第五章-抽屉原理和Ramsey理论

本例为此类问题的最简单情形，关于其一般情况， 可以从不同角度认识并加以推广，下面介绍该类问题 的推广。
抽屉原理的应用
【问题一】任给3个整数，其中必存在两个整数，其和能 被2整除。 等价问题例5.2.1
证明：记这3数为a1，a2 ， a3 ,令 ri = ai mod 2， 则 ri =0，1（i =1，2，3）。
5.1 抽屉原理
例5.1.4 任意一群人中，必有两人有相同数 目的朋友。
证 设有n个人,n至少为2，分3种情况讨论：
(1)有两人或两人以上的人无朋友，则朋友数 为零的人已经有两个了，结论成立.
(2)每人都有朋友，由上例可知结论成立。
(3)只有一人无朋友，余下的n-1人都有 朋友，由（2）知结论成立
5.1 抽屉原理
抽屉原理 “将n+1个物品放入n个抽屉，则至少有 一个抽屉中的物品数不少于两个。”
例１ 367人中至少有２人的生日同。 例２ 10双手套中任取11只，其中至少有 两只是完整配对的。
5.1 抽屉原理
抽屉原理推广形式 设q1 , q2 , … , qn都是正整数，并有
q1 + q2 +… +qn－n + 1 个物品放进n个抽屉，则至少有某个 i (i = 1, 2, …, n), 第 i 个抽屉中至少有qi个物品．
抽屉原理的应用
第一节中已经介绍了抽屉原理的基本形式及推广形式。 这一节主要来介绍其应用。
抽屉原理本身非常简单，其应用却非常广泛，它可以 解决很多有趣的问题，其中有些问题还具有相当的难度。 主要用于证明某些存在性问题及必然性问题，比如整除问 题、染色问题、面积问题、几何问题等。
抽屉原理的应用
使用抽屉原理的关键在于如何巧妙地构造抽屉，即 如何找出合乎问题条件的分类原则，首先找出哪些是 “物品”，哪些是“抽屉”，而这两者通常不会现成 存在于题目中，尤其是“抽屉”，往往需要我们用一 些巧妙的方法去构造。
*
* 方形的对角线之长度 2 。证毕。
5.1 抽屉原理
注意，如果抽屉选择不当，可能于事无益。
如图，将正方形分为4个直角边长为 等腰直角三角形是达不到目的的。来自2的**
* 抽屉的构造很重要！
**
第五章 抽屉原理和瑞姆赛(Ramsey)理论
5.1 抽屉原理 5.2 应用 5.3 Ramsey问题 5.4 Ramsey数 习题五
总结以上情况： 当k=2，t=1时，n=3; 当k=2，t=2时，n=5; 不难证明k=2，t=3时，n=9 …
以此类推，对任意的t， 当k=2时，有
n 2t 1
抽屉原理的应用
问题四的一种理解： k=2只是讨论线段中心是整点的问题。 对于二维空间（t=2）,当k=3时，就是讨论三角形的几
何中心是整点的问题。
抽屉原理的应用
那么，2必能同时整除整数xi + xj和yi + yj，即Pi和Pj的几何
中心 P 1 (Pi Pj) ( xi xj yi yj )
也为整点。 2
2
2
而当n=4时，选4个平面整点(0，6)，(8，9)，(1，8)，(5， 7).那么其中任意两个点（k=2）都不满足要求。
构造抽屉，将可能出现的余数值0，1视为两个抽 屉，3个数ai为物品，以 ri值决定将 ai放入哪个抽屉。
由抽屉原理（定理5.1.1），某个抽屉中至少有 两个ai ，其除以2的余数相同。那么，这两个数即满 足要求。
这个问题也就是例5.2.1的另一 种提法，偶数=能被2整除
抽屉原理的应用
【问题二（扩展）】任给n个数，其中必存在3个 整数，其和能被3整除。问n最小应为多少。
下面来看t=2，k=3，最小n取值情况。
抽屉原理的应用
（3）当t=2，k=3时，则n=9. 即在平面上有n个整点，任何3个点都不共线，则
当n≥9时，其中必有3个点(即k=3) Pi=(xi,yi)，Pj=(xj,yj)，Pk=(xk,yk)
由此三点构成的三角形的几何中心
P 1 3
Pi Pj Pk
抽屉原理的应用
下面通过一些例子来看抽屉原理的具体应用。
【例5.2.1】任意三个整数，必有两个之和为偶数（其差 也为偶数）。 等价问题一
分析：该问题即利用抽屉原理解决“必然”性的问 题。问题的关键在于构造“抽屉”及“物品”，这样， 利用抽屉原理便可轻易解答该题。
抽屉原理的应用
证：首先构造两个抽屉：“奇数”和“偶数”。 3个 数放入两个抽屉，必有一个抽屉中至少有两个数，由整数 求和的奇、偶性质即知此二数之和必为偶数。 同理可知，二者之差也为偶数。
（2）当点数增加到5个时，一维数轴上有5个整数点，则
其中必存在3个点xi、xj和xk，其几何中心 (xi + xj + xk)/3 也是一个整点。
抽屉原理的应用
上述例子均是在一维空间上讨论问题，这些例子 还可以推广到更一般的情形，如多维空间。下面 的问题四来探讨抽屉原理在多维空间上的应用。
抽屉原理的应用
证明：该问题是【问题一】的扩展。按照常规思路， 当n=7时结论成立。
下面构造抽屉来进行证明。
记这七个数为a1，a2 ，…， a7 （7个物品），令 ri = ai mod 3，则 ri =0，1，2（i =1，…，7）。
将余数值0，1，2作为三个抽屉，问题转换为7个物
品放入3个抽屉的问题，利用 推论5.1.2知，至少有
【问题四（多维空间）】在t维空间上有n个整点
Pi (xi(1), xi(2),, xi(t) ),i 1,2,, n
若希望其中一定存在k个整点Pi1，Pi2，∙∙∙，Pik，其几何中心
P 1
k
k
Pi j
j 1
(1 k
k x(1) , 1 k i j
j 1
k x(2) , , 1
ij
j 1
若n=4的时候呢? 结论不一定成立。例如，选
a1=3，a2=6，a3 =8，a4=20 就找不到3个数满足要求。所以
最小的n值为5.
