x x( y, z), ( y, z) Dyz
1
z
2 x
z
2 y
d
xd
y
2d xd y,
Dx2y {( x, y) | x2 y2 1}, xdS x 2d xd y 0,
2
Dx2 y
例5. 计算 xdS , 其中是圆柱面 x2 y2 1,
平面 z x 2 及 z 0 所围成的空间立体的表面.
解: xdS xdS xdS
f (x, y, z) d S f [x( y, z), y, z] 1 xy2 xz2 d y d z
或
Dyz
y y(x, z), (x, z) Dxz
f (x, y, z) d S f [x, y(x, z), z] 1 yx2 yz2 d x d z
Dxz
2）若是 xoy 面上的一个闭区域 D 时，则
: x2 y2 z2 a2
2
d
1 2
2a
0
0
a r 2 r dr a2 r2
1 a4 (8 5
6
2)
思考: 若例3 中被积函数改为
计算结果如何 ?
例4. 计算| xyz | d S 为抛物面 z x2 y2（ 0 z 1）.

第一型曲面积分的计算

y
d 1 S z x 2 z 2 y d 2 x d ， d xoy d D xy y x
∵ 关于 xo面 z对称，而yz2x2，被积函数中 x,yy都 z是 y的奇函数，
∴ x y y 0 ， ∴ z d ( x d y z S y ) d z x S z S 。 x
x 2 d y2 S z24 1x 2 d y2 S z24D ya z2 1z2
a dyd
a2y2
a 1
h1
4a
0
a2y2dy0a2z2dz
4 a (ar y )a c (1 a sirn z) c h t 4 a a 1 n arh c 2 t aa rh n .ct
20dx x 2
y x D 21 d y 21 dx x2D 2 x 2ydy
00
41(2x2)2 3dx41x3dx
30
30
x 2sint 16 4co4stdt1 5 .
30
33 2
习题三（ P 1 8 7 ）
4 .求曲线 A B 的方程，使图形 O A B D 绕
D
解：抛物线 y x 2 把 D 分为两个子区域： y
D 1 { x ,y ( )x 1 ,x 2 y 2 } ， 2
ห้องสมุดไป่ตู้
D 2 { x ,y ( )x 1 ,0 y x 2 } 。 D1 y x 2
yx2 yx2, (x,y)D1 -1
设光滑曲面的方程为 z z (x ,y )，在 x面 y 上的投影区域为 D x， y 函数 z (x ,y )在 D x上 y有一阶连续偏导数，若 f(x ,y ,z )在上连续，则有

5-曲面积分

L
2
2
2
2
2
2
其中 L 是球面
2 2
x + y + z = 2bx 与柱面
2
2
2
x + y = 2 ax ( b > a > 0 ) 的交线 ( z ≥ 0 ),
从 L 正向看 L 所围球面部分总在左侧.
答案:
2bπa
2
14、求
I = ∫ ( y − z )dx + ( z − x)dy + ( x − y )dz
x + y + z − 2ax − 2ay − 2az + a = 0
其中常数 a > 0. 证明:
2
2
2
2
I =
( x + y + z − 3 a ) dS ≤ 12 π a . ∫∫
S
3
练习 5 计算
∫∫ ( x + 2 y + 3 z − 4 )
S
2
dS .
其中 S 为正八面体的表面积.
S : x
S 为平面 x = ± a , y = ± b , z = ± c
围成的长方体的全表面的外侧.求：
∫∫
S
f ( x ) dydz + g ( y ) dzdx + h ( z ) dxdy
答案:
8[bcf (a) + cag (b) + abh(c)]
注: 用高斯公式 ① P , Q , R 一阶偏导连续; ② Σ 要封闭; ③ 取外侧,否则加负号.
x + y + z = 0 的交线,从 ox 轴正向向负
向看去, L 的取向为逆时针方向.

对面积曲面积分的计算法

所以
0
1
2
3
在 4 上 z 1 x y， dS 1 zx2 zy2 d 3d，又 4 在xoy面上的投影区域D为 x 0, y 0, x y 1 围成的三角形
所以
xyzdS
xyzdS xy(1 x y) 3d
4
D
1
1 x
30 xdx0 y(1 x y)dy
dy R2 y2 0
R2 z2 dz
R
0
R R2
y2
1 arctan R
Z R
|0H
dy
arctan H R 1 dy
R 0 R2 y2
而
R 1 dy lim R1
0 R2 y2
R1 R 0
lim arcsin R1
R1 R
R2
1 dy R2 y2
所以
dS x2 y2 z2
a
d
Hale Waihona Puke a2 x2 y2所以
1
z
dS
1
D a2 x2 y2
a
d
a2 x2 y2
a d
a rdrd
D a2 x2 y2
D a2 r2
（极坐标）
＝a
2
d
0
0
a2 h2
a2
r r2 dr
2 a[
1 ln(a2 2
r 2 )]0 a2 h2
2 a ln a
h
❖例2 计算 xyzdS ，其中是三个坐标面和
3
1
x[(1 x)
0
y2 2
y3 3
]10
x
dx
3 1 x (1 x)3 dx
0

