泛函分析考试题

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北邮研究生泛函分析 - 加强版 - 最终稿--2016修改

泛函分析基础(2015年加强版) ,设(,d x]0,1为闭区间]0,1上赋予度量]为定义在3的哪些子集构成3的线性子空间【[0,2],Cπ【为赋范空间,,,n nx Xαα∈[0,1]上的∞和1不为等价范数∞中除有限个坐标之外均为.p【19】.X '∈【190E 是X 的真闭子空间.y X ∈【23固定,考虑3的线性子空间}33:0x =为赋范空间,M 为X 的线性子空间】为赋范空间*,.f X ∈【31】Banach 空间Y 为赋范空间为一系列有界线性算子【1,【34】】存在唯一的[0,1],x C ∈,<∞-∞<},n e 为和{:n f n ≥的子空间,,M N ⊥是线性子空间并对于∞中只有有限多个零项的序列构成的子空间,,n x 是赋范空间(,)B xε≠∈使得M,=根据下确界的重要条件，得0inf{d. (略)n n a t .对于n n na t -+2n n b t nb t -++)()g t -<是一个有理数,且().t{()|s f t s 中任何两个不同元素之间的距离均为且有不可数多个.,则这些不相交的小球每一个必含有,,n n x y ∃∈).→+∞②2中元素e 1,0,1,0,.n⎫-⎪⎭{|n e n =≥,0,).下面证明M 是有界闭集但不是紧集.2(,0)1,n d e =<故M 是有界集有2(,)n m d e e ⎛= 2时,则必有0,0,N ∃>当.M .,)d 是完备的的闭子集定义映射,T Tx =,)|Tx Ty Tx =3的哪些子集构成3的线性子空间3).2,x =且3x 11x =+的0≥且2x ≤},1,2.i =)1,0,y M ∈,,1,2,3i =2,1,M α=}:,[,].n n i a t a t a b +∈∈容易验证在通常多项式的加法和与实数的乘法运算下有()(p t p t α且易验证加法与数乘满足线性空间的八个条件},n t 线性无关},n t 是X 的不是Y 的线性子空间∈K ,有()p t α为赋范空间,,n n x y ,y α→→∞和1不为等价范数110|()|max t x t dt ∈=≤⎰⎰使得()[0,1],x t C ∀∈[0,1],C 使得nx ∞>∞中除有限个坐标之外均为不为Banach ∞的线性子空间.1111,,,,,0,0,.23n⎫⎪⎭则()n x ∈})n 是一个Cauchy 列.,n >则()()1110,,0,,,,,0,,12n m x x n n m⎛⎫-= ⎪++⎝⎭10(,).1n m n =→→+∞+故{}()n x 是Cauchy 111,,,,12n n n ⎫⎪++⎭,则()()11sup 0(1n n k k k x x x x n n ≥-=-=→+),n →+∞但x M ∉,故M 不完备.}}:lim 0n n x ∞→∞∈=,由例1.3.6知0C)10,,,,,n n x x C +∈存在),,,0,0,,n x M ∈()11sup sup n k k k k k n x x x ≥≥+-=→时).中稠密.故0C 是M 的完备化空间上定义线性泛函(=(),[1,1].f x x t dt x C ∈-） sup ()sup 212n n f x n ∈∈=- ⎪⎝⎭()x t ⇔在(1,0)-上符号相同且},n e 为,1,i j n ≤≤唯一确定,,n α∈K ,n β∈K 1111n n n nx e e y e e αααββ=++=++,11,,,nni ii i i j i i ij i j ee e βαβαβγ===∑∑∑00,x ⇔=),,n α∈K 12212222120,n n n n n nn n γγαγγγα⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪≥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭①满足①式,则由11nni i ij i j αβγ==∑∑所定义的映射是一个内积Hilbert 空间为H 的闭线性子空间.求证:M 为H[1,1]odd C -[1,1],even C ∈-Hilbert 空间{sup,x y =,,n k 有0,=即j e ),j j x e e e 固定,考虑3的线性子空间}33:0Z x =上的线性泛函2311(,)f x x x a x =到3上的所有保范延拓的有界线性泛函.3中定义范数1x x =首先证{12max ,f a a =因为对12(,,0)x x Z ∀∈∈又若取(sgn x =3,定义F ,Z 有()F x }时,有F故,此时F 是f 到3上的保范延拓.32★4-4.设X 为赋范空间,M 为X 的线性子空间,0.x X ∈ 求证0x M ∈当且仅当任取,0,Mf X f'∈=都有0()0.f x ="":⇒若0,x M ∈则{},n x M ∃⊂且0().n x x n →→∞ 因,f X '∈且0,Mf=则()()0()lim lim 0.n n n n f x f x x →∞→∞===""⇐:反证法.若0,x M ∉因为M 是闭集,故()0,0.x M d ρ=> 则根据定理4.1.7,则,f X '∃∈使得01,0,()0Mf ff x d ===>，与条件矛盾. 34●4-17.设X 为Banach 空间,Y 为赋范空间,(,)n T B X Y ∈为一系列有界线性算子,设任取{},n x X T x ∈都是Y 中的Cauchy 列,求证:存在常数0,C ≥使得任取1,.n n T C ≥≤35 ●4-18.在上题中又设Y 为Banach 空间,求证:存在(,),T B X Y ∈使得任取,,n x X T x Tx ∈→且1sup .n n T T ≥≤因为{}n T x 是Y 中的Cauchy 列,则{}n T x 是有界集,即,x X ∀∈有sup .n n T x ∈<+∞因为X 是Banach 空间,故由一致有界原则有sup ,n n T ∈<+∞即0,c ∃>使得对,n ∀有.n T c ≤若Y 完备,则,Tx Y ∃∈使得n T x Tx →(参考定理2.4.5的证明), 且lim lim sup ,n n n n n n Tx T x T x T x →∞→∞∈==≤⋅故sup .n n T T ∈≤36★4-20.设X 为赋范空间,,,n n x x X x ∈⇀.x 求证:{:1}.n x span x n ∈≥ 若n x ⇀x ,则,f X '∀∈有()().n f x f x →若{}:1,n x span x n ∉≥则{}(),:10.n d x span x n d ≥=> 根据定理4.1.7知,存在{}:1,1,0,n span x n f X f f≥'∈==且()0f x d =>与()()n f x f x →相矛盾.1,级数1n ≥∑.∞)1,,,n x ∈定义1()nn i i i f x y x ==∑是定义在1上的线性泛函且1max n f ≤=1,级数1n n n y x +∞=∑收敛,故lim n →∞1,都有sup (n n f x ∈根据一致有界原则,得sup ,n n f ∈<+∞即1sup max sup .i n i nn y y ≤≤∈∈=<+∞∞中只有有限多个零项的序列构成的子空间)()1,,,,,,,n n x y y y →=式中k y =并计算;T 逆算子定理矛盾?21∞有Tx (1,1,,1,)x =(全为1),111,,,,,2Tx n ⎛⎫= ⎪⎝⎭且1,1,x Tx == 1sup 1,x Tx Tx >=≥=故 1.T =()()1121212:,,,,,2,,,,,,k k k k T y y y y x y y ky ky ky -++=→= 111,1,,1,,,,k k y k k ⎛⎫ ⎪= ⎪⎝⎭项故,k y X ∈且()11,2,,,1,1,,k T y k X -=∈ 11,(),k k k y x T y k k -===→+∞→+∞故1T -无界.这与开映射定理不矛盾,因为X 不完备.取1010,0,,0,,,n n x X n -⎛⎫ ⎪=∈ ⎪⎝⎭个因为110,(,),n m x n m n m =-→→∞所以但是当n →∞时,有(0,0,,0,),n x X →∉故。

