学法大视野·数学·九年级上册(湘教版)·答案解析
学法大视野·数学·九年级上册(湘教出版)·规范标准答案
课时参考答案(课前预习、课堂探究、课堂训练、课后提升)第1章 反比例函数1.1 反比例函数课前预习1.y=k x≠ 零课堂探究【例1】 探究答案:-1 k ≠0 B变式训练1-1:解:判断某函数是否是反比例函数,不是看表示变量的字母是不是有x 与y ,而要看它能否化为y=k x(k 为常数,k ≠0)的形式.所以(2)是反比例函数,其中k=-6;(3)是反比例函数, 其中k=-3.变式训练1-2:解:(1)由三角形的面积公式,得12xy=36, 于是y=72x.所以,y 是x 的反比例函数.(2)由圆锥的体积公式,得13xy=60,于是y=180x. 所以y 是x 的反比例函数.【例2】 探究答案:1.y=k x (k ≠0) 2.(√2,-√2) 解:设反比例函数的解析式为y=k x(k ≠0), 因为图象过点(√2,-√2), 将x=√2,y=-√2代入,得-√2=√2,解得k=-2. 因此,这个反比例函数的解析式为y=-2x , 将x=-6,y=13代入,等式成立.所以函数图象经过-6,13.变式训练2-1:B变式训练2-2:解:(1)设y 1=k 1x ,y 2=k 2x(k 1,k 2为常数,且k 1≠0,k 2≠0),则y=k 1x+k 2x.∵x=1,y=4;x=2,y=5,∴{k 1+k 2=4,2k 1+k 22=5.解得{k 1=2,k 2=2.∴y 与x 的函数表达式为y=2x+2x.(2)当x=4时,y=2×4+24=812.课堂训练1.B2.C3.A4.-25.解:设大约需要工人y 个,每人每天生产纪念品x 个.∴xy=100,即y=100x(x>0) ∵5≤x ≤8,∴1008≤y ≤1005, 即1212≤y ≤20,∵y 是整数,∴大约需工人13至20人.课后提升1.D2.A3.C4.B5.C6.27.4008.-129.解:(1)∵y 是x 的正比例函数, ∴m 2-3=1, m 2=4, m=±2.∵m=2时,m-2=0, ∴舍去. ∴m=-2.(2)∵y 是x 的反比例函数, ∴m 2-3=-1, m 2=2,m=±√2.10.解:(1)由S=12xy=30,得y=60x,x 的取值范围是x>0.(2)由y=60x可知,y 是x 的反比例函数,系数为60.1.2 反比例函数的图象与性质第1课时 反比例函数的图象课前预习 3.(1)一、三 (2)二、四课堂探究【例1】 探究答案:第一、三象限 >解:(1)∵这个反比例函数图象的一支分布在第一象限, ∴m-5>0,解得m>5.(2)∵点A (2,n )在正比例函数y=2x 的图象上, ∴n=2×2=4,则A 点的坐标为(2,4). 又∵点A 在反比例函数y=m -5x的图象上, ∴4=m -52,即m-5=8. ∴反比例函数的解析式为y=8x.变式训练1-1:C 变式训练1-2:-52【例2】 探究答案:1.(1,5) 2.{y =kx ,y =3x +m解:(1)∵点(1,5)在反比例函数y=k x的图象上,∴5=k 1,即k=5,∴反比例函数的关系式为y=5x.又∵点(1,5)在一次函数y=3x+m 的图象上, ∴5=3+m , ∴m=2.∴一次函数的关系式为y=3x+2.(2)由题意可得{y =5x ,y =3x +2, 解得{x 1=1,y 1=5或{x 2=−5,y 2=−3.∴这两个函数图象的另一个交点的坐标为-53,-3.变式训练2-1:A变式训练2-2:解:(1)将A (-1,a )代入y=-x+2中, 得a=-(-1)+2,解得a=3.(2)由(1)得,A (-1,3),将A (-1,3)代入y=k x中, 得到3=k -1,即k=-3,即反比例函数的表达式为y=-3x.(3)如图:过A 点作AD ⊥x 轴于D , ∵A (-1,3),∴AD=3,在直线y=-x+2中,令y=0,得x=2, ∴B (2,0),即OB=2, ∴△AOB 的面积S=12×OB ×AD=12×2×3=3.课堂训练1.A2.C3.B4.m>15.解:(1)∵反比例函数y=k x与一次函数y=x+b 的图象,都经过点A (1,2),∴将x=1,y=2代入反比例函数解析式得, k=1×2=2,将x=1,y=2代入一次函数解析式得, b=2-1=1,∴反比例函数的解析式为y=2x,一次函数的解析式为y=x+1. (2)对于一次函数y=x+1, 令y=0,可得x=-1; 令x=0,可得y=1.∴一次函数图象与x 轴,y 轴的交点坐标分别为(-1,0),(0,1).课后提升1.C2.B3.A4.D5.C6.-37.-248.解:m 2=(-4)×(-9)=36,∴m=±6.∵反比例函数y=m x的图象位于第一、三象限,∴m>0, ∴m=6.9.解:(1)∵y=m -5的一支在第一象限内,∴ m-5>0. ∴m>5.对直线y=kx+k 来说,令y=0,得kx+k=0,即k (x+1)=0. ∵k ≠0,∴x+1=0,即x=-1. ∴点A 的坐标为(-1,0).(2)过点M 作MC ⊥AB 于点C ,∵点A 的坐标为(-1,0),点B 的坐标为(3,0), ∴AB=4,AO=1.∵S △ABM =12×AB ×MC =1×4×MC=8,∴MC=4.又AM=5,∴AC=3,又OA=1,∴OC=2.∴点M 的坐标为(2,4).把M (2,4)代入y=m -5x, 得4=m -52,则m=13,∴y=8x. 第2课时 反比例函数的性质课前预习 1.在每一象限内 减小 在每一象限内 增大2.y=±x 坐标原点课堂探究【例1】 探究答案:1.一、三 >0 2.减小 >解:(1)图象的另一支在第三象限,则2n-4>0,解得n>2. (2)把点(3,1)代入y=2n -4x,得2n-4=3, 解得n=72.(3)因为在每个象限内,y 随x 的增大而减小,所以由a 1<a 2,得b 1>b 2. 变式训练1-1: A 变式训练1-2:< 【例2】 探究答案:|k||k|解:设点A 的坐标为a ,2a,则点B 的坐标为-a ,-2a,∵BC ∥x 轴,AC ∥y 轴,∴AC ⊥BC ,又由题意可得BC=2a ,AC=4a,S △ABC =12BC ·AC=12·2a ·4a=4.变式训练2-1:1变式训练2-2:解:设A 的坐标是(m ,n ),则n=k ,即k=mn ,∵OB=-m ,AB=n ,S 长方形ABOC =OB ·AB=(-m )n=-mn=3, ∴mn=-3,∴k=-3,则反比例函数的解析式是y=-3x.课堂训练1.A2.C3.64.25.解:设一次函数的解析式为y=kx+b (k ≠0).∵点A 是直线与反比例函数y=2x的交点, ∴把A (1,a )代入y=2x,得a=2. ∴A (1,2).把A (1,2)和C (0,3)代入y=kx+b ,得{k +b =2,b =3.解得k=-1,b=3.所以一次函数的解析式为:y=-x+3.课后提升1.D2.D3.A4.C5.C6.C7.x<-2或0<x<18.69.解:(1)图象的另一支在第三象限, ∵图象在一、三象限,∴5-2m>0,∴m<52.(2)b 1<b 2.理由如下:∵m<52,∴m-4<m-3<0,∴b 1<b 2.1.3 反比例函数的应用课堂探究【例1】 探究答案:1.反比例 v=P F2.减小 解:(1)设反比例函数解析式为v=P F, 把(3000,20)代入上式, 得20=P3000,P=3000×20=60000, ∴v=60000F. (2)当F=1200时,v=600001200=50(米/秒)=180(千米/时), 即当它所受的牵引力为1200牛时,汽车的速度为180千米/时. (3)由v=60000F≤30,得F ≥2000. 所以,若限定汽车的速度不超过30米/秒,则F 应不小于2000牛.变式训练1-1:C 变式训练1-2:0.5【例2】 探究答案:1.k 2 -2 2.图象 解:(1)∵双曲线y=k 2x经过点A (1,2),∴k 2=2.∴双曲线的解析式为y=2x. ∵点B (m ,-1)在双曲线y=2x上,∴m=-2,则B (-2,-1).由点A (1,2),B (-2,-1)在直线y=k 1x+b 上,得{k 1+b =2,-2k 1+b =−1,解得{k 1=1,b =1.∴直线的解析式为y=x+1. (2)y 2<y 1<y 3.(3)x>1或-2<x<0.变式训练2-1:C变式训练2-2:解:(1)直线y=12x+b 经过第一、二、三象限,与y 轴交于点B ,∴OB=b ,∵点A (2,t ),△AOB 的面积等于1.∴12×2×b=1,可得b=1,即直线为y=12x+1.(2)由点A (2,t )在直线y=12x+1上, 可得t=2,即点A 坐标为(2,2),反比例函数y=k x(k 是常量,k ≠0)的图象经过点A ,可得k=4, 所求反比例函数解析式为y=4x.课堂训练1.C2.C3.B4.(1,-2)5.解:(1)将A (2,4)代入反比例函数解析式得m=8,∴反比例函数解析式为y 2=8x,将B (-4,n )代入反比例函数解析式得n=-2, 即B (-4,-2),将A 与B 坐标代入一次函数解析式得,{2k +b =4,-4k +b =−2,解得{k =1,b =2.则一次函数解析式为y 1=x+2.(2)联立两函数解析式得{y =x +2,y =8x,解得{x =2,y =4或{x =−4,y =−2,则y 1=y 2时,x 的值为2或-4. (3)利用题图象得,y 1>y 2时,x 的取值范围为-4<x<0或x>2.课后提升1.D2.D3.C4.D5.x<0或1<x<46.1.67.(3,2)8.19.解:(1)∵反比例函数y=k x的图象过B (4,-2)点,∴k=4×(-2)=-8,∴反比例函数的解析式为y=-8x. ∵反比例函数y=-8的图象过点A (-2,m ), ∴m=-8=4,即A (-2,4).∵一次函数y=ax+b 的图象过A (-2,4),B (4,-2)两点,∴{-2a +b =4,4a +b =−2,解得{a =−1,b =2.∴一次函数的解析式为y=-x+2. (2)∵直线AB :y=-x+2交x 轴于点C , ∴C (2,0).∵AD ⊥x 轴于D ,A (-2,4), ∴CD=2-(-2)=4,AD=4, ∴S △ADC =12·CD ·AD=12×4×4=8.10.解:(1)把A (m ,2)代入反比例函数解析式y=2x得2=2m,所以m=1. ∴A (1,2).(2)把A (1,2)代入正比例函数解析式y=kx 得2=k ,所以k=2,因此正比例函数的解析式为y=2x. (3)因为正比例函数的解析式为y=2x ,当x=2时,y ≠3,所以点B (2,3)不在正比例函数图象上.第2章 一元二次方程2.1 一元二次方程课前预习 1.一个 2 整式 3.相等 课堂探究【例1】 探究答案:1.2 =2 2.≠0 解:根据题意,得m 2-2=2,且m-2≠0. 解得m=±2,且m ≠2.所以m=-2. 则m 2+2m-4=(-2)2+2×(-2)-4=-4. 变式训练1-1:C 变式训练1-2:≠±1 =12【例2】 探究答案:1.移项 合并同类项 2.符号 0 解:(1)去括号,得4t 2+12t+9-2(t 2-10t+25)=-41, 去括号、移项、合并得2t 2+32t=0,所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为2,32,0. (2)去括号,得12x 2-x+12=3x+13, 移项、合并,得12x 2-4x+16=0,所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为1,-4,1.变式训练2-1:B变式训练2-2:解:{m2-2=2, m+2≠0,解得m=±2且m≠-2.∴m=2.【例3】探究答案:1.根2.≠0解:根据题意,得(m-2)×12+(m2-3)×1-m+1=0,即m2-4=0,故m2=4,解得m=2或m=-2.∵方程(m-2)x2+(m2-3)x-m+1=0是关于x的一元二次方程,∴m-2≠0,即m≠2.故m=-2.变式训练3-1:1变式训练3-2:解:把x=0代入方程得a2-1=0,∴a=±1,∵a-1≠0,∴a≠1,∴a=-1.课堂训练1.C2.A3.-104.-25.解:去括号,得9x2+12x+4=4x2-24x+36.移项、合并同类项得,5x2+36x-32=0.∴它的二次项为5x2二次项系数为5,一次项为36x,一次项系数为36,常数项为-32.课后提升1.D2.D3.C4.C5.D6.x(x+5)=300x2+5x-300=015-3007.18.≠1=19.解:(1)去括号,得x2-4=3x2+2x,移项,得-2x2-2x-4=0,二次项系数为-2,一次项系数为-2,常数项为-4.(2)去括号,移项合并,得(1-2a)x2-2ax=0,二次项系数为1-2a,一次项系数为-2a,常数项为0.10.解:小明的话有道理.理由:若方程为一元二次方程,则m+1=2,m=1.而m=1时,m2+m-2=0,所以此方程不可能为一元二次方程.2.2 一元二次方程的解法2.2.1 配方法第1课时用配方法解简单的一元二次方程课前预习1.(1)平方根2.(1)a2±2ab+b2(2)完全平方式课堂探究【例1】探究答案:-a±√b没有解:移项,得2(x+1)2=92, 两边同时除以2,得(x+1)2=94,∴x+1=±32,∴x 1=-1+32=12,x 2=-1-32=-52.变式训练1-1:m ≥7变式训练1-2:解:(1)移项,得(2x-1)2=25, 开平方得2x-1=±5, ∴2x-1=5或2x-1=-5,解这两个方程得:x 1=3,x 2=-2. (2)两边同除以3,得(x-2)2=4, 开平方得:x-2=±2, ∴x-2=2或x-2=-2.解这两个方程,得x 1=4,x 2=0.【例2】 探究答案:一次项系数一半的平方 解:移项,得x 2-12x=12, 配方,得x 2-12x+(14)2=916,(x -14)2=916, ∴x-14=34或x-14=-34,∴x 1=1,x 2=-12.变式训练2-1:±43变式训练2-2:解:移项,得x 2-2x=2,配方,得(x-1)2=3, 解得x=1±√3.∴x 1=1+√3,x 2=1-√3.课堂训练1.D2.B3.±324.±85.解:(1)移项得x 2-2x=1,配方,得x 2-2x+1=2, 即(x-1)2=2,开方,得x-1=±√2, 则x 1=1+√2,x 2=1-√2.(2)移项,得x 2-4x=-1,配方,得x 2-4x+4=-1+4,即(x-2)2=3, 开方,得x-2=±√3,∴原方程的解是x 1=2+√3,x 2=2-√3.课后提升1.D2.B3.D4.B5.36.-37.900 cm 28.解:(1)直接开平方得,x-1=±√3,即x-1=√3或x-1=-√3,∴x 1=1+√3,x 2=1-√3.(2)配方,得x 2-2x+1=4+1,即(x-1)2=5. ∴x-1=±√5,即x-1=√5或x-1=-√5 ∴x 1=1+√5,x 2=1-√5.(3)方程两边都除以2,得x 2-32=-52x , 移项,得x 2+52x=32.配方,得x 2+52x+542=32+542,即x+542=4916. 开平方得,x+54=±74,∴x 1=12,x 2=-3.9.解:用配方法解方程a 2-10a+21=0,得a 1=3,a 2=7.当a=3时,3、3、7不能构成三角形; 当a=7时,三角形周长为3+7+7=17. 10.解:移项得x 2+px=-q ,配方得x 2+px+p 22=-q+p 22,即x+p 22=p 2-4q4.∵p 2≥4q , ∴p 2-4q ≥0,∴x+p2=±√p 2-4q 2.∴x 1=-p+√p 2-4q2,x 2=-p -√p 2-4q2.第2课时 用配方法解复杂的一元二次方程课前预习(1)1(2)二次项和一次项 常数项 (3)一次项系数一半的平方课堂探究【例1】 探究答案:1.1 2.完全平方式 解:两边同时除以2,得x 2-32x+12=0, 移项,得x 2-32x=-12, 配方,得x 2-32x+(-34)2=-12+(-34)2, 即(x -34)2=116,两边开平方,得x-34=±14,x-34=14或x-34=-14,∴原方程的解为x 1=1,x 2=12.变式训练1-1:D变式训练1-2:解:(1)二次项系数化为1, 得x 2-16x-2=0, 移项,得x 2-16x=2,配方, 得x 2-16x+1144=2+1144, 即x-1122=289144, ∴x-112=±1712,∴x 1=32,x 2=-43.(2)二次项系数化为1,得x 2-12x-12=0. 移项,得x 2-12x=12.配方得x 2-12x+142=12+142,即x-142=916, ∴x-14=±34, ∴x 1=1,x 2=-12.【例2】 探究答案:1.1 2.减去解:2x 2-4x+5=2(x 2-2x )+5 =2(x 2-2x+12-12)+5 =2(x-1)2+3 ∵2(x-1)2≥0, ∴2(x-1)2+3>0,∴代数式2x 2-4x+5的值总是一个正数. 变式训练2-1:13变式训练2-2:解:x 2-4x+5=x 2-4x+22-22+5 =(x-2)2+1.∵(x-2)2≥0,且当x=2时值为0, ∴当x=2时,代数式x 2-4x+5的值最小,最小值为1.课堂训练1.A2.B3.x 1=-2,x 2=124.3或-75.-3或36.解:由题意得2x 2-x=x+6,∴2x 2-2x=6,∴x 2-x=3,∴x 2-x+14=3+14,∴x-122=134,∴x-12=±√132, ∴x 1=1+√132,x 2=1−√132. ∴x=1+√132或1−√132时,整式2x 2-x 与x+6的值相等. 课后提升1.D2.D3.B4.D5.x 1=1+√3,x 2=1-√36.87.38.1±2√29.解:去括号,得4x 2-4x+1=3x 2+2x-7,移项,得x 2-6x=-8,配方,得(x-3)2=1, ∴x-3=±1,∴x 1=2,x 2=4.10.解:由题意,得2x 2+x-2+(x 2+4x )=0, 化简,得3x 2+5x-2=0. 系数化为1,得x 2+53x=23,配方,得x+562=4936,∴x+56=±76, ∴x 1=-2,x 2=13.2.2.2 公式法课前预习1.x=-b±√b 2-4ac2a(b 2-4ac ≥0)2.求根公式课堂探究【例1】 探究答案:1.一般形式 2.a 、b 、c解:原方程可化为x 2+2x-1=0, ∵a=1,b=2,c=-1.b 2-4ac=22-4×1×(-1)=8>0,∴x=-2±√82×1=-2±2√22=-1±√2.∴x 1=-1+√2,x 2=-1-√2.变式训练1-1:D变式训练1-2:解:(1)移项,得2x 2+3x-1=0, ∵a=2,b=3,c=-1,∴b 2-4ac=17>0,∴x=-3±√174,∴x 1=-3+√17,x 2=-3-√17. (2)化简得,x 2+5x+5=0,∴a=1,b=5,c=5, ∴b 2-4ac=5>0,∴x=-5±√52,∴x 1=-5+√52,x 2=-5-√52. 【例2】 探究答案:1.一元二次方程有实数根 2.相等 解:原方程可化为2x 2+2√2x+1=0,∵a=2,b=2√2,c=1, ∴b 2-4ac=(2√2)2-4×2×1=0, ∴x=-2√2±√02×2=-√22. ∴x 1=x 2=-√22.变式训练2-1:解:(1)b 2-4ac=(-2)2-4×1×1=4-4=0.∴此方程有两个相等的实数根.(2)b 2-4ac=72-4×(-1)×6=49+24=73>0. ∴此方程有两个不相等的实数根. 变式训练2-2:C课堂训练1.D2.C3.24.解:(1)b 2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=16+8=24>0.∴x=-b±√b 2-4ac 2a =4±√242×2=4±2√64=2±√62.∴x 1=2+√62,x 2=2−√62. (2)整理,得4x 2+12x+9=0,所以a=4,b=12,c=9.因为b 2-4ac=122-4×4×9=0, 所以方程有两个相等的实数根,所以x=-b±√b 2-4ac 2a=-12±√02×4=-128=-32. ∴x 1=x 2=-32.课后提升1.C2.A3.D4.D5.-1+√32,-1-√326.x 1=1,x 2=17.25或168.解:整理得x 2+2x-1=0, b 2-4ac=22-4×1×(-1)=8,x=-2±√82×1=-2±2√22=-1±√2,∴x 1=-1+√2,x 2=-1-√2.9.解:(1)x 2-4x-1=0,∵a=1,b=-4,c=-1,∴Δ=(-4)2-4×1×(-1)=20,∴x=4±√20=2±√5, ∴x 1=2+√5,x 2=2-√5.(2)∵3x (x-3)=2(x-1)(x+1),∴x 2-9x+2=0, ∵a=1,b=-9,c=2,∴Δ=(-9)2-4×1×2=73>0,∴x=-b±√b 2-4ac =9±√73, ∴x 1=9+√732,x 2=9−√732. 10.解:由题意得,m 2+1=2, 且m+1≠0, 解得m=1.所以原方程为2x 2-2x-1=0, 这里a=2,b=-2,c=-1.b 2-4ac=(-2)2-4×2×(-1)=12.∴x=2±2√34=1±√32, ∴x 1=1+√32,x 2=1−√32.2.2.3 因式分解法课前预习 1.(2)(a-b )(a+b ) (a ±b )2 2.一次因式 0 0课堂探究【例1】 探究答案:x [(x+2)-4] 3(x-5)2-2(5-x )=0 (x-5)(3x-13)解:(1)x (x+2)-4x=0,x [(x+2)-4]=0, 即x (x-2)=0, ∴x=0或x-2=0, ∴x 1=0,x 2=2.(2)3(x-5)2=2(5-x ), 3(x-5)2-2(5-x )=0, (x-5)[3(x-5)+2]=0, ∴x-5=0或3x-15+2=0,∴x 1=5,x 2=133.变式训练1-1:C变式训练1-2:解:(1)(3x-4)2=3(3x-4), ∴(3x-4)(3x-7)=0,∴x 1=43,x 2=73.(2)3(x+2)2=(x+2)(x-2), (x+2)[3(x+2)-(x-2)]=0, ∴(x+2)(2x+8)=0, ∴x 1=-2,x 2=-4.【例2】 探究答案:直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 解:(1)公式法:∵a=1,b=-3,c=1, ∴b 2-4ac=(-3)2-4×1×1=5>0,∴x=-(-3)±√52×1,∴x 1=3+√52,x 2=3−√52. (2)因式分解法:原方程可化为x (x-3)=0,∴x=0或x-3=0 ∴x 1=0,x 2=3.(3)配方法:配方,得x 2-2x+1=4+1, 即(x-1)2=5,∴x-1=±√5, ∴x 1=1+√5,x 2=1-√5.变式训练2-1:C变式训练2-2:解:(1)用直接开平方法:原方程可化为 (x-3)2=4, ∴x-3=±2,∴x 1=5,x 2=1.(2)用配方法:移项,得x 2-4x=7. 配方,得x 2-4x+4=7+4, 即(x-2)2=11,∴x-2=±√11∴x-2=√11或x-2=-√11, ∴x 1=2+√11,x 2=2-√11.(3)用因式分解法:方程两边分别分解因式,得 (x-3)2=2(x-3)(x+3),移项,得(x-3)2-2(x-3)(x+3)=0. 方程左边分解因式,得 (x-3)[(x-3)-2(x+3)]=0, 即(x-3)(-x-9)=0, ∴x-3=0或-x-9=0. ∴x 1=3,x 2=-9.课堂训练1.C2.D3.74.-1或45.解:(1)∵a=3,b=1,c=-1,∴b 2-4ac=12-4×3×(-1)=13>0,∴x=-1±√132×3∴x 1=-1+√136,x 2=-1-√136. (2)移项,得(3x-2)2-4(3-x )2=0,因式分解,得[(3x-2)+2(3-x )][(3x-2)-2(3-x )]=0, 即(x+4)(5x-8)=0, ∴x+4=0或5x-8=0,∴x 1=-4,x 2=85.(3)将原方程整理,得x 2+x=0, 因式分解,得x (x+1)=0, ∴x=0或x+1=0, ∴x 1=0,x 2=-1.课后提升1.A2.D3.B4.B5.B6.x 1=3,x 2=97.68.-19.解:(1)用求根公式法解得y 1=3,y 2=-8. (2)用分解因式法解得x 1=52,x 2=-1. (3)用求根公式法解得y 1=-2+√22,y 2=-2-√22.10.解:解方程x(x-7)-10(x-7)=0,得x1=7,x2=10.∵4<第三边长<10,∴x2=10(舍去).第三边长为7.这个三角形的周长为3+7+7=17.2.3 一元二次方程根的判别式课前预习1.a≠02.(1)> (2)= (3)<课堂探究【例1】探究答案:1.一般形式2.a、b、c b2-4ac解:(1)原方程可化为x2-6x+9=0,∵Δ=b2-4ac=(-6)2-4×1×9=0,∴原方程有两个相等的实数根.(2)原方程可化为x2+3x+1=0,∵Δ=b2-4ac=32-4×1×1=5>0,∴原方程有两个不相等的实数根.(3)原方程可化为3x2-2√6x+3=0.∵Δ=b2-4ac=(-2√6)2-4×3×3=-12<0,∴原方程无实数根.变式训练1-1:A变式训练1-2:B【例2】探究答案:1.≥解:由题意知:b2-4ac≥0,即42-8k≥0,解得k≤2.∴k的非负整数值为0,1,2.变式训练2-1:B变式训练2-2:解:∵a=2,b=t,c=2.∴Δ=t2-4×2×2=t2-16,令t2-16=0,解得t=±4,当t=4或t=-4时,原方程有两个相等的实数根.课堂训练1.D2.A3.D4.k<-15.解:(1)当m=3时,Δ=b2-4ac=22-4×1×3=-8<0,∴原方程没有实数根.(2)当m=-3时,x2+2x-3=0,x2+2x=3,x2+2x+1=3+1,(x+1)2=4,∴x+1=±2,∴x1=1,x2=-3.课后提升1.D2.A3.C4.C5.D6.m>17.m<2且m≠18.6或12或109.解:由题意,得{ b 2-4ac =(−2√k +1)2-4(1-2k)(-1)>0 ①1−2k ≠0 ②k +1≥0 ③由①,得4(k+1)+4-8k>0,即-4k>-8,解得k<2.由②得,k ≠12,由③得,k ≥-1. ∴-1≤k<2且k ≠1.10.解:(1)Δ=b 2-4ac =4-4(2k-4) =20-8k. ∵方程有两个不等的实根, ∴20-8k>0,∴k<52.(2)∵k 为正整数, ∴0<k<52(且k 为整数),即k 为1或2,∴x=-1±√5−2k . ∵方程的根为整数,∴5-2k 为完全平方数.当k=1时,5-2k=3;当k=2时,5-2k=1. ∴k=2.*2.4 一元二次方程根与系数的关系课前预习-b a c a 课堂探究【例1】 探究答案:1.-1 2.2ab a+b ab解:因为方程x 2-x-1=0的两实根为a 、b.所以(1)a+b=1;(2)ab=-1;(3)a 2+b 2=(a+b )2-2ab=12-2×(-1)=3;(4)1a +1b =a+b ab=-1. 变式训练1-1:-2变式训练1-2:-658【例2】 探究答案:1.2(m+1) 2.>0解:∵方程有两个不相等的实数根, ∴Δ=b 2-4ac=[-2(m+1)]2-4×1×(m 2-3) =16+8m>0,解得m>-2;根据根与系数的关系可得x 1+x 2=2(m+1), ∵(x 1+x 2)2-(x 1+x 2)-12=0, ∴[2(m+1)]2-2(m+1)-12=0,解得m 1=1或m 2=-52. ∵m>-2,∴m 2=-52(舍去),∴m=1.变式训练2-1:1变式训练2-2:解:∵x 1+x 2=2,∴m=2. ∴原方程为x 2-2x-3=0,即(x-3)(x+1)=0,解得x 1=3,x 2=-1. 课堂训练1.B2.A3.-24.55.解:设x 1,x 2是方程的两个实数根,∴x 1+x 2=-32,x 1x 2=1−m 2. 又∵1x 1+1x 2=3,∴x 1+x 2x 1x 2=3, ∴-31−m=3, ∴-3=3-3m ,∴m=2,又∵当m=2时,原方程的Δ=17>0, ∴m 的值为2. 课后提升1.B2.B3.D4.B5.B6.-20147.68.20149.解:将-2代入原方程得:(-2)2-2+n=0,解得n=-2,因此原方程为x 2+x-2=0,解得x 1=-2,x 2=1, ∴m=1.10.解:(1)根据题意得m ≠1Δ=(-2m )2-4(m-1)(m+1)=4,∴x 1=2m+22(m -1)=m+1m -1, x 2=2m -22(m -1)=1. (2)由(1)知x 1=m+1m -1=1+2m -1 又∵方程的两个根都是正整数,∴2m -1是正整数, ∴m-1=1或2. ∴m=2或3.2.5 一元二次方程的应用第1课时增长率与利润问题课前预习1.a(1±x)2.(1)单件售价(2)单件利润课堂探究【例1】探究答案:(1)10000(1+x)10000(1+x)2(2)12100(1+x)解:(1)设捐款增长率为x,根据题意列方程得,10000(1+x)2=12100,解得x1=0.1,x2=-2.1(不合题意,舍去);答:捐款增长率为10%.(2)12100×(1+10%)=13310元.答:第四天该单位能收到13310元捐款.变式训练1-1:A变式训练1-2:B3-2-x【例2】探究答案:200+40x0.1解:设应将每千克小型西瓜的售价降低x元.-24=200.根据题意,得(3-2-x)200+40x0.1解这个方程,得x1=0.2,x2=0.3.答:应将每千克小型西瓜的售价降低0.2元或0.3元.变式训练2-1:2或6变式训练2-2:解:设每件童装应降价x元.根据题意得(40-x)(20+2x)=1200,解这个方程得x1=10,x2=20.因为在相同利润的条件下要扩大销售量,减少库存,所以应舍去x1=10.答:每件童装应降价20元.课堂训练1.B2.D3.B4.20%5.解:设每千克核桃应降价x元.×20)=2240根据题意得(60-x-40)(100+x2解这个方程得x1=4,x2=6.答:每千克核桃应降价4元或6元.课后提升1.C2.C3.D4.B5.10%6.30007.40(1+x)2=48.48.10%9.解:(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人,由题意,得1+x+x(1+x)=64,解之,得x1=7,x2=-9.答:每轮传染中平均一个人传染了7个人.(2)7×64=448.答:又有448人被传染.10.解:(1)设每年市政府投资的增长率为x,根据题意,得:2+2(1+x)+2(1+x)2=9.5,整理,得x2+3x-1.75=0,解之,得x1=0.5, x2=-0.35(舍去)所以每年市政府投资的增长率为50%.=38(万平方米).(2)到2013年年底共建廉租房面积=9.5×82第2课时面积与动点问题课堂探究【例1】探究答案:1.(6-x)2x(6-x)·2x=82.12解:设经过x秒钟后,△PBQ的面积等于8 cm2.根据题意得1(6-x)·2x=8.解这个方程得x1=2,x2=4.答:经过2秒或4秒后,△PBQ的面积等于8 cm2.变式训练1-1:解:(1)由勾股定理:AC=5 cm,设x秒钟后,P、Q之间的距离等于5 cm,这时PC=5-x,CQ=2x,则(5-x)2+(2x)2=52,即x2-2x=0.解这个方程,得x1=0,x2=2,其中x1=0不合题意,舍去.答:再运动2秒钟后,P、Q间的距离又等于5 cm.(2)设y秒钟时,可使△PCQ的面积等于4 cm2.1×(5-y)×2y=4,2即y2-5y+4=0,解得y1=1,y2=4.经检验,它们均符合题意.答:1秒钟或4秒钟时,△PCQ的面积等于4 cm2.变式训练1-2:解:设应移动x米.OA=√AB2-OB2=3米.则由题意得(3+x)2+(4-x)2=52.解这个方程得x1=1,x2=0(不合题意,舍去).答:应移动1米.【例2】探究答案:(100-2x)(50-2x)解:设正方形观光休息亭的边长为x米.依题意,有(100-2x)(50-2x)=3600.