薛定谔方程一维情况
-薛定谔方程
§12－6 薛定谔方程德布洛意关于物质波的概念传到苏黎世后，薛定谔作了一个关于物质波的报告。
报告后， 德拜(P.Debye)评论说：有了波，就应有一个波动方程。
几个月后，薛定谔果然提出了一个波方程，这就是后来在量子力学中著名的薛定谔方程。
薛定谔方程是量子力学的动力学方程，象牛顿方程一样，不能从更基本的方程推导出来，它是否正确，只能由实验检验。
一、薛定谔方程 1 一维薛定谔方程1）一维自由运动粒子(无势场)设：一维自由运动粒子，无势场，不受力，动量不变。
一维自由运动粒子的波函数(前已讲)ψ(x , t ) = ψ0 e -i(2π/h ) (Et - px )由此有再利用 可得此即一维自由运动粒子(无势场)的含时薛定谔方程。
2）若粒子在势场U (x , t ) 中运动由 有此即一维自由运动粒子在势场中的含时薛定谔方程。
3）定态薛定谔方程若粒子在恒定势场U = U (x )中运动，微观粒子的势能仅是坐标的函数，与时间无关，可把上式中的波函数分成坐标函数与时间函数的乘积，即2222ip x hp x hψψψψ∂=∂∂=-∂22p E m=222282h h i m x tψψππ∂∂-=∂∂22p p E E m =+222282p h h E i m x tψψψππ∂∂-+=∂∂2(,)()()()iEt hx t x f t x eπψϕϕ-==式中 ψ =ψ (x , t )是粒子在势场U = U (x , t )中运动的波函数。
将ψ =ψ (x , t ) = ψ(x )T (t )代入得一维定态薛定谔方程式中ψ =ψ (x )是定态波函数，它所描写的粒子的状态称作定态，是能量取确值的状态。
定态的概率密度ψ(x ,t ) ψ*(x ,t ) = ψ (x ) ψ *(x ) 定态下的概率密度和时间无关。
在量子力学中用薛定谔方程式加上波函数的物理条件，求解微观粒子在一定的势场中的运动问题(求波函数，状态能量，概率密度等)。
薛定谔方程
k0 a =0 , k0 a = 2π ,4π ,6π ,… 2 (8) k0 a k0 a = π ,3π ,5π ,… 奇宇称 cos 2 = 0 , 亦即阱口刚好出现束缚态能级的条件为 k0 = nπ , n = 1 , 2 ,3 ,… (9)
偶宇称 sin
(10) 即 2mV0 a2 h2 = n2π 2 . 2 2 2 一维势阱至少有一个束缚能级.因此, 如 2mV0a h < π , 2 2 2 只存在一个束缚态,偶宇称(基态). 如 2mV0a h = π , 除基态外,阱口将再出现一个奇宇称能级,共二个能级. 2 2 2 如 2mV0a h = (2π ) , 阱口将出现第三个能级(偶宇称). 依次类推.由此可知,对于任何 V0a2值,束缚态能级总数 为 a Nn = 1+ 2mV0 , (11) hπ
ψ = sin η x
x <a
ψ = D sin k ( L − x ) a< x <L (-L<x<-a区间的ψ 可以按偶函数条件写出）能级方程为
(12)
kctgk ( L − a ) = −η cthη a,
(13)
11
讨论
如
a → 0, V0 → ∞,
2aV0 → U0
0
，则
−a
∫ V ( x)dx = 2aV
∑
C n (ih
(12 )
ˆ = ih 其中 x
∂ ∂p
(13 )
代入式(10),即得
p2 ∂ Ψ ( p) + V (ih )Ψ( p) = EΨ ( p) 2m ∂p (14)
例四 粒子在图示之势场： 粒子在图示之势场：
V0 , V ( x ) = 0 , ∞,
15.6 波函数 一维定态薛定谔方程
2
2mE
2
2
, n 1, 2 ,
En n
π
2 2
,
n 1, 2 ,
2ma
n 为主量子数，表明粒子的能量是量子化的。
大学物理 第三次修订本
13
第15章 量子物理基础
波函数
nπ Ψ n x A sin a
2 a
x , n 1, 2 ,
i t Ψ (r , t ) Ψ (r )e
E
定态薛定谔方程
2m 2 2 2 Ψ( r ) 2 E V Ψ(r ) 0 x y z
2 2 2
若粒子在一维空间运动，则
d Ψ x
2
dx
2
2m
大学物理 第三次修订本
o
a
x
势能曲线
11
第15章 量子物理基础
薛定谔方程
d Ψ x
2
dx
2
2mE
2
Ψ x 0
d Ψ x
2
,0 xa
k Ψ x 0
2
令 k
2 mE
2
则
dx
2
方程通解
Ψ x A sin kx B cos kx
Ψ 利用边界条件 x = 0， 0 0 , 则 B = 0 。
物质波波函数是复数，它本身并不代表任 何可观测的物理量。 波函数是怎样描述微观粒子运动状态的？
大学物理 第三次修订本
3
第15章 量子物理基础
1926年德国物理学家玻恩提出了物质波的 统计解释：实物粒子的物质波是一种概率波, t 时刻粒子在空间 r 处附近的体积元 dV 中出现的 概率dW与该处波函数绝对值的平方成正比。
大学物理-一维定态薛定谔方程的应用
