八年级数学上册难点突破17一次函数中的构造等腰直角三角形法试题北师大版
专项练习 一次函数中的三角形面积问题 2024-2025学年北师大版数学八年级上册
一次函数中的三角形面积问题类型一与坐标轴围成的三角形面积1.直线132y x =-+与x ,y 轴分别交于A ,B 两点.(1)点A 、B 的坐标(2)求△AOB 的面积2.直线y=-3x+8向下平移2个单位长度，求平移后的直线与两坐标轴围成的三角形的面积。
3.直线y=kx+b 与y=2x+3平行，且与两坐标轴围成的三角形面积是4，求该直线表达式。
4.如图，直线y ＝﹣x+4与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，点D 在y 轴的负半轴上，若将△DAB 沿直线AD 折叠，点B 恰好落在x 轴正半轴上的点C 处．（1）求AB 的长；（2）求点C 和点D 的坐标以及△OCD 的面积；（3）y 轴上是否存在一点P ，使得S △P AB ＝S △OCD ？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．类型二一条边在坐标轴上5.如图,直线1:y=2x-3与x 轴交于点A,与y 轴交于点E,直线2经过点B(4,0)C(0,2),与直线1交于点 D.(1)求直线2的解析式;(2)求△ABD 的面积;(3)求△CDE 的面积6.如图,直线11:l y x =和直线22:2l y x b =-+相交于点(2,2)A ,直线2l 与x 轴交于点B ,动点P 在直线AB 上运动.(1)求点B 的坐标及b 的值；(2)求AOB △的面积；(3)当POB △的面积是AOB △的面积的13时,直接写出这时点P 的坐标.7.如图，Rt △AOB 的两直角边OA ，OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，且OA ，OB 的长满足|OA ﹣8|+（OB ﹣6）2＝0，∠ABO 的平分线交x 轴于点C ，过点C 作AB 的垂线，垂足为点D ，交y 轴于点E ．（1）求直线AB 的解析式；（2）若△ABC 的面积为15，求点C 的坐标；8.如图，一次函数y＝图象分别交x轴、y轴于点A，B，一次函数y＝﹣x+b的图象经过点B，并与x轴交于点C，点P是直线AB上的一个动点．（1）求A，B两点的坐标；（2）并直接写出点C的坐标并求直线BC的表达式；（3）试探究直线AB上是否存在点P，使以A，C，P为顶点的三角形的面积为18？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．9.如图，直线l1表达式为y＝﹣3x+3，且与x轴交于点D，直线l2经过点A（4，0），B（3，），直线l1，l2交于点C．（1）求直线l2的表达式；（2）在直线l2上存在点P，能使S△ADP＝3S△ACD，求点P的坐标．类型三一条边平行于坐标轴10.如图，正比例函数y=kx与一次函数y=-x+b的图象相交于点A(4,3)，一次函数y=-x+b的图象与y轴交于点D．过点P（0,4）作x轴的平行线，分别交y=k与y=-x+b的图象于点B，C，连接OC.（1）求这两个函数的解析式．（2）求ΔBOC的面积．11．如图，已知直线y=2x+1与x轴交于点A，与直线y=-x+2交于点B，过点A 作AC∥y轴，与直线y=-x+2交于点C.（1）求点B的坐标；（2）求ΔABC的面积．类型四三条边都不在坐标轴上12.如图，一次函数y=2x+m与y=−12x+n的图象都经过点A(-2,0)，且分别与y 轴相交于点B和点C.（1）点B的坐标为，点C的坐标为。
专题七 一次函数中的构造等腰直角三角形法 2020年中考数学冲刺难点突破 一次函数问题(解析版)
2020年中考数学冲刺难点突破一次函数问题专题七一次函数中的构造等腰直角三角形法1、如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：△BEC≌△CDA；2、已如，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0）、点B的坐标为（0，8），点C在y轴上，作直线AC．点B关于直线AC的对称点B′刚好在x轴上，连接CB′．（1）写出点B′的坐标，并求出直线AC对应的函数表达式；（2）点D在线段AC上，连接DB、DB′、BB′，当△DBB′是等腰直角三角形时，求点D坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，点P从点B出发以每秒2个单位长度的速度向原点O运动，到达点O时停止运动，连接PD，过D作DP的垂线，交x轴于点Q，问点P运动几秒时△ADQ是等腰三角形．3、定义：在平面直角坐标系中，对于任意P（x1，y1），Q（x2，y2），若点M（x，y）满足x＝3（x1+x2），y＝3（y1+y2），则称点M是点P，Q的“美妙点”．例如：点P（1，2），Q（﹣2，1），当点M（x，y）满足x＝3×（1﹣2）＝﹣3，y＝3×（2+1）＝9时，则点M（﹣3，9）是点P，Q的“美妙点”．（1）已知点A（﹣1，3），B（3，3），C（2，﹣2），请说明其中一点是另外两点的“美妙点”；（2）如图，已知点D是直线y＝+2上的一点．点E（3，0），点M（x，y）是点D、E的“美妙点”．①求y与x的函数关系式；①若直线DM与x轴相交于点F，当①MEF为直角三角形时，求点D的坐标．4、如图，过点A（1，3）的一次函数y＝kx+6（k≠0）的图象分别与x轴，y轴相交于B，C两点．（1）求k的值；（2）直线l与y轴相交于点D（0，2），与线段BC相交于点E．（i）若直线l把①BOC分成面积比为1：2的两部分，求直线l的函数表达式；（①）连接AD，若①ADE是以AE为腰的等腰三角形，求满足条件的点E的坐标．5、建立模型：如图1，等腰Rt①ABC中，①ABC＝90°，CB＝BA，直线ED经过点B，过A作AD①ED于D，过C作CE①ED于E．则易证①ADB①①BEC．这个模型我们称之为“一线三垂直”．它可以把倾斜的线段AB和直角①ABC转化为横平竖直的线段和直角，所以在平面直角坐标系中被大量使用．模型应用：（1）如图2，点A（0，4），点B（3，0），①ABC是等腰直角三角形．①若①ABC＝90°，且点C在第一象限，求点C的坐标；①若AB为直角边，求点C的坐标；（2）如图3，长方形MFNO，O为坐标原点，F的坐标为（8，6），M、N分别在坐标轴上，P是线段NF上动点，设PN＝n，已知点G在第一象限，且是直线y＝2x一6上的一点，若①MPG是以G为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点G的坐标．6、如图1，直线l：y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B．已知点C（﹣2，0）．（1）求出点A，点B的坐标．（2）P是直线AB上一动点，且①BOP和①COP的面积相等，求点P坐标．（3）如图2，平移直线l，分别交x轴，y轴于交于点A1B1，过点C作平行于y轴的直线m，在直线m 上是否存在点Q，使得①A1B1Q是等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标．7、如图1，等腰直角三角形ABC中，①ACB＝90°，CB＝CA，直线DE经过点C，过A作AD①DE于点D，过B作BE①DE于点E，则①BEC①①CDA，我们称这种全等模型为“K型全等”．（不需要证明）【模型应用】若一次函数y＝kx+4（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．（1）如图2，当k＝﹣1时，若点B到经过原点的直线l的距离BE的长为3，求点A到直线l的距离AD 的长；（2）如图3，当k＝﹣时，点M在第一象限内，若①ABM是等腰直角三角形，求点M的坐标；（3）当k的取值变化时，点A随之在x轴上运动，将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到BQ，连接OQ，求OQ长的最小值．8、【模型建立】（1）如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：△CDA≌△BEC．【模型运用】（2）如图2，直线l1：y＝x+4与坐标轴交于点A、B，将直线l1绕点A逆时针旋转90°至直线l2，求直线l2的函数表达式．【模型迁移】如图3，直线l经过坐标原点O，且与x轴正半轴的夹角为30°，点A在直线l上，点P为x轴上一动点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，过点B的直线BC交x轴于点C，∠OCB＝30°，点B到x轴的距离为2，求点P的坐标．9、如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+b与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C（m，0）在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上，过点D作DE⊥x 轴于点E．（1）求m和b的数量关系；（2）当m＝1时，如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B′C′D′，当直线B′C′经过点D时，求点B′的坐标及△BCD平移的距离；（3）在（2）的条件下，直线AB上是否存在一点P，以P、C、D为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，写出满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．10、如图，已知一次函数y＝﹣x+7与正比例函数y＝x的图象交于点A，且与x轴交于点B．（1）求△AOB的面积：（2）在y轴上找一点C，使AC+BC最小，求最小值及C点坐标．（3）点P从O出发向B点以1个单位每秒的速度运动，点Q从B点出发向A点以同样的速度运动，两个点同时停止，当△BPQ为等腰三角形时，求Q点坐标．11、一边长为4正方形OACB放在平面直角坐标系中，其中O为原点，点A、B分别在x轴、y轴上，D为射线OB上任意一点．（1）如图1，若点D坐标为（0，2），连接AD交OC于点E，则△AOE的面积为；（2）如图2，将△AOD沿AD翻折得△AED，若点E在直线y＝x图象上，求出E点坐标；（3）如图3，将△AOD沿AD翻折得△AED，DE和射线BC交于点F，连接AF，若∠DAO＝75°，平面内是否存在点Q，使得△AFQ是以AF为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出所有点Q坐标；若不存在，请说明理由．2020年中考数学冲刺难点突破一次函数问题专题七一次函数中的构造等腰直角三角形法1、如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：△BEC≌△CDA；解：（1）由题意可知：△BEO≌△AOD（K型全等），∴OE＝AD，∵k＝﹣1，∴y＝﹣x+4，∴B（0，4），∴OB＝4，∵BE＝3，∴OE＝，∴AD＝；（2）k＝﹣时，y＝﹣x+4，∴A（3，0），①当BM⊥AB，且BM＝AB时，过点M作MN⊥y轴，∴△BMN≌△ABO（AAS），∴MN＝OB，BN＝OA，∴M（4，7）；②当AB⊥AM，且AM＝AB时，过点M作x轴垂线MK，∴△ABO≌△AMK（AAS），∴OB＝AK，OA＝MK，∴AK＝4，MK＝3，∴M（7，3）；③当AM⊥BM，且AM＝BM时，过点M作MH⊥x轴，MG⊥y轴，∴△BMG≌△AHM（AAS），∴BG＝AH，GM＝MH，∴GM＝MH，∴4﹣MH＝MH﹣3，∴MH＝，∴M（，）；综上所述：M（7，3）或M（4，7）或M（，）；（3）当k＞0时，AO＝，过点Q作QS⊥y轴，∴△ABO≌△BQS（AAS），∴Q（4，4﹣），∴OQ＝，∴当k＝1时，QO最小值为4；当k＜0时，Q（4，4﹣），∴OQ＝，∴当k＝1时，QO最小值为4，与k＜0矛盾，∴OQ的最小值为4．2、已如，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0）、点B的坐标为（0，8），点C在y轴上，作直线AC．点B关于直线AC的对称点B′刚好在x轴上，连接CB′．（1）写出点B′的坐标，并求出直线AC对应的函数表达式；（2）点D在线段AC上，连接DB、DB′、BB′，当△DBB′是等腰直角三角形时，求点D坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，点P从点B出发以每秒2个单位长度的速度向原点O运动，到达点O 时停止运动，连接PD，过D作DP的垂线，交x轴于点Q，问点P运动几秒时△ADQ是等腰三角形．解：（1）∵A的坐标为（6，0）、点B的坐标为（0，8），∴OA＝6，OB＝8，∵∠AOB＝90°，∴AB＝10，∵B与B'关于直线AC对称，∴AC垂直平分BB'，∴BC＝CB'，AB'＝AB＝10，∴B'（﹣4，0），设点C（0，m），∴OC＝m，∴CB'＝CB＝8﹣m，∵在Rt△COB'中，∠COB'＝90°，∴m2+16＝（8﹣m）2，∴m＝3，∴C（0，3），设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），把A（6，0），C（0，3）代入可得k＝﹣，b＝3，∴y＝﹣x+3；（2）∵AC垂直平分BB'，∴DB＝DB'，∵△BDB'是等腰直角三角形，∴∠BDB'＝90°，过点D作DE⊥x轴，DF⊥y轴，∴∠DFO＝∠DFB＝∠DEB'＝90°，∵∠EDF＝360°﹣∠DFB﹣∠DEO﹣∠EOF，∠EOF＝90°，∴∠EDF＝90°，∴∠EDF＝∠BDB'，∴∠BDF＝∠EDB'，∴△FDB≌△EDB'（AAS），∴DF＝DE，设点D（a，a）代入y＝﹣x+3中，∴a＝2，∴D（2，2）；（3）同（2）可得∠PDF＝∠QDE，∵DF＝DE＝2，∠PDF＝∠QDE，∴△PDF≌△QDE（AAS），∴PF＝QE，①当DQ＝DA时，∵DE⊥x轴，∴QE＝AE＝4，∴PF＝QE＝4，∴BP＝BF﹣PF＝2，∴点P运动时间为1秒；②当AQ＝AD时，∵A（6，0）、D（2，2），∴AD＝2，∴AQ＝2，∴PF＝QE＝2﹣4，∴BP＝BF﹣PF＝10﹣2，∴点P的运动时间为5﹣秒；③当QD＝QA时，设QE＝n，则QD＝QA＝4﹣n，在Rt△DEQ中，∠DEQ＝90°，∴4+n2＝（4﹣n）2，∴n＝1.5，∴PF＝QE＝1.5，∴BP＝BF+PF＝7.5，∴点P的运动时间为3.75秒，∵0≤t≤4，∴t＝3.75，综上所述：点P的运动时间为1秒或5﹣秒或3.75秒．3、定义：在平面直角坐标系中，对于任意P（x1，y1），Q（x2，y2），若点M（x，y）满足x＝3（x1+x2），y＝3（y1+y2），则称点M是点P，Q的“美妙点”．例如：点P（1，2），Q（﹣2，1），当点M（x，y）满足x＝3×（1﹣2）＝﹣3，y＝3×（2+1）＝9时，则点M（﹣3，9）是点P，Q的“美妙点”．（1）已知点A（﹣1，3），B（3，3），C（2，﹣2），请说明其中一点是另外两点的“美妙点”；（2）如图，已知点D是直线y＝+2上的一点．点E（3，0），点M（x，y）是点D、E的“美妙点”．①求y与x的函数关系式；①若直线DM与x轴相交于点F，当①MEF为直角三角形时，求点D的坐标．解：（1）①3×（﹣1+2）＝3，3×（3﹣2）＝3，①点B是A、C的“美妙点”；（2）设点D（m，m+2），①①M是点D、E的“美妙点”．①x＝3（3+m）＝9+3m，y＝3（0+m+2）＝m+6，故m＝x﹣3，①y＝（x﹣3）+6＝x+3；①由①得，点M（9+3m，m+6），如图1，当①MEF为直角时，则点M（3，4），①9+3m＝3，解得：m＝﹣2；①点D（﹣2，）；当①MFE是直角时，如图2，则9+3m＝m，解得：m＝﹣，①点D（﹣，）；当①EMF是直角时，不存在，综上，点D（﹣2，）或（﹣，）．4、如图，过点A（1，3）的一次函数y＝kx+6（k≠0）的图象分别与x轴，y轴相交于B，C两点．（1）求k的值；（2）直线l与y轴相交于点D（0，2），与线段BC相交于点E．（i）若直线l把①BOC分成面积比为1：2的两部分，求直线l的函数表达式；（①）连接AD，若①ADE是以AE为腰的等腰三角形，求满足条件的点E的坐标．解：（1）将点A的坐标代入一次函数y＝kx+6并解得：k＝﹣3；（2）一次函数y＝﹣3x+6分别与x轴，y轴相交于B，C两点，则点B、C的坐标分别为：（2，0）、（0，6）；（i）S①BCO＝OB×CO＝2×6＝6，直线l把①BOC分成面积比为1：2的两部分，则S①CDE＝2或4，而S①CDE＝×CD×x E＝4×x E＝2或4，则x E＝1或2，故点E（1，3）或（2，0），将点E的坐标代入直线l表达式并解得：直线l的表达式为：y＝±x+2；（①）设点E（m，﹣3m+6），而点A、D的坐标分别为：（1，3）、（0，2），则AE2＝（m﹣1）2+（3﹣3m）2，AD2＝2，ED2＝m2+（4﹣3m）2，当AE＝AD时，（m﹣1）2+（3﹣3m）2＝2，解得：m＝或；当AE＝ED时，同理可得：m＝；综上，点E的坐标为：（，）或（，）或（，）．5、建立模型：如图1，等腰Rt①ABC中，①ABC＝90°，CB＝BA，直线ED经过点B，过A作AD①ED于D，过C作CE①ED于E．则易证①ADB①①BEC．这个模型我们称之为“一线三垂直”．它可以把倾斜的线段AB和直角①ABC转化为横平竖直的线段和直角，所以在平面直角坐标系中被大量使用．模型应用：（1）如图2，点A（0，4），点B（3，0），①ABC是等腰直角三角形．①若①ABC＝90°，且点C在第一象限，求点C的坐标；①若AB为直角边，求点C的坐标；（2）如图3，长方形MFNO，O为坐标原点，F的坐标为（8，6），M、N分别在坐标轴上，P是线段NF上动点，设PN＝n，已知点G在第一象限，且是直线y＝2x一6上的一点，若①MPG是以G为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点G的坐标．解：（1）①过点C作CD①x轴于点D，①①BDC＝90°＝①AOB，①①BCD+①DCB＝90°，①①ABC＝90°，①①ABO+①DBC＝90°，①①ABO＝BCD，①AB＝BC，①①AOB①①BDC（AAS），DC＝OB＝3，BD＝OA＝4，故点C（7，3）；①若AB为直角边，则除了①的情况以外，另外一个点C（C′）与①中的C关于点B对称，故点C′（﹣1，﹣3）；故点C的坐标为：（7，3）或（﹣1，﹣3）；（2）如图2，当①MGP＝90°时，MG＝PG，过点P作PE①OM于E，过点G作GH①PE于H，①点E与点M重合，①GF＝AB＝4设G点坐标为（x，2x﹣6），6﹣（2x﹣6）＝4，得x＝4，易得G点坐标（4，2）；如图3，当①MGP＝90°时，MG＝PG时，同理得G点坐标（，），综上可知，满足条件的点G的坐标分别为（4，2）或（，）．6、如图1，直线l：y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B．已知点C（﹣2，0）．（1）求出点A，点B的坐标．（2）P是直线AB上一动点，且①BOP和①COP的面积相等，求点P坐标．（3）如图2，平移直线l，分别交x轴，y轴于交于点A1B1，过点C作平行于y轴的直线m，在直线m 上是否存在点Q，使得①A1B1Q是等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标．解：（1）设y＝0，则x+2＝0，解得：x＝﹣4，设x＝0，则y＝2，①点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标的坐标为（0，2）；（2）①点C（﹣2，0），点B（0，2），①OC＝2，OB＝2，①P是直线AB上一动点，①设P（m，m+2），①①BOP和①COP的面积相等，①×2|m|＝2×（|m|+2），解得：m＝±4，当m＝﹣4时，点P与点A重合，①点P坐标为（4，4）；（3）存在；理由：如图1，①当点B1是直角顶点时，①B1Q＝B1A1，①①A1B1O+①QB1H＝90°，①A1B1O+①OA1B1＝90°，①①OA1B1＝①QB1H，在①A1OB1和①B1HQ中，，①①A1OB1①①B1HQ（AAS），①B1H＝A1O，OB1＝HQ＝2，①B1（0，﹣2）或（0，2），当点B1（0，﹣2）时，Q（﹣2，2），当点B1（0，2）时，①B（0，2），①点B1（0，2）（不合题意舍去），①直线AB向下平移4个单位，①点Q也向上平移4个单位，①Q（﹣2，2），①当点A1是直角顶点时，A1B1＝A1Q，①直线AB的解析式为y＝x+2，由平移知，直线A1B1的解析式为y＝x+b，①A1（﹣2b，0），B1（0，b），①A1B12＝4b2+b2＝5b2，①A1B1①A1Q，①直线A1Q的解析式为y＝﹣2x﹣4b①Q（﹣2，4﹣4b），①A1Q2＝（﹣2b+2）2+（4﹣4b）2＝20b2+40b+20，①20b2﹣40b+20＝5b2，①b＝2或b＝，①Q（﹣2，﹣4）或（﹣2，）；①当Q是直角顶点时，过Q作QH①y轴于H，①A1Q＝B1Q，①①QA1C1+①A1QC＝90°，①A1QC+①CQB1＝90°，①①QA1C＝①CQB1，①m①y轴，①①CQB1＝①QB1H，①①QA1C＝①QB1H在①A1QC与①B1QH中，，①①A1QC①①B1QH（AAS），①CQ＝QH＝2，B1H＝A1C，①Q（﹣2，2）或（﹣2，﹣2），即：满足条件的点Q为（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）或（﹣2，12）或（﹣2，）．7、如图1，等腰直角三角形ABC中，①ACB＝90°，CB＝CA，直线DE经过点C，过A作AD①DE于点D，过B作BE①DE于点E，则①BEC①①CDA，我们称这种全等模型为“K型全等”．（不需要证明）【模型应用】若一次函数y＝kx+4（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．（1）如图2，当k＝﹣1时，若点B到经过原点的直线l的距离BE的长为3，求点A到直线l的距离AD 的长；（2）如图3，当k＝﹣时，点M在第一象限内，若①ABM是等腰直角三角形，求点M的坐标；（3）当k的取值变化时，点A随之在x轴上运动，将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到BQ，连接OQ，求OQ长的最小值．解：（1）由题意可知：①BEO①①AOD（K型全等），①k＝﹣1，①y＝﹣x+4，①B（0，4），①OB＝4，①BE＝3，①OE＝，①AD＝；（2）k＝﹣时，y＝﹣x+4，①A（3，0），①当BM①AB，且BM＝AB时，过点M作MN①y轴，①①BMN①①ABO（AAS），①MN＝OB，BN＝OA，①MN＝4，BN＝3，①M（4，7）；①当AB①AM，且AM＝AB时，过点M作x轴垂线MK，①①ABO①①AMK（AAS），①OB＝AK，OA＝MK，①AK＝4，MK＝3，①当AM①BM，且AM＝BM时，过点M作MH①x轴，MG①y轴，①①BMG①①AHM（AAS），①BG＝AH，GM＝MH，①GM＝MH，①4﹣MH＝MH﹣3，①MH＝，①M（，）；综上所述：M（7，3）或M（4，7）或M（，）；（3）当k＞0时，AO＝，过点Q作QS①y轴，①①ABO①①BQS（AAS），①BS＝OA，SQ＝OB，①Q（4，4﹣），①OQ＝，①当k＝1时，QO最小值为4；当k＜0时，Q（4，4﹣），①OQ＝，①当k＝1时，QO最小值为4，与k＜0矛盾，①OQ的最小值为4．8、【模型建立】（1）如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：△CDA≌△BEC．【模型运用】（2）如图2，直线l1：y＝x+4与坐标轴交于点A、B，将直线l1绕点A逆时针旋转90°至直线l2，求直线l2的函数表达式．【模型迁移】如图3，直线l经过坐标原点O，且与x轴正半轴的夹角为30°，点A在直线l上，点P为x轴上一动点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，过点B的直线BC交x轴于点C，∠OCB＝30°，点B到x轴的距离为2，求点P的坐标．