均值不等式定理求最值
均值不等式及其应用详解
解：设ＤＱ长为y（m）,则
x 4 xy 200
2
A
M
N
B
故：
200 x y 4x
2
E
F
（２）解： x 0
s 4200x 210 4xy 80 2 y 400000 2 38000 4000 x x2
2
2
400000 S 38000 4000 x x2
分析二、 挖掘隐含条件
∵3x+1-3x=1为定值，且0＜x＜1 则1-3x＞0； 3 1 可用均值不等式法 ∵0＜x＜ ，∴1-3x＞0 3 1 1 3 x 1 3 x 1 2 ∴y=x（1-3x）= 3x（1-3x）≤ ( ) 3 12 当且仅当 3x=1-3x 即x=1 时 y
3
2
x 4000 当且仅当 ２００吨时，每吨的平均成本最低
不等式定理及其重要变形：
（定理） a b 2ab(a, b R)
2 2
ab ab （推论） 2
( a, b R )
ab
ab 2 ( ) 2
1 例１、已知：0＜x＜ ，求函数y=x（1-3x）的最大值 3 分析一、 原函数式可化为：y=-3x2+x， 利用二次函数求某一区间的最值
y 2x 3 x y 3 2 2
当且仅当
y 2 x 即: y 2 x 时取“=”号 x y
即此时
1 y 2x x 而 2 2 2 x y 1 2 y 2 2
ymin 3 2 2
本题小结： 用均值不等式求最值时，要注意检验最值存在的 充要条件，特别地，如果多次运用均值不等式求
最值，则要考虑多次“≥”（或者“≤”）中取
均值定理最全讲义
均值不等式一、 要点：明确均值不等式及其成立条件，会灵活应用均值不等式证明或求解最值.注意利用均值不等式求解最值时的“配凑”问题【二元均值不等式】 依据：),(222R b a ab b a ∈≥+变式：),(2+∈≥+R b a ab b a ；),(2222+∈+≤+≤R b a b a b a ab ；2)2(b a ab +≤ 作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值注意：应用均值不等式求解最值时，应注意七字原则“一正二定三相等”【三元均值不等式】依据：),,(3333+∈≥++R c b a abc c b a 变式：),,(33+∈≥++R c b a abc c b a ，3)3(c b a abc ++≤ 作用：与二元均值不等式相仿 推广：),,,(2121321+∈⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++R x x x x x x n nx x x x n n n n(即n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数)二、分类练习Ⅰ、直接运用1. 已知0x >,0y >，求x yy x+的最小值 2. 已知x,y 同号，求4y xx y+的最小值 3. 已知,x y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为 ________ 4. 已知,x y R +∈，且满足，则的最小值为5. 设+∈R b a ,且2242,12b a ab S b a --==+的最大值是( )(A)12- (B)212- (C)12+ (D)212+ 6. 若实数b a ,满足2=+b a ，则ba 33+的最小值是( )(A)18 (B)6 (C)32 (D)432 7. 已知x ＞0，y ＞0，且满足3x+2y=12，求lgx+lgy 的最大值 8. 证明：对于任意实数,,y x 有244)(21y x xy y x +≥+Ⅱ、整体代入1. 若0x >,0y >,且41x y +=,求41x y+的最小值2. 若+∈R y x ,,且12=+y x ，则yx 11+的最小值为3. 已知x ＞0，y ＞0，且412x y+=，求4x y +的最小值 4. 已知x y >>00，，且119x y+=，求x y +的最小值5. 已知a b a b >>+=0021，，，求t a b=+11的最小值 6. 已知,x y R +∈，且满足，则的最小值为7. 已知z y x ,,是互不相等的正数且1=++z y x ，求证：81)11)(11)(11(>---zyxⅢ、换元1、若正数b a ,满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 .2、已知x >0，y >0，x +2y +2xy=8，则x +2y 的最小值是 .3、若正实数x ，y 满足，则xy 的最大值是 。
基本不等式与利用均值不等式求最值