泛函分析考试题集与答案

以及若
d1(x,y) min( d(x,y),1) 0或d2(x,y)
均有d(x,y)0成立，于是x y成立
2)d(y,x) d(x,y)，
因此d1(y,x) min(d(y,x),1) min( d(x,y),1) d1(x, y)和d2(y,x)d(y,x) d(x, y)d2(x,y)
21 d(y,x) 1 d(x, y)2
若R是赋范空间，d(x,0) ||x|| |x|p，所以x,k R，必须有：||kx|||k|||x||成立，即|kx|p|k ||x|p，p1，当p1时，若R是度量空间，p1时，若R是赋范空间。
2．若( X , d)是度量空间，则d1min( d ,1)，d2d也是使X成为度量空间。
1 21 d
映射
T:
c*0l1,
f
(f(e1), f(e2), ,
f (en),
) (1,2, ,n, )
使得
x
(x1, x2, ,xn,
) c0，
有f ( x)xi i成立
i1
则T线性保距同构映射，因此c*0l1
9．设H是Hilbert空间，xn是H中正交集，则以下三条等价；
1)xn收敛，2)y H，(xn,y)收敛，3)||xn||2收敛
1取S1O(0, ) X，则T在S1上无界，因此x1S1，
使得||Tx1||1成立。
1
取S2O(0,2) X，则T在S2上无界，因此x2S2，
22
使得||Tx2||2成立。
类似地过程一直进行，直到
1
取SnO(0,n) X，则T在Sn上无界，因此xnSn，2n
使得||Txn||n成立。
因此，xnX，使得xn0，但||Txn||

实变函数与泛函分析考试内容及答案

14、建立下面集合之间的具体双射 1）（-1,1）与[-1,1] 2)实数轴和全体无理数3）R 3中除去一点的单位球面与全平面R 24）平面中的开圆盘{（x,y ）:x 2+y 2<1}与闭圆盘{（x,y ）:x 2+y 2≤1}解：（1）、从（-1,1）与[-1,1]分别取出两个数集A={r 1,r 2,r 3,……，r n }与B={-1,1，r 1，r 2，……，r n-2}则A 、B 之间可定义以下双射：Ф(r 1)=-1, Ф(r 2)=1, Ф(r n )=r n (n>2)然后定义Ф：(-1,1)︱A →[-1,1]︱B x →x 得Ф（-1,1）→[-1,1]是所求双射（2）、从R 与R\Q 中分别取出两个可数集A=Q ∪B 与B=2，则A 与B 之间可定义如下双射：Ф2然后定义：Ф：R|A →(R\Q)|B x →x得：Ф：R →R\Q 是实数轴与全体无理数之间的双射。

(3)、假设单位球面上除去P 点按以下步骤建立双射： i)球心为O P 点关于O 点对称的点为球内的点Q 以Q 为切点作一个切面R 2以O 为原点作一直角坐标系ii ）过切点Q 连接PQ iii ）连接P 点与球面上异于P 点的任一点M 并延长，点肯定交R 2与一点记为M ’ 这就建立了R 3中除去一点的单位球面与全平面R 2之间的双射。