证明：【模型建立】（1）∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠D＝∠E＝90°∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝∠CBE，且CA＝BC，∠D＝∠E＝90°∴△CDA≌△BEC（AAS）【模型运用】（2）如图2，在l2上取D点，使AD＝AB，过D点作DE⊥OA，垂足为E∵直线y＝x+4与坐标轴交于点A、B，∴A（﹣3，0），B（0，4），∴OA＝3，OB＝4，由（1）得△BOA≌△AED，∴DE＝OA＝3，AE＝OB＝4，∴OE＝7，∴D（﹣7，3）设l2的解析式为y＝kx+b，得解得∴直线l2的函数表达式为：【模型迁移】（3）若点P在x轴正半轴，如图3，过点B作BE⊥OC，∵BE＝2，∠BCO＝30°，BE⊥OC∴BC＝4，∵将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，∴AP＝BP，∠APB＝30°，∵∠APC＝∠AOC+∠OAP＝∠APB+∠BPC，∴∠OAP＝∠BPC，且∠OAC＝∠PCB＝30°，AP＝BP，∴△OAP≌△CPB（AAS）∴OP＝BC＝4，∴点P（4，0）若点P在x轴负半轴，如图4，过点B作BE⊥OC，∵BE＝2，∠BCO＝30°，BE⊥OC∴BC＝4，∵将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，∴AP＝BP，∠APB＝30°，∵∠APE+∠BPE＝30°，∠BCE＝30°＝∠BPE+∠PBC，∴∠APE＝∠PBC，∵∠AOE＝∠BCO＝30°，∴∠AOP＝∠BCP＝150°，且∠APE＝∠PBC，PA＝PB∴△OAP≌△CPB（AAS）∴OP＝BC＝4，∴点P（﹣4，0）综上所述：点P坐标为（4，0）或（﹣4，0）9、如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+b与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C（m，0）在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上，过点D作DE⊥x 轴于点E．（1）求m和b的数量关系；（2）当m＝1时，如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B′C′D′，当直线B′C′经过点D时，求点B′的坐标及△BCD平移的距离；（3）在（2）的条件下，直线AB上是否存在一点P，以P、C、D为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，写出满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）直线y＝﹣x+b与y轴相交于B点，∴B（0，b）∴OB＝b，∵点C（m，0）∴OC＝m∵∠BCO+∠ECD＝90°，∠BCO+∠OBC＝90°，∴∠OBC＝∠ECD．在△OBC和△ECD中，∴△OBC≌△ECD（AAS）∴BO＝CE＝b，DE＝OC＝m，∴点D（b+m，m）∴m＝﹣（b+m）+b∴b＝3m（2）∵m＝1，∴b＝3，点C（1，0），点D（4，1）∴直线AB解析式为：y＝﹣x+3设直线BC解析式为：y＝ax+3，且过（1，0）∴0＝a+3∴a＝﹣3∴直线BC的解析式为y＝﹣3x+3，设直线B′C′的解析式为y＝﹣3x+c，把D（4，1）代入得到c＝13，∴直线B′C′的解析式为y＝﹣3x+13，当y＝3时，x＝当y＝0时，x＝∴B′（，3），C'（，0）∴CC′＝，∴△BCD平移的距离是个单位．（3）当∠PCD＝90°，PC＝CD时，点P与点B重合，∴点P（0，3）如图，当∠CPD＝90°，PC＝PD时，∵BC＝CD，∠BCD＝90°，∠CPD＝90°∴BP＝PD∴点P是BD的中点，且点B（0，3），点D（4，1）∴点P（2，2）综上所述，点P为（0，3）或（2，2）时，以P、C、D为顶点的三角形是等腰直角三角形．10、如图，已知一次函数y＝﹣x+7与正比例函数y＝x的图象交于点A，且与x轴交于点B．（1）求△AOB的面积：（2）在y轴上找一点C，使AC+BC最小，求最小值及C点坐标．（3）点P从O出发向B点以1个单位每秒的速度运动，点Q从B点出发向A点以同样的速度运动，两个点同时停止，当△BPQ为等腰三角形时，求Q点坐标．解：（1）∵一次函数y＝﹣x+7与正比例函数y＝x的图象交于点A，且与x轴交于点B．∴点B（7，0），﹣x+7＝x∴x＝3，∴点A（3，4）∴S△AOB＝×7×4＝14；（2）如图1，作点B关于y轴的对称点H（﹣7，0），连接AH，交y轴于点C，∴此时AC+BC最小值为AH，∵点A（3，4），点H（﹣7，0），∴AH＝＝2，∴AC+BC最小值为2，设直线AH解析式为：y＝kx+b，且过点A（3，4），点H（﹣7，0），∴，解得：∴直线AH解析式为：y＝x+；（3）如图2，过点Q作QE⊥OB，∵以同样的速度运动，∴BQ＝OP，∵一次函数y＝﹣x+7与y轴交于点D，∴点D（0，7），∴OD＝OB＝7，且∠DOB＝90°，∴∠DBO＝45°，且QE⊥OB，∴∠QBE＝∠EQB＝45°，∴QE＝BE，∴QB＝QE＝EB，若PB＝QB，且OP＝BQ，∴OP＝PB＝＝BQ，∴BE＝EQ＝，∴OE＝7﹣，∴点Q（7﹣，），若QP＝QB，且QE⊥OB，∴PE＝BE，∵OB＝7＝OP+PE+BE，∴7＝BE+2BE，∴BE＝＝QE，∴OE＝∴点Q（，），如图3，若BP＝PQ，过点P作PF⊥BQ，∴BF＝FQ＝BQ，∵∠ABO＝45°，PF⊥AB，∴∠FPB＝∠ABO＝45°，∴PF＝BF，∴PB＝BF，∴7﹣BQ＝∴BQ＝，∴BE＝QE＝，∴点Q坐标为（7﹣，）．11、一边长为4正方形OACB放在平面直角坐标系中，其中O为原点，点A、B分别在x轴、y轴上，D为射线OB上任意一点．（1）如图1，若点D坐标为（0，2），连接AD交OC于点E，则△AOE的面积为；（2）如图2，将△AOD沿AD翻折得△AED，若点E在直线y＝x图象上，求出E点坐标；（3）如图3，将△AOD沿AD翻折得△AED，DE和射线BC交于点F，连接AF，若∠DAO＝75°，平面内是否存在点Q，使得△AFQ是以AF为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出所有点Q坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵边长为4正方形OACB放在平面直角坐标系中，∴点A坐标（4，0），点C（4，4），∴直线OC解析式为：y＝x，∵点D坐标为（0，2），点A坐标（4，0），∴直线AD解析式为：y＝﹣x+2，∴解得：∴点E坐标（，）∴△AOE的面积＝×4×＝，故答案为：；（2）如图2，过点E作EH⊥OA，∵将△AOD沿AD翻折得△AED，∴AO＝AE＝4，设点E（a，a），∴OH＝a，EH＝a，∴AH＝4﹣a，∵AE2＝EH2+AH2，∴16＝a2+（4﹣a）2，∴a＝0（舍去），a＝，∴点E（，）（3）∵将△AOD沿AD翻折得△AED，∴∠DAO＝∠DAE＝75°，OA＝AE，∠DOA＝∠DEA＝90°，∴∠OAE＝150°，AE＝AC，∠ACF＝∠AED＝90°，∴∠CAE＝60°，∵AE＝AC，AF＝AF，∴Rt△AEF≌Rt△ACF（HL）∴∠CAF＝∠EAF＝30°，且AC＝4，∴CF＝，∵△AFQ是以AF为直角边的等腰直角三角形，∴若∠AFQ＝90°，AF＝FQ，如图3，过点Q作QN⊥BF，∴∠NQF+∠QFN＝90°，且∠QFN+∠AFC＝90°，∴∠NQF＝∠AFC，且∠ACF＝∠QNF＝90°，QF＝AF，∴△QNF≌△FCA（AAS）∴QN＝CF＝，AC＝NF＝4，∴点Q（，4+）同理可求：Q'（8+，4﹣），若∠FAQ＝90°，AF＝AQ时，同样方法可求，Q''（0，），Q'''（8，﹣）。
八年级数学上册难点突破16一次函数中的存在性综合问题试题北师大版
专题16 一次函数中的存在性综合问题1、如图直线y＝kx+k交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,且AB＝2（1）求k的值；（2）点P从A出发,以每秒1个单位的速度沿射线AB运动,过点P作直线AB的垂线交x轴于点Q,连接OP,设△PQO的面积为S,点P运动时间为t,求S与t的函数关系式,并直接写出t的取值范围；（3）在（2）的条件下,当P在AB的延长线上,若OQ+AB＝（BQ﹣OP）,求此时直线PQ的解析式．解:（1）对于直线y＝kx+k,令y＝0,可得x＝﹣1,∴A（﹣1,0）,∴OA＝1,∵AB＝2,∴OB＝＝,∴k＝．（2）如图,∵tan∠BAO＝＝,∴∠BAO＝60°,∵PQ⊥AB,∴∠APQ＝90°,∴∠AQP＝30°,∴AQ＝2AP＝2t,当0＜t＜时,S＝•OQ•P y＝（1﹣2t）•t＝﹣t2+t．当t＞时,S＝OQ•P y＝（2t﹣1）•t＝t2﹣t．（3）∵OQ+AB＝（BQ﹣OP）,∴2t﹣1+2＝（﹣）,∴2t+1＝•,∴4t2+4t+1＝7t2﹣7t+7,∴3t2﹣11t+6＝0,解得t＝3或（舍弃）,∴P（,）,Q（5,0）,设直线PQ的解析式为y＝kx+b,则有,解得,∴直线PQ的解析式为y＝﹣x+．2、在平面直角坐标系xOy中,对于图形G和图形M,它们关于原点O的“中位形”定义如下,图形G上的任意一点P,图形M上的任意一点Q,作△OPQ平行于PQ的中位线,由所有这样的中位线构成的图形,叫图形G 和图形M关于原点O的“中位形”．已知直线y＝x+b分别与x轴,y轴交于A、B,图形S是中心为坐标原点,且边长为2的正方形．（1）如图1,当b＝2时,点A和点B关于原点O的“中位形”的长度是（请直接写出答案）；（2）如图2,若点A和点B关于原点O的“中位形”与图形S有公共点,求b的取值范围；（3）如图3,当b＝﹣6时,图形S沿直线y＝x平移得到图形T,若图形T和线段AB关于原点O的“中位形”与原来的的图形S没有公共点,请直接写出图形T的中心的横坐标t的取值范围．解:（1）如图1中,由题意b＝2时,直线y＝x+2,∴A（﹣4,0）,B（0,2）,∵点A和点B关于原点O的“中位形”是△AOB的中位线EF,EF＝AB＝×＝．故答案为．（2）如图2中,当△AOB的中位线EF经过点（﹣1,1）时,直线EF的解析式为y＝x+,∴E（0,）,∵OE＝EB,∴B（0,3）,当△AOB的中位线EF经过点（1,﹣1）时,直线EF的解析式为y＝x﹣,∴E（0,﹣）,∵OE＝EB,∴B（0,﹣3）,观察图象可知满足条件的b的值为﹣3≤b≤﹣1或1≤b≤3．（3）如图3中,设平移后的正方形T的中心的坐标为（t,t）,则C（t﹣1,t+1）,OC的中点E（,）,OB的中点F（0,﹣3）,∴直线EF的解析式为y＝x﹣3,当直线经过（1,﹣1）时,﹣1＝﹣3,解得t＝9,观察图形可知,t＞9时,图形T和线段AB关于原点O的“中位形”与原来的的图形S没有公共点, 如图4中,设平移后的正方形T的中心的坐标为（t,t）,则C（t﹣1,t+1）,OC的中点E（,）,O的中点F（6,0）,此时直线EF的解析式为y＝x﹣,当直线经过（1,﹣1）时,﹣1＝﹣,解得t＝﹣观察图形可知,t＜﹣时,图形T和线段AB关于原点O的“中位形”与原来的的图形S没有公共点, 综上所述,满足条件的t的值为t＞9或t＜﹣．3、如图,直线y＝﹣x+8与x轴、y轴分别交于点A和点B,M是OB的上的一点,若将△ABM沿M折叠,点B恰好落在x轴上的点B′处．（1）求A、B两点的坐标；（2）求直线AM的表达式；（3）在x轴上是否存在点P,使得以点P、M、B′为顶点的三角形是等腰三角形,若存在,请直接写出所有点P的坐标；若不存在,请说明理由．解:（1）当x＝0时,y＝8,∴B（0,8）,当y＝0时,﹣x+8＝0,x＝6,∴A（6,0）；（2）在Rt△AOB中,∠AOB＝90°,OA＝6,OB＝8,∴AB＝10,由折叠得:AB＝AB'＝10,∴OB'＝10﹣6＝4,设OM＝a,则BM＝B'M＝8﹣a,由勾股定理得:a2+42＝（8﹣a）2,a＝3,∴M（0,3）,设AM:y＝kx+b,则,解得:,∴直线AM的解析式为:y＝﹣x+3；（3）在x轴上存在点P,使得以点P、M、B′为顶点的三角形是等腰二角形,如图∵M（0,3）,B′（﹣4,0）,∴B′M＝5,当PB′＝B′M时,P1（﹣9,0）,P2（1,0）；当B′M＝PM时,P3（4,0）,当PB′＝PM时,作BM的垂直平分线,交x轴于P4,交B′M与Q,易证得△P4B′Q∽△MB′O,则＝,即＝,∴P4B′＝,∴OP4＝4﹣＝,∴P4（﹣,0）,综上,P点的坐标为（﹣9,0）或（1,0）或（4,0）或（﹣,0）．4、如图,一次函数y1＝x+b的图象与x轴y轴分别交于点A,点B,函数y1＝x+b,与y2＝﹣x的图象交于第二象限的点C,且点C横坐标为﹣3．（1）求b的值；（2）当0＜y1＜y2时,直接写出x的取值范围；（3）在直线y2＝﹣x上有一动点P,过点P作x轴的平行线交直线y1＝x+b于点Q,当PQ＝OC时,求点P的坐标．解:（1）将x＝﹣3代入y2＝﹣x,可得C（﹣3,4）,再将C点代入y1＝x+b,∴b＝7；（2）﹣7＜x＜﹣3；（3）∵点P为直线y2＝﹣x上一动点,设P（a,﹣a）,∵PQ∥x轴,∴Q（﹣a﹣7,﹣a）,∴PQ＝|a+7|,∵C（﹣3,4）,∴OC＝5,∴PQ＝OC＝14,∴|a+7|＝14,∴a＝3或a＝﹣9,∴P（3,﹣4）或P（﹣9,12）．5、如图,在平面直角坐标系中,直线y＝﹣x+b与x、y轴分别相交于点A、B,与直线y＝x+2交于点D（3,m）,直线y＝x+2交x轴于点C,交y轴于点E．（1）若点P是y轴上一动点,连接PC、PD,求当|PC﹣PD|取最大值时,P点的坐标．（2）在（1）问的条件下,将△COE沿x轴平移,在平移的过程中,直线CE交直线AB于点M,则当△PMA是等腰三角形时,求BM的长．解:（1）当x＝3时,m＝3+2＝5,∴D（3,5）,把D（3,5）代入y＝﹣x+b中,﹣3+b＝5,b＝8,∴y＝﹣x+8,当y＝0时,x+2＝0,x＝﹣2,∴C（﹣2,0）,如图1,取C关于y轴的对称点C'（2,0）,P1是y轴上一点,连接P1C、P1C'、P1D,则P1C＝P1C',∵|P1D﹣P1C'|＝|P1D﹣P1C|≤C'D,∴当P与C'、D共线时,|PC﹣PD|有最大值是C'D, 设直线C'D的解析式为:y＝kx+b,把C'（2,0）和D（3,5）代入得:,解得:,∴直线C'D的解析式为:y＝5x﹣10,∴P（0,﹣10）；（2）分三种情况:①当AP＝AM时,如图2,由（1）知:OP＝10,由勾股定理得:AP＝＝2,∵AB＝8,∴BM＝AB+AM＝8+2；同理得:BM1＝2﹣8；②当AP＝PM时,如图3,过P作PN⊥AB于N,∵∠BNP＝90°,∠NBP＝45°,∴△BNP是等腰直角三角形,∵PB＝18,∴BN＝＝9,∵AB＝8,∴AN＝9﹣8＝,∵AP＝PM,PN⊥AM,∴AM＝2AN＝2,∴BM＝8+2＝10；③当AM＝PM时,如图4,过P作PN⊥AB于N,∵AN＝,PN＝9,设MN＝x,则PM＝AN＝x+,由勾股定理得:PN2+MN2＝PM2,,解得:x＝40,∴BM＝AB+AN+MN＝8++40＝49；综上,当△PMA是等腰三角形时,BM的长是8+2或2﹣8或10或49．6、如图,已知一次函数y＝3x+3与y轴交于A,与x轴交于点B,直线AC与正半轴交于点C,且AC＝BC．（1）求直线AC的解析式．（2）点D为线段AC上一点,点E为线段CD的中点,过点E作x轴的平行线交直线AB于点F,连接DF并延长交x轴于点G,求证；AD＝BG．（3）在（2）的条件下,若∠AFD＝2∠BAO,求点D坐标．解:（1）当x＝0时,y＝3,∴A（0,3）．令y＝0得:3x+3＝0,解得:x＝﹣1,∴B（﹣1,0）．设OC＝x,则AC＝BC＝x+1．在Rt△AOC中,由勾股定理可知:OA2+OC2＝AC2,即32+x2＝（x+1）2,解得:x＝4,∴C（4,0）．设直线AC的解析式为y＝kx+b,则,解得:,∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3．（2）如图1所示:过点D作DH∥x轴,则∠HDF＝∠BGF．∵HD∥EF∥CG,E为CD的中点,∴F为DG的中点．∴FG＝DF．∵在△BGF和△HDF中,,∴△BGF≌△HDF（ASA）．∴HD＝BG．∵AC＝BC,∴∠CAB＝∠ABC．∵HD∥CG,∴∠AHD＝∠ABC,∴∠HAD＝∠AHD．∴AD＝DH,∴AD＝BG．（3）如图2所示:连接AG,过点C作CH⊥AB,垂足为H,过D作DM⊥x轴于M,在Rt△ABO中,依据勾股定理可知AB＝＝,。
北师大版八年级数学上册 三角形解答题综合测试卷(word含答案)
北师大版八年级数学上册三角形解答题综合测试卷（word含答案）一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）1．小明在学习三角形的知识时, 发现如下三个有趣的结论：(1)如图①, ∠A＝∠C＝90°, ∠ABC的平分线与∠ADC的平分线交于点E, 则BE、DE的位置关系是；(2)如图②, ∠A＝∠C＝90°, BE平分∠ABC, DF平分∠ADC的外角, 则BE与DF的位置关系是；(3)如图③, ∠A=∠C＝90°, ∠ABC的外角平分线与∠ADC的外角平分线交于点E, 则BE、DE 的位置关系是 . 请你完成命题 (3)证明.【答案】（1）BE⊥DE；（2）BE//DF；（3）BE⊥DE.证明见解析.【解析】【分析】(1)由∠A＝∠C＝90°可以得到∠HDC＝∠AB H,设∠HDC＝∠AB H=x，可得∠HDG＝∠CDG=∠FB H＝∠AB F=12x，则有∠CDG+∠CGD=90°，由∠CGD=∠BGE,可得∠BGE+∠FBE=90°，即BE⊥DE；(2) 由∠A＝∠C＝90°可以得到∠HDC＝∠AB H,设∠HDC＝∠AB H=x，可得∠EB H＝∠AB E=1 2 x,则∠DGE=90°+12x，∠CDM=180°-x，由DF平分∠CDM,则∠CDF=12（180°-x），所以∠CDF+∠HDC=12（180°-x）,然后运用同位角相等，即可证明；（3）设∠BFA＝∠CFD=x,由∠A＝∠C＝90°可以得到∠EBC＝∠FDN=90°+x，由根据题意可得：∠EDF＝∠EBF=12（90°+x）；且∠BFD=180°+x，最后用四边形内角和，求出∠BED=90°，完成证明.【详解】解：（1）BE⊥DE，理由如下：∵∠A＝∠C＝90°，∠DHC＝∠BHA∴∠HDC＝∠AB H设∠HDC＝∠AB H=x∵∠ABC的平分线与∠ADC的平分线交于点E∴∠HDG＝∠CDG=∠FB H＝∠AB F=1 2 x又∵∠CDG+∠CGD=90°，∠CGD=∠BGE ∴∠BGE+∠FBE=90°，即BE⊥DE；（2）DF∥AB,理由如下：∵∠A＝∠C＝90°，∠DHC＝∠BHA∴∠HDC＝∠AB H∵∠A＝∠C＝90°，∠DHC＝∠BHA∴∠HDC＝∠AB H∵BE平分∠ABH，∴∠EB H＝∠AB E=1 2 x∴∠DGE=90°+1 2 x∵∠CDM=180°-x，DF平分∠CDM∴∠CDF=12（180°-x）=90°-12x∴∠HDF=∠CDF+∠CDH=90°-12x+x=90°+12x∴∠DGE=∠HDF∴DF∥AB（3）BE⊥DE，证明如下：设∠BFA＝∠CFD=x,∵∠A＝∠C＝90°∴∠EBC＝∠FDN=90°+x，∵∠ABC的外角平分线与∠ADC的外角平分线交于点E∴∠EDF＝∠EBF=12（90°+x）又∵∠BFD=180°-∠AFB=180°-x∴∠BFD=360°-12（90°+x）-12（90°+x）-（180°-x）=90°即BE⊥DE【点睛】本题主要考查了直角三角形和多边形内角和的知识，考查知识点简单，但过程复杂，难度较大，运用方程思想是一个不错的方法.2．如图, A为x轴负半轴上一点, B为x轴正半轴上一点, C(0,－2),D(－3,－2).(1)求△BCD的面积；(2)若AC⊥BC,作∠CBA的平分线交CO于P,交CA于Q,判断∠CPQ与∠CQP的大小关系, 并证明你的结论.【答案】（1）3；（2）∠CPQ＝∠CQP，理由见解析；【解析】【分析】（1）求出CD的长度，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解；（2）根据角平分线的定义可得∠ABQ=∠CBQ，然后根据等角的余角相等解答；【详解】解：（1）∵点C（0，-2），D（-3，-2），∴CD=3，且CD//x轴∴△BCD面积=12×3×2=3；（2）∠CPQ＝∠CQP，∵AC⊥BC，∴∠ACO＋∠BCO＝90°，又∠ACO＋∠OAC＝90°∴∠OAC＝∠BCO，又BQ平分∠CBA，∴∠ABQ＝∠CBQ，∵∠CQP＝∠OAC＋∠ABQ∠CPQ＝∠CBQ＋∠BCO，∴∠CQP＝∠CPQ（2）∠CPQ＝∠CQP，∵AC⊥BC，∴∠ACO＋∠BCO＝90°，又∠ACO＋∠OAC＝90°∴∠OAC＝∠BCO，又BQ平分∠CBA，∴∠ABQ＝∠CBQ，∵∠CQP＝∠OAC＋∠ABQ∠CPQ＝∠CBQ＋∠BCO，∴∠CQP ＝∠CPQ【点睛】本题考查了坐标与图形性质，三角形的角平分线，三角形的面积，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，综合题，熟记性质并准确识图是解题的关键.3．（1）在ABC ∆中，AD BC ⊥，BE AC ⊥，CF AB ⊥，16BC =，3AD =，4BE =，6CF =，则ABC ∆的周长为______.（2）如图①，在ABC ∆中，已知点D ，E ，F 分别为边BC ，BD ，CD 的中点，且4ABC S ∆=2cm ，则AEF S ∆等于______2cm .① ②（3）如②图，三角形ABC 的面积为1，点E 是AC 的中点，点O 是BE 的中点，连接AO 并延长交BC 于点D ，连接CO 并延长交AB 于点F ，则四边形BDOF 的面积为______.【答案】（1）36（2）2（3）16 【解析】 【分析】(1)利用三角形面积公式，求出AB 、AC 的长，再计算三角形的周长即可；(2)设ABC ∆在BC 边上的高为h ，则12ABC S BC h ∆=⋅，根据线段中点的定义以及线段的和差得出12EF BC =，继而再根据三角形面积公式进行求解即可； (3)设BOF S x ∆=，BOD S y ∆=，根据三角形中线将三角形分成两个面积相等的三角形可得14AOE COE AOB COB S S S S ∆∆∆∆====，从而得14AOF S x ∆=-，34ACF S x ∆=-，14BCF S x ∆=+，14COD S y ∆=-，34ACD S y ∆=-，14ABD S y ∆=+，利用等高的两三角形面积之比等于底边之比分别列出关于x 、y 的方程，求出x 、y 的值即可求得答案.【详解】(1)111222ABC S BC AD AC BE AB CF ∆=⋅=⋅=⋅， ∴BC AD AC BE AB CF ⋅=⋅=⋅，即16346AC AB ⨯=⋅=⋅，∴12AC =，8AB =，∴△ABC 的周长=AB+BC+AC=36；(2)设ABC ∆在BC 边上的高为h ， 则12ABC S BC h ∆=⋅， ∵E 为BD 中点，∴12ED BD =， ∵F 为DC 中点，∴12DF DC =， ∴111222EF BD DC BC =+=， ∴211112cm 2222AEF ABC S EF h BC h S ∆∆=⋅=⋅⋅==； (3)设BOF S x ∆=，BOD S y ∆=，∵点E ，O 分别是AC ，BE 的中点，1ABC S ∆=， ∴14AOE COE AOB COB S S S S ∆∆∆∆====， ∴14AOF S x ∆=-，34ACF S x ∆=-，14BCF S x ∆=+， ∴134414x x x x --=+，即2213164x x x -=-， 解得112x =， 又14COD S y ∆=-，34ACD S y ∆=-，14ABD S y ∆=+， ∴141344y y y y +=--，得112y =， 故11112126BDOF S x y =+=+=四边形. 【点睛】本题考查了三角形面积的应用，三角形的周长，解题关键在于找出等高的两三角形面积与底边的对应关系．4．已知：点D 是△ABC 所在平面内一点，连接AD 、CD ．（1）如图1，若∠A ＝28°，∠B ＝72°，∠C ＝11°，求∠ADC ；（2）如图2，若存在一点P ，使得PB 平分∠ABC ，同时PD 平分∠ADC ，探究∠A ，∠P ，∠C 的关系并证明；（3）如图3，在（2）的条件下，将点D移至∠ABC的外部，其它条件不变，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明．【答案】(1) 111º ；(2) ∠A－∠C=2∠P,理由见解析；(3) ∠A+∠C=2∠P,理由见解析.【解析】【分析】（1）延长AD交BC于E，利用三角形外角的性质即可求解；（2）∠A－∠C=2∠P，由三角形外角等于不相邻的两个内角的和以及（1）结论即可求解；（3）∠A+∠C=2∠P，由（2）结论以及角平分线的性质即可得到.【详解】（1）如图1,延长AD交BC于E，在△ABE中，∠AEC=∠A+∠B＝28º+72º=100º，在△DEC中，∠ADC=∠AEC+∠C＝100º+11º=111º ；（2）∠A－∠C=2∠P，理由如下：如图2，∠5=∠A+∠1,∠5=∠P+∠3∴∠A+∠1=∠P+∠3∵PB平分∠ABC,PD平分∠ADC∴∠1=∠2,∠3=∠4∴∠A+∠2=∠P+∠4由(1)知∠4=∠2+∠P+∠C∴∠A+∠2=∠P+∠2+∠P+∠C∴∠A－∠C=2∠P（3）∠A+∠C=2∠P,理由如下:如图3,同（2）理知∠A+∠1=∠P+∠3,∠C+∠4=∠P+∠2∴∠A+∠C+∠1+∠4=2∠P+∠2+∠3∵PB平分∠ABC,PD平分∠ADC∴∠1=∠2,∠3=∠4∴∠1+∠4=∠2+∠3∴∠A+∠C=2∠P【点睛】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．5．如图，已知，在△ABC中，∠B＜∠C，AD平分∠BAC，E的线段AD(除去端点A、D)上一动点，EF⊥BC于点F.(1)若∠B＝40°，∠DEF＝10°，求∠C的度数．(2)当E在AD上移动时，∠B、∠C、∠DEF之间存在怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由．【答案】(1)∠C＝60°.(2)∠C－∠B＝2∠DEF.理由见解析【解析】试题分析：（1）已知：EF⊥BC，∠DEF＝10°可以求得∠EDF的度数，∠EDF又是∆ABD的外角，已知∠B的度数，可求得∠BAD的值，AD平分∠BAC，所以∠BAC的值也可求出，从而求出∠C。
