变力做功的求解方法
求解变力做功的六种常见方法剖析
ʏ李鹏飞公式W =F l c o s α只适用于恒力做功的计算,若遇到的是变力做功问题该怎样计算呢?下面我们就结合例题来剖析求解变力做功的六种常见方法,供同学们参考㊂方法一:等效替代法若通过转换研究对象能找到一个与待求变力做的功相同的恒力,则可以利用公式W =F l c o s α计算出该恒力做的功,间接求得变力做的功㊂这种将变力做功转换成恒力做功的求解方法叫等效替代法㊂例1 如图1所示,某人用跨过定滑轮的细绳以恒力F 拉着放在水平面上的滑块,使其沿着水平面由A 点前进距离l 后到达B 点㊂已知滑块在A ㊁B 两点时,细绳与水平方向间的夹角分别为α和β,滑轮到滑块的高度为h ,不计细绳与滑轮之间的摩擦和细绳的重力㊂求在这一过程中细绳的拉力对滑块所做的功㊂图1细绳对滑块的拉力大小始终等于F ,但方向在时刻改变,属于变力做功问题,不能直接利用W =F l c o s α进行计算㊂实际上,恒力F 对细绳末端所做的功等效于细绳的拉力对滑块所做的功㊂在细绳与水平面间的夹角由α变到β的过程中,恒力F 作用的细绳末端移动的位移Δl =h s i n α-h s i n β=h 1s i n α-1s i n β(),因此恒力F 对细绳末端所做的功W F =F ㊃Δl =F h 1s i n α-1s i n β(),即细绳的拉力对滑块所做的功W =W F =F h1s i n α-1s i n β()㊂方法二:平均力法若物体受到的力方向不变,而大小随着位移呈线性变化,则可以先求出力的平均值F =F 1+F 22(F 1和F 2分别为物体在研究过程初㊁末状态下所受的力),认为物体受到的是一个大小为 F 的恒力作用,再利用公式W = F l c o s α求解变力做的功㊂例2 如图2所示,轻弹簧的一端与竖直墙壁连接,另一端与一质量为m 的物块相连,物块位于光滑水平面上,已知弹簧的劲度系数为k ,开始时弹簧处于自然状态㊂用水平向右的拉力F 缓慢拉物块,使物块在弹性限度范围内前进距离x 0,求在这一过程中拉力F 对物块所做的功㊂图2在物块缓慢运动的过程中,拉力F 的方向不变,大小始终与弹簧的弹力等大反向,与位移x 满足关系式F =k x ,即从零开始随位移均匀增大,因此在物块前进距离x 0的过程中,拉力F 的平均值 F =0+k x 02=12k x 0,拉力F 对物块所做的功W = F x 0=12k x 20㊂方法三:F -x 图像法当力F 与位移x 同向时,计算功的公式可表示为W =F x ,因此在F -x 图像中,图像与x 轴所围成的 面积 就表示力F 在位移x 上所做的功㊂ 面积 位于x 轴上方,说明力F 做正功; 面积 位于x 轴下方,说明力F 做负功㊂53物理部分㊃经典题突破方法高一使用 2022年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.例3 如图3所示,一个正方形木块漂浮在一个面积很大的水池中,水深为H ,木块边长为a ,质量为m ,密度为水的一半㊂开始时木块静止,有一半没入水中㊂现用力F 将木块压到池底,不计摩擦㊂求力F 在将木块从初始状态刚好压到池底的过程中,力F 对木块所做的功㊂图3将木块从初始状态缓慢地压到刚好完全没入水中的过程中,力F 与木块下降的位移x 成正比,木块下降位移x =a2时,力F 最大,且F m a x =m g ,之后力F 始终等于F m a x ㊂作出F -x 图像如图4所示,则图中阴影部分的面积在数值上等于力F 对木块所做的功,即W =m g (H -a )+H -a2()2=m gH -3m g a4㊂图4方法四:微元法若物体在运动过程中所受的变力始终与速度方向在同一条直线上或成某一固定角度,则可以将运动过程分成无数个小段,在每一个小段上都可以认为物体受到的力是恒力,物体在整个运动过程中的位移等于运动轨迹的长度,则力在各个小段上所做功的代数和即为变力在整个运动过程中所做的功㊂图5例4 以前的人们经常采用如图5所示的 驴拉磨 方式把粮食加工成粗面来食用㊂假设某次采用 驴拉磨 方式进行粮食加工的过程中,驴对磨的拉力大小始终为500N ,驴做圆周运动的半径为1.5m ,则在驴拉磨转动一周的过程中,拉力所做的功为( )㊂A .0 B .500JC .750JD .1500πJ在驴拉磨转动一周的过程中,拉力F 的大小不变,方向时刻改变,但总与速度的方向相同㊂将转动的一周分割成无数个小段,则每一个小段对应的位移Δs 1㊁Δs 2㊁Δs 3㊁ ㊁Δs n 都可认为与拉力F 同向,因此在驴拉磨转动一周的过程中,力F 所做的功等于恒力F 在各个小段上所做功的代数和,即W F =F ㊃Δs 1+F ㊃Δs 2+F ㊃Δs 3+ +F ㊃Δs n =F (Δs 1+Δs 2+Δs 3+ +Δs n )=F ㊃2πR =1500πJ ㊂答案:D方法五:动能定理法若物体的运动情况较为复杂,但是物体在初㊁末状态下的动能,以及除待求变力所做的功外其他力所做的功都可以比较容易地求出,则可以利用动能定理来求解这个变力所做的功㊂图6例5 如图6所示,一个半径为R 的半圆形轨道固定在竖直平面内,轨道两端等高;质量为m 的质点自轨道左端P 点由静止开始下滑,滑到最低点Q 时,对轨道的压力大小为2m g ,重力加速度为g ㊂在质点自P 点滑到Q 点的过程中,克服摩擦力所做的功为( )㊂A .14m g R B .13m g R C .12m g R D .π4m gR 在质点自P 点滑到Q 点的过程中,质点受到的滑动摩擦力的大小和方向都在变化,属于变力做功问题㊂设此过程中质点克服摩擦力所做的功为W f ,根据动能定理得m gR -W f =12m v 2Q -0;根据牛顿第三定律可知,质点在Q 点受到轨道63 物理部分㊃经典题突破方法 高一使用 2022年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.的支持力大小N =2m g ;质点运动到Q 点时,根据牛顿第二定律得N -m g =m v 2QR㊂联立以上三式解得W f =12m g R ㊂答案:C方法六:机械能守恒定律法若物体只受重力和弹力作用或只有重力和弹力做功,且重力和弹力中有一个力是变力,则可以利用机械能守恒定律来求解这个变力所做的功㊂图7例6 如图7所示,一根金属链条的总长为l ,置于足够高的光滑水平桌面上,链条下垂部分的长度为a ㊂某时刻链条受到微小扰动由静止开始下滑,在链条由静止开始下滑到整根链条刚好离开桌面的过程中,重力所做的功为多少?链条在下滑的过程中,下垂部分不断增长,质量不断增大,即这部分链条的重力是变力,整根链条的运动是在该变力作用下的运动,属于变力做功问题㊂取桌面为零重力势能参考平面,设整根链条的质量为m ,初始状态下链条下垂部分的质量为m 0,则m 0=al m ㊂初始状态下,整根链条的机械能E 1=0-m 0g ㊃a 2=-m g a22l;整根链条刚好离开桌面时,整根链条的机械能E 2=W 重-m g ㊃l2㊂根据机械能守恒定律得E 1=E 2,解得W 重=m g (l 2-a 2)2l㊂ 图81.如图8所示,摆球质量为m ,悬绳的长度为L ,把悬绳拉到与悬点O 处于同一水平线上的A 点后放手㊂在摆球从A 点运动到最低点B 的过程中,设空气阻力F 阻的大小保持不变,则下列说法中正确的是( )㊂A .重力做功为m g L B .悬绳的拉力做功为12m g πL C .空气阻力F 阻做功为-m g L D .空气阻力F 阻做功为-12πF 阻L 2.用大锤将一木桩打入泥土里,木桩长为L ,大锤第一次击桩时使木桩从地面钻入泥土的深度为L5,如果木桩受到泥土的阻力远大于木桩的重力,且与木桩钻入泥土的深度成正比,那么大锤打击木桩多少次后木桩全部钻入泥土中图93.如图9所示,质量为m 的小球用长度为L 的轻质细线悬于O 点,与O 点处于同一水平线上的P 点处有一个光滑的细钉,已知O ㊁P 两点间的水平距离为L2㊂在A 点给小球一个水平向左的初速度v 0,发现小球恰能到达与P 点在同一竖直线上的最高点B ㊂(1)小球到达B 点时的速率为多大(2)若初速度v 0=3g L ,则在小球从A 点运动到B 点的过程中克服空气阻力做了多少功图104.如图10所示,质量m =2k g 的物体,从光滑斜面的顶端A 点以初速度v 0=5m /s 滑下,在D 点与弹簧接触并将弹簧压缩到B点时的速度为零㊂已知A ㊁B 两点间的竖直高度h =5m ,取重力加速度g =10m /s2,在物体从A 点运动到B 点的过程中,弹簧的弹力对物体所做的功为多少参考答案:1.A D 2.25次㊂3.(1)v B =g L 2;(2)W 克=114m g L ㊂4.W 弹=-125J㊂作者单位:山东省惠民县第一中学(责任编辑 张 巧)73物理部分㊃经典题突破方法高一使用 2022年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
求解变力做功的四种方法
联立解得 d′＝( 2－1)d. [归纳提升] 当力为变力，应用平均值法求功时，
F
＝F1＋ F2
2
只能用于 F 与位移 l 成线性关系的情况，不能用于 F 与时间 t
成线性关系的情况 ．
*
栏目 导引
图象法求变力做功
第七章 机械能守恒定律*
• 变力做旳功W可用F－l图线与l轴所围成旳面积 表达．l轴上方旳面积表达力对物体做正功旳多 少，l轴下方旳面积表达力对物体做负功旳多少 ．
第七章 机械能守恒定律*
• 1．做功旳两个必要原因 • (1)作用在物体上旳力． • (2)物体在力方向上旳位移． • 2．功旳体现式：W＝Flcos α，α为力F与位移l旳
夹角． • (1)α<90°时，W>0. • (2)α>90°时，W<0. • (3)α＝90°时，W＝0.