(4)、首先两个同心圆周之上的点之间可建立一一对应：做圆周集合子列 A n ={(x,y):x 2+y 2=12n } n ∈N 则令E 1=n-2∞A n ⊂{(x,y):x 2+y 2<1}E 2=n-1∞ A n ⊂{(x,y):x 2+y 2≤1}且 E 1~E 2 又{(x,y):x 2+y 2<1}| E 1={(x,y):x 2+y 2≤1}|E 2 ，令B 1=(x,y):x 2+y 2<1}B 2={(x,y):x 2+y 2≤1}则 B 2=(B 1|E 1) E 2 令 Ф((x,y))= （x 1,y 1）若（x,,y ）∈B 1|E 1或（x 2,y 2）若（x,y ）∈E 2 由此得：Ф是B 1到B 2的双射。

泛函分析答案(张恭庆)

k1
. 于是
x M , 设 a 为空间 X 的一个固定元. 我们有
x, a
x, xk
xk, a
1
max
1kn
xk, a ,
即 M 是有界的.
下面说明 ek k 1 有界但不完全有界. 首先, 对
k , 2 ek,
1 , 其中
0, 0, , 0, .
由此可见 ek k 1 有界. 再注意到
ei ej 0, 0, , 1, 0,
1.3.1 在度量空间中求证；为了子集 A 是列紧的，其充分
且必要条件是对
0 存在 A 的列紧的网．
证明必要性显然,只证充分性.
0, 设 N 是 A
的列紧的 2 网;
N0 是 N 的有限 2 网, 则有
x A,
N, x,
2
N, x
,
,x
2
x, x
x,
,x
2
2
.
N0 是 A 的有限网.
1.3.2 给定距离空间 X, ,设 M
2 a
n
fn
2 b
ba
.
1.4.6 设 X 1, X 2 是两个线性赋范空间，定义
X
X1 X2
x1, x2 | x1
X1, x2
X2 称
为 X1 与 X2 的 Decard笛卡尔空间. 规定线性运算如下：
x1, x2
y1, y2
x1
y1, x2
y2
5
,
K, x1, y1
X1, x2, y2
X 2 ，并赋以范数
0
inf f tn
0,
n1
0
0, 1 .
1.3.3 在度量空间中求证：完全有界的集合是有界的, 并且通过考虑

泛函分析考试题型及答案

泛函分析考试题型及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 设函数空间E为所有连续函数的集合，定义泛函F(u)=∫₀¹u(x)dx，则F(u)是线性的。

A. 正确B. 错误答案：A2. 每一个线性泛函都可以表示为一个内积。

A. 正确B. 错误答案：B3. 泛函分析中的“泛函”一词指的是函数的函数。

A. 正确B. 错误答案：A4. 弱收敛和强收敛是等价的。

A. 正确B. 错误答案：B5. 紧算子总是有界算子。

A. 正确B. 错误答案：A6. 每一个闭算子都是有界的。

A. 正确B. 错误答案：B7. 每一个有界线性算子都是紧算子。

A. 正确B. 错误答案：B8. 每一个线性泛函都可以用Riesz表示定理表示。

A. 正确B. 错误答案：A9. 每一个线性算子都可以分解为一个紧算子和一个有界算子的和。

A. 正确B. 错误答案：B10. 每一个线性算子都可以分解为一个有界算子和一个紧算子的和。

A. 正确B. 错误答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 设X是赋范线性空间，如果对于X中的每一个序列{x_n}，都有‖x_n‖→0当且仅当x_n→0，则称X是______空间。

答案：完备2. 设T是线性算子，如果T(X)是X的闭子空间，则称T是______算子。

答案：闭3. 设E是Hilbert空间，如果对于每一个x∈E，都有∥Tx∥≥∥x∥，则称T是______算子。

答案：正4. 设E是Banach空间，如果对于每一个序列{x_n}⊂E，都有∑‖x_n‖<∞当且仅当∑x_n收敛，则称E是______空间。

答案：自反5. 设E是线性空间，如果对于每一个序列{x_n}⊂E，都有∑x_n收敛当且仅当∑‖x_n‖<∞，则称E是______空间。

答案：序列完备三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述Hahn-Banach定理的内容。

答案：Hahn-Banach定理指出，如果X是一个赋范线性空间，p是X 的一个线性子空间，f是p上的一个线性泛函，并且存在一个常数M使得对于所有x∈p，有|f(x)|≤M‖x‖，则存在X上的一个线性泛函F，使得F|p=f，并且对于所有x∈X，有|F(x)|≤M‖x‖。

2015南京大学考博真题泛函分析

f ( x ) g ( x )dx M

g ( x ) dx q ，
q

1
1 1 1 ，证明 f Lp () 并且 ‖f‖ M. Lp ( ) p q
第1页
试题编号
共 2 页
5．（15 分）设 X 为紧的度量空间，证明在 X 上存在 Borel 测度使得对 X 上的任何非负连续函数 f ，并且 f 0 ，有
Ax, x x ，
其中 , 表示 H 中的内积，证明对任何 y H ，方程
2
Ax y
有唯一的解. 4．（15 分）设为 n 中的有界开集， f 为上的 Lebesgue 可测函数，并且存在 M 0 ，使得对上的任何有界连续函数 g ，有

其中 1 q ，

X
f d 0 .
6．（15 分）设 (, , ) 为正测度空间，如果存在一列可测子集 {En } 使得当 n m 时，
En Em ，并且 0 ( En ) ，证明 Banach 空间 L1 (, ) 不是自反的.
第2页
p

