波函数的统计诠释态叠加原理薛定谔方程粒子
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量子力学教程-周世勋-第二章波函数
在上式中令 a=0，然后再将 x 改为 x − a 得：
δ [( x − a) 2 ] =
δ ( x − a)
x−a
（2.2-20）
（8） ln x 的微商
m iπ ⎧ ⎪ln x e = ln x m iπ x < 0 ln x = ⎨ x>0 ⎪ ⎩ln x
所以得：
d ln x 1 = ± iπδ ( x) dx x
ε → 0+
lim
1 1 = ± iπδ ( x) ，或 x m iε x 1 1 1 lim ( − ) 者说 iπ ε →0+ x m iε x
⎧0 x < 0 ⎪ ⎪1 x x=0 ∫ −∞ δ ( x ')dx ' = h( x) = ⎨ ⎪2 ⎪1 x > 0 ⎩
H(x)称为亥维赛（heaviside）单元函数。显然有：
（2.2-14）
dh( x) = δ ( x) dx
（6）根据（2.2-6）式可得：
（2.2-15）
f ( x) = ∫ ∞ −∞ f ( a )δ ( x − a ) da f (a) = ∫ ∞ −∞ f ( x )δ ( x − a ) dx
+ε = ∫a a −ε f ( a )δ [( x − a )( a − b)]dx + ∫
b +ε
b −ε
f (b)δ [(b − a)( x − b)]dx
=
∞ f ( x) f (a) f (b) + =∫ [δ ( x − a ) + δ ( x − b)]dx −∞ a − b a −b a −b
值得注意的是，不同体系的态的叠加是没有意义的。例如，在双狭缝衍射中，如果封闭其中的 一个狭缝，则可得到两个单狭缝体系，这两个单狭缝体系以及双狭缝体系都是不同的体系，所以双 狭缝衍射中的可能态不能视为两个单狭缝衍射可能态的叠加。
波函数和薛定谔方程
px ∂ 2Ψ = − Ψ， ∂x 2 h2
2
py ∂ 2Ψ = − Ψ 2 2 ∂y h pz ∂ 2Ψ = − Ψ ∂z 2 h2
2
2
h p2 2 − ∇ Ψ= Ψ 2m 2m (3)
是同一个量子态的不同表述
Ψ (r,t)是以坐标 r 为自变量的波函数， 坐标空间波函数，坐标表象波函数； C(p, t) 是以动量 p 为自变量的波函数， 动量空间波函数，动量表象波函数； 二者描写同一量子状态。
r r Ψ (r , t ) 与 c( p, t ) 有类似的物理意义 r 2 Ψ (r , t ) 是指在t时刻，粒子在r处出现的概率密度 r 2 c( p, t ) 是指在t时刻，粒子具有动量p的概率密度
与能量为E及动量为p 的粒子相联系的波（物质波） h E 的频率及波长为 λ= ν = p i rr h ( p⋅r − Et ) r 自由粒子平面波函数 ψ (r , t ) = Ae h
2.1 波函数的统计解释
另一种理解： 为防止电子间 发生作用，让 电子一个一个 地入射，发现 时间足够长后 的干涉图样和 大量电子同时 入射时完全相 同。（1989） 粒子是基本的，电子的波动性是大量电子之 间相互作用的结果。
2.3 含时薛定谔方程
2.3.1 经典粒子的动力学方程
r r dr t = t 0时刻，已知初态是： r0 , p0 = m dt
t = t0
2r r d r 粒子满足的方程是牛顿 方程： F = m 2 dt
从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻 t 粒子的状态 r 和 p 。因为初条件知道的是坐标及其对时间的一阶导 数，所以方程是时间的二阶常微分方程。
dτ ∫ ∞
→∞
2.2 态叠加原理
量子力学第二章 波函数和薛定谔方程
2. 入射电子流强度大，很快显示衍射 图样.
电子源
P
P
O
感
Q光QBiblioteka 屏在电子衍射实验中，照相底片上
r 点附近衍射花样的强度 正比于该点附近感光点的数目， 正比于该点附近出现的电子数目， 正比于电子出现在 r 点附近的几率。
波动观点
明纹处：电子波强|ψ(x,y,z,t)|2大
粒子观点
电子出现的概率大
暗纹处：电子波强|ψ(x,y,z,t)|2小
平方成比例。
（三）波函数的性质
（1）几率和几率密度
根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质： 在 t 时刻，r 点，dτ=dxdydz体积内，找到由波函数Ψ(r,t)描 写的粒子的几率是：
dW (x, y, z, t) C 2 (x, y, z, t) 2 d 其中C是比例系数。
在 t 时刻 r 点，单位体积内找到粒子的几率是：
是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那 么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义的，与实验 事实相矛盾。 实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在 一个原子内，其广延不会超过原子大小≈1 Å 。
电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？
“ 电子既不是粒子也不是波 ”，既不是经典的粒子也 不是经典的波， 但是我们也可以说，“ 电子既是粒子也 是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。” 这个波不再 是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。