基本不等式一、知识回顾1.几个重要不等式（1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若（2）2222,2(2||2)a b R a b ab a b ab ab ∈+≥+≥≥若、则或（当仅当a=b 时取等号）（3）如果a ,b 都是正数，那么.2a b +（当仅当a=b 时取等号） 最值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则： ○1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 注意：○1前提：“一正、二定、三相等”，如果没有满足前提，则应根据题目创设情境；还要注意选择恰当的公式； ○2“和定 积最大，积定 和最小”，可用来求最值；○3均值不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等的条件是否一致。
0,2b a ab a b>+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号） 2.几个著名不等式（1）平均不等式： 如果a ,b 都是正数，那么2112a b a b +≤≤+（当仅当a=b 时取等号）（2）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()()2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≥≤或 则称f(x)为凸（或凹）函数.二、课前预习1、（05福建卷）下列结论正确的是______________.A ．当101,lg 2lg x x x x >≠+≥且时 B．02x >≥当时 C ．x x x 1,2+≥时当的最小值为2 D ．当xx x 1,20-≤<时无最大值 2、下列函数中，最小值为22的是______________.A ．x x y 2+=B ．)0(sin 2sin π<<+=x x x yC ．x x e e y -+=2D ．2log 2log 2x x y +=3、若,210<<a 则下列不等式中正确的是___________.A ．log (1)1a a ->B ．x x a)21(≤ C ．)1cos()1cos(a a -<+ D ．n n a a <-)1( 4、若实数a 、b 满足的最小值是则b a ba 22,2+=+_________. 5、函数11122+++=x x y 的值域为 ． 6、已知x >0，y >0且x +y =5，则lg x +lg y 的最大值是 ． 7、若正数,a b 满足3aba b =++，则ab 的取值范围是_____________________. 三、例题分析例1、(1)已知x >0，y >0且x +2y =1，求xy 的最大值，及xy 取最大值时的x 、y 的值．(2)x 、y 、a 、b ∈R +，a 、b 为常数，且1=+y b x a ，求x+y 的最小值.例2．(1)利用基本不等式求22+=x xy 的最值？当0<x<1时，如何求212++=x x y 的最大值.(2)已知0a>，求函数2y =的最小值。
均值定理在求最值中的应用
．
’ ＞则 ＋ ２ ｘ４ ｘ时 等 ． ９ ｘ ．ｏ ｘ 、 ・ ， ＝ 取号・ ＞ ， ≥／ －当 ２ ｏ ． ｙ ≥
根据不等式的性 质 ： ｂ ｏ ’ ａ ＞ ｊ８ ＞
得： （ 下转 ２ ９页） ２
压力容器人孔接管与筒体相焊的焊接质量控制
张 丽 王江 涛 （ 尔滨锅 炉厂 工 业 锅 炉公 司 ， 哈 黑龙 江 哈 尔滨 １０ ４ ） ５０ ６
＋ｂ ￣
～ … 一 ．
＝ Ｘ ２ ２ｆ
当 ａ ｂ 、 时取等 号 ． ＿＝ ／ ・ ． ａ 例 ４ 求函数 ｙ ＝ 解 ｘ ％２
ａ－ｂ
】 ：２ ／ ，ｍ 为 （、 ＋ ）
的最小值 （２１ ＋ ｘ ＋ 一 ＋ ２／） １＝ 、 １
’ ＋ ． ／１ ’ ＝丁 丽 ＾
例 ３ 如果 ａ ｂ ａ ： 求 ． ＞ ，ｂ １ ａ ％ｂ
…
＂
…
一
．
ａ Ｄ －
ｕ ４
解 ： ２ —＋ ２ ａｂ
ａ－ Ｄ
・ ．
＝
—
（－ ） ２ ｂ ａｂ ａ ２ ＋
— 一
＝
ａ－ Ｄ
（ ） ａ ＋
ａ－ Ｄ
ｂ． ｂｏ （ ｂ ’一 测 ａ ） ・ － ＋
２
≥２
摘 要： 以某 电厂制造 的高压加 热器为例 。 介绍人孔接 管与 简体相焊的质量控制及超 声波检测技术 。 关键词 ： 压力容器； Ｌ 管； ＡＡ 接 筒体相焊 ； 焊接
应在试件 Ｅ 试焊 ， 获得合理的焊接工艺 以 随着压力容器成套装置的高参数、 大型化 、 容器用钢的品种和强度也是 参数，焊材选用 ４ ｍ的焊条 ， ｍ 牌号为 多样化和高强化， 我公司为某电厂制造的高压加热器为例 ， 介绍人孔接管与 Ｅ ５ ５ Ｂ ， ５ － ２焊接工艺如表 ５ １ 。 波检测技术。 ２ 焊接工艺评定。焊接工艺评定是编 ２
