不等式及均值定理单元测试题(一)

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均值定理专题归纳与训练

均值不等式的应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222ba ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） ; 若0x≠，则11122-2x x x xxx+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域 (1)y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 技巧一：凑项例2：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值.技巧二：凑系数例3. 当时，求(82)y x x =-的最大值.变式：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值.技巧三：分离例4. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域. 技巧四：换元求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域. 技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()af x x x=+的单调性。

(完整版)均值不等式常考题型

均值不等式及其应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三相等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧：技巧一：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

(典型题)高中数学必修五第三章《不等式》检测卷(答案解析)(1)

一、选择题1．若正数x ，y 满足21y x+=，则2x y +的最小值为（）A ．2B ．4C ．6D ．82．已知()()22log 1log 24a b -++=，则+a b 的最小值为（） A ．8B ．7C ．6D ．33．若实数x ，y 满足1,,1,x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值为（）A ．3-B ．0C ．1D ．34．若实数x ，y 满足约束条件403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值是（）A ．1B ．20C ．28D ．325．若x ､y 满足约束条件36022x y x y y +-≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则22x y +的最小值为（）A ．5B ．4C ．2D6．若正实数a b c 、、满足22ab bc ac a ++=-，则2a b c ++的最小值为（） A ．2B ．1CD ．7．在各项均为正数的等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，7S =14，则2614t a a =+的最小值为（） A ．9B ．94C ．52D ．28．已知函数()32f x x ax bx c =+++，且()()()01233f f f <-=-=-≤，则( ) A ．c 3≤ B ．3c 6<≤ C ．6c 9<≤D ．c 9>9．设x ，y 满足约束条件1x y ax y +≥⎧⎨-≤-⎩，且z x ay =+的最小值为7，则a =（）A ．5-B ．3C ．5-或3D ．5或3-10．下列函数中，最小值为4的是（） A ．4y x x=+B ．()4sin 0πsin y x x x=+<<C ．e 4e x x y -=+D．y =11．已知正数x ，y 满足x +y ＝1，且2211x y y x +++≥m ，则m 的最大值为（） A ．163B ．13C ．2D ．412．如果0a b >>，0t >，设b M a =，b t N a t+=+，那么（） A ．M N C ．MND ．M 与N 的大小关系和t 有关二、填空题13．设实数s ，t 满足0t >，且24s t +=，则128s s t+的最小值是____________. 14．若正实数x 、y 、z ，满足3z x y +=，4z y x +=，则x yx y z++-的最小值为_______.15．已知对满足4x y xy +=的任意正实数x ，y ，都有22210x xy y ax ay ++--+≥，则实数a 的取值范围为___________.16．已知实数x ，y 满足x y 10x y 20x 0-+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则z x 2y =-的最大值为______．17．已知实数x ，y 满足10,0,0,x y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则函数2z x y =-的最大值为__________．18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2c cosB ＝2a ＋b ，若△ABC 的面积为12c ，则ab 的最小值为_______． 19．若实数x ，y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =-的最小值为__________．20．已知x ，y 是正数，121x y +=，则21x y xy ++的最小值为________. 三、解答题21．已知实数x ，y 满足不等式组204030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，求目标函数23z x y =-的最值及相应的最优解．22．二次函数f(x)满足f(x ＋1)－f(x)＝2x ，且f(0)＝1. (1)求f(x)的解析式； (2)解不等式f(x)＞2x ＋5.23．已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R (x )万美元，且24006,040()740040000,40x x R x x xx -<⎧⎪=⎨->⎪⎩，（1）写出年利润W (万美元)关于年产量x (万部)的函数解析式；（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.24．已知关于x 的不等式23240x ax -++>. （1）当2a =时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为()4,m -，求实数a ，m 的值.25．已知不等式2320ax x -+>解集为{}1 xx x b <>∣或. （1）求a ，b 的值并求不等式230bx ax --<的解集；（2）解关于x 的不等式2()0ax ac b x bc -++<.26．已知函数2()3f x x ax a =-++. （1）当7a =时，解不等式()0f x >；（2）当x ∈R 时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】由21y x +=，对2x y +乘以21y x+=，构造均值不等式求最值 .【详解】22242248x y x xy y x y xy ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当421xy xy y x⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即412x y =⎧⎪⎨=⎪⎩时，等号成立，∴min 28x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选：D 【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正、二定、三相等” (1) “一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．如果等号成立的条件满足不了，说明函数在对应区间单调，可以利用单调性求最值或值域．2．B解析：B 【分析】由对数运算可得出()()1216a b -+=，利用基本不等式可求得+a b 的最小值. 【详解】因为()()22log 1log 24a b -++=，即()()2log 124a b -+=⎡⎤⎣⎦，所以，()()1216a b -+=且有10a ->，20b +>，由基本不等式可得()()128a b -++≥=，所以，7a b +≥，所以(1)(2)16a b -+=，且10a ->，20b +>，当且仅当124a b -=+=时等号成立. 因此，+a b 的最小值为7. 故选：B. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.3．D解析：D 【分析】画出约束条件所表示的平面区域，根据目标函数的几何意义，结合图形，即可求出结果. 【详解】由x ，y 满足条件1,,1,x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩作出可行域，如图.则()()1,1,2,1B C ---，由1x y y x+=⎧⎨=⎩得11,22A ⎛⎫⎪⎝⎭目标函数2z x y =+，化为2y x z =-+ 则z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距.由图可知，当直线2y x z =-+过点C 时，z 有最大值. 所以z 的最大值为：2213z =⨯-= 故选：D【点睛】方法点睛：解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.4．C解析：C 【分析】画出可行域，向上平移基准直线320x y +=到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值. 【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，如下图所示的阴影部分：其三角形区域（包含边界），由40340x y x y -+=⎧⎨--=⎩得点(4,8)A ，由图得当目标函数=3+2z x y 经过平面区域的点(4,8)A 时，=3+2z x y 取最大值max 342828z =⨯+⨯=.故选：C.【点睛】方法点睛：求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5．C解析：C 【分析】由不等式组作出可行域，如图,目标函数22xy +可视为可行域中的点与原点距离的平方，故其最小值应为原点到直线2x y +=的距离平方，根据点到直线的距离公式可得选项. 【详解】由不等式组做出可行域如图，目标函数22xy +可视为可行域内的点与原点距离的平方，故其最小值为原点到直线2x y +=的距离的平方，由点到直线的距离公式可知，原点到直线2x y +=的距离为22d ==，所以所求最小值为2. 故选:C.【点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式0Ax By C ++≥转化为y kx b ≤+（或y kx b ≥+），明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.6．D解析：D 【解析】分析：根据基本不等式的性质求出2a+b+c 的最小值即可．详解：由题得：因为a 2+ac+ab+bc=2， ∴（a+b ）（a+c ）=2，又a ，b ，c 均为正实数， ∴2a+b+c=（a+b ）+（a+c ），当且仅当a+b=a+c 时，即b=c 取等号．故选D.点睛：本题考查了绝对值的意义，考查基本不等式的性质，是一道基础题．7．B解析：B 【分析】根据等差数列的性质和前n 项和公式求得26a a +，然后由“1”的代换应用基本不等式求得最小值．【详解】由题意172677()7()1422a a a a S ++===，∴264a a +=， ∴26262614114()()4t a a a a a a =+=++62264119(5)(5444a a a a =++≥+=，当且仅当62264a a a a =，即622a a =时等号成立．故选：B ．【点睛】本题考查等差数列的性质，考查基本不等式求最值．解题基础是掌握等差数列的性质，掌握基本不等式求最值中“1”的代换法．8．C解析：C 【分析】由()()()123f f f -=-=-可求得a b ，的值，代回不等关系得出c 的取值范围【详解】由()()()123f f f -=-=-可得184********a b c a b c a b c a b c -+-+=-+-+⎧⎨-+-+=-+-+⎩解得611a b =⎧⎨=⎩则()32611f x x x x c =+++所以()16f c -=-，()013f <-≤所以0c 63-≤＜，解得6c 9≤＜，故选C . 【点睛】本题主要考查了函数的性质，运用待定系数法求出参量的值，然后结合题意求出取值范围，较为基础．9．B解析：B 【分析】画出可行域，讨论当0a =时,当0a <时，当0a >时三种情况，分别求出目标函数的最值，即可筛选出符合题意的a 的值. 【详解】根据题中约束条件1x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩可画出可行域如图所示，两直线交点坐标为：11,22a a A -+⎛⎫⎪⎝⎭，当0a =时，z x ay =+无最小值；当0a <时，z x ay =+在11,22a a A -+⎛⎫⎪⎝⎭处取最大值，无最小值．当0a >时，z x ay =+在11,22a a A -+⎛⎫⎪⎝⎭处有最小值： 21121222a a a a z a -++-=+⨯=，则22172a a +-=，解得3a =，故选B.【点睛】本题主要考查可行域、含参数目标函数最优解和均值不等式求最值，属于难题.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度，此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键.10．C解析：C 【分析】逐个分析每个选项，结合基本不等式和函数性质即可判断. 【详解】 A 项，4y x x=+没有最值，故A 项错误； B 项，令sin t x =，则01t <≤，4y t t=+，由于函数在(]0,1上是减函数，所以min ()(1)5f x f ==，故B 项错误；C 项，4e 4e e 4e x x x x y -=+=+≥=，当且仅当4e e x x =，即e 2x =时，等号成立，所以函数e 4exxy -=+的最小值为4，故C 项正确；D 项，y =≥=，时，等号成立，所以函数y =D项错误．故选：C ．【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题.11．B解析：B 【分析】根据题意2211x y y x +++＝22(1)(1)11--+++y x y x =(4411+++y x )﹣5，由基本不等式的性质求出4411+++y x ＝13(4411+++y x ）[(x +1)+(y +1)]的最小值，即可得2211x y y x +++的最小值，据此分析可得答案. 【详解】根据题意，正数x ，y 满足x +y ＝1，则2211x y y x +++＝22(1)(1)11--+++y x y x＝(y +1)+41+y ﹣4+(x +1)+41x +﹣4＝(4411+++y x )﹣5，又由4411+++y x ＝13(4411+++y x ) [(x +1)+(y +1)], ＝13[8+4(1)4(1)11+++++x y y x ]≥163，当且仅当x ＝y ＝12时等号成立，所以2211x y y x +++＝(4411+++y x )﹣5163≥﹣5＝13，即2211x y y x +++的最小值为13，所以3m ≤，则m 的最大值为13；故选：B ．