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栏目 导引
第七章 机械能守恒定律*
• [答案] 50 J
• [易错提醒] F做功旳位移等于左边绳旳变短旳部分，而 不等于物体旳位移．
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[解析] (1)将圆弧 AB 分成很多小段 l1、l2、…、ln，拉力在每 小段上做的功为 W1、W2、…、Wn，因拉力 F 大小不变，方向 始终与物体所在位置的切线方向成 37°角，所以： W1＝Fl1cos 37°，W2＝Fl2cos 37°，…，Wn＝Flncos 37°， 所以 WF＝ W1＋ W2＋…＋Wn ＝Fcos 37°(l1＋l2＋…＋ln) ＝Fcos 37°·π3R＝20π J＝62.8 J. (2)重力 mg 做的功 WG＝－m gR(1－cos 60°)＝－50 J. (3)物体受的支持力 FN 始终与物体的运动方向垂直，所以 WFN ＝ 0.
变力做功的计算
变力做功的计算 Prepared on 22 November 2020变力做功的计算公式适用于恒力功的计算，对于变力做功的计算，一般有以下几种方法。
一、微元法对于变力做功，不能直接用进行计算，但是我们可以把运动过程分成很多小段，每一小段内可认为F是恒力，用求出每一小段内力F所做的功，然后累加起来就得到整个过程中变力所做的功。
这种处理问题的方法称为微元法，这种方法具有普遍的适用性。
但在高中阶段主要用于解决大小不变、方向总与运动方向相同或相反的变力的做功问题。
例1. 用水平拉力，拉着滑块沿半径为R的水平圆轨道运动一周，如图1所示，已知物块的质量为m，物块与轨道间的动摩擦因数为。
求此过程中摩擦力所做的功。
图1思路点拨：由题可知，物块受的摩擦力在整个运动过程中大小不变，方向时刻变化，是变力，不能直接用求解；但是我们可以把圆周分成无数小微元段，如图2所示，每一小段可近似成直线，从而摩擦力在每一小段上的方向可认为不变，求出每一小段上摩擦力做的功，然后再累加起来，便可求得结果。
图2正确解答：把圆轨道分成无穷多个微元段，摩擦力在每一段上可认为是恒力，则每一段上摩擦力做的功分别为，，…，，摩擦力在一周内所做的功。
误点警示：对于此题，若不加分析死套功的公式，误认为位移s＝0，得到W＝0，这是错误的。
必须注意本题中的F是变力。
小结点评：对于变力做功，一般不能用功的公式直接进行计算，但有时可以根据变力的特点变通使用功的公式。
如力的大小不变而方向总与运动方向相同或相反时，可用计算该力的功，但式子中的s不是物体运动的位移，而是物体运动的路程。
［发散演习］如图3所示，某个力F＝10N作用于半径R＝1m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向任何时刻与作用点处的切线方向保持一致。
则转动半圆，这个力F做功多少图3答案：。
二、图象法在直角坐标系中，用纵坐标表示作用在物体上的力F，横坐标表示物体在力的方向上的位移s。
如果作用在物体上的力是恒力，则其F－s图象如图4所示。
如何求变力做功
F 图1如何求变力做功在高中阶段求变力做功的问题是很常见的。
既可以运用公式W=FScos α来求解，又可以运用动能定理、功能原理等来求解。
对于具体问题要具体分析。
为此笔者在教学中总结了以下几种方法。
一、运用公式W=FScos α求解在不知物体初、末位置的速度时，就无法运用动能定理或功能原理求解，只有将变力转化为恒力，依据功的定义式W=FScos α求解。
例1 如图1所示，某个力F 作用于半径为R 的圆盘， 力F 的大小不变，但方向始终与过力的作用点的圆盘的切线 一致，则转动圆盘一周该力做多少功。
分析与解 在转动转盘一周过程中，力F 的方向时刻变化，但每一瞬时力F 总是与该瞬时的速度同向（切线方向），既F 在每瞬时与转盘转过的极小位移∆s 同向。
这样，无数瞬时的极小位移∆s 1，∆s 2，∆s 3…∆s n 都与当时的F 方向同向。
因而在转动一周过程中，力F 做的功应等于在各极小位移段所做功的代数和。
即W=F ∆s 1+F ∆s 2+…F ∆s n= F(∆s 1+∆s 2+∆s 3+…∆s n )=F 2πR当变力始终与速度在同一直线上或成某一固定角度时可把曲线运动或往复运动的路线拉直考虑，在各小段位移上将变力转化为恒力用W=FScos α计算功，而且变力所做功等于变力在各小段所做功之和。
再者，若问题中的变力与位移成线形关系，即F=ks+b ，其F-s 图象如图2所示。
则图中阴影部分的面积大小在数值上等于变力所做功的大小，即W=)(21221s s F F -+。
也就是说，变力F 由F 1线形地变化到F 2的过程中所做的功等于该过程的平均力221F F F +=-所做的功。
二、用动能定理求解动能定理告诉我们，外力对物体所做的功等于物体动能的变化，即W 外 =∆E K ，W 外系指物体受到的所有外力对物体所做功的代数和，∆E K 是物体动能的变化量。
例2 如图3所示，质量为m 的物块在半径为R 的半球形容器中从上部边缘A 由静止起下滑，滑到最底点B时对容器底部的压力为2mg 。
科学思维系列(一)——求解变力做功的几种方法及摩擦力做功的情况
F 做的功．“面积”有正负，在x 轴上方的“面积”为正，在x 轴下方的“面积”为负．如图甲、乙所示，这与运动学中由v - t 图象求位移的原理相同．【典例2】 用质量为5 kg 的均匀铁索，从10 m 深的井中吊起一质量为20 kg 的物体，此过程中人的拉力随物体上升的高度变化如图所示，在这个过程中人至少要做多少功？(g 取10 m/s 2)【解析】 方法一 提升物体过程中拉力对位移的平均值：F －＝250＋2002N ＝225 N 故该过程中拉力做功：W ＝F －h ＝2 250 J.方法二 由F - h 图线与位移轴所围面积的物理意义，得拉力做功：W ＝250＋2002×10 J ＝2 250 J. 【答案】 2 250 J法3.用微元法求变力做功圆周运动中，若质点所受力F 的方向始终与速度的方向相同，要求F 做的功，可将圆周分成许多极短的小圆弧，每段小圆弧都可以看成一段极短的直线，力F 对质点做的功等于它在每一小段上做功的代数和，这样变力(方向时刻变化)做功的问题就转化为多段上的恒力做功的问题了．【典例3】如图所示，质量为m的质点在力F的作用下，沿水平面上半径为R的光滑圆槽运动一周．若F的大小不变，方向始终与圆槽相切(与速度的方向相同)，求力F对质点做的功．【解析】质点在运动的过程中，F的方向始终与速度的方向相同，若将圆周分成许多极短的小圆弧Δl1、Δl2、Δl3、…、Δln，则每段小圆弧都可以看成一段极短的直线，所以质点运动一周，力F对质点做的功等于它在每一小段上做功的代数和，即W ＝W1＋W2＋…＋W n＝F(Δl1＋Δl2＋…＋Δl n)＝2πRF.【答案】2πRF.