均值不等式应用求最值的技巧,题型分析
均值不等式应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
巧用均值不等式及其条件求最值
巧用均值不等式及其条件求最值(南京师范大学数学与计算机科学学院 张逸洁)均值不等式是高中阶段初等数学中最重要的基本不等式之一，在许多问题的解决中往往能发挥出它的独特功能，对于它及它各种变式的掌握和熟练运用也是求解很多与不等式有关的最值问题的重要方法。
本文将归纳介绍均值不等式在最值问题中的一些巧妙运用，希望能够开拓学生的思维，对高中生不等式的学习有所帮助。
一、均值不等式1．22,2,a b R ab ab ∈+≥、（当且仅当a=b 时取“=”）。
推论：,a b R a b +∈+≥、，（当且仅当a=b 时取“=”）。
2．变形，对a b R ∈、积向平方和转化：222a b a b +⋅≤。
对a b R ∈、积向和转化：2()2a b a b +⋅≤。
注：这里有“最值定理”： 若,,,x y R x y s xy p +⋅∈+==2()2x y xy +≥⇔≤则x+y 运用此定理求最值时必须具备“一正，二定，三相等”这三个条件。
3．333,3a b c Ra b c abc +∈++≥、、，（当且仅当a=b=c 时取“=”）推论：,a b c R a b c +∈++≥、、，（当且仅当a=b=c 时取“=”）4．变形：对3,()3a b c a b c R abc +++∈≤、、 方法小结：在运用均值不等式求正数和的最小值时，凑积为定值；求正数积的最大值时，凑和为定值。
二、巧用均值不等式求解最值问题在求解函数最值问题的过程中，我们通常运用不等式，函数单调性，数形结合等方法分析解答。
本文着重介绍均值不等式在求解此类问题中的妙用，旨在帮助读者系统归纳，拓展思维，灵活解题。
1． 连用例1：已知3222160,a b a b a b ab b-+>>-求的最小值。
解：32222222222161616166416()2a b a b a a a a b a b ab b ab b b a b a -+=+=+≥+=+≥+----（）216.64a b a ⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨==⎪⎪⎩⎩2b=a-b 当且仅当即a分析：有时利用均值不等式求最值时只用一次并不能解决问题，通常需要连用来巧求最值。
应用均值定理求最值得一类误解
应用均值定理求最值得一类误解利用不等式中的均值定理求最值，是数学中的一种常用方法。
但同时也是非常容易出错的一类题目，原因就在于忽略了均值定理的条件“一正二定三能等”。
从而造成题目的误解甚至是错解。
下面就两道题目谈一下这类问题的解法。
题目1：已知为正实数，且，求的最小值。
解：∵x﹥0,y﹥0∴1=≥=8 (当且仅当x=4y时取等号)∴≤，∴xy≥64题目2: 已知为正实数，且，求的最小值。
解：∵x﹥0,y﹥0,且∴xy=2x+8y≥=8∵xy﹥0, ∴≥8(当且仅当x=4y时取等号)∴≥2≥2×8=16.∴的最小值是16.经验证，当x=4y时，得x＝16,y=4∴的最小值是64，的最小值是20,显然，题2的结果是错误的。
错误的原因在哪里呢？在题2的解法中又这样一步，≥2≥2×8=16，第一个等号成立的条件是下x=y,第二个等号成立的条件是x=4y，两个等号不能同时成立，出现错误。
下面给出题2 的正确解法：方法一：∵，∴＝（）（）＝＋2＋8＋≥＋10＝18，当且仅当＋，即x=2y时成立。
方法二：∵＝1，且x﹥0,y﹥0，∴x﹥8,y﹥2，且2x+8y＝∴(x-8)(y-2)=16(定值)，∴(x-8)(y-2) ≥＝8。
当且仅当x-8= y-2时成立。
∴≥18。
方法三：∵＝1，∴。
∵x﹥0,y﹥0，∴x-8﹥0。
∴＝x+=≥,当且仅当x-8= ,即x=12,y=6时等号成立。
∴的最小值为18。
由此看来，两道极其相似的题目，因为所求的结论不同，所应用条件不同，从而使解法各异。
所以同学们在学习的时候一定要对定理的条件加以重视、理解，而不能盲目的死记硬背。
下面给出一道练习，仅供同学们课下参考。
练习：已知x、y是正实数，且。
求的最小值。
答案：（）min＝9。
用均值不等式最值的方法和技巧
用均值不等式最值的方法和技巧均值不等式是一个常用的不等式工具，在解决很多求最值问题时会起到很大的帮助。
它的核心思想是通过找到相应的均值来构造不等式，从而得到最值的估计。
下面，我将详细介绍均值不等式的方法和技巧。