【点睛】本题主要考查基本不等式的性质以及应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题．12．A解析：A 【分析】对M 与N 作差，根据差值的正负即可比较大小. 【详解】()()()()()b a t a b t t b a b b t M N a a t a a t a a t +-+-+-=-==+++，因为0a b >>，所以0b a -<，又0t >，所以0a t +>，所以()()0t b a a a t -<+，即0M N -<，所以M N <. 故选：A 【点睛】本题主要考查作差法比较大小，考查学生的化简分析能力，属于常规题型.二、填空题13．【分析】变换得到利用均值不等式计算得到答案【详解】当且时即时等号成立故答案为：【点睛】本题考查了利用均值不等式求最值意在考查学生的计算能力和转化能力解析：716【分析】变换得到22816132s t s s s t s s t+=++，利用均值不等式计算得到答案. 【详解】24s t +=，222178321163216162s s s s t s t s s t s s t t +=+=++≥-+=+，当232t s s t =且0s <时，即23s =-，163t =时等号成立. 故答案为：716. 【点睛】本题考查了利用均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力和转化能力. 14．【分析】由已知条件得出由得出可得出利用基本不等式可求得所求代数式的最小值【详解】已知实数均为正实数且可得所以可得令则所以当且仅当时等号成立因此的最小值为故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最解析：13- 【分析】由已知条件得出43y x =，2443z x x =-，由0z >得出03x <<，可得出71143x y x y t z t ++-=+-，利用基本不等式可求得所求代数式的最小值. 【详解】已知实数x 、y 、z 均为正实数，且3z x y +=，4z y x+=，可得34z y xy x xy =-=-，43y x ∴=，所以，2443z x x =-， ()2717134343343x x y x y x x z x x x +∴+-=-=---， ()24443033z x x x x =-=->，可得03x <<，令()30,3t x =-∈，则3x t =-，所以，()()717171311143343433x y x y x t t z x t t ++-=-=--=+-≥=--.当且仅当2t =时，等号成立，因此，x y x y z ++-的最小值为13-.故答案为：13-. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.15．【分析】利用基本不等式求得的取值范围对不等式分离常数结合函数单调性求得的取值范围【详解】依题意则当且仅当时等号成立由为正实数得令在上递增所以时有最小值所以故答案为：【点睛】利用基本不等式求最值要注意解析：829a ≤【分析】利用基本不等式求得x y +的取值范围，对不等式22210x xy y ax ay ++--+≥分离常数a ，结合函数单调性求得a 的取值范围.【详解】依题意4x y xy +=，则141y x+=，()144559x y x y x y y x y x ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4,26x y x y y x ===时等号成立. 由22210x xy y ax ay ++--+≥，,x y 为正实数得()()210x y a x y +-++≥，1a x y x y≤+++，令9t x y =+≥， 1t t +在[)9,+∞上递增，所以9t =时1t t +有最小值182999+=，所以829a ≤故答案为：829a ≤【点睛】利用基本不等式求最值，要注意掌握“1”的代换的方法. 16．-2【详解】根据题意得到如图可行域是封闭的三角形顶点是(01)()（02）目标函数可得到当目标函数过点A(01)有最大值-2故得到答案为：-2点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内解析：-2【详解】根据题意得到如图可行域是封闭的三角形，顶点是(0,1) (13,22)（0，2）目标函数2z x y =-，1,22z y x =-可得到当目标函数过点A(0，1)，有最大值-2，故得到答案为：-2. 点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y b x a ++型）和距离型（()()22x a y b +++型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值． 17．【解析】作出不等式所表示的平面区域如图所示由得作出直线并平移由图象可知当直线经过点时纵截距最小此时最大联立得即故解析：12【解析】作出不等式所表示的平面区域，如图所示，由2z x y =-得2y y z --，作出直线2y x =，并平移，由图象可知，当直线经过点A 时，纵截距最小，此时z 最大，联立10x y y x +-=⎧⎨=⎩，得1212x y⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即11,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故1112222max z =⨯-=．18．【解析】分析：由正弦定理将2ccosB ＝2a ＋b 转化成由三角形内角和定理将利用两角和的正弦公式展开化简求得的值由余弦定理三角形的面积公式及基本不等式关系求得ab 的最小值详解：2ccosB ＝2a ＋b 由解析：13【解析】分析：由正弦定理将2c cosB ＝2a ＋b 转化成2sin cos 2sin sin C B A B =+，由三角形内角和定理，将()sin sin A B C =+，利用两角和的正弦公式展开，化简求得sin C 的值，由余弦定理、三角形的面积公式及基本不等式关系，求得ab 的最小值.详解：2c cosB ＝2a ＋b ，由正弦定理转化成2sin cos 2sin sin C B A B =+∴()2sin cos 2sin sin C B B C B =++化简得：2sin cos sin 0B C B +=，又0,sin 0B B π<，得1cos 2C =-，0C π<<，得23C π=，则△ABC的面积为13sin 2S ab C ==，即3c ab =，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，化简得22229a b ab a b ++=，222a b ab +≥，当且仅当a b =时取等，∴2229ab ab a b +≤，即13ab ≥，故ab 的最小值是13. 故答案为13. 点睛：本题考查正余弦定理、三角形内角和定理及基本不等式相结合.19．1【分析】由约束条件作出可行域化目标函数为直线方程的斜截式数形结合得到最优解联立方程组求出最优解的坐标代入目标函数得答案【详解】画出不等式组对应的可行域如图所示由可得数形结合可得当直线过A 时直线在y 解析：1【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【详解】画出不等式组对应的可行域，如图所示，由3z x y =-可得3y x z =-，数形结合可得当直线3y x z =-过A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值，联立1030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得A （1，2），此时z 有最小值为3×1﹣2＝1．故答案为：1【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．20．【分析】首先将题中已知条件转化可得利用基本不等式可求得之后应用不等式的性质求得结果【详解】由可得即所以由得当且仅当时取等号所以有所以所以的最小值为当且仅当时取等号故答案为：【点睛】该题考查的是有关求解析：89【分析】首先将题中已知条件转化，可得2x y xy +=，利用基本不等式可求得8xy ≥，之后应用不等式的性质求得结果.【详解】由121x y +=可得21x y xy+=，即2x y xy +=，所以211111x y xy xy xy xy+==+++，由121x y =+≥ 得8xy ≥，当且仅当24x y ==时取等号，所以有1108xy <≤，19118xy <+≤，18191xy≥+，所以21811191x y xy xy xy xy+==≥+++，所以21x y xy ++的最小值为89，当且仅当24x y ==时取等号，故答案为：89. 【点睛】该题考查的是有关求最值的问题，涉及到的知识点有利用基本不等式求最值，利用不等式的性质求最值，属于中档题.三、解答题21．在35x y =⎧⎨=⎩时，取得最小值min 9z =-，在31x y =⎧⎨=⎩时，取得最大值max 3z =．【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移直线可得最优解．【详解】作出可行域，如图ABC 内部（含边界），由2=030x y x -+⎧⎨-=⎩得()3A ，5，由+4=030x y x -⎧⎨-=⎩得()31B ，，由2=0+40x y x y -+⎧⎨-=⎩得()13C ，，作直线:230l x y -=，向上平移直线l ，z 减小，当l 过点()3A ，5时，z 取得最小值23359⨯-⨯=-；向下平移直线l ，z 增大，当l 过点()31B ，时，z 取得最大值23313⨯-⨯=；所以目标函数23z x y =-在35x y =⎧⎨=⎩时，取得最小值min 9z =-，在31x y =⎧⎨=⎩时，取得最大值max 3z =．【点睛】本题考查简单的线性规划问题，解题方法是作出可行域，作出线性目标函数对应的直线，平移直线求得最优解，如果目标函数不是线性的，则可根据其几何意义求解，如直线的斜率、两点间的距离等，属于中档题．22．(1)2()1f x x x =-+;(2)()(),14,-∞-+∞【分析】(1) 设二次函数f （x ）＝ax 2+bx+c ，利用待定系数法即可求出f （x ）；(2) 利用一元二次不等式的解法即可得出．【详解】(1).设二次函数f （x ）＝ax 2+bx+c ，∵函数f （x ）满足f （x+1）﹣f （x ）＝2x ， ∴ f(x ＋1)－f(x)=()()211a x b x c ++++-()2ax bx c ++=2ax+a+b=2x ∴ 220a a b =⎧⎨+=⎩ ，解得11a b =⎧⎨=-⎩．且f （0）＝1．∴ c=1 ∴f （x ）＝x 2﹣x+1．(2) 不等式f （x ）＞2x+5，即x 2﹣x+1＞2x+5，化为x 2﹣3x ﹣4＞0．化为（x ﹣4）（x+1）＞0，解得x ＞4或x ＜﹣1．∴原不等式的解集为()(),14,-∞-⋃+∞【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式和一元二次不等式的解法，熟练掌握其方法是解题的关键，属于中档题.23．（1）2638440,04040000167360,40x x x W x x x ⎧-+-<⎪=⎨--+>⎪⎩；（2）当x ＝32时，W 取得最大值为6104万美元.【分析】（1）利用利润等于收入减去成本，可得分段函数解析式；（2）分段求出函数的最大值，比较可得结论．【详解】（1）利用利润等于收入减去成本，可得当040x <时，2()(1640)638440W xR x x x x =-+=-+-；当40x >时，40000()(1640)167360W xR x x x x=-+=--+ 2638440,04040000167360,40x x x W x x x ⎧-+-<⎪∴=⎨--+>⎪⎩；（2）当040x <时，226384406(32)6104W x x x =-+-=--+，32x ∴=时，(32)6104max W W ==；当40x >时，400004000016736027360W x x x =--+-，当且仅当4000016x x=，即50x =时，(50)5760max W W == 61045760>32x ∴=时，W 的最大值为6104万美元．【点睛】本题考查分段函数模型的构建，考查利用均值不等式求最值，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题.24．（1）223x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；（2）13m =，112a =-. 【分析】（1）当2a =时，不等式为23440x x -++>，即23440x x --<，利用一元二次不等式求解.（2）根据不等式的解集为()4,m -，则由4-，m 为方程23240x ax -++=的两根求解.【详解】（1）当2a =时，不等式为23440x x -++>，所以23440x x --<，所以()23203x x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭，解得223x -<<，所以不等式23440x x -++>的解集为223x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；（2）由已知得4-，m 为方程23240x ax -++=的两根，则有243a m -+=--且443m -=-，解得13m =，112a =-. 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法以及一元二次不等式与一元二次方程的关系，属于中档题.25．（1）12a b =⎧⎨=⎩；31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）答案见解析. 【分析】（1）由已知结合二次不等式的解集端点与二次方程的根的关系即可求解；（2）结合二次不等式的求解对a 进行分类讨论即可求解．【详解】（1）由题意知，1和b 是方程2320ax x -+=的两根，则312b a b a⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩ 不等式230bx ax --<即为2230x x --<，解得312x -<<， ∴31,2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ （2）不等式2()0ax ac b x bc -++<，即为2(2)20x c x c -++<，即(2)()0x x c --<.①当2>c 时，2x c <<；②当2c <时，2c x <<；③当2c =时，原不等式无解.综上知，当2>c 时，原不等式的解集为{}2xx c <<∣；当2c <时，原不等式的解集为{}2xc x <<∣；当2c =时，原不等式的解集为∅.【点睛】本题主要考查了二次方程与二次不等式的关系的应用及含参不等式的求解，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．26．（1）(,2)(5,)-∞⋃+∞；（2）[2,6]-.【分析】（1）当7a =是，解一元二次不等式求得不等式()0f x >的解集.（2）利用判别式列不等式，解不等式求得a 的取值范围.【详解】（1）当7a =时，不等式为27100x x -+>，即(2)(5)0x x -->， ∴该不等式解集为(,2)(5,)-∞⋃+∞ .（2）由已知得，若x ∈R 时，230+++≥x ax a 恒成立， 24(3)0a a ∴∆=-+≤，即(2)(6)0a a +-≤，∴a 的取值范围为[2,6]-.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查一元二次不等式恒成立问题，属于中档题.。

