中职数学排列组合与二项式

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中职数学拓展模块课件-二项式定理

解 (1) 因为
所以
= (2) 在二项式定理中，令a=1，b=x，可得
.
a b 7 =C07a7 C17a6b C72a5b2 C37a4b3 C74a3b4 +C57a2b5 +C67ab6 +C77b7
8.3.1 二项式定理
例2
情境导入探索新知典型例题巩固练习归纳总结布置作业
8.3.2 二项式系数的性质
情境导入探索新知典型例题巩固练习归纳总结布置作业
可以看出二项式系数具有如下性质：
(1)每一行的两端都是1，其余的每一个数都等于它“肩上”两个数
的和，事实上，假设表中任一不为1 的数为可知：
.
(2)每一行中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，
8.3.2
二项式系数的性质
8.3.2 二项式系数的性质
情境导入探索新知典型例题巩固练习归纳总结布置作业
某代表队参加校内拔河比賽，需要与其他7个代表队各赛一场.不难发现，比赛结果可分为8类：赢0场，赢 1场，…，赢7场. 而赢0场有1(记作 )种情况，赢1场有种情况 (即在7场中赢1场)，赢2场有种情况，… 赢7场有种情况．那么，该班比赛7场，比赛结果共有多少种？
这一性质可以直接由 8.2节组合数的性质 1 得到：
.
(3)如果二项式(a+b)n的幂指数n是偶数，那么它的展开式正中间一
项的二项式系数最大；如果二项式(a+b)n的幂指数n是奇数，那么它的
展开式中间两项的二项式系数最大并且相等.
(4) (a+b)n的展开式的各个二项式系数之和为 . 根据二项式定理，
情境导入探索新知典型例题巩固练习归纳总结布置作业

排列组合与二项式定理

二项式定理的展开式和应用
应用 1. 整数幂运算：利用二项式定理可以将整数幂进行展开，从而简化复杂幂运算。
2. 组合数学：二项式定理与组合数学紧密相连，可用于解决一系列组合计数问题。
二项式定理的展开式和应用
3. 近似计算
在求解近似值时，可以利用二项式定理对函数进行近似展开，如泰勒公式就是利用二项式定理进行的展开。
质可用于化简复杂的组合表达式；
递归计算：在某些情况下，可以使用递归的方法来计算组合数，即$C_n^m = C_{n-1}^{m-1} + C_{n-1}^m$。递归的方法虽然效率较低，但在某些特定问
题中较为方便。
通过掌握这些组合的定义和计算方法，我们能够更好地解决与组合相关的问题，并为进一步学习排列、二项式定理等
章节概述
本章将首先介绍排列组合的基本概念，包括排列和组合的定义、
性质和计算方法。
接着，将介绍二项式定理的定义和性质，包括二项式展开公式及
其应用。
最后，பைடு நூலகம்通过一些实际问题的例子，展示如何运用排列组合和二
项式定理来解决这些问题。
CHAPTER 02
排列
排列的定义
有序选取
排列是指从n个不同元素中取出m （m≤n，m和n都是自然数,下同）个不同元素，按照一定的顺序排成一列。
关。
误区2
在应用二项式定理时，忽视了定理的使用条件。解答：二项式定理适用于$(a+b)$的整数次方，
且$n$需要为非负整数。
01
03
02 04
疑难1
如何快速计算组合数？解答：可以使用帕斯卡三角形，每个数都是上面两数之和，这样可以快速得到组合数。
疑难2

中职数学5--排列组合和二项式定理排列定义及排列数公式

教学目标：知识与技能：了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。

过程与方法：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题情感、态度与价值观：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题. 教学重点：排列、排列数的概念教学难点：排列数公式的推导教学内容师生互动设计意图教学过程：一、复习引入：1分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法二、讲解新课： 1问题：问题1．从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？解决这一问题可分两个步骤：图 1.2一1把上面问题中被取的对象叫做元素，于是问题可叙述为：从3个不同的元素 a , b ，。

中任取 2 个，然后按照一定的顺序排成一列，师：分类，分步的解决问题的区别？生：应用两种原理解题:1.分清要完成的事情是什么；2.是分类完成还是分步完成,“类”间互相独立，“步”间互相联系；3.有无特殊条件的限制师分析：第 1 步，确定参加上午活动的同学，从 3 人中任选 1 人，有 3 种方法；第 2 步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从余下的 2 人中去选，于是有 2 种方法．根据分复习巩固，为引出排列的概念做准备一共有多少种不同的排列方法？所有不同的排列是 ab,ac,ba,bc,ca, cb,共有 3×2=6 种．问题2．从1,2,3,4这 4 个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？第 1 步，确定百位上的数字，在 1 , 2 , 3 , 4 这 4 个数字中任取 1 个，有 4 种方法；第 2 步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的 3 个数字中去取，有 3 种方法；第 3 步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的 2 个数字中去取，有 2 种方法．根据分步乘法计数原理，从 1 , 2 , 3 , 4 这 4 个不同的数字中，每次取出 3 个数字，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，共有4×3×2=24种不同的排法，因而共可得到24个不同的三位数，如图1. 2一2 所示．由此可写出所有的三位数：123，124, 132, 134, 142, 143，213，214, 231, 234, 241, 243，312，314, 321, 324, 341, 342，412，413, 421, 423, 431, 432 。

职高数学排列组合二项式概率测试题(含答案)

