人教版A版高中数学选修3-3简单多面体的欧拉公式

假设m代表一正多面体每块面上的边数 n代表它的每个顶点上的边数 考虑以下公式：
mF 2E F 2E
(1)
m
nV 2E V 2E
(2)
n
将(1)、(2)式代入欧拉公式，得：
V FE2
2E 2E E 2 nm
左右两边同时除以2E，得：
1 1 1 1 nm2 E
2m 2n mn 1
(3)
2mn
E
由于2m 2n mn 0 0 mn 2m 2n
4 mn 2m 2n 4
4 (m 2)(n 2)
4 (m 2)(n 2) (m 2)及(n 2)只可能是：
m-2 n-2
如果把多面体想象成由橡皮膜围 成的，对这个橡皮膜做成的多面 体进行充气，如果它能变成一个 球面，我们把这样的多面体叫做 简单多面体。
问题：以下哪些是多面体？哪 些是正多面体呢？
多面体与正多面体的定义
多面体：由若干个多边形围成的封闭立 体图形。
正多面体：每个面都有相同边数的正多 边形，而每个顶点都有相同棱数的凸多 面体。

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例子：若一凸多面体的面全是 三角形，证明 F=2V - 4。
解：由于每块面有3条边，而每条边是两 块相邻面所共有，所以：

E = 3F/2 ………….(*)
引用欧拉公式 V+F-E=2，得：

2V+2F-2E=4
把(*)代入，得： 2V+2F–3F=4

2V- F =4
F= 2V – 4。
想想看：nV = ?
n代表一个正多面体每个顶点上的边数
正六面体
n=3 V=8 E=12 nV=24 =2E
正八面体
n=4 V=6 E=12 nV=24 =2E
一般而言，对任意正多面体，有以下结 果：
mF = 2E 及 nV = 2E
一个几何定理
定理：正多面体只有五种
证明：正多面体只有五种
当m n 3,
E

2(3)(3) 2(3) 2(3) (3)(3)
18 3

6
F

2(6) 3
4
E 2mn
及 F 2E
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2m 2n mn
m
当m 3, n 5,
E

2(3)(5) 2(3) 2(5) (3)(5)
30 1

30
F

2(30) 3
究竟有多少个正多面体呢？
欧拉公式
对简单多面体而言，其顶点数(V)、 面数(F)及棱数(E)满足以下公式：
V+F–E=2
例子：若一凸三十二面体的顶 点数是60，求它的棱数。
解： V=60, F=32
代入 V+F-E=2，得：
E = V+F-2

= 60+32-2

= 90
该多面体的棱数是90。
m的意义
m代表一个正多面体每块面上的边数
m=4 正六面体
m=3 正四面体
n的意义
n代表一个正多面体每个顶点上的边数
n=3 正六面体
n=4 正八面体
想想看：mF = ?
m代表一个正多面体每块面上的边数
正六面体
m=4 F=6 E=12 mF=24 =2E
正八面体
m=3 F=8 E=12 mF=24 =2E
1
1
1
2
1
3
2
1
3
1
m
n
3
3
3
4
3
5
4
3
5
3
把不同的m, n值代回(1)、(2)、(3)，得：
mn
E
F
多面体名称
3
3
6
4
正四面体
3
4
12
8
正八面体
3
5
30
20
正二十面体
4
3
12
6
正六面体
5
3
30
12
正十二面体
结论
正多面体只有以下五种：
E 2mn
及 F 2E
2m 2n mn
m
简单多面体的欧拉公式
为什么可以用球面多边形的内角和公 式证明简单多面体的欧拉公式呢？两 者之间有什么联系？
为了解决这个问题，我们首先 回顾简单多面体的欧拉公式。
我们知道，多面体是由若干个平 面多边形所围成的封闭的几何体， 如果一个多面体在它的每一个面 所在的平面的同一侧，那么这个 多面体称为凸多面体。