(x, y, z,t)
dW(x, y, z,t)
d
C2 (x, y, z,t) 2
几率密度 probability density
在体积 V 内，t 时刻找到粒子的几率为：
W (t) dW (x, y,z,t)d C2 (x, y, z,t) 2 d
波函数与薛定谔方程
（２）态 的 迭 加 原 理
Ｂ．时 间部分 函数是确定 的。
如果 １、 ２、ｘＩ＊３…是体 系可能 的状 态 ，则 它们的线性 迭加态 ＝ ｃｌ ｌ＋ｃ２ ２＋ｅ３Ｘｌｔ３…＝∑ｃｉ＇Ｐｉ也 是体 系的一个 可 能状态 。当体 系处 在迭加 态 时 ，体系部 分处在 在迭加之前的各个态 ＇ｔｑ。
１）量子力学使用最多 的是把 可以实现的态分解为某一个算 符本征 态 的迭 加 。
２）如同经 典波的分解 和迭加 ，量子力学 的态的迭加 也是波 函数 的
数 ，这称 为简并 。若一 个本征值对应 的不 同本征 函数数 目为 Ｎ，则 称 Ｎ 重简并 。
定态薛 定谔方 程或不 含时 的薛定 谔方程 是能量 本征方程 ，Ｅ就称
波函数与薛定谔方程
四 川理 工 学院 王 学建
［摘 要 ］本文论述 了量子 力学微 观粒子行为 由波函数描 述，波函数具有统计 意义，波函数 由薛定谔方程解 出，介 绍 了用定态 薛定谔方
程 的 基 本 方 法和 步 骤 。 ［关键词 ］波函数 态的迭加原理 薛定谔方程 定 态薛定谔方程
、Ｐ ，ｆ） ｊ一。。ｊ ｊ。。ｆ（声， ） （产）（ ｄｐｙｄｐ。
（２—１）
这 在数学上是成立的 ，这正好是非周期 函数的傅立叶展开 。
（１）在态 （ｘ，ｙ＇Ｚ’ｔ）的粒子 ，它的动 量没有确 定 的值 ，由上式可 知 ，
积 内的概率或 ｔ时刻粒子在空间分布 的概率密度
变 化 规 律 。
４．波 函 数 的 归 一 化 条 件 和 标 准 条 件
（２）建立方程 而不是 推导方程 ，其正确性由实验验证 。薛定谔方程
波函数 归一化条件
实质上是一种基本假设 ，不能从 其他更基本原理或方程推导 出来 ，它 的
2波函数和薛定谔方程
第二章
波函数和薛定谔方程
三、波函数的归一化
由于粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子 在空间各点出现的概率之和等于1，因而粒子在空间各点 出现的概率只决定于波函数在空间各点的相对强度，而 不决定于强度的绝对大小。换句话说，将波函数乘上一 个常数后，所描写的粒子的状态并不改变。
(r , t ) 与 C (r , t ) 表示同一个态。
2
概率密度
dW ( x, y, z, t ) 2 ( x, y , z , t ) C ( x, y , z , t ) d
§2.1 波函数的统计解释
第二章
2
波函数和薛定谔方程
C ( x, y, z, t ) d 1
归一化
C
1
( x, y, z , t ) d
§2.1 波函数的统计解释
第二章
波函数和薛定谔方程
自由粒子的波函数
Ae
i ( pr Et )
如果粒子受到随时间或位置变化的力场的作用，它的 动量和能量不再是常量，这时粒子就不能用平面波来描写，
而必须用较复杂的波来描写。一般记为：
(r , t )
描写粒子状态的波函数，它 通常是一个复函数。
c1 1 c2 2 cn n
cn n
n
§2.2 态迭加原理
第二章
波函数和薛定谔方程
二、波函数按平面波展开
以一个确定的动量 p 运动的自由粒子的状态用波函数
p (r , t ) Ae
i ( pr Et )
描写。按照态迭加原理，粒子的状态可表示为
波函数为
i (r , t ) A exp ( p r Et )
波函数的统计解释-2022年学习资料
2.1.1波动一粒子两重性矛盾的分析-能否认为粒子是由波组成？-比如说，电子是三维空间的物质波包，波包-的 小即电子的大小，波包的速度即电子的-速度，但物质波包是色散的，即使原来的物-质波包很小，但经过一段时间后， 会扩散-到很大的空间去，或者形象地说，随着时间-的推移，粒子将越来越“胖”，这与实验相-矛盾。
电子双缝实验-P1-P2-P12-薄金属片-电子枪-二二二三-磷探-打开-缝二打开-双缝齐开-测屏-二关闭 缝一关闭-段（相同）时间后每个探测器上的电子数目
2.1.1波动一粒子两重性矛盾的分析-能否认为波是由粒子组成？-粒子的单缝和双缝实验表明，如减小入射粒-子 度，让粒子近似的一个一个从粒子源射-出，实验发现，虽然开始时底片上的感光点-是无规则的，但只要时间足够长， 光点足-够多，底片上仍然会出现衍射条纹。如果波-是由粒子组成，那末，波的干涉、衍射必然-依赖于粒子间的相互 用。这和上述实验结-果相矛盾，实际上，单个粒子也具有波动性-的。
2.1.1波动一粒子两重性矛盾的分析-◆经典波动测是以场量（振幅、相位等）来-描述其运动状态，遵从经典波动 程，波-的能量和动量周期性分布于波所传播的空-间而不是集中在空间一点，即波的能量-动量是空间广延的。波与其 物质体系相-互作用时，可同时与波所在广延空间内的-所有物理体系相互作用，其能量可连续变-化，波满足叠加原理 “非定域”是波动-性运动的特性。
2.1.1波动—粒子两重性矛盾的分析-在经典物理中，粒子和波各为一类宏观体-系的呈现，反映着两类对象，两种 质形-态，其运动特点是不相容的，即具有粒子-性运动的物质不会具有波动性；反之具有-波动◆-综上所述，微观粒子既不是经典的粒子又不-是经典的波，或者说它既是量子概念的 子-又是量子概念的波。其量子概念中的粒子性-表示他们是具有一定的能量、动量和质量等-粒子的属性，但不具有确 的运动轨道，运-动规律不遵从牛顿定律；其量子概念中的波-动性并不是指某个实在物理量在空间的波动：-而是指用 函数的模的平方表示在空间某处-粒子被发现的概率。
量子力学薛定谔方程及理论(2)