整理,得x2-75x+350=0.解得x1=5,x2=70.∵x=70>50,不合题意,舍去,∴x=5.答:矩形花园各角处的正方形观光休息亭的边长为5米.变式训练2-1:B变式训练2-2:解:设P 、Q 两块绿地周围的硬化路面的宽都为x 米,根据题意,得(40-2x )(60-3x )=60×40×14,解之,得x 1=10, x 2=30(不符合题意,舍去).答:两块绿地周围的硬化路面的宽都是10米. 课堂训练1.B2.C3.D4.15.解:设花边的宽为x 米,根据题意,得(2x+6)(2x+3)=40.解得x 1=1,x 2=-112.但x 2=-112不合题意,舍去.答:花边的宽为1米. 课后提升1.D2.C3.C4.B5.D6.97.24 458.10009.解:(1)设小货车原计划每辆每次运送帐篷x 顶,则大货车原计划每辆每次运送帐篷(x+200)顶,根据题意,得 2[8x+2(x+200)]=16800,解得x=800, x+200=800+200=1000.故大、小货车原计划每辆每次分别运送帐篷1000顶,800顶.(2)根据题意,得2(1000-200m )1+12m +8(800-300)(1+m )=14400, 化简为m 2-23m+42=0,解得m 1=2,m 2=21.∵1000-200m 不能为负数,且12m 为整数,∴m 2=21(不符合实际,舍去),故m 的值为2.10.解:设x 秒后四边形APQB 的面积是△ABC 面积的23,在Rt △ABC 中,AB=10,AC=8,由勾股定理,得 BC 2=AB 2-AC 2=102-82=36, ∴BC=6.则12(8-2x )(6-x )=13×12×6×8,解得x 1=2,x 2=8(不合题意,舍去), ∴2秒后四边形APQB 的面积是△ABC 面积的23. 第3章 图形的相似3.1 比例线段 3.1.1 比例的基本性质 课前预习1.(1)比值 比值 (2)比例内项2.(1)bc课堂探究 【例1】 探究答案:1.3x 3y =2y 3yx y =23 2.7y=4x 7∶4解:(1)∵3x=2y ,∴3x 3y =2y 3y,即x y =23.(2)∵7=4, ∴7y=4x ,x y =74. 变式训练1-1:D变式训练1-2:4【例2】 探究答案:1.2解:∵AD AB =AE AC =DE BC =23, ∴AD+AE+DE AB+AC+BC =23, 即△ADE 的周长△ABC 的周长=23. 设△ADE 和△ABC 的周长分别为2x cm 和3x cm,则有3x-2x=15,得x=15. ∴△ABC 的周长为45 cm,△ADE 的周长为30 cm .变式训练2-1:D变式训练2-2:解:设x 3=y 5=z 7=k ,则x=3k ,y=5k ,z=7k , ∴x -y+z x+y -z =3k -5k+7k 3k+5k -7k =5k k=5. 课堂训练1.C2.A3.2∶3=4∶6(答案不唯一)4.135.解:因为m -n n =23, 所以3(m-n )=2n ,,. 化简得3m=5n ,所以m n =53,则3m+2n n =3m n +2=m n ×3+2=53×3+2=7.课后提升1.C2.C3.D4.C5.A6.52 727.3√38.2或-19.解:∵a ∶b ∶c=1∶2∶4,设a=k ,b=2k , c=4k ,则a+2b+3ca -b+c =k+4k+12kk -2k+4k =17k 3k =173.10.解:∵a b =c d =e f =23,∴2a 2b =-c -d =-5e-5f =23.∴2a -c -5e2b -d -5f =23.3.1.2 成比例线段课前预习1.m ∶n AB CD =m n2.a b =c d3.BC AC 黄金比 √5-12≈0.618课堂探究【例1】探究答案:1.(12-x ) x 12−x =64 2.DB AB =EC AC解:(1)设AD=x cm,则DB=(12-x )cm .则有x 12−x =64,解这个方程得x=7.2,所以AD=7.2 cm .(2)DB AB =12−7.212=25,EC AC =46+4=25,所以DB AB =EC AC ,所以线段DB 、AB 、EC 、AC 是成比例线段. 变式训练1-1:B变式训练1-2:解:利用比例线段的定义, ∵a=1 mm =0.1 cm,b=0.8 cm, c=0.02 cm,d=4 cm,∴d>b>a>c ,而d b =40.8=5,a c =0.10.02=5, ∴d b =a c ,∴d 、b 、a 、c 四条线段是成比例线段.【例2】 探究答案:1.AC AB =CB AC 2.3x+3=x 3 解:设CB=x ,∵点C 为线段AB 的黄金分割点, ∴AC AB =CB AC ,即3x+3=x 3,得9=x (x+3), 解得x 1=3√5-32,x 2=-3√5-32(舍去). 故CB 的长为3√5-32. 变式训练2-1:C变式训练2-2:解:因为点C 是AB 的黄金分割点, 所以当AC>BC 时,AC AB =√5-12. 又因为AB=10 cm,所以AC=√5-12×10=(5√5-5)(cm),当AC<BC 时,BC AB =√5-12, 所以BC=√5-12×10=(5√5-5)(cm),所以AC=AB-BC=10-(5√5-5)=(15-5√5)(cm), 所以AC 的长为(5√5-5)cm 或(15-5√5)cm . 课堂训练1.D2.45 353.6-2√54.=5.解:(1)a ∶b=c ∶d ,即a ∶0.2=0.5∶1,则a=0.2×0.5=0.1.(2)a ∶b=c ∶d ,即3∶7=c ∶21,则7c=21×3,得c=9. 课后提升1.B2.D3.C4.B5.B6.6.987.168.√5-12或3−√529.解:设相邻两个钉子之间的距离为1个单位长度, 则AD=2,BD=5,BE=5,CE=1,CF=4,AF=3.在直角三角形ABD中,AB=√AD2+BD2=√22+52=√29,在直角三角形BCE中,BC=√BE2+CE2=√52+12=√26,在直角三角形ACF中,AC=√CF2+AF2=√42+32=5,所以AB=√29,BC=√26.10.解:设每一份为k,由(a-c)∶(a+b)∶(c-b)=(-2)∶7∶1,得{a-c=−2k,a+b=7k,c-b=k,解得{a=3k,b=4k,c=5k,而(3k)2+(4k)2=(5k)2,即a2+b2=c2,所以△ABC是直角三角形.3.2 平行线分线段成比例课前预习(1)在另一条直线上截得的线段也相等(2)对应线段(3)成比例课堂探究【例1】探究答案:1.352.DE DF解:∵l1∥l2∥l3,∴AB AC =DE DF,∵AB BC =32,∴ABAC=35,∴DE DF =3 5 ,由DF=20 cm,得DE=35DF=12 cm,∴EF=DF-DE=8 cm.变式训练1-1:D变式训练1-2:12【例2】探究答案:1.AEAC 2.x-4x-4x-4x-3=4xD变式训练2-1:B变式训练2-2:A 课堂训练1.B2.A3.A4.55.解:∵DE ⊥AB ,CB ⊥AB , ∴DE ∥BC ,∴AD AB =AE AC ,即35=5AC, ∴AC=253.∴BC=√AC 2-AB 2=√(253) 2-52=203. 课后提升1.C2.C3.A4.D5.D6.97.68.149.解:∵DE ∥BC ,DF ∥AC , ∴四边形EDFC 为平行四边形, ∴DE=FC=5,又∵DF ∥AC ,∴AD BD =CF BF ,即48=5BF,得BF=10. 10.解:∵DE ∥BC ,∴AD AB =AE AC. 又∵EF ∥CD ,∴AF =AE , ∴AD =AF , ∴AD 2=AB ·AF=36, ∴AD=6 cm .3.3 相似图形课前预习 1.(1)对应相等 对应成比例 (2)∽ △ABC 相似于△A'B'C'(3)相等 成比例2.(1)对应角 成比例 (2)相等 等于相似比 课堂探究【例1】 探究答案:1.∠A' ∠B' ∠C'2.180°-∠A-∠B解:∵△ABC ∽△A'B'C', ∴∠B=∠B'=60°,在△ABC 中,∠C=180°-∠A-∠B=180°-50°-60°=70°. 变式训练1-1:50变式训练1-2:1∶2【例2】探究答案:(1)CD CB (2)77° 83° 解:因为四边形ABCD ∽四边形EFGH ,∴∠F=∠B=77°,∠G=∠C=83°,EF AB =GH CD =FG BC =418=29, ∴∠H=360°-(∠E+∠F+∠G )=83°, BC=FG ÷29=6×92=27, CD=GH ÷2=7×9=31.5.变式训练2-1:B变式训练2-2:解:由四边形ABCD 与四边形A'B'C'D'相似得,x 21=12y =1015, ∠A=∠A'=120°,∴x=21×1015=14, y=12÷1015=12×32=18,∠α=360°-(∠A+∠B+∠C )=80°.课堂训练1.C2.B3.6 1.54.9或255.解:因为梯形AEFD ∽梯形EBCF , 所以AD EF =EF BC =AE EB, 又因为AD=4,BC=9,所以EF 2=AD ·BC=4×9=36, 所以EF=6, 所以AE EB =AD EF =46=23. 课后提升1.B2.D3.D4.D5.D6.2 30°7.60° 140° 18.√5+129.解:∵四边形ABCD 与四边形EFGH 相似, ∴∠E=∠A=70°,∠F=∠B=80°. ∴∠G=360°-70°-80°-150°=60°.∵AB EF =AD EH, ∴AB=EF ·AD EH =5×86=203. ∵BC FG =ADEH,∴BC=FG ·AD EH =7×86=566=283. 10.解:∵△ABC ∽△APQ ,∴AB AP =BCPQ , 即4040+60=30PQ, 解得PQ=75.答:PQ 的长为75 cm .3.4 相似三角形的判定与性质3.4.1 相似三角形的判定第1课时 两角对应相等或平行判定相似课前预习 (1)相似 (2)相等课堂探究【例1】 探究答案:1.EDA 2.DFC 3.△EDA △DFC 解:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AB ∥CD ,AD ∥BC ,∴△BEF ∽△CDF ,△BEF ∽△AED , ∴△BEF ∽△CDF ∽△AED. 当△BEF ∽△CDF 时,相似比k 1=BE CD =13; 当△BEF ∽△AED 时,相似比k 2=BE AE =14; 当△CDF ∽△AED 时,相似比k 3=CD AE =34. 变式训练1-1:3变式训练1-2:1∶2【例2】 探究答案:1.∠DAE 2.∠D 解:△ABC ∽△ADE ,理由如下: ∵∠1=∠2,∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC , 即∠BAC=∠DAE ,又∵在△AOB 与△COD 中, ∠AOB=∠COD ,∠1=∠3, ∴∠B=∠D ,∴△ABC ∽△ADE. 变式训练2-1:C变式训练2-2:证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD ∥BC ,AB ∥CD ,∴∠ADF=∠CED ,∠B+∠C=180°, ∵∠AFE+∠AFD=180°,∠AFE=∠B , ∴∠AFD=∠C , ∴△ADF ∽△DEC.课堂训练1.D2.C3.A4.∠ADE=∠C (答案不唯一)5.解:(1)在△ABC 中, ∵∠A=90°,∠B=50°, ∴∠C=40°.∴∠A=∠A'=90°,∠C=∠C'=40°.∴△ABC ∽△A'B'C'(两角相等的两个三角形相似). (2)在△ABC 中, ∵∠A=∠B=∠C , ∴∠A=∠B=∠C=60°, ∴∠A=∠A',∠B=∠B',∴△ABC ∽△A'B'C'(两角相等的两个三角形相似).课后提升1.A2.D3.C4.D5.66.2.57.解:∵∠A=36°,AB=AC , ∴∠ABC=∠ACB=72°, ∵BD 平分∠ABC , ∴∠CBD=∠ABD=36°, ∠BDC=72°,∴AD=BD ,BC=BD , ∴△ABC ∽△BDC ,∴BD AB =CD BC ,即AD AC =CD AD, ∴AD 2=AC ·CD ,设AD=x ,则CD=1-x , ∴x 2=1×(1-x ), x 2+x-1=0, x=-1±√1+42=-1±√52,x 1=-1+√52,x 2=-1-√52(舍去), ∴AD=√5-12,∴AD 的长是√5-12.8.解:(1)△ABC ∽△FOA ,理由如下:在矩形ABCD 中,∠BAC+∠BCA=90°, ∵l 垂直平分AC ,∴∠OFC+∠BCA=90°, ∴∠BAC=∠OFC=∠OFA , 又∵∠ABC=∠FOA=90°, ∴△ABC ∽△FOA.(2)四边形AFCE 是菱形,理由如下: ∵AE ∥FC ,∴∠AEO=∠OFC ,∠EAO=∠OCF , ∴△AOE ∽△COF , ∵OC=OA ,∴OE=OF , 即AC 、EF 互相垂直平分, ∴四边形AFCE 是菱形.第2课时 两边成比例夹角相等或三边成比例判定相似课前预习 (1)成比例 夹角 (2)成比例课堂探究【例1】探究答案:1.45452.△DCA 解:因为AB CD =45,BC AC =45, 所以AB CD =BC AC, 又因为∠B=∠ACD , 所以△ABC ∽△DCA , 所以AB DC =AC AD, 所以AD=DC ·AC AB=152×56=254.变式训练1-1:B变式训练1-2:证明:∵四边形ABCD 是正方形, ∴AD=DC=BC ,∠D=∠C=90°,∵M 是CD 的中点,∴AD ∶DM=2∶1, ∵BP=3PC ,∴CM ∶PC=2∶1, 即AD DM =CMPC,且∠D=∠C , ∴△ADM ∽△MCP.【例2】探究答案:1.√5 √10 5 √2 2 √10 2.√10√10√10解:相似.理由如下:AB=√5,AC=√10,BC=5, DE=√2,DF=2,EF=√10, ∵AB DE =√102,AC DF =√102,BC EF =√102, 即AB DE =AC DF =BC EF, ∴△ABC ∽△DEF.变式训练2-1:A变式训练2-2:证明:∵D 、E 、F 分别为AB 、AC 、BC 的中点, ∴DE 、DF 、EF 分别为△ABC 的中位线,∴DE=12BC ,DF=12AC ,EF=12AB , ∴DE CB =DF CA =EF BA =12, ∴△DEF ∽△CBA.课堂训练1.A2.C3.B4.35.解:由题知AC=√2,BC=√12+32=√10,AB=4,DF=√22+22=2√2,EF=√22+62=2√10, ED=8,∴AC DF =BC EF =AB DE =12, ∴△ABC ∽△DEF.课后提升1.C2.C3.D4.C5.B6.20°7.(4,0)或(3,2)8.解:(1)△ABC ∽△EBD ,理由如下:∵BD ·AB=BE ·BC ,∴BD BC =BE AB, 又∵∠B 为公共角,∴△ABC ∽△EBD. (2)ED ⊥AB ,理由如下:由△ABC ∽△EBD 可得∠EDB=∠C , ∵∠C=90°,∴∠EDB=90°,即ED ⊥AB. 9.解:△A'B'C'∽△ABC ,理由如下:∵OA'OA =OC'OC=3,∠AOC=∠A'OC', ∴△AOC ∽△A'OC', ∴A'C'AC =OA'OA=3, 同理B'C'BC =3,A'B'AB=3, ∴A'C'AC =B'C'BC =A'B'AB, ∴△A'B'C'∽△ABC.3.4.2 相似三角形的性质课前预习1.相似比2.(1)相似比 相似比的平方 (2)相似比 相似比的平方课堂探究【例1】 探究答案:1.△ADE 2.DE 解:∵BC ∥DE ,∴∠ABC=∠ADE ,∠ACB=∠AED , ∴△ABC ∽△ADE ,所以MC NE =BC DE, 设DE 高为x m,则0.630=0.24x,x=12. 故旗杆大致高12 m .变式训练1-1:C 变式训练1-2:1∶2【例2】 探究答案:1.相似比的平方 2.916解:(1)∵△ABC ∽△ADE ,∴AB AD =AC AE, ∵AB=15,AC=9,BD=5, ∴AD=20,∴AE=AD ·AC AB =20×915=12. 即AE 的长为12. (2)∵△ABC ∽△ADE ,∴S△ABCS△ADE=AB 2AD2=916,∴S △ADE =16×279=48, ∴S 四边形BDEC =48-27=21.变式训练2-1:A变式训练2-2:D课堂训练1.D2.D3.1∶24.1∶2 1∶45.解:因为DE ∥BC ,所以∠ADE=∠ABC ,∠AED=∠ACB , 所以△ADE ∽△ABC. 又DE BC =13,△ADE 的周长是10 cm, 所以△ABC 的周长是30 cm,所以梯形BCED 的周长为30-8+2=24(cm).课后提升1.D2.A3.B4.A5.1∶96.37.60378.8 9.(1)证明:∵E 是AB 的中点, ∴AB=2EB ,∵AB=2CD ,∴CD=EB , 又∵AB ∥CD ,∴四边形CBED 是平行四边形, ∴DE ∥CB ,∴∠EDM=∠MBF ,∠DEM=∠MFB , ∴△EDM ∽△FBM. (2)解:∵△EDM ∽△FBM ,∴DM BM =DEBF,。
九年级上册数学学法大视野
九年级上册数学学法大视野一、一元二次方程。
1. 定义。
- 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。
- 一般形式为ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其中ax^2是二次项，a是二次项系数；bx 是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
2. 解法。
- 直接开平方法。
- 对于方程x^2=k(k≥0)，解得x=±√(k)。
- 例如，方程(x - 3)^2=4，则x - 3=±2，解得x = 1或x = 5。
- 配方法。
- 步骤：先将方程化为x^2+bx = c的形式，然后在等式两边加上((b)/(2))^2，将左边配成完全平方式(x+(b)/(2))^2，再进行求解。
- 例如，解方程x^2+6x - 7 = 0。
- 移项得x^2+6x=7。
- 配方：x^2+6x + 9 = 7+9，即(x + 3)^2=16。
- 解得x=-3±4，即x = 1或x=-7。
- 公式法。
- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。
- 例如，方程2x^2-5x + 1 = 0，其中a = 2，b=-5，c = 1。
- 先计算Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4×2×1 = 25 - 8 = 17。
- 代入求根公式得x=(5±√(17))/(4)。
- 因式分解法。
- 把方程化为一边是零，另一边是两个一次因式积的形式，然后使每个因式分别为零，从而求出方程的解。
- 例如，方程x^2-3x + 2 = 0，因式分解得(x - 1)(x - 2)=0，解得x = 1或x = 2。
3. 根的判别式。
- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，Δ=b^2-4ac。
- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根。
学法大视野·数学·九年级上册·答案
课时参考答案(课前预习、课堂探究、课堂训练、课后提升) 第1章 反比例函数反比例函数 课前预习=k x≠ 零 课堂探究【例1】 探究答案:-1 k ≠0 B变式训练1-1:解:判断某函数是否是反比例函数,不是看表示变量的字母是不是有x 与y ,而要看它能否化为y=k x (k 为常数,k ≠0)的形式. 所以(2)是反比例函数,其中k=-6;(3)是反比例函数, 其中k=-3.变式训练1-2:解:(1)由三角形的面积公式,得12xy=36,于是y=72x .所以,y 是x 的反比例函数.(2)由圆锥的体积公式,得13xy=60,于是y=180x . 所以y 是x 的反比例函数.【例2】 探究答案:=k x (k ≠0) 2.(√2,-√2)解:设反比例函数的解析式为y=k x (k ≠0),因为图象过点(√2,-√2),将x=√2,y=-√2代入,得-√2=√2,解得k=-2. 因此,这个反比例函数的解析式为y=-2x ,将x=-6,y=13代入,等式成立. 所以函数图象经过-6,13.变式训练2-1:B变式训练2-2:解:(1)设y 1=k 1x ,y 2=k 2x (k 1,k 2为常数,且k 1≠0,k 2≠0),则y=k 1x+k 2x. ∵x=1,y=4;x=2,y=5,∴{k 1+k 2=4,2k 1+k 22=5.解得{k 1=2,k 2=2.∴y 与x 的函数表达式为y=2x+2x .(2)当x=4时,y=2×4+24=812. 课堂训练5.解:设大约需要工人y 个,每人每天生产纪念品x 个.∴xy=100,即y=100x (x>0) ∵5≤x ≤8,∴1008≤y ≤1005, 即1212≤y ≤20,∵y 是整数,∴大约需工人13至20人. 课后提升9.解:(1)∵y 是x 的正比例函数, ∴m 2-3=1, m 2=4, m=±2. ∵m=2时,m-2=0, ∴舍去. ∴m=-2. (2)∵y 是x 的反比例函数, ∴m 2-3=-1, m 2=2,m=±√2.10.解:(1)由S=12xy=30,得y=60x, x 的取值范围是x>0.(2)由y=60x可知,y 是x 的反比例函数,系数为60. 反比例函数的图象与性质第1课时 反比例函数的图象课前预习3.(1)一、三 (2)二、四课堂探究 【例1】 探究答案:第一、三象限 > 解:(1)∵这个反比例函数图象的一支分布在第一象限, ∴m -5>0,解得m>5.(2)∵点A (2,n )在正比例函数y=2x 的图象上, ∴n=2×2=4,则A 点的坐标为(2,4).又∵点A 在反比例函数y=m -5x的图象上, ∴4=m -52,即m-5=8. ∴反比例函数的解析式为y=8x .变式训练1-1:C变式训练1-2:-52【例2】 探究答案:1.(1,5) 2.{y =k x ,y =3x +m解:(1)∵点(1,5)在反比例函数y=k x的图象上, ∴5=k 1,即k=5,∴反比例函数的关系式为y=5x .又∵点(1,5)在一次函数y=3x+m 的图象上, ∴5=3+m , ∴m=2. ∴一次函数的关系式为y=3x+2. (2)由题意可得{y =5x ,y =3x +2,解得{x 1=1,y 1=5或{x 2=-53,y 2=-3. ∴这两个函数图象的另一个交点的坐标为-53,-3.变式训练2-1:A 变式训练2-2:解:(1)将A (-1,a )代入y=-x+2中, 得a=-(-1)+2,解得a=3.(2)由(1)得,A (-1,3),将A (-1,3)代入y=k x中,得到3=k -1,即k=-3,即反比例函数的表达式为y=-3x .(3)如图:过A 点作AD ⊥x 轴于D , ∵A (-1,3),∴AD=3, 在直线y=-x+2中,令y=0,得x=2, ∴B (2,0),即OB=2, ∴△AOB 的面积 S=12×OB ×AD=12×2×3=3. 课堂训练>15.解:(1)∵反比例函数y=k x与一次函数y=x+b 的图象,都经过点A (1,2), ∴将x=1,y=2代入反比例函数解析式得, k=1×2=2, 将x=1,y=2代入一次函数解析式得, b=2-1=1,∴反比例函数的解析式为y=2x ,一次函数的解析式为y=x+1. (2)对于一次函数y=x+1, 令y=0,可得x=-1; 令x=0,可得y=1. ∴一次函数图象与x 轴,y 轴的交点坐标分别为(-1,0),(0,1). 课后提升8.解:m 2=(-4)×(-9)=36,∴m=±6.∵反比例函数y=m x的图象位于第一、三象限,∴m>0,∴m=6.9.解:(1)∵y=m -5x 的一支在第一象限内,∴ m-5>0. ∴m>5. 对直线y=kx+k 来说,令y=0,得kx+k=0,即k (x+1)=0. ∵k ≠0,∴x+1=0,即x=-1. ∴点A 的坐标为(-1,0). (2)过点M 作MC ⊥AB 于点C , ∵点A 的坐标为(-1,0),点B 的坐标为(3,0), ∴AB=4,AO=1.∵S △ABM =12×AB ×MC=12×4×MC=8, ∴MC=4. 又AM=5,∴AC=3, 又OA=1,∴OC=2.∴点M 的坐标为(2,4).把M (2,4)代入y=m -5x , 得4=m -52,则m=13,∴y=8x. 第2课时 反比例函数的性质 课前预习1.在每一象限内 减小 在每一象限内 增大 =±x 坐标原点课堂探究 【例1】 探究答案:1.一、三 >0 2.减小 > 解:(1)图象的另一支在第三象限,则2n-4>0,解得n>2.(2)把点(3,1)代入y=2n -4x,得2n-4=3, 解得n=72.(3)因为在每个象限内,y 随x 的增大而减小,所以由a 1<a 2,得b 1>b 2. 变式训练1-1: A 变式训练1-2:<【例2】 探究答案:|k| |k|2 解:设点A 的坐标为a ,2a ,则点B 的坐标为-a ,-2a,∵BC ∥x 轴,AC ∥y 轴,∴AC ⊥BC ,又由题意可得BC=2a ,AC=4a,S △ABC =12BC ·AC=12·2a ·4a=4.变式训练2-1:1变式训练2-2:解:设A 的坐标是(m ,n ),则n=k ,即k=mn , ∵OB=-m ,AB=n ,S 长方形ABOC =OB ·AB=(-m )n=-mn=3,∴mn=-3,∴k=-3,则反比例函数的解析式是y=-3. 课堂训练5.解:设一次函数的解析式为y=kx+b (k ≠0).∵点A 是直线与反比例函数y=2x 的交点,∴把A (1,a )代入y=2x ,得a=2.∴A (1,2).把A (1,2)和C (0,3)代入y=kx+b ,得{k +b =2,b =3. 解得k=-1,b=3.所以一次函数的解析式为:y=-x+3. 课后提升<-2或0<x<19.解:(1)图象的另一支在第三象限, ∵图象在一、三象限,∴5-2m>0,∴m<52.(2)b 1<b 2.理由如下: ∵m<52,∴m -4<m-3<0,∴b 1<b 2. 反比例函数的应用课堂探究【例1】 探究答案:1.反比例 v=P 2.减小解:(1)设反比例函数解析式为v=P F ,把(3000,20)代入上式,得20=P 3000,P=3000×20=60000, ∴v=60000F. (2)当F=1200时,v=600001200=50(米/秒)=180(千米/时),即当它所受的牵引力为1200牛时,汽车的速度为180千米/时.(3)由v=60000F≤30,得F ≥2000. 所以,若限定汽车的速度不超过30米/秒,则F 应不小于2000牛. 变式训练1-1:C 变式训练1-2: 【例2】 探究答案: -2 2.图象解:(1)∵双曲线y=k 2x经过点A (1,2),∴k 2=2. ∴双曲线的解析式为y=2x .∵点B (m ,-1)在双曲线y=2x 上,∴m=-2,则B (-2,-1). 由点A (1,2),B (-2,-1)在直线y=k 1x+b 上,得{k 1+b =2,-2k 1+b =-1,解得{k 1=1,b =1.∴直线的解析式为y=x+1. (2)y 2<y 1<y 3. (3)x>1或-2<x<0. 变式训练2-1:C变式训练2-2:解:(1)直线y=12x+b 经过第一、二、三象限,与y 轴交于点B , ∴OB=b , ∵点A (2,t ),△AOB 的面积等于1.∴12×2×b=1,可得b=1,即直线为y=12x+1.(2)由点A (2,t )在直线y=12x+1上,可得t=2,即点A 坐标为(2,2),反比例函数y=k x (k 是常量,k ≠0)的图象经过点A ,可得k=4,所求反比例函数解析式为y=4x . 课堂训练4.(1,-2)5.解:(1)将A (2,4)代入反比例函数解析式得m=8,∴反比例函数解析式为y 2=8x,将B (-4,n )代入反比例函数解析式得n=-2, 即B (-4,-2), 将A 与B 坐标代入一次函数解析式得,{2k +b =4,-4k +b =-2,解得{k =1,b =2.则一次函数解析式为y 1=x+2. (2)联立两函数解析式得{y =x +2,y =8x ,解得{x =2,y =4或{x =-4,y =-2,则y 1=y 2时,x 的值为2或-4. (3)利用题图象得,y 1>y 2时, x 的取值范围为-4<x<0或x>2. 课后提升<0或1<x<4 7.(3,2)9.解:(1)∵反比例函数y=k x的图象过B (4,-2)点, ∴k=4×(-2)=-8,∴反比例函数的解析式为y=-8x.∵反比例函数y=-8x 的图象过点A (-2,m ),∴m=-8-2=4,即A (-2,4). ∵一次函数y=ax+b 的图象过A (-2,4),B (4,-2)两点, ∴{-2a +b =4,4a +b =-2,解得{a =-1,b =2. ∴一次函数的解析式为y=-x+2. (2)∵直线AB :y=-x+2交x 轴于点C , ∴C (2,0). ∵AD ⊥x 轴于D ,A (-2,4), ∴CD=2-(-2)=4,AD=4,∴S △ADC =12·CD ·AD=12×4×4=8.10.解:(1)把A (m ,2)代入反比例函数解析式y=2x 得2=2m ,所以m=1. ∴A (1,2). (2)把A (1,2)代入正比例函数解析式y=kx 得2=k ,所以k=2,因此正比例函数的解析式为y=2x. (3)因为正比例函数的解析式为y=2x ,当x=2时,y ≠3,所以点B (2,3)不在正比例函数图象上. 第2章 一元二次方程一元二次方程课前预习1.一个 2 整式 3.相等课堂探究 【例1】 探究答案: =2 2.≠0 解:根据题意,得m 2-2=2,且m-2≠0. 解得m=±2,且m ≠2.所以m=-2. 则m 2+2m-4=(-2)2+2×(-2)-4=-4. 变式训练1-1:C变式训练1-2:≠±1 =12【例2】 探究答案:1.移项 合并同类项 2.符号 0 解:(1)去括号,得 4t 2+12t+9-2(t 2-10t+25)=-41, 去括号、移项、合并得2t 2+32t=0, 所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为2,32,0.(2)去括号,得12x 2-x+12=3x+13,移项、合并,得12x 2-4x+16=0,所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为12,-4,16.变式训练2-1:B 变式训练2-2:解:{m 2-2=2,m +2≠0,?解得m=±2且m ≠-2. ∴m=2. 【例3】 探究答案:1.根 2.≠0 解:根据题意,得(m-2)×12+(m 2-3)×1-m+1=0, 即m 2-4=0,故m 2=4, 解得m=2或m=-2. ∵方程(m-2)x 2+(m 2-3)x-m+1=0是关于x 的一元二次方程, ∴m -2≠0,即m ≠2.故m=-2. 变式训练3-1:1 变式训练3-2:解:把x=0代入方程得a 2-1=0, ∴a=±1, ∵a -1≠0,∴a ≠1, ∴a=-1. 课堂训练5.解:去括号,得9x 2+12x+4=4x 2-24x+36. 移项、合并同类项得,5x 2+36x-32=0. ∴它的二次项为5x 2 二次项系数为5, 一次项为36x , 一次项系数为36,常数项为-32. 课后提升(x+5)=300 x 2+5x-300=0 1 5 -300 8.≠1 =19.解:(1)去括号,得x 2-4=3x 2+2x , 移项,得-2x 2-2x-4=0,二次项系数为-2,一次项系数为-2,常数项为-4. (2)去括号,移项合并,得(1-2a )x 2-2ax=0,二次项系数为1-2a ,一次项系数为-2a ,常数项为0. 10.解:小明的话有道理. 理由:若方程为一元二次方程,则m+1=2,m=1. 而m=1时,m 2+m-2=0, 所以此方程不可能为一元二次方程.