薛定谔方程一维情况

其中L为无限深势阱宽度，c 待定。
求：0 ~ L 3区间发现粒子的概率。 解： 由归一化条件
L
|
L
|2dx c2x2(L x)2dx
1
c2L5 1
0
0
30
得
c
30 L5
30 L5
x(
L
x)
L
L
P
3
|
0
|2
dx
3 0
30 L5
x2
(
L
x)2
dx
17 81
0.21
第15页 共30页
回到经典情况，能量连续。
O
n= 3
n= 2 n= 1
ax
第10页 共30页
2) 粒子在势阱中的概率分布
经典： 势阱中U = 0，粒子匀速直线运动 粒子在势阱内各处出现的概率相等
量子： 振幅函数 (x) 2 sin n πx
aa
大学物理
波函数
Ψ (x,t)
2
sin
n
π
x
e
i
Et
aa
(n 1,2,3,)
d2 ( x)
dx 2
2m 2
(E
U
)
(x)
0
大学物理
三维定态薛定谔方程
2
( x,
y,
z)
2m 2
(E
U
)
(
x,
y,
z)
0
一般形式薛定谔方程
HˆΨ i Ψ t
Hˆ
2
2
U (rwenku.baidu.com)
2m
第3页 共30页
大学物理
第四节 薛定谔方程应用举例(一维问题)
一、一维无限深势阱 模型的建立：微观粒子被局限于某区域中，并在该 区域内可以自由运动的问题简化模型。
E3 9E1
E2 4E1 E1
O
n =4
n =3 n =2 n =1
ax
x2
O
n =4
n =3 n =2 n =1
ax
第12页 共30页
Ψ x,t
E4 16E1
n =4
x2
大学物理
n =4
E3 9E1
E2 4E1 E1
O
n =3 n =2 n =1
ax O
n =3
n =2 n =1
ax
设粒子在一维无限深势阱运动 势函数 U(x) = 0 (0 < x < a)
x 0, x a
U
代入一维定态薛定谔方程的
一般形式 d2
d x2
2m 2
(
E
U
)
0
O
ax
d2
d x2
2m 2
E
0
(0 x a)
d2
d x2
2m 2
E
0
(x 0, x a)
第5页 共30页
2. 求解波函数
U
两端为波节， |Ψ |2 0， 粒子不能逸出势阱。 阱内各位置粒子出现概率不同， |Ψ |2峰值处较大。 能级越高，驻波波长越短，峰值数增多。
|Ψ |2 相同，量子 经典
归一化条件，曲线下面积相等。
第13页 共30页
大学物理
练习 粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动，处于
n=1状态，求在0 ~ a 区间发现该粒子的概率。 4
E n= 4
n= 3 n= 2
最小能量E1即零点能,
n= 1
O
ax
粒子不可能静止不动，满足不确定关系
第9页 共30页
由
E
k 22 2m
n2 π2 2 2ma 2
n2E1
(n 1,2,3,)
大学物理
E
En1
En
2n
1
π2 2 2ma 2
E
n E
n= 4
a E
ma 2 2 E 0
概率密度 |Ψ (x,t) |2 | (x) |2 2 sin2 n π x
aa
波函数为驻波形式，势阱中不同位置强度不等，粒子 出现的概率不相同。
第11页 共30页
大学物理
Ψ (x,t)
2
sin
n
π
x
e
i
Et
|Ψ (x,t) |2| (x) |2 2 sin2 n π x
aa
aa
Ψ x,t
E4 16E1
2
sin
n
π
x
e
i
Et
aa
注意： 解为驻波形式
(n 1,2,3,)
第8页 共30页
4.讨论解的物理意义
大学物理
1) 无限深势阱中粒子的能量量子化
由
k2
2mE 2
,
k
n
a
得
E
k 22 2m
n2 π2 2 2ma 2
n2E1
(n 1,2,3,)
E只能取一系列分离值n2E1
式中
E1
π2 2 2ma 2
例如： 金属中自由电子
受规则排列的晶格点阵作用
U
简 相互碰撞(简化：交换动量)
化
U
只考虑边界上突然升高的势
能墙的阻碍 —— 势阱
o
a
认为金属中自由电子不能逸出表面 U
——无限深势阱
可解释金属导热、导电、顺磁性…...
o
a
第4页 共30页
求解步骤：
大学物理
1. 写出具体问题中势函数U(r)的形式，代入一维定态 薛定谔方程的一般形式，得本问题中的薛定谔方程。
大学物理
3. 用归一化条件和标准条件确定积分常数A、B
(x) Asin kx B coskx
由波函数标准条件(单值、有限、 连续)得边界条件：
U
(0) (a) 0
由（0） 0 得 B = 0
(x) Asin kx
O
ax
由 (a) 0
得 Asinka 0
k n π (n 1,2,3,) a
大学物理
练习 设粒子沿 x 方向运动，其波函数为 x A
1 ix 1) 将此波函数归一化。
2) 求出粒子按坐标的概率分布函数和概率密度。
3) 在何处找到粒子的概率密度最大？
解： 1) 由归一化条件
A
1 ix
2
dx
A2 1 x2
dx
A2arctgx
A2
π
1
得： A 1 π
解： | |2 2 sin2 πx
aa
a
a
P
4
| |2 d x
4 2 sin2 x d x
0
0a
a
a
4 2 a sin2 π x d( π x )
0aπ
aa
a
2
(
1 2
π
x
1
sin
2πx)
4
9.08%
πa 4 a
0 第14页 共30页
大学物理
练习 已知：一粒子分布函数为 cx(L x)
d2
d x2
2m 2
E
0
(0 x a)
d2
d x2
2m 2
E
0
(x 0, x a)
O
粒子不能逸出势阱, (x0, xa) 区域 0
大学物理
ax
由
d2
dx2
2mE 2
0
0 x a
令
k2
2mE 2
得
d2
dx2
k 2
0
通解: (x) Asin kx B coskx
积分常数
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(x) Asin n π x (n 1,2,3,)
a
第7页 共30页
(x) Asin n π x (n 1,2,3,)
a
由归一化条件 | |2dx 1
*
d
x
a
A2
sin2
n
πx
d
x
1
0
a
大学物理
A 2 a
于是： (x) 2 sin n πx (n 1,2,3,)
aa
Ψ (x,t)
同学们好！
上讲内容：
大学物理
1) 微观粒子的波函数描述。 2) 波函数的统计解释。
➢ t 时刻，出现在空间(x,y,z)点附近单位体积内的 粒子数与总粒子数之比
➢ t 时刻，粒子出现在空间(x,y,z)点附近单位体积 内的概率
➢ t 时刻，粒子在空间的概率密度分布
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3. 一维定态薛定谔方程