不等式考试题及答案

不等式考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若不等式 \( ax^2 + bx + c > 0 \) 的解集为 \( (-1, 2) \)，则下列哪个不等式有相同解集？A. \( ax^2 + bx + c < 0 \)B. \( -ax^2 - bx - c > 0 \)C. \( ax^2 + bx + c \leq 0 \)D. \( -ax^2 - bx - c < 0 \)答案：B2. 对于不等式 \( |x - 3| < 2 \)，下列哪个区间是其解集？A. \( (1, 5) \)B. \( (-1, 7) \)C. \( (-2, 4) \)D. \( (3, 5) \)答案：A3. 若不等式 \( x^2 - 5x + 6 < 0 \) 的解集为 \( A \)，则 \( A \) 与 \( (2, 3) \) 的交集是什么？A. \( \emptyset \)B. \( (2, 3) \)C. \( (2, 3) \cap A \)D. \( (3, 4) \)答案：C4. 已知不等式 \( x^3 - 3x^2 + 2x > 0 \) 的解集包含 \( (1, 2) \)，那么下列哪个不等式也包含 \( (1, 2) \) 作为其解集的一部分？A. \( x^3 - 3x^2 + 2x < 0 \)B. \( -x^3 + 3x^2 - 2x < 0 \)C. \( x^3 - 3x^2 + 2x \leq 0 \)D. \( -x^3 + 3x^2 - 2x \geq 0 \)答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 若不等式 \( 2x - 3 < 5 \) 的解为 \( x < 4 \)，则 \( 2x -3 > 5 \) 的解为 \( x > \_\_\_\_\_ \)。

答案：42. 不等式 \( |x + 1| \geq 3 \) 的解集为 \( x \leq -4 \) 或\( x \geq 2 \)，那么 \( |x + 1| < 3 \) 的解集为 \( x \in\_\_\_\_\_ \)。

(典型题)高中数学必修五第三章《不等式》测试(含答案解析)(1)