一维定态薛定谔方程的应用授课人：物理科学与技术学院势 阱日常生活中的各种井（阱）物理学中研究微观粒子运动状态时常用的模型，因其势能函数曲线的形状如同井而得名水井窨井陷阱UxOaU()U x xOa∞∞00()0 , x aU x x x a≤≤⎧=⎨∞<>⎩这是一个理想化的物理模型， 应用定态薛定谔方程求解波函数， 有利于进一步理解在微观系统中 能量量子化和概率密度等概念这样的势能函数称为 一维无限深势阱建立定态薛定谔方程并求解 假设微观粒子质量为 ，由 m 222d()()()2d U x x E x m x ψψ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦x a U x 0()0≤≤=阱内( ) ： 222d ()()2d x E x m xψψ-=x x a U x 0 , ()<>→∞阱外( )： 令： 222mE k =得通解： ()sin()x A kx ψϕ=+ 微观粒子的能量不可能达到无穷大，所以粒子不可能在阱外出现，或者说粒子在阱外出现的概率为零。
()0x ψ≡222d 0d k xψψ+=利用标准条件确定 和 k ϕ因 在整个 轴上必须连续 x ()x ψsin() 0()0 0 0A kx x ax x x ϕψ+≤≤⎧=⎨<>⎩，(0)sin 0A ψϕ== a A ka ()sin()0ψϕ=+=求归一化的波函数 一维无限深势阱中 微观粒子的波函数2220π()d sin d a n x x A x xa ψ+∞-∞=⎰⎰221A a =⋅= 2A a= n a x x a x ax x aπ2sin0()00 , ψ⎧≤≤⎪=⎨⎪<>⎩()π()sin 1,2,3n x A x n aψ==⋅⋅， 0ϕ=πn k a=()1,2,3n =⋅⋅⋅，微观粒子在势阱中的能量只能取一系列不连续的分立值，即能量是量子化的。
整数称为量子数 确定能量的可能取值n 由及 222mE k =πk an =得 ()2221,2,3,8n hma n E n ==⋅⋅⋅ 1n =时， 称基态能量 2128h E ma =2228n h n E ma=O4n =3n =2n =1n =基态2228n h n E ma=O4n =3n =2n =1n =基态能级间隔： ()212Δ218n n n h E E E n ma +=-=+2Δ1n E α∝表明： 当 时（宏观尺度）， a →∞Δ0n E →能级消失、能量连续分布，回归经典情况。
势箱中的粒子的薛定谔方程及其解
Ψ(x,y,z)需要三个量子数nx, ny,nz来同时描述.
对于a = b = c 的三维势箱,上式变为
h2 2 2 E= (n x + n y + n z2 ) 8ma 2
量子数nx, ny,nz不同的状态可能具有相同的能量数值, 例如量子数分别为2,2,3和1,0,4的两个状态,平方和 均为17,即这两个状态属于简并状态.
(烯基发色团(-CH=CH)的平均长度为248 pm,实验测出两段 共外延伸的长度为565pm, 故箱总长 l = 248r + 565 pm) r 1 2 3 λ max(计算值)/pm 311.6 412.8 514.0 λ max (实验值)/pm 309.0 409.0 511.0
二. 三维势箱
8π 2 mE sin l=0 h
正弦函数只有在0,±π, ±2π, ±3π… 时才会为零,
8π 2 mE l = nπ h
能级公式
n2h2 E= 8ml 2
n=1,2,3,
将 得
8π mE l = nπ h
2
8π 2 mE x 代入 ψ ( x) = c 2 sin h
nπ x l
ψ ( x) = c 2 sin
8π 2 mE 8π 2 mE limψ ( x) = lim{c1 cos x + c2 sin x} x →0 x →0 h h = c1 cos 0 + c2 sin 0 = 0
即c1=0
8π 2 mE ψ ( x) = c 2 sin x h
limψ ( x ) = 0
x →l
8π 2 mE 8π 2 mE x = c 2 sin limψ ( x) = lim c 2 sin l=0 x →l x →l h h
一维薛定谔方程求解
一维薛定谔方程求解
薛定谔方程是研究量子力学的基本方程之一，用于描述微观粒子（如电子、原子、分子等）在时间和空间中的运动和状态。
在一维情况下，薛定谔方程可以写为：
iψ(x,t)/t = -^2/2m ^2ψ(x,t)/x^2 + V(x)ψ(x,t) 其中，ψ(x,t)是波函数，描述了粒子在时空中的状态；m是粒子的质量；V(x)是势能函数，描述了粒子在不同位置的势能。
这个方程可以通过一些数值方法来求解，例如有限差分法、谱方法等。
其中，有限差分法是一种简单易懂的数值求解方法，它将微分方程转化为差分方程，通过在空间和时间上进行离散化，用有限差分代替微分，从而得到数值解。
在求解一维薛定谔方程时，我们可以采用中心差分法或向前/向后差分法来进行空间和时间上的离散化，并利用迭代法或解析法来求解差分方程。
另外，谱方法也是一种常用的数值求解方法，它将波函数表示为一组基函数的线性组合，通过对基函数的选择和系数的计算，得到波函数的数值解。
在求解一维薛定谔方程时，我们可以选择正交多项式作为基函数，例如拉盖尔多项式、切比雪夫多项式等，利用计算机进行系数的计算，从而得到波函数的数值解。
总之，在求解一维薛定谔方程时，我们可以利用有限差分法或谱方法进行数值求解，得到粒子在时空中的波函数和状态。
这些数值解可以用来研究微观粒子的运动和相互作用，对于理解和设计材料、药物、电子器件等具有重要的理论和实际意义。
18.4薛定谔方程在一维定态问题中的应用
48个Fe原子形成“量子围栏”，围栏中的电子形成驻波.