证明：⑴ f Lp (, ) ； ⑵ lim
p
x | f n ( x )| M
f n ( x ) dx .
p
n

f n ( x ) f ( x ) d 0 .
3．（20 分）设 H 为 Hilbert 空间， A : H H 为有界线性算子，并且存在 0 使得对任何 x H ，有

2．（20 分）设 (, ) 为正测度空间， () ，再设 { f n } L (, ), 1 p ，满足如下条件：（i）存在上的可测函数 f 使得 { f n } 在上几乎处处收敛于 f ；（ii）对任意 0 ，存在 M 0 ，使得对任何 n 有

(完整)泛函分析知识总结,推荐文档

泛函分析知识总结与举例、应用学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。

本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。

一、度量空间和赋范线性空间（一）度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧氏空间n R （有限维空间）的推广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。

1．度量定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ⇔ x=y （非负性）2°d(x,y)= d(y,x) （对称性）3°对∀z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式）则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space )。

（这个定义是证明度量空间常用的方法）注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称为度量。

这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。

⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。

⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。

为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。

⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，而称“度量空间X ” 。

泛函分析—空间理论_西北大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年

泛函分析—空间理论_西北大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.在实数空间R中, 令Q为有理数全体. 以下选项中, 与“Q在R中稠密" 等价的是( ).参考答案:_2.设A、B是线性空间X的子空间，当它们满足（）时，X为A与B的直和.参考答案:_3.以下关于线性空间中凸集的描述，正确的是（）.参考答案:有限个凸集的交集仍是凸集_任意多个凸集的交集是凸集4.设X是Banach空间, 则以下命题中正确的是( ).参考答案:X的完备化空间是它自己_X的闭子空间是Banach空间_X中的任一绝对收敛的级数必收敛5.在通常的范数意义下, 以下赋范空间是Banach空间的是( ).参考答案:__6.Banach空间必为Hibert空间, 但反之不成立.参考答案:错误7.在不可数集X上定义离散距离d, 则距离空间(X,d)是不可分的.参考答案:正确8.任何两个同维数的有限维赋范空间所满足的以下关系中，不正确的是（）.参考答案:内积同构9.具有Schauder基的赋范空间一定是可分的.参考答案:正确10.赋范空间的真子空间一定不是闭子空间，可能是开子空间.参考答案:错误11.Banach空间指的是（）.参考答案:完备的赋范空间_一个赋范空间，其诱导的距离空间是完备的.12.在连续函数空间中，以下说法正确的是（）.参考答案:柯西列一定是收敛列_收敛列一定是柯西列13.设M, N是内积空间的两个非空开集, 若【图片】则【图片】参考答案:错误14.以下选项中，不可分的距离空间为（）.参考答案:有界数列空间15.距离空间中的非空开集一定包含一个( ).参考答案:接触点_闭球_开球_内点16.非空开集一定是开球.参考答案:错误17.设【图片】与【图片】为线性空间X上的两个等价范数，则赋范空间【图片】与【图片】具有相同的可分性.参考答案:正确18.距离空间中的非空开集一定包含一个（）.参考答案:接触点_闭球_内点_开球19.连续函数空间中点列的按距离收敛等价于函数列的（）.参考答案:一致收敛20.在赋范空间中，向量列的依范数收敛等价于向量列按范数诱导的距离收敛.参考答案:正确21.在实数空间中, 完全有界集与有界集是等价的.参考答案:正确22.一切无限维Hilbert空间都与【图片】内积同构.参考答案:错误23.内积空间的正交基一定是正交系，反之不成立.参考答案:正确24.设E是Hilbert空间H的子空间，则以下结论中正确的是（）.参考答案:___25.在赋范空间中，（）是凸集.参考答案:单位开球_子空间_单位闭球26.记P[0,1]为[0,1]的实系数多项式全体, 按照范数【图片】成为赋范空间. 则以下结论正确的是（）.参考答案:赋范空间P[0,1]不是Banach空间_P[0,1]是C[0,1]的子空间27.设E是赋范空间X的子空间。

(完整word版)泛函分析试题A及答案

莆期末考试一试卷（A）卷2010—— 2011 学年第1学期课程名称：泛函剖析合用年级 / 专业07数学试卷类型：开卷（√）闭卷（）学历层次：本科考试用时：120 分钟《考生注意：答案要所有抄到答题纸上，做在试卷上不给分》．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．一、填空题（每题 3 分，共 15 分）%是胸怀空间， T 是 X 到 Y 中的映照，x0X ,1. 设 X = ( X , d)， Y = (Y, d)假如 _________________________________________________则,称 T 在x0连续。

2.设 X 和 Y 是两个赋范线性空间， T 是 X 到 Y 中的线性算子，假如 _______________, 则称 T 是 X 到 Y 中的无界限性算子。

3.设 X 是赋范线性空间，称为 X 的 Hilbert 空间。

4.设 M 是 Hilbert 空间 X 中的规范正交系，若___________________________________则称 M 是 X 中的完整规范正交系。

5.设 X 是赋范线性空间， X 是 X 的共轭空间，泛函列 f n X (n1,2,L ) ，假如则,称点列 f n弱*收敛于f。

二、计算题（ 20 分）表达 l1空间的定义，并求 l 1上连续线性泛函全体所成的空间？。

三、证明题（共65 分）1 、（ 14分）设 C[0,1] 表示闭区间 [0,1] 上连续函数全体，对任何 x, y C[0,1]，令d ( x, y)1y(t ) | dt , 证明 ( x, d ) 成为胸怀空间。

| x(t)n2、（12 分）证明R n按范数|| x || max |i|构成的赋范线性空间X与R n按范数|| x ||| i |i i1试卷第 1 页共 2 页构成的赋范线性空间Y 共轭。