一、选择题1．已知2244x y +=，则2211x y+的最小值为（） A ．52B ．9C ．1D ．942．已知x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，若34z x y =-的最大值为9，则m 的值为（） A ．32-B ．28-C ．2D ．33．已知正实数a ，b 满足231a b +=，则12a b+的最小值为（） A ．15B．8+C ．16D．8+4．若关于x 的不等式2220x x c -+<的解集为(),a b ，则14a b+的最小值为（） A ．9B ．9-C ．92D ．92-5．某校的一个者愿者服务队由高中部学生组成，成员同时满足以下三个条件：（1）高一学生人数多于高二学生人数；（2）高二学生人数多于高三学生人数；（3）高三学生人数的3倍多于高一高二学生人数之和.若高一学生人数为7，则该志愿者服务队总人数为（） A ．15人B ．16人C ．17人D ．18人6．实数x ，y 满足线性约束条件424x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最小值为（）A ．2-B ．1-C ．0D ．17．已知正项等比数列{}n a 中979a a =，若存在两项m a 、n a ，使2127m n a a a =，则116m n+的最小值为（） A ．5 B ．215C ．516D ．6548．若函数()1xy a a =>的图象与不等式组40,20,1x y y x -≤⎧⎪-≥⎨⎪≤+⎩，表示的区域有公共点，则a 的取值范围为（）A ．[]2,4B．⎤⎦C ．(][)1,24,⋃+∞D．([)2,⋃+∞9．已知0,0a b >>,,a b 的等比中项是1，且1m b a =+，1n a b=+，则m n +的最小值是（） A ．3B ．4C ．5D ．610．在ABC 中，BAC ∠的平分线交BC 于D .若3BAC π∠=，4AB AC +=，则AD 长度的最大值为（） AB ．2C ．3D．11．若a ，b 是任意实数，且a >b ，则下列不等式成立的是( ) A ．a 2>b 2B ．1b a< C ．lg(a －b )>0D ．11()()33ab<12．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c <≠的图像恒过定点A ，若点A 在一次函数2m y x n =+的图像上，其中0,0m n >>，则12m n +的最小值是__________．15．若实数x ，y 满足不等式组2025040x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则1x y x ++的取值范围为_____.16．已知0x >，0y >，且212+=x y ，若2322+≥-x y m m 恒成立，则实数m 的取值范围_______．17．已知变量,x y 满足约束条件04010x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，若目标函数(0)z ax by a b =+>>的最小值为1，则28a b+的最小值为__________． 18．已知正项等比数列{}n a 满足：28516a a a ，35+20a a =，若存在两项,m n a a使得，则14m n+的最小值为______ 19．已知函数()21f x x x =-+，若在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+恒成立，则实数m 的取值范围是___________.20．在平面四边形ABCD 中，已知ABC 的面积是ACD △的面积的3倍．若存在正实数x ，y 使得12(2)(1)AC AB AD x y=-+-成立，则x y +的最小值为___________．三、解答题21．在“基本不等式”应用探究课中，甲和乙探讨了下面两个问题：（1）已知正数x 、y 满足21x y +=，求12x y+的最小值.甲给出的解法是：由21x y +=≥，则128x y +≥=≥，所以12x y +的最小值为8.而乙却说这是错的.请你指出其中的问题，并给出正确解法；（2）结合上述问题（1）的结构形式，试求函数()1310122f x x x x ⎛⎫=+<< ⎪-⎝⎭的最小值. 22．已知定义域为R 的函数()22x xb n f x b +=--是奇函数，且指数函数xy b =的图象过点(2,4)．（Ⅰ）求()f x 的表达式；（Ⅱ）若方程()23()0f x x f a x ++-+=，(4,)x ∈-+∞恰有2个互异的实数根，求实数a 的取值集合；（Ⅲ）若对任意的[1,1]t ∈-，不等式()22(1)0f t a f at -+-≥恒成立，求实数a 的取值范围．23．用铁皮做一个体积为350cm ，高为2cm 的长方体无盖铁盒，这个铁盒底面的长与宽各为多少cm 时，用料最省？24．现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为111623，，；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是p (0<p <1)，设乙项目产品价格在一年内进行两次独立的调整.记乙项目产品价格在一年内的下降次数为X ，对乙项目每投资10万元，X 取0、1、2时，一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量X 1、X 2分别表示对甲、乙两项目各投资10万元一年后的利润.(1)求X 1，X 2的概率分布和均值E (X 1)，E (X 2)；(2)当E (X 1)<E (X 2)时，求p 的取值范围.25．某公司生产某种产品，其年产量为x 万件时利润为()R x 万元，当035x <≤时，年利润为21()2R x x =-20250x ++，当35x >时，年利润为()18005202R x x x=--+. （1）若公司生产量在035x <≤且年利润不低于400万时，求生产量x 的范围；（2）求公司年利润()R x 的最大值.26．（1）若关于x 的不等式m 2x 2﹣2mx ＞﹣x 2﹣x ﹣1恒成立，求实数m 的取值范围．（2）解关于x 的不等式（x ﹣1）（ax ﹣1）＞0，其中a ＜1．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用22222211111(4)4x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开后应用基本不等式可得最小值．【详解】由题意22222211111(4)4x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭2222141955444y x x y ⎛⎛⎫=++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝，当且仅当22224y x x y =，即2242,33x y ==时等号成立．故选：D ．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．2．D解析：D 【分析】作出x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，表示的可行域如图中阴影部分所示，再利用数形结合分析得()max 33439z m =⨯--=，解得参数即可. 【详解】作出x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，表示的可行域如图中阴影部分所示，由z ＝3x -4y 得344zy x =-，它表示斜率为34纵截距为4z-的一系列直线，当直线经过点A 时，直线的纵截距4z-最小，z 最大.由03x y m x +-=⎧⎨=⎩，解得A (3，m －3)，故()max 33439z m =⨯--=，解得3m =. 故选：D. 【点睛】方法点睛：线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：（1）根据题意，设出变量,x y ；（2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数(,)z f x y =；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（5）利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z =为参数).3．D解析：D 【分析】妙用“1”的代换，利用()121223a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭拼凑基本不等式，求和式的最小值即可. 【详解】正实数a ，b 满足231a b +=，则()121223888348a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+=+=+ ⎪⎝⎭仅当34b a b a =，即13,46a b -==时等号成立，故12a b +的最小值为8+ 故选：D. 【点睛】思路点睛：利用基本不等式求最值时，需注意取等号条件是否成立.（1）积定，利用x y +≥，求和的最小值；（2）和定，利用()24x y xy +≤，求积的最大值；（3）已知和式（倒数和）或为定值时，妙用“1”拼凑基本不等式求最值.4．C解析：C 【分析】由韦达定理可得出2a b +=，2ab c =，分析出a 、b 均为正数，将代数式()12a b +与14a b +相乘，展开后利用基本不等式可求得14a b +的最小值. 【详解】由于代数式14a b+有意义，则0ab ≠，因为关于x 的不等式2220x x c -+<的解集为(),a b ，则a 、b 为方程2220x x c -+=的两根，由韦达定理可得22a b ab c +=⎧⎨=>⎩，所以，a 、b 均为正数，所以，()141141419552222a b a b a b a b b a ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝. 当且仅当242,,33b a a b ===时，等号成立，因此，14a b +的最小值为92. 故选：C. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.5．D解析：D 【分析】设高二学生人数为x ，高三学生人数为y ，根据题意列不等式组，画出不等式组表示的平面区域，根据不等式的解为整数，可得结果. 【详解】设高二学生人数为x ，高三学生人数为y ，则737y x y x<<⎧⎨≥+⎩，画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，根据不等式的解为整数，则阴影部分只有()6,5A 满足，6,5x y ∴==，该志愿者服务队总人数为76518++=人. 故选：D. 【点睛】本题主要考查二元一次不等式组的解的问题，于基础题.6．C解析：C 【分析】作出约束条件的可行域，将目标函数转化为122zy x =-，利用线性规划即可求解.【详解】解：由2z x y =-得122z y x =-，作出x ，y 满足约束条件424x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩对应的平面区域如图（阴影部分ABC ）：平移直线122z y x =-，由图象可知当直线122z y x =-过点C 时，直线122zy x =-的截距最大，此时z 最小， 420x x y =⎧⎨--=⎩，解得()4,2A .代入目标函数2z x y =-，得4220z =-⨯=，∴目标函数2z x y =-的最小值是0.故选：C . 【点睛】本题考查简单的线性规划，解题的关键是作出约束条件的可行域，属于中档题.7．A解析：A 【分析】根据条件可先求出数列的公比，再根据2127m n a a a =可得出5m n +=，利用基本不等式即可求出116m n +的最小值.【详解】正项等比数列中，2979a q a ==，所以3q =. 因为11222111127m n m n m n a a a q a q a qa --+-=⋅==，所以5m n +=. 因为1161116116116()()(17)(17)5555n m n mm n m n m n m n m n+=++=++≥⋅=，当且仅当16 nmm n=，即4n m=时取等号，因为m、n*N∈，所以1m=，4n=，所以116m n+的最小值为5.故选：A.【点睛】本题考查等比数列的基本量的计算，考查利用基本不等式求最值，属于基础题.8．B解析：B【分析】由约束条件作出可行域，再由指数函数的图象经过A，B两点求得a值，则答案可求．【详解】解：由约束条件40,20,1xyy x-⎧⎪-⎨⎪+⎩作出可行域如图：当1x=时，2y a=≤；当4x=时，42y a=≥，则42a≥故a的取值范围为42,2⎡⎤⎣⎦.故选：B．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．9．B解析：B【分析】由等比中项定义得1ab=，再由基本不等式求最值．【详解】,a b的等比中项是1，∴1ab=，∴m＋n=1ba++1ab+=a ba bab+++ =2()a b+≥44ab= .当且仅当1a b==时，等号成立．故选B．【点睛】利用基本不等式求最值问题，要看是否满足一正、二定、三相等．10．A解析：A 【分析】根据题意，设,,,AD t AB c AC b ===由三角形面积公式1sin 2S a b θ=⋅⋅可表示出,,ACD ABD ABC ∆∆∆三者之间的关系，进而得边长关系为3,4t bc =最后通过基本不等式求得AD 的最大值。

均值不等式练习题及答案解析

均值不等式练习题及答案解析一．均值不等式1.若a,b?R，则a2?b2?2ab 若a,b?R，则ab2. 若a,b?R*，则a?b2?*?a?b222a?b时取“=”）ab 若a,b?R，则a?b?22aba?b?若a,b?R，则ab??） ?? ?2a?b2注：当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．求最值的条件“一正，二定，三取等”均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域y＝3x解：y＝3x＋11y＝x＋xx13x ＝∴值域为[，+∞）2x1x· ＝2； x1x· =－2x1≥22x1当x＞0时，y＝x＋≥x11当x＜0时， y＝x＋= －≤－2xx∴值域为解题技巧：技巧一：凑项例1：已知x?54，求函数y?4x?2?14x?5的最大值。

1解：因4x?5?0，所以首先要“调整”符号，又?x?54,?5?4x?0，?y?4x?2?14x?5不是常数，所以对4x?2要进行拆、凑项，???2?3?1 ??3?1????5?4x?4x?55?4x?当且仅当5?4x?15?4x，即x?1时，上式等号成立，故当x?1时，ymax?1。

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

技巧二：凑系数例1. 当时，求y?x的最大值。

解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。

注意到2x??8为定值，故只需将y?x凑上一个系数即可。

当，即x＝2时取等号当x＝2时，y?x的最大值为8。

32评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。

变式：设0?x?，求函数y?4x的最大值。

322x?3?2x?9解：∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x?2?2x?2????222??当且仅当2x?3?2x,即x?3?3???0,?时等号成立。

高中数学人教B版必修第一册《224_均值不等式及其应用》同步练习卷(1)(有答案)

人教B版（2019）必修第一册《2.2.4 均值不等式及其应用》2020年同步练习卷（1）一、选择题1. 设a>b>0，则下列不等式中一定成立的是（）A.a−b<0B.0<ab <1 C.√ab<a+b2D.ab>a+b2. 已知当x＝a时，代数式x−4+9x+1(x>−1)取得最小值b，则a+b＝（）A.−3B.2C.3D.8二、填空题（共2小题，每小题0分，满分0分）已知x>0，y>0，且x3+y4=1，则xy的最大值为________，取得最大值时y的值为________．已知x，y∈R+，且xy＝100，则x+y的最小值为________．三、解答题（共1小题，满分0分）求代数式x+1x的取值范围．参考答案与试题解析人教B版（2019）必修第一册《2.2.4 均值不等式及其应用》2020年同步练习卷（1）一、选择题1.【答案】C【考点】基本不等式不等式比较两数大小【解析】此题暂无解析【解答】略2.【答案】C【考点】基本不等式及其应用【解析】由已知可得，y＝x−4+9x+1=x+1+9x+1−5，然后结合基本不等式可求．【解答】因为x>−1，所以x+1>0，y＝x−4+9x+1=x+1+9x+1−5≥2√(x+1)⋅9x+1−5＝1，当且仅当x+1=9x+1即x＝2时取得等号，所以a＝2，b＝1，a+b＝3．二、填空题（共2小题，每小题0分，满分0分）【答案】3,2【考点】基本不等式及其应用【解析】由已知结合基本不等式即可求解．【解答】因为x>0，y>0，且x3+y4=1，由基本不等式可得，1=x3+y4≥2√xy12，解可得xy≤3当且仅当13x=y4=12即x=32，y＝2时取等号，【答案】20【考点】基本不等式及其应用【解析】根据基本不等式求解即可．【解答】因为x，y∈R+，且xy＝100，所以x+y≥2√xy=20，当且仅当x＝y＝10时取等号．三、解答题（共1小题，满分0分）【答案】≥2，（x=1等号成立）解：当x>0时，x+1x)≥2，（x=−1等号成立）当x<0时，(−x)+(−1x≤−2即x+1x∴x+1的取值范围为：(−∞, −2]∪[2, +∞)x【考点】基本不等式【解析】)≥2，改变不等式的符分类运用基本不等式求解即可，注意当x<0时，(−x)+(−1x号．【解答】≥2，（x=1等号成立）解：当x>0时，x+1x)≥2，（x=−1等号成立）当x<0时，(−x)+(−1x≤−2即x+1x∴x+1的取值范围为：(−∞, −2]∪[2, +∞)x。

