【三维设计】高考数第一节坐标系课后练习人教A选修44

【三维设计】 2013 届高考数学 第一节坐标系课后练习 人教 A 版 选修 4-4
1．已知⊙ O1 和⊙ O2 的极坐标方程分别是 ρ ＝ 2cos θ 和 ρ ＝ 2asin θ ( a 是非零常数 ) ．
(1) 将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2) 若两圆的圆心距为 5，求 a 的值．
2
θ
－
π 4
)
．
(1) 求直线 l 的倾斜角； (2) 若直线 l 与曲线 C交于 A，B 两点，求 | AB|.
解： (1) 直线参数方程可以化为
x＝ t cos60°， 2
y＝ 2 ＋ t sin60 °，
根据直线参数方程的意义，这
2 条直线是经过点 (0 ， 2 ) ，倾斜角为 60°的直线．
2 (2) l 的直角坐标方程为 y＝ 3x＋ 2 ，
C：ρ ＝ 4cosθ ，即
x2＋
y
2
－
4
x＝
0
，
联立方程得 2x2－ 4x＝ 0，
7π ∴两交点分别为： A(0,0) ， B(2 ，－ 2) ，极坐标 A(0,0) ， B(2 2， 4 ) ．
(2) d＝
r 2－
l 2
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2＝ 1，设直线
l
为 y－ 1＝ k( x＋ 1) ，则圆心
C到 l
|2 k＋ k＋1|
解： (1) 由 ρ＝ 2cos θ，得 ρ ＝ 2ρ cos θ . 所以⊙ O1 的直角坐标方程为 x2＋ y2＝2x， 即( x－ 1) 2＋ y2＝1. 由 ρ ＝ 2asin θ ，得 ρ 2＝ 2aρ sin θ . 所以⊙ O2 的直角坐标方程为 x2＋ y2＝2ay， 即 x2＋( y－ a) 2＝a2.
∴42＝ρ 2＋ 42－2×４ρ cos
π θ－ 2
.
化简得 ρ ＝8sin θ ，即为圆 C的极坐标方程．
(2) 由 (1) 可进一步得出圆心 M的直角坐标是 (0,4) ，直线 l 的普通方程是 3x－ y－ 5－ 3
|0 － 4－ 5－ 3| 9＋ 3
＝ 0，圆心 M到直线 l 的距离 d＝
3＋ 1
π
22
22
ρ＝ 2cos( θ－ 4 ) 的直角坐标方程为 x－ 2 ＋ y－ 2 ＝ 1，
22
6
10
∴圆心 ( 2 ， 2 ) 到直线 l 的距离 d＝ 4 . ∴ | AB| ＝ 2 .
5．(2011 ·东北三校模拟 ) 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐
标系的 x 轴的正半轴重合，且两个坐标系的单位长度相同，已知直线
( α 为参数 ) ， M是 C1 上的动点， P 点满足 OP ＝ 2 OM ， P点的轨迹为曲线 C2·
(1) 求 C2 的方程；
(2) 在以 O为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线
π θ ＝ 3 与 C1 的异于极点的交
点为 A，与 C2 的异于极点的交点为 B，求 | AB|.
2＋
1 y－2
2
＝
1 2，
(2) 把
13 x＝ 2＋ 2 t ，
1 y＝ 1＋2t
代入
1 x－ 2
2＋
1 y－2
2
＝
1 2，
得
t
2＋1t
1 － ＝ 0.
24
1 | PA| ·｜PB| ＝ | t 1t 2| ＝ 4.
