常用数值分析方法3插值法与曲线拟合

y y=f(x)
(x2, y2)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ实际曲线
理论函数：y=f(x)
y=p(x)
近似直线
插值函数：y=p1(x)
(x1, y1)
x 图6.2 线性插值示意图
直线方程：
p 1 (x ) A 1 (x )y 1 A 2 (x )y 2 （插值多项式）
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特点： A1(x1)=1，A1(x2)=0 A2(x1)=0，A2(x2)=1
10
当 xxj时 当 xxj时
ij
（2）插值多项式
n
pn(x) Aj(x)yj
算，并且使之离散化能上机计算求出积分I，都要用到
插值逼近。
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解决上述问题的方法有两类：一类是对于一组离散 点(xi,f (xi)) (i = 1, 2, …,n)，选定一个便于计算的函数形
式(x)，如多项式，分段线性函数，有理式，三角函数 等，要求(x)通过点(xi)=f (xi) (i = 1, 2,…,n),由此确定 函数(x)作为f (x)的近似。这就是插值法。这里的 g(x)
xnx1
xnx1
查Q值表得出标准值Q0.90；
返回（1）
可疑值判断
重算
Q≥Q0.90 Q < Q0.90
错误数据 数据合理
剔出 保留。
（5）用标准形式表示统计处理结果
xx2
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3.2 插值法（ Interpolation ）
3.2.1 概述
函数常被用来描述客观事物变化的内在规律——数量关系， 如宇宙中天体的运行，地球上某地区平均气温的变化等等， 但在生产和科研实践中碰到的大量的函数中，不仅仅是用解 析表达式表示的函数，还经常用数表和图形来表示函数，其 中函数的数表形式在实际问题中应用广泛，主要原因是有相 当一部分函数是通过实验或观测得到的一些数据，这些数据 只是某些离散点 xi 上的值（包括函数值f (xi)，导数值 f(xi) 等,i = 1,2,…,n)，虽然其函数关系是客观存在的，但却不知道 具体的解析表达式，因此不便于分析研究这类数表函数的性 质，也不能直接得出其它未列出点的函数值，我们希望能对 这样的函数用比较简单的表达式近似地给出整体的描述。
实际曲线 近似抛物线
理论函数：y=f(x) 插值函数：y=p2(x)
(x1, y1) x
图6.3 抛物线插值示意图
插值基函数： A1(x)((xx1 xx22))((xx1xx33))
插值多项式
A2(x)((xx2 xx1 1))
(xx3) (x2x3)
P 2 ( x ) A 1 ( x ) y 1 A 2 ( x ) y 2 A 3 ( x ) y 3
3.1 实验数据统计处理
3.1.1 误差
系统误差 经常性的原因
影响比较恒定
偶然误差
偶然因素
正态分布规律
校正
过失误差
统计分析
-3σ -2σ -σ 0 σ 2σ 3σ 图6.1 平行试验数据的正态分布图
操作、计算失误
错误数据
剔出
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3.1.2 数据的统计分析
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另一方面，有些函数，虽然有解析表达式，但因
其过于复杂，不便于计算和分析，同样希望构造一个
既能反映函数的特性又便于计算的简单函数，近似代
替原来的函数。
b
如在积分
I f (x)dx a
中，当f (x)很复杂，要
计算积分 I 是很困难的，构造近似函数使积分容易计
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归纳一下：
问题
已知：一系列离散的（互不相同的）点xi ， yi（i = 1，2，…n）
求：给定点 x 对应的函数值 y 或近似函数表达式。
要求： 已知点满足该函数
思路
构造函数 y=p(x)
插值函数
代数多项式 ：
p m (x ) a 0 a 1 x a 2 x 2 a m x m (m n )
（1）算术平均值
n
xi
x i1 n
（2）标准偏差
n xi2 N xi 2 n
i1
i1
n1
（3）平均标准偏差
E
n
（4）剔出错误数据??可可疑疑数数 据据
Q 数据排序（升）：x1，x2，…，xn；
最大与最小数据之差；
值 可疑数据与其最邻近数据之间的差
法 求Q值：
Qxnxn1 或 Qx2x1
A3(x)(x(x3 xx11))((xx3xx22))
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3.2.4 Lagrange插值的一般形式
已知：n点（x1，y1）、（x2，y2）……（xn，yn） 求：其间任意 x 对应的 y 值
（1）构造插值基函数
n
Aj(x)
i1
xxi xj xi
§3 插值法与曲线拟合
3.1 实验数据统计处理
平行试验数据处理，误差分析。
3.2 插值法（Lagrange插值法）
根据实验测定的离散数据，求未测的某点数据。
3.3 曲线拟合（最小二乘法）
根据实验测定的离散数据，拟合曲线，分析数 据规律，求函数表达式。
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p1(x)y1yx2 2 xy11(xx1)（变形）
xx1xx22y1xx2xx11y2
A1(x)
A2(x)
插值基函数
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3.2.3 抛物线插值
已知：三点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3） 求：其间任意 x 对应的 y 值
y (x3, y3)
y=f(x) (x2, y2) y=p2(x)
称为f(x) 的插值函数。最常用的插值函数是 …多?项式
f(x)
g(x) f(x)
x1
x2
x3
x
x4
x5
另一类方法在选定近似函数的形式后，不要求近似函数过已 知样点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小。这类
方法称为曲线（数据）拟合法，将在下一节介绍。
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算法 拉格朗日（Lagrange）法
➢ 两点插值（线性插值） ➢ 一元三点插值（抛物线插值） ➢ 一元多点插值（插值公式的一般形式） ➢ 分段插值
其他：牛顿（Newton）插值法、 Hermite插值法、
样条函数插值法等。
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3.2.2 线性插值
已知：两点( x1 , y1）、( x2, y2 ） 求：两点间任意 x 对应的 y 值。