变式训练1如图所示，放在水平地面上的木块与一劲度系数k＝200 N/m的轻质弹簧相连，现用手水平拉弹簧，拉力的作用点移动x1＝0.2 m，木块开始运动，继续拉弹簧，木块缓慢移动了x2＝0.4 m，求上述过程中拉力所做的功．解析：木块刚要滑动时，拉力的大小F＝kx1＝200×0.2 N＝40 N，从开始到木块刚要滑动的过程，拉力做的功W1＝0＋F 2x1＝402×0.2 J＝4 J；木块缓慢移动的过程，拉力做的功W2＝Fx2＝40×0.4 J＝16 J．故拉力所做的总功W＝W1＋W2＝20 J.答案：20 J变式训练2如图所示，一质量为m＝2.0 kg的物体从半径为R＝5.0 m 的圆弧的A端，在拉力作用下沿圆弧缓慢运动到B端(圆弧AB如图所示，水平传送带正以v ＝2 m/s 的速度运行，两端水平距离l ＝8 m ，把一质量m ＝2 kg 的物块轻轻放到传送带的A 端，物块在传送带的带动下向右运动．若物块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.1，不计物块的大小，g 取10 m/s 2，则把这个物块从A 端传送到B 端的过程中．求：(1)摩擦力对物块做的功．(2)摩擦力对传送带做的功．【解析】 (1)物块刚放到传送带上时，由于与传送带有相对运动，物块受向右的滑动摩擦力，物块做加速运动，摩擦力对物块做功．物块受向右的摩擦力为F f ＝μmg ＝0.1×2×10 N ＝2 N加速度为a ＝F f m ＝μg ＝0.1×10 m/s 2＝1 m/s 2当物块与传送带相对静止时的位移为x ＝v 22a ＝222×1m ＝2 m 摩擦力对物块做功为W ＝F f x ＝2×2 J ＝4 J.(2)把这个物块从A 端传送到B 端的过程中，摩擦力对传送带做功为：W ′＝－μmgx ′＝－μmg ·v ·v a ＝－8 J.【答案】 (1)4 J (2)－8 J变式训练3 以初速度v 0竖直向上抛出质量为m 的小球，上升的最大高度是h ，如果空气阻力f 的大小恒定，从抛出到落回出发点的整个过程中，空气阻力对小球做的功为( )A ．0B ．－fhC ．－2mghD ．－2fh解析：阻力做功跟物体的运动轨迹有关，所以阻力做功为W f ＝－2fh .答案：D。
变力做功的求解方法
变力做功的求解方法功是一个基本物理量，功是能量转化的量度．因此，功的计算在中学物理中占有十分重要的地位．中学阶段所学的功的计算公式W=FS COS α只适用于计算恒力做功情况，但如果是变力做功，一般不能用该公式去计算．那么，在高中知识的范围内如何处理有关变力做功的问题呢？本文介绍几种常见的求解方法．一、 用动能定理求解动能定理告诉我们，外力对物体所做的功等于物体动能的变化，其表达式是W 外＝ΔE ｋ，W 外是指物体受到的所有外力对物体所做功的代数和，ΔE ｋ是物体动能的变化量．如果我们所研究的多个力中，只有一个力是变力，其余的都是恒力，而且这些恒力所做的功比较容易计算，研究对象本身的动能增量也比较容易计算时，用动能定理就可以求出这个变力所做的功．例1．如图1所示，一质量为m 的小球，用长为L 的轻绳悬挂在O 点，小球在水平拉力F 的作用下，从平衡位置A 点缓慢地移到B 点，求力F 所做的功？分析：小球从A 点拉到B 点时，受重力、绳子的拉力和水平拉力F ，由受力分析知F=mg tan θ，随着θ的增大，Ｆ也增大，故F 是变力，因此不能直接用W=FS COS θ计算．解：从A 缓慢拉到B ，由动能定理得：ＷＦ－ＷＧ＝ΔＥＫ，因为小球缓慢移动，速度可视为零，即动能的变化量ΔＥＫ为零,则有：ＷＦ＝ＷＧ＝mgL(1-COS θ) ．二、用机械能守恒定律求解如果物体只受重力和弹力作用或只有重力和弹力做功时，所研究的系统的机械能守恒．如果重力和弹力中有一个力是变力，这个变力所做的功就可用机械能守恒定律求解.例2．一条均匀铁链的长度为ａ，置于足够高的光滑桌面上，如图2所示．铁链的下垂部分长度为ｂ，并由静止开始从桌上滑下，当铁链的最后一节离开桌面时，求铁链的速度及在这一过程中重力所做的功为多少?分析：铁链在下落过程中，下垂部分不断增长，因此，这部分所受的重力是变力，整个铁链的运动也是在该变力作用下的运动，是变力做功问题．解：取桌面为零势能面，设整个铁链质量为ｍ，下垂部分质量为ｍ０．则有：ab m m =0，m a b m =0， 链条开始下滑时:动能E ｋ1＝0，势能E ｐ1＝－2b ｍ０ｇ＝－a b 22ｍｇ,机械能E 1＝E ｋ1＋E ｐ1＝－ab 22ｍｇ， 设链条全部离开桌面时的瞬时速度为ｖ，此时：动能E ｋ2＝21ｍｖ2，势能E ｐ2＝－2a ｍｇ，机械能E 2＝21ｍｖ2－2a ｍｇ， 根据机械能守恒定律有E 1＝E 2，即：－ab 22ｍｇ=21ｍｖ2－2a ｍｇ， 解得：ｖ＝ab a g )(22-.因此，在这一过程中重力所做的功为：W Ｇ＝ΔE ｋ＝21ｍｖ2－0＝)(222b a amg -. 三、用功能原理求解如果系统除重力和弹力之外的力对物体做功，系统的机械能就会发生变化，而且这些力做了多少功，系统就有多少机械能发生变化，这就是功能原理．如果这些力是变力或只有一个变力做功，而其它力对物体做的功和系统机械能的变化量容易求得，就可以用功能原理求解变力做功问题．例3．质量为m 的均匀链条长为L ，自然堆放在光滑的水平面上，现用力F 将其一端竖直向上缓慢地提起，求该链条另一端刚好离开水平面时拉力F 所做的功？分析：链条上提过程中提起部分的重力逐渐增大,作用在链条上的拉力是变力，因此不能直接用W=FS COS α计算．根据功能原理，上提过程中拉力F 所做的功等于机械能的增量，故可以用功能原理求解．解：当链条刚被全部提起时，动能没有变化，重心升高了L ，故机械能增加量为：ΔE=mgL ，根据功能原理知力F 所做的功为：W=mgL .四、用公式W=Pt 求解将功率的定义式P=t W 变形，得W=Pt ．在求解交通工具牵引力做功问题时经常用到此公式． 例4．质量为5×105kg 的机车，以恒定功率从静止开始起动，所受阻力是车重的0.06倍，机车经过5min速度达到最大值108km ／h ，求机车的功率和机车在这段时间内所做的功？分析：因机车的功率恒定，当机车从静止开始达到最大速度的过程中，牵引力不断减小，当速度达到最大值时，机车所受牵引力达到最小值，与阻力相等．在这段时间内机车所受阻力可认为是恒力，牵引力是变力，因此，机车做功不能直接用W=FS COS α求解，但可用公式W=Pt 来计算．解：根据题意，机车所受阻力f ＝kmg ，当机车速度达到最大值v ｍａｘ时，机车牵引力Ｆ＝f ＝kmg ，故机车的功率为：Ｐ＝ＦＶｍａｘ＝kmgv ｍａｘ＝0.06×5×105×10×3600101083⨯Ｗ＝9×106Ｗ， 根据Ｗ＝Ｐｔ，得机车所做的功为：Ｗ＝9×106×300J ＝2.7×109Ｊ.五、用图象法求解如果力F 随位移的变化关系明确，始末位置清楚，可在平面直角坐标系内画出F —x 图象，图象下方与坐标轴所围的“面积”即表示功。
变力做功的六种常见计算方法
变力做功的六种常见计算方法变力做功是指当力的大小和方向随着对象运动的位置而变化时，力对物体所做的功。
下面将介绍六种常见的计算变力做功的方法。
