《金融工程学》第11章电子教案.

f df S S f dt S S
1 2
2 f f f 2 df dS 1 dS dt 2 2 S S t
2 f f 2 2 2 S dt 2 S t
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第四节 衍生工具的在险价值
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第一节 在险价值的定义
4. 机构投资者
• 机构投资者现在也开始采用VaR来管理他们的金融风 险。尤其是在险资本（capital at risk）的概念已被 机构投资者广泛接受。 • VaR不是万能的，它主要针对的是金融市场风险。 • VaR是在假定正态分布的市场环境中计算出来的, 这 意味着不考虑像市场崩盘这类极端的市场条件。因 此, VaR度量的是机构日常经营期间预期能够发生的 情况。 • VaR的计算至少需要下列数据 :投资组合中所有资产 的现价和波动率以及它们相互之间的相关关系。通 常，假定投资组合构成的变动是随机的并服从正态 分布。
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第二节 单一资产的在险价值计算
• 假设我们持有某一股票，其价值为 S ，年波动率 为σ 。我们想要知道在接下来一个星期内具有99% 确定性的最大可能损失是多少。
一、波动率换算
• 在期权定价中我们将波动率表示成年波动率，在 计算VaR中，我们将波动率表达成日波动率或周波 动率。则有：
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第四节 衍生工具的在险价值
• 由于表达式 (11.7) 是的一个二次方程，必须满 2 足下列约束条件 df 如果 0 2 2 或 df 如果 0 2 • 在下面的情况下达到极端值： S dt • 一个明显的结论是正的 Gamma 对一个投资组合是 好的，而负的 Gamma 是不好的。具有一个正的 Gamma 下侧是有限的，但是具有一个负的 Gamma 则是上侧是有限的。
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第二节 单一资产的在险价值计算
例11.1
• 我们持有一个价值为 $100万的X公司的股票头寸， X公司股票的日波动率为 3% ( 约为年48% )，假定 该投资组合的价值变动是正态分布的并且投资组合 价值的预期变动为零 (这对很短的时间期限是正确 的)，计算10 天时间置信度为99％的在险价值。 • 在这个例子中我们使用 T =10 和 X = 99 ，， S = $1,000,000。也就是说我们关心的是 10天内置信度 为 99% 的可能最大损失。根据公式（ 11.2 ），我们 (1 X％) T 有VaR为：VaR S T N day
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第一节 在险价值的定义
三、VaR的使用
VaR的最大特点是： • 它用一个单一的数字捕捉住了风险的一个重要方 面； • 它容易理解； • 它询问简单的问题: “情况究竟有多糟糕”?
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第一节 在险价值的定义
应用 1. 金融机构 2. 监管机构 • 要求金融机构为防范金融风险保证达到最低资本 金要求。 3. 非金融机构 • 集中式风险管理对于任何具有金融风险暴露的公 司都是非常有用的。在险现金流分析（cash flow at risk analysis）能为企业提供可能面临资金短缺 的临界值。
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第一节 在险价值的定义
（二）置信度X% • 如图11.1所示（横轴表示投资组合价值变化范围， 而纵轴表示变化发生的概率），就是要在图中找到 如向下箭头表示的位置，该位置使得价值变化的95 ％落在右边而5％落在左边，这个位置上的横轴数 值就是VaR的值。 • 95％置信度的含意是我们预期100天中只有5天的损 失会超过对应的VaR值。但必须知道的是VaR并没有 告诉我们在可能超过VaR损失的时间内（如95％置 信度的5/100天中；或99％的1/100天中）的实际损 失会是多少。
• 还可重写作
2 2 2 df S dt S 1 S t 2
df • 对于一阶项，期权的随机价值只是基本标的证券 价值的一种简单比例关系。对于二阶项，由于S的 确定性漂移率和期权的Theta，存在一个确定性的 漂移率。然而，更重要的是 Gamma 效应引入了一 项使 S 的随机成分是非线性的。 • 从这个图中我们可以看到用 Delta/Gamma 近似得 到的分布远非是一个正态分布。
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第一节 在险价值的定义
• 2. 收集市场风险数据的频率。虽然金融机构可以 每天至少一次确认其大部分投资组合，但对非金融 性公司而言，正常的只能进行月度或季度报告。因 此，一般性企业更可能采用月度、季度、半年或年 度VaR。 • 3. 对风险头寸套期保值（对冲）的频率。另外一 个需考虑的因素就是可以接受的费用水平。因为在 快速对风险进行套期保值以避免更大损失和保值成 本之间必须加以权衡。否则，保值的频率越快反而 可能造成损失越大。如果套期保值的费用成本超过 保值要避免的风险损失，这样的保值就毫无意义。 在金融机构中，内部VaR的计算最常选用1天的 时间期限。国际清算银行规定的作为计算银行监管 资本的VaR的时间期限为10天。
year day 252 week day 5 year week 52
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第二节 单一资产的在险价值计算
二、单个资产在险价值（VaR）的计算
• 我们必须计算出对应1%=(100-99)% 分布最左边的 尾部位置。我们只需计算标准正态分布中的对应位 置, 由于任何一个正态分布我们都可以通过因子换 算来得到。即N(x)=0.01，其中为标准正态分布的 ()为N 累计函数。设 N （） 的逆函数（如图11.4所示）， (0.01) 2.3263 则 xN 。参阅表11.1,我们得到 99% 置信度对应于均值的 2.33个标准差（实际上， 我们可以通过查标准正态分布的累计函数N表来获 得）。既然我们持有价值为S的股票，VaR被确定为：
第十一章
在险价值
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第十一章
• • • • • • •
在险价值
在险价值的定义 单一资产的在险价值计算 投资组合的在险价值计算 衍生工具的在险价值 蒙特卡罗模拟 历史模拟 压力测试和回溯测试
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第一节 在险价值的定义
一、在险价值的定义
• 目前通常采用的定义为：在险价值是按某一确定的 置信度，对某一给定的时间期限内不利的市场变动 可能造成投资组合的最大损失的一种估计。 • 更通俗地说VaR是要在给定的置信度（典型的置信 度为95％、97.5％、99％等等）下衡量给定的资产 或负债（即投资组合）在一段给定的时间内（针对 交易活动的时间可能选取为一天，而针对投资组合 管理的时间则可能选取为一个月）可能发生的最大 （价值）损失。VaR 是一种对可能实现的价值损失 的估计, 而不只是一种“账面”损失估计。
2.33 year S 1 52
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第二节 单一资产的在险价值计算
• 一般地，如果时间期限是T（以天为单位），而要 求的置信度是X％ ,我们有： (1 X％) T VaR -S day N （11.2） (1 X％) 为单位股票日收益率在险价 S day N • 其中 值(DEaR）； day 为股票收益率的日波动率（标 准差）。
i2 i2 2 i j i j ij
• 投资组合的VaR是：
VaR P
i 1
i j
(1 X %) (1 X %) T N T N P