一元二次方程的解法配方法 第1课时 用配方法解简单的一元二次方程 课前预习1.(1)平方根2.(1)a 2±2ab+b 2 (2)完全平方式课堂探究 【例1】 探究答案:-a ±√b 没有解:移项,得2(x+1)2=92,两边同时除以2,得(x+1)2=9, ∴x+1=±32,∴x 1=-1+32=12,x 2=-1-32=-52.变式训练1-1:m ≥7 变式训练1-2:解:(1)移项,得(2x-1)2=25, 开平方得2x-1=±5, ∴2x-1=5或2x-1=-5, 解这两个方程得:x 1=3,x 2=-2. (2)两边同除以3,得(x-2)2=4, 开平方得:x-2=±2, ∴x -2=2或x-2=-2. 解这两个方程,得x 1=4,x 2=0. 【例2】 探究答案:一次项系数一半的平方解:移项,得x 2-12x=12,配方,得x 2-12x+(14)2=916,(x -14)2=916, ∴x -14=34或x-14=-34,∴x 1=1,x 2=-12.变式训练2-1:±43变式训练2-2:解:移项,得x 2-2x=2,配方,得(x-1)2=3,解得x=1±√3.∴x 1=1+√3,x 2=1-√3.课堂训练3.±324.±85.解:(1)移项得x 2-2x=1,配方,得x 2-2x+1=2,即(x-1)2=2,开方,得x-1=±√2,则x 1=1+√2,x 2=1-√2.(2)移项,得x 2-4x=-1, 配方,得x 2-4x+4=-1+4,即(x-2)2=3,开方,得x-2=±√3, ∴原方程的解是x 1=2+√3,x 2=2-√3.课后提升cm 28.解:(1)直接开平方得,x-1=±√3,即x-1=√3或x-1=-√3,∴x 1=1+√3,x 2=1-√3.(2)配方,得x 2-2x+1=4+1,即(x-1)2=5.∴x -1=±√5,即x-1=√5或x-1=-√5∴x 1=1+√5,x 2=1-√5.(3)方程两边都除以2,得x 2-32=-52x ,移项,得x 2+52x=32.配方,得x 2+52x+542=32+542, 即x+542=4916. 开平方得,x+54=±74,∴x 1=12,x 2=-3.9.解:用配方法解方程a 2-10a+21=0,得a 1=3,a 2=7. 当a=3时,3、3、7不能构成三角形; 当a=7时,三角形周长为3+7+7=17. 10.解:移项得x 2+px=-q ,配方得x 2+px+p22=-q+p22,即x+p 22=p 2-4q 4. ∵p 2≥4q , ∴p 2-4q ≥0,∴x+p 2=±√p 2-4q 2. ∴x 1=-p+√p 2-4q2,x 2=-p -√p 2-4q2.第2课时 用配方法解复杂的一元二次方程课前预习 (1)1 (2)二次项和一次项 常数项 (3)一次项系数一半的平方课堂探究【例1】 探究答案: 2.完全平方式解:两边同时除以2,得x 2-32x+12=0,移项,得x 2-32x=-12,配方,得x 2-32x+(-34)2=-12+(-34)2, 即(x -34)2=116, 两边开平方,得x-34=±14,x-34=14或x-34=-14, ∴原方程的解为x 1=1,x 2=12.变式训练1-1:D 变式训练1-2:解:(1)二次项系数化为1,得x 2-16x-2=0,移项,得x 2-16x=2,配方,得x 2-16x+1144=2+1144, 即x-1122=289144, ∴x -112=±1712,∴x 1=32,x 2=-43.(2)二次项系数化为1,得x 2-12x-12=0.移项,得x 2-12x=12. 配方得x 2-12x+142=12+142,即x-142=916, ∴x -14=±34,∴x 1=1,x 2=-12.【例2】 探究答案: 2.减去 解:2x 2-4x+5=2(x 2-2x )+5 =2(x 2-2x+12-12)+5 =2(x-1)2+3 ∵2(x-1)2≥0, ∴2(x-1)2+3>0, ∴代数式2x 2-4x+5的值总是一个正数.变式训练2-1:13 变式训练2-2:解:x 2-4x+5=x 2-4x+22-22+5 =(x-2)2+1. ∵(x-2)2≥0,且当x=2时值为0, ∴当x=2时, 代数式x 2-4x+5的值最小,最小值为1. 课堂训练=-2,x 2=12或-7 或3 6.解:由题意得2x 2-x=x+6,∴2x 2-2x=6, ∴x 2-x=3,∴x 2-x+14=3+14, ∴x-122=134,∴x -12=±√132, ∴x 1=1+√132,x 2=1-√132. ∴x=1+√132或1-√132时,整式2x 2-x 与x+6的值相等. 课后提升=1+√3,x 2=1-√3±2√29.解:去括号,得4x 2-4x+1=3x 2+2x-7, 移项,得x 2-6x=-8,配方,得(x-3)2=1, ∴x -3=±1,∴x 1=2,x 2=4. 10.解:由题意,得2x 2+x-2+(x 2+4x )=0, 化简,得3x 2+5x-2=0.系数化为1,得x 2+53x=23, 配方,得x+562=4936,∴x+56=±76, ∴x 1=-2,x 2=13.公式法课前预习=-b±√b 2-4ac2a (b 2-4ac ≥0)2.求根公式 课堂探究【例1】 探究答案:1.一般形式 、b 、c 解:原方程可化为x 2+2x-1=0, ∵a=1,b=2,c=-1. b 2-4ac=22-4×1×(-1)=8>0,∴x=-2±√82×1=-2±2√22=-1±√2. ∴x 1=-1+√2,x 2=-1-√2.变式训练1-1:D 变式训练1-2:解:(1)移项,得2x 2+3x-1=0, ∵a=2,b=3,c=-1,∴b 2-4ac=17>0,∴x=-3±√174, ∴x 1=-3+√174,x 2=-3-√174. (2)化简得,x 2+5x+5=0, ∴a=1,b=5,c=5, ∴b 2-4ac=5>0,∴x=-5±√5,∴x 1=-5+√52,x 2=-5-√52. 【例2】 探究答案:1.一元二次方程有实数根 2.相等 解:原方程可化为2x 2+2√2x+1=0,∵a=2,b=2√2,c=1,∴b 2-4ac=(2√2)2-4×2×1=0,∴x=-2√2±√02×2=-√22. ∴x 1=x 2=-√22. 变式训练2-1:解:(1)b 2-4ac=(-2)2-4×1×1=4-4=0. ∴此方程有两个相等的实数根. (2)b 2-4ac=72-4×(-1)×6=49+24=73>0. ∴此方程有两个不相等的实数根. 变式训练2-2:C 课堂训练4.解:(1)b 2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=16+8=24>0.∴x=-b±√b 2-4ac 2a =4±√242×2=4±2√64=2±√62. ∴x 1=2+√62,x 2=2-√62. (2)整理,得4x 2+12x+9=0, 所以a=4,b=12,c=9. 因为b 2-4ac=122-4×4×9=0, 所以方程有两个相等的实数根,所以x=-b±√b 2-4ac 2a =-12±√02×4=-128=-32. ∴x 1=x 2=-32.课后提升5.-1+√32,-1-√32=1,x 2=12或16 8.解:整理得x 2+2x-1=0, b 2-4ac=22-4×1×(-1)=8,x=-2±√82×1=-2±2√22=-1±√2,∴x 1=-1+√2,x 2=-1-√2.9.解:(1)x 2-4x-1=0, ∵a=1,b=-4,c=-1, ∴Δ=(-4)2-4×1×(-1)=20,∴x=4±√202×1=2±√5,∴x 1=2+√5,x 2=2-√5.(2)∵3x (x-3)=2(x-1)(x+1), ∴x 2-9x+2=0, ∵a=1,b=-9,c=2, ∴Δ=(-9)2-4×1×2=73>0,∴x=-b±√b 2-4ac =9±√73,∴x 1=9+√732,x 2=9-√732.10.解:由题意得,m 2+1=2, 且m+1≠0, 解得m=1. 所以原方程为2x 2-2x-1=0, 这里a=2,b=-2,c=-1. b 2-4ac=(-2)2-4×2×(-1)=12.∴x=2±2√34=1±√32,∴x 1=1+√32,x 2=1-√32.因式分解法 课前预习1.(2)(a-b )(a+b ) (a ±b )22.一次因式 0 0课堂探究【例1】 探究答案:x [(x+2)-4] 3(x-5)2-2(5-x )=0(x-5)(3x-13) 解:(1)x (x+2)-4x=0,x [(x+2)-4]=0, 即x (x-2)=0, ∴x=0或x-2=0, ∴x 1=0,x 2=2. (2)3(x-5)2=2(5-x ), 3(x-5)2-2(5-x )=0, (x-5)[3(x-5)+2]=0, ∴x -5=0或3x-15+2=0,∴x 1=5,x 2=133.变式训练1-1:C 变式训练1-2:解:(1)(3x-4)2=3(3x-4), ∴(3x-4)(3x-7)=0, ∴x 1=43,x 2=73.(2)3(x+2)2=(x+2)(x-2), (x+2)[3(x+2)-(x-2)]=0, ∴(x+2)(2x+8)=0, ∴x 1=-2,x 2=-4.【例2】 探究答案:直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 解:(1)公式法:∵a=1,b=-3,c=1, ∴b 2-4ac=(-3)2-4×1×1=5>0, ∴x=-(-3)±√52×1, ∴x 1=3+√52,x 2=3-√52. (2)因式分解法:原方程可化为x (x-3)=0, ∴x=0或x-3=0 ∴x 1=0,x 2=3. (3)配方法:配方,得x 2-2x+1=4+1, 即(x-1)2=5,∴x -1=±√5,∴x 1=1+√5,x 2=1-√5.变式训练2-1:C 变式训练2-2:解:(1)用直接开平方法:原方程可化为 (x-3)2=4, ∴x -3=±2, ∴x 1=5,x 2=1. (2)用配方法:移项,得x 2-4x=7. 配方,得x 2-4x+4=7+4, 即(x-2)2=11,∴x -2=±√11∴x -2=√11或x-2=-√11,∴x 1=2+√11,x 2=2-√11.(3)用因式分解法:方程两边分别分解因式,得 (x-3)2=2(x-3)(x+3), 移项,得(x-3)2-2(x-3)(x+3)=0. 方程左边分解因式,得(x-3)[(x-3)-2(x+3)]=0, 即(x-3)(-x-9)=0, ∴x -3=0或-x-9=0. ∴x 1=3,x 2=-9. 课堂训练或45.解:(1)∵a=3,b=1,c=-1, ∴b 2-4ac=12-4×3×(-1)=13>0,∴x=-1±√132×3∴x 1=-1+√136,x 2=-1-√136. (2)移项,得(3x-2)2-4(3-x )2=0, 因式分解, 得[(3x-2)+2(3-x )][(3x-2)-2(3-x )]=0, 即(x+4)(5x-8)=0, ∴x+4=0或5x-8=0,∴x 1=-4,x 2=85.(3)将原方程整理,得x 2+x=0, 因式分解,得x (x+1)=0, ∴x=0或x+1=0, ∴x 1=0,x 2=-1. 课后提升=3,x 2=9 9.解:(1)用求根公式法解得y 1=3,y 2=-8.(2)用分解因式法解得x 1=52,x 2=-1.(3)用求根公式法解得 y 1=-2+√22,y 2=-2-√22. 10.解:解方程x (x-7)-10(x-7)=0, 得x 1=7,x 2=10. ∵4<第三边长<10, ∴x 2=10(舍去).第三边长为7. 这个三角形的周长为3+7+7=17.一元二次方程根的判别式课前预习≠0 2.(1)> (2)= (3)<课堂探究 【例1】 探究答案:1.一般形式 、b 、c b 2-4ac 解:(1)原方程可化为x 2-6x+9=0, ∵Δ=b 2-4ac=(-6)2-4×1×9=0, ∴原方程有两个相等的实数根.(2)原方程可化为x2+3x+1=0,∵Δ=b2-4ac=32-4×1×1=5>0,∴原方程有两个不相等的实数根.(3)原方程可化为3x2-2√6x+3=0.∵Δ=b2-4ac=(-2√6)2-4×3×3=-12<0,∴原方程无实数根.变式训练1-1:A变式训练1-2:B【例2】探究答案:1.≥解:由题意知:b2-4ac≥0,即42-8k≥0,解得k≤2.∴k的非负整数值为0,1,2.变式训练2-1:B变式训练2-2:解:∵a=2,b=t,c=2.∴Δ=t2-4×2×2=t2-16,令t2-16=0,解得t=±4,当t=4或t=-4时,原方程有两个相等的实数根.课堂训练<-15.解:(1)当m=3时,Δ=b2-4ac=22-4×1×3=-8<0,∴原方程没有实数根.(2)当m=-3时,x2+2x-3=0,x2+2x=3,x2+2x+1=3+1,(x+1)2=4,∴x+1=±2,∴x1=1,x2=-3.课后提升>1<2且m≠1或12或109.解:由题意,得{b2-4ac=(-2√k+1)2-4(1-2k)(-1)>0①1-2k≠0②k+1≥0③由①,得4(k+1)+4-8k>0,即-4k>-8,解得k<2.由②得,k≠12,由③得,k≥-1.∴-1≤k<2且k≠12. 10.解:(1)Δ=b2-4ac=4-4(2k-4)=20-8k.∵方程有两个不等的实根,∴20-8k>0,∴k<52.(2)∵k 为正整数, ∴0<k<52(且k 为整数),即k 为1或2,∴x=-1±√5-2k . ∵方程的根为整数,∴5-2k 为完全平方数. 当k=1时,5-2k=3;当k=2时,5-2k=1. ∴k=2. * 一元二次方程根与系数的关系课前预习-b a c a课堂探究【例1】 探究答案: a+b ab解:因为方程x 2-x-1=0的两实根为a 、b. 所以(1)a+b=1; (2)ab=-1; (3)a 2+b 2=(a+b )2-2ab=12-2×(-1)=3;(4)1a +1b =a+b ab=-1. 变式训练1-1:-2变式训练1-2:-658【例2】 探究答案:(m+1) 2.>0 解:∵方程有两个不相等的实数根, ∴Δ=b 2-4ac=[-2(m+1)]2-4×1×(m 2-3) =16+8m>0, 解得m>-2; 根据根与系数的关系可得x 1+x 2=2(m+1), ∵(x 1+x 2)2-(x 1+x 2)-12=0, ∴[2(m+1)]2-2(m+1)-12=0,解得m 1=1或m 2=-52. ∵m>-2,∴m 2=-52(舍去),∴m=1. 变式训练2-1:1 变式训练2-2:解:∵x 1+x 2=2,∴m=2. ∴原方程为x 2-2x-3=0,即(x-3)(x+1)=0, 解得x 1=3,x 2=-1. 课堂训练5.解:设x 1,x 2是方程的两个实数根,∴x 1+x 2=-32,x 1x 2=1-m 2. 又∵1x 1+1x 2=3,∴x 1+x 2x 1x 2=3, ∴-3=3, ∴-3=3-3m ,∴m=2, 又∵当m=2时,原方程的Δ=17>0, ∴m 的值为2. 课后提升9.解:将-2代入原方程得:(-2)2-2+n=0, 解得n=-2, 因此原方程为x 2+x-2=0, 解得x 1=-2,x 2=1, ∴m=1. 10.解:(1)根据题意得m ≠1 Δ=(-2m )2-4(m-1)(m+1)=4,∴x 1=2m+22(m -1)=m+1m -1, x 2=2m -22(m -1)=1. (2)由(1)知x 1=m+1m -1=1+2m -1 又∵方程的两个根都是正整数,∴2m -1是正整数, ∴m -1=1或2. ∴m=2或3.一元二次方程的应用第1课时 增长率与利润问题 课前预习(1±x ) 2.(1)单件售价 (2)单件利润课堂探究 【例1】探究答案:(1)10000(1+x ) 10000(1+x )2(2)12100(1+x ) 解:(1)设捐款增长率为x ,根据题意列方程得, 10000(1+x )2=12100, 解得x 1=,x 2=(不合题意,舍去); 答:捐款增长率为10%. (2)12100×(1+10%)=13310元. 答:第四天该单位能收到13310元捐款. 变式训练1-1:A变式训练1-2:B【例2】探究答案:200+40x3-2-x0.1解:设应将每千克小型西瓜的售价降低x元.-24=200.根据题意,得(3-2-x)200+40x0.1解这个方程,得x1=,x2=.答:应将每千克小型西瓜的售价降低元或元.变式训练2-1:2或6变式训练2-2:解:设每件童装应降价x元.根据题意得(40-x)(20+2x)=1200,解这个方程得x1=10,x2=20.因为在相同利润的条件下要扩大销售量,减少库存,所以应舍去x1=10.答:每件童装应降价20元.课堂训练%5.解:设每千克核桃应降价x元.×20)=2240根据题意得(60-x-40)(100+x2解这个方程得x1=4,x2=6.答:每千克核桃应降价4元或6元.课后提升%(1+x)2=%9.解:(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人,由题意,得1+x+x(1+x)=64,解之,得x1=7,x2=-9.答:每轮传染中平均一个人传染了7个人.(2)7×64=448.答:又有448人被传染.10.解:(1)设每年市政府投资的增长率为x,根据题意,得:2+2(1+x)+2(1+x)2=,整理,得x2+=0,解之,得x1=,x2=(舍去)所以每年市政府投资的增长率为50%.=38(万平方米).(2)到2013年年底共建廉租房面积=×82第2课时面积与动点问题课堂探究【例1】探究答案:1.(6-x)2x2.1(6-x)·2x=82解:设经过x秒钟后,△PBQ的面积等于8cm2.根据题意得1(6-x)·2x=8.解这个方程得x1=2,x2=4.答:经过2秒或4秒后,△PBQ的面积等于8cm2.变式训练1-1:解:(1)由勾股定理:AC=5cm,设x秒钟后,P、Q之间的距离等于5cm,这时PC=5-x,CQ=2x,则(5-x)2+(2x)2=52,即x2-2x=0.解这个方程,得x1=0,x2=2,其中x1=0不合题意,舍去.答:再运动2秒钟后,P、Q间的距离又等于5cm.(2)设y秒钟时,可使△PCQ的面积等于4cm2.1×(5-y)×2y=4,2即y2-5y+4=0,解得y1=1,y2=4.经检验,它们均符合题意.答:1秒钟或4秒钟时,△PCQ的面积等于4cm2.变式训练1-2:解:设应移动x米.OA=√AB2-OB2=3米.则由题意得(3+x)2+(4-x)2=52.解这个方程得x1=1,x2=0(不合题意,舍去).答:应移动1米.【例2】探究答案:(100-2x)(50-2x)解:设正方形观光休息亭的边长为x米.依题意,有(100-2x)(50-2x)=3600.整理,得x2-75x+350=0.解得x1=5,x2=70.∵x=70>50,不合题意,舍去,∴x=5.答:矩形花园各角处的正方形观光休息亭的边长为5米.变式训练2-1:B变式训练2-2:解:设P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽都为x米,根据题意,得,(40-2x)(60-3x)=60×40×14解之,得x1=10,x2=30(不符合题意,舍去).答:两块绿地周围的硬化路面的宽都是10米.课堂训练5.解:设花边的宽为x米,根据题意,得(2x+6)(2x+3)=40..解得x1=1,x2=-112不合题意,舍去.但x2=-112答:花边的宽为1米. 课后提升459.解:(1)设小货车原计划每辆每次运送帐篷x 顶,则大货车原计划每辆每次运送帐篷(x+200)顶,根据题意,得 2[8x+2(x+200)]=16800,解得x=800, x+200=800+200=1000.故大、小货车原计划每辆每次分别运送帐篷1000顶,800顶.(2)根据题意,得2(1000-200m )1+12m +8(800-300)(1+m )=14400, 化简为m 2-23m+42=0,解得m 1=2,m 2=21.∵1000-200m 不能为负数,且12m 为整数,∴m 2=21(不符合实际,舍去),故m 的值为2.10.解:设x 秒后四边形APQB 的面积是△ABC 面积的23,在Rt △ABC 中,AB=10,AC=8, 由勾股定理,得 BC 2=AB 2-AC 2=102-82=36, ∴BC=6.则12(8-2x )(6-x )=13×12×6×8,解得x 1=2,x 2=8(不合题意,舍去), ∴2秒后四边形APQB 的面积是△ABC 面积的23. 第3章 图形的相似比例线段比例的基本性质课前预习1.(1)比值 比值 (2)比例内项2.(1)bc课堂探究 【例1】 探究答案:1.3x 3y =2y3y x y =23 =4x 7∶4 解:(1)∵3x=2y ,∴3x 3y =2y 3y,即x y =23.(2)∵7x =4y, ∴7y=4x ,x y =74. 变式训练1-1:D 变式训练1-2:4【例2】 探究答案:1.23解:∵AD AB =AE AC =DE BC =23, ∴AD+AE+DE =2, 即△ADE 的周长△ABC 的周长=23. 设△ADE 和△ABC 的周长分别为2x cm 和3x cm,则有3x-2x=15,得x=15. ∴△ABC 的周长为45 cm,△ADE 的周长为30 cm . 变式训练2-1:D变式训练2-2:解:设x 3=y 5=z 7=k ,则x=3k ,y=5k ,z=7k , ∴x -y+z x+y -z =3k -5k+7k 3k+5k -7k =5k k=5. 课堂训练∶3=4∶6(答案不唯一) 4.135.解:因为m -n n =23, 所以3(m-n )=2n , 化简得3m=5n ,所以m n =53,则3m+2n n =3m n +2=m n ×3+2=53×3+2=7. 课后提升6.52 72 √3 或-19.解:∵a∶b∶c=1∶2∶4, 设a=k ,b=2k , c=4k ,则a+2b+3c a -b+c =k+4k+12k k -2k+4k =17k 3k =173. 10.解:∵a b =c d =e f =23,∴2a 2b =-c -d =-5e -5f =23. ∴2a -c -5e 2b -d -5f =23. 成比例线段课前预习∶n AB =m 2.a b =c d3.BC AC 黄金比 √5-12≈ 课堂探究【例1】探究答案:1.(12-x ) x 12-x =64 2.DB AB =EC AC 解:(1)设AD=x cm,则DB=(12-x )cm .则有x 12-x =64,解这个方程得x=, 所以AD= cm .(2)DB AB =12-7.212=25,EC AC =46+4=25, 所以DB AB =EC AC , 所以线段DB 、AB 、EC 、AC 是成比例线段. 变式训练1-1:B变式训练1-2:解:利用比例线段的定义, ∵a=1 mm = cm,b= cm, c= cm,d=4 cm,∴d>b>a>c ,而d b =40.8=5,a c =0.10.02=5, ∴d b =a c,∴d 、b 、a 、c 四条线段是成比例线段.【例2】 探究答案:1.AC AB =CB AC 2.3x+3=x 3 解:设CB=x ,∵点C 为线段AB 的黄金分割点,∴AC AB =CB AC ,即3x+3=x 3,得9=x (x+3), 解得x 1=3√5-32,x 2=-3√5-32(舍去). 故CB 的长为3√5-32.变式训练2-1:C 变式训练2-2:解:因为点C 是AB 的黄金分割点,所以当AC>BC 时,AC =√5-1. 又因为AB=10 cm,所以AC=√5-12×10=(5√5-5)(cm),当AC<BC 时,BC =√5-1, 所以BC=√5-12×10=(5√5-5)(cm),所以AC=AB-BC=10-(5√5-5)=(15-5√5)(cm), 所以AC 的长为(5√5-5)cm 或(15-5√5)cm .课堂训练2.45 35 √5 4.=5.解:(1)a∶b=c∶d ,即a∶=∶1, 则a=×=. (2)a∶b=c∶d ,即3∶7=c∶21,则7c=21×3,得c=9. 课后提升8.√5-12或3-√529.解:设相邻两个钉子之间的距离为1个单位长度, 则AD=2,BD=5,BE=5, CE=1,CF=4,AF=3. 在直角三角形ABD 中,AB=√AD 2+BD 2=√22+52=√29,在直角三角形BCE 中,BC=√BE 2+CE 2=√52+12=√26,在直角三角形ACF 中,AC=√CF 2+AF 2=√42+32=5,所以AB =√29,BC =√26. 10.解:设每一份为k , 由(a-c )∶(a+b )∶(c-b )=(-2)∶7∶1,得{a -c =-2k,a +b =7k,c -b =k,解得{a =3k,b =4k,c =5k,而(3k )2+(4k )2=(5k )2, 即a 2+b 2=c 2, 所以△ABC 是直角三角形.平行线分线段成比例课前预习(1)在另一条直线上截得的线段也相等 (2)对应线段 (3)成比例课堂探究 【例1】探究答案:1.35 2.DE DF 解:∵l 1∥l 2∥l 3,∴AB AC =DE DF , ∵AB BC =32,∴AB AC =35, ∴DE DF =35, 由DF=20 cm,得DE=3DF=12 cm,∴EF=DF -DE=8 cm . 变式训练1-1:D变式训练1-2:12【例2】 探究答案:1.AE AC x-4 x -4x -3=4x D 变式训练2-1:B 变式训练2-2:A 课堂训练5.解:∵DE ⊥AB ,CB ⊥AB , ∴DE ∥BC ,∴AD AB =AE AC ,即35=5AC, ∴AC=253.∴BC=√AC 2-AB 2=√(253)?2-52=203. 课后提升9.解:∵DE ∥BC ,DF ∥AC , ∴四边形EDFC 为平行四边形, ∴DE=FC=5, 又∵DF ∥AC ,∴AD BD =CF BF ,即48=5BF,得BF=10. 10.解:∵DE ∥BC ,∴AD AB =AE AC. 又∵EF ∥CD ,∴AF AD =AE AC , ∴AD AB =AF AD, ∴AD 2=AB ·AF=36, ∴AD=6 cm .相似图形课前预习1.(1)对应相等 对应成比例 (2)∽ △ABC 相似于△A'B'C'(3)相等 成比例 2.(1)对应角 成比例 (2)相等 等于相似比 课堂探究【例1】 探究答案:1.∠A' ∠B' ∠C' °-∠A-∠B 解:∵△ABC ∽△A'B'C', ∴∠B=∠B'=60°, 在△ABC 中,∠C=180°-∠A-∠B=180°-50°-60°=70°. 变式训练1-1:50 变式训练1-2:1∶2 【例2】探究答案:(1)CD CB (2)77° 83° 解:因为四边形ABCD ∽四边形EFGH , ∴∠F=∠B=77°,∠G=∠C=83°,EF AB =GH CD =FG BC =418=29, ∴∠H=360°-(∠E+∠F+∠G )=83°,BC=FG ÷29=6×92=27,CD=GH ÷29=7×92=.变式训练2-1:B 变式训练2-2:解:由四边形ABCD 与四边形A'B'C'D'相似得, x =12=10, ∠A=∠A'=120°,∴x=21×1015=14,y=12÷1015=12×32=18,∠α=360°-(∠A+∠B+∠C )=80°. 课堂训练或25 5.解:因为梯形AEFD ∽梯形EBCF ,所以AD EF =EF BC =AE EB, 又因为AD=4,BC=9, 所以EF 2=AD ·BC=4×9=36,所以EF=6,所以AE EB =AD EF =46=23. 课后提升30° ° 140° 1 8.√5+129.解:∵四边形ABCD 与四边形EFGH 相似, ∴∠E=∠A=70°,∠F=∠B=80°. ∴∠G=360°-70°-80°-150°=60°.∵AB EF =AD EH, ∴AB=EF ·AD EH =5×86=203. ∵BC FG =AD EH, ∴BC=FG ·AD EH =7×86=566=283. 10.解:∵△ABC ∽△APQ ,∴AB AP =BC PQ, 即4040+60=30PQ , 解得PQ=75. 答:PQ 的长为75 cm .相似三角形的判定与性质相似三角形的判定 第1课时 两角对应相等或平行判定相似课前预习 (1)相似 (2)相等课堂探究【例1】 探究答案: 3.△EDA △DFC 解:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AB ∥CD ,AD ∥BC , ∴△BEF ∽△CDF ,△BEF ∽△AED , ∴△BEF ∽△CDF ∽△AED.当△BEF ∽△CDF 时,相似比k 1=BE CD =13; 当△BEF ∽△AED 时,相似比k 2=BE AE =14; 当△CDF ∽△AED 时,相似比k 3=CD AE =34. 变式训练1-1:3变式训练1-2:1∶2 【例2】 探究答案:1.∠DAE 2.∠D 解:△ABC ∽△ADE ,理由如下: ∵∠1=∠2, ∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC , 即∠BAC=∠DAE , 又∵在△AOB 与△COD 中, ∠AOB=∠COD ,∠1=∠3, ∴∠B=∠D , ∴△ABC ∽△ADE. 变式训练2-1:C 变式训练2-2:证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD ∥BC ,AB ∥CD , ∴∠ADF=∠CED ,∠B+∠C=180°, ∵∠AFE+∠AFD=180°,∠AFE=∠B , ∴∠AFD=∠C , ∴△ADF ∽△DEC. 课堂训练4.∠ADE=∠C (答案不唯一)5.解:(1)在△ABC 中, ∵∠A=90°,∠B=50°, ∴∠C=40°. ∴∠A=∠A'=90°,∠C=∠C'=40°. ∴△ABC ∽△A'B'C'(两角相等的两个三角形相似).(2)在△ABC 中, ∵∠A=∠B=∠C , ∴∠A=∠B=∠C=60°, ∴∠A=∠A',∠B=∠B', ∴△ABC ∽△A'B'C'(两角相等的两个三角形相似). 课后提升解:∵∠A=36°,AB=AC ,∴∠ABC=∠ACB=72°, ∵BD 平分∠ABC , ∴∠CBD=∠ABD=36°, ∠BDC=72°,∴AD=BD ,BC=BD , ∴△ABC ∽△BDC ,∴BD AB =CD BC ,即AD AC =CD AD, ∴AD 2=AC ·CD , 设AD=x ,则CD=1-x , ∴x 2=1×(1-x ), x 2+x-1=0,x=-1±√1+42=-1±√52, x 1=-1+√52,x 2=-1-√52(舍去), ∴AD=√5-12,∴AD 的长是√5-12.8.解:(1)△ABC ∽△FOA ,理由如下:在矩形ABCD 中,∠BAC+∠BCA=90°, ∵l 垂直平分AC , ∴∠OFC+∠BCA=90°, ∴∠BAC=∠OFC=∠OFA , 又∵∠ABC=∠FOA=90°, ∴△ABC ∽△FOA. (2)四边形AFCE 是菱形,理由如下: ∵AE ∥FC , ∴∠AEO=∠OFC ,∠EAO=∠OCF , ∴△AOE ∽△COF , ∵OC=OA ,∴OE=OF , 即AC 、EF 互相垂直平分, ∴四边形AFCE 是菱形.第2课时 两边成比例夹角相等或 三边成比例判定相似 课前预习(1)成比例 夹角 (2)成比例 课堂探究【例1】探究答案:1.45 45 2.△DCA解:因为AB CD =45,BC AC =45, 所以AB CD =BC AC, 又因为∠B=∠ACD , 所以△ABC ∽△DCA ,所以AB DC =AC AD, 所以AD=DC ·AC =152×5=25. 变式训练1-1:B 变式训练1-2:证明:∵四边形ABCD 是正方形, ∴AD=DC=BC ,∠D=∠C=90°, ∵M 是CD 的中点,∴AD∶DM=2∶1, ∵BP=3PC ,∴CM∶PC=2∶1,即AD DM =CM PC,且∠D=∠C , ∴△ADM ∽△MCP.【例2】探究答案:1.√5 √10 5 √2 2 √102.√102 √102 √102解:相似.理由如下:AB=√5,AC=√10,BC=5,DE=√2,DF=2,EF=√10,∵AB DE =√102,AC DF =√102,BC EF =√102, 即AB DE =AC DF =BC EF , ∴△ABC ∽△DEF. 