1.通过力的曲线面积计算功：当力的大小和方向随着位置的变化而变化时，可以通过绘制力与位置的曲线图，然后计算曲线下的面积来求得所做的功。
2.利用求和法计算功：将运动过程划分成若干个小的位移段，对每个位移段内力的大小和方向保持不变，然后通过求和法计算每个位移段上力所做的功，最后将所有位移段上力所做的功相加得到总功。
3.应用积分法计算功：对力和位移变化连续的问题，可以利用微积分中的积分法来计算变力做功。
通过计算力在位移方向上的积分，即对力关于位移的函数进行积分，来得到变力做功的结果。
4.利用功率和时间计算功：如果已知物体在一段时间内所受到的平均力和物体的平均速度，可以利用功率和时间的关系来计算功。
功率定义为单位时间内做功的大小，根据功率公式P=W/t，其中W是做功的大小，t是时间，可以通过已知的其它量来计算功。
5.利用速度和质量计算功：在一些特定的情况下，可以利用物体的速度和质量来计算变力做功。
根据力学中的动能定理，物体的动能变化等于外力所做的功，其中动能定义为 K=1/2 mv^2，其中 m 是质量， v 是速度。
6.利用万有引力计算功：当物体受到的力是万有引力时，可以利用万有引力公式来计算变力做功。
万有引力公式为F=GmM/r^2，其中F是力，m和M是物体的质量，G 是万有引力常数，r是两物体之间的距离。
通过将力乘以物体的位移并将结果进行积分，可以得到变力做功的计算结果。
这些是常见的计算变力做功的方法，根据具体问题的条件和要求，选择适合的方法来计算变力做功。
变力做功的六种常见计算方法
变力做功的六种常见计算方法第一种方法是曲线切线式。
在物体沿曲线运动的情况下，可以通过计算力的切线分量与物体速度的乘积来确定变力做功的大小。
具体计算方法是，首先需要确定物体在其中一时刻的速度，然后取该时刻的力的切线分量（即与物体速度方向相同的力的分量），最后将该切线分量与物体速度的乘积相乘，即可得到变力做功的大小。
第二种方法是常力法。
在物体受到一定的恒定力作用下，可以通过计算力与物体位移方向的夹角的余弦值再乘上力的大小来确定变力做功的大小。
具体计算方法是，首先需要确定力的大小，然后确定物体的位移方向与力的方向之间的夹角，最后将位移方向与力的方向之间夹角的余弦值乘以力的大小，即可得到变力做功的大小。
第三种方法是分力法。
当物体受到多个力的作用时，可以通过计算各个力的分力与物体位移方向之间的夹角的余弦值再分别乘上各个分力的大小来确定变力做功的大小，然后将各个分力的做功求和即可得到变力做功的总大小。
第四种方法是连续变力法。
在物体受到连续变化的力作用下，可以通过将力的大小关于物体位移的函数表示出来，然后对该函数进行积分来确定变力做功的大小。
具体计算方法是，首先需要确定力对物体位移的函数关系式，然后对该函数进行积分，最后得到的积分值即为变力做功的大小。
第五种方法是有功做功法。
在物体受到非保守力作用下，可以通过计算力的非保守分量与物体位移的乘积再加上势能变化的大小来确定变力做功的大小。
具体计算方法是，首先需要确定力的保守分量与非保守分量，然后将非保守分量与位移的乘积相加，再加上势能变化的大小，即可得到变力做功的大小。
第六种方法是负功做功法。
在物体受到反向力作用下，可以通过计算该反向力的绝对值与物体位移的乘积再乘上负一来确定变力做功的大小。
具体计算方法是，首先需要确定反向力的大小，然后将反向力的绝对值与位移的乘积相乘，并将结果乘以负一，即可得到变力做功的大小。
综上所述，变力做功的六种常见计算方法分别是曲线切线式、常力法、分力法、连续变力法、有功做功法和负功做功法。
(完整)求解变力做功的十种方法
求解变力做功的十种方法功是高中物理的重要概念，对力做功的求解也是高考物理的重要考点，恒力的功可以用公式直接求解，但变力做功就不能直接求解了，需要通过一些特殊的方法，本文结合具体的例题，介绍十种解决变力做功的方法.一. 动能定理法例1. 一质量为m 的小球，用长为L 的轻绳悬挂于O 点，小球在水平力F 作用下，从平衡位置P 点很缓慢地移到Q 点,如图1所示，此时悬线与竖直方向夹角为θ,则拉力F 所做的功为：（ ）A ：θcos mgLB ：)cos 1(θ-mgL C.：θsi n FL D:θcos FL分析：在这一过程中,小球受到重力、拉力F 、和绳的弹力作用，只有重力和拉力做功,由于从平衡位置P 点很缓慢地移到Q 点.，小球的动能的增量为零。
那么就可以用重力做的功替代拉力做的功。
解：由动能定理可知：0=-G F W W )cos 1(θ-==mgL W W G F故B 答案正确。
小结:如果所研究的物体同时受几个力的作用,而这几个力中只有一个力是变力，其余均为恒力，且这些恒力所做的功和物体动能的变化量容易计算时,利用动能定理可以求变力做功是行之有效的。
二。
微元求和法例2. 如图2所示，某人用力F 转动半径为R 的转盘，力F 的大小不变，但方向始终与过力的作用点的转盘的切线一致,则转动转盘一周该力做多少功。
解：在转动转盘一周过程中，力F 的方向时刻变化，但每一瞬时力F 总是与该瞬时的速度同向(切线方向)，即F 在每瞬时与转盘转过的极小位移∆∆∆s s s 123、、……∆s n 都与当时的F 方向同向，因而在转动一周过程中，力F做的功应等于在各极小位移段所做功的代数和，即：W F s F s F s F s F s s s s F Rn n =++++=++++=()()∆∆∆∆∆∆∆∆1231232……·π小结：变力始终与速度在同一直线上或成某一固定角度时,可化曲为直，把曲线运动或往复运动的路线拉直考虑，在各小段位移上将变力转化为恒力用W Fs =cos θ计算功，而且变力所做功应等于变力在各小段所做功之和。
(完整版)五种方法搞定变力做功问题
五种方法搞定变力做功一.微元法思想。
当物体在变力作用下做曲线运动时，我们无法直接使用θcos s F w •=来求解，但是可以将曲线分成无限个微小段，每一小段可认为恒力做功，总功即为各个小段做功的代数和。
例1. 用水平拉力，拉着滑块沿半径为R 的水平圆轨道运动一周，如图1所示，已知物块的质量为m ，物块与轨道间的动摩擦因数为μ。
求此过程中摩擦力所做的功。
思路点拨：由题可知，物块受的摩擦力在整个运动过程中大小不变，方向时刻变化，是变力，不能直接用求解；但是我们可以把圆周分成无数小微元段，如图2所示，每一小段可近似成直线，从而摩擦力在每一小段上的方向可认为不变，求出每一小段上摩擦力做的功，然后再累加起来，便可求得结果 图1图2把圆轨道分成无穷多个微元段，摩擦力在每一段上可认为是恒力，则每一段上摩擦力做的功分别为，，…，，摩擦力在一周内所做的功二、平均值法当力的大小随位移成线性关系时，可先求出力对位移的平均值221F F F +=，再由αcos L F W =计算变力做功。
如：弹簧的弹力做功问题。
例2静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F 作用下，沿x 轴方向运动（如图2甲所示），拉力F 随物块所在位置坐标x 的变化关系（如图乙所示），图线为半圆．则小物块运动到x 0处时的动能为 （ ） A ．0 B ．021x F mC ．04x F m πD ．204x π【精析】由于W ＝Fx ，所以F-x 图象与x 轴所夹的面积表示功，由图象知半圆形的面积为04m F x π．C 答案正确．三.功能关系法。