2
E
2
k1
ik1x
2mE 2
O
V V0
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
E
1 Ae
ik1x
Be
V 0
V 0
Ⅱ 区薛定谔方程为：
2 2 2 k2 2 0 2 x
x1
x2
x
k2
2
2m( V0 E ) 2
2 A2e k x B 2e k x
2 2
Ⅲ 区薛定谔方程为：
2 2 d x ˆ H x U x x E x 2 2m dx
2 d 2 x E x 阱内 2 2m dx 2 d 2 x U x x E x 阱外 2 2m dx
（2）定态薛定谔方程的通解
2 d 2 x E x 阱内 2 2m dx 2 d 2 x U x x E x 阱外 2 2m dx
阱外：
(x ) 0
阱内： 令
2
k
2
d x 2 k x 0 2 dx
2 3 2 k3 3 0 2 x
k3
2
2mE 2
3 A3e
ik3x
Ⅰ区粒子进入Ⅲ区的概率为
E E
O
Ⅰ
V V0
Ⅱ Ⅲ
P
3 x 1 x
2
2
2
2 x 2 x
2
2
2
e
2a 2 m(V 0 E )
V 0
V 0
薛定谔方程一维情况
E只能取一系列分离值 2 E1 n
π2 2 式中 E1 2m a2
O 粒子不可能静止不动，满足不确定关系
n=4 n=3 n=2 n=1
最小能量E1即零点能,
a
x
第9页 共30页
大学物理
由
k 22 n 2 π 2 2 E n 2 E1 (n 1,2,3,) 2m 2m a2
O
a
x
1 ( 0) 2 ( 0) d 1 d 2
dx dx 2 (a ) 3 (a ) ( 0)
可解得
( 0)
A2 , A3 B1 , B2
第20页 共30页
d 2 d 3 (a ) (a ) dx dx
大学物理
U
入射波+反射波
U0
透射波
O 经典
E U0
解：
1 2 5 | | dx c x ( L x) dx 30 c L 1 0 0
2 2 2 2
L
L
得
30 c 5 L
L 3 2
30 5 x( L x ) L
L 3
30 2 17 2 P | | dx 5 x ( L x ) dx 0.21 L 81 0 0
d 2 2m 2 E 0 (0 x a ) 2 dx
O
a
x
d 2 2m 2 E 0 ( x 0, x a ) 2 dx
第5页 共30页
2. 求解波函数 d 2 2m 2 E 0 (0 x a ) 2 dx
d 2 2m 2 E 0 ( x 0, x a ) 2 dx
2
薛定谔方程一维运动
薛定谔方程&一维运动曾超王泉袁强张善良肖智磊王明12一、小结薛定谔方程（1）在经典力学中力学运动规律由牛顿第二定律即描述，在初始运动状态已知的情况下通过解牛顿运动方程我们可以知道接下来任意时刻物体的运动情况。
F ma4薛定谔方程（3）波恩对此给出了解释：这也正是理论物理学家唯一能告诉实验物理学家的。
这也正是量子力学的研究对象—微观粒子所特有的波粒二象性。
可以说正是这一特性才导致了量子力学与经典力学的格格不入。
b 2a |(,)|{t ab }x t dx 在时刻发现粒子处于和之间的概率5薛定谔方程（4）归一化：没有这个要求，波函数的统计诠释将没有意义。
但是物理上要求波函数随时间演化时也能保持归一性（因为我们不能让A 变成时间的函数来保持波函数的归一性，那样的话它就不是薛定谔方程的解了。
）+2-|(,)|1x t dx02220202(2(2)n z z n n n V m a z、深宽势阱。
如果非常大，交点在略小于为奇数处、浅窄势阱。
当降低时，束缚态越来越少，但是总是至少存在一个束缚态。
——有限深方势阱（02220222()=1,2(2)n n am E V n n T n E V m a当上式中的正弦函数为零时，即时，其中为任意整数，（势阱成为透明的）。
完全透射时的能量为：这恰好是一维无限深方势阱所允许的能量。
)1数值解这个超越方程（见图）= 9.4236三、课外扩展量子密码术391，现状目前主要有两种密码体制•秘密钥密码体制在该体制中，加密密钥和解密密钥相同或可以互推，通信双方之间的密钥分配通常是采用双方会晤或互派信使等方式来完成。
密钥的载体（如密码本、软盘等），都是经典的客体。
