行星齿轮机构传动比计算方法

行星齿轮机构传动比计算方法
Key words: epicyclic gear train; speed ratio; compute way.
随着行星齿轮减速器以及行星齿轮传动在变速箱中的广泛应用，对行星齿轮传动的了解和掌握已成为工程技术人员的必要技能。

但是，对于刚接触行星齿轮传动的工程技术人员来说，行星齿轮传动的速比计算比较不容易理解和掌握。

本文通过对各类参考资料及教科书中的行星齿轮传动速比计算方法进行总结归纳，并针对常用的最具代表性的2K-H型行星齿轮传动，分别用不同方法对其传动特性方程进行了推导论证。

行星齿轮传动或称周转轮系。

根据《机械原理》[1]上的定义，我们可把周转轮系分为差动轮系和行星轮系。

为理解方便，本论文所讨论限于2K-H型周转轮系。

关于行星齿轮传动（周转轮系）的速比计算方法，归纳起来有两大类四种方法，分别为由行星架固定法和力矩法组成的分析法；由速度图解法和矢量法组成的图解法[2]。

矢量图解法一般适用于圆锥齿轮组成的行星齿轮传动，在此不作介绍；下面分别运用其它三种计算方法对2K-H型周转轮系的传动特性方程（1）进行推导。

1－太阳轮 2－行星轮 3－内齿圈 H －行星架 图1 行星齿轮传动
Fig 1 Epicyclic gear train
0)1(31=++-αωωαωH （1） 结合图1，式中1ω为太阳轮1的转速、H
ω为行星架H 转速、3
ω为内齿圈3转速、α为内齿圈3与太阳轮1的齿数比即1
3
Z Z =α。

1 行星架固定法
机械专业教科书上一般介绍的都是此种方法，也可叫转化机构法。

其理论是一位名叫Wlies 的科学家于1841年提出的，即“一个机构整体的绝对运动并不影响其内部各构件间的相对运动” [3]，就像手表的时针、分针、秒针的相对运动不会因带表人的行动而变化。

如图2所示，其中太阳轮1、行星轮2、内齿圈3、行星架H 的转速分别为H
ωωωω、、、321。

我们假定整个行星轮系放在一个绕支点O 旋转的圆盘上，此圆盘的转速为 H ω-。

那么，此时行星架的转速为()0=-+=H H H
H ωωω，相当于行星
架固定不动，但行星轮系中的各构件相对运动关系保持不变。

可用定轴轮系的传动比计算方法来考虑问题，我们称之为行星架固定法。

不难推出：
131223H 3H 1H 3H 1H 13
)1()1(Z Z Z Z Z Z i -=⨯⨯-=--==ωωωωωω（2） 1－太阳轮 2－行星轮 3－内齿圈
图2 固定行星架示意图
Fig 2 The schematic of inverted gear train
式中H
13
i 表示行星架H 固定、太阳轮1主动、内齿圈3从动时的传动比；
H 1ω表示当行星架H 固定、主动件太阳轮1的转
速； H 3ω表示当行星架H 固定、从动件内齿圈3的转
速； 由（2）式后半部分13
H 3H 1)1(Z Z -=--ωω
ωω可便得特性方程：0)1(31=++-αωωαωH 。

对于差动轮系，利用（１）式，我们只要知道太阳
轮转速、内齿圈转速、系杆（行星架）转速中有两个，就可求得第三者；当然对于行星轮系，相当于固定三基本构件中的一个，其它两构件的传动比也很容易得出。

固定行星架法，概念清晰，应用灵活。

我们还可以列出包括非基本构件行星轮2的转速2
ω在内的转速关系，有兴趣的读者可自行推导，详见文献[3]。

2 力矩法
此方法很易理解和推导。

如图3，作用于太阳轮1上的力矩
111r F M =； 作用于内齿圈3上的力矩 333r F M =；
作用于行星架H
上的力矩 H H H r F M =。

齿圈3与太阳轮1的齿数比为α，即 1313
r r Z
Z ==α。

因而可由齿轮几何关系式得：131132
12r r r r r r H αα+=+==、。

由行星轮2的力平衡条件（匀速转动）可得：1312F F F F H -==、。

1－太阳轮 2－行星轮 3－内齿圈 H －行星架 图3 力矩法示意图
Fig 2 The schematic of moment
因此，太阳轮1、内齿圈2和行星架H 上的力矩分别为
⎪⎭⎪⎬⎫+-===11113111)1(r F M r F M r F M H αα（3）
根据能量守恒定律，三基本构件上输入和输出功率的代数和应等于零。