功能关系求变力做功是非常方便的，但是必须知道这个过程中能量的转化关系。
例3 如图所示，用竖直向下的恒力F 通过跨过光滑定滑轮的细线拉动光滑水平面上的物体，物体沿水平面移动过程中经过A 、B 、C 三点，设AB =BC ，物体经过A 、B 、C 三点时的动能分别为E KA ，E KB ，E KC ，则它们间的关系一定是：A ．E KB -E KA =E KC -E KB B ．E KB -E KA <E KC -E KB C ．E KB -E KA >E KC -E KBD ．E KC <2E KBF x 0FxF •Ox 0图2－甲图2乙【精析】此题中物块受到的拉力是大小恒定，但与竖直方向的夹角逐渐增大，属于变力，求拉力做功可将此变力做功转化为恒力做功问题．设滑块在A 、B 、C 三点时到滑轮的距离分别为L 1、L 2、L 3，则W 1=F (L 1-L 2)，W 2=F (L 2-L 3)，要比较W 1和W 2的大小，只需比较(L 1-L 2)和(L 2-L 3)的大小．由于从L 1到L 3的过程中，绳与竖直方向的夹角逐渐变大，所以可以把夹角推到两个极端情况．L 1与杆的夹角很小，推到接近于0°时，则L 1-L 2≈AB ，L 3与杆的夹角较大，推到接近90°时，则L 2-L 3≈0，由此可知，L 1-L 2> L 2-L 3，故W 1> W 2．再由动能定理可判断C 、D 正确．答案CD.四.应用公式Pt W =求解。
求变力做功的六种方法
求变力做功的六种方法方法一 动能定理法动能定理是求变力做功的首选思路，基本方法是：由动能的变化求合力功，再求某个力的功．例1 (2015·海南)如图，一半径为R 的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高．质量为m 的质点自轨道端点P 由静止开始滑下，滑到最低点Q 时，对轨道的正压力为2mg ，重力加速度大小为g ，质点自P 滑到Q 的过程中，克服摩擦力所做的功为( C ) A.14mgR B.13mgR C.12mgR D.π4mgR方法二 图像法在F －x 图像中，图线和x 轴所围的面积表示F 做的功．在x 轴上方的“面积”表示正功，x 轴下方的“面积”表示负功．例2 一质量为2 kg 的物体，在水平恒定拉力的作用下以一定的初速度在粗糙的水平面上做匀速运动，当运动一段时间后，拉力逐渐减小，且当拉力减小到零时，物体刚好停止运动，图中给出了拉力随位移变化的关系图像．已知重力加速度g ＝10 m/s 2，由此可知(ABC )A ．物体与水平面间的动摩擦因数约为0.35B ．减速过程中拉力对物体所做的功约为13 JC ．匀速运动时的速度约为6 m/sD ．减速运动的时间约为1.7 s方法三 平均力法若F －x 按线性规律变化，当F 由F 1变化到F 2的过程中，力的平均值为F ＝F 1＋F 22，再利用功的定义式W ＝Flcos α来求功．例3 如图所示，长为L ，质量为m 的矩形板，以速度v 沿光滑水平面运动，滑上长度为l 的粗糙水平面(l ＜L)，在板的前端刚到达粗糙水平面的末端时，这一过程中克服摩擦力做的功为多大？已知动摩擦因数为μ.【答案】 μmgl 22L【解析】 矩形板滑上粗糙水平面过程中，所受摩擦力与位移成正比，摩擦力的平均值为f －＝μmgl 2L， 克服摩擦力做功为W ＝f －·l ＝μmgl 22L. 方法四 等效转换法若所求变力的功和某一恒力的功效果相同，可将变力做功转化为恒力做功，在“滑轮拉物体”的问题中，注意应用这种方法．例4 人在A 点拉着绳通过一定滑轮吊起质量m ＝50 kg 的物体，如图所示，开始时绳与水平方向的夹角为60°.当人匀速提起重物由A 点沿水平方向运动l ＝2 m 而到达B 点时，绳与水平方向成30°角．则人对绳的拉力做了多少功？【解析】 人对绳的拉力的功与绳对物体的拉力的功是相同的，而由于匀速提升物体，故物体处于平衡状态，可知绳上拉力F ＝mg.而重物上升的高度h 等于右侧绳子的伸长量Δl ，由几何关系，得h(cot30°－cot60°)＝lΔl ＝h sin30°－h sin60°，解得Δl ＝1.46 m 人对绳的拉力做的功W ＝mg Δl ＝500×1.46 J ＝730 J方法五 微元法在曲线运动或往返运动中，摩擦力(空气阻力)的方向沿运动切线改变，可将曲线分成无限小段，每一小段可认为恒力做功，总功即为各个小段做功的代数和．通过微元法可知：摩擦力(空气阻力)做的功，其大小等于力和路程的乘积．例5 (多选)如图所示，摆球质量为m ，悬线长为L ，把悬线拉到水平位置后放手．小球从A 摆到O 点正下方的B 点，设在摆球运动过程中空气阻力F 阻的大小不变，则下列说法正确的是( ABD )A ．重力做功为mgLB ．绳的拉力做功为0C ．空气阻力F 阻做功为－mgLD ．空气阻力F 阻做功为－12F 阻πL方法六 功率计算法机车以恒定功率运动时，牵引力变化，此时牵引力所做的功不能用W ＝Fx来计算，但因功率恒定，可以用W ＝Pt 计算．例6 汽车的质量为m ，输出功率恒为P ，沿平直公路前进距离s 的过程中，其速度由v 1增至最大速度v 2.假定汽车在运动过程中所受阻力恒定，求汽车通过距离s 所用的时间．【答案】 m （v 22－v 12）2P ＋s v 2【解析】 当F ＝F f 时，汽车的速度达到最大速度v 2，由P ＝Fv 可得F f ＝P v 2对汽车，根据动能定理，有Pt －F f s ＝12mv 22－12mv 12 联立以上两式解得t ＝m （v 22－v 12）2P ＋s v 2. 强化训练1.如图所示，质量为m 的小球用长L 的细线悬挂而静止在竖直位置．现用水平拉力F 将小球缓慢拉到细线与竖直方向成θ角的位置．在此过程中，拉力F 做的功为( D )A ．FLcos θB ．FLsin θC ．FL(1－cos θ)D ．mgL(1－cos θ)2.如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以大小恒定的拉力F 拉绳，使滑块从A 点起由静止开始上升．若从A 点上升至B 点和从B 点上升至C 点的过程中拉力F 做的功分别为W 1和W 2，图中AB ＝BC ，则( A )A ．W 1＞W 2B ．W 1＜W 2C ．W 1＝W 2D ．无法确定W 1和W 2的大小关系3.如图所示，一个粗糙的水平转台以角速度ω匀速转动，转台上有一个质量为m的物体，物体与转台间用长L 的绳连接着，此时物体与转台处于相对静止，设物体与转台间的动摩擦因数为μ，现突然制动转台，则(ABD )A ．由于惯性和摩擦力，物体将以O 为圆心、L 为半径做变速圆周运动，直到停止B ．若物体在转台上运动一周，物体克服摩擦力做的功为μmg2πLC ．若物体在转台上运动一周，摩擦力对物体不做功D ．物体在转台上运动Lω24μg π圈后，停止运动4．地面上物体在变力F 作用下由静止开始竖直向上运动，力F 随高度x 的变化关系如图所示，物体能上升的最大高度为h ，h<H.当物体加速度最大时其高度为多少？加速度的最大值为多少？答案 0或h gh 2H －h解析 根据题意，从图可以看出力F 是均匀减小的，可以得出力F 随高度x 的变化关系：F ＝F 0－kx ，而k ＝F 0H， 可以计算出物体到达h 处时力F ＝F 0－F 0Hh ； 物体从地面到h 处的过程中，力F 做正功，重力G 做负功，由动能定理可得：Fh ＝mgh ，而F ＝F 0＋F 2＝F 0－F 02Hh ， 可以计算出：F 0＝2mgH 2H －h， 则物体在初位置加速度为：F 0－mg ＝ma ，计算得：a ＝gh 2H －h； 当物体运动到h 处时，加速度为：mg －F ＝ma ，而F ＝2mgH 2H －h －2mgh 2H －h， 计算处理得：a ＝gh 2H －h， 即加速度最大的位置是0或h 处．。