分理出变量后，我们很容易给出两个方程解的形式，大大简化 了方程的求解
i - ct df (t ) f (t )满足i =cf (t )，则f (t )可写为f (t )=Ae ， dt
与自由粒子波函数 A e 我们可以知道c=E
所以有 df (t ) i =Ef (t ) dt
2
i ( p r Et )
一维线性谐振子
如果在一维空 间内运动的粒 1 子的势能为 2 ω是常量，则 这种体系就成 线性谐振子
薛定谔方程可写为
V(x) a 0 x
V0
2
x2
d2 1 2 (x)+ 2 x 2 (x)=E (x) 2 dx 2
2
令 =
， =
2E
， = x，则d = dx
d2 则薛定谔方程可写为 2 ( )+ - 2 ( )=0 d
d2 当 时，有 2 ( )- 2 ( )=0 d 2 2 2 其解的形式为 ( )=Ae +Be 2 ， 因为函数有界，所以A 0， ( )=Be 2 ， 2 令 ( )=e 2 H ，对 求二阶导数并化简为 d2 d H( ) H( )-2 + -1 H( )=0 2 d d
2
2
2
(U 0 E ) (x)=0
令 =
2
2
2
(U 0 E )，则 2 (x) 2 (x)=0
则定态方程的解满足以下形式
x =Ae- x +Be x，当x -时，要满足函数的有界性
所以A =0， x =Be x =0 同理，当x +时， x =Ae- x =0
量子力学chapter2-薛定谔方程解析
平面波归一化以后讨论
12
§2 态叠加原理
（一）态叠加原理
微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干 涉和衍射的本质在于波的叠加性，即可相加性， 两个相加波的干涉的结果产生衍射。因此，同 光学中波的叠加原理一样，量子力学中也存在 波叠加原理。因为量子力学中的波，即波函数 决定体系的状态，称波函数为状态波函数，所 以量子力学的波叠加原理称为态叠加原理。
|Ψ(r,t)|2 的意义是代表电子在 t 时刻出现在 r 点附近几率的大小， 确切的说，|Ψ(r,t)|2 Δx Δy Δz 表示在 t 时刻，在 r 点处，体 积元ΔxΔyΔz中找到粒子的概率。波函数在空间某点的强度（振幅绝 对值的平方）和在这点找到粒子的概率成比例，
Ψ(r，t)
概率波
8
（三）波函数的性质
= |C1 Ψ1|2+ |C2Ψ2|2 + [C1*C2Ψ1*Ψ2 + C1C2*Ψ1Ψ2*]
电子穿过狭缝 １出现在Ｐ点
题，以后再予以讨论。
10
（3）归一化波函数
Ψ(r,t )和CΨ(r,t )所描写状态的相对概率是相同的，这
里的 C 是常数。因为在 t 时刻，空间任意两点 r1 和 r2 处找到粒子的相对概率之比是：
2
2
C(r1 , t ) (r1 , t )
C(r2 , t )
(r2 , t )
可见，Ψ(r,t) 和 CΨ(r,t )描述的是同一概率波，所以波函 数有一常数因子不定性。
C = 1/∫∞|Ψ(r,t)|2dτ
这即是要求描写粒子量子 状态的波函数Ψ必须是
绝对值平方可积的函数。
若 ∫∞|Ψ(r,t)|2dτ∞, 则 C0, 这是没有意义的。
除了个别孤立奇点外,波函数单值,有界,连续
12
§2 态叠加原理
（一）态叠加原理
微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干 涉和衍射的本质在于波的叠加性，即可相加性， 两个相加波的干涉的结果产生衍射。因此，同 光学中波的叠加原理一样，量子力学中也存在 波叠加原理。因为量子力学中的波，即波函数 决定体系的状态，称波函数为状态波函数，所 以量子力学的波叠加原理称为态叠加原理。
|Ψ(r,t)|2 的意义是代表电子在 t 时刻出现在 r 点附近几率的大小， 确切的说，|Ψ(r,t)|2 Δx Δy Δz 表示在 t 时刻，在 r 点处，体 积元ΔxΔyΔz中找到粒子的概率。波函数在空间某点的强度（振幅绝 对值的平方）和在这点找到粒子的概率成比例，
Ψ(r，t)
概率波
8
（三）波函数的性质
= |C1 Ψ1|2+ |C2Ψ2|2 + [C1*C2Ψ1*Ψ2 + C1C2*Ψ1Ψ2*]
电子穿过狭缝 １出现在Ｐ点
题，以后再予以讨论。
10
（3）归一化波函数
Ψ(r,t )和CΨ(r,t )所描写状态的相对概率是相同的，这
里的 C 是常数。因为在 t 时刻，空间任意两点 r1 和 r2 处找到粒子的相对概率之比是：
2
2
C(r1 , t ) (r1 , t )
C(r2 , t )
(r2 , t )
可见，Ψ(r,t) 和 CΨ(r,t )描述的是同一概率波，所以波函 数有一常数因子不定性。
C = 1/∫∞|Ψ(r,t)|2dτ
这即是要求描写粒子量子 状态的波函数Ψ必须是
绝对值平方可积的函数。
若 ∫∞|Ψ(r,t)|2dτ∞, 则 C0, 这是没有意义的。
除了个别孤立奇点外,波函数单值,有界,连续
量子力学第二章波函数和薛定谔方程PPT课件
知道了描述微观粒子状态的波函数，就可知道粒子 在空间各点处出现的几率，以后的讨论进一步知道， 波函数给出体系的一切性质，因此说波函数描写体系 的量子状态（简称状态或态） ②波函数一般用复函数表示。
③波函数一般满足连续性、有限性、单值性。
10
3．波函数的归一化条件
令
(r,t)C (r,t)
t 时刻，在空间任意两点 r 和1
对几率是：
处r 2 找到粒子的相
((rr1 2,,tt))2 2C C((rr1 2,,tt))2 2((rr1 2,,tt))2 2
r , t 和 r ,所t 描写状态的相对几率是相同的，
这里的 是常数C 。
11