很容易理解，经典信息可以任意复制原则上不会留下任何印迹，因而密钥在分发和保存过程中合法用户无法判断是否已被窃听；•公开钥密码体制在该体制中，加密密钥和解密密钥不相同且不可以互推。
它可以为事先没有共享密钥的双方提供40安全的通信。
第32讲 薛定谔方程 一维势阱
要使由定态薛定谔方程解出的Φ(x)合理，必须 满足单值、有限、连续和归一化条件。
在一般情况下， ( x )的具体函数形式取决于势场 的性质，只要势场不随时间变化，粒子的波函数总具 有以下形式 i Et (x ) ─定态波函数 ( x , t ) ( x )e 粒子在空间的概率密度
——势场中粒子的一维含时薛定谔方程
2 ＝-i E t h
E = Ek+Ep
p Ek 2m
2
2 4 2 p2 ＝ 2 2 x h
3. 定态薛定谔方程 若粒子的势能Ep与时间无关,仅是坐标的函数,在 数学上就可以对波函数分离变量，即
( x, t ) ( x ) f (t )
h2 2 ( x, t ) h ( x, t ) E p ( x, t ) i 代入 2 2 8 m x 2 t
得
h2 2 ( x ) h f (t ) 2 f (t ) E p ( x ) f (t ) i ( x) 2 8 m x 2 t
8 2 m x 2 2 t
——自由粒子的一维含时薛定谔方程
2. 势场中粒子的一维含时薛定谔方程
非自由粒子
若粒子在势能为Ep的力场中运动，则只要将能量 E用Ek+Ep替代，可得
h2 2 ( x, t ) h ( x, t ) 2 E p ( x, t ) i 2 8 m x 2 t
势能零点的选取有任意性。
x0
xa
II. 势能函数
0 (0 x a ) U ( x) ( x 0 , x a )
d 2 ( x ) 8 2 m III. 薛定谔方程 2 ( E p E ) ( x ) 2 dx h
一维定态薛定谔方程束缚态波函数节点定理的证明
一维定态薛定谔方程束缚态波函数节点定理的证明
一维定态薛定谔方程的绑定态波函数节点定理的证明
薛定谔方程是量子力学中最重要的方程之一，为了研究一维定态的薛定谔方程，我们需要证明一维定态薛定谔方程的绑定态波函数节点定理。
绑定态波函数节点定理指的是一维定态薛定谔方程的绑定态波函数有正数个空间节点。
证明此定理，需要先考察一维定态薛定谔方程的基本特征，我们知道，一维定态薛定谔方程有解析解，其解析解可以用线性组合的正解和负解来表示，绑定态波函数由正解和负解的正常化来构造。
因此，用正解和负解构造的绑定态波函数在空间上的变化有两个特点：一是，正解的行为曲线在正半轴上呈抛物线形，负解的行为曲线在负半轴上呈抛物线形；二是，正解和负解之间该行为曲线穿过定点，即抛物线顶点。
因此，绑定态波函数在空间上的变化必然有正数个空间节点，这就是一维定谔方程的绑定波函数节点定理的证明。
综上所述，证明了一维定态薛定谔方程中的绑定态波函数节点定理，即绑定态波函数有正数个空间节点，这在证明量子力学的研究中具有重要的意义。
大学物理 薛定谔方程
说明 E:
——一维定态薛定谔方程 一维定态薛定谔方程
粒子能量 ; Ψ (x): 定态波函数 定态波函数. 概率密度在空间上的分布稳定. 概率密度在空间上的分布稳定
r r −i E t r 2 r 2 h Ψ(r , t ) =ψ (r )e ⇒ Ψ(r , t ) = ψ (r )
定态: 定态
3.波函数的标准条件： 波函数的标准条件： 波函数的标准条件
单值、连续、有限. 单值、连续、有限
4.波函数的性质： 波函数的性质： 波函数的性质
描写同一状态(C为常量 （1）ψ与 Cψ描写同一状态 为常量 ） 与 描写同一状态 为常量); 因为粒子出现的概率仅具有相对意义。 因为粒子出现的概率仅具有相对意义。 （2）|ψ|2 满足归一化条件 满足归一化条件: ）
P = ∫ ψn (x) dx = ∫
2 a 4 0 a 4 0
1 1 nπ 2 2 nπx sin sin dx = − 4 2π n 2 a a
a
n =1
n=∞
9 P= 1 100 25 P= 2 100
0
2 2 nπx ψn (x) = sin a a
2
0
a
（2）a/4 处的概率密度 ）
2 2 nπ a 2 2 nπ a ψn ( ) = sin ( ⋅ ) = sin 4 a a 4 a 4