求变力做功的十种方法
变力做功的十种方法河南省信阳高级中学 陈庆威功是高中物理的重要概念，对力做功的求解也是高考物理的重要考点，恒力的功可以用公式θcos FS W =直接求解，但变力做功就不能直接用公式了，这里总结了一些求变力做功的方法，希望能对读者有帮助。
一. 动能定理法例1. 如图所示，质量为m 的物体从A 点沿半径为R 的粗糙半球内表面以的速度开始下滑，到达B 点时的速度变为，求物体从A 运动到B 的过程中，摩擦力所做的功是多少？【解析】物体由A 滑到B 的过程中，受重力G 、弹力和摩擦力三个力的作用，因而有，即，式中为动摩擦因数，v 为物体在某点的速度，为物块与球心的连线与竖直方向的夹角。
分析上式可知，物体由A 运动到B 的过程中，摩擦力是变力，是变力做功问题，根据动能定理有，在物体由A 运动到B 的过程中，弹力不做功；重力在物体由A 运动到C 的过程中对物体所做的正功与物体从C 运动到B 的过程中对物体所做的负功相等，其代数和为零。
因此，物体所受的三个力中摩擦力在物体由A 运动到B 的过程中对物体所做的功，就等于物体动能的变化量，则有：即 可见，如果所研究的物体同时受几个力的作用，而这几个力中只有一个力是变力，其余均为恒力，且这些恒力所做的功和物体动能的变化量容易计算时，此类方法解决问题是行之有效的。
【点评】利用动能定理可以求变力做功，但不能用功的定义式直接求变力功，并且用动能定理只要求始末状态，不要求中间过程。
这也是动能定理比牛顿运动定律优越的一个方面。
二. 微元法对于变力做功，不能直接用θcos FS W =进行计算，但是我们可以把运动过程分成很多小段，每一小段内可认为F 是恒力，用θcos FS W =求出每一小段内力F 所做的功，然后累加起来就得到整个过程中变力所做的功。
这种处理问题的方法称为微元法，具有普遍的适用性。
例2. 用水平拉力，拉着滑块沿半径为R 的水平圆轨道运动一周，如图所示，已知物块的质量为m ，物块与轨道间的动摩擦因数为μ。
求解变力做功的八种方法
求解变力做功的八种方法在物理学中，做功是指力对物体施加作用力并使其产生位移的过程中所做的功。
而当作用力是变化的时候，求解变力做功就变得相对复杂。
本文将介绍八种常用的方法来求解变力做功问题，帮助读者更好地理解这一物理概念。
一、分割法分割法是将变力分割成多个小的力，然后分别计算每个小力在相应的位移上所做的功，再将它们累加起来。
通过将变力离散化，我们可以近似所需求解的变力做功。
二、辅助函数法辅助函数法是将变力关于位移进行积分，得到一个辅助函数，再通过求导的方法求解变力做功。
这个方法需要对变力进行积分和求导，适用于一些特殊的变力情况。
三、力的分解法力的分解法是将变力分解成两个简化的力，一般是平行和垂直于位移的力，然后分别计算每个简化力在相应的位移上所做的功，再将它们相加。
通过将变力进行分解，我们可以将复杂的问题简化为分别求解两个力的功的问题。
四、动能定理法动能定理法利用了动能的变化与外力做功的关系，即外力做功等于物体动能的变化。
通过对物体的动能变化进行分析，我们可以求解变力做功的问题。
五、引入势函数法引入势函数法是将变力与势函数建立联系，通过势函数的导函数来求解变力做功。
这个方法需要找到一个合适的势函数，适用于一些具有简单势函数形式的变力情况。
六、平均值法平均值法是将变力近似为一个平均力，然后计算该平均力在整体位移上所做的功。
虽然这种方法只是对变力做功的近似，但在一些情况下可以提供一个比较准确的结果。
七、图形法图形法是通过绘制力与位移之间的图形来求解变力做功。
通过图形分析，我们可以计算图形下的面积或曲线的积分，进而得到变力做功的值。
八、牛顿第二定律法牛顿第二定律法利用了牛顿第二定律与功的关系，即力乘以位移等于质量乘以加速度乘以位移。
通过将力进行分解，我们可以将变力做功的问题转化为求解加速度和位移的问题。
综上所述，以上八种方法是常用的求解变力做功的方法。
在实际问题中，根据具体情况选择合适的方法求解变力做功问题，可以帮助我们更好地理解力学中的变力概念，并解决具体的物理问题综合上述八种方法，我们可以看出，求解变力做功问题的方法有多种多样，每种方法在不同情况下都有其适用性和限制性。
变力做功的几种解(用)
三. 平均力法
例题3：用铁锤将一铁钉击入木块，设木块 对铁钉的阻力与铁钉钉入木块内的深度成 正比。在铁锤击第一次时，能把铁钉击入 木块内1cm，问击第二次时，能击入多深？ （设铁锤每次做功都相等）
▪ 练习：一辆汽车质量为105kg,从静止开始运动,其 阻力为车重的0.05倍.其牵引力的大小与车前进的 距离变化关系为F=103x+f0,f0是车所受的阻力.当 车前进100m时,牵引力做的功是多少？
▪ 最大值和最小值。
▪ （2）此过程中力F所做的功。
练习：两个底面积都是S的圆筒,放在同 一水平面上,桶内装水,水面高度分别为 h1和h2,如图所示,已知水的密度为ρ.现把 连接两桶的阀门打开,最后两桶水面高度 相等,则这过程中重力所做的功等于 .
h1
h2
八. 机械能守恒法
▪ 例8. 如图所示，质量m为2kg的物体，从 光滑斜面的顶端A点以的初速度滑下，在D 点与弹簧接触并将弹簧压缩到B点时的速 度为零，已知从A到B的竖直高度，求弹簧 的弹力对物体所做的功。
N
2
∴W＝ S＝1×105×100J＝1×107J。
应用此法,要求变力与位移间须呈一次函数关系.
四. 图象法
▪ 例4. 用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对 铁钉的阻力与铁钉钉入木块内的深度成正
比。在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木 块内1cm，问击第二次时，能击入多深？ （设铁锤每次做功都相等）
▪ 练习:如图所示,图线表示作用在做直线运动 的物体上的合外力与物体运动位移的对应 关系,物体开始时处于静止状态,则当物体在 外力的作用下,运动30m的过程中,合外力对 物体做的功为 200 J.