j
j
ij
VaR
i 1
M
2 i
VaR i VaR j ij
i j
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第三节 投资组合的在险价值计算
二、线性模型的适用范围
• • • • • • • 股票的投资组合； 债券的投资组合； 外汇的投资组合； 商品实物的投资组合； 外汇远期合约的投资组合； 利率互换和货币互换的投资组合； 由上述工具共同构成的投资组合。
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第四节 衍生工具的在险价值
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第二节 单一资产的在险价值计算
• 在(11.2)中我们假定股票的收益率具有均值为零的 正态分布。零均值的假定对很短时间期限是有效的: 收益率的标准差按时间的平方根比例变化，但均值 按时间本身的比例变化。对于较长的时间期限，收 益率（如同人们所希望的）以时间的比例量向右移。 因此，对于较长的时间度量，表达式 (11.2) 应该 考虑对资产价值的漂移加以修正。如果这个漂移率 为μ ，那么(11.2)式变成 (1 X％) T VaR S T N (11.3) day • 注意我们采用的是实际漂移率，而不是风险中性下 的漂移率。在本章的其余部分中我们不必为这样的 调整而感到忧虑。
i 1
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第三节 投资组合的在险价值计算
• 其中 xi 为第i个资产一天的价值变动率 xi Si / Si ，而 i Si 为常数。 • 根据统计学的标准结论，投资组合的方差为： M M
2 P i j i j ij j 1 i 1 M
(1 X %) T VaR P N

i j i
j
ij
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第四节 衍生工具的在险价值
二、Delta-Gamma近似
• 对于基本标的证券价格的微小移动delta近似值是令 人满意的。而对于较大的变动，更高阶的近似可以 达到更好的效果，这就要将Gamma效应或凸性效应结 df Sdt S dt 合进去。 • 假如我们的投资组合由一个股票的期权组成。 • 由于我们假定 • 取自一个标准正态分布 ，则