专题55一次函数中的构造等腰直角三角形(解析版)
专题55 一次函数中的构造等腰直角三角形1、如图1，等腰直角三角形A3C中，ZAC5=90°, CB=CA,直线经过点C,过A作AO_LED于点D,过B作BE工ED于点E.求证：4 BECW4CDA；解：(1)由题意可知：△ BEOgAAOD (K型全等)，:.OE=AD9・: k= - 1,，y= - x+4,：.B(0, 4),；・OB=4,・：BE=3,・•・OE=H:・AD=54 1 4(2) k=-77时，v= -77.1+4,3 3•"⑶ o),①当且时，过点"作加人」丫轴，:•△BMNWMBO (AAS),:・MN=OB, BN=OA,：.MN=49 BN=3,：.M (4, 7):②当且AM=A3 时，过点M作x轴垂线MK,：.^ABO^/^AMK (AAS),:.OB=AK, OA=MK t，AK=4, MK=3,：.M(7, 3)：③当且AM=3M 时，过点M作轴，MG_Ly轴,:•△BMGQAAHM (AAS),；・BG=AH, GM=MH,:・GM=MH,,MH=二,7 7 综上所述：M（7, 3）或M （4, 7）或M （左彳）乙乙4 (3)当Q0 时，4?=子.k过点。
作3。
轴，:•△ABO94BQS (AAS),:・BS=OA, SQ=OB,4：.Q(4, 4-丁)，k，当k=l时，。
最小值为4：4当&VO 时，Q（4, 4-丁），k，当k=l时，。
最小值为明与k<0矛盾, ，。
的最小值为4.2、己如，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6, 0）、点8的坐标为（0, 8）,点。
在y轴上，作直线AC.点3关于直线AC的对称点方刚好在x轴上，连接。
夕.（1）写出点夕的坐标，并求出直线AC对应的函数表达式:（2）点。
在线段AC上，连接。
5、DB\ BB',当△。
89是等腰直角三角形时，求点。
坐标:（3）如图2,在（2）的条件下，点尸从点3出发以每秒2个单位长度的速度向原点。
类比归纳专题：一次函数与三角形综合问题(4类热点题型讲练)(原卷版)--初中数学北师大版8年级上册
第07讲类比归纳专题：一次函数与三角形综合问题(4类热点题型讲练)目录【类型一一次函数与三角形的面积问题】 (1)【类型二一次函数与三角形全等问题】 (3)【类型三一次函数与三角形存在问题】 (5)【类型四一次函数中折叠问题】 (9)【类型一一次函数与三角形的面积问题】例题：（2023春·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期中）在平面直角坐标系xOy中，一次函数()0y kx b k=+≠的图象经过点()0,5B．A-，()2,1(1)求这个一次函数的解析式；的面积．(2)若这个一次函数的图象与x轴的交点为C，求AOC【变式训练】4．（2023春·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期中）将正比例函数3y x =的图象平移后经过点()1,4．(1)求平移后的函数表达式；(2)求平移后函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积．5．（2023春·江西南昌·八年级统考期末）如图，直线24y x =+与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ．(1)求A 、B 两点的坐标；(2)若在x 轴上有一点P ，使2OP OA =，求PAB 的面积．6．（2023春·上海静安·八年级上海市回民中学校考期中）在直角坐标xOy 中，直线1l 与23y x =-平行，且经过点()05，，将直线1l 向上平移3个单位，得到直线2l (1)求这两条直线的解析式；(2)如果直线2l 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，求AOB 的面积．7．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，直线2y kx =-与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点，其中1OB =．(1)求k 的值；(1)求A，B两点的坐标；(2)求AOF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量(3)当AOF的面积12 S S =形，若存在，请求出点P【类型二一次函数与三角形全等问题】例题：（2023春·全国·八年级专题练习）直线AB：y x b=+分别与x，y轴交于A，B两点，点A的坐标为(3-，0)，过点B的直线交x轴正半轴于点C，且:3:1OB OC=．(1)求点B的坐标及直线BC的函数表达式；(2)在坐标系平面内，存在点D ，使以点A ，B ，D 为顶点的三角形与ABC 全等，画出ABD ，并求出点D 的坐标．【变式训练】2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，直线绕点A 顺时针旋转90°得射线全等，试确定点Q 的横坐标．3．（2022秋·陕西西安·九年级校考开学考试）如图，直线(1)求直线l2的解析式；(2)若点M是直线l2上的点，过点M作MN⊥y轴于点N，要使以O、M、N为顶点的三角形与△AOD全等，求所有满足条件的点M的坐标．4．（2022·辽宁丹东·八年级期末）已知一次函数y=-3x+3的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，点C(3,0)．(1)如图1，点D与点C关于y轴对称，点E在线段BC上且到两坐标轴的距离相等，连接DE，交y轴于点F．求点E的坐标；(2)△AOB与△FOD是否全等，请说明理由；(3)如图2，点G与点B关于x轴对称，点P在直线GC上，若△ABP是等腰三角形，直接写出点P的坐标．【类型三一次函数与三角形存在问题】(1)求直线2l的解析式；△的面积；(2)求ADC△的面积等于3，若存在请求出点P的坐标，若不存在请说明理由．(3)在直线1l上是否存在点P使得PAC【变式训练】(1)求点B和点C的坐标．(2)求OAC的面积．(3)是否存在点M，使OMC的面积是OAC 由．(1)写出点D的坐标，并求出直线△的面积；(2)连接BC，求BCD(3)直线2l上是否存在一点P，使得(1)求直线2l 的函数解析式；(2)求ADC △的面积；(3)在直线2l 是否存在点P ，使得CDP △面积是ADC △面积的2倍？如果存在，请求出P 坐标；如果不存在，请说明理由．5．（2023秋·山东济南·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB ：y kx b =＋与x 轴交于点()60A ，，与y 轴交于点()06B ，，与直线CD 交于点E ．已知点D 的坐标为()02，，点C 在A 的左侧且12AC =．(1)分别求出直线AB 和直线CD 的表达式；(2)在直线CD 上，是否存在一点P ，使得8BEP S = ，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在坐标轴上，是否存在一点Q ，使得BEQ 是以BE 为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【类型四一次函数中折叠问题】例题：（2023秋·山东济南·八年级统考期末）如图1，在同一平面直角坐标系中，直线AB ：2y x b =+与直线AC ：3y kx =+相交于点(,4)A m ．与x 轴交于点(4,0)B -，直线AC 与x 轴交于点C ．(1)填空：b =______，m =______，k =______；(2)如图2．点D 为线段BC 上一动点，将ACD 沿直线AD 翻折得到AED △，线段AE 交x 轴于点F ．①求线段AE 的长度；②当点E 落在y 轴上时，求点E 的坐标；③若DEF 为直角三角形，请直接写出满足条件的点D 的坐标．【变式训练】3．（2023春·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点O 为坐标原点，直线4y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．(1)求点A ，B 的坐标；(2)在直线AB 上是否存在点P ，使OAP △是以OA 为底边的等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若将Rt AOB △折叠，使OB 边落在AB 上，点O 与点D 重合，折痕为BC ，求折痕BC 所在直线的表达式．4．（2023春·八年级课时练习）如图，直线y kx b =+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，点C 在线段AO 上，将ABC 沿BC 所在直线折叠后，点A 恰好落在y 轴上点D 处，若4OA =，2OD =．(1)求直线AB 的解析式．(1)点B的坐标是______；点A的坐标是(2)求直线BC的解析式；(3)在直线BC上是否存在一点P，使得存在，请说明理由．。
2019-2020学年度北师大版八年级上册一次函数与等腰三角形存在性专题( 解析版)
2019-2020一次函数与等腰三角形存在性专题（含解析）一、单选题1．一次函数分别交轴、轴于，两点，在轴上取一点，使为等腰三角形，则这样的点最多有几个（）A.5B.4C.3D.22．如图，直线y=x+与x轴、y轴分别交于点A、B，在坐标轴上找点P，使△ABP为等腰三角形，则点P的个数为（）A.2B.4C.6D.83．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y＝x上．若以A、B、C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是（）A．6 B．5 C．4 D．34．在平面直角坐标系中，已知点A(－4，0)，点B(4，0)，若点C在一次函数122y x=-+的图象上，且△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C有（）A.5个B.4个C.3个D.2个二、填空题5．如图，一次函数1y x =-+的图象与x 轴、y 轴分别交于点A B 、，点M 在x 轴上，要使ABM ∆是以AB 为腰的等腰三角形，那么点M 的坐标是_____．6．如图，已知直线334y x =-+与坐标轴相交于A 、B 两点，动点P 从原点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴正方向运动，当点P 的运动时间是__________秒时，PAB ∆是等腰三角形．三、解答题7．已知正比例函数y ＝kx 经过点A ，点A 在第四象限，过点A 作AH ⊥x 轴，垂足为点H ，点A 的横坐标为3，且△AOH 的面积为3．（1）求正比例函数的表达式；（2）在x 轴上能否找到一点M ，使△AOM 是等腰三角形？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线24y x =-+ 与x 轴，y 轴分别交于点A ，点B 。
（1）求点A 和点B 的坐标；（2）若点P 在x 轴上，且BOP 1S AOB 2∆=∆ 求点P 的坐标。
（3）在y 轴是否存在点M ，使三角形MAB 是等腰三角形，若存在。
一次函数之等腰直角三角形存在性(二)(北师版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：什么是存在性问题？通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态是否存在的题目，主要考查__________.问题2：一次函数背景下解决存在性问题的思考方向：①_______________，把函数信息（即坐标或解析式）转化为几何信息.②分析___________，确定___________.③____________________________________.一次函数之等腰直角三角形存在性（二）（北师版）一、单选题(共4道，每道25分)1.如图，直线y=2x+2与x轴、y轴分别交于点A，点B，点P是平面内一点且在直线AB下方，若使△ABP为等腰直角三角形，则点P的坐标为( )A.（-3，1），（-2，3）或B.（1，-1），（2，1）或C.（1，-1），（2，1），（-3，1）或（-2，3）D.（1，-1），（2，1）（-3，1），（-2，3），或答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数之存在性问题2.如图，直线y=2x-4与x轴、y轴分别交于点A，点B，点P是平面内一点，若△ABP是以线段AB为直角边的等腰直角三角形，则点P的坐标为( )A.(6，-2)或(4，-6)B.(-2，2)，(4，-6)或（3，-3）C.(-2，2)，(6，-2)，(-4，-2)或(4，-6)D.(-2，2)，(6，-2)，(-4，-2)，(4，-6)，（3，-3）或（1，-1）答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数之存在性问题3.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，1），点M是直线y=4上的一个动点，点N是直线y=-2上的一个动点，且点M，N均在y轴右侧，当△AMN是等腰直角三角形时：（1）点M的坐标为( )A.(3，4)B.(3，4)，(6，4)或(9，4)C.(3，4)或(3，-4)D.(3，4)，(3，-4)，(6，4)或(9，4)答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数之存在性问题4.（上接第3题）（2）点N的坐标为( )A.(3，-2)，(9，-2)或(6，-2)B.(-3，-2)或(3，-2)C.(3，-2)D.(3，-2)，(-3，-2)，(9，-2)或(6，-2)答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数之存在性问题学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：回顾本套试题，主要训练的什么内容？问题2：等腰直角三角形存在性的特征是什么？分类标准是什么？对应的操作如何进行？。
一次函数之等腰直角三角形的存在性 (习题及答案).
一次函数之等腰直角三角形的存在性（习题）
1.如图，直线y =-1
x + 2 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，点D 3
是线段OA 的中点，点P 是第一象限内一点，且使△BDP 是等腰直角三角形，则点P 的坐标为．
2.如图，直线AB：y=-x+b 交y 轴于点A(0，4)，交x 轴于点B，
直线l 垂直平分OB 交AB 于点D，交x 轴于点E，点P 是直线l 上一点，且在点D 的上方，PD=4．
（1）求点P 的坐标；
（2）以PB 为直角边作等腰直角△PBQ，直接写出所有符合条件的点Q 的坐标．
3.如图，直线y=-2x+4 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，点P 是
直线x=5 上的一个动点，点Q 是射线AB 上的一个动点，若△APQ 为等腰直角三角形，则点Q 的坐标为．
4.如图，直线l1：y=-x+10 与y 轴交于点A，与直线l2：y 1 x 2
交于点B，点C 是线段AB 上的一动点，过点C 作y 轴的平行线交直线l2 于点D，点P 是y 轴上一动点，且满足△CDP 是等腰直角三角形，则点P 的坐标为．
【参考答案】
1. (2，5)，(5，3)，( 5
，
5
)．
2 2
2. （1）点P 的坐标为(2，6)；
（2）点Q 的坐标为(-4，4)，(8，8)，(-2，-2) 或(10，2)．
3. ( 1
，3)，(-4，12)，(-1，6)；
2
4. (0，6)，(0，2)，(0，30
)．7。
第17章 勾股定理 难点突破勾股定理与全等构造 2023—2024学年人教版数学八年级下册
勾股定理与全等构造(一) 构手拉手型旋转全等模型等腰三角形→构手拉手型旋转全等 条件:BA=BC.方法：在等腰三角形的顶角处构等腰，在 BP 上方作BE=BP,∠EBP=∠ABC. 结论:△BAE≌△BCP.难点突破一 遇等边三角形→构等边三角形(旋转60°) 1.如图,点 P 为等边△ABC 内的一点,且 PC=3,PB=4,PA=5. (1)画出将△BPC 绕点 B 逆时针方向旋转 60°后的图形； (2)求∠BPC 的度数.C2.如图,在△ABC 中,∠ABC=30°,AB=6,BC=8,△ACD 是等边三角形,求 BD 的长.难点突破二 遇等腰直角三角形→构等腰直角三角形(旋转90°)3.如图,点 P 为等腰直角△ABC 内的一点,∠．ACB=90°,PB=1,PC=2,PA=3,求 ∠BPC 的度数.4.(武汉中考改)如图,AB=AC,∠．CAB=90°,∠ADC=45°,AD=4,CD=3,求 BD 的长.难点突破勾股定理与全等构造(二) 夹半角构旋转全等方法：在等腰三角形的顶角处构全等，在AB 上方作 BF =BD,∠FBA=∠DBC.难点突破一 90°夹 45°1.如图,在等腰直角△ABC 中,∠ACB=90°,点 D,E 在AB 上,且 ∠DCE =45°,BE =2,AD =3. (1)将△BCE 绕点C 逆时针旋转 90°，在图中画出旋转后的图形； (2)求 DE 的长.2.如图,在△ABC 中,AC=BC,∠．ACB=90°,点 M,N 在直线AB 上,且 ∠MCN =45°,求证： AM²+BN²=MN².难点突破二 120°夹60° 3.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠．BAC=120°,点 D,E 都在边 BC 上, ∠DAE =60°,∠AED =45°,求证:( CE²+DE²=BD².条件： BA =BC,∠EBD =12∠ABC. 结论:△BAF≌．△BCD,△BEF≌．△BED.模型二 等腰+夹半角→构旋转勾股定理与最值【方法技巧】利用涉及不等关系的几何公理或定理是求最值问题的常用方法.难点突破一化曲为直求最值1.如图，有一个圆柱，它的高等于4，底面半径等于1，在圆柱的底面λ点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少?难点突破二化折为直求最值2、如图，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点A处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点 B 处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从 A 处爬到 B 处的最短路线长为多少?难点突破三利用两点之间线段最短求最值3、如图, △ABC为等腰直角三角形、AB=BC=2,点 Q 为 BC 的中点、P 为边 AC 上一动点,求△PBQ周长的最小值。
2020_2021学年八年级数学上册难点突破08一次函数中的有关图形面积问题试题北师大版202012
专题08 一次函数中的有关图形面积问题【模型展示】一、如何求下列阴影部分三角形的面积二、如何求下面两个阴影三角形的面积【例题精讲】1、如图，直线6y kx =+与x 轴、y 轴分别相交于点,E F ，点E 的坐标为(8,0)-，点A 的坐标为(6,0)-．点(,)P x y 是第二象限内的直线上的一个动点。
（1）求k 的值（2）当点P 运动过程中，试写出OPA ∆的面积S 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）求当P 运动到什么位置（求P 的坐标）时，四边形AOFP 的面积为1838，并说明理由。
解：（1）∵直线y = kx +6与x 轴相交于点E （﹣8，0） ∴086k =-+ 解得 34k =（2）对于直线364y x =+，∵点P （x ，y ）是第二象限内的直线上的一个动点，xx∴可设3,64P x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（－8＜x ＜0）， 则P 点到x 轴得距离为364h x =+， 又A （﹣6，0）， ∴AO=66-= ∴11366224OPA S AO h x ∆⎛⎫=⋅=⨯⨯+ ⎪⎝⎭∴ 9184S x =+（－8＜x ＜0） （3）对于直线364y x =+， 由 x=0，得 6y = ∴F （0,6）， 则OF=6 ∵3,64P x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（－8＜x ＜0）到y 轴的距离为x ＝－x ∴()116322OFP S FO x x x ∆=⋅=⨯⨯-=- ∴OPA OFP AOFP S S S ∆∆+四边形＝ ∴()918318348x x ++-= 解得132x =-,符合题意， 此时37648x += ∴P 137,28⎛⎫- ⎪⎝⎭2、如图，直线y =+与x 轴相交于点A，与直线y =相交于点P ．（1）求点P 的坐标．（2）请判断OPA ∆的形状并说明理由．（3）动点E 从原点O 出发，以每秒1个单位的速度沿着O P A →→的路线向点A 匀速运动（E 不与点,O A 重合），过点E 分别作EF x ⊥轴于F ，EB y ⊥轴于B ，设运动t 秒时，矩形EBOF 与OPA ∆重叠部分的面积为S ，求：S 与t 之间的函数关系式．参考答案：（1）点P的坐标为（2）△POA 是等边三角形（3）当0＜t ≤4时，如图，在Rt △EOF 中，∵∠EOF=60°，OE=t ，∴EF=32t ，OF=12t ，∴212S OF EF =⋅=当4＜t ＜8时，如图，设EB 与OP 相交于点C ，∵CE=PE=t-4，AE=8-t ，∴AF=4-12t ，EF=3(8)2t -∴OF=OA-AF=12t∴21()28S CE OF EF =+⋅=-+-【针对训练】1、如图，一次函数y ＝k 1x +b 的图象与y 轴交于点B （0，﹣6），与x 轴交于点C ，且与正比例函数y ＝k 2x 的图象交于点A （1，﹣4）．（1）分别求出这两个函数的表达式及△AOC 的面积；（2）将正比例函致y＝k2x的图象沿y轴向下平移3个单位长度后得到直线l，请写出直线l对应的函数表达式．解：（1）∵一次函数经过点B（0，﹣6），A（1，﹣4），得到，∴，∵y＝2x﹣6，∴C（3，0），∵正比例函数经过A（1，﹣4），∴k2＝﹣4，∴y＝﹣4x；∴△AOC的面积＝×3×4＝6；（2）将y＝﹣4x沿着y轴向下平移3个单位长度后得到y＝﹣4x﹣3．2、如图，在平面直角坐标系中，把点A（﹣2，3）向右平移4个单位长度，再向下移2个单位长度得到点B．（1）求直线AB的解析式；（2）直线AB与x轴交于点C，将直线OB沿BA方向从点B开始平移到点A停止，直线OB在平移过程中交AB于点E，交x轴于点F，记△EFC的面积为S，求S的取值范围．解：（1）∵把点A（﹣2，3）向右平移4个单位长度，再向下移2个单位长度得到点B，∴B（2，1），设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣+2；（2）由直线AB：y＝﹣x+2可知C（4，0），∵B（2，1），∴直线OB的解析式为y＝x，∴设平移后的解析式为y＝x+n，把A（﹣2，3）代入得3＝+n，解得n＝4，∴直线EF经过A时的解析式为y＝+4，令y＝0，则x＝﹣8，∴此时S有最大值，S＝CF•y A＝（8+4）×3＝18，当直线EF与OB重合时，S有最小值，S＝OC•y B＝×2＝4，∴S的取值范围为4≤S≤18．3、如图，在平面直角坐标系中，直线l1与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，4），OA＝OB，点C（﹣3，n）在直线l1上．