九. 功能原理法
▪ 例5. 如图所示，质量为m的物体从A点沿 半径为R的粗糙半球内表面以的速度开始 下滑，到达B点时的速度变为，求物体从A 运动到B的过程中，摩擦力所做的功是多 少？
求解变力做功的十种方法
求解变力做功的十种方法变力做功是指力的大小和方向在作功过程中发生变化的情况。
下面将介绍十种常见的变力做功的方法。
1.拉力做功：当一个物体被施加拉力时，拉力在作功过程中的大小和方向都是持续变化的。
通常情况下，拉力的大小会逐渐增加，直到物体被拉到目标位置。
这个过程中拉力所做的功等于力的大小乘以物体的位移。
2.推力做功：推力做功与拉力做功类似，只不过是力的方向相反。
当一个物体被施加推力时，推力也会在作功过程中发生变化，直到物体被推到目标位置。
推力所做的功也等于力的大小乘以物体的位移。
3.弹力做功：当一个物体被施加弹性势能时，弹力会在作功过程中发生变化。
例如，当拉伸弹簧时，弹簧的劲度系数会导致拉力的大小随着弹簧的伸长而增加。
弹力所做的功等于力的大小乘以物体的位移。
4.阻力做功：当一个物体受到空气阻力或其他形式的阻力时，阻力会在作功过程中发生变化。
通常情况下，阻力的大小与物体的速度成正比。
因此，在物体运动时，阻力所做的功等于力的大小乘以物体的速度与位移之积。
5.重力做功：当一个物体被抬高或下落时，重力会在作功过程中发生变化。
抬高物体时，重力的大小会减小，而下落时则会增大。
重力所做的功等于力的大小乘以物体的高度。
6.磨擦力做功：当一个物体受到摩擦力时，摩擦力会在作功过程中发生变化。
通常情况下，摩擦力的大小与物体的接触面积和物体间的粗糙程度有关。
磨擦力所做的功等于力的大小乘以物体的位移。
7.引力做功：当一个物体受到另一个物体的引力作用时，引力会在作功过程中发生变化。
例如，当地球绕太阳运动时，引力的大小会随着地球到太阳的距离的变化而变化。
引力所做的功等于力的大小乘以物体的位移。
8.中心力做功：中心力是指作用在物体上的力总是指向物体的中心。
例如，当一个物体沿着圆形轨道运动时，中心力会在作功过程中发生变化，因为物体距离中心的距离在变化。
中心力所做的功等于力的大小乘以物体的位移。
9.引力做功：引力做功是指一个物体由于受到其他物体的引力而发生位移时，引力所做的功。
求解变力做功问题的五种方法
求解变力做功问题的五种方法在高中阶段，应用做功公式W=FScosα来解题时，公式中F只能是恒力。
如果F是变力，就不能直接应用公式W=FScosα来求变力做功问题。
但是题目中又经常出现变力做功问题，下面介绍五种求解变力做功问题的方法。
一：将变力做功转化为恒力做功来求解我们知道变力做功不可以直接用公式W=FScosα来计算，但有些情况下，将变力转化成恒力做功，就可以用公式直接求解。
例题1：如图1所示，人用大小不变的力F拉着放在光滑平面上的物体，开始时与物体相连的绳子和水平面间的夹角是α，当拉力F作用一段时间后，绳子与水平面的夹角是β，图中的高度是h，求绳子拉力T对物体所做的功，（绳的质量，滑轮的质量和绳与滑轮之间的摩擦均不计）。
分析与解答：在物体向右运动过程中，绳子拉力T是一个变力，是变力做功问题。
但是拉力T大小等于力F的大小，且力F是恒力。
因此，求绳子拉力T对物体所做的功就等于力F所做的功。
由图可知，力F的作用点移动的位移大小为：ΔS=S1-S2。
则：W T=W F=FΔS=F（S1-S2）=Fh(1/sinα-1/sinβ).二：用动能定理来求解我们知道，动能定理的内容：外力对物体所做的功等于物体动能的增量。
如果我们研究物体所受的外力中只有一个是变力，其他力都是恒力，而且这些力做功比较容易求，就可以用动能定理来求变力做功。
例题2：如图2所示，质量为2kg的物体从A点沿半径为R的粗糙半球内表面以10m/s 的速度开始下滑，到达B点时的速度变为2m/s,求物体从A点运动到B点的过程中，摩擦力所做的功是多少？分析及解答：物体从A点运动到B点的过程中，受到重力G、弹力N和摩擦力f三个力作用，在运动过程中，摩擦力f的方向和大小都发生改变，因此摩擦力f是变力，是变力做功问题。
物体从A点运动到B点的过程中，弹力N不做功，重力G做功为零。
物体所受的三个力中摩擦力在物体从A点运动到B点的过程中对物体所做的功，就等于物体动能的变化量，则W外=W f=ΔE k=1/2mV B2-1/2mV A2=-96(J).三：用机械能守恒定律来求解我们知道，物体只受重力和弹力作用或只有重力和弹力做功时，系统的机械能守恒。
第29讲 变力做功的6种计算方法(解析版)
第29讲变力做功的6种计算方法一．知识回顾方法举例说法1.应用动能定理用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为W F，则有：W F－mgL(1－cosθ)＝0，得W F＝mgL(1－cosθ)2.微元法质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功W f＝F f·Δx1＋F f·Δx2＋F f·Δx3＋…＝F f(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝F f·2πR3.等效转换法恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功W＝F·⎝⎛⎭⎪⎫hsinα－hsinβ4.平均力法弹簧由伸长x1被继续拉至伸长x2的过程中，克服弹力做功W＝kx1＋kx22·(x2－x1)6.图像法在Fx图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移上所做的功7.功率法汽车恒定功率为P，在时间内牵引力做的功W=Pt二.例题精析例1．如图所示，质量均为m的木块A和B，用一个劲度系数为k的竖直轻质弹簧连接，最初系统静止，重力加速度为g，现在用力F向上缓慢拉A直到B刚好要离开地面，则这一过程中弹性势能的变化量△E p和力F做的功W分别为（）A ．m 2g 2k，m 2g 2kB ．m 2g 2k，2m 2g 2kC ．0，m 2g 2kD ．0，2m 2g 2k【解答】解：开始时，A 、B 都处于静止状态，弹簧的压缩量设为x 1，由胡克定律有 kx 1＝mg ，解得：x 1=mgk物体A 恰好离开地面时，弹簧对B 的拉力为mg ，设此时弹簧的伸长量为x 2，由胡克定律有 kx 2＝mg ，解得：x 2=mg k由于弹簧的压缩量和伸长量相等，则弹簧的弹性势能变化为零； 这一过程中，物体A 上移的距离为：d ＝x 1+x 2=2mgk ，根据功能关系可得拉力做的功等于A 的重力势能的增加量，则有：W ＝mgd =2m 2g 2k ，故D 正确，ABC 错误。
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变力做功的求解方法物理与电子信息工程学院物理学[摘要] 功是物理学中最常见的物理量，变力做功的求解方法也是贯穿大学物理的重点和难点之一，它在力学、理论力学中都占有十分重要的地位。
本文分别用图像法、动能定理、功能原理、微元法、平均力法、等值法等不同方法对物理学中变力做功的求解方法进行了较全面、系统的研究,并附以实例说明这些方法的应用。
通过对这些方法和实例的讨论，以使我能对变力做功的求解方法有更深刻的理解和巩固，进一步提高我灵活运用这些方法解决实际问题的能力。
[关键词] 变力功图像法等效代换法1 前言功是物理学中最常见的物理量，对于变力做功的求解，教材上通常采用极限的思想和微积分的方法将物体的运动轨迹分割成许多小段，因每小段很小，所以每小段可视为一方向不变的位移，而在这小位移上的力也可视为恒力。
又因小位移为无穷小量，可认为它与轨迹重合，称之为元位移，而力在元位移上做的功称之为元功。
这样就顺利的将求解变力做功的问题转化为了求无数多个元功之和。
然而，求解变力做功的方法并不是唯一的，在很多实际问题中也可以根据实际寻找最为简便有效的方法。
对此，本文将分别从图像法、微元法、等值法、平均力法、动能定理、功能原理等不同角度对变力做功的求解方法进行较全面、系统的研究，并以实例说明这些方法的应用。
2 用图像法求变力做功功是描写力对空间的积累作用的，它的大小可以用作用力随位移变化的关系曲线，如图2.2.1力-位移图象下的一块图形面积的大小来表示。
如图甲所示表示恒力的力-位移图像，横坐标表示力F在位移方向上的分量，功W的数值等于直线下方画有斜线部分的面积．如图乙所示表示变力的力-位移图像，曲线下方画有斜线部分的面积就表示变力所做的功，它近似地等于成阶梯形的小矩形面积的总和。
图2.2.1 力-位移图象在F-x 图象中，图线和横轴所围成的面积即表示力所做的功，即功是力对位移的积累效应。