3、（ 15 分）设X是可分Banach空间，M是X中的有界集，证明M中每个点列含有一个弱 * 收敛子列4、（ 12 分）设H是内积空间，M为H的子集，证明M在H中的正交补是H中的闭线性子空间。

2010级研究生泛函分析考试题

2010级研究生《现代分析》综合作业1. LetH be a Hilbert space, 1{}n n h ∞=⊂Hsuch that1n n h ∞=<∞∑. Prove that: theseries1nn h ∞=∑ is convergent.2. Let H be a Hilbert space, 1{}()n n T B ∞=⊂H , ))((0H ∈∀∞→→x n x T n . Show that: )(0H B K ∈∀，0n T K →.3. Let H be a Hilbert space. If ()A B ∈H commutes with every )(0H B K ∈,prove that: ,A I λ= where λ∈C .4. Let H be a Hilbert space, H ∈y x ,. Prove thatx y x y x y λ+=+⇔=, or ,y x μ=for some ,0λμ≥.5. Let X Y , be Banach spaces and ()A B ∈X,Y . Prove that: there exists aconstant 0c > with ()Ax c x x ≥∀∈X if and only if ker {0}A = andran ran A A =.6. Let f be a linear functional on a normed linear space X . Show that f iscontinuous if and only if ker()f is closed.7. Suppose that ()V B ∈H is an isometry which is not a unitary operator. Show that ：(){:1}V z z σ=∈≤C .8. Let ,X Y be normed spaces, ()T B ∈X,Y and one of ,X Y is finitedimensional. Show that: T is compact.9. Let ()A B ∈H be a normal operator such that inf{:,1}:0Ax x x a ∈==>H .Show that A is invertible and 11A a --=.10. Let H be a Hilbert space, H M ≤. Prove that ⊥=-M M P P I .11. Let V be an inner product space over F and )(,||||V x x x x ∈∀〉〈=. Showthat(1) V y x ∈∀,, we have()2222||||||||2||||||||y x y x y x +=-++.(2) If )(,,,N ∈∈n V y x y x n n with )(,∞→→→n y y x x n n , then〉〈=〉〈∞→y x y x n n n ,,lim .12. Let ||)||,(⋅V be a normed linear space over F . Show that(1) the norm is continuous, that is,)(||||||||)(∞→→⇒∞→→n x x n x x n n ；(2) the addition is continuous, that is,)()(,∞→+→+⇒∞→→→n y x y x n y y x x n n n n .13. Prove that a normed space X over F is complete if and only if⇒∞<⊂∑∞=1,}{n n n x X x ∑∞=1n nx converges.14. Define R →],[:b a C f as ⎰=b att x x f d )()(. Prove that f is a bounded linearfunctional on )],,[(∞⋅b a C with a b f -=.15. Let Y X , be Banach spaces over F with 0≠X . Prove that ),(Y X B is complete if and only Y is complete.16. Let ),(00K H B T ∈. Show that ),(00*H K B T ∈ and)(ran dim )(ran dim *T T =.17. Let H be a Hilbert space, )(,,H H C B A ∈ such that**,,CC B B iC B A ==+=. Show that iA A C A AB 2,2**-=+=.18. Let 22:l l S → be given by ),,,0(),,(2121 x x x x S =. Prove that )(2l B S ∈ and find *S ,**,SS S S .19. Suppose that H is a Hilbert space over C with a basis },,,,{21 n e e e ,C⊂∞=1}{n n a such that ∞<=≥||sup :1n n a M . Definenn n n n n n e c a e c A ∞=∞=∑=∑11, H e c n n n ∈∑∀∞=1.Prove that(1) H H A →: is well-defined and linear. (2) H H A →: is bounded with M A =.(3) H H A →: is compact if and only if )(0∞→→n a n .20. Let H be a Hilbert space, )(,H H B A ∈ and let H H H H B A ⊕→⊕⊕: be given byH y x By Ax y x B A ∈∀=⊕,),,(),)((. Prove that )(H H B B A ⊕∈⊕ with },max{B A B A =⊕.。