（1）求直线l1和直线OC的解析式；（2）点D是点A关于y轴的对称点，将直线OC沿y轴向下平移，记为l2，若直线l2过点D，与直线l1交于点E，求△BDE的面积．解：（1）∵点B（0，4），OA＝OB，∴OA＝OB＝＝2，∴A（﹣2，0），设AB解析式y＝kx+b，∴解得：，∴直线I1的解析式：y＝2x+4，∵C（﹣3，n）在直线I1上，∴n＝﹣3×2+4n＝﹣2∴C（﹣3，﹣2）设OC的解析式：y＝k1x∴﹣2＝﹣3k1k1＝，∴直线OC解析式y＝x；（2）∵D点与A点关于y轴对称∴D（2，0）设DE解析式y＝x+b′，∴0＝×2+b′，∴b′＝﹣，∴DE解析式y＝x﹣，当x＝0，y＝﹣，解得：，∴E（﹣4，﹣4），∴S△BDE＝×（2+2）（4+4）＝16．4、如图，直线l1：y＝﹣x与直线l2相交于点A，已知点A的纵坐标为，直线l2交x轴于点D，已知点D横坐标为﹣4，将直线l1向上平移3个单位，得到直线l3，交x轴于点C，交直线l2于点B．（1）求直线l2的函数表达式；（2）求△BOC的面积．解：（1）∵直线l1：y＝﹣x与直线l2相交于点A，已知点A的纵坐标为，∴A（﹣1，），设直线l2的函数表达式为y＝kx+b，将A（﹣1，），D（﹣4，0）代入得，解得，∴直线l2为y＝x+2；（2）将直线l1向上平移3个单位，得到直线l3为y＝﹣x+3，解得，∴B（，），在直线l3为y＝﹣x+3中，令y＝0，则x＝2，∴C（2，0），∴S△BOC＝＝．5、如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y＝x的图象交点为C（m，4）．（1）求一次函数y＝kx+b的解析式；（2）求△BOC的面积；（3）若点D在第二象限，△DAB为等腰直角三角形，则点D的坐标为．解：（1）∵点C在正比例函数图象上，∴m＝4，解得：m＝3，∵点C（3，4）、A（﹣3，0）在一次函数图象上，∴代入一次函数解析式可得，解这个方程组得，∴一次函数的解析式为y＝x+2；（2）在中，令x＝0，解得y＝2，∴B（0，2）∴S△BOC＝×2×3＝3；（3）过点D1作D1E⊥y轴于点E，过点D2作D2F⊥x轴于点F，如图，∵点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，∴AB＝BD2，∵∠D1BE+∠ABO＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠BAO＝∠EBD1，∵在△BED1和△AOB中，∴△BED1≌△AOB（AAS），∴BE＝AO＝3，D1E＝BO＝2，即可得出点D的坐标为（﹣2，5）；同理可得出：△AFD2≌△AOB，∴FA＝BO＝2，D2F＝AO＝3，∴点D的坐标为（﹣5，3），∵∠D1AB＝∠D2BA＝45°，∴∠AD3B＝90°，∴D3（，），综上可知点D的坐标为（﹣2，5）或（﹣5，3）或（，）．故答案为：（﹣2，5）或（﹣5，3）或（，）．6、如图1，在平面直角坐标系中，OB＝10，F是y轴正半轴上一点．（1）若OF＝2，求直线BF的解析式；（2）设OF＝t，△OBF的面积为s，求s与t的函数关系（直接写出自变量t的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，过点B作BA⊥x轴，点C在x轴上，OF＝OC，连接AC，CD⊥直线BF于点D，∠ACB＝2∠CBD，AC＝13，OF＝OC，AC．BD交于点E，求此时t的值．解：（1）∵OB＝10，OF＝2，∴B（﹣10，0），F（0，2），设直线BF的解析式为y＝kx+b，∵直线y＝kx+b经过点B（﹣10，0），F（0，2），∴，解得：，∴直线BF的解析式为y＝x+2；（2）△OBF的面积为S＝＝5t（t＞0）；（3）如图，延长AB至点R，使BR＝AB，连接CR，延长CD交y轴于点T，过点T，作TM∥x轴交BA的延长线于点M，过点T作TK⊥CR交RC的延长线于点K，连接RT，∵AB⊥BC，AB＝BR，∴BC垂直平分AR，∴AC＝CR＝13，∴∠ACB＝∠RCB，设∠CBD＝α，则∠ACB＝2α，∵BD⊥CD，∴∠BDC＝90°，∴∠BCD＝90°﹣α，∵∠ACB＝∠RCB＝2α，∴∠ACK＝180°﹣4α，∴∠KCT＝∠BCK﹣∠BCD＝∠BCA+∠ACK﹣∠BCD＝90°﹣α，∴∠KCT＝∠BCD，∵TK⊥KR，OT⊥OC，∴OT＝TK，∵TC＝TC，∴Rt△OTC≌Rt△KTC（HL），∴OC＝CK＝TK＝t，∵OF＝OC，∠BOF＝∠TOC，∠FBO＝∠OTC，∴△BOF≌△TOC（AAS），∴OB＝OT＝10，∴TK＝10，∵∠ABO+∠BOT＝90°+90°＝180°．∴MB∥OT，∵MT∥OB，∴四边形OBMT为平行四边形，∵OB＝OT，∠BOT＝90°．∴四边形OBMT为正方形，∴MB＝MT＝OT＝10，∴MT＝TK，∵RT＝RT，∴Rt△RMT≌Rt△RTK（HL），∴RK＝RM＝CR+CK＝13+t，∴BR＝RM﹣MB＝3+t，∵BC＝OB+OC＝10+t，在Rt△BRC中，BR2+BC2＝RC2，∴（3+t）2+（10+t）2＝132，解得：t＝2（t＝﹣15舍去）．∴t的值为2．7、如图1．在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+2的图象与x轴，y轴分别交于点A．点C，过点1作AB⊥x轴，垂足为点A，过点C作CB⊥y轴，垂足为点C，两条垂线相交于点B．（1）线段OC，OA，AC的长分别为OC＝，OA＝，AC＝，∠ACO＝度．（2）将图1中的△ABC折叠，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕DE交AB于点D，交AC 于点E，连接CD，如图2，求线段AD的长；（3）点M是直线AC上一个动点（不与点A、点C重合）．过点M的另一条直线MN与y轴相交于点N．是否存在点M，使△AOC与△MCN全等？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵一次函数y＝﹣x+2的图象与x轴，y轴分别交于点A，点C，∴A（2，0），C（0，2），∴OA＝2，OC＝2，∵AB⊥x轴，CB⊥y轴，∠AOC＝90°，∴四边形OABC是矩形，∴AB＝OC＝8，BC＝OA＝4，在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AC＝＝＝4，∴∠ACO＝30°．故答案为：2；2；4；30．（2）由（1）知，BC＝2，AB＝2，由折叠知，CD＝AD，在Rt△BCD中，BD＝AB﹣AD＝2﹣AD，根据勾股定理得，CD2＝BC2+BD2，即：AD2＝4+（2﹣AD）2，∴AD＝；（3）①如图1，MN⊥y轴，若△AOC≌△MNC，则CN＝CO，∴M点的纵坐标为4，代入y＝﹣x+2得，x＝﹣2，∴．②如图2，MN⊥AC，MP⊥y轴，∵S△MCN＝S△AOC＝，∴CN＝AC＝4，∴PM＝，∴M点的橫坐标为或﹣，代入y＝﹣x+2得，y＝﹣3+2或y＝3+2．∴M点的坐标为（）或（﹣）．综合以上可得M点的坐标为（﹣2，4）或（）或（﹣）．8、在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线BC交x轴负半轴于点C，∠BCA＝30°，如图①．（1）求直线BC的解析式．（2）在图①中，过点A作x轴的垂线交直线CB于点D，若动点M从点A出发，沿射线AB方向以每秒个单位长度的速度运动，同时，动点N从点C出发，沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动，直线MN与直线AD交于点S，如图②，设运动时间为t秒，当△DSN≌△BOC时，求t的值．（3）若点M是直线AB在第二象限上的一点，点N、P分别在直线BC、直线AD上，是否存在以M、B、N、P为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴x＝0时，y＝2，y＝0时，x＝2，∴A（2，0），B（0，2），∴OB＝AO＝2，在Rt△COB中，∠BOC＝90°，∠BCA＝30°，∴OC＝2，∴C（﹣2，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，代入B，C两点的坐标得，，∴k＝，b＝2，∴直线BC的解析式为y＝x+2；（2）分别过点M，N作MQ⊥x轴，NP⊥x轴，垂足分别为点Q，P．（Ⅰ）如图1，当点M在线段AB上运动时，∵CN＝2t，AM＝t，OB＝OA＝2，∠BOA＝∠BOC＝90°，∴∠BAO＝∠ABO＝45°，∵∠BCO＝30°，∴NP＝MQ＝t，∵MQ⊥x轴，NP⊥x轴，∴∠NPQ＝∠MQA＝90°，NP∥MQ，∴四边形NPQM是矩形，∴NS∥x轴，∵AD⊥x轴，∴AS∥MQ∥y轴，∴四边形MQAS是矩形，∴AS＝MQ＝NP＝t，∵NS∥x轴，AS∥MQ∥y轴，∴∠DNS＝∠BCO，∠DSN＝∠DAO＝∠BOC＝90°，∴当DS＝BO＝2时，△DSN≌△BOC（AAS），∵D（2，+2），∴DS＝+2﹣t，∴+2﹣t＝2，∴t＝（秒）；（Ⅱ）当点M在线段AB的延长线上运动时，如图2，同理可得，当DS＝BO＝2时，△DSN≌△BOC（AAS），∵DS＝t﹣（+2），∴t﹣（+2）＝2，∴t＝+4（秒），综合以上可得，t＝秒或t＝+4秒时，△DSN≌△BOC．（3）存在以M、B、N、P为顶点的四边形是菱形：M（﹣2﹣2，2+4）或M（﹣2﹣4，2+6）或M（﹣2+2，2）．∵M是直线AB在第二象限上的一点，点N，P分别在直线BC，直线AD上，∴设点M（a，﹣a+2），N（b，b+2），P（2，c），点B（0，2），（Ⅰ）当以BM，BP为邻边构成菱形时，如图3，∵∠CBO＝60°，∠OBA＝∠OAB＝∠PAF＝45°，∴∠DBA＝∠MBN＝∠PBN＝75°，∴∠MBE＝45°，∠PBF＝30°，∴MB＝ME，PF＝AP，PB＝2PF＝AP，∵四边形BMNP是菱形，∴，解得，a＝﹣2﹣2，∴M（﹣2﹣2，2+4）（此时点N与点C重合），（Ⅱ）当以BP为对角线，BM为边构成菱形时，如图4，过点B作EF∥x轴，ME⊥EF，NF⊥EF，同（Ⅰ）可知，∠MBE＝45°，∠NBF＝30°，由四边形BMNP是菱形和BM＝BN得：，解得：a＝﹣2﹣4，∴M（﹣2﹣4，2+6），（Ⅲ）当以BM为对角线，BP为边构成菱形时，如图5，作NE⊥y轴，BF⊥AD，∴∠BNE＝30°，∠PBF＝60°，由四边形BMNP是菱形和BN＝BP得，，解得：a＝﹣2+2，∴M（﹣2+2，2）．综合上以得出，当以M、B、N、P为顶点的四边形是菱形时，点M的坐标为：M（﹣2﹣2，2+4）或M（﹣2﹣4，2+6）或M（﹣2+2，2）．。
一次函数之等腰直角三角形存在性(北师版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：什么是存在性问题？问题2：一次函数背景下解决存在性问题的思考方向是什么？问题3：等腰直角三角形根据什么分类？如何确定点的位置？一次函数之等腰直角三角形存在性（北师版）一、单选题(共6道，每道16分)1.如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，点B，点P是第四象限内一点，且△ABP为等腰直角三角形，则点P的坐标为( )A.B.C.D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数之存在性问题2.如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，点B，点.点P是平面内一点，若△ABP是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，则点P的坐标为( )A.B.C.D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数之存在性问题3.如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，点B，点D是线段OA的中点，点P 是第一象限内一点，且使△BDP是等腰直角三角形，则点P的坐标为( )A.（2，5），（5，2），B.（2，5），（5，3），C.（2，8），（8，2），（4，4）D.（2，5），（5，3），（4，4）答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数之存在性问题4.如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），且a，b满足.若第二象限内存在点M，使△ABM是等腰直角三角形，则点M的坐标为( )A.（-6，2），（-4，6），B.（6，2），（4，6），C.（-6，2），（-4，6），D.（-4，2），（-4，2），答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数之存在性问题5.如图，在平面直角坐标系中，OA=OB=OC=6，过点A的直线AD交BC于点D，交y轴于点G，△AOG的面积为△ABC面积的．（1）过点C作CE⊥AD，交AB交于F，垂足为E．则点F的坐标为( )A.（0，2）B.（0，4）C.（2，0）D.（4，0）答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数与几何综合6.（上接试题5）（2）在（1）的条件下，点P是平面内一点，若△CFP是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，则点P的坐标为( )A.(4，4)，(-2，2)B.(6，8)，(8，2)，(4，4)C.(6，8)，(8，2)，(-2，2)D.(6，8)，(8，2)，(4，4)，(-6，4)，(-4，-8)，(-2，2)答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数之存在性问题。
2023学年北师大版八年级数学上学期压轴题专题09 一次函数与几何图形综合问题的五种类型含解析
专题09 一次函数与几何图形综合问题的五种类型类型一、面积问题例1．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线AB 与x 轴交于A 点 （2，0）与y 轴交于点B （0，1）． （1）求直线AB 的解析式；（2）点M （-1，y 1），N （3，y 2）在直线AB 上，比较y 1与y 2的大小. （3）若x 轴上有一点C ，且S △ABC =2，求点C 的坐标【变式训练1】已知一次函数12y kx =+的图象与x 轴交于点(2,0)B -，与正比例函数2y mx =的图象交于点(1,)A a ．（1）分别求k ，m 的值；（2）点C 为x 轴上一动点，如果ABC 的面积是6，请求出点C 的坐标．【变式训练2】如图，在正方形ABCD 中，4AB =，点P 为线段DC 上的一个动点．设DP x =，由点,,,A B C P 首尾顺次相接形成图形的面积为y ．（1）求y 关于x 的函数表达式及x 的取值范围；（2）设（1）中函数图象的两个端点分别为M N 、，且P 为第一象限内位于直线MN 右侧的一个动点，若MNP △正好构成一个等腰直角三角形，请求出满足条件的P 点坐标；（3）在（2）的条件下，若l 为经过(1,0)-且垂直于x 轴的直线，Q 为l 上的一个动点，使得MNQNMPS S=，请直接写出符合条件的点Q 的坐标．【变式训练3】如图，已知直线1:3l y x =+与过点A （3，0）的直线2l 交于点C （1，m ），且与x 轴交于点B ，与y 轴交于点D ． （1）求直线2l 的解析式；（2）若点D 关于x 轴的对称点为P ，求△PBC 的面积．类型二、一次函数与平行四边形例1.如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x ，y 轴分别交于点(4,0)A ，(0,3)B ，点C 是直线554y x =-+上的一个动点，连接BC ．（1）求直线AB 的函数解析式；（2）如图1，若//BC x 轴，求点C 到直线AB 的距离；（3）如图2，点(1,0)E ，点D 是直线AB 上的动点，试探索点C ，D 在运动过程中，是否存在以B ，C ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点C ，D 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练1】一次函数y = kx+1（k ≠ 0）的图象过点P （-3，2），与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．（1）求k 的值及点A 、B 的坐标；（2）已知点C （-1，0），若以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点D 的坐标．【变式训练2】平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：2y x b =+与直线2l ：12y x =交于点()2,P m ． （1）求m ，b 的值；（2）直线()0x n n =≠与直线1l ，2l 分别交于M ，N 两点，当MN ＝3时，若以M ，N ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q 的坐标．类型三、一次函数与等腰三角形例1．一次函数的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 0），B （0，1），以AB 为边在第一象限内做等边△ABC ． （1）线段AB 的长是 ，△BAO ＝ °，点C 的坐标是 ；（2）如果在第二象限内有一点P （a ，1），试用含a 的代数式表示四边形ABPO 的面积． （3）在y 轴上存在点M ，使△MAB 为等腰三角形，请直接写出点M 的坐标．【变式训练1】如图一，已知直线l ：6y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，直线m 与v 轴交于点(0,2)C -，与直线l 交于点(,1)D t ．（1）求直线m 的解析式；（2）如图二，点P 在直线l 上且在y 轴左侧，过点P 作//PQ y 轴交直线m 于点Q ，交x 轴于点G ，当2PCG QCG S S ∆∆=，求出P ，Q 两点的坐标；（3）将直线l ：6y x =-+向左平移12个单位得到直线n 交x 轴于E 点，点F 是点C 关于原点对称点．过点F 作直线//k x 轴．点M 在直线k 上，写出以点C ，E ，M ，为顶点且CE 为腰的等腰三角形，并把求其中一个点M 的坐标的过程写出来．【变式训练2】在如图的平面直角坐标系中，直线n 过点A （0，﹣2），且与直线l 交于点B （3，2），直线l 与y 轴交于点C ．（1）求直线n 的函数表达式；（2）若△ABC 的面积为9，求点C 的坐标；（3）若△ABC 是等腰三角形，求直线l 的函数表达式．【变式训练3】如图，直线1:l y ax a =-，1l 与x 轴交于点B ，直线2l 经过点(4,0)A ，直线1l ，2l 交于点(2,3)C -．（1）a =______；点B 的坐标为______． （2）求直线2l 的解析表达式； （3）求ABC 的面积；（4）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得ABP △为等腰三角形，请直接写出P 点的横坐标？类型四、一次函数与直角三角形例1.如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝－x ＋2的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，与函数y ＝13x ＋b 的图象交于点C （－2，m ）． （1）求m 和b 的值；（2）函数y ＝－x ＋b 的图象与x 轴交于点D ，点E 从点D 出发沿DA 向，以每秒2个单位长度匀速运动到点M （到A 停止运动），设点E 的运动时间为t 秒． ①当ΔACE 的面积为12时，求t 的值；②在点E 运动过程中，是否存在t 的值，使ΔACE 为直角三角形？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．【变式训练1】如图1，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，对角线AC BD 、交于点,O P 从B 点出发，沿B DC →→方向匀速运动，P 点运动速度为1cm/s ．图2是点P 运动时，APC △的面积2()cm y 随P 点运动时间()s x变化的函数图像．（1）AB =_______cm,a =_____；（2）P 点在BD 上运动时，x 为何值时，四边形ADCP ； （3）在P 点运动过程中，是否存在某一时刻使得APB △为直角三角形，若存在，求x 的值；若不存在，请说明理由．【变式训练2】在平面直角坐标系xOy 中，将直线2y x =向下平移2个单位后，与一次函数132y x =-+的图象相交于点A ．（1）将直线2y x =向下平移2个单位后对应的解析式为 ； （2）求点A 的坐标；（3）若P 是x 轴上一点，且满足△OAP 是等腰直角三角形，直接写出点P 的坐标．类型五、最值问题例1．如图，将直线34y x=-向上平移后经过点()4,3A，分别交x轴y轴于点B、C．（1）求直线BC的函数表达式；（2）点P为直线BC上一动点，连接OP．问：线段OP的长是否存在最小值？若存在，求出线段OP的最小值，若不存在，请说明理由．【变式训练1】如图，四边形OABC是张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，5OC=，点E在边BC上．（1）若点N的坐标为(3,0)，过点N且平行于y轴的直线MN与EB交于点M，将纸片沿直线OE折叠，顶点C恰好落在MN上，并与MN上的点G重合．①求点G、点E的坐标；②若直线:l y mx n=+平行于直线OE，且与长方形ABMN有公共点，请直接写出n的取值范围．（2）若点E为BC上的一动点，点C关于直线OE的对称点为G，连接BG，请求出线段BG的最小值．专题09 一次函数与几何图形综合问题的五种类型类型一、面积问题例1．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线AB 与x 轴交于A 点 （2，0）与y 轴交于点B （0，1）． （1）求直线AB 的解析式；（2）点M （-1，y 1），N （3，y 2）在直线AB 上，比较y 1与y 2的大小. （3）若x 轴上有一点C ，且S △ABC =2，求点C 的坐标 【答案】（1）112y x =-+；（2）y 1＞y 2；（3）()6,0C 或()2,0-． 【解析】（1）解：设直线AB 的解析式为y kx b =+△A （2，0）B （0,1），△201k b b +=⎧⎨=⎩，解得：k =12-，b =12△直线AB 的解析式为112y x =-+ （2）△y ＝﹣12x +1中k ＝﹣12＜0，△y 值随x 值的增大而减小， △﹣1＜3，△y 1＞y 2；（3）△x 轴上有一点C ，设点C （x ，0），△AC ＝|2﹣x |， △S △ABC ＝2，△12×|2﹣x |×1＝2，△x ＝﹣2或x ＝6， △C （﹣2，0）或C （6，0）． 故答案为：（1）112y x =-+；（2）y 1＞y 2；（3）()6,0C 或()2,0-． 【变式训练1】已知一次函数12y kx =+的图象与x 轴交于点(2,0)B -，与正比例函数2y mx =的图象交于点(1,)A a ．（1）分别求k ，m 的值；（2）点C 为x 轴上一动点，如果ABC 的面积是6，请求出点C 的坐标． 【答案】（1）1k =，3m =；（2）点C 的坐标为(2,0)或(6,0)- 【解析】（1）一次函数1=2y kx +的图象与x 轴交于点2,0B -（），220k ∴-+=1k ∴=12y x ∴=+一次函数12y x =+的图象与正比例函数2y mx =的图象交于点(1,)A a ，12a ∴=+，a m =，3m ∴=； （2）设点C 的坐标为(,0)n ，过点A 作AD x ⊥轴，垂足为点D ．ABC 的面积是6，162BC AD ∴⋅=，1|(2)|362n ∴--⨯=，2n ∴=或6n =-∴点C 的坐标为(2,0)或(6,0)-，或过点A 作AD x ⊥轴，垂足为点D ．ABC 的面积是6，162BC AD ∴⋅=，1362BC ∴⨯=，4BC ∴=，点B 的坐标为(2,0)-，∴点C 的坐标为(2)0，或(60)-，． 【变式训练2】如图，在正方形ABCD 中，4AB =，点P 为线段DC 上的一个动点．设DP x =，由点,,,A B C P 首尾顺次相接形成图形的面积为y ．