排列组合二项式概率测试题满分120分时间 120分钟一、选择题（本题共15个小题，每小题 3分，共45分）1．某段铁路共有5个车站，共准备多少种不同的车票( ).A .10B .20C .15D .322．某地生态园有4个出入口，若某游客从任一出入口进入，并且从另外3个出入口之一走出，进出方案种数为( )A ．4B ．7C ．10D ．123．将4封不同的信投入3个不同的信箱，则不同的投送方法有多少种( ).A . 43B . 34C . 34C D . 34P4．甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为( )A ．6B ．4C ．8D ．105．某商场有四个大门，若从一个门进入，购买商品后再从另一个门出去，不同的进出方法共有多少种 ( ).A .12B .20C .24D .286.6名学生站成一排，其中甲不能站在排尾的不同排法种数是( ).A.1556P P B .1555P P C .56P D .6565P 2P -7．n N ∈，n ＜25，则乘积（25-n ）（26-n ）⋅⋅⋅（39-n ）等于( ).A.2539P n n -- B .1539P n - C .1525P n - D . 1439P n -8．从集合A ＝｛2,3,5,7,11｝中任取两个数作为对数log a x 的底数和真数，则可以得到不同的对数值为( ).A .20B .30C .40D .609．楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，则关灯方案有( )A ．72种B ．84种C ．120种D ．168种10．在二项式521x -（）的展开式中，含2x 的项是( ).A .25x -B .25xC .240x -D .240x11．抛掷两枚硬币，则两枚硬币都正面朝上的概率为( ).A . 12B . 14C . 18D . 3412．甲、乙两人进行射击比赛，甲击中目标的概率是0.8，乙击中目标的概率是0.6，则甲乙二人恰有一人击中目标的概率是( ).A .0.32B .0.44C .0.12D .0.5613．从“舞蹈、相声、小品……”等5个候选节目中选出4个节目参加“艺术节”的汇演，其中第一出场节目不能是“舞蹈”，也不能是“相声”，则不同的演出方案种数是( )A . 48B . 72C . 96D .10814．某人参加一次考试，4道题中解对3道题则为及格，已知他的解题正确率为0.6，则他能及格的概率是( ).A .0.3456B .0.1296C .0.4752D .0.524815．袋中有5个大小相同的球，其中2个红球，3个白球，从袋中任意抽取2个球，抽取的球为不同颜色的概率是( ).A . 25B . 35C . 715D . 1225二、填空题（本题有15个空，每空2分，共30分）16．已知事件A 在一次试验中不发生的概率为0.2，则事件A 发生的概率为_____.17．在学校举行的演讲比赛中，共有6名选手进入决赛，则选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的概率为______.18．从甲地到乙地有3条路可走，从乙地到丙地有4条路可走，从甲地不经过乙地到丙地有2条路可走，那么从甲地到丙地有______种走法.19．若43410n n C C C +=，则n ＝______.20．某铁路客运段上有9个站，那么该线路上共有______种不同的票价. 21.7个座位，3个人去坐，每人坐一个座位，有______种不同的坐法.22．612x （＋）展开式中二项式系数最大的项是第______项.23．245n nC -=，则n ＝_________. 24．在三次独立重复试验中，事件A 至少发生1次的概率为6364.则事件A 在一次试验中发生的概率为_________.25．抛掷两颗骰子，出现总数之和等于7的概率为_________.26.5个人用抽签的方法分配两张电影票，第二个人抽到电影票的概率是_____. 27.4名男同学和3名女同学站成一排照相，则男同学与女同学相间排列的排法种数有_____种.28．从1到100中任取一个数，则这个数既能被2整除，又能被5整除的概率是_______.29．一批产品的次品率为0.1，有放回的抽取3次，则恰好有1次取到次品的概率是_______.30．右表是某个随机变量ξ的概率分布,其中m 的值是_________.三、解答题（本题共7个小题，共45分） 31．用0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？32. 7个人站成一排照相，（1）若甲不能站在中间，共有多少种不同的排法？（2）若甲必须站在两端，共有多少种不同的排法？（3）若甲乙中间必须间隔一个人，共有多少种不同的排法？33．甲乙两人参加安全知识竞赛，共有10道不同题目，其中选择题7道，判断题3道，甲乙二人依次各抽一题，（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？（2）甲乙二人抽到不同题型的概率是多少？34．求101x x-（）的展开式中的常数项. 35. 7()2x x-的二项展开式中，求（1）第4项；（2）含3x 项的系数． 36．某小组有3名男生和2名女生，任选3个人去参加某项活动，求所选3个人中女生数目ξ的概率分布.37．一个袋中装有10个形状和大小相同的球，其中8个红球和2个白球，（1）若从中任取1球，求出现白球的概率；（2）若从中有放回地任取1个，连取2次，求出现白球次数ξ的概率分布．排列组合二项式概率测试题答案一、选择题1—5 B D A B A 6—10 B B A C C 11—15 B B B C B二、填空题16.0.8 17. 2318.14 19.920.36 21.21022.4 23.1024. 34 25. 1626. 2527.144 28. 11029.0.243 30.0.04三、解答题31.个位数字为0有25P 20=个位数字不为0,有11442P P 32=种故所求没有重复数字共有211544P 2P P 52+=个. 32.（1）1666P P 4320=种（2）1626C P 1440=种（3） 152552C P P 1200=种33.（1）设A ={甲抽到选择题，乙抽到判断题}()117311109C C 7C C 30P A ==（2）设B ={甲乙二人抽到不同题型}()1111733711109C C C C 7C C 15P A +== 34. 101101C m m m m T xx -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ()102101C m m m x-=- 令1020m -=，得5m =故，第6项为常数项.()556101C 252T =-=- 35.（1）33443172C T T x x +⎛⎫==- ⎪⎝⎭()333471C 2x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()43358x x -=⨯-280x =- （2）7172C mm m m T x x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭()77C 2m m m m x x --=-()7272C m m m x -=- 令723m -=，得2m =故第三项为含3x 的项，该项的系数为()2272C 84-= 36．ξ的可能取值为0，1，2.()032335C C 1P 0C 10ξ===；()122335C C 63P 1C 105ξ====，()212335C C 3P 2C 10ξ=== 所以，ξ的概率分布为37．（1）设A ={出现白球}，则()21P 105A == （2）ξ的可能取值为0，1，2. 有放回的任取一球，取到白球的概率不变，每次取到白球的概率都是12p =. ()02214160C 5525p ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()121481C 5525p ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以，ξ的概率分布为。

【二级结论】专题13 排列组合、二项式定理

专题13 排列组合、⼆项式定理⼆级结论1：排列组合中的分组与分配【结论阐述】①“⾮均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组，使⽤分步组合法；②“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组．不论是全部均匀分组，还是部分均匀分组，如果有个组的元素是均匀的，都有种顺序不同的分法只能算⼀种分法；③对于⾮均匀编号分组采⽤分步先组合后排列法，部分均匀编号分组采⽤分组法；④平均分堆问题倍缩法采⽤缩倍法、除倍法、倍除法、除序法、去除重复法）；⑤有序分配问题逐分法采⽤分步法）；⑥全员分配问题采⽤先组后排法；⑦名额分配问题采⽤隔板法（或元素相同分配问题隔板法、⽆差别物品分配问题隔板法）；⑧限制条件分配问题采⽤分类法．【应⽤场景】需要根据题意判断出符合题意的分组、分配⽅式，涉及平均分配、部分平均不定向分配、⾮平均不定向分配，以及分类、分步计数原理等．【典例指引1】【典例指引2】【针对训练】（2022·江苏省苏州）（2022·重庆巴蜀中学⾼⼆）m A m m 某⾼校从某系的10名优秀毕业⽣中选派4⼈分别到⻄部四城市参加中国⻄部经济开发建设，其中甲同学不到银川，⼄不到⻄宁，共有多少种不同派遣⽅案？有本不同的书，分给甲、⼄、丙三⼈，每⼈⾄少⼀本，有多少种分法？现有5个不同的⼩球，放到标号分别为①②③的三个空盒中，每个盒⼦⾄少放⼀个⼩球，有（）种不同的放法A ．240种B ．150种C ．360种D ．540种将20个完全相同的⼩球放⼊编号分别为1，2，3，4的四个盒⼦中，要求每个盒⼦中球的个数不⼩于它的编号，则不同的放法种数为（）A ．1615B ．1716C ．286D ．36410个相同的⼩球放在三个编号为1，2，3的盒中，每盒⾄少1个，有_________种⽅分法.学校要安排2名班主任，3名科任⽼师共五⼈在本校以及另外两所学校去监考，要求在本校监考的⽼师必须是班主任，且每个学校都有⼈去，则有（）种不同的分配⽅案．A ．18B ．20C ．28D ．34（2022·⼭⻄·芮城）（2022·⼭⻄省⻓治市）（2022·江苏·昆⼭）⼆级结论2：型的系数【结论阐述】⼀、三项展开式中的特定项（系数）问题的处理⽅法：（1）通常将三项式转化为⼆项式积的形式，然后利⽤多项式积的展开式中的特定项（系数）问题的处理⽅法求解；（2）将其中某两项看成⼀个整体，直接利⽤⼆项式展开，然后再分类考虑特定项产⽣的所有可能情形；（3）也可以按照推导⼆项式定理的⽅法解决问题．⼆、⼏个多项式积的展开式中的特定项（系数）问题的处理⽅法：可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产⽣的每⼀种情形，求出相应的特定项，最后进⾏合并即可．【应⽤场景】对于型系数问题，可以采⽤相应的⽅法解决问题。

中职数学5--排列组合和二项式定理二项式定理_

我们看到a bn的二项式共有n 1项,其中各项的系数Ckn(k 0,1,2, ,n)叫做二项式系数 (binomial coef
fient ),式中的Cknankbk叫做二项展开式的通项,用Tk1
表示,即通项为展开式的第k 1项 : Tk1 Cknankbk.
x
1
6