非相对论量子力学仅研究低能粒子，实物粒子不会产 生与湮灭。这样，对一个粒子而言，它在全空间出现的 几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率具有相对 性，只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不 取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数 后，所描写的粒子状态不变，即:
➢ 2.3 薛定谔方程
The Schrödinger equation
➢ 2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律
The current density of particles and conservation
laws
➢ 2.5 定态薛定谔方程
Time independent Schrödinger equation
8
设粒子状态由波函数 (r ,描t)述，波的强度是
(r,t)2*(r,t)(r,t)
按Born提出的波函数的统计解释,粒子在空间中
某一点 r 处出现的概率与粒子的波函数在该点模的
平方成比例
则微观粒子在t 时刻出现在 r 处体积元dτ内的几
③波函数一般满足连续性、有限性、单值性。
10
3．波函数的归一化条件
令
(r,t)C (r,t)
t 时刻，在空间任意两点 r 和1
对几率是：
处r 2 找到粒子的相
((rr1 2,,tt))2 2C C((rr1 2,,tt))2 2((rr1 2,,tt))2 2
r , t 和 r ,所t 描写状态的相对几率是相同的，
这里的 是常数C 。
11
非相对论量子力学仅研究低能粒子，实物粒子不会产 生与湮灭。这样，对一个粒子而言，它在全空间出现的 几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率具有相对 性，只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不 取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数 后，所描写的粒子状态不变，即:
➢ 2.3 薛定谔方程
The Schrödinger equation
➢ 2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律
The current density of particles and conservation
laws
➢ 2.5 定态薛定谔方程
Time independent Schrödinger equation
8
设粒子状态由波函数 (r ,描t)述，波的强度是
(r,t)2*(r,t)(r,t)
按Born提出的波函数的统计解释,粒子在空间中
某一点 r 处出现的概率与粒子的波函数在该点模的
平方成比例
则微观粒子在t 时刻出现在 r 处体积元dτ内的几
波函数与薛定谔方程
13
直到1926年波恩提出统计诠释，大多数物理学家接受
在已知给定的条件下，不可能精确地预知结果，只能预言某些 可能结果的概率 粒子的运动遵守概率定律，但概率本身还是受因果规律支配的 但争论仍在继续：
哥本哈根学派：玻尔、海森伯坚持波函数的概率或统计解释 认为它表明了自然界的最终实质 爱因斯坦不喜欢量子力学的“不完备性” 上帝不是跟宇宙玩掷骰子游戏
满足归一化条件 d 3r 1 的波函数
16
例
17
例
18
续
19
例
20
薛定谔方程引言
21
16-2 薛定谔方程
量子力学基本原理之二： 微观粒子体系的波函数ψ满足
薛定谔方程.
起源： 1926年薛定谔对德布罗意的工作了漂亮又简
洁的说明,-----德拜听后说“要真正研究波动,必须
有波动方程.” 几个星期后,薛定谔找到了这个方程.
也是这个体系的一个可能态。
c11 c2 2 cn n cn n
c1, c2, cn为任意常数 n
波函数遵从叠加原理由实验证实： 以双缝实验为例
1、子弹通过双缝的射击实验 （经典）
子弹
宏观粒子 可以跟踪
a P1
b
P2
P
P P1 P2概率叠加
H
i
t
如果知道了 U ，可列出微分方程，解得Ψ，即找到 Ψ 随时 间变化的规律。
27
定态薛定谔方程：如果粒子所处的势场 U( r ) 与时间无关(即
不显含时间), 可用分离变量法求解.
令
H i
r, t
t r
f
t
直到1926年波恩提出统计诠释，大多数物理学家接受
在已知给定的条件下，不可能精确地预知结果，只能预言某些 可能结果的概率 粒子的运动遵守概率定律，但概率本身还是受因果规律支配的 但争论仍在继续：
哥本哈根学派：玻尔、海森伯坚持波函数的概率或统计解释 认为它表明了自然界的最终实质 爱因斯坦不喜欢量子力学的“不完备性” 上帝不是跟宇宙玩掷骰子游戏
满足归一化条件 d 3r 1 的波函数
16
例
17
例
18
续
19
例
20
薛定谔方程引言
21
16-2 薛定谔方程
量子力学基本原理之二： 微观粒子体系的波函数ψ满足
薛定谔方程.
起源： 1926年薛定谔对德布罗意的工作了漂亮又简
洁的说明,-----德拜听后说“要真正研究波动,必须
有波动方程.” 几个星期后,薛定谔找到了这个方程.
也是这个体系的一个可能态。
c11 c2 2 cn n cn n
c1, c2, cn为任意常数 n
波函数遵从叠加原理由实验证实： 以双缝实验为例
1、子弹通过双缝的射击实验 （经典）
子弹
宏观粒子 可以跟踪
a P1
b
P2
P
P P1 P2概率叠加
H
i
t
如果知道了 U ，可列出微分方程，解得Ψ，即找到 Ψ 随时 间变化的规律。
27
定态薛定谔方程：如果粒子所处的势场 U( r ) 与时间无关(即
不显含时间), 可用分离变量法求解.