1.算术平均-几何平均不等式（AM-GM不等式）：AM-GM不等式是最常见的均值不等式，它表明对于任意非负实数x1,x2, ..., xn，有如下不等式成立：(x1 + x2 + ... + xn) / n ≥ √(x1 * x2 * ... * xn)这个不等式的意义在于，对于一组非负实数的和，取平均值一定大于等于这组数的乘积的正平方根。
这个不等式常常被用于证明其他数学结论的基础。
2.幂平均不等式：幂平均不等式是一组关于算术平均和几何平均之间关系的不等式。
对于任意非负实数x1, x2, ..., xn，以及实数p，q，有如下不等式成立：[(x1^p + x2^p + ... + xn^p) / n]^(1/p) ≥ [(x1^q + x2^q + ... + xn^q) / n]^(1/q)这个不等式是一个广义的不等式，AM-GM不等式就是其特例（p=q=1）。
使用幂平均不等式可以推导出很多常见的不等式，如柯西不等式、余弦不等式等。
3.杨辉不等式：杨辉不等式是一组与二项式系数相关的不等式。
对于任意自然数n，以及实数a，b，有如下不等式成立：(a+b)^n≥C(n,0)*a^n*b^0+C(n,1)*a^(n-1)*b^1+...+C(n,n)*a^0*b^n这个不等式是二项式定理的推广，它可以用来证明其它不等式，如二项式不等式、二项式平均不等式等。
4.切比雪夫不等式：切比雪夫不等式是一组关于平均值和取值范围之间关系的不等式。
对于任意一组具有有限均值μ的实数x1, x2, ..., xn，有如下不等式成立：P(，x1-μ，≥k)≤(σ/k)^2其中，σ是x1, x2, ..., xn的标准差，即σ^2 = [(x1 - μ)^2 + (x2 - μ)^2 + ... + (xn - μ)^2] / n这个不等式的意义在于，对于平均值给定的一组数，其离平均值较远的数出现的概率是受标准差的限制的。
运用均值定理求最值的
运用均值定理求最值的：几点注意和常用方法与技巧 著名的平均值不等式,,,,"212121n n n n a a a na a a R a a a ≥+++∈+则若 仅当n a a a === 21),2(N n n ∈≥时等号成立”是一个应用广泛的不等式，许多外形与它截然相异的函数式，常常也能利用它巧妙地求出最值。
且运用均值定理求最值是历年来高考的热点内容。
因此必须掌握用重要不等式求函数的最值。
一、重视运用过程中的三个条件：“正数、取等、定值”。
（1） 注意“正数”。
例1、求函数x x y 4+=的值域 。
（2）注意“取等”例2、设+∈R x ，求函数213xx y +=的最小值。
例3、的最大值求且有设by ax y x b a R y x b a +=+=+∈,6,3,,,,2222（3）注意“定值”例4、已知的最大值求y x R y x y x 2,,,12+∈=+。
二、常用处理方法和技巧（1） 拆项例5、求函数)0(322>+=x x x y 的最小值。
（2） 裂项例6、设1->x ，求函数1)2)(5(+++=x x x y 的最小值。
[先尽可能的让分子变量项和分母相同（常用于分子所含变量因子的次数比分母的含变量因子的次数大或相等时），然后裂项转化为求和的最值，进而凑积为定值。
即使得含变量的因子1+x 的次数和为零，同时取到等号] ]所以仅当9,1min ==y x 时。
（3） 添项例7、求函数222163x x y ++=的最小值。
（求和的最值，尽可凑积为定值，因此添加6，再减法6，即使得含变量的因子22x +的次数和为零，同时取到等号）。
例8、若y x y x y x +=+>>则且,191,0,0.的最小值。
[所以求变量出现在分子，已知条件变量在分母，为此添上1（即乘1即乘yx 91+），变为求和的最值，因此凑积为定值，即使得含变量的因子xy 的次数和为零，同时取到等号] 。
用均值不等式求最值的类型及方法
用均值不等式求最值的类型及方法均值不等式是基本不等式之一，常用于寻找函数最值。
一般来说，使用均值不等式求最值的方法可以分为以下几种类型。
一、切分法：切分法的思路是将原函数分割成若干个子函数，并通过均值不等式来确定这些子函数的最值，最后通过求和或求积的方式得到原函数的最值。
常用的方法有以下几种：1.等量切割法：将原函数的定义域分割为若干等距的小区间，然后对每个小区间内的子函数应用均值不等式，求得每个小区间的函数最值，最后通过求和或求积得到原函数的最值。
2.不等量切割法：将原函数的定义域按照实际情况进行分割，使得函数在每个小区间上的性质较为简单，然后对每个小区间内的子函数应用均值不等式，求得每个小区间的函数最值，最后通过求和或求积得到原函数的最值。
二、二次函数法：二次函数法的思路是将原函数通过二次函数的形式进行逼近，然后使用二次函数的性质求得原函数的最值。