2x

16
x x

1 x3
2x
16

1 x3
2x6
C16 2x5

C26 2x4
C36 2x3
C64 2x2 C56 2x C66
1
x3
64x6 6 32x5 15 16x4 20 8x3
n N .如何证明这个猜想呢?
证明由于a bn是n个a b相乘,每个a b在相乘时有两种选择,选取a或b,而且每个a b中的a或b都选
定后,才能得到展开式的一项,因此 ,由分步乘法计数原
理可知,在合并同类项之前,a bn的展开式共有 2n 项,
35 8x3 280x3,
所以展开式的第4项的系数是280.
1 2x7 的展开式的第4 项的二项式系数是
C37 35.一个二项式展开式的某一项的二项式系数与这一项的系数是两个不同的概念.
2求
x

1
9
的展开式中x3的系数.
x
2
x

1
9
的展开式的通项是
其中每一项都是ankbk (k 0,1, ,n)的形式.
对某个kk 0,1,2, n ,对应的项ankbk 是由n k 个a b中选a,k个a b中选b得到的.由于b选定

职高数学——排列、组合与二项式定理

计数原理一、高考要求:掌握分类计数原理及分步计数原理,并能用这两个原理分析和解决一些简单的问题.二、知识要点:1.分类计数原理(又称加法原理):完成一件事,有n 类办法,在第1类办法中有1m 种不同的方法,在第2类办法中有2m 种不同的方法,……,在第n 类办法中有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法.2.分步计数原理(又称乘法原理):完成一件事,需要分成n 个步骤,做第1步有1m 种不同的方法,做第2步有2m 种不同的方法,……,做第n 步有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有 12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法.三、典型例题: 例1: (1)有红、黄、白色旗子各n 面(n ＞3),取其中一面、二面、三面组成纵列信号,可以有多少不同的信号？(2)有1元、2元、5元、10元的钞票各一张,取其中一张或几张,能组成多少种不同的币值？(1)解因为纵列信号有上、下顺序关系,所以是一个排列问题,信号分一面、二面、三面三种情况(三类),各类之间是互斥的,所以用加法原理:①升一面旗:共有3种信号;②升二面旗:要分两步,连续完成每一步,信号方告完成,而每步又是独立的事件,故用乘法原理,因同色旗子可重复使用,故共有3×3种信号;③升三面旗:有N =3×3×3种信号,所以共有39种信号.(2)解计算币值与顺序无关,所以是一个组合问题,有取一张、二张、三张、四张四种情况,它们彼此互斥的,用加法原理,因此,不同币值有N =14C +24C +34C +44C =15(种). 例4: (1)5本不同的书放在3个不同的书包中,有多少种不同的方法？(2)3个旅客在5家旅店住宿,有多少种不同的方法？(1)解每本书有3种不同方法,共有35=243种.(2)解每个人有5种选择,共有53=125种.四、归纳小结:两个基本原理的共同点是,都是研究“完成一件事,共有多少种不同的方法”,它们的区别在于一个与“分类”有关,一个与“分步”有关.如果完成一件事有n 类办法,这n 类办法彼此之间是相互独立的,无论哪一种办法中的哪一种都能单独的完成这件事,求完成这件事的方法种数,就用分类计数原理;如果完成一件事,需要分成n 个步骤,各个步骤都不可缺少,需要完成所有的步骤才能完成这件事,而完成每一个步骤又各有若干方法,求完成这件事方法的种数,就用分步计数原理.五、基础知识训练:(一)选择题:1.将5封信投入3个邮筒,不同的投法共有( )A.35种B.53种C.3种D.15种2.将4个不同的小球放入3个不同的盒子,其中每个盒子都不空的放法共有( )A.43种B.34种C.18种D.36种3.已知集合M={1,-1,3},N={-4,5,6,-7},从两个集合中各取一个元素作为点的坐标,则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是( )A.18B.10C.16D.144.用1,2,3,4四个数字在任取数（不重复取）作和,则取出这些数的不同的和共有( )A.8个B.9个C.10个D.5个(二)填空题:5.由数字2，3，4，5可组成________个三位数,_________个四位数,________个五位数.6.用1，2，3…，9九个数字,可组成__________个四位数,_________个六位数.7.从2，3，5，7这四个数中,取出两数来作假分数,这样的假分数有_____ _个.8.全国移动电话号码从1999年7月22日零时开始升到10位,前四位号码为1390,剩下的位数码从0，1，2，…，9中任取6个数字组成(可以重复),该方案的移动电话用户最多能容纳户.9.商店里有15种上衣,18种裤子,某人要买一件上衣或一条裤子,共有_______种不同的选法.要买上衣、裤子各一件,共有_________种不同的选法.10.现有甲组3人,乙组3人,两组进行乒乓球单打对抗(甲组每人必须和乙组每人赛一场),一共有比赛的场数是 .(三)解答题:11.有不同的数学书11本,不同的物理书8本,不同的化学书5本,从中取出不同学科的书2本,有多少种不同的取法？12.用0，1，2，3，4这5个数字,(1)组成比1000小的正整数有多少种不同的方法?(2)组成无重复数字的三位偶数有多少种不同的方法?13.五封不同的信投入四个邮筒,(1)随便投完五封信,有多少种不同投法?(2)每个邮筒中至少要有一封信,有多少种不同投法?排列一、高考要求:理解排列的意义,掌握排列数的计算公式,并能用它解决一些简单的问题.二、知识要点:1.一般地,从n 个不同元素中,任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.如果m ＜n,这样的排列叫做选排列,如果m=n,这样的排列叫做全排列.2.一般地,从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数,用符号m n P (或m n A )表示.3.排列数公式:(1)(2)(1)m n P n n n n m =⋅-⋅-⋅⋅-+,其中+∈N n m ,,且m≤n.全排列的排列数等于自然数1到n 的连乘积,这个连乘积叫做n 的阶乘,用n!表示,即!(1)(2)321n n P n n n n ==⋅-⋅-⋅⨯⨯⨯. 排列数公式还可以写成!()!m n n P n m =-.规定0!=1. 三、典型例题: 例: ⑴ 7位同学站成一排,共有多少种不同的排法？解:问题可以看作:7个元素的全排列——77A ＝5040⑵ 7位同学站成两排(前3后4),共有多少种不同的排法？解:根据分步计数原理:7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5040⑶ 7位同学站成一排,其中甲站在中间的位置,共有多少种不同的排法？解:问题可以看作:余下的6个元素的全排列——66A =720⑷ 7位同学站成一排,甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？解:根据分步计数原理:第一步甲、乙站在两端有22A 种;第二步余下的5名同学进行全排列有55A 种,则共有22A 55A =240种排列方法 ⑸ 7位同学站成一排,甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？解法一(直接法):第一步从(除去甲、乙)其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有25A 种方法;第二步从余下的5位同学中选5位进行排列(全排列)有55A 种方法所以一共有25A 55A ＝2400种排列方法.解法二:(排除法)若甲站在排头有66A 种方法;若乙站在排尾有66A 种方法;若甲站在排头且乙站在排尾则有55A 种方法.所以甲不能站在排头,乙不能排在排尾的排法共有77A -662A ＋55A =2400种.小结一:对于“在”与“不在”的问题,常使用“直接法”或“排除法”,对某些特殊元素可以优先考虑.(6)7位同学站成一排,甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？解:先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素(同学)一起进行全排列有66A 种方法;再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有22A 种方法.所以这样的排法一共有66A 22A ＝1440种.(7) 7位同学站成一排,甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？解:方法同上,一共有55A 33A ＝720种. (8) 7位同学站成一排,甲、乙两同学必须相邻,而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？解法一:将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时一共有6个元素,因为丙不能站在排头和排尾,所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾,有25A 种方法;将剩下的4个元素进行全排列有44A 种方法;最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有22A 种方法.所以这样的排法一共有25A 44A 22A ＝960种方法.解法二:将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时一共有6个元素,若丙站在排头或排尾有255A 种方法,所以丙不能站在排头和排尾的排法有960)2(225566=⋅-A A A 种方法.