即
03311=++ωωωM M M H H （4）
（3）式代入（4）式就可得到行星齿轮机构运动规律的特性方程：
0)1(31=++-αωωαωH
力矩法，相对于固定行星架法，对抽象思维和空间想象要求不高，只需对基本对基本的力矩和功能原理理解，就很自然的推出相应的公式。

文献[4]对力矩法也作了介绍。

和本文略有不同，但都是基于对力矩和功能原理得出其特性方程。

有兴趣的读者可对比阅读。

3 速度图解法
相对于分析法，图解法不只局限于数学上的理解，其更为直观，各构件的转速一目了然。

随着CAD 技术
的普及，原来计算结果不精确的情况也大为改善。

由《理论力学》中的刚体平面运动原理，可将物体的平面运动简化为平面图形的运动。

当平面图形运动时，在每一时刻都有一个瞬时转动中心，即图形绕着一个速度等于零的点转动，这个点称为绝对瞬心。

应用这个原理来绘制平面图形运动的速度图的方法，称之为速度图解法。

为了便于理解，分析前, 先看一下车轮子沿水平路面作等速直线纯滚动的情况。

车轮的滚动情况与行星轮有一定的相似之处, 平直的路面可以看作半径为∞的圆周, 而行星轮只不过是在有限半径的圆周上滚动罢了。

如图4所示, 车轮中心O 点的速度为O
V ,车轮与地面接触点的速度为零, 该点即为车轮子的绝对瞬心。

在此瞬时, 车轮上各点的运动就同它们绕瞬心作定轴转动时一样。

转动的角速度为r V
O =ω。

轮缘上A 点的速度O A V r V 22==ω。

以
此为基础, 便可以对行星齿轮传动进行图解分析。

V O
0A V A
B
图4 车轮前进示意图
Fig 2 The schematic of wheel travel
1－太阳轮 2－行星轮 3－内齿圈 H －行星架
图5 速度图解法示意图
Fig 2 The schematic of velocity iconoqraphy
分析图5，其中A 为太阳轮1和行星轮2的啮合点，B 为内齿圈3和行星轮2的啮合点，在啮合点处两轮的相对速度为零，即两轮在此点的绝对速度相等，我们把该点称之为两构件的相对瞬心。

行星轮2中心O 2为行星轮2和行星架的相对瞬心。

构件1、3、H 的绝对瞬心都为O ，而行星轮2的绝对瞬心为C 点（见后面说明）。

如图5，按比例绘出AF 、BD ；其中，AF 为太阳轮1上A 点的线速度，大小为1
1r ω；BD 为内齿圈3上B 点的线速度，大小为3
3r ω。

至此，我们已得到构件1、2、3的速度线，分别为OF 、DE 、OD 。

DE 与OB （或两延长线）相交点C 就为行星轮2的绝对瞬心，也就是说行星轮2绕速度为零的点C 转动。

由DE 线可求得O 2点的线速度O 2E ，可得行星架H 的速度线OE 。

由图5可得： 223
3112r r r BD AF E O H H ωωω+=⇒+
=（5）
把13113212r r r r r r H αα+=+==、代入（5）式便可得行星齿轮机
构运动规律的特性方程（1）式： 0
)1(31=++-αωωαωH 图5只是针对2K-H 型周转轮系中的一种情况，其它各种情况参考文献[5]，其中瞬心—速度矢量法同本文的速度图解法，原理应用都相同
4 综述
介绍上述三种推导方法，不是纯粹的为了推导行星齿轮机构运动规律特性方程，目的是通过推导过程，让读者了解到三种计算周转轮系速比的方法，并根据自己的情况掌握好一种行星齿轮机构传动比计算方法。

同时三种计算方法都有各自的特点，适用场合侧重点不同，有的也几种方法联合应用的情况，如文献[6]中介绍的一例，应用速度图解法和固定行星架法联合计算。

行星齿轮传动内容博大精深，应用会越来越广，望读者在后续使用过程中继续体会。

参考文献 :
[1] 孙 桓，陈作模，葛文杰。

机械原理[M]. 第七版.北京：高等教育出版社，2006，214－218.
[2] 饶振纲。

行星齿轮传动设计[M]. 北京:化学工业出版社, 2003，14.
[3] 张国瑞，张 展。

行星传动技术[M]. 上海：上海交通大学出版社，1989，6、16.
[4] 邓正思。

自动变速器行星齿轮机构的速比计算[J].
汽车维修，2007（4），43－46.
[5] 李纯德，邹本友。

行星齿轮传动速度分析的瞬心—速度矢量法[J]. 机械设计与制造，2003（4），15－18.
[6] 肖敏，孙逸华。

两种计算行星齿轮机构传动比方法的联合应用[J]. 机械，2008（5），13－15.。