中职数学排列组合与二项式
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n!(叫做n的阶乘)
排列数公式阶乘表示：
Anm n(n 1)(n 2)(n m 1)
n(n
1)(n 2)(n m 1)(n m)3 (n m)(n m 1)3 2 1
2
1
n! (n m)!
规定：0！ 1
三、组合的概念：
一般地，从n个不同元素中取出m （m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不 同元素中取出m个元素的一个组合.
五、二项式定理：
将(a+b)n展开 （a+b）n=(a b)( ab)(ab)
n个
计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表
n
(a+b)n展开式的二项式系数
1 11
2 121
3 1331
4 14641
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
对称性
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
第二十一章 排列 组合 二项式定理
知识结构网络图：
排列与组合
基本原理 排列 排列数公式 组合 组合数公式 组合数的两个性质
二项式定理
二项式定理 二项式系数的性质
复习《第十一章概率与统计初步》
一、分类计数原理（加法原理）：
完成一件事情，有n类方式,
在第1类方式中有m1种不同的方法, 在第2类方式中有m2种不同的方法，……，
说明： ⑴不同元素； ⑵“只取不排”——无序性； ⑶相同组合：元素相同
组合数的概念：
从n个不同元素中取出m(m≤n)个 元素的所有组合的个数，叫做从n个不同 元素中取出m个元素的组合数．
用符号表示: Cnm
组合数公式 :
一般地，求从n个不同元素中取出m
个元素的排列数 Anm 可以分如下两步： ① 先求从n个不同元素中取出m个元
素的组合数 Cnm ；
② 求每一个组合中m个元素全排列数，
根据分步计数原理得：
Anm Cnm Amm
Cnm
Amn Amm
n(n 1)(n 2)(n m 1) m(m 1)(m 2)21
Cnm
n! m!(n
(n, m)!
m
N,m
n)
组合数性质1：
C
m n
C
n n
m
说明：
（1）规定：C0n 1 (2)等式两边下标相同，两边上标之和等于下标
做第n步有mn种不同的方法. 那么完成这件事共有N = m1×m2×…×mn种不同的
方法.
要点： （1）分步； （2）每步缺一不可，依次完成； （3） N = m1×m2×…×mn （各步方法之积）
总结出两个原理的联系、区别：
分类计数原理
分步计数原理
联系 都是研究完成一件事的不同方法的种数的问题
完成一件事，共有n类 完成一件事，共分n个
在第n类方式中有mn种不同的方法。 那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法.
要点： （1）分类； （2）相互独立； （3） N=m1+m2+…+mn（各类方法之和）
分步计数原理（乘法原理）：
完成一件事，需要分成n个步骤， 做第1步有m1种不同的方法， 做第2步有m2种不同的方法，…，
区别1 办法，关键词“分类” 步骤，关键词“分步”
每类办法相互独立， 各步骤中的方法相互依
区别2 每类方法都能独立地 存，只有各个步骤都完
完成这件事情
成才算完成这Leabharlann Baidu事
二、排列的概念：
从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素（这里的 被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
区别排列和排列数的不同： “一个排列”是指：从n个不同元素中，任取
m个元素按照一定的顺序排成一列，不是数； “排列数”是指从n个不同元素中，任取m
（m≤n）个元素的所有排列的个数，是一个数， 所以符号只表示排列数，而不表示具体的排列.
排列数公式
从n个元素a1,a2,a3,…,an中任取m个元素填空，一 个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列， 反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到， 因此，所有不同的填法的种数就是排列数．由分步 计数原理完成上述填空共有
1）请看系数有没有明显的规律？ 2）上下两行有什么关系吗？ 3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?
早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解
九章算法》二项式系数表.在书中说明了表里“一” 以外的每一个数都等于它肩上两个数的和；指出这个 方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约 公元11世纪）已经用过它.这表明我国发现这个表不 晚于11世纪；在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕 斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做 帕斯卡三角.这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早 五百年左右.
(3)当m n 时,用此性质可以简化运算 2
组合数性质2：
Cnm Cnm1 Cnm1
排列和组合的区别和联系：
名称 定义 符号 公式
关系 性质
排列
从n个不同元素中取出m个元 素，按一定的顺序排成一列
Anm
Anm n(n 1) (n m 1)
Anm
(n
n! m)!
组合
从n个不同元素中取出m个元 素，把它并成一组
本积
商实
《 九
平方
章
立方
C
m n
C
m n
n(n 1) (n m!
m
1)
C
m n
n! m!(n
m)!
C
0 n
1
Ann n!
Anm Cnm Amm
0! 1
， C C m n
nm n
Cm n1
C
m n
C m1 n
全排列：n个不同元素全部取出的一个排列.全排列数公式：所
有全排列的个数，即： Ann n (n 1) (n 2) 2 1
Anm n(n 1)(n 2)(n m 1)
种填法 .
Anm n(n 1)(n 2)(n m 1)
说明：
（1）公式特征：第一个因数是n，后面每 一个因数比它前面一个少1，最后一个因数 是n-m+1，共有m个因数；
（2）全排列：当m=n时,即n个不同元素 全部取出的一个排列.
全排列数：
Ann n(n 1)(n 2)3 21
说明： （1）排列的定义包括两个方面：
①取出元素，②按一定的顺序排列； （2）两个排列相同的条件：
①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同； （3）当m=n时，称为n个元素的全排列.