解法三:将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时一共有6个元素,因丙不能站在排头和排尾,所以可以从其余的四个位置选择共有14A 种方法,再将其余的5个元素进行全排列共有55A 种方法,最后将甲、乙两同学“松绑”,所以这样的排法一共有14A 55A 22A ＝960种方法.小结二:对于相邻问题,常用“捆绑法”(先捆后松).(9) 7位同学站成一排,甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？解法一:(排除法)3600226677=⋅-A A A解法二:(插空法)先将其余五个同学排好有55A 种方法,此时他们留下六个位置(就称为“空”吧),再将甲、乙同学分别插入这六个位置(空)有26A 种方法,所以一共有36002655=A A 种方法.(10) 7位同学站成一排,甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？解:先将其余四个同学排好有44A 种方法,此时他们留下五个“空”,再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有35A 种方法,所以一共有44A 35A ＝1440种. 小结三:对于不相邻问题,常用“插空法”(特殊元素后考虑).四、归纳小结:1.全排列所有不同的排法所含有的元素完全一样,只是元素排列的顺序不完全相同.2.对有约束条件的排列问题,应注意如下类型:⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置;⑵某些元素要求连排(即必须相邻);⑶某些元素要求分离(即不能相邻);3.基本的解题方法:⑴有特殊元素或特殊位置的排列问题,通常是先排特殊元素或特殊位置,称为优先处理特殊元素(位置)法(优限法);⑵某些元素要求必须相邻时,可以先将这些元素看作一个元素,与其他元素排列后,再考虑相邻元素的内部排列,这种方法称为“捆绑法”;⑶某些元素不相邻排列时,可以先排其他元素,再将这些不相邻元素插入空挡,这种方法称为“插空法”;⑷在处理排列问题时,一般可采用直接和间接两种思维形式,从而寻求有效的解题途径,这是学好排列问题的根基.五、基础知识训练:(一)选择题:1.(96高职-4)12344444P P P P +++等于( )A.421-B.2455P P +C.64D.422.某段铁路共有6个站,共需准备普通客票的种数是( )A.30B.24C.15D.123.有4本不同的书分给4位同学,每人一本,不同的分法有( )A.64种B.24种C.16种D.8种4.5人中选出4人完成4项不同的工作,不同的选法种数为( )A.5B.45C.54D.45A 5.用0,1,2,…,9这十个数字组成的无重复数字的三位数不可能是( )A.299PB.310910P C.33109P P - D.23992P P + 6.从若干个元素中,每次取出2个元素的排列种数为210,则元素的个数是( )A.20B.15C.30D.147.有n(n N +∈)件不同产品排成一排,若其中A 、B 两件产品排在一起的不同排法有48种,则n=( )A.4B.5C.6D.7(二)填空题:8.若2n A =30,则n= .9.已知从n 个不同元素中取出2个元素的排列数等于从n-4个不同元素中取出2个元素的排列数的7倍,则n= .10.从4种蔬菜品种中选出3种,分别种植在不同土质的3块土地上进行试验,共有种种植方法.11.从6人中选出4人参加4×100米接力赛,甲必须跑第一棒,乙必须跑第四棒,不同的安排方案种数是 .12.某班有3名男同学和4名女同学外出随机站成一排照相,但4名女同学要站在一起,其排法有种 .13.国内某汽车生产厂有六种不同型号的环保型电动汽车参加国际博览会展览,排成一排,其中甲、乙两型号必须相邻的排法总数是(用数字回答) .(三)解答题:14.从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单,如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上,则共有多少种不同的排法？解法一:(从特殊位置考虑)1360805919=A A 解法二:(从特殊元素考虑)若选:595A ⋅;若不选:69A ,则共有 595A ⋅＋69A ＝136080.解法三:(间接法)=-59610A A 136080 15.⑴八个人排成前后两排,每排四人,其中甲、乙要排在前排,丙要排在后排,则共有多少种不同的排法？略解:甲、乙排在前排24A ;丙排在后排14A ;其余进行全排列55A .所以一共有24A 14A 55A＝5760种方法.⑵不同的五种商品在货架上排成一排,其中a , b 两种商品必须排在一起,而c, d 两种商品不排在一起, 则不同的排法共有多少种？略解:(“捆绑法”和“插空法”的综合应用)a , b 捆在一起与e 进行排列有22A ;此时留下三个空,将c, d 两种商品排进去一共有23A ;最后将a , b “松绑”有22A .所以一共有22A 23A 22A ＝24种方法.⑶6张同排连号的电影票,分给3名教师与3名学生,若要求师生相间而坐,则不同的坐法有多少种？略解:(分类)若第一个为老师则有33A 33A ;若第一个为学生则有33A 33A ,所以一共有233A 33A ＝72种方法.16.⑴由数字1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的正整数？略解:3255545352515=++++A A A A A⑵由数字1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字,并且比13 000大的正整数？解法一:分成两类,一类是首位为1时,十位必须大于等于3有3313A A 种方法;另一类是首位不为1,有4414A A 种方法.所以一共有3313A A 1144414=+A A 个数比13 000大.解法二:(排除法)比13 000小的正整数有33A 个,所以比13 000大的正整数有-55A 33A ＝114个.17.求证:11m m m n n n P mP P -++=.18.学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序,除第1个节目和最后一个节目已确定外,4个音乐节目要求排在第2,5,7,10的位置,3个舞蹈节目要求排在第3,6,9的位置,2个曲艺节目要求跑在第4,8的位置,共有多少种不同的排法?组合一、高考要求:理解组合的意义,掌握组合数的计算公式和性质,并能用它解决一些简单的问题.二、知识要点:1.一般地,从n 个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.2.一般地,从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数,用符号m n C 表示.3.组合数公式:(1)(2)(1)!m mn nm m P n n n n m C P m ---+==,其中+∈N n m ,,且m≤n. 组合数公式还可以写成:!!()!m n n C m n m =-. 4.组合数的两个性质:m n m n n C C -=;11m m m n n n C C C -+=+.三、典型例题:例1:100件产品中有合格品90件,次品10件,现从中抽取4件检查.⑴ 都不是次品的取法有多少种？⑵ 至少有1件次品的取法有多少种？⑶ 不都是次品的取法有多少种？解: ⑴ 2555190490=C ;⑵ 13660354101903102902103901104904100=+++=-C C C C C C C C C ;⑶ 39210154901103902102903101904104100=+++=-C C C C C C C C C .例2:从编号为1,2,3,…,10,11的共11个球中,取出5个球,使得这5个球的编号之和为奇数,则一共有多少种不同的取法？解:分为三类:1奇4偶有4516C C ;3奇2偶有2536C C ;5奇1偶有56C所以一共有4516C C +2536C C +23656=C . 例3:现有8名青年,其中有5名能胜任英语翻译工作;有4名青年能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任),现在要从中挑选5名青年承担一项任务,其中3名从事英语翻译工作,2名从事德语翻译工作,则有多少种不同的选法？解:我们可以分为三类:① 让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作,有2324C C ;② 让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作,有1334C C ;③ 让两项工作都能担任的青年不从事任何工作,有2334C C .所以一共有2324C C +1334C C +2334C C ＝42种方法.例4:甲、乙、丙三人值周,从周一至周六,每人值两天,但甲不值周一,乙不值周六,问可以排出多少种不同的值周表？解法一:(排除法)422131424152426=+-C C C C C C解法二:分为两类:一类为甲不值周一,也不值周六,有2414C C ;另一类为甲不值周一,但值周六,有2324C C .所以一共有2414C C +2324C C ＝42种方法.例5:6本不同的书全部送给5人,每人至少1本,有多少种不同的送书方法？解:第一步从6本不同的书中任取2本“捆绑”在一起看成一个元素有26C 种方法;第二步将5个“不同元素(书)”分给5个人有55A 种方法.根据分步计数原理,一共有26C 55A ＝1800种方法.变题1:6本不同的书全部送给5人,有多少种不同的送书方法？变题2: 5本不．同的书全部送给6人,每人至多1本,有多少种不同的送书方法？变题3: 5本相．同的书全部送给6人,每人至多1本,有多少种不同的送书方法？答案:1.1562556=; 2.72056=A ; 3.656=C .