常用的方法有以下几种：1.利用平均值定理：原函数的图像与二次函数的图像在一点处相切，通过求解相切点的横坐标，可以得到原函数的最值。
2.利用顶点性质：原函数的图像与二次函数的图像的顶点相对应，通过求解顶点的横坐标，可以得到原函数的最值。
三、积分法：积分法的思路是将原函数表示为一个积分的形式，然后利用积分的性质和均值不等式求得原函数的最值。
常用的方法有以下几种：1.利用积分的几何意义：将原函数表示为一个曲线的长度或面积，然后利用均值不等式求得原函数的最值。
2.利用积分的均值定理：将原函数表示为一个函数在一定区间上的平均值与变化量之积，然后利用均值不等式求得原函数的最值。
四、极限法：极限法的思路是将原函数表示为一个极限的形式，然后利用极限的性质和均值不等式求得原函数的最值。
常用的方法有以下几种：1.利用函数极限的定义：通过对原函数的极限进行变形，然后利用均值不等式求得变形后函数的最值，再通过极限的性质得到原函数的最值。
2.利用函数导数的定义：通过对原函数的导数进行变形，然后利用均值不等式求得变形后函数的最值，再通过导数的性质得到原函数的最值。
3.2均值不等式—最值问题
a b 2 ab 2 p
（当且仅当a=b时取等号）
s ab （2）若a+b=S(a,b∈R+),则 ab 4 2 （当且仅当a=b时取等号）
a bmin 2 p
2
2
2
abmax
s 4
例题：求函数
y x 3 2x 0 x 1
s 4
求最值要注意三点：
⑴正数⑵定值⑶检验等号是否成立
练习：求函数
以及此时x的值。
- 2 x2 + x - 3 f ( x) = , ( x > 0) 的最大值， x
1. 均值定理： ab ab 如果 a, b R，那么 当且仅当 a b 时，式中等号成立 2. 定理：(重要不等式）
最值定理： （1）若a,b∈R+且ab=p（p为常数）则
a b 2 ab 2 p
（当且仅当a=b时取等号）
s ab （2）若a+b=S(a,b∈R+),则 ab 2 4 （当且仅当a=b时取等号）
a bmin 2 p
2
2
2
abmax
的最大值为________________.
例题、(1)一个矩形的面积为100 m ，问：这个矩形的 长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？ (2)已知矩形的周长为36 m.问这个矩形的 长、宽各为多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？
2
小结：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。
若a,b∈R，那么 a2+b2≥2ab
（当且仅当a=b时，取“=”号）
2
3.2 均值不等式的应用— 最值问题
利用均值不等式求最值常用技巧
（2） a b c 3 abc ， (a, b, c R ) ， abc a b c 3 。当且仅当 a=b=c 时，取等号。
3
3
6、熟悉一个重要的不等式链：
2 11
ab a b 2
ab
a2 b2 。 2
7、利用均值不等式求最值的条件： 一正、二定、三相等 ①各项必须为正; ②含变数的各项和或积必须为定值（和定积最大,积定和最小）； ③必须有自变量值能使函数取到等号. 二、利用均值不等式求最值常用解题技巧
x
0，y
4x
9 x2
2x
2x
9 x2
3
3
2x 2x
9 x2
33 36
当且仅当 2x
9 x2
，即 x
3
36 2
时等号成立，所以当 x
3
36 2
时， ymin
33
36
。
技巧五：换元
例 1、求 y x2 7x 10 (x 1) 的值域。 x 1
解：令 t=x＋1， y (t 1)2 7(t 1）+10 = t2 5t 4 t 4 5
例 1：求函数 y x2 5 的值域。 x2 4
解：令 x2 4 t(t 2) ，则 y x2 5 x2 4 1 t 1 (t 2)
x2 4
x2 4
t
因 t 0, t 1 1 ，但 t 1 解得 t 1不在区间2, ，故等号不成立，考虑单调性。
t
t
因为 y t 1 在区间1, 单调递增，所以在其子区间2, 为单调递增函数，故 y 5 。
C．3 ＝，
D．3
∴a+2b＝（s﹣1）+2（t﹣1）＝s+2t﹣3，
运用均值定理求最值的：几点注意和常用方法与技巧(精)
运用均值定理求最值的：几点注意和常用方法与技巧著名的平均值不等式仅当时等号成立”是一个应用广泛的不等式，许多外形与它截然相异的函数式，常常也能利用它巧妙地求出最值。
且运用均值定理求最值是历年来高考的热点内容。
因此必须掌握用重要不等式求函数的最值。
一、重视运用过程中的三个条件：“正数、取等、定值”。