华南师范大学2012级研究生泛函分析期末考试试题参考解答

15华南师范大学2012级研究生泛函分析期末考试试题参考解答1.(10分)设1ăpă8,定义算子T为T(x1,¨¨¨,x k,¨¨¨)=(0,12x1,23x2,¨¨¨,kk+1x k,¨¨¨), @x=(x1,¨¨¨,x k,¨¨¨)Pℓp.证明:算子T:ℓpÑℓp是有界线性算子,求T的共轭算子T˚.解.(1)由}T x}=(8ÿk=1ˇˇˇˇkk+1x kˇˇˇˇp)1pď(8ÿk=1|x k|p)1p=}x}知T是有界线性算子.(2)(ℓp)˚=ℓq,其中1p+1q=1.对@x Pℓp,y Pℓq,⟨x,T y⟩=⟨(x1,x2,x3,¨¨¨,x k,¨¨¨,(0,12y1,23y2,¨¨¨,k´1ky k´1,¨¨¨)⟩=x2¨12y1+x3¨23y2+¨¨¨+x k¨k´1ky k´1+¨¨¨=12x2¨y1+23x3¨y2+¨¨¨+k´1kx k¨y k´1+¨¨¨=⟨(12x2,23x3,¨¨¨,k´1kx k,¨¨¨),y⟩=⟨T˚x,y⟩.故T˚x=(12x2,23x3,¨¨¨,k´1kx k,¨¨¨),@x Pℓp.■2.(15分)定义算子T:C[0,1]ÑC[0,1]为(T x)(t)=ż1x(s)1+std s,@x(t)P C[0,1].试证:T是有界线性算子,并求算子范数}T}.证明T将C[0,1]中的有界集映成C[0,1]中的列紧集.解.(1)由}T x }=max 0ďt ď1|(T x )(t )|=max 0ďt ď1ˇˇˇˇż10x (s )1+std s ˇˇˇˇďmax 0ďs ď1|x (s )|¨max 0ďt ď1ż1011+std s =}x }¨max "1,sup 0ăt ď11t żt011+ud u*=}x }¨max "1,sup0ăt ď1ln (1+t )t *=}x }即知T 是有界线性算子,且}T }ď1.进一步,}T }ěmax 0ďt ď1}(T x n )(t )}x n (t )=$’&’%nt,0ďt ď1n 1,1n ďt ď1=max 0ďt ď1ˇˇˇˇˇż1n 0ns 1+st d s +ż11n11+st d s ˇˇˇˇˇ=max 0ďt ď1t +t ln n (1+t )n +t ´n ln n +tnt 2ět +t ln n (1+t )n +t ´n ln n +tnt 2,@0ăt ď1.令n Ñ8得}T }ěln (1+t )t,@0ăt ď1.再令t Ñ0+得}T }ě1.这就证明了}T }=1.(2)设A 是C [0,1]中的有界集,则D M ą0,s .t .@x P A,}x }ďM.由第1步知@x P A,}T x }ď}x }ďM.而T (A )一致有界.又由|(T x )(t )´(T x )(t 1)|=ˇˇˇˇż10x (s )[11+st ´11+st 1]d s ˇˇˇˇď}x }ż10s |t ´t 1|(1+st )(1+st 1)d s ďM |t ´t 1|ż1s d s =M2|t ´t 1|知@εą0,D δ=2εMą0,s .t .@t,t 1P [0,1]:|t ´t 1|ăδ,@x P A,|(T x )(t )´(T x )(t 1)|ăε.故T (A )等度连续.据Ascoli-Arzela 定理即知T (A )是列紧集.■3.(15分)设X 是线性赋范空间,x 和y 是X 中两个线性无关的元,证明:存在f,g P X ˚,使得f (x )=1,f (y )=0,g (x )=0,g (y )=1;进而证明:如果z P X 满足:对于h P X ˚,只要h (z )=0必有h (x )=h (y )=0,则存在常数a 和b ,使得z =ax +by .解.(1)设Y =span t x,y u ,定义Y 上的有界线性泛函f 1(αx +βy )=α.由Hahn-Banach 定理,f 1可保范延拓为f P X ˚.此f 就满足f (x )=1,f (y )=0.同理可得到满足题意的g .(2)用反证法证明D a,b P F ,s .t .z =ax +by ôz P Y.若z R Y ,考虑W =t w =y +αz ;y P Y,αP F u及W 上的有界线性泛函f 1(w )=α,@αP W.由Hahn-Banach 定理,f 1可保范延拓为f P X ˚.于是f (x )=f (y )=0,f (z )=1.与题设矛盾.故有结论.■4.(15分)设(H,(¨,¨))是实Hilbert 空间,M 是H 的非空子集,证明:M KK =span M,M KKK =M K .解.(1)@x P M,@y P M K ,⟨x,y ⟩=0ñM ĂM KK ñspan M ĂM KK (MKK是子空间)ñspan M ĂMKK(M KK是闭的).往用反证法证明span M =M KK .若span M ĹM KK ,则由正交分解定理,D 0‰x P M KK ,s .t .x K span M ñ#x P M KK X span M K=M KK X M K =t 0u x ‰0ñ矛盾.故有结论.(2)M K 是闭的线性子空间,而由第1步,M KKK =span M K =M K =M K .■5.(15分)设(H,(¨,¨))是实Hilbert 空间,t e k u 8k =1是H 的正交规范基,t x n u 8n =0和t y n u 8n =0是H 中的两列元,其中t}x n }u 8n =0有界并且y n Ñy 0.证明:(1)当k Ñ8时,t e k u 在H 中弱收敛于零,但不强收敛于零.(2)如果对于每一个k ,当n Ñ8时有(x n ,e k )Ñ(x 0,e k ),则(x n ,y n )Ñ(x 0,y 0).解.(1)由Parseval 等式知8ÿn =1|(x,e n )|2=}x }2ñlim n Ñ8(x,e n )=0,@x P H.故e n á0.又由}e n }=1知e n Ñ0不成立.(2)由t}x n }u 有界知D M ą0,s .t .@n ě1,}x n }ďM.于是|(x n ,y n )´(x 0,y 0)|ď|(x n ,y n ´y 0)|+|(x n ´x 0,y 0)|ďM }y n ´y 0}+ˇˇˇˇˇ8ÿk =1y 0k (x n ´x 0,e k )ˇˇˇˇˇ(y =8ÿk =1y 0k e k)ďM }y n ´y 0}+(8ÿk =1|y 0k |2)12[8ÿk =1|(x n ´x 0,e k )|2]12.令n Ñ8即得结论.这里我们利用了实变函数中Levi 定理的类比.极限和求和可以交换次序!■6.(15分)设X 是实线性赋范空间,t x λ;λP Λu 是X 中的一个子集,其中Λ为指标集.证明:如果对于每一个f P X ˚,t f (x λ);λP Λu 是有界集,则t x λ;λP Λu 也是有界集.解.将x λ看作是X ˚˚中的元,则sup λP Λ⟨x λ,f ⟩=sup λP Λf (x λ)ă8ñsup λP Λ}x λ}ă8(共鸣定理).■7.(15分)设t (X k ,}¨}k )u 8k =1是一列实Banach 空间.记U =!x =(x 1,¨¨¨,x k ,¨¨¨);x k P X k ,k =1,2,¨¨¨,lim k Ñ8}x k }k =0).对于x =(x 1,¨¨¨,x k ,¨¨¨),y =(y 1,¨¨¨,y k ,¨¨¨),αP R ,在U中定义线性运算和范数分别为x+y=(x1+y1,¨¨¨,x k+y k,¨¨¨),αx=(αx1,¨¨¨,αx k,¨¨¨),}x}=supkě1}x k}k.(1)证明:(U,}¨})在如上定义的线性运算和范数的意义下是一个实Banach空间.(2)设每个X k均为可分空间,问U是否也是可分空间,为什么?解.(1)易知(U,}¨})是赋范线性空间.设t x n u是U中Cauchy列,则@εą0,D N,s.t.@mąněN,εą}x m´x n}=supkě1}x m k´x n k}.特别地,对@kě1,@mąněN,εą}x m k´x n k}k.(1)故t x n k u8n=1是X k中Cauchy列.由X k完备知D x k P X k,s.t.limnÑ8x n k=x k.在(1)中mÑ8得@kě1,@něN,εě}x n k´x k}kñ@něN,εě}x n´x}.这表明x nÑx=(x1,¨¨¨,x k,¨¨¨).进一步,}x k}kď››x N k´x k››k+››x N k››kďε+››x N k››k.令kÑ8得limnÑ8}x k}kďε.再令εÑ0+得limkÑ8}x k}k=0.故U完备,是Banach空间.(2)U是可分的.设D k是X k的可数稠密子集,则8ďn=1t(d1,¨¨¨,d n,0,¨¨¨);d i P D i,1ďiďn u是U 的可数稠密子集.事实上,对@x P U,εą0,由lim k Ñ8}x k }k =0知D K ą0,s .t .@k ąK,}x k }k ăε.又由D k 在X k 中稠密知@1ďk ďK,D d k P D k ,s .t .}d k ´x k }ăε.于是}(d 1,¨¨¨,d n ,0,¨¨¨)´x }=max "sup 1ďk ďK}d k ´x k }k ,sup k ąK}x k }*ăε.■。