例6:身高互不相同的7名运动员站成一排,甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列且互不相邻的排法有多少种？解:(插空法)现将其余4个同学进行全排列一共有44A 种方法,再将甲、乙、丙三名同学插入5个空位置中(但无需要进行排列)有35C 种方法.根据分步计数原理,一共有44A 35C ＝240种方法.例7:⑴ 四个不同的小球放入四个不同的盒中,一共有多少种不同的放法？⑵ 四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种？解: ⑴根据分步计数原理:一共有25644=种方法.⑵(捆绑法)第一步从四个不同的小球中任取两个“捆绑”在一起看成一个元素有24C 种方法,第二步从四个不同的盒取其中的三个将球放入有34A 种方法.所以一共有24C 34A ＝144种方法.四、归纳小结:如果两个组合中的元素完全相同,那么不管元素的顺序如何,它们是相同的组合;只有当两个组合中的元素不完全相同时,才是不同的组合.五、基础知识训练:(一)选择题:1.在下列问题中:(1)从1,2,3三个数字中任取两个,可以组成多少个和?(2)从1,2,3三个数字中任取两个,可以组成多少个没有重复数字的两位数?(3)将3个乒乓球投入5个容器,每个容器只能容纳一个乒乓球,问有多少种投法?(4)将3张编号的电影票给三个同学,每人一张,有多少种分法?属于组合问题的是( )A.(1)B.(2)C.(3)D.(4)2.从10名同学中选出3名代表,所有可能的不同选法种数是( )A.120B.240C.720D.303.(2000-13)凸10边形共有对角线( )A.90条B.70条C.45条D.35条4.某班有50名学生,其中有一名正班长,一名副班长,现选派5人参加一个游览活动,其中至少有一名班长(正、副均可)参加,共有几种不同的选法,其中错误的一个是( )A.n=12C ·448C +22C ·348CB. n=550C -548CC. n=12C ·449CD.n=12C ·449C -348C5.从7名男队员和5名女队员中选出4人进行乒乓球男女混合双打,不同的组队数有( )A.27C ·25CB. 427C ·25CC. 227C ·25CD. A 27C ·25C(二)填空题:6.96979898C C = .7.平面内有12个点,其中任意3点不在同一直线上,以每3点为顶点画三角形,一共可画三角形的个数是 .8.从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数中取出2个数,使它们的和是偶数,共有种选法.9.有13个队参加篮球赛,比赛时先分成二组,第一组7个队,第二组6个队,各组都进行单循环赛(即每队都要与本组其它各队比赛一场),然后由各组的前两名共4个队进行单循环赛决定冠、亚军,共需要比赛的场数是 .10.4个男同学进行乒乓球双打比赛,有种配组方法. (三)解答题:11.某赈灾区医疗队由4名外科医生和8名内科医生组成,现需从中选派5名医生去执行一项任务.(1)若某内科医生必须参加,而某外科医生因故不能参加,有多少种选派方法？ (2)若选派的5名医生中至少有1名内科和外科医生参加,有多少中选派方法？解: (1)依题意,只须从剩余的10名医生中选出4名医生与内定的一名内科医生组成医疗队.故共有410C =210种选派方法.(2)方法一:5名医生全由内科医生组成,有58C 种方法,故符合题意的方法为512C 58C -=936种; 方法二:我们将内科、外科医生分别当作一组有序实数对的前后两实数,则按题意组队方式可有:(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)四种,故共有18C ·44C +28C ·34C +38C ·24C +48C ·14C =736种.12.九张卡片分别写着数字0,1,2,…,8,从中取出三张排成一排组成一个三位数,如果6可以当作9使用,问可以组成多少个三位数？解:可以分为两类情况:① 若取出6,则有)(217171228C C C A +种方法;②若不取6,则有2717A C 种方法.根据分类计数原理,一共有)(217171228C C C A ++2717A C ＝602种方法.13.在产品检验时,常从产品中抽出一部分进行检查,现从10件产品中任意抽3件.(1) 一共有多少种不同的抽法?(2) 如果10件产品中有3件次品,抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? (3) 如果10件产品中有3件次品,抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?排列、组合的应用一、高考要求:熟练应用排列、组合知识解排列组合应用题. 二、知识要点:排列问题与组合问题的根本区别在于,取出元素后是否按一定顺序排列.元素需要按一定顺序排列,属排列问题;不需要考虑元素顺序,属组合问题.三、典型例题:例1:完成下列选择题与填空题:(1)有三个不同的信箱,今有四封不同的信欲投其中,则不同的投法有种.A.81B.64C.24D.4(2)四名学生争夺三项冠军,获得冠军的可能的种数是( )A.81B.64C.24D.4(3)有四位学生参加三项不同的竞赛,①每位学生必须参加一项竞赛,则有不同的参赛方法有;②每项竞赛只许有一位学生参加,则有不同的参赛方法有;③每位学生最多参加一项竞赛,每项竞赛只许有一位学生参加,则不同的参赛方法有.解析(1)完成一件事是“分步”进行还是“分类”进行,是选用基本原理的关键.将“投四封信”这件事分四步完成,每投一封信作为一步,每步都有投入三个不同信箱的三种方法,因此:N=3×3×3×3=34=81,故答案选A.本题也可以这样分类完成,①四封信投入一个信箱中,有C31种投法;②四封信投入两个信箱中,有C32(C41·A22+C42·C22)种投法;③四封信投入三个信箱,有两封信在同一信箱中,有C42·A33种投法、,故共有C31+C32(C41·A22+C42C22)+C42·A33=81(种).故选A.(2)因学生可同时夺得n项冠军,故学生可重复排列,将4名学生看作4个“店”,3项冠军看作“客”,每个“客”都可住进4家“店”中的任意一家,即每个“客”有4种住宿法.由分步计数原理得:N=4×4×4=64.故答案选B.(3)①学生可以选择项目,而竞赛项目对学生无条件限制,所以类似(1)可得N=34=81(种);②竞赛项目可以挑学生,而学生无选择项目的机会,每一项可以挑4种不同学生,共有N=43=64(种);③等价于从4个学生中挑选3个学生去参加三个项目的竞赛,每人参加一项,故共有C43·A33=24(种).注本题有许多形式,一般地都可以看作下列命题:设集合A={a1,a2,…,a n},集合B={b1,b2,…,b m},则f:A→B的不同映射是m n,f:B→A的不同映射是n m.若n≤m,则f:A→B的单值映射是:A m n.例2:同室四人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有( )A.6种B.9种C.11种D.23种解法一由于共四人(用1,2,3,4代表甲、乙、丙、丁四人),这个数目不大,化为填数问题之后,可用穷举法进行具体的填写:再按照题目要求检验,最终易知有9种分配方法.解法二记四人为甲、乙、丙、丁,则甲送出的卡片可以且只可以由其他三人之一收到,故有3种分配方式;以乙收到为例,其他人收到卡片的情况可分为两类:第一类:甲收到乙送出的卡片,这时丙、丁只有互送卡片1种分配方式;第二类:甲收到的不是乙送出的卡片,这时,甲收到卡片的方式有2种(分别是丙和丁送出的).对每一种情况,丙、丁收到卡片的方式只有一种.因此,根据乘法原理,不同的分配方式数为３×(1+2)=9.解法三给四个人编号:1,2,3,4,每个号码代表1个人,人与号码之间的关系为一对一的关系;每个人送出的贺年卡赋给与其编号相同的数字作为代表,这样,贺年卡的分配问题可抽象为如下“数学问题”:将数字1,2,3,4,填入标号为1,2,3,4的4个方格里,每格填写一个数字,且每个方格的编号与所填数字都不同的填法共有多少种(也可以说成:用数字1,2,3,4组成没有重复数字的4位数,而且每位数字都不等于位数的4位数共有多少个)？这时,可用乘法原理求解答案:首先,在第1号方格里填写数字,可填上2、3、4中的任一个数,有3种填法;其次,当第1号方格填写的数字为i(2≤i≤4)时,则填写第i种方格的数字,有3种填法;最后,将剩下的两个数填写到空着的两个空格里,只有1种填法(因为剩下的两个数中,至少有1个与空着的格子的序号相同).因此,根据乘法原理,得不同填法:3×3×1=9注本题是“乱坐问题”,也称“错排问题”,当元素较大时,必须用容斥原理求解,但元素较小时,应用分步计数原理和分类计数原理便可以求解,或可以穷举.例3:宿舍楼走廊上有有编号的照明灯一排8盏,为节约用电又不影响照明,要求同时熄掉其中3盏,但不能同时熄掉相邻的灯,问熄灯的方法有多少种？解法一我们将8盏灯依次编号为1,2,3,4,5,6,7,8.在所熄的三盏灯中,若第一盏熄1号灯,第二盏熄3号灯,则第3盏可以熄5,6,7,8号灯中的任意一盏,共有4种熄法.若第一盏熄1号灯,第2盏熄4号灯,则第3盏可以熄6,7,8号灯中的任意一盏.依次类推,得若1号灯熄了,则共有4+3+2+1=10种熄法.若1号灯不熄,第一盏熄的是2号灯,第二盏熄的是4号灯,则第三盏可以熄6,7,8号灯中的任意一盏,共有3种熄法.依次类推得,若第一盏灯熄的是2号灯,则共有3+2+1=6种熄法.同理,若第一盏熄的是3号灯,则共有2+1=3种熄法.同理,若第一盏熄的是4号灯,则有1种熄法.综上所述共有:10+6+3+1=20种熄法.解法二我们可以假定8盏灯还未安装,其中5盏灯是亮着的,3盏灯不亮.这样原问题就等价于:将5盏亮着的灯与3盏不亮的灯排成一排,使3盏不亮的灯不相邻(灯是相同的).5盏亮着的灯之间产生6个间隔(包括两边),从中插入3个作为熄灭的灯——就是我们经常解决的“相邻不相邻”问题,采用“插入法”,得其答案为C63=20种.注解法一是穷举法,将所有可能的情况依次逐一排出.这种方法思路清晰,但有时较繁.。