变式训练2-1:A 变式训练2-2:证明:∵D 、E 、F 分别为AB 、AC 、BC 的中点, ∴DE 、DF 、EF 分别为△ABC 的中位线,∴DE=12BC ,DF=12AC ,EF=12AB ,∴DE CB =DF CA =EF BA =12, ∴△DEF ∽△CBA. 课堂训练5.解:由题知AC=√2,BC=√12+32=√10,AB=4,DF=√22+22=2√2,EF=√22+62=2√10,ED=8,∴AC DF =BC EF =AB DE =12, ∴△ABC ∽△DEF.课后提升° 7.(4,0)或(3,2)8.解:(1)△ABC ∽△EBD ,理由如下:∵BD ·AB=BE ·BC ,∴BD BC =BE AB ,又∵∠B 为公共角,∴△ABC ∽△EBD. (2)ED ⊥AB ,理由如下: 由△ABC ∽△EBD 可得∠EDB=∠C , ∵∠C=90°,∴∠EDB=90°,即ED ⊥AB.9.解:△A'B'C'∽△ABC ,理由如下:∵OA'OA =OC'OC =3,∠AOC=∠A'OC',∴△AOC ∽△A'OC',∴A'C'AC =OA'OA =3,同理B'C'BC =3,A'B'AB =3,∴A'C'=B'C'=A'B',∴△A'B'C'∽△ABC.相似三角形的性质 课前预习1.相似比2.(1)相似比 相似比的平方 (2)相似比 相似比的平方课堂探究【例1】 探究答案:1.△ADE 解:∵BC ∥DE , ∴∠ABC=∠ADE ,∠ACB=∠AED , ∴△ABC ∽△ADE ,所以MC NE =BC DE ,设DE 高为x m,则0.630=0.24x ,x=12.故旗杆大致高12 m . 变式训练1-1:C变式训练1-2:1∶2【例2】 探究答案:1.相似比的平方 2.916解:(1)∵△ABC ∽△ADE ,∴AB =AC ,∵AB=15,AC=9,BD=5,∴AD=20,∴AE=AD ·AC AB =20×915=12.即AE 的长为12.(2)∵△ABC ∽△ADE ,∴S △ABC S △ADE =AB 2AD 2=916, ∴S △ADE =16×279=48, ∴S 四边形BDEC =48-27=21. 变式训练2-1:A 变式训练2-2:D 课堂训练∶2 ∶2 1∶45.解:因为DE ∥BC ,所以∠ADE=∠ABC ,∠AED=∠ACB , 所以△ADE ∽△ABC.又DE BC =13,△ADE 的周长是10 cm, 所以△ABC 的周长是30 cm, 所以梯形BCED 的周长为30-8+2=24(cm). 课后提升∶9 7.60379.(1)证明:∵E 是AB 的中点, ∴AB=2EB , ∵AB=2CD ,∴CD=EB , 又∵AB ∥CD , ∴四边形CBED 是平行四边形, ∴DE ∥CB , ∴∠EDM=∠MBF ,∠DEM=∠MFB , ∴△EDM ∽△FBM.(2)解:∵△EDM ∽△FBM ,∴DM BM =DE BF , 又∵F 是BC 的中点, ∴DE=2BF , ∴DM=2BM. ∴BM=13DB=3. S △EDM S △FBM =DE BF 2=4.相似三角形的应用课堂探究【例1】 探究答案:1.△ABF △EFG2.DF BF FG BG解:∵CD ∥EF ∥AB , ∴可以得到△CDF ∽△ABF ,△ABG ∽△EFG ,∴CD AB =DF BF ,EF AB =FG BG, 又∵CD=EF ,∴DF =FG , ∵DF=3,FG=4,BF=BD+DF=BD+3,BG=BD+DF+FG=BD+7,∴3DB+3=4BD+7, ∴BD=9,BF=9+3=12,∴1.6AB =312,解得,AB= m . 变式训练1-1:A 变式训练1-2:【例2】 探究答案:1.△EDC 2.△EDC BC DC解:(1)DE=AB ,理由如下: ∵AB ⊥BF ,ED ⊥BF , ∴∠ABC=∠EDC. ∵∠ACB=∠ECD ,BC=CD , ∴△ABC ≌△EDC (ASA), ∴AB=DE ,即DE 的长就是A 、B 的距离. (2)能,∵∠ABC=∠EDC=90°,∠ACB=∠ECD , ∴△ABC ∽△EDC ,∴AB DE =BC CD ,AB=DE ·BC CD =30×1020=15(米). 即A 、B 之间的距离为15米. 变式训练2-1:C 变式训练2-2:解:设AB=x 米, 因为BC ∥DE ,所以∠ABC=∠D , 又∠A=∠A ,所以△ABC ∽△ADE ,则AB BC =AD DE ,即x 70=20+x 90, 解得x=70.答:A 、B 两村相距70米. 课堂训练3.87米 5.解:由光的反射定律可知∠1=∠2,∴∠ABS=∠CBP. ∵SA ⊥AC ,PC ⊥AC ,∴∠SAB=∠PCB=90°, ∴△ASB ∽△CPB.∴SA PC =AB CB,∴SA=AB ·PC CB =10×2420=12(cm). 答:点光源S 与平面镜的距离SA 的长是12 cm . 课后提升m 解:∵∠DEF=∠BCD=90°,∠D=∠D ,∴△DEF ∽△DCB ,∴BC EF =DC DE, ∵DE=40 cm = m,EF=20 cm = m,AC= m,CD=10 m .∴BC 0.2=100.4, ∴BC=5(m), ∴AB=AC+BC=+5=(m),∴树高为 m .位 似课前预习1.同一个点O 位似中心 相似比2.位似 坐标原点课堂探究 【例1】 探究答案:∶2 ∶4 解:(1)△ABC 与△A'B'C'的周长之比为AB A'B'=36=12. 设S △ABC 周长为x cm,△A'B'C'周长为2x cm, 则2x-x=12,解得x=12, 所以△ABC 的周长为12 cm .(2)△ABC 与△A'B'C'的面积之比为AB AB 2=14, 设S △ABC =y cm 2,则S △A'B'C'=4y cm 2, 则y+4y=25,解得y=5, 所以△A'B'C'的面积为20 cm 2. 变式训练1-1:B 变式训练1-2:解:(1)、(3)中的两个图形都是位似图形,位似中心分别为点A 、O ;(2)中的两个图形不是位似图形. 【例2】 探究答案:1.位似中心 2.位似中心解:(1)如图所示.(2)A'C'=√22+22=2√2,AC=4√2, ∴四边形AA'C'C 的周长为AA'+A'C'+C'C+CA=2+2√2+2+4√2=4+6√2.变式训练2-1:B 变式训练2-2:解:作法:(1)连接OA ,并延长OA 到A',使得AA'=OA ; (2)连接OB ,并延长OB 到B',使得BB'=OB ; (3)连接OC ,并延长OC 到C',使得CC'=OC ; (4)连接OD ,并延长OD 到D',使得DD'=OD ; (5)连接A'B',B'C',C'D',D'A'(如图所示),则四边形A'B'C'D'是四边形ABCD 关于O 点的位似图形, 且四边形A'B'C'D'与四边形ABCD 的相似比为2.【例3】 探究答案:1.位似中心 ∶(-2) 解:(1)延长BO 到B',使B'O=2BO ,延长CO 到C',使C'O=2CO ,连接B'C'.则△OB'C'即为△OBC 的位似图形(如图所示). (2)观察图形可知,B'(-6,2)、C'(-4,-2). (3)M'(-2x ,-2y ). 变式训练3-1:C 变式训练3-2:6 课堂训练4.(-4,-4)5.解:(1)OAE 与△OBF 相似.理由:∵AC ∥BD ,∴OA OB =OC OD. 又CE ∥DF ,∴OE OF =OC OD , ∴OA OB =OE OF, ∴AE ∥BF , ∴△OAE ∽△OBF. △OAE 与△OBF 位似.理由: 已证△OAE ∽△OBF ,又△OAE 和△OBF 对应点的连线都经过点O , ∴△OAE 与△OBF 位似. (2)△ACE 与△BDF 位似.理由:由(1)得AE ∥BF ,∴AE BF =OA OB , 又AC ∥BD ,∴AC BD =OA OB =OC OD . 又CE ∥DF ,∴CE DF =OC OD. ∴AC BD =CE DF =AE BF, ∴△ACE ∽△BDF. 又△ACE 和△BDF 对应点的连线都经过点O , ∴△ACE 与△BDF 位似. 课后提升,32或-2,-32 8.解:∵矩形ABCD 与矩形AB'C'D'是位似图形,且点A 为位似中心, ∴AB AB'=AD AD', 即AB AB+4=AD AD+2, ∴2AB=4AD ,即AB AD =21, 又∵矩形ABCD 的周长为24,即AB+AD=12, ∴AB=8,AD=4. 第4章 锐角三角函数正弦和余弦第1课时 正 弦 课前预习1.大小2.对边 斜边 sin A∠A 的对边斜边 3.12 √22 √32课堂探究【例1】 探究答案:1.直角 2.对 斜 角的大小 无关 解:∵BC 2+AC 2=62+82=102=AB 2, ∴△ABC 是直角三角形,∠C=90°,∴sin A=BC AB =610=35,sin B=AC AB =810=45. 变式训练1-1:√55 变式训练1-2:34【例2】 探究答案: 12.倒数 正 311 3。
2023学法大视野九年级上册数学湘教版
一、2023学法大视野九年级上册数学湘教版从简到繁，由浅入深地探讨2023学法大视野九年级上册数学湘教版，是我们深入了解这一主题的首要任务。
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2023版初中数学九年级下册同步训练《学法大视野》(湘教版)含答案62页
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目录结构《学法大视野》(湘教版)含答案62页的目录结构如下：•Unit 1: 分析推理与证明–Section 1: 数列的前后关系–Section 2: 函数的概念–Section 3: 合成函数与反函数–Section 4: 不等式与绝对值•Unit 2: 线性方程与一次函数–Section 1: 一元一次方程–Section 2: 配方法与分式方程–Section 3: 一次函数的图象与性质•Unit 3: 二次根式与二次函数–Section 1: 二次根式的运算–Section 2: 二次函数的概念与图象–Section 3: 初等函数的图象与性质内容特点《学法大视野》(湘教版)含答案62页作为初中九年级数学的同步训练教材，具有以下内容特点：1.有机结合知识点：教材通过合理的章节划分，将数学知识点进行了有机组合，帮助学生更好地理解数学知识的内在联系。
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湘教版九年级上册数学第1章 反比例函数含答案(含解析)
湘教版九年级上册数学第1章反比例函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、对于反比例函数y= ，下列说法正确的是（）A.图象经过点（﹣1，5）B.图象分布在第二、四象限C.当x＞0时，y随x增大而增大D.当x＜0时，y随x增大而减小2、下列函数中，属于反比例函数的是（）A. B. C. D.3、若函数为反比例函数，则m的值为（）A. B.1 C. D.-14、如图，平行四边形的顶A在x轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图像经过C、D两点．已知平行四边形的面积是，则点B的坐标为（）A. B. C. D.5、如图，在x轴上方，∠BOA=90°且其两边分别与反比例函数y=﹣、y= 的图象交于B、A两点，则∠OAB的正切值为（）A. B. C. D.6、已知点（﹣1,y1）,（2,y2）,（3,y3）在反比例函数的图象上．下列结论中正确的是（）A.y1＞y2＞y3B.y1＞y3＞y2C.y3＞y1＞y2D.y2＞y3＞y17、如图，在同一直角坐标系中，函数y= 与y=kx+k2的大致图象是（）A. B. C. D.8、如图，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在x轴和y轴上，，，点是边上一动点，过点D的反比例函数与边交于点E．若将沿折叠，点B的对应点F恰好落在对角线上．则反比例函数的解析式是（）A. B. C. D.9、已知反比例函数y=－，下列结论不正确的是( )A.图象必经过点(－1，2)B. y随x的增大而增大C.图象在第二、四象限内D.当x＞1时，－2＜y＜010、如图，菱形ABCD的两个顶点B，D在反比例函数y= 的图象上，对角线AC与BD的交点恰好是坐标原点O，已知点A（1，1），∠ABC=60°，则k的值是（）A.﹣5B.﹣4C.﹣3D.﹣211、下列结论中，不正确的有（）①反比例函数y=的函数值y随x的增大而减小；②任意三点确定一个圆；③圆既是轴对称图形又是中心对称图形；④二次函数y=x2-2x-3（x≥1）的函数值y随x的增大而减小；⑤平分弦的直径垂直于弦；⑥相等的圆周角所对的弧相等．A.2个B.3个C.4个D.5个12、已知反比例函数的解析式为y＝，且图象位于第一、三象限，则a 的取值范围是（）A.a＝1B.a≠1C.a＞1D.a＜113、如果反比例函数的图象经过点（1，－2），那么k的值是（）A.－2B.－1C.2D.114、已知：如图，在平面直角坐标系中，有菱形OABC，点A的坐标为（10，0），对角线OB、AC相交于点D，双曲线y=（x＞0）经过点D，交BC的延长线于点E，且OB•AC=160，有下列四个结论：①双曲线的解析式为y=（x＞0）；②点C的坐标是（6，8）；③sin∠COA=；④AC+OB=6．其中正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个15、下列关系式中，y是x反比例函数的是（）A.y=B.y= -1C.y=-D.y=二、填空题(共10题，共计30分)16、已知函数y=（k+1）x|k|﹣3是反比例函数，且正比例函数y=kx的图象经过第一、三象限，则k的值为________ ．17、已知点A（a，b）既在一次函数y＝﹣x+3的图象上，又在反比例函数的图象上，则代数式a2+b2的值为________．18、如图，△ABC和△BOD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠BDO＝90°，且点A 在反比例函数（k＞0）的图像上，若OB2－AB2＝10，则k的值为________.19、如图，矩形ABCD的顶点A和对称中心在反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象上，若矩形ABCD的面积为16，则k的值为________．20、如图，点A是反比例函数y= （k>0）图象第一象限上一点，过点A作AB⊥x轴于B点，以AB为直径的圆恰好与Y轴相切，交反比例函数图象于点C，在AB的左侧半圆上有一动点D，连接CD交AB于点E。
湘教版九年级上册数学第2章 一元二次方程含答案【及含答案】
湘教版九年级上册数学第2章一元二次方程含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、下列方程中，关于x的一元二次方程有（）①x2=0；②ax2+bx+c=0；③ x2﹣3= x；④a2+a﹣x=0；⑤（m﹣1）x2+4x+ =0；⑥ + = ；⑦ =2；⑧（x+1）2=x2﹣9．A.2个B.3个C.4个D.5个2、下列方程为一元二次方程的是( )A.x 2－3＝x(x＋4)B.x 2－＝3C.x 2－10x＝5D.4x＋6xy ＝333、方程x2﹣11x+10=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A.12B.12或21C.21D.不能确定4、一元二次方程x2－8x－1=0配方后为( )A.(x－4) 2=17B.(x＋4) 2=15C.(x＋4) 2=17D.(x－4) 2=17或(x＋4) 2=175、若关于的一元二次方程有一个根是0，则的值为（）A.1B.-1C.2D.06、方程x2=2x的根是（）A.x=2B.x1=2，x2=0 C.x1=-2，x2=0 D.x=-27、用配方法解方程x2﹣6x+7＝0，将其化为(x+a)2＝b的形式，正确的是（）A.(x+3) 2＝2B.(x﹣3) 2＝16C.(x﹣6) 2＝2D.(x﹣3) 2＝28、下列四个结论中，正确的是（）A.方程x＋=－2有两个不相等的实数根B.方程x＋=1有两个不相等的实数根C.方程x＋=2有两个不相等的实数根D.方程x＋=a（其中a为常数，且|a|>2）有两个不相等的实数根9、用配方法解方程x2﹣4x﹣6=0时，下列变形正确的是（）A.（x﹣2）2=6B.（x﹣2）2=10C.（x﹣4）2=6D.（x﹣4）2=1010、有一人患了红眼病，经过两轮传染后共有144人患了红眼病，那每轮传染中平均一个人传染的人数为（）人．A.10B.11C.12D.1311、一元二次方程x2=2x的根是（）A.x=2B.x=0C.x1=0，x2=2 D.x1=0，x2=﹣212、用配方法解方程时，配方后所得的方程是（）A.(x-2) 2=3B.(x+2) 2=3C.(x-2) 2=1D.(x-2) 2=-113、某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，则第三季度的产值比第一季度增长了（）A.2x%B.1+2x%C.（1+x%）•x%D.（2+x%）•x%14、用配方法解方程x2﹣4x﹣5＝0时，原方程变形为( )A. B. C. D.15、设x1、x2是方程2x2﹣4x﹣3=0的两根，则x1+x2的值是（）A.2B.﹣2C.D.﹣二、填空题(共10题，共计30分)16、若代数式的值比的值大3，则x的值为________.17、一元二次方程x2﹣6x﹣4=0两根为x1和x2，则x 1+x2=________x1x2=________x1+x2﹣x1x2=________．18、在实数范围内定义运算“★”，其规则为a★b=a2﹣b2，则方程（2★3）★x=9的根为________ ．19、参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则依题意可列方程为________．20、若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，则实数k的取值范围是________ ．21、已知一元二次方程2x2+bx+c=0的两根为x1=-2，x2=3.那么多项式2x2+bx+c可因式分解为________22、若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1=0有两个实数根，则k的取值范围是________．23、若关于x的三个方程x2+4mx+4m2+2m+3=0，x2+（2m+1）x+m2=0，（m﹣1）x2+2mx+m﹣1=0中至少有一个方程有实根，则m的取值范围是________．24、已知关于x的一元二次方程x2+3x-c=0没有实数根，即实数c的取值范围是________。
湘教版九年级数学上册知识点总结
九（上）数学知识点答案第一章一元二次方程一元二次方程：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化作ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)的形式。
（2）一元二次方程的一般式及各系数含义一般式：ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)，其中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
2、分解因式法（1）分解因式的概念当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，根据a·b=0，那么a=0或b=0，这种解一元二次方程的方法称为分解因式。
（2）分解因式法解一元二次方程的一般步骤一、将方程右边化为零；二、将方程左边分解为两个一次因式的乘积；三、设每一个因式分别为0，得到两个一元二次方程；四、解这两个一元二次方程，它们的解就是原方程的解。
3、配方法（1）直接开平方法的定义利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫直接开平方法。
（2）配方法的步骤和方法一、移项，把方程的常数项移到等号右边；二、配，方程两边都加上一次项系数的一半的平方，把原方程化为（x+m）2=n(n≥0)的形式；三、直接用开平方法求出它的解。
4、公式法（1）求根公式b2-4ac≥0时，x=a acb b24 2-±-(2)求一元二次方程的一般式及各系数的含义一、将方程化为一元二次方程的一般ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)；二、计算b2-4ac 的值，当b2-4ac≥0时，方程有实数根，否则方程无实数根；三、代入求根公式，求出方程的根；四、写出方程的两个根。
命题与证明二、知识要点梳理知识点一：定义要点诠释：一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义．知识点二：命题要点诠释：一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题．（句子根据其作用分为判断、陈述、疑问、祈使四个类别．定义属于陈述句，是对一个名称或术语的意义的规定．而命题属于判断句或陈述句，且都对一件事情作出判断．与判断的正确与否没有关系．）知识点三：命题的结构要点诠释：命题可看做由题设(或条件)和结论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．知识点四：公理要点诠释：人类经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据。
【湘教版】九年级数学上册：第4课时相似三角形的判定定理3(含答案)
第4课时相似三角形的判定定理301 基础知识点三边成比例的两个三角形相似1.将一个三角形的各边都缩小壬后，得到的三角形与原三角形(A)A. 一定相似B. 一定不相似C.不一定相似D.不能判断是否相似2.甲三角形的三边分别为1,A/2，V5，乙三角形的三边分别为伍典,5,则甲乙两个三角形(A)A. 一定相似B. 一定不相似C.不一定相似D.无法判断是否相似3.己知Z\ABC的三边长分别为6 cm. 7. 5 cm. 9 cm, ADEF的一边长为4 cm, 要使这两个三角形相似，则ADEF的另两边长可以是(C)A.2 cm, 3 cmB. 4 cm, 5 cmC. 5 cm, 6 cmD. 6 cm, 7 cm4.如图，两个三角形的关系是相似(填“相似”或“不相似” )•理由是三边成比例的两个三角形相似.5.若AABC 各边分别为AB=10 cm, BC=8 cm, AC = 6 cm, ADEF 的两边为DE =5 cm, EF = 4 cm,则当DF=3cm 时，AABC^ADEF.6.AABC和ZXA，B' C z符合下列条件，判断AABC与ZiA，B z C是否相似.BC=2,AC=3,AB=4； B z C =电丄C f =萌,A' B‘ =2.解：在AABC 中，AB〉AC>BC,在M B‘ C/中，A' B' >A‘ C/ >B' C z ,BC 2 r AC 3 匚AB 4p■^冷=W，= 2-・ BC AB AC•矽C‘ 仏 B' C，•:.AABC与M B' C‘不相似.7.如图所示,根据所给条件，判断AABC和ADBE是否相似,并说明理由.解：ZSABCs/iDBE.理由如下：..AC_3_1 BC_4_1 AB__5__1 ・能_石_7匝刁西_乜_刁.AC_BC_ABe，DE_BE_DB'・•・ AABC^ADBE.02 中档题&下列能使AABC和ADEF相似的条件是(C)A.AB = c, AC=b, BC = a, DE=^/a, EF=^/b, T)F=\[cB.AB=1, AC=1. 5, BC=2, DE = 12, EF = 8, DF = 1C.AB = 3, AC=4, BC = 6, DE=12, EF=8, DF = 6D.AB=^2, AC=羽，BC=书，DE=&, EF = 3, DF=39•如图，若A. B. C. P. Q.甲.乙.丙.丁都是方格纸中的格点，为使AABC^APQR,则点R应是甲.乙.丙.丁四点中的(C)A.甲B.乙C.丙D. T10.(东营中考)如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形的三条边长分别是3. 4及x,那么x的值(B)A.只有1个B.可以有2个C.可以有3个D.有无数个11.如图，A ABC中，点D. E. F分别是AB. BC. AC的中点，求证：AABC^AEFD.证明：VDE. EF. DF是△ABC的中位线,.DE_EF_DF_1••疋―胚我—夕・•・ AABC^AEFD.12.如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1, AABC和AEDF的顶点都在网格的格点上.VZDEF=90a +45° =135° ,A ZBAC=135° .13.己知一个三角形框架的三边长分别为3米.4米.5米，现要做一个与其相 似的三角形框架，己有一根长为2米的木条，问其他两根木条可选多长？共 有多少种不同选法？解：(1)若2米的木条为最短边,设其他两根木条的长分别为x m 和y m,则 !=-=-,解得 X=|, y=y.2 x y3 3(2)若2米的木条为第二长的边,设其他两根木条的长分别为x m 和y m,则 (3)若2米的木条为最长边，设其他两根木条长分别为x m 和y m,则 03 综合题14.(荷泽中考)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中,AABC 和ADEF 的顶点都在格点上,玖,匕,Ps, Pt, P5是ADEF 边上的5个格点，请按要求完成下 列各题：(1)试证明AABC 是直角三角形;⑵判断AABC 和ADEF 是否相似,并说明理由；(3)画一个三角形，使它的三个顶点为Pi. P 2. P 3. Pi. P 5中的3个格点，并且与 AABC 相似.解：(1)证明：根据勾股定理，得i=r?解得3_4_5x~y =2 ，解得3 5DAB=2&, AC=萌，BC = 5,AAB2+AC2=BC2.・•・AABC为直角三角形.⑵AABC和ZiDEF相似.理由：根据勾股定理，得AB = 2&, AC=&, BC = 5, DE=4谑,DF=2迈,EF=2倔. ,.AB AC BC Vio• DE^DF^EF^ 4 ,・•・ AABC^ADEF.⑶如图,△P：PR即为所求.(1) 求证：△ABCs^EDF；(2) 求ZBAC的度数.解：(1)证明：VDE = ^/2, DF=^l1 2+3:=^, EF = 2, AB=^l:+2:=^/5, AC =农+3，=换,BC = 5, .AB AC BC VlO，-DE=EF=DF= 2 *・•・ AABC^AEDF.(2) V AABC^ AEDF, A ZBAC= ZDEF.。
湘教版九年级上册数学课本答案
湘教版九年级上册数学课本答案湘教版九年级上册数学课本答案一、几何1．△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，根据三角形内角和定理可知，A+B+C=180°，即a+b+c=180°。
2．设棱长c，则长方体的表面积S=6×c²。
3．圆的面积S=πr²，其中π≈3.14，r为圆的半径。
二、代数1．设a、b、c、d、e是五个不同的整数，用它们组成的方程有：2a+3b=c+d-e;3a+b=4c-d+e;4a-b=5c+d-e.2．设t, a 为变量，t 代表时间，a 代表加速度，则速度方程为 v＝at，距离方程为 s＝at²／2。
3．若a 、b 是实数，用“求解多项式方程”解ax²+bx＋c＝0时，X1＝(-b ＋√（b²－4ac））／2a，X2＝(-b－√（b²－4ac））／2a。
三、数列1．等差数列：若数列{an}中，a1＝1，a2＝2，a3＝3，……，则有a8＝8，a12＝12．2．等比数列：若数列{an}中，a1＝1，a2＝2，a3＝4，……，则有an＝2n-1；a7＝127，a10＝1023．3．数列求和：若数列{an}中，a1＝1，……，a7＝7，则七项和 S7＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28。
四、解析几何1．求圆心到点P的距离：设圆心为O，点P为（x，y），则PO＝（x－x0）²＋（y－y0）²（x0，y0）为圆心坐标。
2．求圆方程及标准方程：若圆心为O（x0，y0），半径为r，则圆方程及标准方程为（x－x0）²＋（y－y0）²＝r²。
3．求函数图像的对称轴：若函数y＝f（x）的图像关于直线x＝a对称，则函数的表达式为y＝f（2a-x）。
五、概率1．独立事件的概率：若A、B是两个独立事件，则概率为P（A∩B）＝P（A）×P（B）。
学法大视野·数学·九年级上册(湘教出版)·规范标准答案
