九年级数学中考压轴题典型题型解析
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2009年全国中考数学压轴题精选精析
37.（09年黑龙江牡丹江）28．（本小题满分8分）
如图，ABCD 在平面直角坐标系中，6AD =，若OA 、OB 的长是关于x 的一元二
次方程2
7120x x -+=的两个根，且OA OB >． （1）求sin ABC ∠的值．
（2）若E 为x 轴上的点，且16
3
AOE S =
△，求经过D 、E 两点的直线的解析式，并判断AOE △与DAO △是否相似？
（3）若点M 在平面直角坐标系内，则在直线AB 上是否存在点F ，使以A 、C 、F 、M
为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F 点的坐标；若不存在，请说明理由．
（09年黑龙江牡丹江28题解析）解：（1）解2
7120x x -+=得1243x x ==，
OA OB >
43OA OB ∴==， ·
············································································· 1分 在Rt AOB △
中，由勾股定理有5AB =
4
sin 5
OA ABC AB ∴∠=
= ·
······································································· 1分 （2）∵点E 在x 轴上，16
3
AOE S =△
11623
AO OE ∴⨯= 8
3OE ∴=
880033E E ⎛⎫⎛⎫∴- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，或， ········································································ 1分
由已知可知D （6，4）
设DE y kx b =+，当8
03E ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
时有
28题图
46803k b k b =+⎧⎪⎨
=+⎪⎩解得65165k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ∴616
55
DE y x =
- ·
··············································································· 1分 同理803
E ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，
时，616
1313
DE y x =+ ·
······················································ 1分 在AOE △中，8
9043
AOE OA OE ∠===°，， 在AOD △中，9046OAD OA OD ∠===°，， OE OA
OA OD
=
AOE DAO ∴△∽△ ·
··········································································· 1分 （3）满足条件的点有四个
123475224244(38)(30)1472525F F F F ⎛⎫⎛⎫
----- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，；，；，；， ····························· 4分
说明：本卷中所有题目，若由其它方法得出正确结论，可参照本评分标准酌情给分.
38.（09年黑龙江齐齐哈尔）28．（本小题满分10分） 直线3
64
y x =-
+与坐标轴分别交于A B 、两点，
动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动．
（1）直接写出A B 、两点的坐标；
（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； （3）当48
5
S =
时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．
（09年黑龙江齐齐哈尔28题解析）（1）A （8，0）B （0，6） ································· 1分 （2）86OA OB ==， 10AB ∴=
点Q 由O 到A 的时间是
8
81
=（秒） ∴点P 的速度是
610
28
+=（单位/秒） ·
1分 当P 在线段OB 上运动（或03t ≤≤）时，2OQ t OP t ==，
2S t = ·········································································································· 1分
当P 在线段BA 上运动（或38t <≤）时，6102162OQ t AP t t ==+-=-，, 如图，作PD OA ⊥于点D ，由
PD AP BO AB =
，得4865
t
PD -=， ······························ 1分 21324255
S OQ PD t t ∴=⨯=-+ ·
······································································ 1分 （自变量取值范围写对给1分，否则不给分．）
（3）82455P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， ···························································································· 1分
12382412241224555555I M M 2⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，，，，， ···················································· 3分
注：本卷中各题，若有其它正确的解法，可酌情给分． 39.（09年黑龙江绥化）28．(本小题满分lO 分)
（09年黑龙江绥化28题解析）