中职数学5--排列组合和二项式定理二项式定理

教学目标：使学生掌握二项式定理及其证明(数学归纳法)，培养学生发现和揭示事物内在客观规律能力和逻辑推理能力。

通过介绍“杨辉三角”，对学生进行爱国主义教育．教学重点：二项式定理的推导及证明教学难点：二项式定理的证明教学内容师生互动设计意图教学过程：(一)新课引入：(提问)：若今天是星期一，再过810天后的那一天是星期几？在初中，我们已经学过了 (a+b)2=a 2+2ab+b 2(a+b)3＝(a+b)2(a+b)＝a 3+3a 2b+3ab 2+b 3(提问)：对于(a+b)4，(a+b)5 如何展开?(利用多项式乘法)(再提问)：(a+b)100又怎么办？ (a+b)n (n ∈N +)呢？我们知道，事物之间或多或少存在着规律。

这节课，我们就来研究(a+b)n 的二项展开式的规律性 (二)新课：(如何着手研究它的规律呢)？采用从特殊到一般（不完全归纳）的方法。

规律：(a+b)1=a+b(a+b)2=(a+b)(a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b=a 2+2ab+b 2师问生答学生分组讨论教师总结教师提问学生思考回答激发学生兴趣，引出新课激发学生兴趣810＝(7+1)10＝010C 710+110C 79+…+910C 7+1010C＝2(733＋c 1732+…+c 32·7+2(a+b)3=(a+b)2(a+b)=(a 2+2ab+b 2)(a+b)=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3(a+b)4=(a+b)3(a+b)=(a 3+3a 2b+3ab 2+b 3)(a+b)=a 4+4a 3b+6a 2b 2+4ab 3+b 4 根据以上的归纳，可以想到(a+b)n 的展开式的各项是齐次的，它们分别为a n , a n-1b, a n-2b 2,…，b n ,展开式中各项系数的规律，可以列表： (a+b)1 1 1(a+b)2 1 2 1(a+b)3 1 3 3 1 (a+b)4 1 4 6 4 1(a+b)5 1 5 10 10 5 1 （这表是我国宋代杨辉于1261年首次发现的，称为杨辉三角，比欧洲至少早了三百年。