如果已知在位移x 内F 随位移变化的图象，可以根据图象与x 轴所围成的面积求出变力F 对物体做的功，这种求功的方法称为图像法。
线性变化的力是一种特殊情况的变力，作用力是位移的线性函数kx F =，它的力-位移图象是一条倾斜的直线，直线下方的梯形或三角形的面积表示为线性变力的大小。
在功的求解问题中，当已知力与位移的函数关系或力与位移的关系曲线时，就可以用图像法求解。
如重心位置变化时的重力所做的功；弹簧伸缩时弹力所做的功；打击木桩时的阻力所做的功，它们的力与位移都成线性关系：kx F =。
在求这些力做的功时，由于很容易找到力和位移的函数关系，作出x F -图线，可以用图像法很简单的进行求解。
利用图像法求解功的思路是：首先确定研究对象，进行受力分析，找出力与位移之间的函数关系式；根据题意及关系式作出x F -图线；最后利用几何关系求出图线和坐标轴围成的面积，即为所求力的功。
例1：质量为m 的质点在外力的作用下沿x O 轴运动，已知0=t 时质点位于原点，且初速度为零，设外力F 随距离性地减小，且0=x 时，0F F =;当L x =时，0=F 。
试求质点从0=x 运动到L x =处的过程中，力F 对质点所做功和质点在L x =处的速率[1]。
分析与解：当0=t 时，;,0,0000F F x v ===并且外力随距离增大而减小；又当L x =时，0=F 。
所以当质点从0=x 运动到L x =处的过程中，变力F 所做的功转化为质点运动的动能。
因此我们用图像发求变力所做的功，再则求出质点在L x =处的速度。
由于力F 随距离的增加而减小，所以建立以ox 轴为横轴，oF 轴为竖轴的平面坐标系，如图所示：图2.2.2 例1示意图 设变力F 做功为W ，质点运动到L x =处的速度为v ，所以：图中阴影部分的面积对应的就是变力F 做的功，即L F W 021= 又由于变力F 所做的功转化为质点的动能，已知质点的质量为m ；则：mL F v mv L F W 02002121=-== 解得力F 对质点所做的功为：L F W 021= 质点在L x =处的速度为：mL F v 0= 由此可见，当力和位移成线性关系时，可用图像法简单、直观的求解变力做功。
FF3 从能量转化的角度求变力做功贯穿功和能全部的知识重点是“功是能量变化的量度”。
功是过程量，能是状态量，不同的过程决定不同的状态变化，或者说由于不同性质的力做功引起不同性质能量的变化。
所以在求解变力做功时，可以把问题转化为求解动能的改变量或者机械能的改变量。
3.1 用动能定理求变力做功质点在一定时间的运动过程中，其动能改变的数值等于在同样时间内外力对该质点做的功。
因此，在功的计算中，如果一个物体受到几个力的作用，除了变力外，其他力对物体不做功或做功之和为零，就可以利用动能定理直接求解变力做的功，即由其做功的结果----动能的变化求变力F 的功： k E W ∆=。
动能定理求变力做功适用于多个力做功，但只有一个力是变力，其余的都是恒力，而且这些恒力所做的功又容易计算，研究对象本身的动能增量也比较容易计算时，用动能定理就可以求出这个变力所做的功[2]。
如在人通过定滑轮拉物体的过程中，求绳对物体的拉力所做的功。
物体始、末状态的动能已知为零，以绳为研究对象，受到人的拉力和物体对绳的拉力，根据动能定理即可求得绳对物体的拉力所做的功等于人对绳的拉力所做的功。
又如要求人通过定滑轮拉物体的过程中滑动摩擦力做的功，先求出其它力如重力、支持力、拉力等做的功，再找出始、末状态的动能，利用动能定理即可求解。
利用动能定理求解的思路如下：首先明确研究对象，对研究对象做受力分析；再确定物理过程，研究在所确定的物理过程中那些力做功，并求出外力做功的代数和；再确定研究过程的初、末状态的动能；最后根据动能定理列方程，结合其它有关规律分析求解。
例2：如图所示，用同种材料制成的一个轨道，A 段为1/4圆弧，半径为R ，水平放置的BC 段长为R ，一小物块质量为m ，与轨道间动摩擦因数为μ，当它从轨道顶端A 点由静止下滑时恰好运动到C 点静止，求物块在AB 段克服摩擦力做的功[3]？图3.1 例2示意图分析：物块由A 运动到B 的过程中共受三个力作用：重力G 、支持力N,摩擦力f 。
由于轨迹是弯曲的，支持力和摩擦力均为变力，但支待力时刻垂直速度方向，故支持力不做功，因而该过程中只有重力和摩擦力做功。
解答：设在B 点时速度为B v ,A 点时速度为A v ，由动能定理知k E W ∇=外，其中有f W W W G +=外，2B 2A 2B k mV 21mV 21mV 21=-=∇E 。
所以 ： 2B f mV 21mg =+W R （1）物块由B 运动到C 的过程中，重力和支持力不做功,.仅有摩擦力做功，设为f W '。
由动能定理得： 2B f mV 210-='W （2） 又 R W m g f μ-='. （3）由（1）（2）（3）可得：R R R W mg )1(mg mg f μμ-=-=。
在求解变力做功的问题中，利用动能定理只需考查一个物体运动过程的始末两个状态有关物理量的关系，对过程的细节不予细究，与牛顿定律观点比较，这正是它的方便之处。
3.2 用功能原理求变力做功功能原理是力学中的基本原理之一，它描述了物体系统的机械能增量等于一切外力非保守力对系统所作的总功和系统内非保守力所作的总功的代数和。
即任何物体，系统外力非保守力对其作的总功+系统内非保守力做的总功 = 系统的机械能（动能与势能之和）的增量。
12E E W W -=+内非外非 （3.5）该原理对一切惯性参考系都成立，所以求变力做的功可以根据功能关系求解。
只有非保守力做功，才能使机械能发生变化。
起重机提升重物，非保守力做了正功，才使重物的动能和势能增加，若重物上升一定高度又逐步匀速下降，钓钩对重物做负功，重力势能减小。
保守力做功会引起系统动能放入改变，但不会引起系统机械能的改变。
若多个力对系统做功，如果这些力中只有一个变力做功，且其它的力所做的功及系统的机械能增量都比较容易解时，就可用功能原理求得变力所做的功。
如在用力F 匀速提起一物体的过程中，要求F 做的功时,由于物体的重力势能要变化，求出它的变化量,即为F 所做的功。
人通过定滑轮匀速拉物体的过程中，求人做的功，物体重力势能的增量即为人做的功。
功能原理求解功的思路：首先确定研究对象是一物体或系统,分析受力情况，确定研究过程的初、末状态的机械能,最后列方程求解。
例3：在下图中，劲度系数为k 的轻弹簧下端固定，沿斜面放置，斜面倾角为。
质量为m 的物体从与弹簧上端相距为a 的位置以初速度沿斜面下滑并使弹簧最多压缩b 。
求物体与斜面之间的摩擦因数[4]。
图3.2 例3示意图解析：将物体、弹簧、地球视为一个系统，重力和弹力是保守内力，正压力与物体位移垂直不做功，只有摩擦力k F 为非保守内力且做功。
根据系统的功能原理，摩擦力做的功等于系统机械能的增量，并注意到弹簧最大压缩时物体的速度为零，即有()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+θsin 2121202b a mg mv kb b a F K 以及θμcos mg F k =可以解得()()θθμcos 21sin 21220b a mg kb b a mg mv +-++= 从功能关系的角度来审视一个物理过程，分析这一过程中各个力做功情况,及其相应的能量转化情况，是一条重要的解题思路。
特别是在一个复杂的运动过程中，只要选好始、末状态，并把握好过程中各力所做的功，再用功能关系列式，就能化繁为简，化难为易。
其实，功能原理与动能定理并无本质的不同，它们的区别仅在于功能原理中引入了势能而无需考虑内保守力的功，这正是功能原理的优点。
3.3 用t P W =求恒定功率下的变力做功功率的定义式变形公式t P W =中没有要求恒力条件，所以利用此式只要给出功率与过程经历的时间都可以计算出功率保持不变的情况下变力所做的功。
这种方法通常用于求机械做功的问题，如汽车的运动等。
汽车以额定功率起动时，力F 是变力，求某段时间内汽车牵引力做的功可以根据t P W =来计算。
例4：质量为M 的汽车，沿平直的公路加速行驶，当汽车的速度为1v 时，立即以不变的功率行驶，经过距离，速度达到最大值2v .设汽车行驶过程中受到的阻力始终不变，求汽车的速度由1v 增至2v 的过程中所经历的时间及牵引力做的功[5]。
分析：汽车以恒定功率加速的运动是加速度逐渐减小的变加速运动，此过程中牵引力是变力，当加速度减小到0时，即牵引力等于阻力时，速度达到最大值。
由于汽车的功率恒定，故可用t P W =来计算牵引力做的功。
解答：设汽车从1v (初态)加速至2v (末态)的过程所经历的时间为t ，行驶过程中所受的阻力为f ，牵引力做的功为t P W =。