Ψ (x)
n =4
当n很大时, 很大时, 很大时 量子概率分 布就接近经 典分布
n =3 n =2 n =1 a 0
0
a
3.一维无限深势阱粒子的驻波特征 3.一维无限深势阱粒子的驻波特征
E3 = 32 E1
E2 = 22 E1
E1
0
12-6 薛定谔方程
§12－6 薛定谔方程德布洛意关于物质波的概念传到苏黎世后，薛定谔作了一个关于物质波的报告。
报告后， 德拜(P.Debye)评论说：有了波，就应有一个波动方程。
几个月后，薛定谔果然提出了一个波方程，这就是后来在量子力学中著名的薛定谔方程。
薛定谔方程是量子力学的动力学方程，象牛顿方程一样，不能从更基本的方程推导出来，它是否正确，只能由实验检验。
一、薛定谔方程 1 一维薛定谔方程1）一维自由运动粒子(无势场)设：一维自由运动粒子，无势场，不受力，动量不变。
一维自由运动粒子的波函数(前已讲)ψ(x , t ) = ψ0 e -i(2π/h ) (Et - px )由此有再利用 可得此即一维自由运动粒子(无势场)的含时薛定谔方程。
2）若粒子在势场U (x , t ) 中运动由 有此即一维自由运动粒子在势场中的含时薛定谔方程。
3）定态薛定谔方程若粒子在恒定势场U = U (x )中运动，微观粒子的势能仅是坐标的函数，与时间无关，可把上式中的波函数分成坐标函数与时间函数的乘积，即2222ip x hp x hψψψψ∂=∂∂=-∂22p E m=222282h h i m x tψψππ∂∂-=∂∂22p p E E m =+222282p h h E i m x tψψψππ∂∂-+=∂∂2(,)()()()iEt hx t x f t x eπψϕϕ-==式中 ψ =ψ (x , t )是粒子在势场U = U (x , t )中运动的波函数。
将ψ =ψ (x , t ) = ψ(x )T (t )代入得一维定态薛定谔方程式中ψ =ψ (x )是定态波函数，它所描写的粒子的状态称作定态，是能量取确值的状态。
定态的概率密度ψ(x ,t ) ψ*(x ,t ) = ψ (x ) ψ *(x ) 定态下的概率密度和时间无关。
在量子力学中用薛定谔方程式加上波函数的物理条件，求解微观粒子在一定的势场中的运动问题(求波函数，状态能量，概率密度等)。
量子物理基础 15.6 波函数 一维定态薛定谔方程
N
摄谱仪
v0 +△v v0 v0 - △ v
S z e
磁 矩 r
(2) 解释
• 磁场作用下的原子附加能量 磁矩和角动量的关系
r L
e r µ =− L 2me r
的方向） 向 z 轴（外磁场 B 的方向）投影
µ
e e µz = − Lz = − (mlh) = −ml µB µB ——玻尔磁子 2me 2me r r 由于磁场作用, 由于磁场作用 原子附加能量为 ∆E = −µ ⋅ B= −µ cosθ B l µBB = −µz B = m
2 (k12 − k2 )2 sin 2 (k2a) R= 2 2 2 (k1 − k2 ) sin 2 (k2a) + 4k12k2 2 4k12k2 T= 2 2 2 (k1 − k2 ) sin 2 (k2a) + 4k12k2
U0
Ⅰ
E
Ⅱ
Ⅲ
T + R =1
讨论
0
a
入射粒子一部分透射到达 III 区，另一部分被势垒反射回 I 区 。
N=3000 电子数 N=7 N=70000 N=20000 电子数 N=100 电子 双缝 干涉 图样
• t 时刻 , 粒子在 r 处 dV 内出现的概率 粒子在 r 2 dW =| Ψ(r , t) | dV r * r =Ψ(r , t)Ψ (r , t)dV
r Ψ(r ,t)
r r
o
dV
说明 • t 时刻 , 粒子在 r 处 dV 内出现的概率 粒子在
0 < x < a 区域，定态薛定谔方程为 区域，
d2Ψ( x) 2mE + 2 Ψ( x) = 0 2 dx h
量子物理第3讲——薛定谔方程 定态薛定谔方程 一维无限深势阱 一维有限高势垒【VIP专享】
C2 l / 2, l 为整数，但奇偶性与n相反 . 11
所以
(x)
C1
cos(n
a
x
l ).
2
归一化：
a/2 | (x) |2
a/ 2
dx
1 2
aC12
1
C1 2 / a .