均值不等式专题20道-带答案

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均值不等式专题3学校:___________姓名：___________班级：___________考号:___________一、填空题1．若则的最小值是__________．2．若，且则的最大值为______________.3．已知，且，则的最小值为______．4．已知正数满足，则的最小值是_______。

5．若直线2ax—by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是______．6．设正实数满足，则的最小值为________7．已知,且，则的最小值是________8．已知正实数x，y满足，则的最小值是______9．已知，函数的值域为,则的最小值为________．10．已知，，且，则的最小值为__________．11．若正数x,y满足，则的最小值是______．12．已知正实数x，y满足,则的最小值为______．13．若，,，则的最小值为______．14．若，则的最小值为________。

15．已知a，b都是正数，满足,则的最小值为______．16．已知，且，则的最小值为______．17．已知点在圆上运动，则的最小值为___________．18．若函数的单调递增区间为,则的最小值为____．19．已知正实数，满足，则的最大值为______。

20．已知，，则的最小值为____．参考答案1．【解析】【分析】根据对数相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求结果.【详解】则，即由题意知，则，则当且仅当，即时取等号本题正确结果：【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值问题,关键是能够利用对数相等得到的关系，从而构造出符合基本不等式的形式。

人教版高一上学期数学(必修一)《2.2.4均值不等式及其应用》同步测试题及答案

人教版高一上学期数学(必修一)《2.2.4均值不等式及其应用》同步测试题及答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题 1.在不等式a+b2≥√ab 中，a ，b 需满足 ( )A .a>0，b>0B .a ≥0，b ≥0C .ab ≥0D .ab>02.已知x ，y 均为正数，且满足x+2y=4，则xy 的最大值为 ( )A .√2B .2C .2√2D .√33.若x>1，则y=x 2x -1的最小值为 ( ) A .3 B .-3 C .4 D .-44.已知a>0，若关于x 的不等式x+ax+1≥3在(-1，+∞)上恒成立，则a 的最小值为 ( )A .1B .2C .4D .85.下列函数中，最小值是2√2的是 ( ) A .y=x+2x B .y=x 3+1x3 C .y=x 2+2x 2+4 D .y=√x +√x6.[2023·广东佛山一中高一月考] 已知x>1，则x -1x 2-2x+4的最大值为 ( ) A .√36 B .12 C .√23 D .17.已知x>0，y>0，且x+2y=4，则(1+x )(1+2y )的最大值为 ( ) A .36B .4C .16D .98.(多选题)以下结论中正确的是 ( )A .y=x+1x的最小值为2B .当a>0，b>0时，1a +1b +2√ab ≥4 C .y=x (1-2x )，0<x<12的最大值为18D .当且仅当a ，b 均为正数时，a b +ba ≥2恒成立9.(多选题)[2023·江西抚州一中高一期中] 已知正数m ，n 满足2m+2n+5=mn ，则 ( )A .∀m ，n ∈(0，+∞)，mn ≥25B.∀m，n∈(0，+∞)，m+n≥10C.∃m，n∈(0，+∞)，4m+n=20D.∃m，n∈(0，+∞)，4m+n<25二、填空题★10.设x>0，y>0，x+y=2xy，则x+y的最小值为.11.已知不等式x+4x-2>m对任意x∈(2，+∞)恒成立，则实数m的取值范围为.12.[2023·浙江温州中学高一期末] 若x>0，y>1，则4yx +x3y-1的最小值为.三、解答题13.已知a>0，b>0，且a+b+ab=3.(1)求ab的取值范围;(2)求a+b的取值范围.14.(1)若x<3，求y=2x+1+1x-3的最大值.(2)已知x>0，求y=2xx2+1的最大值.15.规定a☉b=√ab+a+b(a，b为正实数).若1☉k=3，则k的值为，此时函数y=√x的最小值为.16.(1)已知0<x<32，求4x(3-2x)的最大值;(2)已知a>b>c，求(a-c)(1a-b +1b-c)的最小值.参考答案1.B[解析] 在均值不等式中，我们规定a>0，b>0，但当a=0，b=0时也满足a+b2≥√ab.故选B.2.B [解析] ∵x ，y 均为正数，x+2y=4，∴xy=12×2xy ≤12×(x+2y )24=2(当且仅当x=2y=2时等号成立).故选B .3.C [解析] ∵x>1，∴y=x 2x -1=x 2-1+1x -1=x+1+1x -1=x-1+1x -1+2≥2+2=4，当且仅当1x -1=x-1，即x=2时等号成立，∴y=x 2x -1的最小值为4.故选C .4.C [解析] 因为x>-1，所以x+1>0，所以x+a x+1=x+1+ax+1-1≥2√(x +1)·ax+1-1=2√a -1，当且仅当x+1=ax+1，即x=√a -1时取等号，所以x+ax+1的最小值为2√a -1.因为不等式x+ax+1≥3在(-1，+∞)上恒成立，所以2√a -1≥3，解得a ≥4，所以a 的最小值为4.故选C .5.D [解析] 对于A ，当x<0时，y=x+2x<0，故A 不符合题意;对于B ，当x<0时，y=x 3+1x3<0，故B 不符合题意;对于C ，当x=0时，y=x 2+2x 2+4=12，故C 不符合题意;对于D ，由均值不等式知y=√x +√x ≥2√√x ·√x=2√2(当且仅当x=2时取等号)，故D 符合题意.故选D . 6.A [解析] 由x>1，得x-1>0，则x -1x 2-2x+4=x -1(x -1)2+3=1x -1+3x -1≤2√(x -1)·3x -1=√36，当且仅当x-1=3x -1，即x=1+√3时取等号，故x -1x 2-2x+4的最大值为√36.故选A .7.D [解析] 由题意得，(1+x )+(1+2y )=6，1+x>1，1+2y>1，所以(1+x )(1+2y )≤[(1+x )+(1+2y )2]2=9，当且仅当1+x=1+2y ，即x=2，y=1时取等号.故选D .8.BC [解析] 对于A ，当x<0时，y<0，故A 错误;对于B ，当a>0，b>0时，1a +1b+2√ab ≥2√1a ·1b +2√ab =√ab+2√ab ≥2·√√ab2√ab =4，当且仅当a=b=1时取到等号，故B 正确;对于C ，y=x (1-2x )=12×2x (1-2x )≤12(2x+1-2x 2)2=18，当且仅当x=14时取等号，故y 的最大值为18，故C 正确;对于D ，当a ，b 同号时，a b +ba≥2√a b ·ba=2，当且仅当a=b 时取等号，故D 错误.故选BC .9.ABD [解析] 由mn=2m+2n+5≥4√mn +5，得(√mn -5)(√mn +1)≥0，可得mn ≥25，当且仅当m=n=5时等号成立，故A 正确;由2m+2n+5=mn ≤(m+n )24，得(m+n-10)(m+n+2)≥0，可得m+n ≥10，当且仅当m=n=5时等号成立，故B 正确;显然m ≠2，则n=2m+5m -2=2+9m -2，m>2，所以4m+n=4m+9m -2+2=4(m-2)+9m -2+10≥2√4(m -2)·9m -2+10=22，当且仅当m=72，n=8时等号成立，故C 错误，D 正确.故选ABD .10.2 [解析] ∵x>0，y>0，x+y=2xy ，xy ≤(x+y 2)2，∴x+y ≤(x+y )22，∴x+y ≥2，当且仅当x=y=1时等号成立，故x+y 的最小值为2.[技巧点拨] 由含有两个变量的等式求这两个变量的和(或积)的最值，需要借助基本不等式消去积(或和)，得到关于这两个变量的和(或积)的一元二次不等式，解这个不等式即可.11.(-∞，6) [解析] 因为x>2，所以x-2>0，所以x+4x -2=x-2+4x -2+2≥2√4+2=6，当且仅当x-2=4x -2，即x=4时等号成立，又不等式x+4x -2>m 对任意x ∈(2，+∞)恒成立，所以m<6，故实数m 的取值范围为(-∞，6). 12.8 [解析]4y x+x 3y -1=4(y -1)+4x+x 3y -1=4(y -1)x+x 3y -1+4x.因为4(y -1)x+x 3y -1≥2√4(y -1)x·x 3y -1=4x ，当且仅当4(y -1)x=x 3y -1，即2(y-1)=x 2时等号成立，4x+4x≥2√4x ·4x=8，当且仅当4x=4x，即x=1时等号成立，所以4y x+x3y -1≥8，当且仅当2(y-1)=x 2，x=1，即x=1，y=32时等号成立，所以4y x+x 3y -1的最小值为8.13.解:(1)因为a>0，b>0，且a+b+ab=3，所以a+b=3-ab ≥2√ab ，当且仅当a=b=1时取等号，可得0<√ab ≤1，所以0<ab ≤1，故ab 的取值范围是(0，1]. (2)因为a+b=3-ab ≥3-(a+b 2)2，当且仅当a=b=1时取等号，所以a+b ≥2，故a+b 的取值范围是[2，+∞).14.解:(1)因为x<3，所以3-x>0. y=2(x-3)+1x -3+7=-[2(3-x )+13-x]+7，由均值不等式可得2(3-x )+13-x≥2√2(3-x )·13-x=2√2当且仅当2(3-x )=13-x，即x=3-√22时，等号成立，所以-[2(3-x )+13-x]≤-2√2，所以y=-[2(3-x )+13-x]+7≤7-2√2，故y 的最大值是7-2√2. (2)因为x>0，所以y=2x x 2+1=2x+1x，又x+1x≥2√x ·1x=2，当且仅当x=1x，即x=1时，等号成立，所以0<y ≤22=1，故y 的最大值为1.15.1 3 [解析] 由题意得1☉k=√k +1+k=3，即k+√k -2=0，可得k=1，则y=√x =√x+x+1√x =1+√x +√x≥1+2=3，当且仅当√x =√x ，即x=1时，等号成立.综上可得，k=1，y=√x的最小值为3.16.解:(1)∵0<x<32，∴3-2x>0，∴4x (3-2x )=2[2x (3-2x )]≤2[2x+(3-2x )2]2=92，当且仅当2x=3-2x ，即x=34时，等号成立，∴4x (3-2x )(0<x <32)的最大值为92. (2)(a-c )(1a -b+1b -c)=(a-b+b-c )(1a -b +1b -c )=1+1+b -c a -b +a -b b -c .∵a>b>c ，∴a-b>0，b-c>0，∴2+b -c a -b +a -b b -c ≥2+2√b -c a -b ·a -bb -c =4，当且仅当a-b=b-c ，即2b=a+c 时取等号，∴(a-c )(1a -b +1b -c )的最小值为4.。