（1）求y 关于x 的函数表达式及x 的取值范围；（2）设（1）中函数图象的两个端点分别为M N 、，且P 为第一象限内位于直线MN 右侧的一个动点，若MNP △正好构成一个等腰直角三角形，请求出满足条件的P 点坐标；（3）在（2）的条件下，若l 为经过(1,0)-且垂直于x 轴的直线，Q 为l 上的一个动点，使得MNQNMPS S=，请直接写出符合条件的点Q 的坐标．【答案】（1）y =-2x +16，0＜x ＜4；（2）（12，12）或（8，20）或（6，14）；（3）（-1，-2）或（-1，8）或（-1，38）或（-1，28）【解析】（1）由线段的和差，得PC =（4-x ），由梯形的面积公式，得y =-2x +16， △四边形ABCD 是正方形，△AB =CD =4，△x 的取值范围是0＜x ＜4； （2）设P 点坐标是（a ，b ），M （0，16），N （4，8），以MN 为边，在MN 右侧做正方形，MNAB ，正方形中心为H ，则易知A ，B ，H 即为所求P 的坐标；示意图如下求得A （12，12），B （8，20），O （6，14），故P 点可能的坐标为（12，12）或（8，20）或（6，14）； （3）由S △MNQ =S △NMP ，设Q （-1，m ），QN 所在直线方程为y =kx +b ， 把Q 和N 代入方程，求得b =845m +，则可求S △NMP =12|16-b |×[4-（-1）]=|36-2m |当P 为（12，12）时，S △MNQ =40，△|36-2m |=40；解得m =-2或38，当P （8，20），同理解得m =-2或38，当P （8，20），有S △MNQ =20，解得m =8或28， 综上，符合条件的Q 的坐标为（-1，-2）或（-1，8）或（-1，38）或（-1，28）．【变式训练3】如图，已知直线1:3l y x =+与过点A （3，0）的直线2l 交于点C （1，m ），且与x 轴交于点B ，与y 轴交于点D ． （1）求直线2l 的解析式；（2）若点D 关于x 轴的对称点为P ，求△PBC 的面积．【答案】（1）-26y x =+；（2）12．【解析】（1）把(1,)C m 代入y ＝x ＋3，得1＋3＝m ，△m ＝4，△(1,4)C设2l 的解析式为：y ＝kx ＋b （k ≠0），将点A ,C 的坐标代入，则430k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得26k b =-⎧⎨=⎩，△2l 的解析式为：-26y x =+（2）当y ＝0时，30x += ，△3x =-，△(3,0)B -， 当x =0时，y =3，△(0,3)D ，△点P 、D 关于x 轴对称，△(0,3)P - ,如图，连接BP ,PC ,设PC 与x 轴的交点为Q ，设直线PC 的解析式为(0)y kx b k =+≠，将点(1,4),(0,3)C P -代入：43k b b +=⎧⎨=-⎩，解得73k b =⎧⎨=-⎩，△直线PC 的解析式为：73y x =-，令y =0，解得37x =， △BPCBQP BQCSSS=+1122c BQ OP BQ y =+1124()712227c BQ OP y =+=⨯⨯=．类型二、一次函数与平行四边形例1.如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x ，y 轴分别交于点(4,0)A ，(0,3)B ，点C 是直线554y x =-+上的一个动点，连接BC ．（1）求直线AB 的函数解析式；（2）如图1，若//BC x 轴，求点C 到直线AB 的距离；（3）如图2，点(1,0)E ，点D 是直线AB 上的动点，试探索点C ，D 在运动过程中，是否存在以B ，C ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点C ，D 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）334y x =-+；（2）2425；（3）17(2，45)8-、15(2-，69)8或1(2-，45)8、1(2，21)8或17(2，45)8-、15(2，21)8- 【解析】（1）设直线AB 的表达式为y kx b =+，则304b k b =⎧⎨=+⎩，解得343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，故AB 的表达式为334y x =-+；（2）//BC x 轴，故点C 的纵坐标为3，当3y =时，即5534y x =-+=，解得85x =，即点C 的坐标为8(5，3)，则85BC =；由点A 、B的坐标得，5AB ==，过点C 作CH AB ⊥于点H ，在△ABC 中，S △ABC =1122BC OB AB CH ⨯⨯=⨯⨯，即18135252CH ⨯⨯=⨯⨯，解得：2425CH =，即点C 到直线AB 的距离为2425；（3）设点C 、D 的坐标分别为5(,5)4m m -+、3(,3)4n n -+，当EB 是对角线时，由中点坐标公式得：01m n +=+且53305344m n +=-+-+，解得172152m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故点C 、D 的坐标分别为17(2，45)8-、15(2-，69)8；当EC 是对角线时，同理可得：1m n +=且5353344m n -+=-++，解得，1212m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故点C 、D 的坐标分别为1(2-，45)8、1(2，21)8；当ED 是对角线时，同理可得：1n m +=且35035344n m -+=-++，解得152172m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故点C 、D 的坐标分别为17(2，45)8-、15(2，21)8-．综上，点C 、D 的坐标分别为17(2，45)8-、15(2-，69)8或1(2-，45)8、1(2，21)8或17(2，45)8-、15(2，21)8-．【变式训练1】一次函数y = kx+1（k ≠ 0）的图象过点P （-3，2），与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．（1）求k 的值及点A 、B 的坐标；（2）已知点C （-1，0），若以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点D 的坐标．【答案】（1）13k =-，与x 轴交于点A （3，0），与y 轴交于点B （0，1）；（2）D （4，1）或D （2，-1）或D （-4，1）．【解析】（1）将P （-3，2）代入()10y kx k =+≠，得：13k =-函数表达式：113y x =-+，令y =0，x =3，令x =0，y =1，△与x 轴交于点A （3，0），与y 轴交于点B （0，1）；（2）分三种情况：①BC 为对角线时，点D 的坐标为（-4，1）；②AB 为对角线时，点D 的坐标为（4，1），③AC 为对角线时，点D 的坐标为（2，-1）．综上所述，点D 的坐标是（4，1）或（-4，1）或（2，-1）．【变式训练2】平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：2y x b =+与直线2l ：12y x =交于点()2,P m ． （1）求m ，b 的值；（2）直线()0x n n =≠与直线1l ，2l 分别交于M ，N 两点，当MN ＝3时，若以M ，N ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q 的坐标．【答案】（1）13m b ==-,；（2）点Q 的坐标为()2,4，()2,2-或()6,6 【解析】（1）△直线1l ：2y x b =+与直线2l ：12y x =交于点()2,P m ，△4122m b m =+⎧⎪⎨=⨯⎪⎩，△1 3.m b ==-， （2）依题意可得直线1l ：23y x =-，△直线1l 与y 轴的交点为（0，-3） △直线()0x n n =≠与直线1l ，2l 分别交于M ，N 两点， MN ＝3， △M ，N 不是y 轴上的点，设M （x ，2x -3），则N （x ，12x ） 由MN ＝3，得（2x -3）-12x =3，解得x =4，△M （4，5），则N （4，2） △以M ，N ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，①当MN 为四边形MPNQ 的对角线时，MN 的中点坐标为（4，3.5） 故()2,1P 、Q 关于（4，3.5）对称，△点Q 的坐标为()6,6，②当MN 为四边形MNQP 的一边时，MN =PQ =3，且PQ 与y 轴平行，故点Q 的坐标为()2,4或()2,2- 综上，点Q 的坐标为()2,4，()2,2-或()6,6． 类型三、一次函数与等腰三角形例1．一次函数的图像与x 轴、y 轴分别交于点A0），B （0，1），以AB 为边在第一象限内做等边△ABC ． （1）线段AB 的长是 ，△BAO ＝ °，点C 的坐标是 ；（2）如果在第二象限内有一点P （a ，1），试用含a 的代数式表示四边形ABPO 的面积． （3）在y 轴上存在点M ，使△MAB 为等腰三角形，请直接写出点M 的坐标．【答案】（1）2，30，C2）；（22a-；（3）（0，-1）或（0，3）【解析】（1）(3A ，0)，(0,1)B ，在Rt AOB ∆中，2AB =，2OB =AB ，可30BAO ∴∠=︒，以AB 为边在第一象限内做等边ABC ∆，60ACB ∠=︒∴，AB AC =，90OAC ∴∠=︒，C ∴2)，故答案为2，30，C 2)；（2）四边形ABPO 的面积BAO =∆的面积OBP +∆的面积1111()222a a =+⨯⨯-=；（3）2AB =，30BAO ∠=︒，60OBA ∴∠=︒，①当AB BM =时，2BM =，(0,1)M -或(0,3)M ；②当AB AM =时，ABM ∆是等边三角形，M ∴与B 关于x 轴对称，(0,1)M ∴-； ③当BM AM =时，ABM ∆是等边三角形，M ∴与B 关于x 轴对称，(0,1)M ∴-； 综上所述：MAB ∆为等腰三角形时，M 点坐标为(0,1)-或(0,3)．【变式训练1】如图一，已知直线l ：6y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，直线m 与v 轴交于点(0,2)C -，与直线l 交于点(,1)D t ．（1）求直线m 的解析式；（2）如图二，点P 在直线l 上且在y 轴左侧，过点P 作//PQ y 轴交直线m 于点Q ，交x 轴于点G ，当2PCG QCG S S ∆∆=，求出P ，Q 两点的坐标；（3）将直线l ：6y x =-+向左平移12个单位得到直线n 交x 轴于E 点，点F 是点C 关于原点对称点．过点F 作直线//k x 轴．点M 在直线k 上，写出以点C ，E ，M ，为顶点且CE 为腰的等腰三角形，并把求其中一个点M 的坐标的过程写出来． 【答案】（1）直线m 的解析式为325y x =-；（2）P 点的坐标为（-10，16），Q 点坐标为（-10，-8）；（3）当CE 为腰时，点M 的坐标为：M （2）或M （-2）或M （0，2）．过程见解析． 【解析】（1）△D （t ，1）在直线l ：y =-x +6上，△1=-t +6，△t =5，△D （5，1），设直线m 的解析式为y =kx +b ，将点C ，D 代入得，512k b b +=⎧⎨=-⎩，解得，352k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以，直线m 的解析式为325y x =-； （2）设P （a ，6-a ），△点P 在x 轴的左侧，△0a < △PQ △轴，G （a ，0），Q （a ，325a -），如图，点P 、Q 在x 轴两侧，△S △PCG =12PG •（-a ），S △QCG =12GQ •(-a )且S △PCG =2S △QCG ， △PG =2QG ，△6-a =2（2-35a ），解得：a =-10， △66(10)16a -=--=，332(10)2855a -=⨯--=-△P 点的坐标为（-10，16），Q 点坐标为（-10，-8）；（3）对于直线l ：y =-x +6，当x =0时，y =6；当y =0时，x =6．△A （6，0），B （0，6），△将直线l ：y =-x +6向左平移12个单位得直线n 交x 轴于点E ，点F 是点C 关于原点的对称点．点C （0，-2）， △E （-6，0），F （0，2）， 如图，△将直线l ：y =-x +6向左平移12个单位得直线n ，△直线n ：y =-x -6， 又△F （0，2）△k 的解析式为：y =2，设M （a ，2），则MCME，CE ，当△MCE 为等腰三角形，且CE 为腰，有：①CE =MCa =a =-M （2）．M （-2）， ②ME =CE解得，a =0或a =-12（此时三点共线，不构成三角形，舍去），即M （0，2），综上，当CE 为腰时，点M 的坐标为：M （2）或M （-2）或M （0，2）．【变式训练2】在如图的平面直角坐标系中，直线n 过点A （0，﹣2），且与直线l 交于点B （3，2），直线l 与y 轴交于点C ．（1）求直线n 的函数表达式；（2）若△ABC 的面积为9，求点C 的坐标；（3）若△ABC 是等腰三角形，求直线l 的函数表达式．【答案】（1）y ＝43x ﹣2；（2）C （0，4）或（0，﹣8）；（3）直线l 的解析式为：y ＝﹣13x +3或y ＝3x ﹣7或y ＝﹣43x +6或y ＝724x +98 【解析】（1）设直线n 的解析式为：y ＝kx +b ，△直线n ：y ＝kx +b 过点A （0，﹣2）、点B （3，2），△232b k b =-⎧⎨+=⎩ ，解得：432k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ，△直线n 的函数表达式为：y ＝43x ﹣2； （2）△△ABC 的面积为9，△9＝12•AC •3，△AC ＝6， △OA ＝2，△OC ＝6﹣2＝4或OC ＝6+2＝8，△C （0，4）或（0，﹣8）； （3）分四种情况：①如图1，当AB ＝AC 时，△A （0，﹣2），B （3，2），△AB 22(22)＝5，△AC ＝5，△OA ＝2，△OC ＝3，△C （0，3），设直线l 的解析式为：y ＝mx +n ，把B （3，2）和C （0，3）代入得：323m n n +=⎧⎨=⎩ ，解得：133m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ，△直线l 的函数表达式为：y ＝13-x +3； ②如图2，AB ＝AC ＝5，△C （0，﹣7），同理可得直线l 的解析式为：y ＝3x ﹣7； ③如图3，AB ＝BC ，过点B 作BD △y 轴于点D ，△CD ＝AD ＝4，△C （0，6），同理可得直线l 的解析式为：y ＝43-x +6； ④如图4，AC ＝BC ，过点B 作BD △y轴于D ，设AC ＝a ，则BC ＝a ，CD ＝4﹣a ，根据勾股定理得：BD 2+CD 2＝BC 2，△32+（4﹣a ）2＝a 2，解得：a ＝258， △OC ＝258﹣2＝98 ，△C （0，98），同理可得直线l 的解析式为：y ＝724x +98； 综上，直线l 的解析式为：y ＝13-x +3或y ＝3x ﹣7或y ＝43-x +6或y ＝724x +98． 【变式训练3】如图，直线1:l y ax a =-，1l 与x 轴交于点B ，直线2l 经过点(4,0)A ，直线1l ，2l 交于点(2,3)C -．（1）a =______；点B 的坐标为______． （2）求直线2l 的解析表达式； （3）求ABC 的面积；（4）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得ABP △为等腰三角形，请直接写出P 点的横坐标？【答案】（1）3a =-，()10B ,；（2）362y x =-；（3）92；（4）52，2813【解析】（1）△直线1:l y ax a =-经过点(2,3)C -，32a a ∴-=-，解得：3a =-；即直线1:l y ax a =-的解析式为33y x =-+；当y =0时，-3x +3=0，解得1x =，则()10B ,；故答案为：-3，（1,0）；（2）设直线2l 的解析式为:y kx b =+， △经过点()4,0A 和点(2,3)C -，△0432k b k b=+⎧⎨-=+⎩，解得：32k ，6b =-．△直线2l 的解析式为：362y x =-； （3）设ABC 的面积的面积为ABC S ；则413AB =-=，ABC 的高为3，则193322ABCS=⨯⨯=； （4）存在，设点P 的坐标为（x ，362x ），分三种情况： ①当AP=BP 时，点P 在线段AB 的垂直平分线上，△A （4,0），B （1,0），△点P 的横坐标为：41522+=； ②当AP=AB =3时，过点P 作PH △x 轴于点H ，△222PH AH AP +=，△2223(6)(4)32x x -+-=，解得x③当AB=BP =3时，作PM △x 轴于点M ， △222PM BM BP +=，△2223(6)(1)32x x -+-=，解得x =2813或x =4（舍去）；综上，符合条件的P 点的横坐标是52，2813，5213± 类型四、一次函数与直角三角形例1.如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝－x ＋2的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，与函数y ＝13x ＋b 的图象交于点C （－2，m ）． （1）求m 和b 的值；（2）函数y ＝－x ＋b 的图象与x 轴交于点D ，点E 从点D 出发沿DA 向，以每秒2个单位长度匀速运动到点M （到A 停止运动），设点E 的运动时间为t 秒． ①当ΔACE 的面积为12时，求t 的值；②在点E 运动过程中，是否存在t 的值，使ΔACE 为直角三角形？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）m =4，b =143；（2）①t =5；②t ＝4或t ＝6 【解析】（1）△点C （−2，m ）在直线y ＝−x ＋2上， △m ＝−（−2）＋2＝2＋2＝4，△点C （−2，4）， △函数y ＝13x ＋b 的图象过点C （−2，4），△4＝13×（−2）＋b ，得b =143，即m 的值是4，b 的值是143； （2）①△函数y ＝−x ＋2的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，△点A （2，0），点B （0，2）， △函数y ＝13x ＋143的图象与x 轴交于点D ，△点D 的坐标为（−14，0），△AD ＝16， △△ACE 的面积为12，△(16−2t )×4÷2＝12，解得，t ＝5．即当△ACE 的面积为12时，t 的值是5； ②当t ＝4或t ＝6时，△ACE 是直角三角形，理由：当△ACE ＝90°时，AC △CE ， △点A （2，0），点B （0，2），点C （−2，4），点D （−14，0），△OA ＝OB ，AC ＝，△△BAO ＝45°，△△CAE ＝45°，△△CEA ＝45°，△CA ＝CE ＝，△AE ＝8， △AE ＝16−2t ，△8＝16−2t ，解得，t ＝4；当△CEA ＝90°时，△AC ＝，△CAE ＝45°，△AE ＝4， △AE ＝16−2t ，△4＝16−2t ，解得，t ＝6；由上可得，当t ＝4或t ＝6时，△ACE 是直角三角形．【变式训练1】如图1，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，对角线AC BD 、交于点,O P 从B 点出发，沿B DC →→方向匀速运动，P 点运动速度为1cm/s ．图2是点P 运动时，APC △的面积2()cm y 随P 点运动时间()s x变化的函数图像．（1）AB =_______cm,a =_____；（2）P 点在BD 上运动时，x 为何值时，四边形ADCP； （3）在P 点运动过程中，是否存在某一时刻使得APB △为直角三角形，若存在，求x 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2；（2；（3或1【解析】（1）在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，则ABC ∆、ACD ∆为全等的两个等边三角形，设ABC ∆的边长为a，则其面积为24a ， 由图2知，当点P 在点A 时，y ABC =∆的面积2=，解得2a =（负值已舍去）， 即菱形的边长为2，则2()AB cm =，由题意知，点P 与点O 重合时，对于图2的a 所在的位置，则1AO =，故a BO ====2（2）由（1）知点P 在BO 段运动时，对于图2第一段直线，而该直线过点、0)，设其对应的函数表达式为y kx t =+，则0t t ⎧=⎪+=，解得1k t =-⎧⎪⎨=⎪⎩，故该段函数的表达式为=-+y x ，当点P 在BD 上运动时，四边形ADCP，则点P 只能在BO 上，则四边形ADCP 的面积ACD S y ∆=+=x x =；（3）存在，理由：由（1）知，菱形的边长为2，则BP =1AO =，过点A 作AP DC ''⊥于点P ''交BD 于点P '，ABC ∆、ACD ∆均为等边三角形，则30PAP DAP ∠'=∠''=︒，①当点P 和点O 重合时，APB ∠为直角，则x BP ==②当BAP ∠'为直角时，则同理可得：PP '=x BP PP =+'=；③当BAP ∠''为直角时，则112x BD DP AD =+''=+=，综上，x 或1． 【变式训练2】在平面直角坐标系xOy 中，将直线2y x =向下平移2个单位后，与一次函数132y x =-+的图象相交于点A ．（1）将直线2y x =向下平移2个单位后对应的解析式为 ； （2）求点A 的坐标；（3）若P 是x 轴上一点，且满足△OAP 是等腰直角三角形，直接写出点P 的坐标．【答案】（1）22y x =-；（2）（2，2）；（3）（2，0）或（4，0）．【解析】（1）根据题意，得22y x =-；故答案为：22y x =-．（2）由题意得：22132y x y x =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得：22x y =⎧⎨=⎩，△点A 的坐标为（2，2）； （3）如图所示，△P 是x 轴上一点，且满足△OAP 是等腰直角三角形，当OA =OP 时，P 点坐标为（4，0），当OP =AP 时，P 点坐标为（2，0）， 综上，P 点的坐标为：（2，0）或（4，0）． 类型五、最值问题 例1．如图，将直线34y x =-向上平移后经过点()4,3A ，分别交x 轴y 轴于点B 、C ．（1）求直线BC 的函数表达式；（2）点P 为直线BC 上一动点，连接OP ．问：线段OP 的长是否存在最小值？若存在，求出线段OP 的最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）364y x =-+；（2）存在，线段OP 的最小值为4.8．【解析】（1）设平移后的直线BC 的解析式为34y x b =-+，代入()4,3A 得3344b =-⨯+，解得6b = △直线BC 的解析式为364y x =-+； （2）存在，理由如下：令x =0，得y =6，△C （0，6），故OC =6令y =0，得x =8，△B （8，0）故OB =8△BC 10= △OP △BC 时，线段OP 最小， △S △ABC =12BO CO ⨯=12BC OP ⨯，△OP = 4.8BO COBC⨯=，即线段OP 的最小值为4.8． 【变式训练1】如图，四边形OABC 是张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O 与坐标原点重合，点A 在x 轴正半轴上，点C 在y 轴正半轴上，5OC =，点E 在边BC 上．（1）若点N 的坐标为(3,0)，过点N 且平行于y 轴的直线MN 与EB 交于点M ，将纸片沿直线OE 折叠，顶点C 恰好落在MN 上，并与MN 上的点G 重合． ①求点G 、点E 的坐标；②若直线:l y mx n =+平行于直线OE ，且与长方形ABMN 有公共点，请直接写出n 的取值范围． （2）若点E 为BC 上的一动点，点C 关于直线OE 的对称点为G ，连接BG ，请求出线段BG 的最小值．【答案】（1）①G （3，4），E （53，5）；②-15≤n ≤-4；（2）5【解析】（1）由折叠的性质可知，OG =OC =5，由勾股定理得，GN 4=， △点G 的坐标为（3，4）；设CE =x ，则EM =3-x ，由折叠的性质可知：EG =CE =x ， △GN =4，△GM =5-4=1，在Rt △EMG 中，222EG EM MG =+，即()22231x x =-+，解得：x =53， △点E 的坐标为（53，5）；设OE所在直线的解析式为：y=kx，则53k=5，解得，k=3，△OE所在直线的解析式为：y=3x，△直线l：y=mx+n平行于直线OE，△m=3，即直线l的解析式为y=3x+n，当直线l经过点M（3，5）时，5=3×3+n，解得，n=-4，当直线l经过点A（5，0）时，0=3×5+n，解得，n=-15，△直线l与长方形ABMN有公共点时，-15≤n≤-4；（3）连接OB，OG，△OC=BC=5，△OCB=90°，△BC OC=△点C关于直线OE的对称点为点G，△OC=OG=5，△BG≥OB-OG，△当O、B、G三点共线时，BG取得最小值，△BG的最小值为5．。