泛函分析考试试卷自制试卷

泛函分析考试试卷自制试卷泛函分析考试试卷一、选择题。

1、下列说法不正确的是（）A、 n维欧式空间R n 是可分空间B、全体有理数集为R n 的可数稠密子集C、l∞是不可分空间D、若X为不可数集则离散度量空间X是可分的答案：D2、设T是度量空间(X,d）到度量空间（Y，d~）的映射，那么T 在x0?X连续的充要条件是（）A、当x n→x0（n→∞）时，必有Tx n→Tx0（n→∞）B、当x n→x0（n→∞）时，必有Tx0→Tx n（n→∞）C、当x0→x n（n→∞）时，必有Tx n→Tx0（n→∞）D、当x n→x0（n→0）时，必有Tx n→Tx0（n→0）答案：D3、在度量空间中有（）A、柯西点列一定收敛，但是每一个收敛点列不一定是柯西点列B、柯西点列一定收敛，而且每一个收敛点列是柯西点列C、柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列都是柯西点列D、柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列不一定是柯西点列答案：C4、关于巴拿赫空间叙述不正确的是（）A、完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间B、L p[a，b]（p≥1）是巴拿赫空间C、空间l p是巴拿赫空间D、赋范线性空间的共轭空间不是巴拿赫空间答案：D5、下列对共轭算子性质描述错误的是（）A、（A+B)*=A*+B*;B、(A*)*=A**C、当X=Y时,(AB)*=B*A*D、（aA)*=a A*答案：B二、填空题1、度量空间X到Y中的映射T是X上的连续映射的充要条件为Y 中的任意开集M为。

答案：原像T-1M是X中的开集2、设T是赋范线性空间X到赋范线性空间Y中的线性算子，则T 为有界算子的充要条件是T 是X上的。

答案：连续算子。

3、若T为复内积空间X上有界线性算子，那么T=0的充要条件是对一切x?X有。

答案：（Tx，x）=04、有界线性算子T的共轭算子T×也是有界线性算子，并且T T。

答案：=5、设{f n}是巴拿赫空间X上的一列泛函，如果{f n}在X的每点x 处有界，那么{f n} 。

2007实变函数与泛函分析初步试题

浙江省2007年10月高等教育自学考试实变函数与泛函分析初步试题课程代码：10023一、单项选择题(本大题共3小题，每小题4分，共12分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.已知Z 和Q 分别为整数集和有理数集，记A=［0，1］-Q ，则( ) A Z Q =>A B. Z Q ==A C. Z Q >>A D. Z Q =<A2.若A=［0,1］-{31,21,1，…},B=［2,3］∩Q ,C=［5,6］-Q ,则A ∪B ∪C 的测度为( ) A.1B.2C.3D.无意义3.设f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈--∈ 其他,1]3,1[,1]1,0[,22x x Q x x ∩Q ,则⎰］，［80f(x)dx=( ) A.0B.1C.2D.8二、判断题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”。