令
H i
r, t
t r
f
t
第2章 波函数与薛定谔方程
二、波函数的统计解释
电子(微观粒子)到底是什么？ 它既不是经典的粒子，也不是经典的波。它是粒子 和波动两重性矛盾的统一。实际上是粒子“颗粒性” (具有一定的质量和电荷等属性的客体，但不与粒
6
子具有确定轨道相对应，这是由于位置和动量不能 同时具有确定的值，即测不准关系，后讲)与波的 “相干叠加性”(呈现干涉、衍射等现象，但不与 某种实在物理量在空间分布的周期性变化相对应) 的统一。
ˆ i p
3 ˆ 则 p * ( r ) p ( r ) d r
20
可表为
ˆ ) p (，p
动量算符
上式表明，动量平均值与波函数的梯度密切相关 （与波数 k 成正比）。 动能T=p2/2m和角动量L=r×p的平均值也可类似 求出。 一般说来，粒子的力学量A的平均值可如下求出
2
A-1/2称为归一化因子。波函数归一化与否，并 不影响几率分布。
12
注意：1）象平面波等一些理想波函数，它 们不能归一化。对此的归一化问题将在后 边介绍； 2）对于归一化的波函数仍有一个模为1的 因子不定性，即相位（phase）不定性。
e i 1
e
i
2
2
13
三、统计解释对波函数提出的要求
3
一、 波动、粒子两重性矛盾的分析
1 把电子看成是物质波包
包括波动力学的创始人薛定谔、德布罗意等人把 电子波理解为电子的某种实际结构，即看成三维 空间中连续分布的某种物质波包，因而呈现出了 干涉、衍射等现象。波包的大小即电子的大小， 波包的群速度即电子运动的速度。按经典自由粒 子能量，并利用德布罗意关系可得
3波函数的统计解释
ψ ′ dτ
2
归一化后波函数
2
ψ=
ψ′
c
=
ψ′
∫
∞
ψ ′ dτ
2
1/ c = 1/ ∫ ψ ′ dτ 称为归一化因子。 称为归一化因子。 ∞
概率密度
w=ψ =
2
ψ′
2 2
∫
∞
ψ ′ dτ
四、波函数的性质
一般是复数（以后证明）， ），不表示任何真实物 1．波函数ψ ( r , t ) 一般是复数（以后证明），不表示任何真实物 2 理量。 处的概率密度。 理量。 ψ 表示 t 时刻粒子出现在 r 处的概率密度。
子弹实验： 子弹实验：
水面波实验： 水面波实验：
光波实验： 光波实验：
电子实验： 电子实验：
双缝实验
通过晶体衍射
光衍射与电子衍射的对比 光栅衍射 电子衍射
I ∝ E 02
I = Nhν ∝ N
I大处 I小处 I=0
到达光子数多 到达光子数少 无光子到达
I ∝| ψ |
2
I∝N
电子到达该处概率大 电子到达该处概率小 电子到达该处概率为零 各电子路径、 各电子路径、终点均不确定
ψ 描写同一状态。 2． 2 (r , t ) = Aψ 1 (r , t ) A 是常数）与 ψ 1 (r , t ) 描写同一状态。 （ 是常数）
都没有归一化， 如果ψ 1 (r , t )和 ψ 2 (r , t ) 都没有归一化，则
w2 (r , t ) =
ψ 2 (r , t )
2
∫ψ
2
(r , t ) dτ
2
=
A ψ 1 (r , t ) 2
2
A
波函数和薛定谔方程
波函数和薛定谔⽅程波函数和薛定谔⽅程⼀、波函数的统计解释、叠加原理和双缝⼲涉实验微观粒⼦具有波粒⼆象性（德布罗意假设）；德布罗意关系（将描述粒⼦和波的物理量联系在⼀起） k n h p h E ====λων物质波（微观粒⼦—实物粒⼦）引⼊波函数（概率波幅）—描述微观粒⼦运动状态对于微观粒⼦来说，如果不考虑“⾃旋”⼀类的“内禀”态，单值波函数是其物理状态的最详尽描述。
⾄少在⽬前量⼦⼒学框架中，我们不能获得⽐波函数更多的物理信息。
微观粒⼦的状态⽤波函数完全描述——量⼦⼒学中的⼀条基本原理该原理包含三⽅⾯内容：粒⼦的状态⽤波函数表⽰、波函数的统计解释和对波函数性质的要求。
要明确“完全”的含义是什么。
按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述体系的量⼦态，若已知单粒⼦（不考虑⾃旋）波函数)(r ψ，则不仅可以确定粒⼦的位置概率分布，⽽且如动量等粒⼦的其它⼒学量的概率分布也均可通过波函数⽽完全确定。
由此可见，只要已知体系的波函数，便可获得该体系的⼀切物理信息。
从这个意义上说，有关体系的全部信息已包含在波函数中，所以说微观粒⼦的状态⽤波函数完全描述。
必须强调指出，波函数给出的有关粒⼦的“信息”本质上是统计性质的。
例如，在适当条件下制备动量为p 的粒⼦，然后测量其空间位置，我们根本⽆法预⾔测量的结果，我们只能知道获得各种可能结果的概率。
很⾃然，⼈们会提出这样的疑问：既然量⼦⼒学只能给出统计结果，那就只需引⼊⼀个概率分布函数（象经典统计⼒学那样），何必假定⼀个复值波函数呢？事实上，引⼊复值波函数的物理基础，乃是量⼦⼒学中的⼜⼀条基本原理——叠加原理。
这条原理告诉我们，两种状态的叠加，绝不是概率相加，数学求和）。
正因如此，在双缝⼲涉实验中，我们才能看见屏上的⼲涉花纹。
实物粒⼦双缝⼲涉实验分析我们⾸先只打开⼀条狭缝，根据粒⼦的波动性，可以预⾔屏上将显⽰波长p / =λ（p 为粒⼦动量）的单缝衍射花纹。
但是，根据粒⼦的微粒性，它们将是⼀个⼀个打上去的，怎样将这两种性质的描述调和起来呢？为此，我们想象将⼊射粒⼦束强度降低，直到只⼀个粒⼦通过狭缝，这时屏上会出现很微弱的衍射花纹吗？当然不会！单个粒⼦只能作为⼀个不可分割的整体打到屏上的⼀个点，从⽽出现⼀个⼩斑点。
第4讲2波函数统计解释态叠加原理
振荡着。拒绝服从经典定律，按与高斯定律截然
不同的波定律分布，呈波样状。
返回
几率进入物理学
• 被晶体发射的电子在照相底片上留下痕迹。这些痕迹形成的分 布曲线，玻恩建议称为德布罗意波。电子波决定电子射中照相 底片上的某点的几率，因此玻恩建议给它取个更恰当的名称－ 几率波。
• 经典物理学中，从未遇到几率这个名称。牛顿公式不能直接应 用于气体分子的运动。
• 状态在经典和量子力学中的解释 • 态迭加原理内容 • 与经典波的叠加原理的区别 • 电子的衍射解释 • 态迭加原理的应用和推论
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状态在经典和量子力学中的解释
• 经典粒子的状态
• 描述：坐标和动量 • 因果律：已知初始的坐标和动量便可知以后任一时刻的。 • 轨道：粒子的轨道运动与其在任时刻确定的坐标和动量
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描述波的函数
• 回顾电子的行为：电子的衍射说明电子波不是由 粒子形成；再回顾玻尔理论遇到的困难—无法解 释电子的跃迁过程(光谱产生的过程)。
• 解决办法：电子的行为用波函数表示。这波函数 的自变量为电子的坐标和时间。因为由该波函数 应该可以得到粒子的状态。
• 定义—复函数(r,t)（波粒二象性） • 例子—自由运动的粒子
• 用几率法则、统计法则描述气体运动，确信深藏在这些法则后 面的是牛顿力学的精确定律。
• 几率法则：不可能设想每一瞬时所有分子都具有相同的速度。 对于一个分子而言的不规则性当应用于大数量分子时则转化为
规则性。
• 统计法则：分子运动不存在不规则性，每一次碰撞，每一个分 子的个别运动都可以用牛顿定律表述出来。