北师大版初二(八年级上册)数学一次函数练习题(2021年整理)
北师大版初二(八年级上册)数学一次函数练习题(word版可编辑修改) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（北师大版初二(八年级上册)数学一次函数练习题(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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xyO3 2y x a =+1y kx b =+北师版初二一次函数专题一、选择题1。
一次函数y=kx+2经过点(1，1)，那么这个一次函数（ ）． A 、y 随x 的增大而增大 B 、y 随x 的增大而减小 C 、图像经过原点 D 、图像不经过第二象限2。
直线y ＝－x ＋2和直线y ＝x －2的交点P 的坐标是 （ ）A 、 P （2，0）B 、 P(－2，0）C 、 P （0，2）D 、 P （0，－2） 3。
直线 y=错误!x ＋4与 x 轴交于 A ，与y 轴交于B ， O 为原点,则△AOB 的面积 4．直线y ＝－错误!x ＋4和x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，在平面直角坐标系内，A 、B 两点到直线a 的距离均为2，则满足条件的直线a 的条数为( ） A ．1 B ．2 C 。
3 D ．4 5.已知函数y kx b =+的图象如图，则2y kx b =+的图象可能是（ ）6。
已知x 满足－5≤x ≤5，y1=x+1，y2=－2x+4对任意一个x ，m 都取y1，y2中的较小值,则m 的最大值是（ ） A 、1 B 、2 C 、24 D 、－97。
如果一次函数y kx b =+的图象经过第一象限，且与y 轴负半轴相交，那么( ） A 。
北师大版八年级上册数学 三角形解答题章末练习卷(Word版 含解析)
北师大版八年级上册数学三角形解答题章末练习卷（Word版含解析）一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）1．直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在射线OP上运动（点A不与点O重合），点B在射线OM上运动（点B不与点O重合）．（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，①当∠ABO＝60°时，求∠AEB的度数；②点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况：若不发生变化，试求出∠AEB的大小；（2）如图2，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，请直接写出∠ABO 的度数．【答案】（1）①135°②∠AEB的大小不会发生变化，∠AEB＝135°，详见解析（2）∠ABO＝60°或45°【解析】【分析】（1）①根据三角形内角和定理、角分线定义，即可求解；②方法同①，只是把度数转化为角表示出来，即可解答；（2）根据三角形内角和定理及一个外角等于与它不相邻的两个内角和，利用角的和差计算即可求得结果，要对谁是谁的3倍分类讨论..【详解】（1）如图1，①∵MN⊥PQ，∴∠AOB＝90°，∵∠ABO＝60°，∴∠BAO＝30°，∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，∴∠ABE＝12∠ABO＝30°，∠BAE＝12∠BAO＝15°，∴∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝135°．②∠AEB的大小不会发生变化．理由如下：同①，得∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝180°﹣12∠ABO﹣12∠BAO＝180°﹣12（∠ABO+∠BAO）＝180°﹣12×90°＝135°．（2）∠ABO的度数为60°．理由如下：如图2，∵∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，∴∠OAE+∠OAF＝12（∠BAO+∠GAO）＝90°，即∠EAF＝90°，又∵∠BOA＝90°，∴∠GAO＞90°，①∵∠E＝13∠EAF＝30°，∠EOQ＝45°，∠OAE+∠E＝∠EOQ＝45°，∴∠OAE＝15°，∠OAE＝12∠BAO＝12（90﹣∠ABO）∴∠ABO＝60°．②∵∠F＝3∠E，∠EAF=90°∴∠E+∠F=90°∴∠E=22.5°∴∠EFA=90-22.5°=67.5°∵∠EOQ＝∠EOM= ∠AOE= 45°，∴∠BAO＝180°-(180°-45°-67.5°)×2=45°∴∠ABO=90°-45°=45°【点睛】本题考查了三角形内角和定理及外角的性质、角分线定义，解决本题的关键是灵活运用三角形内角和外角的关系.2．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“灵动三角形”．如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°< ∠OAC < 90°）．（1）∠ABO的度数为°，△AOB（填“是”或“不是”灵动三角形）；（2）若∠BAC＝60°，求证：△AOC为“灵动三角形”；（3）当△ABC为“灵动三角形”时，求∠OAC的度数．【答案】（1）30°；（2）详见解析；（3）∠OAC=80°或52.5°或30°.【解析】【分析】（1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO的度数，根据“智慧三角形”的概念判断；（2）根据“智慧三角形”的概念证明即可；（3）分点C在线段OB和线段OB的延长线上两种情况，根据“智慧三角形”的定义计算．【详解】（1）答案为：30°；是；（2）∵AB⊥OM∴∠B AO＝90°∵∠BAC＝60°∴∠OAC＝∠B AO-∠BAC=30°∵∠MON＝60°∴∠ACO＝180°-∠OAC-∠MON＝90°∴∠ACO＝3∠OAC，∴△AOC为“灵动三角形”；（3）设∠OAC= x°则∠BAC=90-x, ∠ACB=60+x ,∠ABC＝30°∵△ABC为“智慧三角形”，Ⅰ、当∠ABC＝3∠BAC时，°，∴30＝3（90-x），∴x=80Ⅱ、当∠ABC＝3∠ACB时，∴30=3（60+x）∴x= -50 （舍去）∴此种情况不存在，Ⅲ、当∠BCA＝3∠BAC时，∴60+x＝3（90-x），∴x＝52.5°，Ⅳ、当∠BCA＝3∠ABC时，∴60+x＝90°，∴x＝30°，Ⅴ、当∠BAC＝3∠ABC时，∴90-x＝90°，∴x＝0°（舍去）Ⅵ、当∠BAC＝3∠ACB时，∴90-x＝3（60+x），∴x= -22.5（舍去），∴此种情况不存在，∴综上所述：∠OAC=80°或52.5°或30°。
专题55 一次函数中的构造等腰直角三角形(解析版)
专题55 一次函数中的构造等腰直角三角形1、如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：△BEC≌△CDA；解：（1）由题意可知：△BEO≌△AOD（K型全等），∴OE＝AD，∵k＝﹣1，∴y＝﹣x+4，∴B（0，4），∴OB＝4，∵BE＝3，∴OE＝，∴AD＝；（2）k＝﹣时，y＝﹣x+4，∴A（3，0），①当BM⊥AB，且BM＝AB时，过点M作MN⊥y轴，∴△BMN≌△ABO（AAS），∴MN＝OB，BN＝OA，∴MN＝4，BN＝3，∴M（4，7）；②当AB⊥AM，且AM＝AB时，过点M作x轴垂线MK，∴△ABO≌△AMK（AAS），∴OB＝AK，OA＝MK，∴AK＝4，MK＝3，∴M（7，3）；③当AM⊥BM，且AM＝BM时，过点M作MH⊥x轴，MG⊥y轴，∴△BMG≌△AHM（AAS），∴BG＝AH，GM＝MH，∴GM＝MH，∴4﹣MH＝MH﹣3，∴MH＝，∴M（，）；综上所述：M（7，3）或M（4，7）或M（，）；（3）当k＞0时，AO＝，过点Q作QS⊥y轴，∴△ABO≌△BQS（AAS），∴BS＝OA，SQ＝OB，∴Q（4，4﹣），∴OQ＝，∴当k＝1时，QO最小值为4；当k＜0时，Q（4，4﹣），∴OQ＝，∴当k＝1时，QO最小值为4，与k＜0矛盾，∴OQ的最小值为4．2、已如，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0）、点B的坐标为（0，8），点C在y轴上，作直线AC．点B关于直线AC的对称点B′刚好在x轴上，连接CB′．（1）写出点B′的坐标，并求出直线AC对应的函数表达式；（2）点D在线段AC上，连接DB、DB′、BB′，当△DBB′是等腰直角三角形时，求点D坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，点P从点B出发以每秒2个单位长度的速度向原点O运动，到达点O 时停止运动，连接PD，过D作DP的垂线，交x轴于点Q，问点P运动几秒时△ADQ是等腰三角形．解：（1）∵A的坐标为（6，0）、点B的坐标为（0，8），∴OA＝6，OB＝8，∵∠AOB＝90°，∴AB＝10，∵B与B'关于直线AC对称，∴AC垂直平分BB'，∴BC＝CB'，AB'＝AB＝10，∴B'（﹣4，0），设点C（0，m），∴OC＝m，∴CB'＝CB＝8﹣m，∵在Rt△COB'中，∠COB'＝90°，∴m2+16＝（8﹣m）2，∴m＝3，∴C（0，3），设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），把A（6，0），C（0，3）代入可得k＝﹣，b＝3，∴y＝﹣x+3；（2）∵AC垂直平分BB'，∴DB＝DB'，∵△BDB'是等腰直角三角形，∴∠BDB'＝90°，过点D作DE⊥x轴，DF⊥y轴，∴∠DFO＝∠DFB＝∠DEB'＝90°，∵∠EDF＝360°﹣∠DFB﹣∠DEO﹣∠EOF，∠EOF＝90°，∴∠EDF＝90°，∴∠EDF＝∠BDB'，∴∠BDF＝∠EDB'，∴△FDB≌△EDB'（AAS），∴DF＝DE，设点D（a，a）代入y＝﹣x+3中，∴a＝2，∴D（2，2）；（3）同（2）可得∠PDF＝∠QDE，∵DF＝DE＝2，∠PDF＝∠QDE，∴△PDF≌△QDE（AAS），∴PF＝QE，①当DQ＝DA时，∵DE⊥x轴，∴QE＝AE＝4，∴PF＝QE＝4，∴BP＝BF﹣PF＝2，∴点P运动时间为1秒；②当AQ＝AD时，∵A（6，0）、D（2，2），∴AD＝2，∴AQ＝2，∴PF＝QE＝2﹣4，∴BP＝BF﹣PF＝10﹣2，∴点P的运动时间为5﹣秒；③当QD＝QA时，设QE＝n，则QD＝QA＝4﹣n，在Rt△DEQ中，∠DEQ＝90°，∴4+n2＝（4﹣n）2，∴n＝1.5，∴PF＝QE＝1.5，∴BP＝BF+PF＝7.5，∴点P的运动时间为3.75秒，∵0≤t≤4，∴t＝3.75，综上所述：点P的运动时间为1秒或5﹣秒或3.75秒．3、定义：在平面直角坐标系中，对于任意P（x1，y1），Q（x2，y2），若点M（x，y）满足x＝3（x1+x2），y＝3（y1+y2），则称点M是点P，Q的“美妙点”．例如：点P（1，2），Q（﹣2，1），当点M（x，y）满足x＝3×（1﹣2）＝﹣3，y＝3×（2+1）＝9时，则点M（﹣3，9）是点P，Q的“美妙点”．（1）已知点A（﹣1，3），B（3，3），C（2，﹣2），请说明其中一点是另外两点的“美妙点”；（2）如图，已知点D是直线y＝+2上的一点．点E（3，0），点M（x，y）是点D、E的“美妙点”．①求y与x的函数关系式；①若直线DM与x轴相交于点F，当①MEF为直角三角形时，求点D的坐标．解：（1）①3×（﹣1+2）＝3，3×（3﹣2）＝3，①点B是A、C的“美妙点”；（2）设点D（m，m+2），①①M是点D、E的“美妙点”．①x＝3（3+m）＝9+3m，y＝3（0+m+2）＝m+6，故m＝x﹣3，①y＝（x﹣3）+6＝x+3；①由①得，点M（9+3m，m+6），如图1，当①MEF为直角时，则点M（3，4），①9+3m＝3，解得：m＝﹣2；①点D（﹣2，）；当①MFE是直角时，如图2，则9+3m＝m，解得：m＝﹣，①点D（﹣，）；当①EMF是直角时，不存在，综上，点D（﹣2，）或（﹣，）．4、如图，过点A（1，3）的一次函数y＝kx+6（k≠0）的图象分别与x轴，y轴相交于B，C两点．（1）求k的值；（2）直线l与y轴相交于点D（0，2），与线段BC相交于点E．（i）若直线l把①BOC分成面积比为1：2的两部分，求直线l的函数表达式；（①）连接AD，若①ADE是以AE为腰的等腰三角形，求满足条件的点E的坐标．解：（1）将点A的坐标代入一次函数y＝kx+6并解得：k＝﹣3；（2）一次函数y＝﹣3x+6分别与x轴，y轴相交于B，C两点，则点B、C的坐标分别为：（2，0）、（0，6）；（i）S①BCO＝OB×CO＝2×6＝6，直线l把①BOC分成面积比为1：2的两部分，则S①CDE＝2或4，而S①CDE＝×CD×x E＝4×x E＝2或4，则x E＝1或2，故点E（1，3）或（2，0），将点E的坐标代入直线l表达式并解得：直线l的表达式为：y＝±x+2；（①）设点E（m，﹣3m+6），而点A、D的坐标分别为：（1，3）、（0，2），则AE2＝（m﹣1）2+（3﹣3m）2，AD2＝2，ED2＝m2+（4﹣3m）2，当AE＝AD时，（m﹣1）2+（3﹣3m）2＝2，解得：m＝或；当AE＝ED时，同理可得：m＝；综上，点E的坐标为：（，）或（，）或（，）．5、建立模型：如图1，等腰Rt①ABC中，①ABC＝90°，CB＝BA，直线ED经过点B，过A作AD①ED于D，过C作CE①ED于E．则易证①ADB①①BEC．这个模型我们称之为“一线三垂直”．它可以把倾斜的线段AB和直角①ABC转化为横平竖直的线段和直角，所以在平面直角坐标系中被大量使用．模型应用：（1）如图2，点A（0，4），点B（3，0），①ABC是等腰直角三角形．①若①ABC＝90°，且点C在第一象限，求点C的坐标；①若AB为直角边，求点C的坐标；（2）如图3，长方形MFNO，O为坐标原点，F的坐标为（8，6），M、N分别在坐标轴上，P是线段NF上动点，设PN＝n，已知点G在第一象限，且是直线y＝2x一6上的一点，若①MPG是以G为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点G的坐标．解：（1）①过点C作CD①x轴于点D，①①BDC＝90°＝①AOB，①①BCD+①DCB＝90°，①①ABC＝90°，①①ABO+①DBC＝90°，①①ABO＝BCD，①AB＝BC，①①AOB①①BDC（AAS），DC＝OB＝3，BD＝OA＝4，故点C（7，3）；①若AB为直角边，则除了①的情况以外，另外一个点C（C′）与①中的C关于点B对称，故点C′（﹣1，﹣3）；故点C的坐标为：（7，3）或（﹣1，﹣3）；（2）如图2，当①MGP＝90°时，MG＝PG，过点P作PE①OM于E，过点G作GH①PE于H，①点E与点M重合，①GF＝AB＝4设G点坐标为（x，2x﹣6），6﹣（2x﹣6）＝4，得x＝4，易得G点坐标（4，2）；如图3，当①MGP＝90°时，MG＝PG时，同理得G点坐标（，），综上可知，满足条件的点G的坐标分别为（4，2）或（，）．6、如图1，直线l：y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B．已知点C（﹣2，0）．（1）求出点A，点B的坐标．（2）P是直线AB上一动点，且①BOP和①COP的面积相等，求点P坐标．（3）如图2，平移直线l，分别交x轴，y轴于交于点A1B1，过点C作平行于y轴的直线m，在直线m 上是否存在点Q，使得①A1B1Q是等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标．解：（1）设y＝0，则x+2＝0，解得：x＝﹣4，设x＝0，则y＝2，①点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标的坐标为（0，2）；（2）①点C（﹣2，0），点B（0，2），①OC＝2，OB＝2，①P是直线AB上一动点，①设P（m，m+2），①①BOP和①COP的面积相等，①×2|m|＝2×（|m|+2），解得：m＝±4，当m＝﹣4时，点P与点A重合，①点P坐标为（4，4）；（3）存在；理由：如图1，①当点B1是直角顶点时，①B1Q＝B1A1，①①A1B1O+①QB1H＝90°，①A1B1O+①OA1B1＝90°，①①OA1B1＝①QB1H，在①A1OB1和①B1HQ中，，①①A1OB1①①B1HQ（AAS），①B1H＝A1O，OB1＝HQ＝2，①B1（0，﹣2）或（0，2），当点B1（0，﹣2）时，Q（﹣2，2），当点B1（0，2）时，①B（0，2），①点B1（0，2）（不合题意舍去），①直线AB向下平移4个单位，①点Q也向上平移4个单位，①Q（﹣2，2），①当点A1是直角顶点时，A1B1＝A1Q，①直线AB的解析式为y＝x+2，由平移知，直线A1B1的解析式为y＝x+b，①A1（﹣2b，0），B1（0，b），①A1B12＝4b2+b2＝5b2，①A1B1①A1Q，①直线A1Q的解析式为y＝﹣2x﹣4b①Q（﹣2，4﹣4b），①A1Q2＝（﹣2b+2）2+（4﹣4b）2＝20b2+40b+20，①20b2﹣40b+20＝5b2，①b＝2或b＝，①Q（﹣2，﹣4）或（﹣2，）；①当Q是直角顶点时，过Q作QH①y轴于H，①A1Q＝B1Q，①①QA1C1+①A1QC＝90°，①A1QC+①CQB1＝90°，①①QA1C＝①CQB1，①m①y轴，①①CQB1＝①QB1H，①①QA1C＝①QB1H在①A1QC与①B1QH中，，①①A1QC①①B1QH（AAS），①CQ＝QH＝2，B1H＝A1C，①Q（﹣2，2）或（﹣2，﹣2），即：满足条件的点Q为（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）或（﹣2，12）或（﹣2，）．7、如图1，等腰直角三角形ABC中，①ACB＝90°，CB＝CA，直线DE经过点C，过A作AD①DE于点D，过B作BE①DE于点E，则①BEC①①CDA，我们称这种全等模型为“K型全等”．（不需要证明）【模型应用】若一次函数y＝kx+4（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．（1）如图2，当k＝﹣1时，若点B到经过原点的直线l的距离BE的长为3，求点A到直线l的距离AD 的长；（2）如图3，当k＝﹣时，点M在第一象限内，若①ABM是等腰直角三角形，求点M的坐标；（3）当k的取值变化时，点A随之在x轴上运动，将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到BQ，连接OQ，求OQ长的最小值．解：（1）由题意可知：①BEO①①AOD（K型全等），①OE＝AD，①k＝﹣1，①y＝﹣x+4，①B（0，4），①OB＝4，①BE＝3，①OE＝，①AD＝；（2）k＝﹣时，y＝﹣x+4，①A（3，0），①当BM①AB，且BM＝AB时，过点M作MN①y轴，①①BMN①①ABO（AAS），①MN＝OB，BN＝OA，①MN＝4，BN＝3，①M（4，7）；①当AB①AM，且AM＝AB时，过点M作x轴垂线MK，①①ABO①①AMK（AAS），①OB＝AK，OA＝MK，①AK＝4，MK＝3，①M（7，3）；①当AM①BM，且AM＝BM时，过点M作MH①x轴，MG①y轴，①①BMG①①AHM（AAS），①BG＝AH，GM＝MH，①GM＝MH，①4﹣MH＝MH﹣3，①MH＝，①M（，）；综上所述：M（7，3）或M（4，7）或M（，）；（3）当k＞0时，AO＝，过点Q作QS①y轴，①①ABO①①BQS（AAS），①BS＝OA，SQ＝OB，①Q（4，4﹣），①OQ＝，①当k＝1时，QO最小值为4；当k＜0时，Q（4，4﹣），①OQ＝，①当k＝1时，QO最小值为4，与k＜0矛盾，①OQ的最小值为4．8、【模型建立】（1）如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：△CDA≌△BEC．【模型运用】（2）如图2，直线l1：y＝x+4与坐标轴交于点A、B，将直线l1绕点A逆时针旋转90°至直线l2，求直线l2的函数表达式．【模型迁移】如图3，直线l经过坐标原点O，且与x轴正半轴的夹角为30°，点A在直线l上，点P为x轴上一动点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，过点B的直线BC交x轴于点C，∠OCB＝30°，点B到x轴的距离为2，求点P的坐标．证明：【模型建立】（1）∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠D＝∠E＝90°∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝∠CBE，且CA＝BC，∠D＝∠E＝90°∴△CDA≌△BEC（AAS）【模型运用】（2）如图2，在l2上取D点，使AD＝AB，过D点作DE⊥OA，垂足为E∵直线y＝x+4与坐标轴交于点A、B，∴A（﹣3，0），B（0，4），∴OA＝3，OB＝4，由（1）得△BOA≌△AED，∴DE＝OA＝3，AE＝OB＝4，∴OE＝7，∴D（﹣7，3）设l2的解析式为y＝kx+b，得解得∴直线l2的函数表达式为：【模型迁移】（3）若点P在x轴正半轴，如图3，过点B作BE⊥OC，∵BE＝2，∠BCO＝30°，BE⊥OC∴BC＝4，∵将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，∴AP＝BP，∠APB＝30°，∵∠APC＝∠AOC+∠OAP＝∠APB+∠BPC，∴∠OAP＝∠BPC，且∠OAC＝∠PCB＝30°，AP＝BP，∴△OAP≌△CPB（AAS）∴OP＝BC＝4，∴点P（4，0）若点P在x轴负半轴，如图4，过点B作BE⊥OC，∵BE＝2，∠BCO＝30°，BE⊥OC∴BC＝4，∵将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，∴AP＝BP，∠APB＝30°，∵∠APE+∠BPE＝30°，∠BCE＝30°＝∠BPE+∠PBC，∴∠APE＝∠PBC，∵∠AOE＝∠BCO＝30°，∴∠AOP＝∠BCP＝150°，且∠APE＝∠PBC，PA＝PB∴△OAP≌△CPB（AAS）∴OP＝BC＝4，∴点P（﹣4，0）综上所述：点P坐标为（4，0）或（﹣4，0）9、如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+b与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C（m，0）在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上，过点D作DE⊥x 轴于点E．（1）求m和b的数量关系；（2）当m＝1时，如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B′C′D′，当直线B′C′经过点D时，求点B′的坐标及△BCD平移的距离；（3）在（2）的条件下，直线AB上是否存在一点P，以P、C、D为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，写出满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）直线y＝﹣x+b与y轴相交于B点，∴B（0，b）∴OB＝b，∵点C（m，0）∴OC＝m∵∠BCO+∠ECD＝90°，∠BCO+∠OBC＝90°，∴∠OBC＝∠ECD．在△OBC和△ECD中，∴△OBC≌△ECD（AAS）∴BO＝CE＝b，DE＝OC＝m，∴点D（b+m，m）∴m＝﹣（b+m）+b∴b＝3m（2）∵m＝1，∴b＝3，点C（1，0），点D（4，1）∴直线AB解析式为：y＝﹣x+3设直线BC解析式为：y＝ax+3，且过（1，0）∴0＝a+3∴a＝﹣3∴直线BC的解析式为y＝﹣3x+3，设直线B′C′的解析式为y＝﹣3x+c，把D（4，1）代入得到c＝13，∴直线B′C′的解析式为y＝﹣3x+13，当y＝3时，x＝当y＝0时，x＝∴B′（，3），C'（，0）∴CC′＝，∴△BCD平移的距离是个单位．