2020届高中数学分册同步讲义(必修1) 初中、高中衔接课 第2课时原卷版

第2课时 二次函数、二次方程及简单的一元二次不等式

学习目标 理解和掌握二次函数的图象和性质，理解和掌握一元二次方程的相关知识并能熟练解出一元二次方程，借助于二次函数的图象会解简单一元二次不等式.

知识点一 一元二次方程的根的判别式 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，用配方法将其变形为

⎝⎛⎭⎫x ＋b 2a 2＝b 2

－4ac 4a 2

. (1)当

b 2－4a

c >0

时，右端是正数.因此，方程有两个不相等的实数根：x 1,2＝－b ±b 2－4ac

2a

；

(2)当b 2－4ac ＝0时，右端是零.因此，方程有两个相等的实数根：x 1,2＝－b

2a ；

(3)当b 2－4ac <0时，右端是负数.因此，方程没有实数根.

由于可以用b 2－4ac 的取值情况来判定一元二次方程的根的情况.因此，把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式，表示为Δ＝b 2－4ac . 知识点二 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根为 x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a ，

所以：x 1＋x 2＝－b ＋b 2－4ac 2a ＋－b －b 2－4ac

2a

＝－b

a ，x 1x 2＝－

b ＋b 2－4a

c 2a ·－b －b 2－4ac 2a

＝(－b )2－(b 2－4ac )2(2a )2

＝4ac 4a 2＝c a .

一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为“韦达定理”.

定理：如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根为x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c

a .

知识点三 二次函数的图象与性质 仅讨论y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的情况： 1.x 的取值范围为一切实数. 2.y 的取值范围为⎣⎡⎭

⎫4ac －b 24a ，＋∞

当x ＝－b

2a 时，y 取得最小值4ac －b 24a .

3.二次函数的三种表达方式： ⎩⎪⎨⎪

⎧

y ＝ax 2＋bx ＋c ；y ＝a (x －x 1)(x －x 2)；y ＝a (x －h )2＋k .

4.对称轴x ＝－b 2a (图象关于x ＝－b

2a 对称).

5.(1)当x 1

2a 时，则y 1>y 2.

(2)当x 2>x 1≥－b

2a

时，则y 1

6.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系列表如下：

有相异两实根x b 2－4ac

2a

(x 有相等两实根x b

没有实根

1.方程ax 2＋bx ＋c ＝0如果有实数根，则Δ＝b 2－4ac ≥0.( × )

2.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在x ＝－b

2a

时取得最值.( √ )

3.一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等实数根，则ax 2＋bx ＋c >0的范围为x >x 2或x

突破一 一元二次方程的相关知识的应用

例1 已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值.

跟踪训练1 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根， (1)求|x 1－x 2|的值； (2)求1x 21＋1

x 22

的值；

(3)x 31＋x 3

2.

突破二 二次函数的图象与性质

例2 已知函数y ＝x 2，－2≤x ≤a ，其中a ≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值.

跟踪训练2 求二次函数y ＝－3x 2－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或最小值)，并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大(或减小)？画出该函数的图象，并指出y >0时x 的取值范围.

突破三 一元二次不等式的解法 例3 求不等式4x 2－4x ＋1>0的解.

跟踪训练3 求不等式－3x 2＋6x >2的解.

1.不等式9x 2－6x ＋1≤0的解为( ) A.全体实数 B.无解 C.x ≠13

D.x ＝1

3

2.不等式－4x 2＋4x <－15的解为( ) A.－32

B.－52

C.x >52或x <－32

D.x >32或x <－52

3.函数y ＝x 2－2x ，当－1≤x ≤t 时，该函数的最大值为3，则t 的最大值为__________.

4.方程x 2－ax ＋1＝0的两根为x 1，x 2，若|x 1－x 2|＝

5.则a ＝________.

5.不等式ax 2＋bx ＋1>0的解为－12

3，则a ＋b ＝________.

一、选择题

1.若关于x 的方程(a ＋1)x 2－3x －2＝0是一元二次方程，则a 的取值范围是( ) A.a ≠0 B.a ≠－1 C.a ＞－1 D.a ＜－1

2.若一元二次方程x 2－2x ＋1－a ＝0无实根，则a 的取值范围是( ) A.a ＜0 B.a ＞0 C.a ＜3

4

D.a ＞34

3.若m ，n 是一元二次方程x 2＋x －2＝0的两个根，则m ＋n －mn 的值是( ) A.－3 B.3 C.－1 D.1

4.不等式2x 2－x －1>0的解是( ) A.－1

2＜x ＜1

B.x ＞1

C.x ＜1或x ＞2

D.x ＜－1

2

或x ＞1

5.关于二次函数y ＝－2x 2＋1，下列说法中正确的是( ) A.它的开口方向是向上

B.当x ＜－1时，y 随x 的增大而增大

C.它的顶点坐标是(－2,1)

D.当x ＝0时，y 有最大值是2