• 与经典的区别：用统计性完全确定这个状态。 • 和经典力学不同，量子力学用一个分布来描写系统的行为，
2.1波函数的统计解释详解
Chapter 2 The wave function and Schrödinger Equation
2.1 波函数的统计解释 The Wave function and its statistic explanation
2.3 薛定谔方程
The Schrödinger equation
2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律
★ 描述自由粒子的波是具有确定能量和动量的平面波
Chapter 2 The wave function and Schrödinger Equation
P (r , t ) Ae
反例:i)自由粒子平 面波,占据整个空间 ii)色散 群速度: 相速度: apter 2 The wave function and Schrödinger Equation
The linear harmonic oscillator
2.8 势垒贯穿
The transmission of potential barrier
2
Chapter 2 The wave function and Schrödinger Equation
§2-1 波函数的统计解释
重点: 微粒的状态由波函数完全描写 难点: 波函数的意义和性质的理解
波粒二象性的正确解释
Chapter 2 The wave function and Schrödinger Equation
1）疏密波的观点（波由粒子组成） 如水波，声波，由物质的分子密度疏密变化而形 成的一种分布。 这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单 个电子衍射实验。 电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长， 底片上仍可呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性 并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象， 单个电子就具有波动性。
波函数的统计解释
波函数的统计解释波函数是量子力学中描述粒子状态的数学函数。
它包含了粒子的可能位置、动量等信息，但并不直接表示物理实体。
波函数的统计解释是指通过波函数计算出的统计规律，用来预测大量粒子的行为。
1.概率解释：波函数的模的平方表示在一些空间点找到粒子的概率。
例如，对于一维运动的粒子，在其中一时刻，波函数的模的平方在一些位置上的积分就给出了粒子在该位置出现的概率。
这一概率解释使得波函数的统计解释与经典物理中的概率概念有了相似之处。
2.叠加解释：波函数的叠加原理使得多个波函数之间可以相互叠加。
这意味着多个波函数所代表的可能状态同时存在，并以一定的概率进行叠加。
这种叠加解释可以用来解释干涉和衍射等现象，这些现象是波粒二象性的体现。
3.线性解释：波函数的时间演化可以通过薛定谔方程进行描述。
根据薛定谔方程，波函数的演化是线性的，即满足叠加率和线性性质。
这一线性解释意味着多个波函数之间可以相互干涉和叠加，形成新的波函数。
4.统计解释：波函数可以用来确定粒子的期望值和方差等统计量。
例如，位置算符对应的期望值可以表示粒子的平均位置，动量算符对应的期望值可以表示粒子的平均动量。
通过对波函数进行数学计算，可以得到这些统计量，并与实验结果进行比较。
5.状态解释：波函数可以表示粒子的状态，包括其位置、动量和自旋等特征。
通过对波函数进行适当的测量，可以得到特定的物理量。
测量过程会导致波函数的坍缩，从而使得粒子的状态变为测量得到的特定值。
这一解释与量子力学的测量原理密切相关。
需要注意的是，波函数的统计解释并不是完美的，它依赖于量子力学中的一些基本假设和数学工具。
例如，波函数的坍缩是一个不可逆的过程，且测量结果具有一定的不确定性。
波函数的统计解释只能给出概率分布等统计规律，而无法提供关于单个粒子行为的具体预测。
总而言之，波函数的统计解释通过描述波函数的数学属性，从而预测大量粒子的行为。
它包括概率解释、叠加解释、线性解释、统计解释和状态解释等多个方面，为我们理解量子力学中的粒子行为提供了重要的物理和数学工具。
1-波函数的统计解释与薛定鄂方程
专题1−波函数的统计诠释在量子力学中，我们用波函数),(t x ψ来描述一个微观粒子的状态，从这个波函数我们可以得到微观粒子的所用信息。
如何从波函数得到微观粒子的信息是量子力学的一个主要内容。
波恩的统计诠释：{}2.(,)baa b x t dx t ψ=⎰在时刻发现粒子处于和之间的几率也就是说，ψψ=ψ*2),(t x 是几率密度，它给出在t 时刻粒子处于x 处单位体积内的几率。
由于波函数的诠释，物理上的波函数必须是归一化1),(2=ψ⎰∞∞-dx t x（或者说是可归一化的，dx t x ⎰∞∞-ψ2),( 积分为有限值）由波函数的统计诠释，波函需要满足标准条件：有限性（不排除在个别点上，ψ和它的微商在保持平方模可积条件下可以趋于无限大。
）；单值性（ψ应该是坐标和时间的单值函数，这样才能使粒子的几率密度在时刻t，坐标x有唯一确定值）；连续性（由于几率密度应当连续，波函数和它的微商也必须连续，不排除微商在势能为无限大处不连续）。
由波函数的统计解释，对处于ψ态的一个粒子，对其坐标多次测量的平均值（期待值）是期待值是对含有相同体系的一个系综中不同体系的重复测量的平均值,而不是对同一个体系的重复测量的平均值。
.测量引起波函数的坍塌存在两类完全不同的物理过程:“正常”类，波函数按薛定鄂方程“从容不迫”的演化，“测量”类，由于测量，波函数突然和不连续的坍塌。
对于坐标这个力学量，由波函数我们可以得出它的信息(几率密度、期待值)，那么其他力学量呢？ 力学量的期待值当粒子处于态),(t x ψ时，对于一个力学量，如果我们还想知道测量这个力学量可以得到那些特定值，得到某个特定值的几率是多少，那么该如何做？波函数的统计解释（广义统计解释）给出。
首先，我们需要知道这个力学量的本征函数。
,n n n F Φ=Φ∧λ ,...3,2,1=n 分立谱本征函数满足正交归一条件（分立谱）nm n mdx δ=ΦΦ⎰∞∞-*将体系的状态波函数ψ用算苻ˆF的本征函数nΦ展开nnncΦ=ψ∑则在ψ态中测量力学量ˆF得到结果为nλ的几率是2n c，在测量后波函数坍塌为nΦ。
量子力学讲义 第二章(2)
•
在讨论了状态或波函数随时间变化的规律后
， 进一步讨论粒子在一定空间区域内出现的概 率将 怎样随时间变化。
设描写粒子状态的波函数是： (r , t ) 在时刻t 在r点周围单位体积内粒子出现的概率（概 2 率密度）： ( r , t ) ( r , t ) ( r , t ) | ( r , t ) | （1）
将（2）代入 （1）式中：
一、定态薛定谔方程
i [ 2 U r ] 2m t
（2）
2
2
（1）
i (r )
d f (t ) f (t )[ 2 U r ] 2 m dt 上式两边除以 ( r ) f (t )
（3）
2 i df 1 [ 2 U r ] f dt 2m
j k 其中 i x y z
（称为动量算符）
（向量算符）
问：p x
?