（3）当∠PCD＝90°，PC＝CD时，点P与点B重合，∴点P（0，3）如图，当∠CPD＝90°，PC＝PD时，∵BC＝CD，∠BCD＝90°，∠CPD＝90°∴BP＝PD∴点P是BD的中点，且点B（0，3），点D（4，1）∴点P（2，2）综上所述，点P为（0，3）或（2，2）时，以P、C、D为顶点的三角形是等腰直角三角形．10、如图，已知一次函数y＝﹣x+7与正比例函数y＝x的图象交于点A，且与x轴交于点B．（1）求△AOB的面积：（2）在y轴上找一点C，使AC+BC最小，求最小值及C点坐标．（3）点P从O出发向B点以1个单位每秒的速度运动，点Q从B点出发向A点以同样的速度运动，两个点同时停止，当△BPQ为等腰三角形时，求Q点坐标．解：（1）∵一次函数y＝﹣x+7与正比例函数y＝x的图象交于点A，且与x轴交于点B．∴点B（7，0），﹣x+7＝x∴x＝3，∴点A（3，4）∴S△AOB＝×7×4＝14；（2）如图1，作点B关于y轴的对称点H（﹣7，0），连接AH，交y轴于点C，∴此时AC+BC最小值为AH，∵点A（3，4），点H（﹣7，0），∴AH＝＝2，∴AC+BC最小值为2，设直线AH解析式为：y＝kx+b，且过点A（3，4），点H（﹣7，0），∴，解得：∴直线AH解析式为：y＝x+；（3）如图2，过点Q作QE⊥OB，∵以同样的速度运动，∴BQ＝OP，∵一次函数y＝﹣x+7与y轴交于点D，∴点D（0，7），∴OD＝OB＝7，且∠DOB＝90°，∴∠DBO＝45°，且QE⊥OB，∴∠QBE＝∠EQB＝45°，∴QE＝BE，∴QB＝QE＝EB，若PB＝QB，且OP＝BQ，∴OP＝PB＝＝BQ，∴BE＝EQ＝，∴OE＝7﹣，∴点Q（7﹣，），若QP＝QB，且QE⊥OB，∴PE＝BE，∵OB＝7＝OP+PE+BE，∴7＝BE+2BE，∴BE＝＝QE，∴OE＝∴点Q（，），如图3，若BP＝PQ，过点P作PF⊥BQ，∴BF＝FQ＝BQ，∵∠ABO＝45°，PF⊥AB，∴∠FPB＝∠ABO＝45°，∴PF＝BF，∴PB＝BF，∴7﹣BQ＝∴BQ＝，∴BE＝QE＝，∴点Q坐标为（7﹣，）．11、一边长为4正方形OACB放在平面直角坐标系中，其中O为原点，点A、B分别在x轴、y轴上，D为射线OB上任意一点．（1）如图1，若点D坐标为（0，2），连接AD交OC于点E，则△AOE的面积为；（2）如图2，将△AOD沿AD翻折得△AED，若点E在直线y＝x图象上，求出E点坐标；（3）如图3，将△AOD沿AD翻折得△AED，DE和射线BC交于点F，连接AF，若∠DAO＝75°，平面内是否存在点Q，使得△AFQ是以AF为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出所有点Q坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵边长为4正方形OACB放在平面直角坐标系中，∴点A坐标（4，0），点C（4，4），∴直线OC解析式为：y＝x，∵点D坐标为（0，2），点A坐标（4，0），∴直线AD解析式为：y＝﹣x+2，∴解得：∴点E坐标（，）∴△AOE的面积＝×4×＝，故答案为：；（2）如图2，过点E作EH⊥OA，∵将△AOD沿AD翻折得△AED，∴AO＝AE＝4，设点E（a，a），∴OH＝a，EH＝a，∴AH＝4﹣a，∵AE2＝EH2+AH2，∴16＝a2+（4﹣a）2，∴a＝0（舍去），a＝，∴点E（，）（3）∵将△AOD沿AD翻折得△AED，∴∠DAO＝∠DAE＝75°，OA＝AE，∠DOA＝∠DEA＝90°，∴∠OAE＝150°，AE＝AC，∠ACF＝∠AED＝90°，∴∠CAE＝60°，∵AE＝AC，AF＝AF，∴Rt△AEF≌Rt△ACF（HL）∴∠CAF＝∠EAF＝30°，且AC＝4，∴CF＝，∵△AFQ是以AF为直角边的等腰直角三角形，∴若∠AFQ＝90°，AF＝FQ，如图3，过点Q作QN⊥BF，∴∠NQF+∠QFN＝90°，且∠QFN+∠AFC＝90°，∴∠NQF＝∠AFC，且∠ACF＝∠QNF＝90°，QF＝AF，∴△QNF≌△FCA（AAS）∴QN＝CF＝，AC＝NF＝4，∴点Q（，4+）同理可求：Q'（8+，4﹣），若∠FAQ＝90°，AF＝AQ时，同样方法可求，Q''（0，），Q'''（8，﹣）。
北师大版数学八年级上册 三角形解答题检测题(Word版 含答案)
北师大版数学八年级上册 三角形解答题检测题（Word 版 含答案）一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）1．如图1，直线MN 与直线AB 、CD 分别交于点E 、F ，1∠与2∠互补.(1)试判断直线AB 与直线CD 的位置关系，并说明理由.(2)如图2，BEF ∠与EFD ∠的角平分线交于点P ，EP 与CD 交于点G ，点H 是MN 上一点，且GH EG ⊥，求证：//PF GH .(3)如图3，在(2)的条件下，连接PH ，K 是GH 上一点使PHK HPK ∠=∠，作PQ 平分EPK ∠，求HPQ ∠的度数.【答案】(1)AB//CD ，理由见解析；(2)证明见解析；(3)45HPQ ∠=. 【解析】 【分析】（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF 、∠CFE 互补，即可证明； （2）利用（1）中平行线的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理可得∠EPF=90°，即EG ⊥PF ，再结合GH ⊥EG ，即可证明;（3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得∠A=90°-∠3=90°-2∠2；然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知∠QPK=-12∠EPK=45°+∠2，最后根据角与角间的和差关系即可求解. 【详解】 (1)//AB CD ， 理由如下：如图1，图1∵1∠与2∠互补， ∴12180∠+∠=︒，又∵1AEF ∠=∠，2CFE ∠=∠， ∴180AEF CFE ∠+∠=︒， ∴//AB CD ；(2)如图2，由(1)知，//AB CD ，图2∴180BEF EFD ∠+∠=︒．又∵BEF ∠与EFD ∠的角平分线交于点P ， ∴1(2)90FEP EFP BEF EFD ∠+∠=∠+∠=︒， ∴90EPF ∠=︒，即EG PF ⊥． ∵GH EG ⊥， ∴//PF GH ； (3)如图3，∵PHK HPK ∠=∠，2PKG HPK ∴∠=∠. 又∵GH EG ⊥，∴90902KPG PKG HPK ∠=-∠=-∠． ∴180902EPK KPG HPK ∠=-∠=+∠． ∵PQ 平分EPK ∠， ∴1452QPK EPK HPK ∠=∠=+∠． ∴45HPQ QPK HPK ∠=∠-∠=．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质、三角形内角和定理等知识.解题过程关注中“数形结合”思想是解答本题的关键.2．已知在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°．（1）∠ABC＋∠ADC＝°；（2）如图①，若DE平分∠ADC，BF平分∠ABC的外角，请写出DE与BF的位置关系，并证明；（3）如图②，若BE，DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角（即∠CDE＝14∠CDN，∠CBE＝14∠CBM），试求∠E的度数．【答案】（1）180°；（2）DE⊥BF；（3）450【解析】【分析】（1）根据四边形内角和等于360°列式计算即可得解；（2）延长DE交BF于G，根据角平分线的定义可得∠CDE=12∠ADC，∠CBF=12∠CBM，然后求出∠CDE=∠CBF，再利用三角形的内角和定理求出∠BGE=∠C=90°，最后根据垂直的定义证明即可；（3）先求出∠CDE+∠CBE，然后延长DC交BE于H，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可．【详解】（1）解：∵∠A=∠C=90°，∴∠ABC+∠ADC=360°-90°×2=180°；故答案为180°；（2）解：延长DE交BF于G，∵DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，∴∠CDE=12∠ADC，∠CBF=12∠CBM，又∵∠CBM=180°-∠ABC=180°-（180°-∠ADC）=∠ADC，∴∠CDE=∠CBF，又∵∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE，∴∠BGE=∠C=90°， ∴DG ⊥BF ， 即DE ⊥BF ；（3）解：由（1）得：∠CDN+∠CBM=180°， ∵BE 、DE 分别四等分∠ABC 、∠ADC 的外角，∴∠CDE+∠CBE=14×180°=45°， 延长DC 交BE 于H ，由三角形的外角性质得，∠BHD=∠CDE+∠E ，∠BCD=∠BHD+∠CBE ， ∴∠BCD=∠CBE+∠CDE+∠E ， ∴∠E=90°-45°=45°【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，四边形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键，要注意整体思想的利用．3．已知：线段AB ，以AB 为公共边，在AB 两侧分别作ABC ∆和ABD ∆，并使C D ∠=∠．点E 在射线CA 上．（1）如图l ，若AC BD ，求证：AD BC ∥；（2）如图2，若BD BC ⊥，请探究DAE ∠与C ∠的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明；（3）如图3，在（2）的条件下，若BAC BAD ∠=∠，过点D 作DF BC ∥交射线于点F ，当8DFE DAE ∠=∠时，求BAD ∠的度数．【答案】（1）见详解；（2）DAE ∠+2C ∠=90°，理由见详解；（3）99°． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质和判定定理，即可得到结论；（2）设CE 与BD 交点为G ，由三角形外角的性质得∠CGB=∠D+∠DAE ，由BD BC ⊥，得∠CGB+∠C=90°，结合C D ∠=∠，即可得到结论；（3）设∠DAE=x ，则∠DFE=8x ，由DF BC ∥，DAE ∠+2C ∠=90°，得关于x 的方程，求出x 的值，进而求出∠C ，∠ADB 的度数，结合∠BAD=∠BAC ，即可求解． 【详解】（1）∵ACBD ，∴∠C+∠CBD=180°， ∵C D ∠=∠， ∴∠D+∠CBD=180°， ∴AD BC ∥；（2）DAE ∠+2C ∠=90°，理由如下： 设CE 与BD 交点为G ， ∵∠CGB 是∆ADG 的外角， ∴∠CGB=∠D+∠DAE ， ∵BD BC ⊥， ∴∠CBD=90°，∴在∆BCG 中，∠CGB+∠C=90°， ∴∠D+∠DAE+∠C=90°， 又∵C D ∠=∠， ∴DAE ∠+2C ∠=90°； （3）设∠DAE=x ，则∠DFE=8x ， ∴∠AFD=180°-8x ， ∵DF BC ∥，∴∠C=∠AFD=180°-8x ， 又∵DAE ∠+2C ∠=90°，∴x+2(180°-8x)=90°，解得：x=18°， ∴∠C=180°-8x=36°=∠ADB ， 又∵∠BAD=∠BAC ，∴∠ABC=∠ABD=12∠CBD=45°， ∴∠BAD=180°-45°-36°=99°．【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定定理，三角形的内角和定理与外角的性质，掌握平行线的性质和三角形外角的性质，是解题的关键．4．如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD=α，∠BCD=β（1）如图，若α+β=120°，求∠MBC+∠NDC的度数；（2）如图，若BE与DF相交于点G，∠BGD=30°，请写出α、β所满足的等量关系式；（3）如图，若α=β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由．【答案】（1）120°；（2）β﹣α=60° 理由见解析；（3）平行，理由见解析.【解析】【分析】（1）利用四边形的内角和求出∠ABC与∠ADC的和，利用角平分线的定义以及α+β=120°推导即可；（2）由（1）得，∠MBC+∠NDC=α+β，利用角平分线的定义得∠CBG+∠CDG=12(α+β)，在△BCD中利用三角形的内角和定理得∠BDC+∠CDB =180°﹣β，在△BDG中利用三角形的内角和定理得出关于α、β的等式整理即可得出结论；（3）延长BC交DF于H，由（1）得∠MBC+∠NDC=α+β，利用角平分线的定义得∠CBE+∠CDH=12(α+β)，利用三角形的外角的性质得∠CDH=β﹣∠DHB，然后代入∠CBE+∠CDH=12(α+β)计算即可得出一组内错角相等．【详解】（1）解：（1）在四边形ABCD中，∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360°，∴∠ABC+∠ADC=360°-（α+β），∵∠MBC+∠ABC=180°，∠NDC+∠ADC=180°∴∠MBC+∠NDC=180°-∠ABC+180°-∠ADC=360°-（∠ABC+∠ADC）=360°-[360°-（α+β）]=α+β，∵α+β=120°，∴∠MBC+∠NDC=120°；（2）β﹣α=60°理由：如图1，连接BD，由（1）得，∠MBC+∠NDC=α+β，∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，∴∠CBG=12∠MBC，∠CDG=12∠NDC，∴∠CBG+∠CDG=12∠MBC+12∠NDC=12(∠MBC+∠NDC)=12(α+β)，在△BCD中，∠BDC+∠CDB=180°﹣∠BCD=180°﹣β，在△BDG中，∠GBD+∠GDB+∠BGD=180°，∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD=180°，∴(∠CBG+∠CDG)+(∠BDC+∠CDB)+∠BGD=180°，∴12(α+β)+180°﹣β+30°=180°，∴β﹣α=60°，(3)平行，理由：如图2，延长BC交DF于H，由（1）有，∠MBC+∠NDC=α+β，∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，∴∠CBE=12∠MBC，∠CDH=12∠NDC，∴∠CBE+∠CDH=12∠MBC+12∠NDC=12(∠MBC+∠NDC)=12(α+β)，∵∠BCD=∠CDH+∠DHB，∴∠CDH=∠BCD﹣∠DHB=β﹣∠DHB，∴∠CBE+β﹣∠DHB=12(α+β)，∵α=β，∴∠CBE+β﹣∠DHB=12(β+β)=β，∴∠CBE=∠DHB，∴BE∥DF．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了平角的意义，四边形的内角和，三角形内角和，三角形的外角的性质，角平分线的意义，用整体代换的思想是解本题的关键，整体思想是初中阶段的一种重要思想，要多加强训练．5．如图，△ABC的三条角平分线相交于点I，过点I作DI⊥IC，交AC于点D．(1)如图①，求证：∠AIB＝∠ADI；(2)如图②，延长BI，交外角∠ACE的平分线于点F.①判断DI与CF的位置关系，并说明理由；②若∠BAC＝70°，求∠F的度数．【答案】(1)证明见解析；(2)解：①结论：DI∥CF，②35°.【解析】分析：（1）只要证明∠AIB=90°+12∠ACB，∠ADI=90°+12∠ACB即可；（2）①只要证明∠IDC=∠DCF即可；②首先求出∠ACE-∠ABC=∠BAC=70°，再证明∠F=12∠ACE-12∠ABC=12（∠ACE-∠ABC）即可解决问题；详解：(1)证明：∵AI，BI分别平分∠BAC，∠ABC，∴∠BAI＝12∠BAC，∠ABI＝12∠ABC，∴∠BAI＋∠ABI＝12(∠BAC＋∠ABC)＝12(180°－∠ACB)＝90°－12∠ACB.在△ABI中，∠AIB＝180°－(∠BAI＋∠ABI)＝180°－(90°－12∠ACB)＝90°＋12∠ACB.∵CI平分∠ACB，∴∠DCI＝12∠ACB.∵DI⊥IC，∴∠DIC＝90°，∴∠ADI＝∠DIC＋∠DCI＝90°＋12∠ACB.∴∠AIB＝∠ADI. (2)解：①结论：DI∥CF.理由：∵∠IDC＝90°－∠DCI＝90°－12∠ACB，CF平分∠ACE，∴∠ACF=12∠ACE＝12(180°－∠ACB)＝90°－12∠ACB，∴∠IDC＝∠ACF，∴DI∥CF.②∵∠ACE＝∠ABC＋∠BAC，∴∠ACE－∠ABC＝∠BAC＝70°.∵∠FCE＝∠FBC＋∠F，∴∠F＝∠FCE－∠FBC.∵∠FCE＝12∠ACE，∠FBC＝12∠ABC，∴∠F＝12∠ACE－12∠ABC＝12(∠ACE－∠ABC)＝35°.点睛：本题考查了三角形的外角性质：三角形的一个外角等于另外两个内角之和，三角形内角和定理：三角形的内角和为180°，难度适中，此类题型的关键在于结合题目条件与三角形的外角性质，三角形内角和定理.6．如图①，在△ABC中，AE平分∠BAC，∠C＞∠B，F是AE上一点，且FD⊥BC于D点．(1)试猜想∠EFD，∠B，∠C的关系，并说明理由；(2)如图②，当点F在AE的延长线上时，其余条件不变，(1)中的结论还成立吗？说明理由．①②【答案】(1)∠EFD＝12∠C－12∠B.（）成立，理由见解析.【解析】【分析】先根据AE平分∠BAC推出∠BAE=12∠BAC=12[180°-（∠B+∠C）]，再根据外角的定义求出∠FED=∠B+∠BAE，然后利用直角三角形的性质求出∠EFD=90°-∠FED．【详解】解：(1)∠EFD＝12∠C－12∠B.理由如下：由AE是∠BAC的平分线知∠BAE＝12∠BAC.由三角形外角的性质知∠FED＝∠B＋12∠BAC，故∠B＋12∠BAC＋∠EFD＝90°①.在△ABC 中，由三角形内角和定理得 ∠B ＋∠BAC ＋∠C ＝180°，即12∠C ＋12∠B ＋12∠BAC ＝90°②. ②－①，得∠EFD ＝12∠C －12∠B .(2)成立．理由如下：由对顶角相等和三角形的外角性质知：∠FED ＝∠AEC ＝∠B ＋12∠BAC ， 故∠B ＋12∠BAC ＋∠EFD ＝90°①. 在△ABC 中，由三角形内角和定理得： ∠B ＋∠BAC ＋∠C ＝180°，即12∠B ＋12∠BAC ＋12∠C ＝90°②.②－①，得∠EFD ＝12∠C －12∠B . 【点睛】此题主要考查了角平分线的性质、三角形内角和定理和直角三角形的性质，命题时经常将多个知识点联系在一起进行考查，这样更能训练学生的解题能力．7．ABC 中，AD 是BAC ∠的平分线，AE BC ⊥，垂足为E ，作CF//AD ，交直线AE 于点F.设B α∠=，ACB β∠=．()1若B 30∠=，ACB 70∠=，依题意补全图1，并直接写出AFC ∠的度数； ()2如图2，若ACB ∠是钝角，求AFC ∠的度数(用含α，β的式子表示)；()3如图3，若B ACB ∠∠>，直接写出AFC ∠的度数(用含α，β的式子表示)．【答案】（1）补图见解析，AFC 20∠=；（2） ()1AFC 180βα2∠=--；（3） ()1AFC αβ2∠=-．【解析】【分析】(1)先根据三角形内角和定理求出∠BAC 和∠CAE ，根据角平分线定义求出∠CAD ，即可求出答案；(2)先根据三角形内角和定理求出∠BAC ，根据角平分线定义求出∠BAD ，根据三角形外角性质求出∠ADC ，根据三角形内角和定理求出∠DAE ，根据平行线的性质求出即可；(3)求出∠DAE 度数，根据平行线的性质求出即可．【详解】解：()1如图1，B 30∠=，ACB 70∠=，BAC 180B ACB 80∠∠∠∴=--=，AD 是BAC ∠的平分线，1CAD CAB 402∠∠∴==， AE BC ⊥，AEC 90∠∴=，ACB 70∠=，EAC 180907020∠∴=--=，DAE CAD CAE 402020∠∠∠∴=-=-=，CF//AD ，AFC DAE 20∠∠∴==；()2如图2，ABC 中，BAC B ACB 180∠∠∠++=，()BAC 180B ACB ∠∠∠∴=-+．()180αβ=-+，AD 是BAC ∠的平分线， ()11BAD BAC 90αβ22∠∠∴==-+， ()()11ADE B BAD α90αβ90βα22∠∠∠∴=+=+-+=--， AE BC ⊥，DAE ADE 90∠∠∴+=，()1DAE 90ADE βα2∠∠∴=-=-， CF//AD ，DAE AFC 180∠∠∴+=，()1AFC 180βα2∠∴=--； ()3如图3，ABC 中，BAC B ACB 180∠∠∠++=，()BAC 180B ACB ∠∠∠∴=-+，()180αβ=-+，AD 是BAC ∠的平分线，()11CAD BAC 90αβ22∠∠∴==-+， AE BC ⊥，AEC 90∠∴=，ACB β∠=，EAC 18090β90β∠∴=--=-，()()()11DAE CAE CAD 90β90αβαβ22∠∠∠⎡⎤∴=-=----=-⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形角平分线定义、三角形的高、平行线的性质等，熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键.8．操作示例：如图1，在△ABC中，AD为BC边上的中线，△ABD的面积记为S1，△ADC的面积记为S2．则S1=S2．解决问题：在图2中，点D、E分别是边AB、BC的中点，若△BDE的面积为2，则四边形ADEC的面积为 .拓展延伸：（1）如图3，在△ABC中，点D在边BC上，且BD=2CD，△ABD的面积记为S1，△ADC的面积记为S2．则S1与S2之间的数量关系为．（2）如图4，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连接BE、CD交于点O，且BO=2EO，CO=DO，若△BOC的面积为3，则四边形ADOE的面积为 .【答案】解决问题：6；拓展延伸：（1）S1=2S2（2）10.5【解析】试题分析：解决问题：连接AE，根据操作示例得到S△ADE=S△BDE，S△ABE=S△AEC，从而得到结论；拓展延伸：（1）作△ABD的中线AE，则有BE=ED=DC，从而得到△ABE的面积=△AED的面积=△ADC的面积，由此即可得到结论；（2）连接AO．则可得到△BOD的面积=△BOC的面积，△AOC的面积=△AOD的面积，△EOC的面积=△BOC的面积的一半，△AOB的面积=2△AOE的面积．设△AOD的面积=a，△AOE的面积=b，则a+3=2b，a=b+1.5，求出a、b的值，即可得到结论．试题解析：解：解决问题连接AE．∵点D、E分别是边AB、BC的中点，∴S△ADE=S△BDE，S△ABE=S△AEC．∵S△BDE=2，∴S△ADE =2，∴S△ABE=S△AEC=4，∴四边形ADEC的面积=2+4=6．拓展延伸：解：（1）作△ABD的中线AE，则有BE=ED=DC，∴△ABE的面积=△AED的面积=△ADC的面积= S2，∴S1=2S2．（2）连接AO ．∵CO =DO ，∴△BOD 的面积=△BOC 的面积=3，△AOC 的面积=△AOD 的面积．∵BO =2EO ，∴△EOC 的面积=△BOC 的面积的一半=1.5， △AOB 的面积=2△AOE 的面积．设△AOD 的面积=a ，△AOE 的面积=b ，则a +3=2b ，a =b +1.5，解得：a =6，b =4.5，∴四边形ADOE 的面积为=a +b =6+4.5=10.5．9．已知，在ABC 中，∠A =60°，（1）如图①，∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点O ，则∠BOC= ；（2）如图②，∠ABC 和∠ACB 的三等分线分别对应交于点O 1，O 2，则2_________BO C ∠=；（3）如图③，∠ABC 和∠ACB 的n 等分线分别对应交于点O 1，O 2，……，1n O -（内部有1n -个点），则1-∠=n BO C ；（4）如图③，∠ABC 和∠ACB 的n 等分线分别对应交于点O 1，O 2，……，1n O -，若190-∠=︒n BO C ，求n 的值．