（1）注意“正数”。
例1、求函数的值域。
误解：（仅当时取等号），所以值域为。
这里错误在于使用均值定理时忽略了条件：正确解法：；所以函数的值域是。
（2）注意“取等”例2、设，求函数的最小值。
误解：拿到很容易想到用均值定理，所以有。
这里的错误是没有考虑等号成立的条件。
显然要，这样的不存在，故导致错误。
此题用均值定理，需要拆项，同时要等号成立，需要配一个系数，正确解法：。
所以。
例3、误解：所以的最大值为。
这里（1）取等号的条件是仅当；由条件知这是不可能的，所以不可能取到上述的最大值。
正确解法：仅当时取等，所以。
如取（3）注意“定值”例4、已知。
误解：，。
以上过程只能说明当。
但没有任何理由说明这种似是而非的错误解法，关键在于运用重要不等式放缩后的式子不是定值，致使得不出正确的结果。
正确解法：，所以仅当。
二、常用处理方法和技巧（1）拆项例5、求函数的最小值。
解：，（目标求和的最值，所以凑积为定值，因此拆为相同两项，同时使得含变量的因子的次数和为零）所以仅当。
（2）裂项例6、设，求函数的最小值。
解[先尽可能的让分子变量项和分母相同（常用于分子所含变量因子的次数比分母的含变量因子的次数大或相等时），然后裂项转化为求和的最值，进而凑积为定值。
即使得含变量的因子的次数和为零，同时取到等号]]所以仅当。
（3）添项例7、求函数的最小值。
解（求和的最值，尽可凑积为定值，因此添加6，再减法6，即使得含变量的因子的次数和为零，同时取到等号）。
所以当。
例8、若.的最小值。
解：[所以求变量出现在分子，已知条件变量在分母，为此添上1（即乘1即乘），变为求和的最值，因此凑积为定值，即使得含变量的因子的次数和为零，同时取到等号]。
如何使用均值定理求函数的最值
均值定理是高中数学中重要的内容，在高考中占有很重要的地位，成为高考的高频考点，它们总能在高考的舞台上与其姊妹知识合理、巧妙、有机地结合在一起进行联合演出，成为检查学生知识掌握情况和提升学生综合应用能力的训练战场。
因此，如何合理正确地使用均值定理就显得尤为重要了。
我们知道使用均值定理时，一定要遵循“一正、二定、三相等”的原则。
下面给出使用均值定理求最值的题型及使用方法，以供参考。
1直接套用公式例1(2014年新课标全国卷Ⅰ，16)已知a，b，c分别为ΔABC的三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，则ΔABC面积的最大值为______。
解析由正弦定理得（a+b）（a-b）=（c-b）c，也即a2=b2+c2-bc。
由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=bc2bc=12，所以A=60°。
又因为a=2，所以4=b2+c2-bc，又因为4=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc，所以bc≤4，所以SΔABC= 12bcsinA≤12·4·3√2=3√，也即面积ΔABC的最大值为3√。
点评在解题中通过配凑，直接使用了均值不等式a2+b2≥2ab （a，b∈R）达到了求最值的目的。
例2若函数f（x）=-1b e ax（a>0，b>0）的图像在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切，则a+b的最大值是（）A.4B.22√C.2D.2√解析因为f′（x）=-a b e ax，所以所求切线的斜率为k=f′（x）|x=0= -a b。
因为f（0）=-1b，所以切点为（0，-1b），则切线方程为l：y-（-1b）=-a b（x-0），也即ax+by+1=0。
因为直线l与圆相切，所以1a2+b2√=1，则a2+b2=1。
因为a2+b2≥12（a+b）2，所以（a+b）2≤2（a2+b2）=2，所以0≤a+b≤2√，也即（a+b）max=2√，故选D。
利用均值不等式求最值的技巧
利用均值不等式求最值的技巧
利用均值不等式求最值的技巧是一种常用的数学技巧，它可以帮助我们在解决数学问题时给出一个最优解。
均值不等式是一个基本的数学定理，它表明任何一个序列的平均值大于或等于它的最小值。
因此，可以利用这个定理来求解最大值或最小值。
首先，要使用均值不等式求最值，我们需要确定问题中的变量。
通常情况下，均值不等式求最大值或最小值时，有两个变量：最大值x和最小值y。
确定变量之后，我们需要根据题目给出的信息确定均值不等式的右侧。
对于求最大值的情况，右侧的值将是最小值y；而求最小值的情况下，右侧的值将是最大值x。
接下来，需要计算左侧的值，也就是均值。
计算均值的方法是：将所有数字相加，然后除以总数。
有时，问题中会给出一些数字，我们也可以将它们相加再除以总数算出均值。
