人工神经网络课程nn07PPT课件

13.11.2020
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3.2 连续Hopfield网络(CHNN)
Hale Waihona Puke (4).当 1,2,,n的实部大于零时，系统发散。 (iii).非线性情况
考虑一般非线性方程所描述的网络系统，如 CHNN，可通过下面方程给出：
X g(X), g为非线性可微函数。
因此，系统的平衡点为 X g(X)0 的解。假设
X(t)eAX (0)teA(It)d 0
我们可根据特征值 1,2,,n 的不同情况判别出 状态轨迹的稳定性质：
(1).当 1,2,,n 的实部小于零时，X (t) 是随时间 指数下降的，最后达到一个稳定点。系统是稳 定的。
(2).当 1,2,,n 中存在异号实根，系统出现鞍 点。
(3).当 1,2,,n 中存在纯虚根，系统出现极限 环。
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3.2 连续Hopfield网络(CHNN)
在平衡点 X(x1,x2)T(0,0)T 的Jacobian矩阵：
使得 X(t)N(X0,)，则称平衡点 X 0 为不稳定 的平衡点。
平衡点 Lyapun稳 ov定点 临 渐界 近稳 稳定 定点 点 不稳定平衡点
X 0• • X (0)
R0
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(ii).线性网络情况 令 F(u)u，即 V ixi, i1,2, ,n， 且
(2).若Lyapunov稳定点X 0 再满足 ， lim t X(t)X0 则称其为Lyapunov渐近稳定点。
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(3).非渐近的Lyapunov稳定点称为临界稳定点。
(4).若 0，对于 0 , X (0 ) N (X 0 ,)，
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1.数学模型
连续Hopfield网络是由 n个连续神经元相互连接
构成的一个单层反馈型网络。神经元及其连接
可通过电容、电阻电路来模拟实现。基本结构
如下：V 1
R1i
Ii xi
V2
R 2i
Ri
Ci
Ai
Vi
Vn
R ni
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(2). 当 t t0 时，V(x1,x2,,xn) 的积分曲线的全导 数满足：
d d V ti n 1 V x id d i x ti n 1 V x ifi(x 1 ,x 2 , ,x n ,t) 0( 0 )
则网络在平衡点 X0 是稳定的。
例3.2 设非线性系统的微分方程如下：
x1 x13 4x2 x2 3x1 x23
X A X I, A (a ij)n n R n n
对于这种网络，平衡点为：
X A 1 I X 0
下面我们用线性微分方程的方法来判断平衡点 的性质（特征值判别法）：
|AU|0 1,2, ,n为 A的特征值。 在给定初始状态X (0) 时，系统的解为：
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dd i(tx )tfi(x 1 ,x2, ,xn,t),i 1 ,2 , ,n
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3.2 连续Hopfield网络(CHNN)
在原点邻域内定义的可微函数 V(x1,x2,,xn) 为方 程的Lyapunov 函数，如果满足下列条件：
(1). V ( x 1 ,x 2 , ,x n ) 0 ( 0 )并 , X 0 , V 且 ( x 1 ,x 2 , ,x n 在 ) 0 ;
令 xi (t ) 为第 i个神经元的状态，V i (t )为其输出， 为外I部i (t )输入， 则上述物理电路满足：
ci dd ix (tt)xR i(it)jn 1R 1 ji(Vj(t)xi(t))Ii(t)
V i(t)F(xi(t)), i1 ,2, ,n
其中 F(•) 是一个单调上升的可微函数。整理上述 方程得到一般连续Hopfield网络模型：
dd x i(tt)
1xi(t) n wijVj(t)Ii(t)
i
j1
Vi(t)F(xi(t)),
i1,2, ,n
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采用向量、矩阵记号，则有：
X(t)(x1(t),x2(t), ,xn(t))TRn, V(t)(V1(t),V2(t), ,Vn(t))TRn
I(t)(I1(t),I2(t), ,In(t))TRn, W(wij)nn, Adiag[11,21, ,n1]
X(t)AX(t)WV(t)I(t) Vi(t)F(xi(t)), i1,2, ,n
网络的平稳状态为：
X ( t) 0 X ( t) A 1 ( W ( t) I V ( t))
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系统的平衡点为 ，那么有 Xe(x1 e,x2 e, ,xn e)T X g (X ) g (X e)jn 1 x g j(xj x e j) o (X || X e||)
考虑到 X e是平衡点，则 g(Xe)0 ，并忽略掉高
阶无穷小项，系统在 X e 附近的性质可用下面
的线性系统来近似：
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3.2 连续Hopfield网络(CHNN)
2.CHNN方程的解及其稳定性
(i).平衡点（不动点）X 0 的分类
(1).Lyapunov稳定点（ t0 0，从0时刻出发）
对于平衡点 X 0 ，若存在邻域 N(X0,R0（) 以 X 0 为中 心，半径为 R 0 的超球）使得 0(R0)， (0)，当初始状态 X(0)N(X0,)时，对 于 t 0 ，有 X(t)N(X0,) ，则称 X 0 为 Lyapunov稳定点。
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3.2 连续Hopfield网络(CHNN)
X J ( g )X ( X e ),J ( g ) X g T |X X e为 g ( X ) 在 X e 点 Ja 的 矩 co
从J (g)的特征值的性质可以判断系统的稳定性。
3. Lyapunov稳定性定理
采用上面拟线性方法讨论系统的稳定性，对于 有些问题并不能得到完全正确的分析，更一般 的是使用Lyapunov稳定性定理。考虑下列方程 组：