课时参考答案(课前预习、课堂探究、课堂训练、课后提升)第1章 反比例函数1.1 反比例函数课前预习1.y=k x≠ 零 课堂探究【例1】 探究答案:-1 k ≠0B变式训练1-1:解:判断某函数是否是反比例函数,不是看表示变量的字母是不是有x 与y ,而要看它能否化为y=k x (k 为常数,k ≠0)的形式.所以(2)是反比例函数,其中k=-6;(3)是反比例函数,其中k=-3.变式训练1-2:解:(1)由三角形的面积公式,得12xy=36,于是y=72x .所以,y 是x 的反比例函数.(2)由圆锥的体积公式,得13xy=60,于是y=180x . 所以y 是x 的反比例函数.【例2】 探究答案:1.y=k x (k ≠0) 2.(√2,-√2)解:设反比例函数的解析式为y=k x (k ≠0),因为图象过点(√2,-√2),将x=√2,y=-√2代入,得-√2=√2,k=-2. 因此,这个反比例函数的解析式为y=-2x ,将x=-6,y=13代入,等式成立.所以函数图象经过-6,13. 变式训练2-1:B变式训练2-2:解:(1)设y 1=k 1x ,y 2=k 2x (k 1,k 2为常数,且k 1≠0,k 2≠0),则y=k 1x+k 2x .∵x=1,y=4;x=2,y=5,∴{k 1+k 2=4,2k 1+k 22=5.解得{k 1=2,k 2=2.∴y 与x 的函数表达式为y=2x+2x .(2)当x=4时,y=2×4+24=812. 课堂训练1.B2.C3.A4.-25.解:设大约需要工人y 个,每人每天生产纪念品x 个.∴xy=100,即y=100x (x>0) ∵5≤x ≤8,∴1008≤y ≤1005, 即1212≤y ≤20,∵y 是整数,∴大约需工人13至20人. 课后提升1.D2.A3.C4.B5.C6.27.4008.-129.解:(1)∵y 是x 的正比例函数,∴m 2-3=1,m 2=4,m=±2.∵m=2时,m-2=0, ∴舍去. ∴m=-2.(2)∵y 是x 的反比例函数, ∴m 2-3=-1,m 2=2,m=±√2.10.解:(1)由S=12xy=30,得y=60x,x 的取值范围是x>0.(2)由y=60x可知,y 是x 的反比例函数,系数为60. 1.2 反比例函数的图象与性质第1课时 反比例函数的图象课前预习3.(1)一、三 (2)二、四 课堂探究【例1】 探究答案:第一、三象限 >解:(1)∵这个反比例函数图象的一支分布在第一象限, ∴m-5>0,解得m>5.(2)∵点A (2,n )在正比例函数y=2x 的图象上, ∴n=2×2=4,则A 点的坐标为(2,4).又∵点A 在反比例函数y=m -5x的图象上, ∴4=m -52,即m-5=8. ∴反比例函数的解析式为y=8x .变式训练1-1:C变式训练1-2:-52【例2】 探究答案:1.(1,5) 2.{y =k x ,y =3x +m解:(1)∵点(1,5)在反比例函数y=k x 的图象上, ∴5=k 1,即k=5,∴反比例函数的关系式为y=5x .又∵点(1,5)在一次函数y=3x+m 的图象上, ∴5=3+m , ∴m=2. ∴一次函数的关系式为y=3x+2. (2)由题意可得{y =5x ,y =3x +2,解得{x 1=1,y 1=5或{x 2=-53,y 2=-3.∴这两个函数图象的另一个交点的坐标为-53,-3.变式训练2-1:A变式训练2-2:解:(1)将A (-1,a )代入y=-x+2中,得a=-(-1)+2,解得a=3.(2)由(1)得,A (-1,3),将A (-1,3)代入y=k x 中,得到3=k -1,即k=-3,即反比例函数的表达式为y=-3x .(3)如图:过A 点作AD ⊥x 轴于D , ∵A (-1,3),∴AD=3,在直线y=-x+2中,令y=0,得x=2, ∴B (2,0),即OB=2, ∴△AOB 的面积 S=12×OB ×AD=12×2×3=3. 课堂训练1.A2.C3.B4.m>15.解:(1)∵反比例函数y=kx与一次函数y=x+b 的图象,都经过点A (1,2), ∴将x=1,y=2代入反比例函数解析式得,k=1×2=2,将x=1,y=2代入一次函数解析式得,b=2-1=1,∴反比例函数的解析式为y=2x ,一次函数的解析式为y=x+1.(2)对于一次函数y=x+1,令y=0,可得x=-1;令x=0,可得y=1. ∴一次函数图象与x 轴,y 轴的交点坐标分别为(-1,0),(0,1). 课后提升1.C2.B3.A4.D5.C6.-37.-248.解:m 2=(-4)×(-9)=36,∴m=±6.∵反比例函数y=m x的图象位于第一、三象限,∴m>0,∴m=6.9.解:(1)∵y=m -5的一支在第一象限内,∴ m-5>0. ∴m>5.对直线y=kx+k 来说,令y=0,得kx+k=0,即k (x+1)=0. ∵k ≠0,∴x+1=0,即x=-1. ∴点A 的坐标为(-1,0).(2)过点M 作MC ⊥AB 于点C , ∵点A 的坐标为(-1,0),点B 的坐标为(3,0), ∴AB=4,AO=1. ∵S △ABM =12×AB ×MC=1×4×MC=8,∴MC=4.又AM=5,∴AC=3,又OA=1,∴OC=2.∴点M 的坐标为(2,4).把M (2,4)代入y=m -5x , 得4=m -52,则m=13,∴y=8x. 第2课时 反比例函数的性质 课前预习1.在每一象限内 减小 在每一象限内 增大2.y=±x 坐标原点课堂探究 【例1】 探究答案:1.一、三 >0 2.减小 >解:(1)图象的另一支在第三象限,则2n-4>0,解得n>2.(2)把点(3,1)代入y=2n -4x,得2n-4=3, 解得n=72.(3)因为在每个象限内,y 随x 的增大而减小,所以由a 1<a 2,得b 1>b 2.变式训练1-1: A变式训练1-2:<【例2】 探究答案:|k| |k|解:设点A的坐标为a,2a ,则点B的坐标为-a,-2a,∵BC∥x轴,AC∥y轴,∴AC⊥BC,又由题意可得BC=2a,AC=4a,S△ABC=12BC·AC=12·2a·4a=4.变式训练2-1:1变式训练2-2:解:设A的坐标是(m,n),则n=k,即k=mn,∵OB=-m,AB=n,S长方形ABOC=OB·AB=(-m)n=-mn=3,∴mn=-3,∴k=-3,则反比例函数的解析式是y=-3x.课堂训练1.A2.C3.64.25.解:设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0).∵点A是直线与反比例函数y=2x的交点,∴把A(1,a)代入y=2x,得a=2.∴A(1,2).把A(1,2)和C(0,3)代入y=kx+b,得{k+b=2,b=3.解得k=-1,b=3.所以一次函数的解析式为:y=-x+3.课后提升1.D2.D3.A4.C5.C6.C7.x<-2或0<x<18.69.解:(1)图象的另一支在第三象限,∵图象在一、三象限,∴5-2m>0,∴m<52.(2)b1<b2.理由如下:∵m<52,∴m-4<m-3<0,∴b 1<b 2. 1.3 反比例函数的应用课堂探究【例1】 探究答案:1.反比例 v=P F2.减小解:(1)设反比例函数解析式为v=P F ,把(3000,20)代入上式,得20=P 3000,P=3000×20=60000, ∴v=60000F. (2)当F=1200时,v=600001200=50(米/秒)=180(千米/时), 即当它所受的牵引力为1200牛时,汽车的速度为180千米/时.(3)由v=60000F≤30,得F ≥2000. 所以,若限定汽车的速度不超过30米/秒,则F 应不小于2000牛.变式训练1-1:C变式训练1-2:0.5【例2】 探究答案:1.k 2 -2 2.图象解:(1)∵双曲线y=k 2x经过点A (1,2),∴k 2=2. ∴双曲线的解析式为y=2x .∵点B (m ,-1)在双曲线y=2x 上,∴m=-2,则B (-2,-1).由点A (1,2),B (-2,-1)在直线y=k 1x+b 上,得{k 1+b =2,-2k 1+b =-1,解得{k 1=1,b =1.∴直线的解析式为y=x+1.(2)y 2<y 1<y 3.(3)x>1或-2<x<0.变式训练2-1:C变式训练2-2:解:(1)直线y=12x+b 经过第一、二、三象限,与y 轴交于点B , ∴OB=b , ∵点A (2,t ),△AOB 的面积等于1.∴12×2×b=1,可得b=1,即直线为y=12x+1.(2)由点A (2,t )在直线y=12x+1上,可得t=2,即点A 坐标为(2,2),反比例函数y=k x (k 是常量,k ≠0)的图象经过点A ,可得k=4,所求反比例函数解析式为y=4x . 课堂训练1.C2.C3.B4.(1,-2)5.解:(1)将A (2,4)代入反比例函数解析式得m=8,∴反比例函数解析式为y 2=8x,将B (-4,n )代入反比例函数解析式得n=-2,即B (-4,-2),将A 与B 坐标代入一次函数解析式得, {2k +b =4,-4k +b =-2,解得{k =1,b =2.则一次函数解析式为y 1=x+2. (2)联立两函数解析式得{y =x +2,y =8x, 解得{x =2,y =4或{x =-4,y =-2,则y 1=y 2时,x 的值为2或-4.(3)利用题图象得,y 1>y 2时,x 的取值范围为-4<x<0或x>2.课后提升1.D2.D3.C4.D5.x<0或1<x<46.1.67.(3,2)8.19.解:(1)∵反比例函数y=k x的图象过B (4,-2)点, ∴k=4×(-2)=-8,∴反比例函数的解析式为y=-8x.∵反比例函数y=-8的图象过点A (-2,m ),∴m=-8=4,即A (-2,4). ∵一次函数y=ax+b 的图象过A (-2,4),B (4,-2)两点,∴{-2a +b =4,4a +b =-2,解得{a =-1,b =2. ∴一次函数的解析式为y=-x+2.(2)∵直线AB :y=-x+2交x 轴于点C , ∴C (2,0). ∵AD ⊥x 轴于D ,A (-2,4), ∴CD=2-(-2)=4,AD=4,∴S △ADC =12·CD ·AD=12×4×4=8.10.解:(1)把A (m ,2)代入反比例函数解析式y=2x得2=2m ,所以m=1. ∴A (1,2).(2)把A (1,2)代入正比例函数解析式y=kx 得2=k ,所以k=2,因此正比例函数的解析式为y=2x.(3)因为正比例函数的解析式为y=2x ,当x=2时,y ≠3,所以点B (2,3)不在正比例函数图象上. 第2章 一元二次方程2.1 一元二次方程课前预习1.一个 2 整式 3.相等课堂探究【例1】 探究答案:1.2 =2 2.≠0解:根据题意,得m 2-2=2,且m-2≠0.解得m=±2,且m ≠2.所以m=-2.则m 2+2m-4=(-2)2+2×(-2)-4=-4.变式训练1-1:C变式训练1-2:≠±1 =12【例2】 探究答案:1.移项 合并同类项 2.符号 0解:(1)去括号,得4t 2+12t+9-2(t 2-10t+25)=-41,去括号、移项、合并得2t 2+32t=0,所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为2,32,0.(2)去括号,得12x 2-x+12=3x+13, 移项、合并,得12x 2-4x+16=0, 所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为1,-4,1.变式训练2-1:B变式训练2-2:解:{m2-2=2, m+2≠0,解得m=±2且m≠-2.∴m=2.【例3】探究答案:1.根2.≠0解:根据题意,得(m-2)×12+(m2-3)×1-m+1=0,即m2-4=0,故m2=4,解得m=2或m=-2.∵方程(m-2)x2+(m2-3)x-m+1=0是关于x的一元二次方程,∴m-2≠0,即m≠2.故m=-2.变式训练3-1:1变式训练3-2:解:把x=0代入方程得a2-1=0,∴a=±1,∵a-1≠0,∴a≠1,∴a=-1.课堂训练1.C2.A3.-104.-25.解:去括号,得9x2+12x+4=4x2-24x+36.移项、合并同类项得,5x2+36x-32=0.∴它的二次项为5x2二次项系数为5,一次项为36x,一次项系数为36,常数项为-32.课后提升1.D2.D3.C4.C5.D6.x(x+5)=300x2+5x-300=015-3007.18.≠1=19.解:(1)去括号,得x2-4=3x2+2x,移项,得-2x2-2x-4=0,二次项系数为-2,一次项系数为-2,常数项为-4.(2)去括号,移项合并,得(1-2a)x2-2ax=0,二次项系数为1-2a,一次项系数为-2a,常数项为0.10.解:小明的话有道理.理由:若方程为一元二次方程,则m+1=2,m=1.而m=1时,m2+m-2=0,所以此方程不可能为一元二次方程.2.2一元二次方程的解法2.2.1配方法第1课时用配方法解简单的一元二次方程课前预习1.(1)平方根2.(1)a2±2ab+b2(2)完全平方式课堂探究【例1】探究答案:-a±√b没有解:移项,得2(x+1)2=92,两边同时除以2,得(x+1)2=94,∴x+1=±32,∴x 1=-1+32=12,x 2=-1-32=-52.变式训练1-1:m ≥7变式训练1-2:解:(1)移项,得(2x-1)2=25, 开平方得2x-1=±5, ∴2x-1=5或2x-1=-5,解这两个方程得:x 1=3,x 2=-2.(2)两边同除以3,得(x-2)2=4, 开平方得:x-2=±2, ∴x-2=2或x-2=-2.解这两个方程,得x 1=4,x 2=0.【例2】 探究答案:一次项系数一半的平方 解:移项,得x 2-12x=12,配方,得x 2-12x+(14)2=916,(x -14)2=916,∴x-14=34或x-14=-34,∴x 1=1,x 2=-12.变式训练2-1:±43变式训练2-2:解:移项,得x 2-2x=2,配方,得(x-1)2=3,解得x=1±√3.∴x 1=1+√3,x 2=1-√3.课堂训练1.D2.B3.±324.±85.解:(1)移项得x 2-2x=1,配方,得x 2-2x+1=2,即(x-1)2=2,开方,得x-1=±√2,则x 1=1+√2,x 2=1-√2.(2)移项,得x 2-4x=-1,配方,得x 2-4x+4=-1+4,即(x-2)2=3,开方,得x-2=±√3,∴原方程的解是x 1=2+√3,x 2=2-√3.课后提升1.D2.B3.D4.B5.36.-37.900 cm 28.解:(1)直接开平方得,x-1=±√3,即x-1=√3或x-1=-√3,∴x 1=1+√3,x 2=1-√3.(2)配方,得x 2-2x+1=4+1,即(x-1)2=5. ∴x-1=±√5,即x-1=√5或x-1=-√5 ∴x 1=1+√5,x 2=1-√5.(3)方程两边都除以2,得x 2-32=-52x ,移项,得x 2+52x=32.配方,得x 2+52x+542=32+542,即x+542=4916.开平方得,x+54=±74,∴x 1=12,x 2=-3.9.解:用配方法解方程a 2-10a+21=0,得a 1=3,a 2=7. 当a=3时,3、3、7不能构成三角形; 当a=7时,三角形周长为3+7+7=17.10.解:移项得x 2+px=-q ,配方得x 2+px+p 22=-q+p 22,即x+p 22=p 2-4q4.∵p 2≥4q , ∴p 2-4q ≥0,∴x+p 2=±√p 2-4q 2.∴x 1=-p+√p 2-4q2,x 2=-p -√p 2-4q2.第2课时 用配方法解复杂的一元二次方程课前预习(1)1(2)二次项和一次项 常数项 (3)一次项系数一半的平方课堂探究【例1】 探究答案:1.1 2.完全平方式 解:两边同时除以2,得x 2-32x+12=0,移项,得x 2-32x=-12,配方,得x 2-32x+(-34)2=-12+(-34)2,即(x -34)2=116,两边开平方,得x-34=±14,x-34=14或x-34=-14,∴原方程的解为x 1=1,x 2=12.变式训练1-1:D变式训练1-2:解:(1)二次项系数化为1, 得x 2-16x-2=0,移项,得x 2-16x=2,配方,得x 2-16x+1144=2+1144, 即x-1122=289144, ∴x-112=±1712,∴x 1=32,x 2=-43.(2)二次项系数化为1,得x 2-12x-12=0.移项,得x 2-12x=12.配方得x 2-12x+142=12+142,即x-142=916,∴x-14=±34, ∴x 1=1,x 2=-12.【例2】 探究答案:1.1 2.减去解:2x 2-4x+5=2(x 2-2x )+5 =2(x 2-2x+12-12)+5 =2(x-1)2+3 ∵2(x-1)2≥0, ∴2(x-1)2+3>0,∴代数式2x 2-4x+5的值总是一个正数. 变式训练2-1:13变式训练2-2:解:x 2-4x+5=x 2-4x+22-22+5 =(x-2)2+1.∵(x-2)2≥0,且当x=2时值为0, ∴当x=2时,代数式x 2-4x+5的值最小,最小值为1.课堂训练1.A2.B3.x 1=-2,x 2=124.3或-75.-3或36.解:由题意得2x 2-x=x+6,∴2x 2-2x=6,∴x 2-x=3,∴x 2-x+14=3+14,∴x-122=134,∴x-12=±√132,∴x 1=1+√132,x 2=1-√132. ∴x=1+√132或1-√132时,整式2x 2-x 与x+6的值相等. 课后提升1.D2.D3.B4.D5.x 1=1+√3,x 2=1-√36.87.38.1±2√29.解:去括号,得4x 2-4x+1=3x 2+2x-7,移项,得x 2-6x=-8,配方,得(x-3)2=1, ∴x-3=±1,∴x 1=2,x 2=4.10.解:由题意,得2x 2+x-2+(x 2+4x )=0,化简,得3x 2+5x-2=0. 系数化为1,得x 2+53x=23,配方,得x+562=4936,∴x+56=±76,∴x 1=-2,x 2=13.2.2.2 公式法课前预习1.x=-b±√b 2-4ac2a(b 2-4ac ≥0)2.求根公式课堂探究【例1】 探究答案:1.一般形式 2.a 、b 、c解:原方程可化为x 2+2x-1=0, ∵a=1,b=2,c=-1.b 2-4ac=22-4×1×(-1)=8>0,∴x=-2±√82×1=-2±2√22=-1±√2. ∴x 1=-1+√2,x 2=-1-√2.变式训练1-1:D变式训练1-2:解:(1)移项,得2x 2+3x-1=0, ∵a=2,b=3,c=-1,∴b 2-4ac=17>0,∴x=-3±√174, ∴x 1=-3+√174,x 2=-3-√174. (2)化简得,x 2+5x+5=0, ∴a=1,b=5,c=5, ∴b 2-4ac=5>0,∴x=-5±√52, ∴x 1=-5+√52,x 2=-5-√52. 【例2】 探究答案:1.一元二次方程有实数根 2.相等 解:原方程可化为2x 2+2√2x+1=0,∵a=2,b=2√2,c=1, ∴b 2-4ac=(2√2)2-4×2×1=0, ∴x=-2√2±√02×2=-√22. ∴x 1=x 2=-√22.变式训练2-1:解:(1)b 2-4ac=(-2)2-4×1×1=4-4=0. ∴此方程有两个相等的实数根. (2)b 2-4ac=72-4×(-1)×6=49+24=73>0. ∴此方程有两个不相等的实数根. 变式训练2-2:C课堂训练1.D2.C3.24.解:(1)b 2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=16+8=24>0.∴x=-b±√b 2-4ac 2a =4±√242×2=4±2√64=2±√62. ∴x 1=2+√62,x 2=2-√62. (2)整理,得4x 2+12x+9=0,所以a=4,b=12,c=9.因为b 2-4ac=122-4×4×9=0, 所以方程有两个相等的实数根,所以x=-b±√b 2-4ac 2a =-12±√02×4=-128=-32. ∴x 1=x 2=-32.课后提升1.C2.A3.D4.D5.-1+√32,-1-√326.x 1=1,x 2=127.25或168.解:整理得x 2+2x-1=0, b 2-4ac=22-4×1×(-1)=8,x=-2±√82×1=-2±2√22=-1±√2, ∴x 1=-1+√2,x 2=-1-√2.9.解:(1)x 2-4x-1=0, ∵a=1,b=-4,c=-1,∴Δ=(-4)2-4×1×(-1)=20,∴x=4±√202×1=2±√5, ∴x 1=2+√5,x 2=2-√5.(2)∵3x (x-3)=2(x-1)(x+1),∴x 2-9x+2=0, ∵a=1,b=-9,c=2,∴Δ=(-9)2-4×1×2=73>0,∴x=-b±√b 2-4ac 2a =9±√732,∴x 1=9+√732,x 2=9-√732. 10.解:由题意得,m 2+1=2,且m+1≠0, 解得m=1.所以原方程为2x 2-2x-1=0, 这里a=2,b=-2,c=-1.b 2-4ac=(-2)2-4×2×(-1)=12.∴x=2±2√34=1±√32, ∴x 1=1+√32,x 2=1-√32. 2.2.3 因式分解法课前预习1.(2)(a-b )(a+b ) (a ±b )22.一次因式 0 0课堂探究【例1】 探究答案:x [(x+2)-4] 3(x-5)2-2(5-x )=0 (x-5)(3x-13)解:(1)x (x+2)-4x=0,x [(x+2)-4]=0, 即x (x-2)=0, ∴x=0或x-2=0, ∴x 1=0,x 2=2.(2)3(x-5)2=2(5-x ),3(x-5)2-2(5-x )=0, (x-5)[3(x-5)+2]=0, ∴x-5=0或3x-15+2=0,∴x 1=5,x 2=133.变式训练1-1:C变式训练1-2:解:(1)(3x-4)2=3(3x-4), ∴(3x-4)(3x-7)=0,∴x 1=4,x 2=7.(2)3(x+2)2=(x+2)(x-2), (x+2)[3(x+2)-(x-2)]=0, ∴(x+2)(2x+8)=0, ∴x 1=-2,x 2=-4.【例2】 探究答案:直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 解:(1)公式法:∵a=1,b=-3,c=1, ∴b 2-4ac=(-3)2-4×1×1=5>0,∴x=-(-3)±√52×1, ∴x 1=3+√52,x 2=3-√52. (2)因式分解法:原方程可化为x (x-3)=0,∴x=0或x-3=0 ∴x 1=0,x 2=3.(3)配方法:配方,得x 2-2x+1=4+1,即(x-1)2=5,∴x-1=±√5, ∴x 1=1+√5,x 2=1-√5.变式训练2-1:C变式训练2-2:解:(1)用直接开平方法:原方程可化为(x-3)2=4, ∴x-3=±2, ∴x 1=5,x 2=1.(2)用配方法:移项,得x 2-4x=7.配方,得x 2-4x+4=7+4,即(x-2)2=11,∴x-2=±√11∴x-2=√11或x-2=-√11, ∴x 1=2+√11,x 2=2-√11.(3)用因式分解法:方程两边分别分解因式,得(x-3)2=2(x-3)(x+3),移项,得(x-3)2-2(x-3)(x+3)=0. 方程左边分解因式,得 (x-3)[(x-3)-2(x+3)]=0, 即(x-3)(-x-9)=0, ∴x-3=0或-x-9=0. ∴x 1=3,x 2=-9.课堂训练1.C2.D3.74.-1或45.解:(1)∵a=3,b=1,c=-1, ∴b 2-4ac=12-4×3×(-1)=13>0,∴x=-1±√132×3∴x 1=-1+√136,x 2=-1-√136. (2)移项,得(3x-2)2-4(3-x )2=0, 因式分解,得[(3x-2)+2(3-x )][(3x-2)-2(3-x )]=0, 即(x+4)(5x-8)=0, ∴x+4=0或5x-8=0,∴x 1=-4,x 2=85.(3)将原方程整理,得x 2+x=0, 因式分解,得x (x+1)=0, ∴x=0或x+1=0, ∴x 1=0,x 2=-1.课后提升1.A2.D3.B4.B5.B6.x 1=3,x 2=97.68.-19.解:(1)用求根公式法解得y 1=3,y 2=-8. (2)用分解因式法解得x 1=52,x 2=-1. (3)用求根公式法解得y 1=-2+√22,y 2=-2-√22. 10.解:解方程x (x-7)-10(x-7)=0, 得x 1=7,x 2=10. ∵4<第三边长<10,∴x 2=10(舍去).第三边长为7.这个三角形的周长为3+7+7=17.2.3 一元二次方程根的判别式课前预习1.a ≠02.(1)> (2)= (3)<课堂探究【例1】 探究答案:1.一般形式 2.a 、b 、c b 2-4ac解:(1)原方程可化为x 2-6x+9=0, ∵Δ=b 2-4ac=(-6)2-4×1×9=0, ∴原方程有两个相等的实数根.(2)原方程可化为x 2+3x+1=0, ∵Δ=b 2-4ac=32-4×1×1=5>0,∴原方程有两个不相等的实数根.(3)原方程可化为3x 2-2√6x+3=0.∵Δ=b 2-4ac=(-2√6)2-4×3×3=-12<0, ∴原方程无实数根.变式训练1-1:A 变式训练1-2:B【例2】 探究答案:1.≥解:由题意知:b 2-4ac ≥0, 即42-8k ≥0,解得k ≤2. ∴k 的非负整数值为0,1,2. 变式训练2-1:B变式训练2-2:解:∵a=2,b=t ,c=2. ∴Δ=t 2-4×2×2=t 2-16, 令t 2-16=0,解得t=±4,当t=4或t=-4时,原方程有两个相等的实数根.课堂训练1.D2.A3.D4.k<-15.解:(1)当m=3时,Δ=b 2-4ac=22-4×1×3=-8<0, ∴原方程没有实数根.(2)当m=-3时,x 2+2x-3=0, x 2+2x=3, x 2+2x+1=3+1,(x+1)2=4, ∴x+1=±2, ∴x 1=1,x 2=-3.课后提升1.D2.A3.C4.C5.D6.m>17.m<2且m ≠18.6或12或109.解:由题意,得{b 2-4ac =(-2√k +1)2-4(1-2k)(-1)>0 ①1-2k ≠0 ②k +1≥0 ③由①,得4(k+1)+4-8k>0,即-4k>-8,解得k<2.由②得,k ≠12,由③得,k ≥-1. ∴-1≤k<2且k ≠1.10.解:(1)Δ=b 2-4ac=4-4(2k-4)=20-8k.∵方程有两个不等的实根, ∴20-8k>0,∴k<52.(2)∵k 为正整数, ∴0<k<52(且k 为整数),即k 为1或2,∴x=-1±√5-2k . ∵方程的根为整数,∴5-2k 为完全平方数.当k=1时,5-2k=3;当k=2时,5-2k=1. ∴k=2.*2.4 一元二次方程根与系数的关系课前预习-b a c a课堂探究【例1】 探究答案:1.-1 2.2aba+b ab 解:因为方程x 2-x-1=0的两实根为a 、b.所以(1)a+b=1;(2)ab=-1;(3)a 2+b 2=(a+b )2-2ab=12-2×(-1)=3;(4)1a +1b =a+b ab=-1. 变式训练1-1:-2变式训练1-2:-658【例2】 探究答案:1.2(m+1) 2.>0解:∵方程有两个不相等的实数根, ∴Δ=b 2-4ac=[-2(m+1)]2-4×1×(m 2-3)=16+8m>0,解得m>-2;根据根与系数的关系可得x 1+x 2=2(m+1),∵(x 1+x 2)2-(x 1+x 2)-12=0,∴[2(m+1)]2-2(m+1)-12=0,解得m 1=1或m 2=-52.∵m>-2,∴m 2=-52(舍去),∴m=1.变式训练2-1:1变式训练2-2:解:∵x 1+x 2=2,∴m=2.∴原方程为x 2-2x-3=0,即(x-3)(x+1)=0,解得x 1=3,x 2=-1. 课堂训练1.B2.A3.-24.55.解:设x 1,x 2是方程的两个实数根,∴x 1+x 2=-32,x 1x 2=1-m 2. 又∵1x 1+1x 2=3,∴x 1+x 2x 1x 2=3, ∴-31-m=3, ∴-3=3-3m ,∴m=2,又∵当m=2时,原方程的Δ=17>0, ∴m 的值为2. 课后提升1.B2.B3.D4.B5.B6.-20147.68.20149.解:将-2代入原方程得:(-2)2-2+n=0,解得n=-2,因此原方程为x 2+x-2=0,解得x 1=-2,x 2=1,∴m=1.10.解:(1)根据题意得m ≠1Δ=(-2m )2-4(m-1)(m+1)=4,∴x 1=2m+22(m -1)=m+1m -1, x 2=2m -22(m -1)=1. (2)由(1)知x 1=m+1m -1=1+2m -1 又∵方程的两个根都是正整数,∴2m -1是正整数, ∴m-1=1或2. ∴m=2或3.2.5 一元二次方程的应用第1课时 增长率与利润问题 课前预习1.a (1±x )2.(1)单件售价 (2)单件利润课堂探究【例1】探究答案:(1)10000(1+x)10000(1+x)2(2)12100(1+x)解:(1)设捐款增长率为x,根据题意列方程得,10000(1+x)2=12100,解得x1=0.1,x2=-2.1(不合题意,舍去);答:捐款增长率为10%.(2)12100×(1+10%)=13310元.答:第四天该单位能收到13310元捐款.变式训练1-1:A变式训练1-2:B3-2-x【例2】探究答案:200+40x0.1解:设应将每千克小型西瓜的售价降低x元.根据题意,得(3-2-x)200+40x-24=200.0.1解这个方程,得x1=0.2,x2=0.3.答:应将每千克小型西瓜的售价降低0.2元或0.3元.变式训练2-1:2或6变式训练2-2:解:设每件童装应降价x元.根据题意得(40-x)(20+2x)=1200,解这个方程得x1=10,x2=20.因为在相同利润的条件下要扩大销售量,减少库存,所以应舍去x1=10.答:每件童装应降价20元.课堂训练1.B2.D3.B4.20%5.解:设每千克核桃应降价x元.根据题意得(60-x-40)(100+x×20)=2240解这个方程得x1=4,x2=6.答:每千克核桃应降价4元或6元.课后提升1.C2.C3.D4.B5.10%6.30007.40(1+x)2=48.48.10%9.解:(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人,由题意,得1+x+x(1+x)=64,解之,得x1=7,x2=-9.答:每轮传染中平均一个人传染了7个人.(2)7×64=448.答:又有448人被传染.10.解:(1)设每年市政府投资的增长率为x,根据题意,得:2+2(1+x)+2(1+x)2=9.5,整理,得x2+3x-1.75=0,解之,得x 1=0.5, x 2=-0.35(舍去)所以每年市政府投资的增长率为50%.(2)到2013年年底共建廉租房面积=9.5×82=38(万平方米). 第2课时 面积与动点问题 课堂探究【例1】探究答案:1.(6-x ) 2x 2.12(6-x )·2x=8解:设经过x 秒钟后,△PBQ 的面积等于8 cm 2. 根据题意得12(6-x )·2x=8.解这个方程得x 1=2,x 2=4.答:经过2秒或4秒后,△PBQ 的面积等于8 cm 2.变式训练1-1:解:(1)由勾股定理:AC=5 cm ,设x 秒钟后,P 、Q 之间的距离等于5 cm ,这时PC=5-x ,CQ=2x ,则(5-x )2+(2x )2=52,即x 2-2x=0.解这个方程,得x 1=0,x 2=2,其中x 1=0不合题意,舍去.答:再运动2秒钟后,P 、Q 间的距离又等于5 cm .(2)设y 秒钟时,可使△PCQ 的面积等于4 cm 2.12×(5-y )×2y=4, 即y 2-5y+4=0,解得y 1=1,y 2=4.经检验,它们均符合题意.答:1秒钟或4秒钟时,△PCQ 的面积等于4 cm 2. 变式训练1-2:解:设应移动x 米.OA=√AB 2-OB 2=3米.则由题意得(3+x )2+(4-x )2=52.解这个方程得x 1=1,x 2=0(不合题意,舍去).答:应移动1米.【例2】 探究答案:(100-2x ) (50-2x )解:设正方形观光休息亭的边长为x 米.依题意,有(100-2x )(50-2x )=3600.整理,得x 2-75x+350=0.解得x 1=5,x 2=70.∵x=70>50,不合题意,舍去,∴x=5.答:矩形花园各角处的正方形观光休息亭的边长为5米.变式训练2-1:B变式训练2-2:解:设P 、Q 两块绿地周围的硬化路面的宽都为x 米,根据题意,得(40-2x )(60-3x )=60×40×14,解之,得x 1=10,x 2=30(不符合题意,舍去).答:两块绿地周围的硬化路面的宽都是10米. 课堂训练1.B2.C3.D4.15.解:设花边的宽为x 米,根据题意,得(2x+6)(2x+3)=40.解得x 1=1,x 2=-112.但x 2=-112不合题意,舍去.答:花边的宽为1米. 课后提升1.D2.C3.C4.B5.D6.97.24 458.10009.解:(1)设小货车原计划每辆每次运送帐篷x 顶,则大货车原计划每辆每次运送帐篷(x+200)顶,根据题意,得 2[8x+2(x+200)]=16800,解得x=800,x+200=800+200=1000.故大、小货车原计划每辆每次分别运送帐篷1000顶,800顶.(2)根据题意,得2(1000-200m )1+12m +8(800-300)(1+m )=14400,化简为m 2-23m+42=0,解得m 1=2,m 2=21. ∵1000-200m 不能为负数,且12m 为整数,∴m 2=21(不符合实际,舍去),故m 的值为2.10.解:设x 秒后四边形APQB 的面积是△ABC 面积的23,在Rt △ABC 中,AB=10,AC=8,由勾股定理,得BC 2=AB 2-AC 2=102-82=36,∴BC=6.则12(8-2x )(6-x )=13×12×6×8,解得x 1=2,x 2=8(不合题意,舍去), ∴2秒后四边形APQB 的面积是△ABC 面积的23. 第3章 图形的相似3.1 比例线段3.1.1 比例的基本性质课前预习1.(1)比值 比值 (2)比例内项2.(1)bc课堂探究【例1】 探究答案:1.3x 3y =2y 3yx y =232.7y=4x 7∶4解:(1)∵3x=2y , ∴3x =2y , 即x y =23.(2)∵7x =4y, ∴7y=4x ,x y =74. 变式训练1-1:D变式训练1-2:4【例2】 探究答案:1.23解:∵AD AB =AE AC =DE BC =23, ∴AD+AE+DE =2, 即△ADE 的周长△ABC 的周长=23. 设△ADE 和△ABC 的周长分别为2x cm 和3x cm ,则有3x-2x=15,得x=15. ∴△ABC 的周长为45 cm ,△ADE 的周长为30 cm .变式训练2-1:D变式训练2-2:解:设x 3=y 5=z 7=k ,则x=3k ,y=5k ,z=7k , ∴x -y+z x+y -z =3k -5k+7k 3k+5k -7k =5k k=5. 课堂训练1.C2.A3.2∶3=4∶6(答案不唯一)4.135.