波函数： (x) 2 cos( n x l ) ,
a a2
几率密度： (x) 2 2 cos2 (n x l ) ,
微粒在体积元 dV内出现的概率为：
dW | (x, y, z,t) |2 dV
2
波函数的归一化条件：
(x, y, z,t) 2 dV 1
波函数的标准条件：单值、有限、连续。 坐标和动量的不确定度关系
x Px / 2
能量和时间的不确定度关系
E t / 2
3
六、薛定谔方程
1、薛定谔方程
来源：基本假定之一，不可证明，只可检验。
地位：低速运动微观粒子的基本规律，地位同牛顿 定律。
成功解释氢原子能级和电（磁）场中氢原子光谱线 的分裂， 分享1933年Nobel物理奖。
6
2、定态薛定谔方程
定态：粒子于力场中运动时，势能与时间无关， 总能量不随时间变化的状态。
定态波函数：用于描述处于定态的粒子的波函数。
量子物理第3讲 ——薛定谔方程 定态薛定谔方程
一维无限深势阱 一维有限高势垒
主要内容
六、薛定谔方程
1
德布罗意公式
v E mc2 , h h .
hh
P m
自由粒子物质波的波函数
(r ,
t
)
0e
i(
Et
Pr)
在某处发现一个微粒的概率正比于描述该微粒的 波函数振幅的平方。
量子笔记1 —— 一维薛定谔方程
量子笔记1 —— 一维薛定谔方程给出某种一维势，求解一维薛定谔方程的束缚定态解及其能级的题目是常见的量子力学的题型之一，这种题型的求解虽有其固有模式，但具体处理过程中也牵涉到很多技巧和要注意之处。
下面我通过两个例子来试图对其解题模式和某些解题过程中的常见技巧和经验作出一个概括性的总结，作为量子力学复习的第一阶段的一个阶段性小结。
例一. 质量为μ的粒子在一维势场()()⎩⎨⎧><=''+-=0,V 00V V V 0x x x x ，，αδ 中运动，其中α与0V 均为实数。
（1）试给出存在束缚态的条件，并给出其能量本征值和相应的本征函数。
（2）给出粒子处于0>x 区域中的概率，它是大于1/2，还是小于1/2，为什么？解：在此势场中的束缚定态能量E<0，令202E V 2,E 2）（）（-=-=μγμβ （1）不包括x=0点的定态方程为0),()(0),()(222222>=<=x x x d x x dx x d ψγψψβψ （2） )(x ψ满足条件0)(),0()0(=±∞=-+ψψψ （3）)0(2)0()0(2ψμαψψ -='-'-+ （4）方程（2）满足条件（3）的解为⎨⎧><=-0,0,)(x Ae x Ae x x x γβψ（5）将式（5）代入式（4）中得22 μαβγ=+ 或者 2220)(22)(2 E E V --=-μμαμ （6） 式（6）两边平方，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-0222221)(2V E μααμ （7） 显然，E 有解的条件是0222V > μα，这正是存在束缚态的条件。
由式（7）得 20222228⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=V E μαμα （8） 相应的波函数如式（5）所得，其中β与γ是由式（1）与式（8）决定的已知量。
常数A 由归一化条件确定为 γββγ+=2A21A 02<+=⎰∞-γββγdx e x 这是因为β>0，γ>0，γβ<.例二. 一个质量为μ的粒子在一维势场⎩⎨⎧<<-><∞=a x a x a x x x 0),2/(,0,)(V αδ 其中，α和a 是正的常数，求第一激发态能量，并讨论0→α时的定态能量。
薛定谔方程+一维势阱04
例如： 对于
都满足：
但该方程不具有普遍性，因它只能满足特定动量P 和能量 E 的波。
2、单能粒子（沿x方向匀速直线运动） 沿x方向运动的动能为E和动量为P的自由粒子的波函数
（3）由波函数给出不同地点、时刻粒子的几率密度||2
下面以一维无限深势阱为例，求解定态薛定谔方程
§8 一维无限深方势阱
1、以一维定态为例，求解已知势场的定态薛定谔方程。了解怎样确定 定态的能量E，从而看出能量量子化是薛定谔方程的自然结果.