抽屉原理的应用
【问题三（一般提法）】任给n个整数，其中必存在k个
整数，其和能被k整除。问n最小应为多少？
例如：
k=2 时，n=3；
k=3 时，n=5（而非7）； k=4 时，n=7（而非13）.
使用反证法证明。
5.1 抽屉原理
例5.1.3 参加会议的n人中，至少有2人， 认识的其他参加者的人数相等。
证 设某参会者认识的人数为k个，则k的 取值可以是{1，2，…，n-1}中的一个，视 为n-1个抽屉。
会议上有n个参会者，可以视为n个物品。 那么有基本定理可知，这n个参会者至少 有2人，认识的人数相同。
第五章 抽屉原理和瑞姆赛(Ramsey)理论
5.1 抽屉原理 5.2 应用 5.3 Ramsey问题 5.4 Ramsey数 习题五
5.1 抽屉原理
6只鸽子飞回5个鸽子巢，至少有一个鸽子巢要飞进
2只鸽子。为什么？
???
假如一个鸽舍里飞进一只鸽子，5个鸽舍最多飞进5 只鸽子，还剩下只鸽子。所以，无论怎么飞，至少 有2只鸽子要飞进同一个笼子里。
（1，2）
（2，0）
（2，1）
（2，2）
下面来构造“抽屉”和“物品”。将上述9个余数对作 为“抽屉”（上述表格每个代表一个抽屉）， 平面点作为“物品”。
抽屉原理的应用
问题转换为：9个抽屉，每个物品即每个点Pi依 据其相应的（ ri ，si ）被放入某个抽屉。
可以证明，当同一行或者同一列的3个抽屉不空 的时候，从每个抽屉中各选一个点，选出来的三点 即满足要求。
7 3
3个ai对应的余数ri相同，这三个数之和能被3整除。
抽屉原理的应用
n=7是最小的吗？
其实，只要n=5就可以了。记这5个数为a1，a2 ，…， a5 （5个物品），令 ri = ai mod 3，则 ri =0，1，2（i =1，…，5）。 将余数值0，1，2作为三个抽屉，问题转换为5个物品放 入3个抽屉的问题。分情况讨论： （1）若有某3个ai对应的余数ri相同，则这三个数满足 条件；
k
k
x(t) ) ij
j 1
也是t维空间的一个整点。问n最小应为多少。
抽屉原理的应用
解：（1）t=1即为前面一维空间上讨论的问题， k=2时，n=3； k=3时，n=5.
（2）当t=2时，可以证明 k=2时，n=5； (k=3时，n=9).
抽屉原理的应用
（2）当t=k=2时，证明n=5 :
设5个平面整点为Pi=（xi，yi）（i=1,2,3,4,5），令
5.1 抽屉原理
“抽屉原理”最先是由19世纪的德国数学家 狄里克雷（Dirichlet）运用于解决数学问 题的，所以又称“狄里克雷原理”，也称为 “鸽巢原理”。 “抽屉原理”的应用却是千变万化的，用它 可以解决许多有趣的问题，并且常常能得到 一些令人惊异的结果。“抽屉原理”在数论、 集合论、组合论中都得到了广泛的应用。
抽屉原理的应用
（2）否则，5个ri中最多有2个ri相同（即在每个抽屉 必不空的情况下，每个抽屉中最多放2个物品）。
三个抽屉的物品放置情况为： [00 11 2 ] [00 1 22 ] [0 11 22]
那么，从每个抽屉中选一个整数，余数之和为3，则所 选的这三个数的和能被3整除。
抽屉原理的应用
5.1 抽屉原理
例5.1.5 边长为2的正方形内有5个点，其中至 少有两点，距离不超过 2 。
证 首先制造抽屉：将原正方形各对边中点 相连，构成4个边长为1的小正方形，视为抽屉。
*
* 其次，由基本原理，至少有一个
*
小正方形里点数不少于2。最后，
从几何角度可以看出，同一小正
方形内的两点的距离不超过小正
q1 + q2 +… +qn－n + 1 个物品放进n个抽屉，则至少有某个 i (i = 1, 2, …, n), 第 i 个抽屉中至少有qi个物品．