p x i
x
利用关系式(8)、(9)来建立在力场 中粒子波函数所满足的微分方程。 设粒子在力场中的势能为 U r ，则：
2、薛定谔方程：
三、薛定谔方程
2 p 两边乘以 p U r （10） E E U r 2m r , t 2m 2 E i t 代入上式得 i 2 U r 将 t 2m p i （11）
定态的特点 1）粒子的概率密度和概率流密度
与时间无关 因为
2 Et ( r , t ) ( r )e
t
i 2
一、定态薛定谔方程
2 (r )
显然， 0
2）能量具有确定的值 3）各力学量的平均值不随时间变化
第二章 波函数
波恩对波函数的统计解释: 波恩对波函数的统计解释 : 波函数在空间中某一点的 强度(振幅绝对值的平方)和在该点找到粒子的几率 强度 ( 振幅绝对值的平方 ) 和在该点找到粒子的 几率 成正比.波函数又称为几率波 几率波(Probability wave ). 成正比.波函数又称为几率波 . 按照波函数的统计解释,在粒子的衍射实验中, 按照波函数的统计解释,在粒子的衍射实验中, 衍射图样中衍射极大的地方,粒子投入的几率就大 极大的地方 几率就大, 衍射图样中衍射极大的地方,粒子投入的几率就大, 投射的粒子数也多;衍射极小的地方, 投射的粒子数也多;衍射极小的地方,粒子投射的几 率很小或等于零,粒子数很少或没有,相应地, 率很小或等于零,粒子数很少或没有,相应地,波的 强度很小或等于零. 强度很小或等于零. 人们曾经认为波是有它所描写的粒子组成的. 人们曾经认为波是有它所描写的粒子组成的.这 种看法是不正确的. 种看法是不正确的. 光的衍射现象是由波的干涉产生的. 光的衍射现象是由波的干涉产生的. 如果波是有它所描写的粒子组成, 如果波是有它所描写的粒子组成,则粒子流的衍射 现象应当是由于组成波的这些粒子相互作用而形成的 应当是由于组成波的这些粒子相互作用而形成的. 现象应当是由于组成波的这些粒子相互作用而形成的.
1 ik r ψ k (r ) = e V
(2.14) )
2.2 Superposition Principle (量子力学中的态叠加原理 量子力学中的态叠加原理) 量子力学中的态叠加原理
一,态叠加原理 经典物理中,声波和光波都遵从叠加原理. 经典物理中,声波和光波都遵从叠加原理.量子力学 中也存在一个类似的原理.称为态叠加原理 态叠加原理, 中也存在一个类似的原理.称为态叠加原理,是量子力学 原理的一个基本假设,适用于一切微观粒子的量子态. 原理的一个基本假设,适用于一切微观粒子的量子态.在 双缝实验中, 表示粒子穿过上缝1到达屏 的状态, 到达屏P的状态 Ψ 双缝实验中, 1 表示粒子穿过上缝 到达屏 的状态, 2 用 Ψ 表示粒子穿过下缝2到达屏 的的状态, 到达屏P的的状态 表示粒子穿过下缝 到达屏 的的状态,用 Ψ 表示粒子穿过两狭缝到达屏P的状态 的状态. 表示粒子穿过两狭缝到达屏 的状态.
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2.3 薛定谔方程
经典力学中，决定任一时刻质点的运动方程－牛顿运动方程， 量子力学中，决定微观粒子任一时刻的状态方程－薛定谔方程
14
决定微观粒子任一时刻的状态方程必须满足两个条件： （1）方程是线性的 （2）方程的系数不应包括状态参量。
一、描述自由粒子的状态方程
自由粒子的波函数
i (prEt)
(r, t) Ae
i E
t
2
p2 2
15
利用自由粒子
E p2
2
i 2 2
t 2
二、能量和动量算符
E i t
p i
16
三、薛定谔方程
一般情况下
p2 E U (r)
2
根据能量和动量算符
i 2 2 U (r) t 2
29
En
(n
1 ),
2
n 0,1, 2,...