解:因为m -n n =23, 所以3(m-n )=2n ,化简得3m=5n ,所以m n =53,则3m+2n n =3m n +2=m n ×3+2=53×3+2=7. 课后提升1.C2.C3.D4.C5.A6.52 727.3√38.2或-19.解:∵a ∶b ∶c=1∶2∶4,设a=k ,b=2k ,c=4k ,则a+2b+3ca -b+c =k+4k+12kk -2k+4k =17k 3k =173.10.解:∵a b =c d =e f =23,∴2a 2b =-c-d =-5e -5f =23.∴2a -c -5e2b -d -5f =23.3.1.2成比例线段课前预习1.m ∶n AB CD =m n2.a b =c d3.BC AC 黄金比 √5-12≈0.618课堂探究【例1】探究答案:1.(12-x ) x12-x =64 2.DB AB =EC AC解:(1)设AD=x cm ,则DB=(12-x )cm .则有x12-x =64,解这个方程得x=7.2,所以AD=7.2 cm .(2)DB AB =12-7.212=25,EC AC =46+4=25,所以DB AB =EC AC ,所以线段DB 、AB 、EC 、AC 是成比例线段. 变式训练1-1:B变式训练1-2:解:利用比例线段的定义, ∵a=1 mm =0.1 cm ,b=0.8 cm ,c=0.02 cm ,d=4 cm ,∴d>b>a>c ,而d b =40.8=5,a c =0.10.02=5,∴d b =a c ,∴d 、b 、a 、c 四条线段是成比例线段.【例2】 探究答案:1.AC AB =CB AC 2.3x+3=x 3 解:设CB=x ,∵点C 为线段AB 的黄金分割点, ∴AC AB =CB AC ,即3x+3=x 3,得9=x (x+3), 解得x 1=3√5-32,x 2=-3√5-32(舍去). 故CB 的长为3√5-32. 变式训练2-1:C变式训练2-2:解:因为点C 是AB 的黄金分割点, 所以当AC>BC 时,AC AB =√5-12. 又因为AB=10 cm ,所以AC=√5-12×10=(5√5-5)(cm ),当AC<BC 时,BC AB =√5-12, 所以BC=√5-12×10=(5√5-5)(cm ),所以AC=AB-BC=10-(5√5-5)=(15-5√5)(cm ), 所以AC 的长为(5√5-5)cm 或(15-5√5)cm . 课堂训练1.D2.45 353.6-2√54.=5.解:(1)a ∶b=c ∶d ,即a ∶0.2=0.5∶1,则a=0.2×0.5=0.1.(2)a ∶b=c ∶d ,即3∶7=c ∶21,则7c=21×3,得c=9. 课后提升1.B2.D3.C4.B5.B6.6.987.168.√5-12或3-√529.解:设相邻两个钉子之间的距离为1个单位长度, 则AD=2,BD=5,BE=5,CE=1,CF=4,AF=3.在直角三角形ABD 中,AB=√AD 2+BD 2=√22+52=√29,在直角三角形BCE 中,BC=√BE2+CE2=√52+12=√26,在直角三角形ACF中,AC=√CF2+AF2=√42+32=5,所以ABAC =√295,BCAC=√265.10.解:设每一份为k,由(a-c)∶(a+b)∶(c-b)=(-2)∶7∶1,得{a-c=-2k,a+b=7k,c-b=k,解得{a=3k,b=4k,c=5k,而(3k)2+(4k)2=(5k)2,即a2+b2=c2,所以△ABC是直角三角形.3.2平行线分线段成比例课前预习(1)在另一条直线上截得的线段也相等(2)对应线段(3)成比例课堂探究【例1】探究答案:1.352.DE DF解:∵l1∥l2∥l3,∴AB AC = DE DF,∵AB=3,∴AB=3,∴DE DF = 3 5 ,由DF=20 cm,得DE=35DF=12 cm,∴EF=DF-DE=8 cm.变式训练1-1:D变式训练1-2:12【例2】探究答案:1.AE2.x-4x-4x-4=4D变式训练2-1:B变式训练2-2:A课堂训练1.B2.A3.A4.55.解:∵DE⊥AB,CB⊥AB,∴DE ∥BC ,∴AD AB =AE AC ,即35=5AC, ∴AC=25.∴BC=√AC 2-AB 2=√(253) 2-52=203. 课后提升1.C2.C3.A4.D5.D6.97.68.149.解:∵DE ∥BC ,DF ∥AC ,∴四边形EDFC 为平行四边形, ∴DE=FC=5,又∵DF ∥AC ,∴AD BD =CF BF ,即48=5BF,得BF=10. 10.解:∵DE ∥BC ,∴AD AB =AE AC. 又∵EF ∥CD ,∴AF AD =AE AC , ∴AD AB =AF AD, ∴AD 2=AB ·AF=36,∴AD=6 cm .3.3 相似图形课前预习1.(1)对应相等 对应成比例 (2)∽ △ABC 相似于△A'B'C'(3)相等 成比例2.(1)对应角 成比例 (2)相等 等于相似比 课堂探究【例1】 探究答案:1.∠A' ∠B' ∠C' 2.180°-∠A-∠B解:∵△ABC ∽△A'B'C', ∴∠B=∠B'=60°,在△ABC 中,∠C=180°-∠A-∠B=180°-50°-60°=70°. 变式训练1-1:50变式训练1-2:1∶2【例2】探究答案:(1)CD CB (2)77° 83° 解:因为四边形ABCD ∽四边形EFGH , ∴∠F=∠B=77°,∠G=∠C=83°,EF AB =GH CD =FG BC =418=29, ∴∠H=360°-(∠E+∠F+∠G )=83°,BC=FG ÷29=6×92=27,CD=GH ÷29=7×92=31.5.变式训练2-1:B变式训练2-2:解:由四边形ABCD 与四边形A'B'C'D'相似得,x 21=12y =1015, ∠A=∠A'=120°,∴x=21×1015=14, y=12÷10=12×3=18, ∠α=360°-(∠A+∠B+∠C )=80°. 课堂训练1.C2.B3.6 1.54.9或255.解:因为梯形AEFD ∽梯形EBCF ,所以AD EF =EF BC =AE EB, 又因为AD=4,BC=9,所以EF 2=AD ·BC=4×9=36,所以EF=6,所以AE EB =AD EF =46=23. 课后提升1.B2.D3.D4.D5.D6.2 30°7.60° 140° 18.√5+129.解:∵四边形ABCD 与四边形EFGH 相似,∴∠E=∠A=70°,∠F=∠B=80°. ∴∠G=360°-70°-80°-150°=60°.∵AB EF =AD EH, ∴AB=EF ·AD EH =5×86=203. ∵BC FG =AD EH, ∴BC=FG ·AD EH =7×86=566=283. 10.解:∵△ABC ∽△APQ ,∴AB AP =BC PQ,即4040+60=30PQ, 解得PQ=75.答:PQ 的长为75 cm .3.4 相似三角形的判定与性质3.4.1 相似三角形的判定 第1课时 两角对应相等或平行判定相似 课前预习(1)相似 (2)相等课堂探究 【例1】 探究答案:1.EDA 2.DFC 3.△EDA △DFC解:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AB ∥CD ,AD ∥BC , ∴△BEF ∽△CDF ,△BEF ∽△AED , ∴△BEF ∽△CDF ∽△AED.当△BEF ∽△CDF 时,相似比k 1=BE CD =13; 当△BEF ∽△AED 时,相似比k 2=BE AE =14; 当△CDF ∽△AED 时,相似比k 3=CD AE =34. 变式训练1-1:3变式训练1-2:1∶2【例2】 探究答案:1.∠DAE 2.∠D解:△ABC ∽△ADE ,理由如下: ∵∠1=∠2, ∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC ,即∠BAC=∠DAE ,又∵在△AOB 与△COD 中,∠AOB=∠COD ,∠1=∠3, ∴∠B=∠D , ∴△ABC ∽△ADE.变式训练2-1:C变式训练2-2:证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD ∥BC ,AB ∥CD , ∴∠ADF=∠CED ,∠B+∠C=180°, ∵∠AFE+∠AFD=180°,∠AFE=∠B , ∴∠AFD=∠C , ∴△ADF ∽△DEC. 课堂训练1.D2.C3.A4.∠ADE=∠C (答案不唯一)5.解:(1)在△ABC 中,∵∠A=90°,∠B=50°, ∴∠C=40°. ∴∠A=∠A'=90°,∠C=∠C'=40°. ∴△ABC ∽△A'B'C'(两角相等的两个三角形相似).(2)在△ABC 中,∵∠A=∠B=∠C , ∴∠A=∠B=∠C=60°, ∴∠A=∠A',∠B=∠B', ∴△ABC ∽△A'B'C'(两角相等的两个三角形相似). 课后提升1.A2.D3.C4.D5.66.2.57.解:∵∠A=36°,AB=AC ,∴∠ABC=∠ACB=72°, ∵BD 平分∠ABC , ∴∠CBD=∠ABD=36°,∠BDC=72°, ∴AD=BD ,BC=BD , ∴△ABC ∽△BDC ,∴BD AB =CD BC ,即AD AC =CD AD ,∴AD 2=AC ·CD ,设AD=x ,则CD=1-x , ∴x 2=1×(1-x ),x 2+x-1=0,x=-1±√1+42=-1±√52,x 1=-1+√52,x 2=-1-√52(舍去),∴AD=√5-12,∴AD 的长是√5-12.8.解:(1)△ABC ∽△FOA ,理由如下:在矩形ABCD 中,∠BAC+∠BCA=90°, ∵l 垂直平分AC , ∴∠OFC+∠BCA=90°, ∴∠BAC=∠OFC=∠OFA ,又∵∠ABC=∠FOA=90°, ∴△ABC ∽△FOA.(2)四边形AFCE 是菱形,理由如下: ∵AE ∥FC , ∴∠AEO=∠OFC ,∠EAO=∠OCF , ∴△AOE ∽△COF , ∵OC=OA ,∴OE=OF ,即AC 、EF 互相垂直平分, ∴四边形AFCE 是菱形.第2课时 两边成比例夹角相等或 三边成比例判定相似课前预习(1)成比例 夹角 (2)成比例课堂探究【例1】探究答案:1.4545 2.△DCA解:因为AB CD =45,BC AC =45, 所以AB CD =BC AC, 又因为∠B=∠ACD ,所以△ABC ∽△DCA ,所以AB DC =AC AD, 所以AD=DC ·AC AB =152×56=254. 变式训练1-1:B变式训练1-2:证明:∵四边形ABCD 是正方形, ∴AD=DC=BC ,∠D=∠C=90°, ∵M 是CD 的中点,∴AD ∶DM=2∶1, ∵BP=3PC ,∴CM ∶PC=2∶1,即AD DM =CM PC,且∠D=∠C , ∴△ADM ∽△MCP.【例2】探究答案:1.√5 √10 5 √2 2 √102.√102 √102 √102解:相似.理由如下:AB=√5,AC=√10,BC=5,DE=√2,DF=2,EF=√10,∵AB =√10,AC =√10,BC =√10, 即AB DE =AC DF =BC EF, ∴△ABC ∽△DEF.变式训练2-1:A变式训练2-2:证明:∵D 、E 、F 分别为AB 、AC 、BC 的中点, ∴DE 、DF 、EF 分别为△ABC 的中位线,∴DE=12BC ,DF=12AC ,EF=12AB ,∴DE CB =DF CA =EF BA =12, ∴△DEF ∽△CBA.课堂训练1.A2.C3.B4.35.解:由题知AC=√2,BC=√12+32=√10,AB=4,DF=√22+22=2√2,EF=√22+62=2√10,ED=8,∴AC DF =BC EF =AB DE =12,∴△ABC ∽△DEF.课后提升1.C2.C3.D4.C5.B6.20°7.(4,0)或(3,2)8.解:(1)△ABC ∽△EBD ,理由如下:∵BD ·AB=BE ·BC ,∴BD BC =BE AB ,又∵∠B 为公共角,∴△ABC ∽△EBD.(2)ED ⊥AB ,理由如下:由△ABC ∽△EBD 可得∠EDB=∠C , ∵∠C=90°,∴∠EDB=90°,即ED ⊥AB.9.解:△A'B'C'∽△ABC ,理由如下:∵OA'OA =OC'OC =3,∠AOC=∠A'OC',∴△AOC ∽△A'OC',∴A'C'AC =OA'OA =3,同理B'C'BC =3,A'B'AB =3,∴A'C'AC =B'C'BC =A'B'AB ,∴△A'B'C'∽△ABC.3.4.2相似三角形的性质课前预习1.相似比2.(1)相似比 相似比的平方(2)相似比 相似比的平方课堂探究【例1】 探究答案:1.△ADE 2.DE解:∵BC ∥DE , ∴∠ABC=∠ADE ,∠ACB=∠AED , ∴△ABC ∽△ADE ,所以MC NE =BC DE ,设DE 高为x m ,则0.630=0.24x ,x=12.故旗杆大致高12 m .变式训练1-1:C变式训练1-2:1∶2【例2】 探究答案:1.相似比的平方 2.916解:(1)∵△ABC ∽△ADE ,∴AB AD =AC AE , ∵AB=15,AC=9,BD=5,∴AD=20,∴AE=AD ·AC AB =20×915=12. 即AE 的长为12.(2)∵△ABC ∽△ADE ,∴S △ABC S △ADE =AB 2AD 2=916, ∴S △ADE =16×279=48, ∴S 四边形BDEC =48-27=21.变式训练2-1:A变式训练2-2:D 课堂训练1.D2.D3.1∶24.1∶2 1∶45.解:因为DE ∥BC ,所以∠ADE=∠ABC ,∠AED=∠ACB ,所以△ADE ∽△ABC.又DE BC =13,△ADE 的周长是10 cm , 所以△ABC 的周长是30 cm ,所以梯形BCED 的周长为30-8+2=24(cm ). 课后提升1.D2.A3.B4.A5.1∶96.37.60378.89.(1)证明:∵E 是AB 的中点,∴AB=2EB , ∵AB=2CD ,∴CD=EB ,又∵AB ∥CD , ∴四边形CBED 是平行四边形, ∴DE ∥CB , ∴∠EDM=∠MBF ,∠DEM=∠MFB , ∴△EDM ∽△FBM.(2)解:∵△EDM ∽△FBM ,∴DM BM =DE BF , 又∵F 是BC 的中点, ∴DE=2BF , ∴DM=2BM. ∴BM=13DB=3.。
湘教版数学九年级上册-第4章-锐角三角函数-综合素质评价(含答案)
第4章综合素质评价一、选择题(每题3分，共30分)1．sin 30°的值等于( )A ．12B ．22C ．32D ．332． 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，AB ＝5，则sin A 的值为( )A ．35B ．53C ．45D ．343．[2024·海南中学月考]若锐角α满足12＜cos α＜22，则锐角α的取值范围是( )A ．0°＜α＜45° B ．30°＜α＜45° C ．45°＜α＜60° D ．30°＜α＜60°4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若将各边长度都扩大为原来的3倍，则∠A 的正弦值( )A ．扩大为原来的3倍B ．缩小为原来的13C ．扩大为原来的6倍D ．不变5．[2023·益阳]如图，在平面直角坐标系xOy 中，有三点A (0，1)，B (4，1)，C (5，6)，则sin ∠BAC ＝( )A ．12B ．135C ．22D ．326．数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB 的高度．如图，他们在地面上C 点测得最高点A 的仰角为22°，再向前走70 m 至D 点，又测得最高点A 的仰角为58°，点C ，D ，B 在同一直线上，则该建筑物AB 的高度约为( )(精确到1 m ，参考数据：sin 22°≈0．37，tan 22°≈0．40，sin 58°≈0．85，tan58°≈1．60)A．28 m B．34 m C．37 m D．46 m7．如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边上的点F处．已知AB＝8，BC＝10，则cos∠EFC的值是( )A．34B．43C．35D．458．[2023·衢州]如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆BC ＝2a，AB＝b，AB的最大仰角为α．当∠C＝45°时，则点A到桌面的最大高度是( )A．a＋bcos αB．a＋bsin αC．a＋b cos αD．a＋b sin α9．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，已知AB＝m，∠BAC＝α，则下列结论错误的是( )A．∠BDC＝αB．BC＝m·tan αC．AO＝m2sin αD．BD＝mcos α10．[2023·河南]如图①，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，3PB PC＝y ，图②是点P 运动时y 随x 变化的关系图象，则等边三角形ABC 的边长为( )A ．6B ．3C ．43D ．23二、填空题(每题3分，共24分)11．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝5，则cos A 的值是________．12．[2022·柳州]如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α，sin α＝35，堤坝高BC ＝30 m ，则迎水坡坡面AB 的长度为________m ．13．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足a 2＋|c －10|＋b －8＝12a －36，则sin B 的值为________．14．[2024·广西师范大学附属中学模拟]如图，菱形ABCD 绕A 点顺时针旋转60°，B ，C ，D 的对应点分别为B 1，C 1，D 1，若B 1和D 重合，菱形ABCD 面积为183cm 2，则阴影△DCC 1的面积＝________cm 2．15．如图，将以A 为直角顶点的等腰直角三角形ABC 沿直线BC 平移得到△A ′B ′C ′，使点B ′与C 重合，连接A ′B ，则tan ∠A ′BC ′＝________．16．如图是一台手机支架的侧面示意图，AB ，BC 可分别绕点A ，B转动，测量知BC＝8 cm，AB＝16 cm．当AB，BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时，点C到AE的距离约为________cm(结果保留小数点后一位，参考数据：sin 70°≈0．94，3≈1．73)．17．[2023·雅安]如图，四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠C＝60°，AE∥CD，交BC于点E，BC＝8，AE＝6，则AB的长为________．18．[2023·黄冈]如图，已知点A(3，0)，点B在y轴正半轴上，将线段AB绕点A 顺时针旋转120°到线段AC，若点C的坐标为(7，h)，则h＝________．三、解答题(19～22题每题10分，23题12分，24题14分，共66分)19．计算：2cos 30°－tan 60°＋sin 45°cos 45°．20．在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．(1)已知c＝2，∠A＝60°，求∠B，a，b；(2)已知a＝2，∠A＝45°，求∠B，b，c．21．[2023·北京]如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF，AC＝EF，连接AE，CF．(1)求证：四边形AECF是矩形；(2)若AE＝BE，AB＝2，tan∠ACB＝12，求BC的长．22．如图是某水库大坝的横截面，坝高CD＝20 m，背水坡BC的坡度为i1＝1∶1．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为i2＝1∶3，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，结果精确到0.1 m)．523．[2023·泰州]如图，堤坝AB的长为10 m，坡度i为10．75，底端A在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高20 m的铁塔C D．小明欲测量山高DE，他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线AB上，又在坝顶B 处测得塔底D的仰角α为26°35′．求堤坝高及山高DE．(参考数据：sin 26°35′≈0．45，cos 26°35′≈0．89，tan 26°35′≈0．50，小明身高忽略不计，结果精确到1 m)24．[2023·海南]如图，一艘轮船在A处测得灯塔M位于A的北偏东30°方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达B处，测得灯塔M位于B的北偏东60°方向上，测得港口C位于B的北偏东45°方向上．已知港口C在灯塔M的正北方向上．(1)填空：∠AMB＝________°，∠BCM＝________°；(2)求灯塔M到轮船航线AB的距离(结果保留根号)；(3)求港口C与灯塔M的距离(结果保留根号)．7答案一、1.A2．C 【点拨】∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝4，∴sin A ＝BC AB ＝45.3．C 【点拨】∵cos 60°＝12，cos 45°＝22，12＜cos α＜22，∴45°＜α＜60°.故选C.4．D5．C 【点拨】如图，取格点D ，连接CD ，AD ，则B 在AD 上．∵A (0，1)，B (4，1)，C (5，6)，∴AD ＝5，CD ＝5，∠ADC ＝90°.∴∠BAC ＝45°.∴sin ∠BAC ＝sin 45°＝22.故选C.6．C 【点拨】在Rt △ABD 中，tan ∠ADB ＝AB DB ，∴DB ＝AB tan 58°≈AB 1.60＝58AB .在Rt △ABC 中，tan ∠ACB ＝tan 22°＝AB CB，∴AB 70＋58AB ≈0.40，解得AB ≈37 m ．故选C.7．D 【点拨】由题意得AF ＝AD ＝BC ＝10，∠AFE ＝∠D ＝∠B ＝90°.由等量关系代换可得∠EFC ＝∠BAF ，所以cos ∠EFC ＝cos ∠BAF ＝AB AF ＝810＝45.故选D.8．D 【点拨】如图，过点A 作AF ⊥BE 于F ，过点B 作BG ⊥CD 于G，在Rt △ABF 中，AF ＝AB ·sin α＝b sin α，在Rt △BCG 中，BG ＝BC ·sin 45°＝2a ×22＝a ，∴易得点A 到桌面的最大高度＝BG ＋AF ＝a ＋b sin α.故选D.9．C10．A 【点拨】如图，令点P 从顶点A 出发，沿直线运动到三角形内部一点O ，再从点O 沿直线运动到顶点B .结合图象可知，当点P 在AO 上运动时，PB PC＝1，∴PB ＝PC ，AO ＝2 3.又∵△ABC 为等边三角形，∴∠BAC ＝60°，AB ＝AC ，又∵AP ＝AP ，∴△APB ≌△APC (SSS)，∴∠BAO ＝∠CAO .∴∠BAO ＝∠CAO ＝30°.当点P 在OB 上运动时，可知点P 到达点B 时的路程为43，∴OB ＝23，即AO ＝OB ＝23，∴∠BAO ＝∠ABO ＝30°.过点O 作OD ⊥AB ，∴AD ＝BD ，AD ＝AO ·cos 30°＝3，∴AB ＝AD ＋BD ＝6，即等边三角形ABC 的边长为6.故选A.9二、11.51312．50 【点拨】根据题意得∠ACB ＝90°，sin α＝35，∴BC AB ＝35.∵BC ＝30 m ，∴30AB ＝35，解得AB ＝50(m)，即迎水坡坡面AB 的长度为50 m.13.45【点拨】∵a 2＋|c －10|＋b －8＝12a －36，∴a 2－12a ＋36＋|c －10|＋b －8＝0，∴(a －6)2＋|c －10|＋b －8＝0.∴a －6＝0，c －10＝0，b －8＝0，解得a ＝6，c ＝10，b ＝8.∴a 2＋b 2＝62＋82＝100＝102＝c 2.∴∠C ＝90°.∴sin B ＝b c ＝810＝45.14．93 【点拨】如图，过点C 作CH ⊥C 1D 交C 1D 的延长线于点H ，过点B作BK ⊥AD 于点K .由旋转的性质可得∠BAD ＝60°，∴BK ＝AB ·sin 60°＝32AB .∵菱形ABCD 面积为183cm 2，∴BK ·AD ＝32AB 2＝183cm 2，解得AB ＝6 cm.易得CD ＝C 1D ＝6 cm ，∠CDC 1＝120°，∴∠CDH ＝60°，∴CH ＝CD ·sin 60°＝3 3.∴S 阴影＝12×6×33＝93(cm 2)．15.13【点拨】如图，过点A ′作A ′D ⊥BC ′于点D ，设A ′D ＝x ，易得B ′D ＝x ，BC ＝2x ，则BD ＝3x .所以tan ∠A ′BC ′＝A ′D BD ＝x 3x ＝13.16．6.3 【点拨】如图，过点B ，C 分别作AE 的垂线，垂足为点M ，N ；过点C作CD ⊥BM ，垂足为点D .在Rt △ABM 中，∵∠BAM ＝60°，AB ＝16 cm ，∴BM ＝AB ·sin 60°＝16×32＝83(cm)，∠ABM ＝90°－60°＝30°.在Rt △BCD 中，∵∠DBC ＝∠ABC －∠ABM ＝50°－30°＝20°，∴∠BCD ＝90°－20°＝70°.又∵BC ＝8 cm ，∴BD ＝8×sin 70°≈8×0.94＝7.52(cm)．易知四边形CDMN 为矩形，∴CN ＝DM ＝BM －BD ≈83－7.52≈6.3(cm)，即点C 到AE 的距离约为6.3 cm.17．7 【点拨】如图，连接AC ，BD 交于点O .11∵BC ＝DC ，∠BCD ＝60°，∴△BCD 是等边三角形．∴BD ＝BC ＝CD ＝8.∵AB ＝AD ，BC ＝DC ，∴AC ⊥BD ，BO ＝DO ＝12BD ＝4，∴∠ACD ＝∠ACB ＝12∠BCD ＝30°.又∵AE ∥CD ，∴∠EAC ＝∠ACD ＝∠ACB ＝30°，∴EC ＝AE ＝6.过点E 作EF ⊥AC ，交AC 于点F ，∴CF ＝CE ·cos 30°＝6×32＝33，∴AC ＝CF ＋AF ＝6 3.AF ＝AE ·cos 30°＝6×32＝3 3.∴AC ＝CF ＋AF ＝6 3.∵CO ＝BC ·cos 30°＝8×32＝4 3.∴AO ＝AC －CO ＝63－43＝2 3.∴在Rt △BOA 中，AB ＝AO 2＋BO 2＝(2\r (3))2＋42＝27.18.233【点拨】如图，在x 轴上取点D 和点E ，使得∠ADB ＝∠AEC ＝120°，过点C 作CF ⊥x 轴于点F .∵点C 的坐标为(7，h )，∴OF ＝7，CF ＝h .在Rt △CEF 中，∠CEF ＝180°－∠AEC ＝60°，∴EF ＝CFtan 60°＝33h ，CE ＝CFsin 60°＝233h .∵∠BAC ＝120°，∴∠BAD ＋∠CAE ＝∠BAD ＋∠ABD ＝60°.∴∠CAE ＝∠ABD .∵AB ＝CA ，∴△CAE ≌△ABD (AAS)．∴AD ＝CE ＝233h ，AE ＝BD .∵点A (3，0)，∴OA ＝3，∴OD ＝OA －AD ＝3－233h .在Rt △BOD 中，∠BDO ＝180°－∠ADB ＝60°，∴BD ＝OD cos ∠BDO ＝OD cos 60°＝2(3－233h)＝6－433h ，∴AE ＝BD ＝6－433h .∵OA ＋AE ＋EF ＝OF ，∴3＋6－433h ＋33h ＝7，解得h ＝233.三、19.【解】2cos 30°－tan 60°＋sin 45°cos 45°＝2×32－3＋22×22＝3－3＋12＝12.20．【解】(1)在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，∠A ＝60°，∴∠B ＝90°－∠A ＝30°.13∵sin B ＝bc ，∴b ＝c ·sin B ＝2×sin 30°＝1.∵cos B ＝ac ，∴a ＝c ·cos B ＝2×cos 30°＝ 3.(2)在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，∠A ＝45°，∴∠B ＝90°－∠A ＝45°.∵tan A ＝a b ，∴b ＝a tan A ＝2tan 45°＝ 2.∵sin A ＝a c ，∴c ＝a sin A ＝2sin 45°＝2.21．(1)【证明】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC .∵BE ＝DF ，∴AF ＝EC ，∴四边形AECF 是平行四边形．∵AC ＝EF ，∴四边形AECF 是矩形．(2)【解】由(1)知四边形AECF 是矩形，∴∠AEC ＝∠AEB ＝90°.∵AE ＝BE ，AB ＝2，∴△ABE 是等腰直角三角形．∴AE ＝BE ＝22AB ＝2.又∵tan ∠ACB ＝AEEC ＝12，∴2EC ＝12.∴EC ＝22.∴BC ＝BE ＋EC ＝2＋22＝3 2.22．【解】在Rt △BCD 中，∵背水坡BC 的坡度i 1＝1∶1，∴CD BD＝1.∴BD ＝CD ＝20 m.在Rt △ACD 中，∵背水坡AC 的坡度i 2＝1∶3，∴CD AD＝13.∴AD ＝3CD ＝20 3 m.∴AB ＝AD －BD ＝203－20≈14.6(m )．答：背水坡新起点A 与原起点B 之间的距离约为14.6 m .23．【解】如图，过B 作BH ⊥AE 于H .∵坡度i 为1∶0.75，∴设BH ＝4x m ，则AH ＝3x m.∴AB ＝AH 2＋BH 2＝5x m ．又∵AB ＝10 m ，∴x ＝2.∴AH ＝6 m ，BH ＝8 m.过B 作BF ⊥CE 于F ，则EF ＝BH ＝8 m ，BF ＝EH .设DF ＝a m ．∵α＝26°35′，∴BF ＝DFtan 26°35′≈a0.5＝2a (m)，∴AE ≈(6＋2a )m.∵坡度i 为10.75，∴CE AE ＝10.75≈(20＋a ＋8)(6＋2a )．∴a ≈12.∴DF ≈12 m ，∴DE ＝DF ＋EF ≈12＋8＝20(m)．答：堤坝高为8 m ，山高DE 约为20 m.24．【解】(1)30；45 【点拨】如图，过点C 作CD ⊥AB 于D .∵∠DBM ＝∠A ＋∠AMB ＝30°＋∠AMB ＝60°，∴∠AMB ＝30°.由题意得AB ∥CM .∴∠DBC ＝∠BCM .∵∠DBC ＝45°，∴∠BCM ＝45°.(2)如图，过点M作ME⊥AB于E.由(1)可得∠A＝∠BMA＝30°，∴BM＝AB＝20海里，在Rt△BEM中，∠EBM＝60°，BM＝20海里，∴EM＝BM·sin ∠EBM＝20×sin 60°＝20×32＝103(海里)．∴灯塔M到轮船航线AB的距离为10 3 海里．(3)如图，过点C作CD⊥AB于D.∵CD⊥AB，ME⊥AB，AB∥CM，∴易得四边形CDEM是矩形，∴CD＝EM＝10 3 海里，DE＝CM.在Rt△BEM中，∠EBM＝60°，BM＝20海里，∴BE＝BM·cos ∠EBM＝20×cos 60°＝20×12＝10(海里)．∵在Rt△CDB中，∠DBC＝45°，∴△CDB是等腰直角三角形．∴CD＝BD＝10 3 海里．∴CM＝DE＝BD－BE＝10(3－1)海里．∴港口C与灯塔M的距离为10(3－1)海里．15。
湘教版九年级上册数学第2章 一元二次方程含答案【完整版】