V ( x) 0, 已知粒子所处的势场为： V ( x) ,
两边除以 (r ) f (t ) 可得：
1 2 2 1 df (t ) (r ) V (r ) (r )] i [ ( r ) 2m f (t ) dt
由于空间变量与时间变量相互独立，所以等式两边必须等于同
一个常数，设为E则有：
2 2 [ V (r )] (r ) E (r ) 2m
i ( x, t ) i p E ( x, t ) x t
若现在利用E=P2/2m 消去E、P将得到一个含 ( / x) 2 的非线性方程，不满足条件（2），所以再微分
2 p 2 x
2 2
( x, t ) i E ( x, t ) t
粒子在势阱内受力为零，势能为0。 在阱外势能为无穷大，在阱壁上受 极大的斥力。称为一维无限深势阱。 其定态薛定谔方程：
0 xa x 0, x a
V (x)
2 d 2 ( x) V ( x) ( x) E ( x) 2 2m dx
薛定谔方程一维情况
n =4
x2
大学物理
n =4
E3 9E1
E2 4E1 E1
O
n =3 n =2 n =1
ax O
n =3
n =2 n =1
ax
两端为波|节 Ψ|2， 0，粒子不能逸出势阱。 阱内各位置粒子出现概率不同， | Ψ |2峰值处较大。 能级越高，驻波波长越短，峰值数增多。
|Ψ|2 相同，量 经 子典 归一化条件，曲线下面积相等。
乘
i Et
e
第一项：向x方向传播的波
[例
A e ] i(k1xEt) 1
第二项：向-x方向传播的波
[例
B e ] i(k1xEt) 1
第19页 共30页
通解:
1 A 1 e i1 k x B 1 e i1 k x (x 0 ) U
2 A 2 e i2 x k B 2 e i2 x k( 0 x a )
同学们好！
上讲内容：
大学物理
1) 微观粒子的波函数描述。 2) 波函数的统计解释。
➢ t 时刻，出现在空间(x,y,z)点附近单位体积内的 粒子数与总粒子数之比
➢ t 时刻，粒子出现在空间(x,y,z)点附近单位体积 内的概率
➢ t 时刻，粒子在空间的概率密度分布
第2页 共30页
3. 一维定态薛定谔方程
第13页 共30页
大学物理
练习 粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动，处于
n=1状态，求在0~ a区间发现该粒子的。概率
4
解： ||22sin2 πx
aa
a
a
P
4
||2dx
42si2nxdx
0
0a a
a
42 asin2 πxd(πx) 0aπ a a a
薛定谔方程及提出背景
薛定谔方程在一维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为；(1)其中，是质量，是位置，是相依于时间的波函数，是约化普朗克常数，是位势。
类似地，在三维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为。
(2)假假设，系统内有个粒子，那么波函数是定义于 -位形空间，所有可能的粒子位置空间。
用方程表达，。
其中，波函数的第个参数是第个粒子的位置。
所以，第个粒子的位置是。
不含时薛定谔方程不含时薛定谔方程不相依于时间，又称为本征能量薛定谔方程，或定态薛定谔方程。
顾名思义，本征能量薛定谔方程，可以用来计算粒子的本征能量与其它相关的量子性质。
应用别离变量法，猜测的函数形式为；其中，是别离常数，是对应于的函数．稍回儿，我们会发觉就是能量．代入这猜测解，经过一番运算，含时薛定谔方程(1)会变为不含时薛定谔方程：。
类似地，方程(2)变为。
历史背景与开展爱因斯坦诠释普朗克的量子为光子，光波的粒子；也就是说，光波具有粒子的性质，一种很奇奥的波粒二象性。
他建议光子的能量与频率成正比。
在相对论里，能量与动量之间的关系跟频率与波数之间的关系相同，所以，连带地，光子的动量与波数成正比。
1924年，路易·德布罗意提出一个惊人的假设，每一种粒子都具有波粒二象性。
电子也有这种性质。
电子是一种波动，是电子波。
电子的能量与动量决定了它的物质波的频率与波数。
1927年，克林顿·戴维孙和雷斯特·革末将缓慢移动的电子射击于镍晶体标靶。
然后，测量反射的强度，侦测结果与X射线根据布拉格定律(Bragg'slaw)计算的衍射图案相同。
戴维森-革末实验彻底的证明了德布罗意假说。
薛定谔夜以继日地思考这些先进理论，既然粒子具有波粒二象性，应该会有一个反响这特性的波动方程，能够正确地描述粒子的量子行为。
于是，薛定谔试着寻找一个波动方程。
哈密顿先前的研究引导著薛定谔的思路，在牛顿力学与光学之间，有一种类比，隐蔽地暗藏于一个发觉里。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
求：0 ~ L 3区间发现粒子的概率。 解： 由归一化条件
L
|
L
|2dx c2x2(L x)2dx
1
c2L5 1
0
0
30
得
c
30 L5
30 L5
x(
L
x)
L
L
P
3
|
0
|2
dx
3 0
30 L5
x2
(
L
x)2
dx
17 81
0.21
第15页 共30页
2
sin
n
π
x
e
i
Et
aa
注意： 解为驻波形式
(n 1,2,3,)
第8页 共30页
4.讨论解的物理意义
大学物理
1) 无限深势阱中粒子的能量量子化
由
k2
2mE 2
,
k
n
a
得
E
k 22 2m
n2 π2 2 2ma 2
n2E1
(n 1,2,3,)
E只能取一系列分离值n2E1
式中
E1
π2 2 2ma 2
设粒子在一维无限深势阱运动 势函数 U(x) = 0 (0 < x < a)