数学教案-排列、组合、二项式定理-基本原理

数学教案－排列、组合、二项式定理-基本原理一、引言本教案主要介绍数学中的排列、组合和二项式定理的基本原理。

通过学习，学生能够了解到排列、组合和二项式定理的概念、性质和应用，提高数学思维和解决实际问题的能力。

二、排列与组合2.1 排列排列是指从n个不同元素中取出m个元素进行有序排列的方法数。

排列的计算公式为：其中，n为总元素个数，m为需要取出的元素个数，“！”表示阶乘运算。

2.2 组合组合是指从n个不同元素中取出m个元素进行无序组合的方法数。

组合的计算公式为：其中，n为总元素个数，m为需要取出的元素个数，“！”表示阶乘运算。

2.3 示例例如，从数字1、2、3中取出2个数字进行排列，使用排列公式计算有：即有6种排列方法。

再例如，从数字1、2、3中取出2个数字进行组合，使用组合公式计算有：即有3种组合方法。

三、二项式定理3.1 基本概念二项式定理是指任意一个二项式的幂展开后各项系数的规律。

二项式定理的公式表达为：其中，a、b为任意实数，n为非负整数，C为组合的计算公式。

3.2 使用方法二项式定理可以应用于多个方面，如多项式展开、概率计算等。

在多项式展开中，可以通过二项式定理将一个多项式化简为一系列项的和。

3.3 示例例如，将二项式展开为更多项的和：即：通过二项式定理，我们可以快速求解幂次较高的多项式。

四、总结本教案主要介绍了数学中的排列、组合和二项式定理的基本原理。

排列和组合是数学中常见的计数方法，可以用于解决实际问题中的选择和排列情况；二项式定理则是多项式展开中的重要工具，可以化简复杂的多项式表达式。

通过对这些概念和公式的学习和应用，可以提高数学思维能力和解决实际问题的能力。

希望通过本教案的学习，学生能够掌握排列、组合和二项式定理的基本原理，并能够应用于实际问题中，提升自己的数学能力。

排列、组合、二项式定理疑难攻略

排列、组合、二项式定理疑难攻略
排列组合与二项式定理是一门让许多学生感到困惑的数学学科，但是学习正
确的方法可以帮助学生解决疑难问题。

首先，要理解排列组合，学生要了解排列是指一组数据的特定顺序，而组合是
指由多个元素组成的特定集合。

学习排列组合的最佳方式是使用元素的数量及其位置进行实践。

理解细节，学生可以为给定的问题定义术语，计算总数，解释结果并使用长字符串解法解决问题。

接下来，需要理解二项式定律。

它表明，将独立事件尝试次数连乘，可以计算
出总的可能结果。

要掌握二项式定理，学生可以掌握四个基本步骤：先定义问题，计算可能的排列次数，使用公式计算出结果，最后证明结果。

最后，学生可以结合排列组合与二项式定理的基本概念，解决疑难问题。

为此，可以梳理出给定问题的疑难点，写出可能的排列，并使用公式计算出结果。

在此基础上，再根据题目要求，计算出最终答案。

综上所述，掌握正确的方法来学习排列组合与二项式定理，是学生解决疑难问
题的关键。

学习这些方法，可以帮助学生在未来碰到新的难题时，能够解决问题。

二项式定理与排列组合的知识点总结

二项式定理与排列组合的知识点总结二项式定理是高中数学中的一个重要定理，它与排列组合有着密切的联系。

本文将对二项式定理和排列组合的知识点进行总结，希望能够为读者提供清晰明了的概念和理解。

一、排列组合的基本概念排列组合是数学中研究对象的一种组织方式。

排列是指将一组元素按照一定顺序进行布置，而组合是指从一组元素中取出若干元素组成一个集合。

1. 排列排列是指从一组元素中有序地选取若干个元素进行布置。

主要分为两种类型：有放回排列和无放回排列。

有放回排列是指在选择完元素后将其放回原处，元素可以被多次选取。

而无放回排列是指在选择完元素后不放回，下次选择时不能再选取。

2. 组合组合是指从一组元素中无序地选择若干个元素进行组合。

同样地，组合也可以分为有放回组合和无放回组合两种类型。

二、二项式定理的概念和公式二项式定理是代数学中的一个重要定理，用于展开二项式的幂。

它表述了如下公式：(a + b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n,n-1)ab^(n-1) + C(n,n)b^n其中，a，b是实数或者变量，n为非负整数。

C(n, k)表示从n个元素中取出k个元素的组合数，也称为二项系数。

具体计算公式如下：C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)三、二项式定理与排列组合的关系二项式定理中的二项系数C(n, k)正是组合数的计算公式，说明了二项式展开式中各项系数的求解方法。

1. 二项式系数的性质二项系数具有一些重要的性质，包括对称性、加法原理和乘法原理等。

这些性质在解决排列组合问题时具有重要的指导作用。

2. 应用举例利用二项式定理和排列组合的知识，可以解决一些实际问题。

比如，求解一组数的幂展开式中某一项的系数、计算某些特殊排列组合的总数等等。

四、应用示例在实际应用中，二项式定理与排列组合经常被用于解决一些概率、统计和计算问题。

中职数学5--排列组合和二项式定理排列组合解题技巧

与其余4人共有5个元素做全排列，有种A排55法，然后
对甲，乙，丙三人进行全排列。由分步计数原理可得： A55A33 种不同排法。
（四）不相邻问题——插空法对于某几个元素不相邻得排列问题，可先将其它
元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可。
例5 7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相邻，分别有多少种站法？
方法二：（直接法） 2A54 A43 A32 2 A21 1 275
解题技巧
（一）特殊元素的“优先安排法”
对于特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元素，再考虑其它元素。
例2 用0，1，2，3，4这五个数，组成没有重复数字
的三位数，其中偶数共有（ B ）
A.24
B.30
C.40
D.60
A54 A41 A43 216
（3）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数字且大于31250的五位数？
分类： A21 A54 A31 A43 A21 A32 1 325
（4）31250是由0，1，2，3，4，5组成的无重复数字的五位数中从小到大第几个数？
方法一：（排除法） A51 A54 325 275
2(6!25!4!) 1008(种）一
（三）相邻问题——捆绑法对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相
邻的元素“捆绑”在一起，看作一个“大”的元（组），与其它元素排列，然后再对相邻的元素（组）内部进行排列。
例4 7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人相邻，分别有多少种站法？
分析：先将甲，乙，丙三人捆绑在一起看作一个元素，
将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高
若n个不同元素排m个位，a、 A53

2023年职高数学二轮复习——排列、组合、二项式、概率

第十章：排列、组合、二项式定理及概率一、知识点汇总1、两个计数原理：①分类计数原理（加法原理）：一步到位②分步计数原理（乘法原理）：多步完成2、排列：与所选元素顺序有关。

个数相乘共排列数：m m n m n n n n A )1()2)(1(+---= 123)2)(1(⨯⨯--= n n n A n n 3、组合：与所选元素顺序无关。

组合数：m m m n m n A A C = 210810C C C C m n n m n ==-如：性质：常用方法：（1）捆绑法：相邻问题。

例：5个同学站一排照相，要求甲乙必须相邻，则不同的排法有：4422A A 种。

（2）插空法：不相邻问题。

例：某文艺晚会需排一节目单，其中独唱节目5个，舞蹈节目4个，要求舞蹈不能相邻，有多少种排法？ 4655A A（3）优限法：特殊位置或特殊元素。

例：由0,1,2,3组成没有重复数字的三位数，共有多少个？ 2313A A •4、概率：发生的总数）为事件为总数，其中A m n nm A P (,)(= 5、二项式定理：n n n m m n m n n n n n n nn b a C b a C b a C b a C b a C b a 02221100)(++++++=+--- ①展开式：共1+n 项；*②通项：m m n m nm b a C T -+=1； *③二项式系数：m n C ；*④系数：化简完后未知数前面的常数；*⑤二项式系数和：n n n n n n C C C C 2210=+++ ；*⑥系数和：设未知数为1，进行计算。

⑦ 二项式系数最大项出现在中间。

二、题型训练1.某段铁路共有６个站，共需准备普通客票的种数是（）。

A. 30B. 24C. 15D. 122.某段铁路共有６个站，有多少种不同的票价（）A. 30B. 24C. 15D. 123.从６人中选３人完成三项不同的工作，则不同的选法总数为（）。

【人教版】中职数学(拓展模块)3.1《排列、组合与二项式定理》教案设计

排列组合教案第一部分基本内容一．课标要求：1．分类加法计数原理、分步乘法计数原理通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题；2．排列与组合通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题；3．二项式定理能用计数原理证明二项式定理；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。

二．命题走向本部分内容主要包括分类计数原理、分步计数原理、排列与组合、二项式定理三部分；考查内容：（1）两个原理；（2）排列、组合的概念，排列数和组合数公式，排列和组合的应用；（3）二项式定理，二项展开式的通项公式，二项式系数及二项式系数和。

排列、组合不仅是高中数学的重点内容，而且在实际中有广泛的应用，因此新高考会有题目涉及；二项式定理是高中数学的重点内容，也是高考每年必考内容，新高考会继续考察。

考察形式：单独的考题会以选择题、填空题的形式出现，属于中低难度的题目，排列组合有时与概率结合出现在解答题中难度较小，属于高考题中的中低档题目；预测2007年高考本部分内容一定会有题目涉及，出现选择填空的可能性较大，与概率相结合的解答题出现的可能性较大。