湘教版九年级上册数学第2章一元二次方程含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、已知x=1是方程x2﹣2x+c=0的一个根，则实数c的值是（）A.﹣1B.0C.1D.22、已知x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值是（）A.-3B.3C.-2D.-2或33、下列说法中正确命题有（）①一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角相等．②已知甲、乙两组数据的方差分别为：S2甲＝0.12，S2乙＝0.09 ，则甲的波动大．③等腰梯形既是中心对称图形，又是轴对称图形．④Rt△ABC中，∠C=90°，两直角边a，b分别是方程x2-7x+7=0的两个根，则AB边上的中线长为．A.0个B.1个C.2个D.3个4、三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是方程x2－12x＋20＝0的一个实数根，则三角形的周长是( )A.24B.24或16C.26D.165、关于关于x的一元二次方程x2+x-2=0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.无法判断6、以2和﹣3为根的一元二次方程是（）A.x 2﹣x﹣6＝0B.x 2﹣5x﹣6＝0C.x 2+x﹣6＝0D.x 2+5x﹣6＝07、已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点（A在原点O左侧，B在原点O 右侧)，与y轴交于C点，且OC=OB,令=m，则下列m与b的关系式正确的是（）A.m=B.m=b+1C.m=D.m= +18、如果x=2是一元二次方程x2-x+m=0的解，那么m的值是（）A.0B.2C.6D.-29、下列方程有实数根的是（）A. B. C.x 2﹣x+1=0 D.2x 2+x﹣1=010、用配方法解一元一次方程x2-6x-3=0，经配方后得到的方程是（）A. B. C. D.11、已知关于的一元二次方程的一个根是2，则另一个根是（）A. B. C.3 D.12、x1， x2是关于x的一元二次方程x2-2mx-3m²=0的两根，则下列说法不正确的是( )A.x1+x2=2m B.x1x2=-3m 2 C.x1-x2=±4m D. =-313、若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有一个解为x=﹣1，则另一个解为（）A.1B.﹣3C.3D.414、如果2是方程x2-c=0的一个根，那么c的值是 ( )A.4B.－4C.2D.－215、下列关于x的方程：（1）2x2﹣x﹣3=0（2）x2+=5（3）x2﹣2+x3=0（4）x2+y2=1，其中是一元二次方程的有（）A.4个B.3个C.2个D.1个二、填空题(共10题，共计30分)16、设关于x的﹣元二次方程x2+2kx+﹣k=0有两个实根，则k的取值范围为________．17、已知a=4，b，c是方程x2﹣5x+6=0的两个根，则以a、b、c为三边的三角形面积是________．18、把方程3x2＝5x+2化为一元二次方程的一般形式是________.19、在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=ab-a，根据这个规则，方程(x-1)*x=0的解为________ ．20、一元二次方程x2﹣36=0的根是________．21、设α，β是一元二次方程x2+3x﹣7=0的两个根，则α2+4α+β=________．22、用配方法解方程3x2﹣6x+1=0，则方程可变形为（x﹣________）2=________．23、已知实数m是关于x的方程-3x-1=0的一根，则代数式2-6m+2值为________．24、已知0是关于x的方程mx 2+5x+m2-2m=0的根，则m=________．25、方程（x+3）（x+2）＝x+3的解是________.三、解答题(共5题，共计25分)26、若方程（m﹣2）x ﹣（m+3）x+5=0是一元二次方程，求m的值．27、为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的200%，请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为800元．28、已知a、b、c为整数，且满足4+a2+b2+c2＜ab+3b+2c，求的值．29、若方程（m﹣1）+2mx﹣3=0是关于x的一元二次方程，求m的值．30、青山村种的水稻平均每公顷产7200kg，平均每公顷产8450kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C2、A3、C4、A5、A6、C7、B8、D9、D10、A11、A12、B13、C14、A15、D二、填空题(共10题，共计30分)17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、29、30、。
学法大视野数学湘教版九年级上册
学法大视野数学湘教版九年级上册一、课程概述《学法大视野数学湘教版九年级上册》是湖南教育出版社根据新课程标准编写的九年级数学教材。
本教材主要内容涵盖了几何、代数、函数、数据统计等数学知识点。
通过本教材的学习，学生能够掌握基本的数学概念与技巧，培养数学思维，提高数学解决问题的能力。
二、课程目标1.掌握数学基本概念和基本技能；2.培养数学思维，提高抽象思维和逻辑思维能力；3.培养分析问题和解决问题的能力；4.培养学生的合作与交流能力。
三、课程内容第一章几何图形的认识与相似本章主要介绍了几种常见的几何图形及其性质，包括线段、角、三角形、四边形、圆等。
通过对几何图形的研究，培养学生观察、比较和分析的能力，以及几何图形间相似关系的认识。
第二章几何图形的计算本章主要介绍了几何图形的周长和面积的计算方法。
学生将学习如何计算正方形、长方形、三角形、圆的周长和面积，并通过实际问题的解答运用所学知识。
第三章二次根式和勾股定理本章主要介绍了二次根式及其运算法则，以及勾股定理的概念和应用。
学生将通过学习二次根式的性质以及勾股定理的证明和运用，加深对数学知识的理解和应用。
第四章一次函数和一元二次方程本章主要介绍了一次函数和一元二次方程的概念、性质和应用。
通过学习一次函数和一元二次方程的图像、特点及解法，培养和提高解决实际问题的能力。
第五章数据的收集与整理本章主要介绍了数据的收集、整理及展示方式。
学生将学习如何用直方图、折线图、饼图等方式展示和描绘数据，并通过分析数据的统计特征，培养学生分析和解决实际问题的能力。
四、学习方法1.认真听讲，理解教师的讲解；2.自学教材，强化基础知识；3.多做习题，巩固所学知识；4.课外拓展，丰富数学知识。
五、评估方式学生的评估主要通过平时作业、小测验、单元测试等形式进行。
评估的内容主要涉及数学基本概念的掌握、计算技巧的熟练程度以及问题解决能力的培养。
六、教学资源1.课本：《学法大视野数学湘教版九年级上册》2.课件：配套电子课件3.多媒体设备：电子白板、投影仪等七、总结《学法大视野数学湘教版九年级上册》是一本贴近学生实际生活，注重培养学生数学思维和解决问题能力的教材。
湘教版九年级上册数学第2章 一元二次方程含答案
湘教版九年级上册数学第2章一元二次方程含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是（）A. B. C. D.2、一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（）A.12B.9C.13D.12或93、方程（m﹣2）x2﹣x+=0有两个实数根，则m的取值范围（）A.m＞B.m≤且m≠2C.m≥3D.m≤3且m≠24、用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是A. B. C. D.5、方程x2＝2x的解为( )A.x＝2B.x＝C.x1＝2，x2＝0 D.x1＝， x2＝06、代数式ax2+bx+c（a≠0，a，b，c是常数）中，x与ax2+bx+c的对应值如下表：x ﹣1﹣0 1 2 3ax2+bx+c ﹣2﹣1 2 1﹣﹣2请判断一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c是常数）的两个根x1， x2的取值范围是下列选项中的（）A.﹣＜x1＜0，＜x2＜2 B.﹣1＜x1＜﹣，2＜x2＜ C.﹣＜x1＜0，2＜x2＜ D.﹣1＜x1＜﹣，＜x2＜27、若关于x的方程有两个相等的实数根，则b的值是（）A.－2B.2C.－2 或2D.－8或88、若关于x的一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根，则c的值是（）A.﹣1B.1C.﹣4D.49、若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围（）A.k＜1且k≠0B.k≠0C.k＜1D.k＞110、你认为方程x2+2x-3=0的解应该是（）A.1B.-3C.3D.1或-311、用配方法解方程x2﹣4x+1=0时，配方后所得的方程是（）A.（x﹣2）2=3B.（x+2）2=3C.（x﹣2）2=1D.（x﹣2）2=﹣112、若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2019＝0的一个解，则1+a+b 的值是（）A.2017B.2018C.2019D.202013、已知一元二次方程x2﹣8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为（）A.13B.11或13C.11D.1214、三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是A.24B.24或C.48或D.15、下列方程是一元二次方程的是( )A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、若m，n是方程x2+2015x﹣1=0的两个实数根，则m2n+mn2﹣mn的值等于________．17、已知关于x的一元二次方程（a－1）x2－x + a2－1=0的一个根是0，那么a的值为________.18、一元二次方程ax2+3x+4a﹣3b=0一根是1，则7﹣10a+6b的值为________ ．19、已知关于x的方程x2+x+2a﹣1=0的一个根是0，则a=________．20、若x1、x2是一元二次方程x2-3x-3=0的两个根，则，x1+x2的值是________，21、一块矩形菜地的面积是120m2，如果它的长减少2m，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是________m．22、设a，b分别为一元二次方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，则a2+3a+b＝________．23、关于x的一元二次方程-bx-c=0的a的取值范围________．24、如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程" ；现有下列结论：①若关于x的方程是倍根方程，②方程是倍根方程；若关于x的方程是倍根方程，则；④若q=2p,则关于x的方程(p≠0)是倍根方程．其中正确的结论有________(写出所有正确说法的序号)25、已知方程3x2﹣4x﹣2＝0的两个根是x1、x2，则＝________．三、解答题(共5题，共计25分)26、解方程：2x2+5x=3．27、关于x的一元二次方程x2﹣2mx+（m﹣1）2＝0有两个相等的实数根．（Ⅰ）求m的值；（II）求此方程的根．28、一辆汽车的行驶距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是s=9t+ t2，经过12s汽车行驶了多远？行驶380m需要多少时间？29、某市百货商店服装部在销售中发现“米奇”童装平均每天可售出20件，每件获利40元。
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课时参考答案(课前预习、课堂探究、课堂训练、课后提升) 第1章 反比例函数1.1 反比例函数课前预习 1.y=k x ≠ 零课堂探究【例1】 探究答案:-1 k ≠0B变式训练1-1:解:判断某函数是否是反比例函数,不是看表示变量的字母是不是有x 与y ,而要看它能否化为y=k x (k 为常数,k ≠0)的形式.所以(2)是反比例函数,其中k=-6;(3)是反比例函数,其中k=-3.变式训练1-2:解:(1)由三角形的面积公式,得12xy=36,于是y=72x .所以,y 是x 的反比例函数.(2)由圆锥的体积公式,得13xy=60,于是y=180x . 所以y 是x 的反比例函数.【例2】 探究答案:1.y=k x (k ≠0) 2.(√2,-√2)解:设反比例函数的解析式为y=k x (k ≠0),因为图象过点(√2,-√2),将x=√2,y=-√2代入,得-√2=√2,解得k=-2. 因此,这个反比例函数的解析式为y=-2x ,将x=-6,y=13代入,等式成立.所以函数图象经过-6,13. 变式训练2-1:B变式训练2-2:解:(1)设y 1=k 1x ,y 2=k 2x (k 1,k 2为常数,且k 1≠0,k 2≠0),则y=k 1x+k 2x .∵x=1,y=4;x=2,y=5,∴{k 1+k 2=4,2k 1+k 22=5.解得{k 1=2,k 2=2.∴y 与x 的函数表达式为y=2x+2x .(2)当x=4时,y=2×4+24=812. 课堂训练1.B2.C3.A4.-25.解:设大约需要工人y 个,每人每天生产纪念品x 个.∴xy=100,即y=100x (x>0) ∵5≤x ≤8,∴1008≤y ≤1005, 即1212≤y ≤20,∵y 是整数,∴大约需工人13至20人. 课后提升1.D2.A3.C4.B5.C6.27.4008.-129.解:(1)∵y 是x 的正比例函数, ∴m 2-3=1, m 2=4, m=±2. ∵m=2时,m-2=0, ∴舍去. ∴m=-2.(2)∵y 是x 的反比例函数, ∴m 2-3=-1, m 2=2,m=±√2.10.解:(1)由S=12xy=30,得y=60x, x 的取值范围是x>0.(2)由y=60x可知,y 是x 的反比例函数,系数为60. 1.2 反比例函数的图象与性质第1课时 反比例函数的图象 课前预习3.(1)一、三 (2)二、四课堂探究 【例1】 探究答案:第一、三象限 >解:(1)∵这个反比例函数图象的一支分布在第一象限, ∴m -5>0,解得m>5.(2)∵点A (2,n )在正比例函数y=2x 的图象上, ∴n=2×2=4,则A 点的坐标为(2,4).又∵点A 在反比例函数y=m -5x的图象上, ∴4=m -52,即m-5=8. ∴反比例函数的解析式为y=8x .变式训练1-1:C变式训练1-2:-52【例2】 探究答案:1.(1,5) 2.{y =k x ,y =3x +m解:(1)∵点(1,5)在反比例函数y=k x 的图象上, ∴5=k 1,即k=5,∴反比例函数的关系式为y=5x .又∵点(1,5)在一次函数y=3x+m 的图象上, ∴5=3+m , ∴m=2. ∴一次函数的关系式为y=3x+2. (2)由题意可得{y =5x ,y =3x +2,解得{x 1=1,y 1=5或{x 2=-5,y 2=-3.∴这两个函数图象的另一个交点的坐标为-53,-3.变式训练2-1:A变式训练2-2:解:(1)将A (-1,a )代入y=-x+2中,得a=-(-1)+2,解得a=3.(2)由(1)得,A (-1,3),将A (-1,3)代入y=k x 中,得到3=k -1,即k=-3,即反比例函数的表达式为y=-3x .(3)如图:过A 点作AD ⊥x 轴于D , ∵A (-1,3),∴AD=3,在直线y=-x+2中,令y=0,得x=2, ∴B (2,0),即OB=2, ∴△AOB 的面积 S=12×OB ×AD=12×2×3=3. 课堂训练1.A2.C3.B4.m>15.解:(1)∵反比例函数y=kx与一次函数y=x+b 的图象,都经过点A (1,2), ∴将x=1,y=2代入反比例函数解析式得, k=1×2=2,将x=1,y=2代入一次函数解析式得, b=2-1=1,∴反比例函数的解析式为y=2x ,一次函数的解析式为y=x+1.(2)对于一次函数y=x+1,令y=0,可得x=-1;令x=0,可得y=1. ∴一次函数图象与x 轴,y 轴的交点坐标分别为(-1,0),(0,1). 课后提升1.C2.B3.A4.D5.C6.-37.-248.解:m 2=(-4)×(-9)=36,∴m=±6.∵反比例函数y=m x的图象位于第一、三象限,∴m>0,∴m=6.9.解:(1)∵y=m -5的一支在第一象限内,∴ m-5>0. ∴m>5.对直线y=kx+k 来说,令y=0,得kx+k=0,即k (x+1)=0. ∵k ≠0,∴x+1=0,即x=-1. ∴点A 的坐标为(-1,0).(2)过点M 作MC ⊥AB 于点C , ∵点A 的坐标为(-1,0),点B 的坐标为(3,0), ∴AB=4,AO=1. ∵S △ABM =12×AB ×MC=1×4×MC=8, ∴MC=4.又AM=5,∴AC=3,又OA=1,∴OC=2.∴点M 的坐标为(2,4).把M (2,4)代入y=m -5x , 得4=m -52,则m=13,∴y=8x. 第2课时 反比例函数的性质 课前预习1.在每一象限内 减小 在每一象限内 增大2.y=±x 坐标原点课堂探究 【例1】 探究答案:1.一、三 >0 2.减小 >解:(1)图象的另一支在第三象限,则2n-4>0,解得n>2.(2)把点(3,1)代入y=2n -4x,得2n-4=3, 解得n=72.(3)因为在每个象限内,y 随x 的增大而减小,所以由a 1<a 2,得b 1>b 2.变式训练1-1: A变式训练1-2:<【例2】 探究答案:|k| |k|解:设点A 的坐标为a ,2a ,则点B 的坐标为-a ,-2a,∵BC ∥x 轴,AC ∥y 轴,∴AC ⊥BC ,又由题意可得BC=2a ,AC=4a, S △ABC =12BC ·AC=12·2a ·4a=4.变式训练2-1:1变式训练2-2:解:设A 的坐标是(m ,n ),则n=k,即k=mn , ∵OB=-m ,AB=n ,S 长方形ABOC =OB ·AB=(-m )n=-mn=3,∴mn=-3,∴k=-3,则反比例函数的解析式是y=-3x. 课堂训练1.A2.C3.64.25.解:设一次函数的解析式为y=kx+b (k ≠0).∵点A 是直线与反比例函数y=2x 的交点,∴把A (1,a )代入y=2x ,得a=2.∴A (1,2).把A (1,2)和C (0,3)代入y=kx+b ,得{k +b =2,b =3. 解得k=-1,b=3.所以一次函数的解析式为:y=-x+3. 课后提升1.D2.D3.A4.C5.C6.C7.x<-2或0<x<18.69.解:(1)图象的另一支在第三象限, ∵图象在一、三象限,∴5-2m>0,∴m<52.(2)b 1<b 2.理由如下:∵m<52,∴m -4<m-3<0,∴b 1<b 2. 1.3 反比例函数的应用 课堂探究【例1】 探究答案:1.反比例 v=P F 2.减小解:(1)设反比例函数解析式为v=P F,把(3000,20)代入上式,得20=P 3000,P=3000×20=60000, ∴v=60000F. (2)当F=1200时,v=600001200=50(米/秒)=180(千米/时), 即当它所受的牵引力为1200牛时,汽车的速度为180千米/时.(3)由v=60000F≤30,得F ≥2000. 所以,若限定汽车的速度不超过30米/秒,则F 应不小于2000牛.变式训练1-1:C变式训练1-2:0.5【例2】 探究答案:1.k 2 -2 2.图象解:(1)∵双曲线y=k 2x经过点A (1,2),∴k 2=2. ∴双曲线的解析式为y=2x .∵点B (m ,-1)在双曲线y=2x 上,∴m=-2,则B (-2,-1).由点A (1,2),B (-2,-1)在直线y=k 1x+b 上,得{k 1+b =2,-2k 1+b =-1,解得{k 1=1,b =1.∴直线的解析式为y=x+1.(2)y 2<y 1<y 3.(3)x>1或-2<x<0.变式训练2-1:C变式训练2-2:解:(1)直线y=12x+b 经过第一、二、三象限,与y 轴交于点B , ∴OB=b , ∵点A (2,t ),△AOB 的面积等于1.∴12×2×b=1,可得b=1,即直线为y=12x+1.(2)由点A (2,t )在直线y=12x+1上,可得t=2,即点A 坐标为(2,2),反比例函数y=k x (k 是常量,k ≠0)的图象经过点A ,可得k=4,所求反比例函数解析式为y=4x . 课堂训练1.C2.C3.B4.(1,-2)5.解:(1)将A (2,4)代入反比例函数解析式得m=8,∴反比例函数解析式为y 2=8x,将B (-4,n )代入反比例函数解析式得n=-2,即B (-4,-2),将A 与B 坐标代入一次函数解析式得, {2k +b =4,-4k +b =-2,解得{k =1,b =2.则一次函数解析式为y 1=x+2. (2)联立两函数解析式得{y =x +2,y =8x, 解得{x =2,y =4或{x =-4,y =-2,则y 1=y 2时,x 的值为2或-4.(3)利用题图象得,y 1>y 2时, x 的取值范围为-4<x<0或x>2. 课后提升1.D2.D3.C4.D5.x<0或1<x<46.1.67.(3,2)8.19.解:(1)∵反比例函数y=k x的图象过B (4,-2)点, ∴k=4×(-2)=-8,∴反比例函数的解析式为y=-8x.∵反比例函数y=-8的图象过点A (-2,m ),∴m=-8=4,即A (-2,4). ∵一次函数y=ax+b 的图象过A (-2,4),B (4,-2)两点,∴{-2a +b =4,4a +b =-2,解得{a =-1,b =2. ∴一次函数的解析式为y=-x+2.(2)∵直线AB :y=-x+2交x 轴于点C , ∴C (2,0). ∵AD ⊥x 轴于D ,A (-2,4), ∴CD=2-(-2)=4,AD=4,∴S △ADC =12·CD ·AD=12×4×4=8.10.解:(1)把A (m ,2)代入反比例函数解析式y=2x得2=2m ,所以m=1. ∴A (1,2).(2)把A (1,2)代入正比例函数解析式y=kx 得2=k ,所以k=2,因此正比例函数的解析式为y=2x.(3)因为正比例函数的解析式为y=2x ,当x=2时,y ≠3,所以点B (2,3)不在正比例函数图象上. 第2章 一元二次方程2.1 一元二次方程课前预习1.一个 2 整式 3.相等课堂探究 【例1】 探究答案:1.2 =2 2.≠0解:根据题意,得m 2-2=2,且m-2≠0.解得m=±2,且m ≠2.所以m=-2.则m 2+2m-4=(-2)2+2×(-2)-4=-4.变式训练1-1:C变式训练1-2:≠±1 =12【例2】 探究答案:1.移项 合并同类项 2.符号 0解:(1)去括号,得4t 2+12t+9-2(t 2-10t+25)=-41,去括号、移项、合并得2t 2+32t=0,所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为2,32,0.(2)去括号,得12x 2-x+12=3x+13,移项、合并,得12x 2-4x+16=0,所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为1,-4,1.变式训练2-1:B变式训练2-2:解:{m2-2=2, m+2≠0,解得m=±2且m≠-2.∴m=2.【例3】探究答案:1.根2.≠0解:根据题意,得(m-2)×12+(m2-3)×1-m+1=0,即m2-4=0,故m2=4,解得m=2或m=-2.∵方程(m-2)x2+(m2-3)x-m+1=0是关于x的一元二次方程,∴m-2≠0,即m≠2.故m=-2.变式训练3-1:1变式训练3-2:解:把x=0代入方程得a2-1=0,∴a=±1,∵a-1≠0,∴a≠1,∴a=-1.课堂训练1.C2.A3.-104.-25.解:去括号,得9x2+12x+4=4x2-24x+36.移项、合并同类项得,5x2+36x-32=0.∴它的二次项为5x2二次项系数为5,一次项为36x,一次项系数为36,常数项为-32.课后提升1.D2.D3.C4.C5.D6.x(x+5)=300x2+5x-300=015-3007.18.≠1=19.解:(1)去括号,得x2-4=3x2+2x,移项,得-2x2-2x-4=0,二次项系数为-2,一次项系数为-2,常数项为-4.(2)去括号,移项合并,得(1-2a)x2-2ax=0,二次项系数为1-2a,一次项系数为-2a,常数项为0.10.解:小明的话有道理.理由:若方程为一元二次方程,则m+1=2,m=1.而m=1时,m2+m-2=0,所以此方程不可能为一元二次方程.2.2 一元二次方程的解法2.2.1 配方法第1课时用配方法解简单的一元二次方程课前预习1.(1)平方根2.(1)a2±2ab+b2(2)完全平方式课堂探究【例1】探究答案:-a±√b没有解:移项,得2(x+1)2=92,两边同时除以2,得(x+1)2=94, ∴x+1=±32,∴x 1=-1+32=12,x 2=-1-32=-52.变式训练1-1:m ≥7变式训练1-2:解:(1)移项,得(2x-1)2=25,开平方得2x-1=±5, ∴2x-1=5或2x-1=-5,解这两个方程得:x 1=3,x 2=-2.(2)两边同除以3,得(x-2)2=4,开平方得:x-2=±2, ∴x -2=2或x-2=-2.解这两个方程,得x 1=4,x 2=0.【例2】 探究答案:一次项系数一半的平方解:移项,得x 2-12x=12,配方,得x 2-12x+(14)2=916,(x -14)2=916, ∴x -14=34或x-14=-34,∴x 1=1,x 2=-12.变式训练2-1:±43变式训练2-2:解:移项,得x 2-2x=2,配方,得(x-1)2=3,解得x=1±√3. ∴x 1=1+√3,x 2=1-√3.课堂训练1.D2.B3.±324.±85.解:(1)移项得x 2-2x=1,配方,得x 2-2x+1=2,即(x-1)2=2,开方,得x-1=±√2,则x 1=1+√2,x 2=1-√2.(2)移项,得x 2-4x=-1,配方,得x 2-4x+4=-1+4,即(x-2)2=3,开方,得x-2=±√3, ∴原方程的解是x 1=2+√3,x 2=2-√3.课后提升1.D2.B3.D4.B5.36.-37.900 cm 28.解:(1)直接开平方得,x-1=±√3,即x-1=√3或x-1=-√3,∴x 1=1+√3,x 2=1-√3.(2)配方,得x 2-2x+1=4+1,即(x-1)2=5.∴x -1=±√5,即x-1=√5或x-1=-√5∴x 1=1+√5,x 2=1-√5.(3)方程两边都除以2,得x 2-32=-52x ,移项,得x 2+52x=32. 配方,得x 2+52x+542=32+542, 即x+542=4916. 开平方得,x+54=±74,∴x 1=12,x 2=-3.9.解:用配方法解方程a 2-10a+21=0,得a 1=3,a 2=7.当a=3时,3、3、7不能构成三角形;当a=7时,三角形周长为3+7+7=17.10.解:移项得x 2+px=-q ,配方得x 2+px+p22=-q+p22,即x+p22=p 2-4q 4.∵p 2≥4q , ∴p 2-4q ≥0,∴x+p 2=±√p 2-4q 2. ∴x 1=-p+√p 2-4q 2,x 2=-p -√p 2-4q 2.第2课时 用配方法解复杂的一元二次方程课前预习 (1)1(2)二次项和一次项 常数项(3)一次项系数一半的平方 课堂探究【例1】 探究答案:1.1 2.完全平方式解:两边同时除以2,得x 2-32x+12=0,移项,得x 2-32x=-12,配方,得x 2-32x+(-34)2=-12+(-34)2, 即(x -34)2=116,两边开平方,得x-34=±14,x-34=14或x-34=-14, ∴原方程的解为x 1=1,x 2=12.变式训练1-1:D变式训练1-2:解:(1)二次项系数化为1,得x 2-16x-2=0,移项,得x 2-16x=2,配方,得x 2-16x+1144=2+1144, 即x-1122=289144, ∴x -112=±1712,∴x 1=32,x 2=-43.(2)二次项系数化为1,得x 2-12x-12=0.移项,得x 2-12x=12. 配方得x 2-12x+142=12+142, 即x-142=916, ∴x -14=±34,∴x 1=1,x 2=-12.【例2】 探究答案:1.1 2.减去解:2x 2-4x+5=2(x 2-2x )+5 =2(x 2-2x+12-12)+5 =2(x-1)2+3 ∵2(x-1)2≥0, ∴2(x-1)2+3>0, ∴代数式2x 2-4x+5的值总是一个正数.变式训练2-1:13变式训练2-2:解:x 2-4x+5=x 2-4x+22-22+5 =(x-2)2+1. ∵(x-2)2≥0,且当x=2时值为0, ∴当x=2时,代数式x 2-4x+5的值最小,最小值为1. 课堂训练1.A2.B3.x 1=-2,x 2=124.3或-75.-3或36.解:由题意得2x 2-x=x+6,∴2x 2-2x=6, ∴x 2-x=3,∴x 2-x+14=3+14,∴x-122=134,∴x -12=±√132, ∴x 1=1+√132,x 2=1-√132. ∴x=1+√132或1-√132时,整式2x 2-x 与x+6的值相等. 课后提升1.D2.D3.B4.D5.x 1=1+√3,x 2=1-√36.87.38.1±2√29.解:去括号,得4x 2-4x+1=3x 2+2x-7,移项,得x 2-6x=-8,配方,得(x-3)2=1, ∴x -3=±1,∴x 1=2,x 2=4.10.解:由题意,得2x 2+x-2+(x 2+4x )=0,化简,得3x 2+5x-2=0.系数化为1,得x 2+53x=23, 配方,得x+562=4936,∴x+56=±76, ∴x 1=-2,x 2=13.2.2.2 公式法 课前预习1.x=-b±√b 2-4ac2a (b 2-4ac ≥0)2.求根公式 课堂探究【例1】 探究答案:1.一般形式 2.a 、b 、c解:原方程可化为x 2+2x-1=0, ∵a=1,b=2,c=-1. b 2-4ac=22-4×1×(-1)=8>0,∴x=-2±√82×1=-2±2√22=-1±√2.∴x 1=-1+√2,x 2=-1-√2.变式训练1-1:D变式训练1-2:解:(1)移项,得2x 2+3x-1=0, ∵a=2,b=3,c=-1,∴b 2-4ac=17>0,∴x=-3±√174, ∴x 1=-3+√17,x 2=-3-√17. (2)化简得,x 2+5x+5=0, ∴a=1,b=5,c=5, ∴b 2-4ac=5>0,∴x=-5±√52, ∴x 1=-5+√52,x 2=-5-√52. 【例2】 探究答案:1.一元二次方程有实数根 2.相等 解:原方程可化为2x 2+2√2x+1=0,∵a=2,b=2√2,c=1,∴b 2-4ac=(2√2)2-4×2×1=0,∴x=-2√2±√02×2=-√22. ∴x 1=x 2=-√22. 变式训练2-1:解:(1)b 2-4ac=(-2)2-4×1×1=4-4=0. ∴此方程有两个相等的实数根.(2)b 2-4ac=72-4×(-1)×6=49+24=73>0. ∴此方程有两个不相等的实数根.变式训练2-2:C 课堂训练1.D2.C3.24.解:(1)b 2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=16+8=24>0.∴x=-b±√b 2-4ac 2a =4±√242×2=4±2√64=2±√62. ∴x 1=2+√62,x 2=2-√62. (2)整理,得4x 2+12x+9=0,所以a=4,b=12,c=9.