有时，问题中会给出一些表达式，我们可以将它们计算出来，再把结果相加得出均值。
接下来，我们可以将左右两边的值代入均值不等式，解出最大值x或最小值y。
如果题目中有多个变量，我们可以分别解出每个变量，然后将它们带入原来的数学表达式，求出最终的最大值和最小值。
最后，要注意的是，均值不等式只能求出最大值或最小值，而不能求出其他值。
因此，在使用均值不等式求最值的时候，要确保问题中的变量正确，并且计算出来的均值也是正确的。
总之，利用均值不等式求最值的技巧是一种有效的数学技巧，能够帮助我们解决许多有关最大值和最小值的问题，提高我们解决问题的效率。
均值不等式求最值的常用技巧及习题（含解答：经典）
，则12x x +³ ( (当且仅当当且仅当1x =时取“时取“==”）;若0x <，则12x x+£- ( (当且仅当当且仅当当且仅当 _____________ _____________时取“时取“时取“==”） 若0x ¹，则11122-2x x x x x x +³+³+£即或 ( (当且仅当当且仅当当且仅当____________________________________时取“时取“时取“==”） 2.2.若若0>ab ，则2³+ab b a ( (当且仅当当且仅当当且仅当____________________________________时取“时取“时取“==”） 若若0ab ¹________。
解：因为x >0，y>0，所以234343xy x yxy +³=(当且仅当34x y =，即x=6，y=8时取等号)，于是13xy £， 3.xy \£，故xy 的最大值3. 变式：若44log log 2x y +=，求11x y+的最小值.并求x ,y 的值的值解：∵44log log 2x y += 2log 4=\xy 即xy=16 21211211==³+\xy y x y x 当且仅当x=y 时等号成立时等号成立技巧二：配凑项求 例2：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
的最大值。
解：5,5404x x <\->，11425434554y x x x x æö\=-+=--++ç÷--èø231£-+=当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y=。
例3. 3. 当当时，求(82)y x x =-的最大值。
均值不等式
与2的大小关系, b a
a
b
a b
b a
能得到什么结论?
请说明理由.
练习
1、已知a、b、c都是正数，求证： （a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc 4 2 2、若 a为任意实数，试比较 a 3 2 与4 a 3 的大小关系.
3、已知 a 3, 求证： a 7; a 3
2
2
求 a 1 b 的最大值。
2
如果 a , b都是正数，那么
2 1 1 a b
ab
ab 2
a2 b2 2
当且仅当a=b时，等号成立
2 1 1 a b
2
称为 a , b的调和平均数
a b 2
2
称为 a , b的平方平均数
a b 2 ab , a b 2 ab
2 2
ab (
ab 2
) ,(
2
ab 2
)
2
a b
2
2
2
当且仅当a=b时，等号成立
不等式 y x (1 3 x )( 0 x ) 的最大值是 (
3
1
B )
A．
4 243
B．
1 12
C．
1 64
D．
1 72
已知 log 2 ( x y ) log 2 x log 2 y , 则 x y 的取值范围是
ab ab 定理 如果a,b是正数, 那么 2
(当且仅当a b时取“”号)
其中
ab 2
称为正数a,b的算术平均数
ab 称为正数a,b的几何平均数
所以基本不等式也称为均值不等式
思考：如何证明？
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均值不等式定理求最值
复习目标：熟练掌握均值不等式求最值的思想方法和实际应用
一、 基础知识
1、 均值不等式定理
(1)、ab b a b a 2R,22≥+∈、 (当且仅当b a =时取“=”)
(2)、
ab b a R b a 2,≥+∈+、 (当且仅当b a =时取“=”) (3)、2
2,,2
2b a b a ab R b a +≤+≤∈+
(当且仅当b a =时取”=”) 此定理六个方面的应用要多体会掌握。
(4)、abc c b a R c b a 3,333≥++∈+、、 (当且仅当c b a ==时取“=”) (5)、3
3,abc c b a R c b a ≥++∈+、、 (当且仅当c b a ==时取”=”)