三．要点精讲1．排列、组合、二项式知识相互关系表2．两个基本原理（1）分类计数原理中的分类；（2）分步计数原理中的分步；正确地分类与分步是学好这一章的关键。

3．排列（1）排列定义，排列数（2）排列数公式：系mn A =)!(!m n n -=n·(n－1)…(n－m+1)；（3）全排列列：nn A =n!；（4）记住下列几个阶乘数：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720； 4．组合（1）组合的定义，排列与组合的区别；（2）组合数公式：C n m=)!(!!m n m n -=12)1(1)m -(n 1)-n (⨯⨯⨯-⨯+ m m n ；（3）组合数的性质 ①C n m=C nn-m；②rn r n r n C C C 11+-=+；③rC n r=n·C n-1r-1；④C n 0+C n 1+…+C n n =2n；⑤C n 0-C n 1+…+(-1)nC n n=0，即 C n 0+C n 2+C n 4+…=C n 1+C n 3+…=2n-1；5．二项式定理（1）二项式展开公式：(a+b)n=C n 0a n+C n 1a n-1b+…+C n k a n-k b k+…+C n n b n；（2）通项公式：二项式展开式中第k+1项的通项公式是：T k+1=C n k a n-k b k； 6．二项式的应用（1）求某些多项式系数的和；（2）证明一些简单的组合恒等式；（3）证明整除性。

【人教版】中职数学(拓展模块)：3.1《排列、组合与二项式定理》课件

(2)由组合数的性质可得 ++ = + + =+.
又= , 所以 = + , 即 + = +, 所以 = ，所以5=x+2,x=3,经检验知x=3.
凡遇到解排列、组合的方程, 不等式问题时，应首先应用性质和排列、组合的计算公式进行变形与化简，并注意有关解排列、组合的方程、不等式问题，最后结果都需要检验.
设击入黄球x个,红球y个符合要求,
x+y=4
则有 2x+y≥5
x,y∈N*,
x=1 x=2 x=3 x=4 解得
y=3, y=2 , y=1 , y=0.
故共有不同击球方法数为
++
+ =195.
本题需运用不等式的知识，确定击入黄球与红球的个数，有时则需利用集合的运算等知识，确定相关元素的个数，再利用排列或组合的知识解决方法种数问题.
先排末位共有___ 然后排首位共有___ 最后排其它位置共有___
由分步计数原理得
=288
一.特殊元素和特殊位置优先策略
位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件。
计数的基本原理
排列
组合
排列数
Pnm公式
组合数
Cnm公式
应用
组合数的两个性质
本章知识结构
一、两个原理
1.分类加法计数原理完成一件事,有n类办法,在第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2种不同的方法，……，在第 n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=① 种不m同1+的m2方+m法3＋. …+mn 2.分步乘法计数原理完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法，……,做第n步有mn 种不同的方法,那么完成这件事共有 N=② m1·m2·…·mn 种不同的方法.

(完整版)排列组合与二项式定理

8、九张卡片分别写着数字0,1，2，…，8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问可以组成多少个三位数？【参考答案】可以分为两类情况：① 若取出6，则有()211182772P C C C +种方法； ②若不取6，则有1277C P 种方法．根据分类计数原理，一共有()211182772P C C C ++1277C P ＝602种方法． 9、从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的取法有种.【参考答案】由分析，完成第一类办法还可以分成两步：第一步在原装计算机中任意选取2台，有26C 种方法；第二步是在组装计算机任意选取3台，有35C 种方法，据乘法原理共有3526C C ⋅种方法.同理，完成第二类办法中有2536C C ⋅种方法.据加法原理完成全部的选取过程共有+⋅3526C C 3502536=⋅C C 种方法. 经典例题：例1．四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同取法共有（）A ．150种B. 147种C. 144种D. 141种【答案】取出的四个点不共面的情况要比取出的四个点共面的情况复杂，可采用间接法，先不加限制任取四点，再减去四面共点的取法．在10个点中任取4点，有410C 种取法，取出的4点共面有三类第一类：共四面体的某一个面，有446C 种取法；第二类：过四面体的一条棱上的三点及对棱的中点，如图中的平面ABE ，有6种取法；第三类：过四面体的四条棱的中点，面与另外两条棱平行，如图中的平面EFGM ，共有3个．故取4个不共面的点的不同取法共有410C －(446C ＋6＋3)＝141，因此选D例2. 一天要排语文、数学、英语、生物、体育、班会六节课（上午四节，下午二节），要求上午第一节不排体育，。

排列与组合的二项式定理与展开

排列与组合的二项式定理与展开二项式定理是组合数学中的一个重要定理，它描述了两个数的幂次幂在展开后的形式。

在排列与组合的学习中，二项式定理被广泛应用，能够帮助我们解决各种实际问题。

一、二项式定理的基本概念在介绍二项式定理之前，我们需要了解一些基本概念。

首先是排列与组合的定义：排列：从一组元素中选出几个不同元素按一定的顺序排列起来，称为排列。

若从n个元素中选取m个元素进行排列，则排列数记作A(n,m)。

组合：从一组元素中选出几个不同元素按任意顺序排列起来，称为组合。

若从n个元素中选取m个元素进行组合，则组合数记作C(n,m)。

二、二项式定理的表述现在我们正式介绍二项式定理。

根据二项式定理，对于任意的实数a和b以及自然数n，有如下等式成立：(a+b)^n = C(n,0)*a^n*b^0 + C(n,1)*a^(n-1)*b^1 + ... + C(n,n)*a^0*b^n 其中C(n,m)表示从n个元素中选取m个元素进行组合，也被称为二项式系数。

三、二项式定理的展开二项式定理给出了(a+b)^n的展开形式，我们可以通过二项式定理来计算幂指数较大的数的幂。

1. 当n = 0时，(a+b)^0 = C(0,0)*a^0*b^0 = a^0*b^0 = 1；2. 当n = 1时，(a+b)^1 = C(1,0)*a^1*b^0 + C(1,1)*a^0*b^1 = a + b；3. 当n = 2时，(a+b)^2 = C(2,0)*a^2*b^0 + C(2,1)*a^1*b^1 +C(2,2)*a^0*b^2 = a^2 + 2ab + b^2。

可以看出，展开后的结果是一个多项式，每一项都是a和b的幂的乘积，并且系数是由组合数C(n,m)确定。

四、二项式定理的应用二项式定理在组合数学中有广泛的应用，尤其是在概率和统计学中。

通过利用二项式定理展开，我们可以计算组合数，求解复杂的概率问题，进一步推导其他数学定理。

(完整版)中职数学21.1排列组合与二项式

全排列数：
Ann n(n 1)(n 2) 3 21
n!(叫做n的阶乘)
排列数公式阶乘表示：
Anm n(n 1)(n 2) (n m 1)
n(n 1)(n 2) (n m 1)(n m) 3 2 1 (n m)(n m 1) 3 2 1
名称定义符号公式
关系性质
排列
从n个不同元素中取出m个元素，按一定的顺序排成一列
Anm
Anm n(n 1) (n m 1)
Anm

(n
n! m)!
组合
从n个不同元素中取出m个元素，把它并成一组
C
m n
C
m n

n(n 1) (n m!
m
1)
C
Anm n(n 1)(n 2) (n m 1)
种填法 .
Anm n(n 1)(n 2) (n m 1)
说明：
（1）公式特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是n-m+1，共有m个因数；
（2）全排列：当m=n时,即n个不同元素全部取出的一个排列.
对称性
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
1）请看系数有没有明显的规律？ 2）上下两行有什么关系吗？ 3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?
早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解
九章算法》二项式系数表.在书中说明了表里“一” 以外的每一个数都等于它肩上两个数的和；指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它.这表明我国发现这个表不晚于11世纪；在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角.这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右.