【答案】（1）120°；（2）100°；（3）60120+⎛⎫︒⎪⎝⎭n n ；（4）n=4 【解析】【分析】 （1）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC ＋∠ABC ，然后根据角平分线的定义即可求出∠OBC ＋∠OCB ，再根据三角形的内角和定理即可求出结论；（2）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC ＋∠ABC ，然后根据三等分线的定义即可求出∠O 2BC ＋∠O 2CB ，再根据三角形的内角和定理即可求出结论；（3）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC ＋∠ABC ，然后根据n 等分线的定义即可求出∠O n －1BC ＋∠O n －1CB ，再根据三角形的内角和定理即可求出结论；（4）根据（3）的结论列出方程即可求出结论．【详解】解：（1）∵在ABC 中，∠A =60°，∴∠ABC ＋∠ABC=180°－∠A=120°∵∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点O ，∴∠OBC=12∠ABC ，∠OCB=12∠ACB ∴∠OBC ＋∠OCB=12∠ABC ＋12∠ACB =12（∠ABC ＋∠ACB ） =60°∴∠BOC=180°－（∠OBC ＋∠OCB ）=120°故答案为：120°．（2）∵在ABC 中，∠A =60°，∴∠ABC ＋∠ABC=180°－∠A=120°∵∠ABC 和∠ACB 的三等分线分别对应交于点O 1，O 2，∴∠O 2BC=23∠ABC ，∠O 2CB=23∠ACB ∴∠O 2BC ＋∠O 2CB=23∠ABC ＋23∠ACB =23（∠ABC ＋∠ACB ） =80°∴2∠=BO C 180°－（∠O 2BC ＋∠O 2CB ）=100°故答案为：100°．（3）∵在ABC 中，∠A =60°，∴∠ABC ＋∠ABC=180°－∠A=120°∵∠ABC 和∠ACB 的n 等分线分别对应交于点O 1，O 2，……，1n O -∴∠O n －1BC=1n n -∠ABC ，∠O n －1CB=1n n-∠ACB ∴∠O n －1BC ＋∠O n －1CB=1n n -∠ABC ＋1n n -∠ACB =1n n-（∠ABC ＋∠ACB ） =120120-⎛⎫⎪⎝⎭n n °∴1-∠=n BO C 180°－（∠O 2BC ＋∠O 2CB ）=60120+⎛⎫︒⎪⎝⎭n n 故答案为：60120+⎛⎫︒ ⎪⎝⎭n n （4）由（3）知：1-∠=n BO C 60120+⎛⎫︒⎪⎝⎭n n ∴6012090+=n n解得：n=4 经检验：n=4是原方程的解．【点睛】本题考查了n 等分线的定义和三角形的内角和定理，掌握n 等分线的定义和三角形的内角和定理是解决此题的关键．10．如图①．ABC 中，AB AC =，P 为底边BC 上一点，PE AB ⊥，PF AC ⊥，CH AB ⊥，垂足分别为E 、F 、H .易证PE PF CH +=.证明过程如下：如图①，连接AP .∵PE AB ⊥，PF AC ⊥，CH AB ⊥，∴12ABP S AB PE =⋅，12ACP S AC PF =⋅，12ABC S AB CH =⋅ 又∵ABP ACP ABC S S S +=，∴AB PE AC PF AB CH ⋅+⋅=⋅∵AB AC =，∴PE PF CH +=．如图②，P 为BC 延长线上的点时，其它条件不变，PE 、PF 、CH 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．【答案】PE PF CH -=【解析】【分析】参考题设的证明过程，主要思路就是等面积法：ABP ACP ABC SS S +=，同样，P 为BC 延长线上的点时，也可以用类似的等面积法：ABP ACP ABC S S S =-，即可得出结论．【详解】∵PE AB ⊥，PF AC ⊥，CH AB ⊥，∴12ABP S AB PE =⋅，12ACP S AC PF =⋅，12ABC S AB CH =⋅ 又∵ABP ACP ABC S S S =-，∴AB PE AC PF AB CH ⋅-⋅=⋅∵AB AC =，∴PE PF CH -=．故答案为：PE PF CH -=．【点睛】本题考查几何图形中等面积法的应用，读懂题目，灵活运用题设条件是解题的关键．。
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专题17 一次函数中的构造等腰直角三角形法1、如图1,等腰直角三角形ABC中,∠ACB＝90°,CB＝CA,直线ED经过点C,过A作AD⊥ED于点D,过B作BE⊥ED于点E．求证：△BEC≌△CDA；解：（1）由题意可知：△BEO≌△AOD（K型全等）,∴OE＝AD,∵k＝﹣1,∴y＝﹣x+4,∴B（0,4）,∴OB＝4,∵BE＝3,∴OE＝,∴AD＝；（2）k＝﹣时,y＝﹣x+4,∴A（3,0）,①当BM⊥AB,且BM＝AB时,过点M作MN⊥y轴,∴△BMN≌△ABO（AAS）,∴MN＝OB,BN＝OA,∴MN＝4,BN＝3,∴M（4,7）；②当AB⊥AM,且AM＝AB时,过点M作x轴垂线MK,∴△ABO≌△AMK（AAS）,∴OB＝AK,OA＝MK,∴AK＝4,MK＝3,∴M（7,3）；③当AM⊥BM,且AM＝BM时,过点M作MH⊥x轴,MG⊥y轴,∴△BMG≌△AHM（AAS）,∴BG＝AH,GM＝MH,∴GM＝MH,∴4﹣MH＝MH﹣3,∴MH＝,∴M（,）；综上所述：M（7,3）或M（4,7）或M（,）；（3）当k＞0时,AO＝,过点Q作QS⊥y轴,∴△ABO≌△BQS（AAS）,∴BS＝OA,SQ＝OB,∴Q（4,4﹣）,∴OQ＝,∴当k＝1时,QO最小值为4；当k＜0时,Q（4,4﹣）,∴OQ＝,∴当k＝1时,QO最小值为4,与k＜0矛盾,∴OQ的最小值为4．2、已如,在平面直角坐标系中,点A的坐标为（6,0）、点B的坐标为（0,8）,点C在y轴上,作直线AC．点B关于直线AC的对称点B′刚好在x轴上,连接CB′．（1）写出点B′的坐标,并求出直线AC对应的函数表达式；（2）点D在线段AC上,连接DB、DB′、BB′,当△DBB′是等腰直角三角形时,求点D坐标；（3）如图2,在（2）的条件下,点P从点B出发以每秒2个单位长度的速度向原点O运动,到达点O时停止运动,连接PD,过D作DP的垂线,交x轴于点Q,问点P运动几秒时△ADQ是等腰三角形．解：（1）∵A的坐标为（6,0）、点B的坐标为（0,8）,∴OA＝6,OB＝8,∵∠AOB＝90°,∴AB＝10,∵B与B'关于直线AC对称,∴AC垂直平分BB',∴BC＝CB',AB'＝AB＝10,∴B'（﹣4,0）,设点C（0,m）,∴OC＝m,∴CB'＝CB＝8﹣m,∵在Rt△COB'中,∠COB'＝90°,∴m2+16＝（8﹣m）2,∴m＝3,∴C（0,3）,设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0）,把A（6,0）,C（0,3）代入可得k＝﹣,b＝3,∴y＝﹣x+3；（2）∵AC垂直平分BB',∴DB＝DB',∵△BDB'是等腰直角三角形,∴∠BDB'＝90°,过点D作DE⊥x轴,DF⊥y轴,∴∠DFO＝∠DFB＝∠DEB'＝90°,∵∠EDF＝360°﹣∠DFB﹣∠DEO﹣∠EOF,∠EOF＝90°, ∴∠EDF＝90°,∴∠EDF＝∠BDB',∴∠BDF＝∠EDB',∴△FDB≌△EDB'（AAS）,∴DF＝DE,设点D（a,a）代入y＝﹣x+3中, ∴a＝2,∴D（2,2）；（3）同（2）可得∠PDF＝∠QDE, ∵DF＝DE＝2,∠PDF＝∠QDE,∴△PDF≌△QDE（AAS）,∴PF＝QE,①当DQ＝DA时,∵DE⊥x轴,∴QE＝AE＝4,∴PF＝QE＝4,∴BP＝BF﹣PF＝2,∴点P运动时间为1秒；②当AQ＝AD时,∵A（6,0）、D（2,2）,∴AD＝2,∴AQ＝2,∴PF＝QE＝2﹣4,∴BP＝BF﹣PF＝10﹣2,∴点P的运动时间为5﹣秒；③当QD＝QA时,设QE＝n,则QD＝QA＝4﹣n,在Rt△DEQ中,∠DEQ＝90°, ∴4+n2＝（4﹣n）2,∴n＝1.5,∴PF＝QE＝1.5,∴BP＝BF+PF＝7.5,∴点P的运动时间为3.75秒,∵0≤t≤4,∴t＝3.75,综上所述：点P的运动时间为1秒或5﹣秒或3.75秒．3、定义：在平面直角坐标系中,对于任意P（x1,y1）,Q（x2,y2）,若点M（x,y）满足x＝3（x1+x2）,y＝3（y1+y2）,则称点M是点P,Q的“美妙点”．例如：点P（1,2）,Q（﹣2,1）,当点M（x,y）满足x＝3×（1﹣2）＝﹣3,y＝3×（2+1）＝9时,则点M（﹣3,9）是点P,Q的“美妙点”．（1）已知点A（﹣1,3）,B（3,3）,C（2,﹣2）,请说明其中一点是另外两点的“美妙点”；（2）如图,已知点D是直线y＝+2上的一点．点E（3,0）,点M（x,y）是点D、E的“美妙点”．①求y与x的函数关系式；②若直线DM与x轴相交于点F,当△MEF为直角三角形时,求点D的坐标．解：（1）∵3×（﹣1+2）＝3,3×（3﹣2）＝3,∴点B是A、C的“美妙点”；（2）设点D（m,m+2）,①∵M是点D、E的“美妙点”．∴x＝3（3+m）＝9+3m,y＝3（0+m+2）＝m+6,故m＝x﹣3,∴y＝（x﹣3）+6＝x+3；②由①得,点M（9+3m,m+6）,如图1,当∠MEF为直角时,则点M（3,4）,∴9+3m＝3,解得：m＝﹣2；∴点D（﹣2,）；当∠MFE是直角时,如图2,则9+3m＝m,解得：m＝﹣,∴点D（﹣,）；当∠EMF是直角时,不存在,综上,点D（﹣2,）或（﹣,）．4、如图,过点A（1,3）的一次函数y＝kx+6（k≠0）的图象分别与x轴,y轴相交于B,C两点．（1）求k的值；（2）直线l与y轴相交于点D（0,2）,与线段BC相交于点E．（i）若直线l把△BOC分成面积比为1：2的两部分,求直线l的函数表达式；（ⅱ）连接AD,若△ADE是以AE为腰的等腰三角形,求满足条件的点E的坐标．解：（1）将点A的坐标代入一次函数y＝kx+6并解得：k＝﹣3；（2）一次函数y＝﹣3x+6分别与x轴,y轴相交于B,C两点,则点B、C的坐标分别为：（2,0）、（0,6）；（i）S△BCO＝OB×CO＝2×6＝6,直线l把△BOC分成面积比为1：2的两部分,则S△CDE＝2或4,而S△CDE＝×CD×x E＝4×x E＝2或4,则x E＝1或2,故点E（1,3）或（2,0）,将点E的坐标代入直线l表达式并解得：直线l的表达式为：y＝±x+2；（ⅱ）设点E（m,﹣3m+6）,而点A、D的坐标分别为：（1,3）、（0,2）,则AE2＝（m﹣1）2+（3﹣3m）2,AD2＝2,ED2＝m2+（4﹣3m）2,当AE＝AD时,（m﹣1）2+（3﹣3m）2＝2,解得：m＝或；当AE＝ED时,同理可得：m＝；综上,点E的坐标为：（,）或（,）或（,）．5、建立模型：如图1,等腰Rt△ABC中,∠ABC＝90°,CB＝BA,直线ED经过点B,过A作AD⊥ED于D,过C作CE⊥ED于E．则易证△ADB≌△BEC．这个模型我们称之为“一线三垂直”．它可以把倾斜的线段AB和直角∠ABC转化为横平竖直的线段和直角,所以在平面直角坐标系中被大量使用．模型应用：（1）如图2,点A（0,4）,点B（3,0）,△ABC是等腰直角三角形．①若∠ABC＝90°,且点C在第一象限,求点C的坐标；②若AB为直角边,求点C的坐标；（2）如图3,长方形MFNO,O为坐标原点,F的坐标为（8,6）,M、N分别在坐标轴上,P是线段NF上动点,设PN＝n,已知点G在第一象限,且是直线y＝2x一6上的一点,若△MPG是以G为直角顶点的等腰直角三角形,请直接写出点G的坐标．解：（1）①过点C作CD⊥x轴于点D,∴∠BDC＝90°＝∠AOB,∴∠BCD+∠DCB＝90°,∵∠ABC＝90°,∴∠ABO+∠DBC＝90°,∴∠ABO＝BCD,∵AB＝BC,∴△AOB≌△BDC（AAS）,DC＝OB＝3,BD＝OA＝4,故点C（7,3）；②若AB为直角边,则除了①的情况以外,另外一个点C（C′）与①中的C关于点B对称, 故点C′（﹣1,﹣3）；故点C的坐标为：（7,3）或（﹣1,﹣3）；（2）如图2,当∠MGP＝90°时,MG＝PG,过点P作PE⊥OM于E,过点G作GH⊥PE于H,∴点E与点M重合,∴GF＝AB＝4设G点坐标为（x,2x﹣6）,6﹣（2x﹣6）＝4,得x＝4,易得G点坐标（4,2）；如图3,当∠MGP＝90°时,MG＝PG时,同理得G点坐标（,）,综上可知,满足条件的点G的坐标分别为（4,2）或（,）．6、如图1,直线l：y＝x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B．已知点C（﹣2,0）．（1）求出点A,点B的坐标．（2）P是直线AB上一动点,且△BOP和△COP的面积相等,求点P坐标．（3）如图2,平移直线l,分别交x轴,y轴于交于点A1B1,过点C作平行于y轴的直线m,在直线m上是否存在点Q,使得△A1B1Q是等腰直角三角形？若存在,请直接写出所有符合条件的点Q的坐标．解：（1）设y＝0,则x+2＝0,解得：x＝﹣4,设x＝0,则y＝2,∴点A的坐标为（﹣4,0）,点B的坐标的坐标为（0,2）；（2）∵点C（﹣2,0）,点B（0,2）,∴OC＝2,OB＝2,∵P是直线AB上一动点,∴设P（m,m+2）,∵△BOP和△COP的面积相等,∴×2|m|＝2×（|m|+2）,解得：m＝±4,当m＝﹣4时,点P与点A重合,∴点P坐标为（4,4）；（3）存在；理由：如图1,①当点B1是直角顶点时,∴B1Q＝B1A1,∵∠A1B1O+∠QB1H＝90°,∠A1B1O+∠OA1B1＝90°, ∴∠OA1B1＝∠QB1H,在△A1OB1和△B1HQ中,,∴△A1OB1≌△B1HQ（AAS）,∴B1H＝A1O,OB1＝HQ＝2,∴B1（0,﹣2）或（0,2）,当点B1（0,﹣2）时,Q（﹣2,2）,当点B1（0,2）时,∵B（0,2）,∴点B1（0,2）（不合题意舍去）,∴直线AB向下平移4个单位,∴点Q也向上平移4个单位,∴Q（﹣2,2）,②当点A1是直角顶点时,A1B1＝A1Q,∵直线AB的解析式为y＝x+2,由平移知,直线A1B1的解析式为y＝x+b,∴A1（﹣2b,0）,B1（0,b）,∴A1B12＝4b2+b2＝5b2,∵A1B1⊥A1Q,∴直线A1Q的解析式为y＝﹣2x﹣4b∴Q（﹣2,4﹣4b）,∴A1Q2＝（﹣2b+2）2+（4﹣4b）2＝20b2+40b+20, ∴20b2﹣40b+20＝5b2,∴b＝2或b＝,∴Q（﹣2,﹣4）或（﹣2,）；③当Q是直角顶点时,过Q作QH⊥y轴于H,∴A1Q＝B1Q,∵∠QA1C1+∠A1QC＝90°,∠A1QC+∠CQB1＝90°,∴∠QA1C＝∠CQB1,∵m∥y轴,∴∠CQB1＝∠QB1H,∴∠QA1C＝∠QB1H在△A1QC与△B1QH中,,∴△A1QC≌△B1QH（AAS）,∴CQ＝QH＝2,B1H＝A1C,∴Q（﹣2,2）或（﹣2,﹣2）,即：满足条件的点Q为（﹣2,2）或（﹣2,﹣2）或（﹣2,12）或（﹣2,）．7、如图1,等腰直角三角形ABC中,∠ACB＝90°,CB＝CA,直线DE经过点C,过A作AD⊥DE于点D,过B作BE⊥DE于点E,则△BEC≌△CDA,我们称这种全等模型为“K型全等”．（不需要证明）【模型应用】若一次函数y＝kx+4（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．（1）如图2,当k＝﹣1时,若点B到经过原点的直线l的距离BE的长为3,求点A到直线l的距离AD的长；（2）如图3,当k＝﹣时,点M在第一象限内,若△ABM是等腰直角三角形,求点M的坐标；（3）当k的取值变化时,点A随之在x轴上运动,将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到BQ,连接OQ,求OQ长的最小值．解：（1）由题意可知：△BEO≌△AOD（K型全等）,∴OE＝AD,∵k＝﹣1,∴y＝﹣x+4,∴B（0,4）,∴OB＝4,∵BE＝3,∴OE＝,∴AD＝；（2）k＝﹣时,y＝﹣x+4,∴A（3,0）,①当BM⊥AB,且BM＝AB时,过点M作MN⊥y轴,∴△BMN≌△ABO（AAS）,∴MN＝OB,BN＝OA,∴MN＝4,BN＝3,∴M（4,7）；②当AB⊥AM,且AM＝AB时,过点M作x轴垂线MK,∴△ABO≌△AMK（AAS）,∴OB＝AK,OA＝MK,∴AK＝4,MK＝3,∴M（7,3）；③当AM⊥BM,且AM＝BM时,过点M作MH⊥x轴,MG⊥y轴,∴△BMG≌△AHM（AAS）,∴BG＝AH,GM＝MH,∴GM＝MH,∴4﹣MH＝MH﹣3,∴MH＝,∴M（,）；综上所述：M（7,3）或M（4,7）或M（,）；（3）当k＞0时,AO＝,过点Q作QS⊥y轴,∴△ABO≌△BQS（AAS）,∴BS＝OA,SQ＝OB,∴Q（4,4﹣）,∴OQ＝,∴当k＝1时,QO最小值为4；当k＜0时,Q（4,4﹣）,∴OQ＝,∴当k＝1时,QO最小值为4,与k＜0矛盾,∴OQ的最小值为4．8、【模型建立】（1）如图1,等腰直角三角形ABC中,∠ACB＝90°,CA＝CB,直线ED经过点C,过A作AD⊥ED于点D,过B 作BE⊥ED于点E．求证：△CDA≌△BEC．【模型运用】（2）如图2,直线l1：y＝x+4与坐标轴交于点A、B,将直线l1绕点A逆时针旋转90°至直线l2,求直线l2的函数表达式．【模型迁移】如图3,直线l经过坐标原点O,且与x轴正半轴的夹角为30°,点A在直线l上,点P为x轴上一动点,连接AP,将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP,过点B的直线BC交x轴于点C,∠OCB＝30°,点B到x 轴的距离为2,求点P的坐标．证明：【模型建立】（1）∵AD⊥DE,BE⊥DE,∴∠D＝∠E＝90°∵∠ACB＝90°,∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝∠CBE,且CA＝BC,∠D＝∠E＝90°∴△CDA≌△BEC（AAS）【模型运用】（2）如图2,在l2上取D点,使AD＝AB,过D点作DE⊥OA,垂足为E∵直线y＝x+4与坐标轴交于点A、B,∴A（﹣3,0）,B（0,4）,∴OA＝3,OB＝4,由（1）得△BOA≌△AED,∴DE＝OA＝3,AE＝OB＝4,∴OE＝7,∴D（﹣7,3）设l2的解析式为y＝kx+b,得解得∴直线l2的函数表达式为：【模型迁移】（3）若点P在x轴正半轴,如图3,过点B作BE⊥OC,∵BE＝2,∠BCO＝30°,BE⊥OC∴BC＝4,∵将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP,∴AP＝BP,∠APB＝30°,∵∠APC＝∠AOC+∠OAP＝∠APB+∠BPC,∴∠OAP＝∠BPC,且∠OAC＝∠PCB＝30°,AP＝BP, ∴△OAP≌△CPB（AAS）∴OP＝BC＝4,∴点P（4,0）若点P在x轴负半轴,如图4,过点B作BE⊥OC,∵BE＝2,∠BCO＝30°,BE⊥OC∴BC＝4,∵将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP,∴AP＝BP,∠APB＝30°,∵∠APE+∠BPE＝30°,∠BCE＝30°＝∠BPE+∠PBC, ∴∠APE＝∠PBC,∵∠AOE＝∠BCO＝30°,∴∠AOP＝∠BCP＝150°,且∠APE＝∠PBC,PA＝PB∴△OAP≌△CPB（AAS）∴OP＝BC＝4,∴点P（﹣4,0）综上所述：点P坐标为（4,0）或（﹣4,0）9、如图1,在平面直角坐标系中,直线y＝﹣x+b与x轴、y轴相交于A、B两点,动点C（m,0）在线段OA上,将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD,此时点D恰好落在直线AB上,过点D作DE⊥x轴于点E．（1）求m和b的数量关系；（2）当m＝1时,如图2,将△BCD沿x轴正方向平移得△B′C′D′,当直线B′C′经过点D时,求点B′的坐标及△BCD平移的距离；（3）在（2）的条件下,直线AB上是否存在一点P,以P、C、D为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在,写出满足条件的P点坐标；若不存在,请说明理由．解：（1）直线y＝﹣x+b与y轴相交于B点,∴B（0,b）∴OB＝b,∵点C（m,0）∴OC＝m∵∠BCO+∠ECD＝90°,∠BCO+∠OBC＝90°,∴∠OBC＝∠ECD．在△OBC和△ECD中,∴△OBC≌△ECD（AAS）∴BO＝CE＝b,DE＝OC＝m,∴点D（b+m,m）∴m＝﹣（b+m）+b∴b＝3m（2）∵m＝1,∴b＝3,点C（1,0）,点D（4,1）∴直线AB解析式为：y＝﹣x+3设直线BC解析式为：y＝ax+3,且过（1,0）∴0＝a+3∴a＝﹣3∴直线BC的解析式为y＝﹣3x+3,设直线B′C′的解析式为y＝﹣3x+c,把D（4,1）代入得到c＝13, ∴直线B′C′的解析式为y＝﹣3x+13,当y＝3时,x＝当y＝0时,x＝∴B′（,3）,C'（,0）∴CC′＝,∴△BCD平移的距离是个单位．（3）当∠PCD＝90°,PC＝CD时,点P与点B重合,∴点P（0,3）如图,当∠CPD＝90°,PC＝PD时,∵BC＝CD,∠BCD＝90°,∠CPD＝90°∴BP＝PD∴点P是BD的中点,且点B（0,3）,点D（4,1）∴点P（2,2）综上所述,点P为（0,3）或（2,2）时,以P、C、D为顶点的三角形是等腰直角三角形．10、如图,已知一次函数y＝﹣x+7与正比例函数y＝x的图象交于点A,且与x轴交于点B．（1）求△AOB的面积：（2）在y轴上找一点C,使AC+BC最小,求最小值及C点坐标．（3）点P从O出发向B点以1个单位每秒的速度运动,点Q从B点出发向A点以同样的速度运动,两个点同时停止,当△BPQ为等腰三角形时,求Q点坐标．解：（1）∵一次函数y＝﹣x+7与正比例函数y＝x的图象交于点A,且与x轴交于点B．∴点B（7,0）,﹣x+7＝x∴x＝3,∴点A（3,4）∴S△AOB＝×7×4＝14；（2）如图1,作点B关于y轴的对称点H（﹣7,0）,连接AH,交y轴于点C,∴此时AC+BC最小值为AH,∵点A（3,4）,点H（﹣7,0）,∴AH＝＝2,∴AC+BC最小值为2,设直线AH解析式为：y＝kx+b,且过点A（3,4）,点H（﹣7,0）, ∴,解得：∴直线AH解析式为：y＝x+；（3）如图2,过点Q作QE⊥OB,∵以同样的速度运动,∴BQ＝OP,∵一次函数y＝﹣x+7与y轴交于点D,∴点D（0,7）,∴OD＝OB＝7,且∠DOB＝90°,∴∠DBO＝45°,且QE⊥OB,∴∠QBE＝∠EQB＝45°,∴QE＝BE,∴QB＝QE＝EB,若PB＝QB,且OP＝BQ,∴OP＝PB＝＝BQ,∴BE＝EQ＝,∴OE＝7﹣,∴点Q（7﹣,）,若QP＝QB,且QE⊥OB,∴PE＝BE,∵OB＝7＝OP+PE+BE,∴7＝BE+2BE,∴BE＝＝QE,∴OE＝∴点Q（,）,如图3,若BP＝PQ,过点P作PF⊥BQ,∴BF＝FQ＝BQ,∵∠ABO＝45°,PF⊥AB,∴∠FPB＝∠ABO＝45°,∴PF＝BF,∴PB＝BF,∴7﹣BQ＝∴BQ＝,∴BE＝QE＝,∴点Q坐标为（7﹣,）．11、一边长为4正方形OACB放在平面直角坐标系中,其中O为原点,点A、B分别在x轴、y轴上,D为射线OB上任意一点．（1）如图1,若点D坐标为（0,2）,连接AD交OC于点E,则△AOE的面积为；（2）如图2,将△AOD沿AD翻折得△AED,若点E在直线y＝x图象上,求出E点坐标；（3）如图3,将△AOD沿AD翻折得△AED,DE和射线BC交于点F,连接AF,若∠DAO＝75°,平面内是否存在点Q,使得△AFQ是以AF为直角边的等腰直角三角形,若存在,请求出所有点Q坐标；若不存在,请说明理由．解：（1）∵边长为4正方形OACB放在平面直角坐标系中,∴点A坐标（4,0）,点C（4,4）,∴直线OC解析式为：y＝x,∵点D坐标为（0,2）,点A坐标（4,0）,∴直线AD解析式为：y＝﹣x+2,∴解得：∴点E坐标（,）∴△AOE的面积＝×4×＝,故答案为：；（2）如图2,过点E作EH⊥OA,∵将△AOD沿AD翻折得△AED,∴AO＝AE＝4,设点E（a,a）,∴OH＝a,EH＝a,∴AH＝4﹣a,∵AE2＝EH2+AH2,∴16＝a2+（4﹣a）2,∴a＝0（舍去）,a＝,∴点E（,）（3）∵将△AOD沿AD翻折得△AED,∴∠DAO＝∠DAE＝75°,OA＝AE,∠DOA＝∠DEA＝90°, ∴∠OAE＝150°,AE＝AC,∠ACF＝∠AED＝90°,∴∠CAE＝60°,∵AE＝AC,AF＝AF,∴Rt△AEF≌Rt△ACF（HL）∴∠CAF＝∠EAF＝30°,且AC＝4,∴CF＝,∵△AFQ是以AF为直角边的等腰直角三角形,∴若∠AFQ＝90°,AF＝FQ,如图3,过点Q作QN⊥BF,∴∠NQF+∠QFN＝90°,且∠QFN+∠AFC＝90°,∴∠NQF＝∠AFC,且∠ACF＝∠QNF＝90°,QF＝AF, ∴△QNF≌△FCA（AAS）∴QN＝CF＝,AC＝NF＝4,∴点Q（,4+）同理可求：Q'（8+,4﹣）,若∠FAQ＝90°,AF＝AQ时,同样方法可求,Q''（0,）,Q'''（8,﹣）。