因为b 2-4ac=122-4×4×9=0,所以方程有两个相等的实数根,所以x=-b±√b 2-4ac 2a =-12±√02×4=-128=-32. ∴x 1=x 2=-32.课后提升1.C2.A3.D4.D5.-1+√32,-1-√326.x 1=1,x 2=17.25或168.解:整理得x 2+2x-1=0, b 2-4ac=22-4×1×(-1)=8, x=-2±√82×1=-2±2√22=-1±√2, ∴x 1=-1+√2,x 2=-1-√2.9.解:(1)x 2-4x-1=0, ∵a=1,b=-4,c=-1, ∴Δ=(-4)2-4×1×(-1)=20,∴x=4±√20=2±√5, ∴x 1=2+√5,x 2=2-√5.(2)∵3x (x-3)=2(x-1)(x+1), ∴x 2-9x+2=0, ∵a=1,b=-9,c=2, ∴Δ=(-9)2-4×1×2=73>0,∴x=-b±√b 2-4ac =9±√73, ∴x 1=9+√732,x 2=9-√732. 10.解:由题意得,m 2+1=2,且m+1≠0,解得m=1.所以原方程为2x 2-2x-1=0,这里a=2,b=-2,c=-1. b 2-4ac=(-2)2-4×2×(-1)=12.∴x=2±2√34=1±√32, ∴x 1=1+√32,x 2=1-√32.2.2.3 因式分解法 课前预习1.(2)(a-b )(a+b ) (a ±b )22.一次因式 0 0课堂探究 【例1】 探究答案:x [(x+2)-4] 3(x-5)2-2(5-x )=0(x-5)(3x-13)解:(1)x (x+2)-4x=0,x [(x+2)-4]=0,即x (x-2)=0, ∴x=0或x-2=0, ∴x 1=0,x 2=2.(2)3(x-5)2=2(5-x ),3(x-5)2-2(5-x )=0,(x-5)[3(x-5)+2]=0, ∴x -5=0或3x-15+2=0,∴x 1=5,x 2=133.变式训练1-1:C变式训练1-2:解:(1)(3x-4)2=3(3x-4), ∴(3x-4)(3x-7)=0, ∴x 1=43,x 2=73.(2)3(x+2)2=(x+2)(x-2),(x+2)[3(x+2)-(x-2)]=0, ∴(x+2)(2x+8)=0, ∴x 1=-2,x 2=-4.【例2】 探究答案:直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 解:(1)公式法:∵a=1,b=-3,c=1, ∴b 2-4ac=(-3)2-4×1×1=5>0, ∴x=-(-3)±√52×1, ∴x 1=3+√52,x 2=3-√52. (2)因式分解法:原方程可化为x (x-3)=0, ∴x=0或x-3=0 ∴x 1=0,x 2=3.(3)配方法:配方,得x 2-2x+1=4+1,即(x-1)2=5,∴x -1=±√5,∴x 1=1+√5,x 2=1-√5.变式训练2-1:C变式训练2-2:解:(1)用直接开平方法:原方程可化为(x-3)2=4, ∴x -3=±2,∴x 1=5,x 2=1.(2)用配方法:移项,得x 2-4x=7.配方,得x 2-4x+4=7+4,即(x-2)2=11,∴x -2=±√11∴x -2=√11或x-2=-√11,∴x 1=2+√11,x 2=2-√11.(3)用因式分解法:方程两边分别分解因式,得(x-3)2=2(x-3)(x+3),移项,得(x-3)2-2(x-3)(x+3)=0.方程左边分解因式,得(x-3)[(x-3)-2(x+3)]=0,即(x-3)(-x-9)=0, ∴x -3=0或-x-9=0. ∴x 1=3,x 2=-9. 课堂训练1.C2.D3.74.-1或45.解:(1)∵a=3,b=1,c=-1, ∴b 2-4ac=12-4×3×(-1)=13>0,∴x=-1±√132×3∴x 1=-1+√136,x 2=-1-√136. (2)移项,得(3x-2)2-4(3-x )2=0,因式分解,得[(3x-2)+2(3-x )][(3x-2)-2(3-x )]=0, 即(x+4)(5x-8)=0, ∴x+4=0或5x-8=0,∴x 1=-4,x 2=85.(3)将原方程整理,得x 2+x=0,因式分解,得x (x+1)=0, ∴x=0或x+1=0, ∴x 1=0,x 2=-1. 课后提升1.A2.D3.B4.B5.B6.x 1=3,x 2=97.68.-19.解:(1)用求根公式法解得y 1=3,y 2=-8.(2)用分解因式法解得x 1=52,x 2=-1.(3)用求根公式法解得 y 1=-2+√22,y 2=-2-√22.10.解:解方程x(x-7)-10(x-7)=0,得x1=7,x2=10.∵4<第三边长<10,∴x2=10(舍去).第三边长为7.这个三角形的周长为3+7+7=17.2.3 一元二次方程根的判别式课前预习1.a≠02.(1)> (2)= (3)<课堂探究【例1】探究答案:1.一般形式2.a、b、c b2-4ac解:(1)原方程可化为x2-6x+9=0,∵Δ=b2-4ac=(-6)2-4×1×9=0,∴原方程有两个相等的实数根.(2)原方程可化为x2+3x+1=0,∵Δ=b2-4ac=32-4×1×1=5>0,∴原方程有两个不相等的实数根.(3)原方程可化为3x2-2√6x+3=0.∵Δ=b2-4ac=(-2√6)2-4×3×3=-12<0,∴原方程无实数根.变式训练1-1:A变式训练1-2:B【例2】探究答案:1.≥解:由题意知:b2-4ac≥0,即42-8k≥0,解得k≤2.∴k的非负整数值为0,1,2.变式训练2-1:B变式训练2-2:解:∵a=2,b=t,c=2.∴Δ=t2-4×2×2=t2-16,令t2-16=0,解得t=±4,当t=4或t=-4时,原方程有两个相等的实数根.课堂训练1.D2.A3.D4.k<-15.解:(1)当m=3时,Δ=b2-4ac=22-4×1×3=-8<0,∴原方程没有实数根.(2)当m=-3时,x2+2x-3=0,x2+2x=3,x2+2x+1=3+1,(x+1)2=4,∴x+1=±2,∴x1=1,x2=-3.课后提升1.D2.A3.C4.C5.D6.m>17.m<2且m≠18.6或12或109.解:由题意,得{ b 2-4ac =(-2√k +1)2-4(1-2k)(-1)>0 ①1-2k ≠0 ②k +1≥0 ③由①,得4(k+1)+4-8k>0,即-4k>-8,解得k<2.由②得,k ≠12,由③得,k ≥-1. ∴-1≤k<2且k ≠1.10.解:(1)Δ=b 2-4ac =4-4(2k-4) =20-8k. ∵方程有两个不等的实根, ∴20-8k>0,∴k<52.(2)∵k 为正整数, ∴0<k<52(且k 为整数),即k 为1或2,∴x=-1±√5-2k . ∵方程的根为整数,∴5-2k 为完全平方数.当k=1时,5-2k=3;当k=2时,5-2k=1. ∴k=2.*2.4 一元二次方程根与系数的关系课前预习-b a c a 课堂探究【例1】 探究答案:1.-1 2.2ab a+b ab解:因为方程x 2-x-1=0的两实根为a 、b.所以(1)a+b=1;(2)ab=-1;(3)a 2+b 2=(a+b )2-2ab=12-2×(-1)=3;(4)1a +1b =a+b ab=-1. 变式训练1-1:-2变式训练1-2:-658【例2】 探究答案:1.2(m+1) 2.>0解:∵方程有两个不相等的实数根, ∴Δ=b 2-4ac=[-2(m+1)]2-4×1×(m 2-3) =16+8m>0,解得m>-2;根据根与系数的关系可得x 1+x 2=2(m+1), ∵(x 1+x 2)2-(x 1+x 2)-12=0, ∴[2(m+1)]2-2(m+1)-12=0,解得m 1=1或m 2=-52. ∵m>-2,∴m 2=-52(舍去),∴m=1.变式训练2-1:1变式训练2-2:解:∵x 1+x 2=2,∴m=2. ∴原方程为x 2-2x-3=0,即(x-3)(x+1)=0,解得x 1=3,x 2=-1. 课堂训练1.B2.A3.-24.55.解:设x 1,x 2是方程的两个实数根,∴x 1+x 2=-32,x 1x 2=1-m 2. 又∵1x 1+1x 2=3,∴x 1+x 2x 1x 2=3, ∴-31-m=3, ∴-3=3-3m ,∴m=2,又∵当m=2时,原方程的Δ=17>0, ∴m 的值为2. 课后提升1.B2.B3.D4.B5.B6.-20147.68.20149.解:将-2代入原方程得:(-2)2-2+n=0,解得n=-2,因此原方程为x 2+x-2=0,解得x 1=-2,x 2=1, ∴m=1.10.解:(1)根据题意得m ≠1Δ=(-2m )2-4(m-1)(m+1)=4,∴x 1=2m+22(m -1)=m+1m -1, x 2=2m -22(m -1)=1. (2)由(1)知x 1=m+1m -1=1+2m -1 又∵方程的两个根都是正整数,∴2m -1是正整数, ∴m -1=1或2. ∴m=2或3.2.5 一元二次方程的应用第1课时增长率与利润问题课前预习1.a(1±x)2.(1)单件售价(2)单件利润课堂探究【例1】探究答案:(1)10000(1+x)10000(1+x)2(2)12100(1+x)解:(1)设捐款增长率为x,根据题意列方程得,10000(1+x)2=12100,解得x1=0.1,x2=-2.1(不合题意,舍去);答:捐款增长率为10%.(2)12100×(1+10%)=13310元.答:第四天该单位能收到13310元捐款.变式训练1-1:A变式训练1-2:B3-2-x【例2】探究答案:200+40x0.1解:设应将每千克小型西瓜的售价降低x元.-24=200.根据题意,得(3-2-x)200+40x0.1解这个方程,得x1=0.2,x2=0.3.答:应将每千克小型西瓜的售价降低0.2元或0.3元.变式训练2-1:2或6变式训练2-2:解:设每件童装应降价x元.根据题意得(40-x)(20+2x)=1200,解这个方程得x1=10,x2=20.因为在相同利润的条件下要扩大销售量,减少库存,所以应舍去x1=10.答:每件童装应降价20元.课堂训练1.B2.D3.B4.20%5.解:设每千克核桃应降价x元.×20)=2240根据题意得(60-x-40)(100+x2解这个方程得x1=4,x2=6.答:每千克核桃应降价4元或6元.课后提升1.C2.C3.D4.B5.10%6.30007.40(1+x)2=48.48.10%9.解:(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人,由题意,得1+x+x(1+x)=64,解之,得x1=7,x2=-9.答:每轮传染中平均一个人传染了7个人.(2)7×64=448.答:又有448人被传染.10.解:(1)设每年市政府投资的增长率为x,根据题意,得:2+2(1+x)+2(1+x)2=9.5,整理,得x2+3x-1.75=0,解之,得x1=0.5, x2=-0.35(舍去)所以每年市政府投资的增长率为50%.=38(万平方米).(2)到2013年年底共建廉租房面积=9.5×82第2课时面积与动点问题课堂探究【例1】探究答案:1.(6-x)2x(6-x)·2x=82.12解:设经过x秒钟后,△PBQ的面积等于8 cm2.根据题意得1(6-x)·2x=8.解这个方程得x1=2,x2=4.答:经过2秒或4秒后,△PBQ的面积等于8 cm2.变式训练1-1:解:(1)由勾股定理:AC=5 cm,设x秒钟后,P、Q之间的距离等于5 cm,这时PC=5-x,CQ=2x,则(5-x)2+(2x)2=52,即x2-2x=0.解这个方程,得x1=0,x2=2,其中x1=0不合题意,舍去.答:再运动2秒钟后,P、Q间的距离又等于5 cm.(2)设y秒钟时,可使△PCQ的面积等于4 cm2.1×(5-y)×2y=4,2即y2-5y+4=0,解得y1=1,y2=4.经检验,它们均符合题意.答:1秒钟或4秒钟时,△PCQ的面积等于4 cm2.变式训练1-2:解:设应移动x米.OA=√AB2-OB2=3米.则由题意得(3+x)2+(4-x)2=52.解这个方程得x1=1,x2=0(不合题意,舍去).答:应移动1米.【例2】探究答案:(100-2x)(50-2x)解:设正方形观光休息亭的边长为x米.依题意,有(100-2x)(50-2x)=3600.整理,得x2-75x+350=0.解得x1=5,x2=70.∵x=70>50,不合题意,舍去,∴x=5.答:矩形花园各角处的正方形观光休息亭的边长为5米.变式训练2-1:B变式训练2-2:解:设P 、Q 两块绿地周围的硬化路面的宽都为x 米,根据题意,得(40-2x )(60-3x )=60×40×14,解之,得x 1=10, x 2=30(不符合题意,舍去).答:两块绿地周围的硬化路面的宽都是10米. 课堂训练1.B2.C3.D4.15.解:设花边的宽为x 米,根据题意,得(2x+6)(2x+3)=40.解得x 1=1,x 2=-112.但x 2=-112不合题意,舍去.答:花边的宽为1米. 课后提升1.D2.C3.C4.B5.D6.97.24 458.10009.解:(1)设小货车原计划每辆每次运送帐篷x 顶,则大货车原计划每辆每次运送帐篷(x+200)顶,根据题意,得 2[8x+2(x+200)]=16800,解得x=800, x+200=800+200=1000.故大、小货车原计划每辆每次分别运送帐篷1000顶,800顶.(2)根据题意,得2(1000-200m )1+12m +8(800-300)(1+m )=14400, 化简为m 2-23m+42=0,解得m 1=2,m 2=21.∵1000-200m 不能为负数,且12m 为整数,∴m 2=21(不符合实际,舍去),故m 的值为2.10.解:设x 秒后四边形APQB 的面积是△ABC 面积的23,在Rt △ABC 中,AB=10,AC=8,由勾股定理,得 BC 2=AB 2-AC 2=102-82=36, ∴BC=6.则12(8-2x )(6-x )=13×12×6×8,解得x 1=2,x 2=8(不合题意,舍去), ∴2秒后四边形APQB 的面积是△ABC 面积的23. 第3章 图形的相似3.1 比例线段 3.1.1 比例的基本性质 课前预习1.(1)比值 比值 (2)比例内项2.(1)bc课堂探究 【例1】 探究答案:1.3x 3y =2y 3yx y =23 2.7y=4x 7∶4解:(1)∵3x=2y ,∴3x 3y =2y 3y,即x y =23.(2)∵7=4, ∴7y=4x ,x y =74. 变式训练1-1:D变式训练1-2:4【例2】 探究答案:1.2解:∵AD AB =AE AC =DE BC =23, ∴AD+AE+DE AB+AC+BC =23, 即△ADE 的周长△ABC 的周长=23. 设△ADE 和△ABC 的周长分别为2x cm 和3x cm,则有3x-2x=15,得x=15. ∴△ABC 的周长为45 cm,△ADE 的周长为30 cm .变式训练2-1:D变式训练2-2:解:设x 3=y 5=z 7=k ,则x=3k ,y=5k ,z=7k , ∴x -y+z x+y -z =3k -5k+7k 3k+5k -7k =5k k=5. 课堂训练1.C2.A3.2∶3=4∶6(答案不唯一)4.135.解:因为m -n n =23, 所以3(m-n )=2n ,化简得3m=5n ,所以m n =53,则3m+2n n =3m n +2=m n ×3+2=53×3+2=7. 课后提升1.C2.C3.D4.C5.A6.52 727.3√38.2或-19.解:∵a∶b∶c=1∶2∶4,设a=k ,b=2k , c=4k ,则a+2b+3c a -b+c =k+4k+12k k -2k+4k =17k 3k =173.10.解:∵a b =c d =e f =23,∴2a 2b =-c -d =-5e-5f =23.∴2a -c -5e2b -d -5f =23.3.1.2 成比例线段课前预习1.m∶n AB CD =m n2.a b =c d3.BC AC 黄金比 √5-12≈0.618课堂探究【例1】探究答案:1.(12-x ) x12-x =64 2.DB AB =EC AC解:(1)设AD=x cm,则DB=(12-x )cm .则有x12-x =64,解这个方程得x=7.2,所以AD=7.2 cm .(2)DB AB =12-7.212=25,EC AC =46+4=25,所以DB AB =EC AC ,所以线段DB 、AB 、EC 、AC 是成比例线段. 变式训练1-1:B变式训练1-2:解:利用比例线段的定义, ∵a=1 mm =0.1 cm,b=0.8 cm, c=0.02 cm,d=4 cm,∴d>b>a>c ,而d b =40.8=5,a c =0.10.02=5, ∴d b =a c ,∴d 、b 、a 、c 四条线段是成比例线段.【例2】 探究答案:1.AC AB =CB AC 2.3x+3=x 3 解:设CB=x ,∵点C 为线段AB 的黄金分割点, ∴AC AB =CB AC ,即3x+3=x 3,得9=x (x+3), 解得x 1=3√5-32,x 2=-3√5-32(舍去). 故CB 的长为3√5-32. 变式训练2-1:C变式训练2-2:解:因为点C 是AB 的黄金分割点, 所以当AC>BC 时,AC AB =√5-12. 又因为AB=10 cm,所以AC=√5-12×10=(5√5-5)(cm),当AC<BC 时,BC AB =√5-12, 所以BC=√5-12×10=(5√5-5)(cm),所以AC=AB-BC=10-(5√5-5)=(15-5√5)(cm), 所以AC 的长为(5√5-5)cm 或(15-5√5)cm . 课堂训练1.D2.45 353.6-2√54.=5.解:(1)a∶b=c∶d ,即a∶0.2=0.5∶1,则a=0.2×0.5=0.1.(2)a∶b=c∶d ,即3∶7=c∶21,则7c=21×3,得c=9. 课后提升1.B2.D3.C4.B5.B6.6.987.168.√5-12或3-√529.解:设相邻两个钉子之间的距离为1个单位长度, 则AD=2,BD=5,BE=5,CE=1,CF=4,AF=3.在直角三角形ABD中,AB=√AD2+BD2=√22+52=√29,在直角三角形BCE中,BC=√BE2+CE2=√52+12=√26,在直角三角形ACF中,AC=√CF2+AF2=√42+32=5,所以AB=√29,BC=√26.10.解:设每一份为k,由(a-c)∶(a+b)∶(c-b)=(-2)∶7∶1,得{a-c=-2k,a+b=7k,c-b=k,解得{a=3k,b=4k,c=5k,而(3k)2+(4k)2=(5k)2,即a2+b2=c2,所以△ABC是直角三角形.3.2 平行线分线段成比例课前预习(1)在另一条直线上截得的线段也相等(2)对应线段(3)成比例课堂探究【例1】探究答案:1.352.DE DF解:∵l1∥l2∥l3,∴AB AC =DE DF,∵AB BC =32,∴ABAC=35,∴DE DF =3 5 ,由DF=20 cm,得DE=35DF=12 cm,∴EF=DF-DE=8 cm.变式训练1-1:D变式训练1-2:12【例2】探究答案:1.AEAC 2.x-4x-4x-4x-3=4xD变式训练2-1:B变式训练2-2:A 课堂训练1.B2.A3.A4.55.解:∵DE ⊥AB ,CB ⊥AB , ∴DE ∥BC ,∴AD AB =AE AC ,即35=5AC, ∴AC=253.∴BC=√AC 2-AB 2=√(253) 2-52=203. 课后提升1.C2.C3.A4.D5.D6.97.68.149.解:∵DE ∥BC ,DF ∥AC , ∴四边形EDFC 为平行四边形, ∴DE=FC=5,又∵DF ∥AC ,∴AD BD =CF BF ,即48=5BF,得BF=10. 10.解:∵DE ∥BC ,∴AD AB =AE AC. 又∵EF ∥CD ,∴AF =AE , ∴AD =AF , ∴AD 2=AB ·AF=36, ∴AD=6 cm .3.3 相似图形课前预习 1.(1)对应相等 对应成比例 (2)∽ △ABC 相似于△A'B'C'(3)相等 成比例2.(1)对应角 成比例 (2)相等 等于相似比 课堂探究【例1】 探究答案:1.∠A' ∠B' ∠C'2.180°-∠A-∠B解:∵△ABC ∽△A'B'C', ∴∠B=∠B'=60°,在△ABC 中,∠C=180°-∠A-∠B=180°-50°-60°=70°. 变式训练1-1:50变式训练1-2:1∶2【例2】探究答案:(1)CD CB (2)77° 83° 解:因为四边形ABCD ∽四边形EFGH ,∴∠F=∠B=77°,∠G=∠C=83°,EF AB =GH CD =FG BC =418=29, ∴∠H=360°-(∠E+∠F+∠G )=83°,BC=FG ÷29=6×92=27,CD=GH ÷2=7×9=31.5.变式训练2-1:B变式训练2-2:解:由四边形ABCD 与四边形A'B'C'D'相似得,x 21=12y =1015, ∠A=∠A'=120°,∴x=21×1015=14,y=12÷1015=12×32=18,∠α=360°-(∠A+∠B+∠C )=80°. 课堂训练1.C2.B3.6 1.54.9或255.解:因为梯形AEFD ∽梯形EBCF ,所以AD EF =EF BC =AE EB, 又因为AD=4,BC=9,所以EF 2=AD ·BC=4×9=36,所以EF=6,所以AE EB =AD EF =46=23. 课后提升1.B2.D3.D4.D5.D6.2 30°7.60° 140° 18.√5+129.解:∵四边形ABCD 与四边形EFGH 相似, ∴∠E=∠A=70°,∠F=∠B=80°. ∴∠G=360°-70°-80°-150°=60°.∵AB EF =AD EH, ∴AB=EF ·AD EH =5×86=203. ∵BC FG =AD EH,∴BC=FG ·AD EH =7×86=566=283. 10.解:∵△ABC ∽△APQ ,∴AB AP =BC PQ, 即4040+60=30PQ , 解得PQ=75.答:PQ 的长为75 cm .3.4 相似三角形的判定与性质 3.4.1 相似三角形的判定 第1课时 两角对应相等或平行判定相似 课前预习(1)相似 (2)相等课堂探究 【例1】 探究答案:1.EDA 2.DFC 3.△EDA △DFC解:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AB ∥CD ,AD ∥BC , ∴△BEF ∽△CDF ,△BEF ∽△AED , ∴△BEF ∽△CDF ∽△AED.当△BEF ∽△CDF 时,相似比k 1=BE CD =13; 当△BEF ∽△AED 时,相似比k 2=BE AE =14; 当△CDF ∽△AED 时,相似比k 3=CD AE =34. 变式训练1-1:3变式训练1-2:1∶2【例2】 探究答案:1.∠DAE 2.∠D解:△ABC ∽△ADE ,理由如下: ∵∠1=∠2, ∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC ,即∠BAC=∠DAE ,又∵在△AOB 与△COD 中,∠AOB=∠COD ,∠1=∠3, ∴∠B=∠D , ∴△ABC ∽△ADE.变式训练2-1:C变式训练2-2:证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD ∥BC ,AB ∥CD , ∴∠ADF=∠CED ,∠B+∠C=180°, ∵∠AFE+∠AFD=180°,∠AFE=∠B , ∴∠AFD=∠C , ∴△ADF ∽△DEC. 课堂训练1.D2.C3.A4.∠ADE=∠C (答案不唯一)5.解:(1)在△ABC 中, ∵∠A=90°,∠B=50°, ∴∠C=40°. ∴∠A=∠A'=90°,∠C=∠C'=40°. ∴△ABC ∽△A'B'C'(两角相等的两个三角形相似).(2)在△ABC 中, ∵∠A=∠B=∠C , ∴∠A=∠B=∠C=60°, ∴∠A=∠A',∠B=∠B', ∴△ABC ∽△A'B'C'(两角相等的两个三角形相似). 课后提升1.A2.D3.C4.D5.66.2.57.解:∵∠A=36°,AB=AC , ∴∠ABC=∠ACB=72°, ∵BD 平分∠ABC , ∴∠CBD=∠ABD=36°,∠BDC=72°, ∴AD=BD ,BC=BD , ∴△ABC ∽△BDC ,∴BD AB =CD BC ,即AD AC =CD AD, ∴AD 2=AC ·CD ,设AD=x ,则CD=1-x , ∴x 2=1×(1-x ), x 2+x-1=0,x=-1±√1+42=-1±√52, x 1=-1+√52,x 2=-1-√52(舍去), ∴AD=√5-12,∴AD 的长是√5-12.8.解:(1)△ABC ∽△FOA ,理由如下:在矩形ABCD 中,∠BAC+∠BCA=90°, ∵l 垂直平分AC , ∴∠OFC+∠BCA=90°, ∴∠BAC=∠OFC=∠OFA ,又∵∠ABC=∠FOA=90°, ∴△ABC ∽△FOA.(2)四边形AFCE 是菱形,理由如下: ∵AE ∥FC , ∴∠AEO=∠OFC ,∠EAO=∠OCF , ∴△AOE ∽△COF , ∵OC=OA ,∴OE=OF ,即AC 、EF 互相垂直平分, ∴四边形AFCE 是菱形.第2课时 两边成比例夹角相等或 三边成比例判定相似 课前预习(1)成比例 夹角 (2)成比例 课堂探究【例1】探究答案:1.45 45 2.△DCA解:因为AB CD =45,BC AC =45, 所以AB CD =BC AC, 又因为∠B=∠ACD ,所以△ABC ∽△DCA ,所以AB DC =AC AD, 所以AD=DC ·AC AB =152×56=254. 变式训练1-1:B变式训练1-2:证明:∵四边形ABCD 是正方形, ∴AD=DC=BC ,∠D=∠C=90°, ∵M 是CD 的中点,∴AD∶DM=2∶1, ∵BP=3PC ,∴CM∶PC=2∶1,即AD DM =CM PC,且∠D=∠C , ∴△ADM ∽△MCP.【例2】探究答案:1.√5 √10 5 √2 2 √102.√10 √10 √10解:相似.理由如下:AB=√5,AC=√10,BC=5,DE=√2,DF=2,EF=√10,∵AB DE =√102,AC DF =√102,BC EF =√102, 即AB DE =AC DF =BC EF , ∴△ABC ∽△DEF.变式训练2-1:A变式训练2-2:证明:∵D 、E 、F 分别为AB 、AC 、BC 的中点, ∴DE 、DF 、EF 分别为△ABC 的中位线,∴DE=12BC ,DF=12AC ,EF=12AB ,∴DE CB =DF CA =EF BA =12, ∴△DEF ∽△CBA. 课堂训练1.A2.C3.B4.35.解:由题知AC=√2,BC=√12+32=√10,AB=4,DF=√22+22=2√2,EF=√22+62=2√10,ED=8,∴AC DF =BC EF =AB DE =12, ∴△ABC ∽△DEF. 课后提升1.C2.C3.D4.C5.B6.20°7.(4,0)或(3,2)8.解:(1)△ABC ∽△EBD ,理由如下:∵BD ·AB=BE ·BC ,∴BD BC =BE AB, 又∵∠B 为公共角,∴△ABC ∽△EBD.(2)ED ⊥AB ,理由如下:由△ABC ∽△EBD 可得∠EDB=∠C , ∵∠C=90°,∴∠EDB=90°,即ED ⊥AB.9.解:△A'B'C'∽△ABC ,理由如下:∵OA'OA =OC'OC=3,∠AOC=∠A'OC', ∴△AOC ∽△A'OC',∴A'C'AC =OA'OA=3, 同理B'C'BC =3,A'B'AB =3, ∴A'C'AC =B'C'BC =A'B'AB, ∴△A'B'C'∽△ABC.3.4.2 相似三角形的性质课前预习 1.相似比2.(1)相似比 相似比的平方(2)相似比 相似比的平方 课堂探究【例1】 探究答案:1.△ADE 2.DE解:∵BC ∥DE , ∴∠ABC=∠ADE ,∠ACB=∠AED , ∴△ABC ∽△ADE ,所以MC NE =BC DE, 设DE 高为x m,则0.630=0.24x ,x=12. 故旗杆大致高12 m .变式训练1-1:C变式训练1-2:1∶2【例2】 探究答案:1.相似比的平方 2.916解:(1)∵△ABC ∽△ADE ,∴AB AD =AC AE , ∵AB=15,AC=9,BD=5,∴AD=20,∴AE=AD ·AC AB =20×915=12. 即AE 的长为12.(2)∵△ABC ∽△ADE ,∴S △ABC S △ADE =AB 2AD 2=916, ∴S △ADE =16×279=48, ∴S 四边形BDEC =48-27=21.变式训练2-1:A变式训练2-2:D 课堂训练1.D2.D3.1∶24.1∶2 1∶45.解:因为DE ∥BC ,所以∠ADE=∠ABC ,∠AED=∠ACB ,所以△ADE ∽△ABC.又DE BC =13,△ADE 的周长是10 cm, 所以△ABC 的周长是30 cm,所以梯形BCED 的周长为30-8+2=24(cm). 课后提升1.D2.A3.B4.A5.1∶96.37.60378.89.(1)证明:∵E 是AB 的中点, ∴AB=2EB , ∵AB=2CD ,∴CD=EB ,又∵AB ∥CD , ∴四边形CBED 是平行四边形, ∴DE ∥CB , ∴∠EDM=∠MBF ,∠DEM=∠MFB , ∴△EDM ∽△FBM.(2)解:∵△EDM ∽△FBM ,∴DM BM =DE BF ,又∵F 是BC 的中点, ∴DE=2BF , ∴DM=2BM.∴BM=13DB=3. S △EDM S △FBM =DE BF 2=4.3.5 相似三角形的应用 课堂探究【例1】 探究答案:1.△ABF △EFG2.DF BF FG BG 解:∵CD ∥EF ∥AB , ∴可以得到△CDF ∽△ABF ,△ABG ∽△EFG ,∴CD AB =DF BF ,EF AB =FG BG, 又∵CD=EF ,∴DF BF =FG BG , ∵DF=3,FG=4,BF=BD+DF=BD+3,BG=BD+DF+FG=BD+7,∴3DB+3=4BD+7, ∴BD=9,BF=9+3=12,∴1.6AB =312,解得,AB=6.4 m . 变式训练1-1:A变式训练1-2:5.6【例2】 探究答案:1.△EDC 2.△EDC BC DC解:(1)DE=AB ,理由如下: ∵AB ⊥BF ,ED ⊥BF , ∴∠ABC=∠EDC. ∵∠ACB=∠ECD ,BC=CD , ∴△ABC ≌△EDC (ASA), ∴AB=DE ,即DE 的长就是A 、B 的距离.(2)能,∵∠ABC=∠EDC=90°,∠ACB=∠ECD , ∴△ABC ∽△EDC ,∴AB DE =BC CD ,AB=DE ·BC CD =30×1020=15(米). 即A 、B 之间的距离为15米.变式训练2-1:C变式训练2-2:解:设AB=x 米,因为BC ∥DE ,所以∠ABC=∠D ,又∠A=∠A ,所以△ABC ∽△ADE ,则AB BC =AD DE ,即x 70=20+x 90,解得x=70.答:A 、B 两村相距70米.课堂训练1.A2.B3.84.1.5米5.解:由光的反射定律可知∠1=∠2,∴∠ABS=∠CBP. ∵SA ⊥AC ,PC ⊥AC ,∴∠SAB=∠PCB=90°, ∴△ASB ∽△CPB.∴SA PC =AB CB ,∴SA=AB ·PC CB =10×2420=12(cm).答:点光源S 与平面镜的距离SA 的长是12 cm .课后提升1.C2.A3.A4.D5.22.56.8 m7.4.28.解:∵∠DEF=∠BCD=90°,∠D=∠D , ∴△DEF ∽△DCB ,∴BC =DC ,∵DE=40 cm =0.4 m,EF=20 cm =0.2 m,AC=1.5 m,CD=10 m .∴BC =10,∴BC=5(m), ∴AB=AC+BC=1.5+5=6.5(m),∴树高为6.5 m .3.6 位 似课前预习1.同一个点O 位似中心 相似比2.位似 坐标原点 课堂探究【例1】 探究答案:1.1∶2 2.1∶4解:(1)△ABC 与△A'B'C'的周长之比为AB A'B'=36=12.设S △ABC 周长为x cm,△A'B'C'周长为2x cm,则2x-x=12,解得x=12,所以△ABC 的周长为12 cm .。