均值不等式含答案(训练习题)

课时作业15 均值不等式时间：45分钟满分：100分课堂训练1．已知5x ＋3y ＝1(x >0，y >0)，则xy 的最小值是( ) A ．15 B ．6 C ．60 D ．1【答案】 C【解析】 ∵5x ＋3y ＝1≥215xy ，∴xy ≥60，当且仅当3x ＝5y 时取等号．2．函数f (x )＝x ＋4x ＋3在(－∞，－2]上( ) A ．无最大值，有最小值7 B ．无最大值，有最小值－1 C ．有最大值7，有最小值－1 D ．有最大值－1，无最小值【答案】 D【解析】 ∵x ≤－2，∴f (x )＝x ＋4x ＋3＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＋3≤－2(－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＋3＝－1，当且仅当－x ＝－4x ，即x ＝－2时，取等号， ∴f (x )有最大值－1，无最小值．3．已知两个正实数x ，y 满足x ＋y ＝4，则使不等式1x ＋4y ≥m 恒成立的实数m 的取值范围是____________．【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，94【解析】 1x ＋4y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝54＋y 4x ＋x y ≥54＋214＝94.4．求函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)的最小值．【分析】对于本题中的函数，可把x ＋1看成一个整体，然后将函数用x ＋1来表示，这样转化一下表达形式，可以暴露其内在的形式特点，从而能用均值定理来处理．【解析】因为x >－1，所以x ＋1>0.所以y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝(x ＋1)2＋5(x ＋1)＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1＋5≥2(x ＋1)·4x ＋1＋5＝9当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时，等号成立．∴当x ＝1时，函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)，取得最小值为9.【规律方法】形如f (x )＝ax 2＋bx ＋cmx ＋n (m ≠0，a ≠0)或者g (x )＝mx ＋nax 2＋bx ＋c(m ≠0，a ≠0)的函数，可以把mx ＋n 看成一个整体，设mx ＋n ＝t ，那么f (x )与g (x )都可以转化为关于t 的函数．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．设x >0，则y ＝3－3x －1x 的最大值是( ) A ．3 B ．3－3 2 C ．3－2 3 D ．－1【答案】 C【解析】 y ＝3－3x －1x ＝3－(3x ＋1x )≤3－23x ·1x＝3－2 3.当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时取“＝”． 2．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2 B ．当x >0时，x ＋1x ≥2C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2 D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值【答案】 B【解析】 A 中，当x >0且x ≠1时，lg x 的正负不确定，∴lg x ＋1lg x ≥2或lg x ＋1lg x ≤－2；C 中，当x ≥2时，(x ＋1x )min ＝52；D 中当0<x ≤2时，y ＝x －1x 在(0,2]上递增，(x －1x )max ＝32.3．如果a ，b 满足0<a 2a ，∴a <12，又a 2＋b 2≥2ab ，∴最大数一定不是a 和2ab ，又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ， ∵1＝a ＋b >2ab ，∴ab <14， ∴1－2ab >1－12＝12，即a 2＋b 2>12.方法二：特值检验法：取a ＝13，b ＝23，则2ab ＝49，a 2＋b 2＝59，∵59>12>49>13，∴a 2＋b 2最大．4．已知a >b >c >0，则下列不等式成立的是( ) A.1a －b ＋1b －c >2a －c B.1a －b ＋1b －c <2a －c C.1a －b ＋1b －c ≥2a －c D.1a －b ＋1b －c ≤2a －c 【答案】 A【解析】 ∵a >b >c >0， ∴a －b >0，b －c >0，a －c >0，∴(a －c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c＝[(a －b )＋(b －c )]·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4. ∴1a －b ＋1b －c ≥4a －c >2a －c. 5．下列函数中，最小值为4的是( ) A ．f (x )＝x ＋4x B ．f (x )＝2×x 2＋5x 2＋4C ．f (x )＝3x ＋4×3－xD ．f (x )＝lg x ＋log x 10【答案】 C【解析】 A 、D 选项中，不能保证两数为正，排除；B 选项不能取等号，f (x )＝2×x 2＋5x 2＋4＝2×x 2＋4＋1x 2＋4＝2×(x 2＋4＋1x 2＋4)≥4，要取等号，必须x 2＋4＝1x 2＋4，即x 2＋4＝1，这是不可能的，排除．故选C.6．今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确．有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左、右托盘各称一次，则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量．设物体放在左右托盘称得的重量分别为a ，b (a ≠b )，则物体的实际重量为多少？实际重量比两次称量的结果的一半大了还是小了？( )A.a ＋b2；大B.a ＋b2；小C.ab ；大D.ab ；小【答案】 D【解析】设物体真实重量为m ，天平左、右两臂长分别为l 1，l 2，则ml 1＝al 2① ml 2＝bl 1②①×②得m 2l 1l 2＝abl 1l 2 ∴m ＝ab又∵a ＋b 2≥ab 且a ≠b ，∴等号不能取得，故m <a ＋b 2. 7．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C.92 D.112【答案】 B【解析】 ∵x ＋2y ＋2xy ＝8，∴y ＝8－x2x ＋2>0，∴－1<x <8，∴x ＋2y ＝x ＋2·8－x 2x ＋2＝(x ＋1)＋9x ＋1－2≥2(x ＋1)·9x ＋1－2＝4，当且仅当x ＋1＝9x ＋1时“＝”成立，此时x ＝2，y ＝1，故选B.8．在区间[12，2]上，函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b 、c ∈R )与g (x )＝x 2＋x ＋1x 在同一点取得相同的最小值，那么f (x )在区间[12，2]上的最大值是( )A.134 B ．4 C ．8 D.54【答案】 B【解析】 ∵g (x )＝x 2＋x ＋1x ＝x ＋1x ＋1≥3，当x ＝1时取等号，即当x ＝1时取最小值3，∴f (x )的对称轴是x ＝1，∴b ＝－2，将(1,3)代入即得c ＝4，∴f (x )＝x 2－2x ＋4，易得在[12，2]上的最大值是4.二、填空题(每小题10分，共20分)9．比较大小：x 2＋2x 2＋1________2(填“>”“<”“≥”或“≤”)．【答案】 ≥【解析】 x 2＋2x 2＋1＝x 2＋1＋1x 2＋1≥2. 10．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】 (－∞，3]【解析】 ∵x >1，∴x ＋1x －1>0，要使x ＋1x －1≥a 恒成立，设f (x )＝x ＋1x －1(x >1)，则a ≤f (x )min 对x >1恒成立．又f (x )＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2(x －1)×1x －1＋1＝3，当且仅当x －1＝1x －1即x ＝2时取“＝”．∴a ≤3.三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．设x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＋xy ＝2， (1)求x ＋y 的取值范围； (2)求xy 的取值范围．【解析】 (1)2＝x ＋y ＋xy ≤x ＋y ＋(x ＋y 2)2，当且仅当x ＝y 时取“＝”． ∴(x ＋y )2＋4(x ＋y )－8≥0. ∴[(x ＋y )＋2]2≥12. ∵x ＋y >0，∴x ＋y ＋2≥12.∴x ＋y ≥23－2，当且仅当x ＝y ＝3－1时取“＝”．故x ＋y 的取值范围是[23－2，＋∞)．(2)2＝x ＋y ＋xy ≥2xy ＋xy ，当且仅当x ＝y ＝3－1时取“＝”． ∴(xy )2＋2xy ≤2.∴(xy ＋1)2≤3. 又x 、y >0，∴xy ＋1>0.∴xy ＋1≤ 3. ∴0<xy ≤3－1.∴0<xy ≤4－23，即xy 的取值范围是(0,4－23]．12．某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，每一年需要各种费用12万元．从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元．该船每年捕捞总收入50万元．(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？ (2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？【解析】 (1)设船捕捞n 年后的总盈利y 万元．则y ＝50n －98－[12×n ＋n (n －1)2×4] ＝－2n 2＋40n －98 ＝－2(n －10)2＋102∴捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元． (2)年平均利润为yn ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋49n －20≤－2⎝⎛⎭⎪⎫2n ·49n －20＝12当且仅当n ＝49n ，即n ＝7时上式取等号．所以，捕捞7年后的平均利润最大，最大是12万元．【规律方法】在应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数； (2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案．。

