应用多元统计分析课后答案

应用多元统计分析课后答案

第二章

2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。

解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，12(,,)p X X X X '=的

联合分布密度函数是一个p 维的函数，而边际分布讨论是12(,,)p X X X X '=的子向量的

概率分布，其概率密度函数的维数小于p 。

2.2设二维随机向量1

2()X X '服从二元正态分布，写出其联合分布。

解：设1

2()X X '的均值向量为()1

2μμ'=μ，协方差矩阵为21122212σσσσ⎛⎫ ⎪⎝⎭

，则其联合分布密度函数为

1/2

12

2

2112112

22

2122121()exp ()()2f σσσσσσσσ--⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪'=---⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭⎪⎪⎩⎭

x x μx μ。

2.3已知随机向量1

2()X X '的联合密度函数为

12121222

2[()()()()2()()]

(,)()()d c x a b a x c x a x c f x x b a d c --+-----=

--

其中1a x b ≤≤，2c x d ≤≤。求

（1）随机变量1X 和2X 的边缘密度函数、均值和方差； （2）随机变量1X 和2X 的协方差和相关系数； （3）判断1X 和2X 是否相互独立。

（1）解：随机变量1X 和2X 的边缘密度函数、均值和方差；

11212122

2[()()()()2()()]

()()()d

x c

d c x a b a x c x a x c f x dx b a d c --+-----=--⎰

1221222222

2()()2[()()2()()]()()()()

d

d c c d c x a x b a x c x a x c dx b a d c b a d c -------=+----⎰ 1212222

2()()2[()2()]

()()()()

d

d c

c d c x a x b a t x a t dt b a d c b a d c ------=

+----⎰

2212122

22

2()()[()2()]1()()()()d c

d

c

d c x a x b a t x a t b a d c b a d c b a

------=

+

=

----- 所以

由于1X 服从均匀分布，则均值为2b a +，方差为

()2

12

b a -。

同理，由于2X 服从均匀分布[]2121,()0

x x c d f x d c

⎧∈⎪

=-⎨⎪⎩其它

，则均值为

2

d c

+，方差为

()2

12

d c -。

（2）解：随机变量1X 和2X 的协方差和相关系数；

12cov(,)

x x

12121212222[()()()()2()()]22()()d

b

c

a d c x a

b a x

c x a x c a b

d c x x dx dx b a d c --+-----++⎛

⎫⎛⎫=-- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭

⎰

⎰

()()

36

c d b a --=

1

2

12cov(,)

13

x x

x x ρσσ=

=

（3）解：判断1X 和2X 是否相互独立。

1X 和2X 由于121212(,)()()x x f x x f x f x ≠，所以不独立。

2.4设12(,,)p X X X X '=服从正态分布，已知其协方差矩阵∑为对角阵，证明其分量是相

互独立的随机变量。

解： 因为12(,,

)p X X X X '=的密度函数为

1/21

11(,...,)exp ()()2p

p f x x --⎧⎫'=---⎨⎬⎩⎭Σx μΣx μ 又由于2

12

2

2p σσσ⎛⎫

⎪

⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

Σ 22

212

p

σσσ=Σ 21212

21

1

1p σσσ-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

Σ 则1(,...,)p f x x

211/22

22212

1

2211

1exp ()()21p

p p σσσσσσ--⎧⎫⎛⎫

⎪⎪ ⎪

⎪⎪ ⎪

⎪⎪ ⎪

⎪⎪ ⎪'==--=-⎨⎬

⎪

⎪⎪ ⎪

⎪⎪ ⎪

⎪⎪ ⎪⎪⎪

⎪⎝⎭⎩

⎭

Σx μΣx

μ

()

2221

231112222

12()()()111exp ...222p

p p p p x x x μμμσσσσσσ-⎧⎫---⎪⎪

=----⎨⎬⎪⎪⎩⎭

212

1()()...()2p

i i p i i x f x f x μσ=⎧⎫-=-=⎨⎬⎩

⎭