3．(2011 ·山西六校联考 ) 以直角坐标系的原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，已知点
解： (1) 直线 l 的参数方程为
x＝
1 2＋
t
cos
π6 ，
y＝ 1＋t sin π6 ，
13 x＝2＋ 2 t ，
即 1
y＝1＋ 2t
( t 为参数 ) ．
π 由 ρ ＝ 2cos θ － 4 得 ρ ＝cos θ ＋sin θ ， 所以 ρ 2＝ ρ cos θ ＋ ρ sin θ ，
得
1 x－ 2
xy 解： (1) 设 P( x，y) ，则由条件知 M 2， 2 . 由于 M点在 C1 上，所以
x 2＝ 2cos α ， y 2＝ 2＋ 2sin α .
x＝4cos α ，
即
.
y＝4＋ 4sin α
x＝ 4cos α， 从而 C2 的参数方程为
y＝ 4＋ 4sin α
.( α 为参数 ) ．
＝ 2 >4，所以直线 l 和圆 C相离．
4．(2011 ·哈九中高三期末 ) 已知直线 l 的参数方程为
1 x＝ 2t ，
23 y＝ ＋ t
22
( t 为参数 ) ，
若以直角坐标系 xOy 的 O 点为极点， Ox 方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得
曲线 C的极坐标方程为
ρ＝ 2cos(
(2) 曲线 C1 的极坐标方程为 ρ ＝ 4sin θ ，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ ＝ 8sin θ .
π
π
射线 θ ＝ 3 与 C1 的交点 A 的极径为 ρ 1＝ 4sin 3 ，
π
π
射线 θ ＝ 3 与 C2 的交点 B 的极径为
ρ 2＝ 8sin
. 3
所以 | AB| ＝| ρ 2－ ρ 1| ＝ 2 3.
(2) ⊙ O1 与⊙ O2 的圆心距为 12＋ a2＝ 5，解得 a＝± 2.
2．(2011 ·大连模拟
) 已知直线
1 l 经过点 P 2， 1 ，倾斜角
α＝ π ，圆 6
C 的极坐标方程为
π ρ ＝ 2cos θ － 4 .
(1) 写出直线 l 的参数方程，并把圆 C的方程化为直角坐标方程；
(2) 设 l 与圆 C相交于两点 A，B，求点 P到 A， B两点的距离之积．
A 的直角坐标为 (1 ，－ 5) ，点 M 的极坐标为
π
4， 2
，若直线
l
过点
A，且倾斜角为
π 3
，圆
C
以 M为圆心、 4 为半径．
(1) 求直线 l 的参数方程和圆 C的极坐标方程；
(2) 试判定直线 l 和圆 C的位置关系．
解： (1) 由题意，直线
l 的普通方程是
π
y＋ 5 x－ 1
y＋5＝ ( x－ 1)tan 3 ，此方程可化为 sin π ＝ cosπ ，
l 的参数方程为
x＝－ 1＋ t cos α ， y＝ 1＋ t sin α
( t 为参数 ) ，曲线 C的极坐标方程为 ρ ＝ 4cosθ .
(1) 若直线 l 的斜率为－ 1，求直线 l 与曲线 C交点的极坐标；
(2) 若直线 l 与曲线 C相交弦长为 2 3，求直线 l 的参数方程．
解： (1) 直线 l 的方程： y－ 1＝－ 1( x＋ 1) ，即 y＝－ x，
3
3
令 y＋ 5 ＝ x－ 1 ＝ a( a 为参数 ) ，得直线 l 的参数方程为
π
π
sin 3 cos 3
1 x＝ 2a＋ 1，
3 y＝ 2 a－ 5
( a 为参数 ) ．
如图，设圆上任意一点为 P( ρ， θ ) ， 则在△ POM中，由余弦定理， 得 PM2＝ PO2＋ OM2－2· PO·OMcos ∠ POM，
的距离为
k2＋ 1
3 ＝ 1. ∴k＝ 0 或 k＝－ 4.
x＝－ 1＋ t ， ∴l ：
y＝1
( t 为参数 ) 或
4 x＝－ 1－ 5t ，
3 y＝ 1＋ t
5
( t 为参数 ) ．
x＝ 2cos α，
6．(2011 ·新课标全国卷 ) 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为
，
y＝ 2＋ 2sin α