高中数学第一册不等式单元测试题(含答案)

不等式单元测试题一、单选题（共12题；共24分）1.（2020高二下·北京期中）若，，则（）A. B. C. D.2.（2020高一下·邯郸期中）已知，且.下列不等式中成立的是（）A. B. C. D.3.（2020高一下·成都期中）若，则一定有（）A. B. C. D.4.（2020高一下·嘉兴期中）设、、，，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.5.（2020高一下·吉林期中）下列命题中：① ，；② ，；③ ；④ ；正确命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 46.（2020高一下·哈尔滨期末）已知，，则的最小值为（）A. 8B. 6C.D.7.（2020高一下·太和期末）设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（）A. 1B. 4C.D.8.（2020高一下·丽水期末）已知实数满足，且，则的最小值为（）A. B. C. D.9.（2020高一下·宜宾期末）若正数满足，则的最大值为（）A. 5B. 6C. 7D. 910.（2020高一下·南昌期末）已知a，，且满足，则的最小值为（）A. B. C. D.11.（2020高一下·丽水期末）不等式的解集是（）A. 或B. 或C.D.12.（2020高一下·吉林期末）若a＜0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2＞0的解是（）A. x＞5a或x＜－aB. x＞－a或x＜5aC. 5a＜x＜－aD. －a＜x＜5a二、填空题（共4题；共4分）13.（2020高二下·西安期中）比较大小：________ ．（用，或填空）14.（2020高一下·温州期末）已知正实数x，y满足，则的最小值是________.15.（2020高一下·宜宾期末）若正数满足，则的最小值为________.16.（2020高一下·哈尔滨期末）不等式的解集为________.三、解答题（共8题；共75分）17.（2020高一下·六安期末）已知函数．（1）当时，求函数的最小值；（2）若存在，使得成立，求实数a的取值范围．18.（2020高一下·大庆期末）已知关于x的不等式．（1）当时，解上述不等式．（2）当时，解上述关于x的不等式19.（2020高一下·太和期末）已知函数.（1）若对任意实数，恒成立，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式.20.（2020高一下·宜宾期末）已知函数.（1）当时，解不等式；（2）当时，恒成立，求的取值范围.21.（2020高一下·萍乡期末）（1）解不等式；（2）解关于x的不等式：.22.（2020高一下·成都期末）已知定义在上的函数，其中为常数．（1）求解关于的不等式的解集；（2）若是与的等差中项，求a+b的取值范围．23.（2020高一下·南昌期末）已知汽车从踩刹车到停车所滑行的距离（）与速度（）的平方和汽车总质量积成正比关系，设某辆卡车不装货物以的速度行驶时，从刹车到停车走了．（Ⅰ）当汽车不装货物以的速度行驶，从刹车到停车所滑行的距离为多少米？．（Ⅱ）如果这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，发现前面处有障碍物，这时为了能在离障碍物以外处停车，最大限制时速应是多少？（结果保留整数，设卡车司机发现障碍物到踩刹车需经过．参考数据：．）24.（2020高一下·重庆期末）已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若关于x的不等式的解集为R，求a的取值范围.答案解析部分一、单选题1.【答案】C【解析】【解答】，又，，所以，所以.故答案为：C【分析】采用作差法比较即可.2.【答案】B【解析】【解答】，且，，.故答案为：B.【分析】由和，得，根据不等式的性质可得选项.3.【答案】C【解析】【解答】由题可得,则,因为, 则, ,则有,所以,即故答案为：C【分析】由题,可得,且,即,整理后即可得到作出判断.4.【答案】C【解析】【解答】对于A，由，则，A不符合题意；对于B，若，则，B不符合题意；对于C，，因为，，所以，即，C符合题意；对于D，，因为，，所以，所以，即，D不符合题意；故答案为：C【分析】利用不等式的性质以及作差法比较大小逐一判断即可.5.【答案】C【解析】【解答】① ，由不等式的加法得，所以该命题正确；② ，是错误的，如：，满足已知，但是不满足，所以该命题错误；③ ，所以，所以该命题正确；④ 所以，所以该命题正确.故答案为：C【分析】①利用不等式的加法法则判断；②可以举反例判断；③利用不等式性质判断；④可以利用作差法判断.6.【答案】C【解析】【解答】∵，，∴，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：C【分析】结合题中的条件利用基本不等式求解的最小值即可.7.【答案】B【解析】【解答】因为，所以，且，则，即，取等号时有：，且；，当且仅当时取得最大值：，故答案为：B.【分析】先利用基本不等式分析取得最大值的条件，然后再去计算的最大值.8.【答案】B【解析】【解答】,当且仅当时取等号故答案为：B【分析】利用1的代换，结合基本不等式求最值.9.【答案】D【解析】【解答】依题意，当且仅当时等号成立，所以的最大值为9.故答案为：D【分析】利用基本不等式求得的最大值.10.【答案】C【解析】【解答】∵，∴．即．当且仅当时取等号．∴的最小值为故答案为：C【分析】利用a和b的关系进行代换，再利用基本不等式即可得出．11.【答案】C【解析】【解答】由得：，，，即不等式的解集为，故答案为：C【分析】由原不等式可化为，直接根据一元二次不等式的解法求解即可.12.【答案】B【解析】【解答】由有所以方程的两个实数根为，因为，所以所以由不等式得，或故答案为：B【分析】利用因式分解求出对应方程的实数根，再比较两个实数根的大小，从而得出不等式的解集.二、填空题13.【答案】＜【解析】【解答】解：即故答案为：＜【分析】利用作差法比较大小；14.【答案】【解析】【解答】将式子变形为，即，因为，，所以（当且仅当时，等号成立），所以有，即，故，所以，则的最小值是.故答案为：.【分析】由题易得，然后由基本不等式可得，最后可求得的最小值.15.【答案】16【解析】【解答】依题意，当且仅当，即时等号成立.所以的最小值为.故答案为：16【分析】利用基本不等式求得的最小值.16.【答案】{x｜2＜x＜3}【解析】【解答】由，得，从而解得，所以，不等式的解集为，故答案为：.【分析】根据一元二次不等式的解法，即可求得原不等式的解集.三、解答题17.【答案】（1）解：因为，所以，因为，所以，所以当且仅当时，等号成立，所以当时，（2）解：存在，使得成立，等价于当时，由（1）知，所以，，所以．因为，所以，解得，所以实数a的取值范围为【解析】【分析】（1）变形为后，根据基本不等式可得结果；（2）转化为，等价于，等价于,等价于.18.【答案】（1）解：当时，代入可得，解不等式可得，所以不等式的解集为（2）解：关于的不等式．若，当时，代入不等式可得，解得；当时，化简不等式可得，由解不等式可得，当时，化简不等式可得，解不等式可得或，综上可知，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为或【解析】【分析】（1）将代入，结合一元二次不等式解法即可求解.（2）根据不等式，对a分类讨论，即可由零点大小确定不等式的解集.19.【答案】（1）解：当时，恒成立；当时，要使对任意实数x，恒成立，需满足，解得，故实数a的取值范围为（2）解：由不等式得，即.方程的两根是，.①当时，，不等式的解为或；②当时，不等式的解为；③当时，不等式的解为；④当时，，不等式无解；⑤当时，，不等式的解为综上：①当时，不等式的解为或；②当时，不等式的解为；③当时，不等式的解为；④当时，，不等式解集为；⑤当时，不等式的解为【解析】【分析】（1）对a讨论，时不合题意；合题意；，利用判别式小于0解不等式，求交集即可得到所求范围；（2）先将不等式化为，再对参数a的取值范围进行讨论，利用一元二次不等式的解法分别解不等式即可.20.【答案】（1）解：当时，不等式为，即，该不等式解集为.（2）解：由已知得，若时，恒成立，，即，的取值范围为.【解析】【分析】（1）当是，解一元二次不等式求得不等式的解集.（2）利用判别式列不等式，解不等式求得的取值范围.21.【答案】（1）解：原不等式可化为且，由标根法（或穿针引线法）可得不等式的解集为（2）解：原不等式等价于.当时，；当时，，解集为空集；当时，.综上所述，当时，解集为；当时，解集为空集；当时，解集为【解析】【分析】（1）分式不等式用穿根法求解即可.（2）含参数的二次不等式求解，先求解对应方程的实数根，再结合二次函数图象对实数根的大小分类讨论解决即可.22.【答案】（1）解：，整理为，当时，不等式的解集是，当时，不等式的解集是，当时，不等式的解集是;（2）解：由条件可知，即，即，，，，即，解得：，所以a+b的范围是.【解析】【分析】（1）不等式转化为，然后分类讨论解不等式；（2）由条件转化为，再转化为关于a+b的一元二次不等式.23.【答案】解：（Ⅰ）滑行的距离为，汽车总质量为M，时速为，比例常数为k，根据题意可得，将，代入可得，所以，当时，代入上式，可得．（Ⅱ）卡车司机发现障碍物到踩刹车需经过．行驶的路程为，由，可得，解得，因为，所以．所以最大限制时速应是：【解析】【分析】（Ⅰ）设从刹车到停车滑行的距离为，时速为，卡车总质量为M，比例常数为k，然后根据条件求出k的值，得到函数的解析式．然后代入的速度行驶，汽车从刹车到停车所滑行的距离．（Ⅱ）再根据滑行距离到障碍物距离建立不等关系，解之即可求出所求最大限制时速．24.【答案】（1）解：当时，，，故解集为；（2）解：由题知，解得.【解析】【分析】（1）将代入，解二次不等式的解集即可；（2）令即可；。

