高中数学第3章3.1空间向量及其运算3.1.2共面向量定理讲义(含解析)苏教版选修2_1

3．1.2 共面向量定理

[对应学生用书P50]

如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，观察下列几组向量，回答问题．

问题1：AB u u u r 、AD u u u r 、11A C u u u u

r 可以移到一个平面内吗？

提示：可以，因为AC u u u r ＝11A C u u u u r

，三个向量可移到平面ABCD 内．

问题2：1AA u u u u r ，AC u u u r ，1AC u u u u r

三个向量的位置关系？

提示：三个向量都在平面ACC 1A 1内．

问题3：1BB u u u u r 、1CC u u u u r 、1DD u u u u r

三个向量是什么关系？

提示：相等．

1．共面向量

一般地，能够平移到同一平面内的向量叫做共面向量． 2．共面向量定理

如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在有序实数组(x ，y )，使得p ＝x a ＋y b .

1．空间中任意两个向量都是共面的，空间中任意三个向量可能共面，也可能不共面． 2．向量共面不具有传递性．

3．共面向量定理给出了平面向量的表示式，说明两个不共线的向量能确定一个平面，它是判定三个向量是否共面的依据．

[对应学生用书P51]

向量共面的判定

[例1] 给出以下命题：

①用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量，则这两个向量一定不共面； ②已知空间四边形ABCD ，则由四条线段AB 、BC 、CD 、DA 分别确定的四个向量之和为零向量；

③若存在有序实数组(x ，y )使得OP u u u r ＝x OA u u u r ＋y OB u u u r

，则O 、P 、A 、B 四点共面；

④若三个向量共面，则这三个向量的起点和终点一定共面； ⑤若a ，b ，c 三向量两两共面，则a ，b ，c 三向量共面． 其中正确命题的序号是________．

[思路点拨] 先紧扣每个命题的条件，再充分利用相关概念做出正确的判断． [精解详析] ①错：空间中任意两个向量都是共面的； ②错：因为四条线段确定的向量没有强调方向；

③正确：因为OP u u u r 、OA u u u r 、OB u u u r

共面，

∴O 、P 、A 、B 四点共面； ④错：没有强调零向量；

⑤错：例如三棱柱的三条侧棱表示的向量． [答案] ③

[一点通] 共面向量不一定在同一个平面内，但可以平移到同一个平面内．判定向量共面的主要依据是共面向量定理．

1．下列说法正确的是________(填序号)．

①以三个向量为三条棱一定可以作成一个平行六面体；

②设平行六面体的三条棱是AB u u u r 、1AA u u u u r 、AD u u u r

，则这一平行六面体的对角线所对应的向量是AB u u u r ＋1AA u u u u r ＋AD u u u r ；

③若OP u u u r ＝12

(PA u u u r ＋PB u u u r

)成立，则P 点一定是线段AB 的中点；

④在空间中，若向量AB u u u r 与CD u u u

r 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共面．

⑤若a ，b ，c 三向量共面，则由a ，b 所在直线所确定的平面与由b ，c 所在直线确定的平面是同一个平面．

解析：①②③⑤不正确，④正确． 答案：④

2．已知三个向量a ，b ，c 不共面，并且p ＝a ＋b －c ，q ＝2a －3b －5c ，r ＝－7a ＋18b ＋22c ，试问向量p 、q 、r 是否共面？

解：设r ＝x p ＋y q ，

则－7a ＋18b ＋22c ＝x (a ＋b －c )＋y (2a －3b －5c ) ＝(x ＋2y )a ＋(x －3y )b ＋(－x －5y )c ，

∴⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋2y ＝－7，x －3y ＝18，－x －5y ＝22.

解得⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝3，

y ＝－5，

∴r ＝3p －5q .

∴p 、q 、r 共面.

向量共面的证明

[例2] 如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在B 1B 和D 1D

上，且BE ＝13BB 1，DF ＝2

3

DD 1.证明：1AC u u u u r 与AE u u u r 、AF u u u r 共面．

[思路点拨] 由共面向量定理，只要用AE u u u r 、AF u u u r

线性表示出1AC u u u u r 即可．

[精解详析] ∵1AC u u u u r ＝AB u u u r ＋AD u u u r ＋1AA u u u

u r ＝AB u u u r ＋AD u u u r ＋13

1AA u u u

u r ＋23

1AA u u u u r

＝(AB u u u r ＋13

1AA u u u u r )＋(AD u u u r ＋23

1AA u u u

u r )

＝AB u u u r ＋BE u u u r ＋AD u u u r ＋DF u u u r ＝AE u u u r ＋AF u u u r ， ∴1AC u u u u r 与AE u u u r 、AF u u u r

共面．

[一点通] 利用向量法证明向量共面问题，关键是熟练的进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件．解题过程中注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系，解

答本题，实质上是证明存在惟一一对实数x ，y 使向量1AC u u u u r ＝x AE u u u r ＋y AF u u u r

成立，也就是用

空间向量的加、减法则及运算律，结合图形，用AE u u u r 、AF u u u r

表示1AC u u u u r .

3．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1和A 1D 1的中点．证

明：向量1A B u u u u r ，1B C u u u u r ，EF u u u r

是共面向量．

证明：法一：EF u u u r ＝EB u u u r ＋1BA u u u r ＋1A F u u u u r

＝121B B u

u u u r －1A B u u u u r ＋12

11A D u u u u r