2、 均值不等式定理求最值的基本原则
（1）、“一正”：要求在正数条件下或能转化为正数条件的情况下才用均值不等式定理。
(2)、“二定”：即“和定积大与积定和小”原则，这一原则要求：求某些变量的和的最小值问题应使变量的乘积为定值；而求变量的乘积的最大值问题应转化到变量的和为定值。
反之，变量的和为定值必转化为求变量积的最大值问题，变量的积为定值必转化为求变量和的最小值问题。
总之，使用均值不等式定理后使变量消去成常数是均值不等式定理求最值的指导思想，也是产生各种技巧的力量源泉。
(3)、“三相等”：即“二”成立原则，这一原则要求验算“二”成立的充要条件，这是保证所求最值正确与否的关键。
完成这一步骤主要看两点：一看“二”成立的充要条件是否有解；二看“二”成立的充要条件有解时的解是否在函数定义域内。
如这两点均符合要求，所求函数最值就正确无疑了。
3、均值不等式定理及在求函数最值中的应用是高考热点之一。
均值定理的运用最为灵活，往往需灵活变形才能使用。
用均值不等式求最值应着重注意三原则：一正、二定、三相等，其中“三相等”就是等号成立的充要条件，这是求解变量取什么值可有最值的唯一途径，应该注意求得的变量是否在函数的定义域内或满足题中的限制条件下，这也是验证这种方法是否可行的唯一办法。
如不满足三相等条件，要及时调整解题思路，另寻解题方法。
而转到函数单调性和数型结合是常见和有效的方法。
其中函数x
b ax y += )0,0(>>b a 型（对a 、b 其它情况可类似讨论）在求函数最值中的应用要掌握，该函数是奇函数且在],0(a b 单调递减，在),[+∞a
b 单调递增。
二、基础训练
1、 函数)0(16>+=x x x y 的最小值是____________,相应=x _____________
2、 函数1222++=x x y 的最小值是____________,相应=x _____________
3、 函数
)0(42>+=x x x y 的最小值是____________,相应=x ______________
4、函数
x x y 132+=)0(>x 的最小值是____________,相应=x _____________
5、 函数)10)(1(<<-=x x x y 的最大值是____________,相应=x ___________
6、0、设0<x<2， 求函数
7、 设a,b (0,)∈+∞，且a+b=1, 求11a b
+的最小值。
8、若ｘ＞0，求函数y = 2
1x x x
++的最小值。
9、若x>3, 求函数y = 13
x - + x 的最小值。
10、函数
)310)(31(<<-=x x x y 的最大值是____________,相应=x _________
三、巩固练习
1、求数)10)(1(2<<-=x x x y 的最大值及相应的x 值。
2、若正数b a 、满足302=++ab b a ，求ab 的最大值及相应的b a 、值。
3、若函数]),0[,0,0,0)((c x b a s bx x a s y ∈>>>+=，求y 的最小值及相应的x 值。
4、求函数)0(2443232>++=x x x x y 的最小值。
5、求函数)0(2sin )cos 1(π<<+=x x x y 的最大值。
6、求函数2
22)1(164++
=x x y 的最小值。
7、设b a ,是正常数，y x ,+∈R ，且
2=+y
b x a ,求y x +的最小值。
8、设b a ,是正常数，10<<x ，求x
b x a -+12
2的最小值。
9、已知正数,a b 满足1=+b a ，求b
a b a 11222+++的最小值。
10、已知a >b >0，求)
(162b a b a -+的最小值。
11、设计一幅宣传画，要求画面面积为24840cm ，画面的宽与高的比为λ)1(<λ，画面的上下各留cm 8空白，左右各留cm 5的空白。
怎样确定画面的宽与高尺寸，能使宣传画所用纸张最小？
12、已知函数|lg |)(x x f =。
若b a ≠，且)()(b f a f =，则b a +的取值范围是（
） )(A ()+∞,1 )(B [)+∞,1 )(C ()+∞,2 )(D [)+∞,2
13、已知函数|lg |)(x x f =。
若b a <<0，且)()(b f a f =，则b a 2+的取值范围是（
） )(A ()+∞,22 )(B [)+∞,22 )(C ()+∞,3 )(D [)+∞,3
14、已知函数|lg |)(x x f =。
若a b <<0，且)()(b f a f =，则b a 2+的取值范围是（
） )(A ()+∞,22 )(B [)+∞,22 )(C ()+∞,3 )(D [)+∞,3。