完整版均值不等式练习题.docx

均值不等式一、知识点：二、习题讲解：例1：（1）求y =x +1x (x >0)的最小值（2）求y =x +1x (x ≥2)的最小值（3）已知2>x ，求21-+=x x y 的最小值变式训练：1. 已知0>x ，求xx y 42--=的最大值2.当1->x 时，求()11++=x x x f 的最小值3.已知45<x ，求函数54124-+-=x x y 的最大值4.已知R c b a ∈、、，求证：ac bc ab c b a ++≥++2225.423(0)y x x x =-->的最大值是2-6. 12,33y x x x =+>-7.12sin ,(0,)sin y x x xπ=+∈例2：（1）已知210<<x ，求()x x y 2121-=的最大值（2）已知：a 、b 都是正数，且1a b +=，1a a α=+，1b bβ=+，求αβ+的最小值变式训练： 1.已知310<<x ，求函数()x x y 31-=的最大值 2.当时，求(82)y x x =-的最大值。

3.设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。

4.已知01x <<，求函数y =.；5.203x <<，求函数y =6.若21x y +=，则24xy+的最小值是______7.已知,x y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为 ________。

例3：求函数()11332->+++=x x x x y 的最小值变式训练：1.231,(0)x x y x x ++=>2.设⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πx ，则函数x x y 2sin 1sin 22+=的最小值为3. 已知25≥x ，则()42542-+-=x x x x f 的最小值4. 2y =的最小值是5.求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。

均值不等式讲解及习题(供参考)

1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x xxx+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．2文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧：技巧一：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

均值不等式常考题型---精品模板

均值不等式及其应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ （2）若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“="） (3）若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3。

若0x >,则12x x +≥ （当且仅当1x =时取“=”）；若0x <,则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或（当且仅当b a =时取“="） 3.若0>ab ,则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 4。

若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”) 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三相等”（3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域(1）y ＝3x 2＋12x 2 （2)y ＝x ＋错误! 解：（1)y ＝3x 2＋错误!≥2错误!＝错误! ∴值域为[错误!，+∞）(2）当x ＞0时，y ＝x ＋错误!≥2错误!＝2；当x ＜0时, y ＝x ＋错误!= －（－ x －错误!）≤－2错误!=－2∴值域为（－∞,－2］∪［2，+∞）解题技巧：技巧一:凑项例1:已知54x <,求函数14245y x x =-+-的最大值. 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号,又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+= 当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立,故当1x =时，max 1y =. 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

2023-2024学年海南省三沙市高中数学人教B版必修一等式与不等式章节测试-1-含解析

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年海南省三沙市高中数学人教B 版必修一等式与不等式章节测试(1)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）{x|x<0或x>9}{x|0<x<9}{x|x<-9或x>0}{x|-9<x<0} 1. 一元二次不等式x(9-x)>0的解集是（）A. B. C. D. h＜4.5h ＞4.5h≤4.5h≥4.52. 某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，是指示司机要想安全通过隧道，应使车载货物高度h 满足关系为（）A. B.C. D. 123. 已知，若，则的最大值为（）A. B. C.D. 4. 已知函数为定义在R 上的偶函数，且在单调递减，则的解集为（）A. B. C.D.3575. 设二次函数的值域为，则的最小值为( )A. B.C. D. 6. 在上随机地取一个数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为（）.A. B. C. D.7. 如图所示，在中，，点F 在线段CD 上，设，，，则的最小值为（）8A. B. C. D.8. 已知函数，若在上，则实数的取值范围是（）恒成立A. B. C. D.-22-119. 已知正数a ，b ，c 满足4a-2b+25c=0，则lga+lgc-2lgb 的最大值为（）A. B. C. D. 10. 若不等式的解集为，则的值为（）A. B. C. D. {x|0≤x ＜1}{x|0≤x≤1} {x|0≤x ＜3}{x|0≤x≤3}11. 设集合M={x|0≤x ＜3}，N={x|x 2﹣3x ﹣4＜0}，则集合M∩N 等于（）A. B. C. D. 112. 若x ，y ∈R +且2x+y=1，则的最小值（）A. B. C. D.13. 已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，连接并延长交于点，连接，若存在点使成立，则的取值范围为 .14. 设关于x 的一元二次不等式ax 2+bx+1＞0的解集为，则a ﹣b= ．15. 若函数y ＝x ＋，x ∈(－2，＋∞)，则该函数的最小值为．16. 如图，已知正方形，其中，函数交于点，函数交于点，当最小时，则的值为．阅卷人三、解答题（共6题，共70分）得分17. 已知锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tanA＝．(1) 求角A的大小；(2) 当a＝时，求c2＋b2的最大值，并判断此时△ABC的形状．18. 6月1日上午，国务院总理李克强在山东烟台考察时表示，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．英雄的武汉在解封两个月之后，“地摊经济”重回视线，武汉回归繁华．市民“武汗”先生在经营中以每件50元的进价出售某商品，据市场调查，当销售价格（每件元）在时，每天售出的件数为，每天获得的利润为（元）．(1) 写出关于的函数表达式；(2) 若想每天获得的利润最多，售价应为每件多少元？19. 已知.(1) 求的取值范围；(2) 若，，求证：.20. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为 .(1) 求直线与曲线的普通方程；(2) 若直线与曲线交于，两点，点，求的值.21. 等差数列的前项的和为，且满足．(1) 求等差数列的公差；(2) 若存在正整数，使得，求等差数列的首项的最大值．答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)19.(1)(2)20.(1)(2)21.(1)(2)第 11 页共 11 页。

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不等式及均值定理单元测试题（一）
一、选择题
1．若1a <1b <0，则下列不等式中不正确的是( ) A ．a ＋b <ab
B.b a ＋a b >2 C ．ab 0，且P ＝
a ＋
b 2，Q ＝a ＋b ，则P ，Q 的大小关系是( ) A ．P >Q
B ．P <Q
C ．P ≥Q
D ．P ≤Q
3．已知向量a ＝(x ，－1)，b ＝(y －1,1)，x ，y ∈R ＋，若a ∥b ，则t ＝x ＋1x ＋y ＋1y
的最小值是( ) A ．4
B ．5
C ．6
D ．8
4．若集合A ＝{x |(2x ＋1)(x －3)<0}，B ＝{x ∈N *|x ≤5}，则A ∩B 是( )
A ．{1,2,3}
B ．{1,2}
C ．{4,5}
D ．{1,2,3,4,5}
5．若m <n ，p <q 且(p －m )(p －n )<0，(q －m )(q －n )<0，则m ，n ，p ，q 从小到大排列顺序是( )
A ．p <m <n <q
B ．m 1，－1x ≤1，
则不等式xf (x )－x ≤2的解集为( ) A.[]－2，2
B.[]－1，2
C.(]1，2
D.[]－2，－1∪(]1，2
8．某金店用一杆不准确的天平(两臂不等长)称黄金，某顾客要买10 g 黄金，售货员先将 5 g 的砝码放入左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将5 g 的砝码放入右盘，将另一黄金放入左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金( )
A ．大于10 g
B ．小于10 g
C．大于等于10 g D．小于等于10 g
9．对任意的a∈[]
－1，1，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值总大于0，则x的取值范围为( )
A．(1,3) B．(－∞，1)∪(3，＋∞)
C．(－∞，1) D．(3，＋∞)
10．设a>0，b>0，若3是3a与3b的等比中项，则1
a
＋
1
b
的最小值为( )
A．8 B．4
C．1 D.1 4
11．对于使－x2＋2x≤m成立的所有常数M中，我们把M的最小值叫做－x2＋2x的上确界．若a，
b∈R＋，且a＋b＝1，则－
1
2a
－
2
b
的上确界为( )
A．－3 B．－4
C．－1
4
D．－
9
2
二、填空题
12．设a>b，则①ac2>bc2；②2a>2b；③1
a
<
1
b
；④a3>b3；⑤|a|>|b|.正确的结论有________．
13．函数y＝2x2＋
8
x2＋1
的最小值是________．
14．已知不等式x2－ax－b<0的解集为(2,3)，则不等式bx2－ax－1>0的解集为________．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．已知a，b，x，y>0且1
a
>
1
b
，x>y，
求证：
x
x＋a
>
y
y＋b
.
16．设f(x)＝(m＋1)x2－mx＋m－1. (1)当m＝1时，求不等式f(x)>0的解集；
(2)若不等式f(x)＋1>0的解集为(3
2
，3)，求m的值．
17．已知关于x的不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0)．
(1)若不等式的解集是{x|x<－3或x>－2}，求k的值；
(2)若不等式的解集为R，求k的取值范围．
18．若f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x >0，y >0满足f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )，若f (2)＝1，解不等式f (x ＋3)－f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x <2. 19．某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需各种费用12万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕捞的总收入为50万元．
(1)该船捕捞几年开始盈利？(即总收入减去成本及所有费用之差为正值)
(2)该船捕捞若干年后，处理方案有两种：
①当年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；
②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出．问哪一种方案较为合算，请说明理由．。