简谐振子的能谱是等间 隔的, 间距为ħω, 基态能 量不为零, 即零点能量为 ħω/2。
这是微观粒子波粒二象 性的表现，因为“静止 的”波没有意义。
30
厄密多项式
Hn ( )
(1)n e 2
dn
d n
e 2
递推关系
dHn ( d
式中
p (r)
1
(2)3/ 2
e ipr /
c(p, t )
1
(2)3/ 2
(r,
t
)e
i
pr
dxdydz
13
(r, t )
1
(2)3/ 2
c(p,
t
)e
i
pr
dpx
dp
y
dpz
(r, t)和c(p, t)是同一种状态的两种不同的描述方式， (r, t) 是以坐标为自变量的波函数， c(p, t)是以动量为自变量的波 函数。
n
(x
a
)e
i
Ent
a 2a
25
束缚态：本征能 量小于势能，即 E<U0
基态：体系能量最 低的态
本征函数的奇偶性 取决于势能函数
26
2.7 线性谐振子
在自然界中一维谐振子广泛存在，任何体系在平衡位置附 近的小振动，如分子的振动、晶格的振动、原子和表面振动以 及辐射场的振动等都可以分解成若干彼此独立的简谐振动。
归一化条件可表示为：
2
(x, y, z, t) d 1
那么，称为归一化波函数
归一化波函数还可以含有一个相因子 ei
8
量子力学中并不排斥使用一些不能归一的理想波函数，如 描述自由粒子的平面波函数。
(r,t) Aexp[i(k r t)]
例题： 求下面氢原子的1s电子的波函数的归一化系数
量或强度不同的两种波动状态；
而在量子力学中，这两个波函数却描述了同一个量子态。
因为它们所表示的概率分布的相对大小是相同的。
7
在时刻t，点(x, y, z)附近的体积元dV内找到粒子的几率dW可 以表述为：
dW(x, y, z, t) (x, y, z, t) 2 d
几率密度为： w(x, y, z, t) (x, y, z, t) 2
n (x)
1/
2 2n
n!
exp(
1 2
2
x
2
)
H
n
(x)
0(x)
1/2
exp( 1 2 x2 )
2
1(x)
( m / )
2 1/2
x
exp(
1 2
2
x
2
)
32
谐振子波函数的奇偶性
n (x) (1)n n (x)
1 er/a
a3
10
2.2 态叠加原理
一、态叠加原理
经典物理中，声波和光波都遵从叠加原理。 量子力学中的态叠加原理，是量子力学原理的一个基本假设。
c11 c22
c1，c2是复数
含义：当粒子处于态 1 和态 2 的线性叠加态时，粒子既处 在态 1 ，又处在态 2 。
2 c11 c22 2 (c11 c22 )(c11 c22 )
w
1
exp( 2 )d
16%
0
经典允许区
34
n=10时线性谐振子的位置几率分布
35
习题 P52~53 1、3、4、5、7、8
36
5
（4）就强度分布来说，电子的双缝衍射与经典波(如声波)的 双缝衍射是相似的，而与机枪子弹的分布完全不同．这种现象 应怎样理解呢?
在底板上点r附近衍射花样的强度
在点r附近感光电子的数目 在点r附近出现的电子的数目 电子出现在点r附近的几率．
（5）波恩提出的波函数统计诠释：波函数在空间某点的强度 （振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成比例。
c11 2 c12 2 c1c212 c1c212
11
如果波函数ψ1(r, t)，ψ2(r,t), …都是描述系统的可能的量子态， 那么它的线性叠加
c11 c2 2 ... cn n cn n
n
也是这个体系的一个可能的量子态， c1，c2, …一般也是复数。
w J 0 t
V
w t
d
SJ dS
统计诠释对波函数提出的要求： 波函数必须是有限的、连续的和单值的
2.5 定态薛定谔方程
我们讨论力场中的势能U(r)与时间无关的情况
19
i 2 2 U (r) t 2
考虑一种特解 (r,t) (r) f (t)
下面着重讨论一下基态
经典力学，对于能量E0= ħω/2的谐振子，粒子将限制在 x 1
范围内运动
对于量子力学，粒子将有一定的几率处于经典允许区之外，对于
基态，该几率为
w
1 0 (x) dx
0 0 (x) dx
33
0(x)
1/2
exp(
1 2x2)
2
exp( 2 )d
第二章 波函数和薛定谔方程
2.1 波函数的统计诠释
2.2 态叠加原理
2.3 薛定谔方程
2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律
2.5 定态薛定谔方程
2.6 一维无限深势阱
2.7 线性谐振子
1
2.1 波函数的统计诠释
1、如何解释一个波所描述的一个粒子的行为？
（1）平面波可以用来描述自由粒子。 Aei(krt )
质量为m、频率为ω的振子的哈密顿量可表示为
H px2 1 m 2 x2
2m 2
定态薛定谔方程
2 2m
d2 dx2
(x)
1 2
m 2 x2
(x)
E
(x)
27
令
m x x, m
d 2 d 2
( 2 )
0
2E
首先考虑方程的渐近解
2
本征方程
Hˆ E
当体系处于能量本征态时，粒子的能量有确定值E 21
以En表示体系能量算符的第n个本征值， n是与En相应的波 函数，则体系的第n个定态波函数为
iEnt
n (r,t) n (r)e
iEnt
(r,t) cnn (r)e
n
22
2.6 一维无限深势阱
利用波函数在边界处连续，
(a) (a) 0
体系的能量
E
22
8ma 2
n2,
n 1, 2, 3, ...
24
相应的归一化的波函数为
n
1 a
sin n
2a
(x a),
0,
xa x a
定态波函数为
n (x,t)
e
i
Ent
n
1
sin
（2） 如果粒子受随时间或位置变化的力场的作用，可以用一 个函数来描写粒子的波，称为波函数。
（3）人们曾经错误地认为波是由它所描写的粒子组成的。
若粒子流的衍射现象是由于组成波的这些粒子相互作
用而形成的，衍射图样应该与粒子流强度有关，但实
验证明它们两者却无关。
2
2、波函数统计诠释
（1）机枪子弹的“双缝衍射”
在一维空间运动的粒子，其势场满足
U
(
x)
0
x a
x a
（1）阱外（xa, x -a）
因为势壁无限高，粒子不能穿透阱壁，按照波函数的统计解 释，在阱壁和阱外粒子的波函数为零。
0, x a 23
（2）阱内（a> x > -a）
2 2m2 x 2源自Ei df 1 [ 2 2 U (r) ] 常数＝E f dt 2
(r,t) (r) exp(i Et)
E是体系处在这个波函数所描写的状态时的能量。
定态与定态波函数
20
定态薛定谔方程
2
2
2
U (r)
E
哈密顿算符
Hˆ 2 2 U (r)
二、平面波的叠加
一个以确定动量p运动的状态可以用下列波函数表示
i (Etpr)
p (r,t) Ne
12