§6.5第一型曲面积分的计算

记d max 1 k n
的直径
k
，k的面积记为Ak .
如果不论将如何分割，点M
k
如何选取，
k
n
当d 0时， f (Mk )Ak有确定的极限，则称 k 1
函数f 在曲面上可积，极限值为f 在上的
第一型曲面积分,即
n
f
( x,
y, z)dA
lim
d 0
k 1
f (k ,k , k )Ak
( x, y) Dx y
A Dxy
Fx2 Fy2 Fz2 dxdy. Fz
例1.求球面 x2 y2 z2 a2在 z b部分的面积(a b 0).
az
S
b
y
x
二. 第一型曲面积分的概念
定义设是一个分片光滑曲面，函数f 在上有定义.
将任意分割成n个小部分（k k 1,2,L ,n),
'(面积A')
的一个法向量：{0, 0,1}
'的一个法向量：{zx , zy ,1}
| cos |
1
1
z
2 x
z
2 y
x
dAA 11zzx2x2zz2y2yd
o
y
Dxy
P(x, y)
曲面的面积元素
结论： 1.设光滑曲面的方程为 z z( x, y)，Dxy是在 xy平面上的投影区域，的面积为A，则
y
x
Dxy
例3.计算 ( x2 y2 z2 )dA,其中是由 x 0, y 0, x2 y2 z2 1 ( x 0, y 0)所围成的闭曲面.
z
2 1
y
x 3
§6.5 第一型曲面积分的计算
一.曲面的面积

§6.5第一型曲面积分的计算

连续, 则
f ( x, y, z)dA f ( x, y, z( x, y)) 1 z2x z2y dxdy.
Dxy
记忆口诀：“一代二换三投影”.
注 1. 若曲面 : y y( x, z), ( x, z) Dzx , 则
f (x, y, z)dA
f [x, y(x, z),z]
Dxy {( x, y) x2 y2 1} ，
∵ z 2x ， z 2 y ，
x
y
Dxy o
x1
z1
zx2 y2
1y
dA 1 ( z )2 ( z )2 dxdy 1 4x 2 4 y2 dxdy x y
∴ A
1 4x 2 4 y 2 dxdy
D xy
2
d
1
1 42 d
zx
x z
,
zy
y z
1
z
2 x
z
2 y
a2 a2 x2 y2
A 2
a
dxdy
D a2 x2 y2
2
a2 b2
2 d
a
d 4 a a b
0
0
a2 2
例 2．求旋转抛物面 z x2 y2 上在平面 z1 下面的一部分曲面的面积A .
解：曲面在xoy 面上的投影区域 z
8
பைடு நூலகம்
10 40
例 4 计算 (x2 y2 z2)dA, 为由x 0, y 0,
x2 y2 z2 1(x 0, y 0)所围成的闭曲面.
解 (x2 y2 z2)dA ( )
1 2 3
1: x 0, y2 z2 1, y 0,
z
(x2 y 2 z 2 )dA

第一型曲面积分计算

第一型曲面积分计算
第一型曲面积分是对一个曲面上的函数进行积分。

具体计算方法如下：
设有一个曲面 S，其参数方程为 (x(u,v), y(u,v), z(u,v))，其中(u,v) 是曲面上的参数。

首先计算曲面的法向量 N，可以通过计算曲面的两个切向量的叉积得到：
N = (dx/du x dx/dv, dy/du x dy/dv, dz/du x dz/dv)
然后定义一个曲面上的函数 f(x,y,z)。

第一型曲面积分的计算公式为：
∬(f(x,y,z)·N)dS = ∬(f(x(u,v), y(u,v), z(u,v))·N(u,v))dudv
其中，N(u,v) 是曲面上点 (u,v) 处的法向量，dudv 是曲面上的面积微元。

将参数方程代入公式中，计算出被积函数的值，然后对曲面上的参数域进行积分即可。

具体计算方法因曲面和函数的形式而异，可以根据具体的题目进行求解。

利用元素法简化第一型曲面积分的计算

利用元素法简化第一型曲面积分的计算
第一型曲面积分的计算可以利用元素法来简化。

元素法的基本思想是将曲面积分分解为一系列的小的曲面积分，这些小的曲面积分被称为元素。

首先，将曲面分为多个元素，每个元素都有一个简单的几何形状，比如三角形、四边形等。

然后，可以给每个元素找到一个简单的积分公式，比如三角形的积分公式可以使用三角形的重心法则，四边形的积分公式可以使用四边形的重心法则。

最后，将每个元素的积分结果累加，就可以得到整个曲面的积分结果。