排列数的定义：
从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的 所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素 的排列数.
用符号表示: Anm
排列数公式阶乘表示：
Anm n(n 1)(n 2)(n m 1)
n(n
1)(n 2)(n m 1)(n m)3 (n m)(n m 1)3 2 1
2
1
n! (n m)!
规定：0！ 1
三、组合的概念：
一般地，从n个不同元素中取出m （m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不 同元素中取出m个元素的一个组合.
五、二项式定理：
将(a+b)n展开 （a+b）n=(a b)( ab)(ab)
n个
计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表
n
(a+b)n展开式的二项式系数
1 11
2 121
3 1331
4 14641
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
对称性
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
第二十一章 排列 组合 二项式定理
知识结构网络图：
排列与组合
基本原理 排列 排列数公式 组合 组合数公式 组合数的两个性质
二项式定理
二项式定理 二项式系数的性质
复习《第十一章概率与统计初步》
一、分类计数原理（加法原理）：
完成一件事情，有n类方式,
在第1类方式中有m1种不同的方法, 在第2类方式中有m2种不同的方法，……，
说明： ⑴不同元素； ⑵“只取不排”——无序性； ⑶相同组合：元素相同
组合数的概念：
从n个不同元素中取出m(m≤n)个 元素的所有组合的个数，叫做从n个不同 元素中取出m个元素的组合数．
用符号表示: Cnm
组合数公式 :
一般地，求从n个不同元素中取出m
个元素的排列数 Anm 可以分如下两步： ① 先求从n个不同元素中取出m个元
素的组合数 Cnm ；
② 求每一个组合中m个元素全排列数，
根据分步计数原理得：
Anm Cnm Amm
Cnm
Amn Amm
n(n 1)(n 2)(n m 1) m(m 1)(m 2)21
Cnm
n! m!(n
(n, m)!
m
N,m
n)
组合数性质1：
C
m n
C
n n
m
说明：
（1）规定：C0n 1 (2)等式两边下标相同，两边上标之和等于下标
做第n步有mn种不同的方法. 那么完成这件事共有N = m1×m2×…×mn种不同的
方法.
要点： （1）分步； （2）每步缺一不可，依次完成； （3） N = m1×m2×…×mn （各步方法之积）
总结出两个原理的联系、区别：
分类计数原理
分步计数原理
联系 都是研究完成一件事的不同方法的种数的问题
完成一件事，共有n类 完成一件事，共分n个
在第n类方式中有mn种不同的方法。 那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法.
要点： （1）分类； （2）相互独立； （3） N=m1+m2+…+mn（各类方法之和）
分步计数原理（乘法原理）：
完成一件事，需要分成n个步骤， 做第1步有m1种不同的方法， 做第2步有m2种不同的方法，…，
区别1 办法，关键词“分类” 步骤，关键词“分步”
每类办法相互独立， 各步骤中的方法相互依
区别2 每类方法都能独立地 存，只有各个步骤都完
完成这件事情
成才算完成这Leabharlann Baidu事
二、排列的概念：
从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素（这里的 被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
区别排列和排列数的不同： “一个排列”是指：从n个不同元素中，任取
m个元素按照一定的顺序排成一列，不是数； “排列数”是指从n个不同元素中，任取m
（m≤n）个元素的所有排列的个数，是一个数， 所以符号只表示排列数，而不表示具体的排列.
排列数公式
从n个元素a1,a2,a3,…,an中任取m个元素填空，一 个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列， 反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到， 因此，所有不同的填法的种数就是排列数．由分步 计数原理完成上述填空共有
1）请看系数有没有明显的规律？ 2）上下两行有什么关系吗？ 3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?
早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解
九章算法》二项式系数表.在书中说明了表里“一” 以外的每一个数都等于它肩上两个数的和；指出这个 方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约 公元11世纪）已经用过它.这表明我国发现这个表不 晚于11世纪；在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕 斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做 帕斯卡三角.这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早 五百年左右.
(3)当m n 时,用此性质可以简化运算 2
组合数性质2：
Cnm Cnm1 Cnm1
排列和组合的区别和联系：
名称 定义 符号 公式
关系 性质
排列
从n个不同元素中取出m个元 素，按一定的顺序排成一列
Anm
Anm n(n 1) (n m 1)
Anm
(n
n! m)!
组合
从n个不同元素中取出m个元 素，把它并成一组
本积
商实
《 九
平方
章
立方
C
m n
C
m n
n(n 1) (n m!
m
1)
C
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Anm Cnm Amm
0! 1
， C C m n
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Cm n1
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C m1 n
全排列：n个不同元素全部取出的一个排列.全排列数公式：所
有全排列的个数，即： Ann n (n 1) (n 2) 2 1
Anm n(n 1)(n 2)(n m 1)
种填法 .
Anm n(n 1)(n 2)(n m 1)
说明：
（1）公式特征：第一个因数是n，后面每 一个因数比它前面一个少1，最后一个因数 是n-m+1，共有m个因数；
（2）全排列：当m=n时,即n个不同元素 全部取出的一个排列.
全排列数：
Ann n(n 1)(n 2)3 21
说明： （1）排列的定义包括两个方面：
①取出元素，②按一定的顺序排列； （2）两个排列相同的条件：
①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同； （3）当m=n时，称为n个元素的全排列.
排列数的定义：
从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的 所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素 的排列数.
用符号表示: Anm