x 0, x a
U
代入一维定态薛定谔方程的
一般形式 d2
d x2
2m 2
(
E
U
)
0
O
ax
d2
d x2
2m 2
E
0
(0 x a)
d2
d x2
2m 2
E
0
(x 0, x a)
第5页 共30页
2. 求解波函数
U
(x) Asin n π x (n 1,2,3,)
a
第7页 共30页
(x) Asin n π x (n 1,2,3,)
a
由归一化条件 | |2dx 1
*
d
x
a
A2
sin2
n
πx
d
x
1
0
a
大学物理
A 2 a
于是： (x) 2 sin n πx (n 1,2,3,)
aa
Ψ (x,t)
解： | |2 2 sin2 πx
aa
a
a
P
4
| |2 d x
4 2 sin2 x d x
0
0a
a
a
4 2 a sin2 π x d( π x )
0aπ
aa
a
2
(
1 2
π
x
1
sin
2πx)
4
9.08%
πa 4 a
0 第14页 共30页
大学物理
练习 已知：一粒子分布函数为 cx(L x)
回到经典情况，能量连续。
O
n= 3
n= 2 n= 1
ax
第10页 共30页
2) 粒子在势阱中的概率分布
经典： 势阱中U = 0，粒子匀速直线运动 粒子在势阱内各处出现的概率相等
量子： 振幅函数 (x) 2 sin n πx
aa
大学物理
波函数
Ψ (x,t)
2
sin
n
π
x
e
i
Et
aa
(n 1,2,3,)
同学们好！
上讲内容：
大学物理
1) 微观粒子的波函数描述。 2) 波函数的统计解释。
➢ t 时刻，出现在空间(x,y,z)点附近单位体积内的 粒子数与总粒子数之比
➢ t 时刻，粒子出现在空间(x,y,z)点附近单位体积 内的概率
➢ t 时刻，粒子在空间的概率密度分布
第2页 共30页
3. 一维定态薛定谔方程
d2
d x2
2m 2
E
0
(0 x a)
d2
d x2
2m 2
E
0
(x 0, x a)
O
粒子不能逸出势阱, (x0, xa) 区域 0
大学物理
ax
由
d2
dx2
2mE 2
0
0 x a
令
k2
2mE 2
得
d2
dx2
k 2
0
通解: (x) Asin kx B coskx
积分常数
第6页 共30页
大学物理
3. 用归一化条件和标准条件确定积分常数A、B
(x) Asin kx B coskx
由波函数标准条件(单值、有限、 连续)得边界条件：
U
(0) (a) 0
由（0） 0 得 B = 0
(x) Asin kx
O
ax
由 (a) 0
得 Asinka 0
k n π (n 1,2,3,) a
E3 9E1
E2 4E1 E1
O
n =4
n =3 n =2 n =1
ax
x2
O
n =4
n =3 n =2 n =1
ax
第12页 共30页
Ψ x,t
E4 16E1
n =4
x2
大学物理
n =4
E3 9E1
E2 4E1 E1
O
n =3 n =2 n =1
ax O
n =3
n =2 n =1
ax
例如： 金属中自由电子
受规则排列的晶格点阵作用
U
简 相互碰撞(简化：交换动量)
化
U
只考虑边界上突然升高的势
能墙的阻碍 —— 势阱
o
a
认为金属中自由电子不能逸出表面 U
——无限深势阱
可解释金属导热、导电、顺磁性…...
o
a
第4页 共30页
求解步骤：
大学物理
1. 写出具体问题中势函数U(r)的形式，代入一维定态 薛定谔方程的一般形式，得本问题中的薛定谔方程。
概率密度 |Ψ (x,t) |2 | (x) |2 2 sin2 n π x
aa
波函数为驻波形式，势阱中不同位置强度不等，粒子 出现的概率不相同。
第11页 共30页
大学物理
Ψ (x,t)
2
sin
n
π
x
e
i
Et
|Ψ (x,t) |2| (x) |2 2 sin2 n π x
aa
aa
Ψ x,t
E4 16E1
d2 ( x)
dx 2
2m 2
(E
U
)
(x)
0
大学物理
三维定态薛定谔方程
2
( x,
y,
z)
2m 2
(E
U
)
(
x,
y,
z)
0
一般形式薛定谔方程
HˆΨ i Ψ t
Hˆ
2
2
U (r )
2m
第3页 共30页
大学物理
第四节 薛定谔方程应用举例(一维问题)
一、一维无限深势阱 模型的建立：微观粒子被局限于某区域中，并在该 区域内可以自由运动的问题简化模型。
E n= 4
n= 3 n= 2
最小能量E1即零点能,
n= 1
O
ax
粒子不可能静止不动，满足不确定关系
第9页 共30页
由
E
k 22 2m
n2 π2 2 2ma 2
n2E1
(n 1,2,3,)
大学物理
E
En1
En
2n
1
π2 2 2ma 2
E
n E
n= 4
a E
ma 2 2 E 0
大学物理
练习 设粒子沿 x 方向运动，其波函数为 x A
1 ix 1) 将此波函数归一化。
2) 求出粒子按坐标的概率分布函数和概率密度。
3) 在何处找到粒子的概率密度最大？
解： 1) 由归一化条件
A
1 ix
2
dx
A2 1 x2
dx
A2arctgx
A2
π
1
得： A 1 π
两端为波节， |Ψ |2 0， 粒子不能逸出势阱。 阱内各位置粒子出现概率不同， |Ψ |2峰值处较大。 能级越高，驻波波长越短，峰值数增多。
|Ψ |2 相同，量子 经典
归一化条件，曲线下面积相等。
第13页 共30页
ห้องสมุดไป่ตู้
大学物理
练习 粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动，处于
n=1状态，求在0 ~ a 区间发现该粒子的概率。 4