八年级数学上册难点突破17一次函数中的构造等腰直角三角形法试题北师大版

专题17 一次函数中的构造等腰直角三角形法

1、如图1,等腰直角三角形ABC中,∠ACB＝90°,CB＝CA,直线ED经过点C,过A作AD⊥ED于点D,过B作

BE⊥ED于点E．

求证：△BEC≌△CDA；

解：（1）由题意可知：△BEO≌△AOD（K型全等）,

∴OE＝AD,

∵k＝﹣1,

∴y＝﹣x+4,

∴B（0,4）,

∴OB＝4,

∵BE＝3,

∴OE＝,

∴AD＝；

（2）k＝﹣时,y＝﹣x+4,

∴A（3,0）,

①当BM⊥AB,且BM＝AB时,

过点M作MN⊥y轴,

∴△BMN≌△ABO（AAS）,

∴MN＝OB,BN＝OA,

∴MN＝4,BN＝3,

∴M（4,7）；

②当AB⊥AM,且AM＝AB时,

过点M作x轴垂线MK,

∴△ABO≌△AMK（AAS）,

∴OB＝AK,OA＝MK,

∴AK＝4,MK＝3,

∴M（7,3）；

③当AM⊥BM,且AM＝BM时,

过点M作MH⊥x轴,MG⊥y轴,

∴△BMG≌△AHM（AAS）,

∴BG＝AH,GM＝MH,

∴GM＝MH,

∴4﹣MH＝MH﹣3,

∴MH＝,

∴M（,）；

综上所述：M（7,3）或M（4,7）或M（,）；（3）当k＞0时,AO＝,

过点Q作QS⊥y轴,

∴△ABO≌△BQS（AAS）,

∴BS＝OA,SQ＝OB,

∴Q（4,4﹣）,

∴OQ＝,

∴当k＝1时,QO最小值为4；

当k＜0时,Q（4,4﹣）,

∴OQ＝,

∴当k＝1时,QO最小值为4,与k＜0矛盾,

∴OQ的最小值为4．

2、已如,在平面直角坐标系中,点A的坐标为（6,0）、点B的坐标为（0,8）,点C在y轴上,作直线AC．点

B关于直线AC的对称点B′刚好在x轴上,连接CB′．

（1）写出点B′的坐标,并求出直线AC对应的函数表达式；

（2）点D在线段AC上,连接DB、DB′、BB′,当△DBB′是等腰直角三角形时,求点D坐标；

（3）如图2,在（2）的条件下,点P从点B出发以每秒2个单位长度的速度向原点O运动,到达点O时停止运动,连接PD,过D作DP的垂线,交x轴于点Q,问点P运动几秒时△ADQ是等腰三角形．

解：（1）∵A的坐标为（6,0）、点B的坐标为（0,8）,

∴OA＝6,OB＝8,

∵∠AOB＝90°,

∴AB＝10,

∵B与B'关于直线AC对称,

∴AC垂直平分BB',

∴BC＝CB',AB'＝AB＝10,

∴B'（﹣4,0）,

设点C（0,m）,

∴OC＝m,

∴CB'＝CB＝8﹣m,

∵在Rt△COB'中,∠COB'＝90°,

∴m2+16＝（8﹣m）2,

∴m＝3,

∴C（0,3）,

设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0）,

把A（6,0）,C（0,3）代入可得k＝﹣,b＝3,

∴y＝﹣x+3；

（2）∵AC垂直平分BB',

∴DB＝DB',

∵△BDB'是等腰直角三角形,

∴∠BDB'＝90°,

过点D作DE⊥x轴,DF⊥y轴,

∴∠DFO＝∠DFB＝∠DEB'＝90°,

∵∠EDF＝360°﹣∠DFB﹣∠DEO﹣∠EOF,∠EOF＝90°, ∴∠EDF＝90°,

∴∠EDF＝∠BDB',

∴∠BDF＝∠EDB',

∴△FDB≌△EDB'（AAS）,

∴DF＝DE,

设点D（a,a）代入y＝﹣x+3中, ∴a＝2,

∴D（2,2）；

（3）同（2）可得∠PDF＝∠QDE, ∵DF＝DE＝2,∠PDF＝∠QDE,

∴△PDF≌△QDE（AAS）,

∴PF＝QE,

①当DQ＝DA时,

∵DE⊥x轴,

∴QE＝AE＝4,

∴PF＝QE＝4,

∴BP＝BF﹣PF＝2,

∴点P运动时间为1秒；

②当AQ＝AD时,

∵A（6,0）、D（2,2）,

∴AD＝2,

∴AQ＝2,

∴PF＝QE＝2﹣4,

∴BP＝BF﹣PF＝10﹣2,

∴点P的运动时间为5﹣秒；

③当QD＝QA时,

设QE＝n,

则QD＝QA＝4﹣n,

在Rt△DEQ中,∠DEQ＝90°, ∴4+n2＝（4﹣n）2,

∴n＝1.5,

∴PF＝QE＝1.5,

∴BP＝BF+PF＝7.5,

∴点P的运动时间为3.75秒,

∵0≤t≤4,

∴t＝3.75,

综上所述：点P的运动时间为1秒或5﹣秒或3.75秒．

3、定义：在平面直角坐标系中,对于任意P（x1,y1）,Q（x2,y2）,若点M（x,y）满足x＝3（x1+x2）,y＝3（y1+y2）,

则称点M是点P,Q的“美妙点”．例如：点P（1,2）,Q（﹣2,1）,当点M（x,y）满足x＝3×（1﹣2）＝﹣3,y＝3×（2+1）＝9时,则点M（﹣3,9）是点P,Q的“美妙点”．

（1）已知点A（﹣1,3）,B（3,3）,C（2,﹣2）,请说明其中一点是另外两点的“美妙点”；

（2）如图,已知点D是直线y＝+2上的一点．点E（3,0）,点M（x,y）是点D、E的“美妙点”．

①求y与x的函数关系式；

②若直线DM与x轴相交于点F,当△MEF为直角三角形时,求点D的坐标．

解：（1）∵3×（﹣1+2）＝3,3×（3﹣2）＝3,

∴点B是A、C的“美妙点”；

（2）设点D（m,m+2）,

①∵M是点D、E的“美妙点”．