4.集列的上限集与下限集一定不相等.( )5.开集一定是博雷尔（Borel ）集.( )6.设E ⊂R 1，E 是E 的闭包，mE=0，则m(E )=0.( )7.设f(x)在［0，1］的一个稠密集上处处不连续，则f(x)一定不是Riemann 可积函数.( )8.定义在零测集上的函数一定是可测函数.( )9.定义在区间上的单调函数的导数几乎处处存在.( )三、填空题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

10.设A 2n-1=(0,sin n 1)，A 2n =(n1,n),则集列{A n }的上限集为___________. 11.球面S 2={（x,y,z)|x 2+y 2+z 2=1}的基数为___________.12.设F={(x,y)|x 2+y 2≤1},E=F ∪⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=)1,0(,1sin |),(x x y y x ，则E 的开核E &=___________. 13.记E 为康托集和有理数集的并集，则mE=___________.14.设函数f(x)在［0，1］上单调，E 是f(x)的连续点全体，则mE=___________.15.f(x)是可测集E 上的简单函数是指___________.16.函数f(x)在区间［a,b ］上的黎曼可积的充要条件是___________.17.f(x)与g(x)在E 上几乎处处相等是指___________.18.举一个函数列{f n (x)}的例子，使得{f n (x)}在［0,∞)上处处收敛于0，但{f n (x)}在［0,∞)上不依测度收敛于0，例如f n (x)=___________.19.区间［a,b ］上的函数F(x)是f(x)的一个不定积分是指________________________________________________________.四、完成下列各题(本大题共4小题，每小题9分，共36分)20.设f(x)是(-∞,+∞)上的实值连续函数，证明对于任意常数a,E={x|f(x)>a}是开集，而F={x|f(x)≥a}总是闭集.21.设E 是［0,1］中的不可测集，令f(x)⎩⎨⎧∉-∈,,,E x x E x x ，问f(x)和|f(x)|在［0,1］上是否可测？为什么？ 22.设f(x)在E 上可积分，记e n =E ［|f|≥n ］，证明0lim =•∞→n n me n . 23.问函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=∈0,0]1,0(,1sin 2x x x x 在［0,1］上是不是有界变差函数？为什么？。

泛函分析考试试卷自制试卷

泛函分析考试试卷、选择题。

1、下列说法不正确的是( ) A 、 n 维欧式空间R n 是可分空间 B 、全体有理数集为 R n 的可数稠密子集 C 、广是不可分空间 D 、若X 为不可数集则离散度量空间 X 是可分的答案：D2、设T 是度量空间(X,d )到度量空间(Y , d ~)的映射，那么T 在x °?X 连续的充要条件是() A 、当 X n ^X 0 (n is)时，必有 Tx n ^Tx o (n 宀① B 、当 X n f X o (n fg) o f Tx n (n fg) C 、当 x o f X n (n fg)时，必有 TX n f Tx o (n fg) D 、当 X n f X o (n f 0)时，必有 TX n f Tx o (n f 0) 答案：D3、在度量空间中有()A 、柯西点列一定收敛，但是每一个收敛点列不一定是柯西点列B 、柯西点列一定收敛，而且每一个收敛点列是柯西点列C 、柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列都是柯西点列D 、柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列不一定是柯西点列答案：C4、关于巴拿赫空间叙述不正确的是( )A 、完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间B 、 L p [a , b] (p 》)是巴拿赫空间C 、空间l P 是巴拿赫空间D 、赋范线性空间的共轭空间不是巴拿赫空间答案：D5、下列对共轭算子性质描述错误的是( )A 、(A+B)*=A*+B*; C 、当 X=Y 时,(AB)*=B*A*答案：B 、填空题1、度量空间X 到Y 中的映射T 是X 上的连续映射的充要条件为Y 中的任意开集 M 为_______________ O答案：原像T -1M 是X 中的开集2、设T 是赋范线性空间X 到赋范线性空间 Y 中的线性算子，则 T 为有界算子的充要条件是T 是X 上的。

答案：连续算子。

3、若T 为复内积空间X 上有界线性算子，那么T=0的充要条件是对一切答案：(Tx , x ) =04、有界线性算子T 的共轭算子T 地是有界线性算子，并且答案：=5、设｛f n ｝是巴拿赫空间X 上的一列泛函，如果｛f n ｝在X 的每点X 处有界，那么｛f n ｝ ______ 。

Rudin 泛函分析答案

Ý ñ¨ 0 < L < 6 î ùþ
1
(T y ) (x) = − T : C [0, 1] → C [0, 1]
k ( x , s ) F (s , y (s )) ds
ð
0
1
ø
1.
ËÃ
2010. 9
ýÝ
{(Xk , dk ) k ǫ N }
ðè¯
∞
ÐèÑ
2 −k
k =1
∞
X1 ⊃ X2 ⊃ · · ·
x 1+x
(x ≥ 0)
ÆÇ
k
ρk ( x , y ) =
2 −i
i=1
∀ x , y ∈ Xk
Ý
( Xk , ρk ) (k ∈ N)
{ xn }n ∈ N ⊂ X
ð (X , d)
n→∞
ð Ý
ρ1 ≤ ρ2 ≤ ρ3 · · · ≤ ρ
è Cauchy Ë ¯ Ù ¿ X ¿x ∈ X =X Ú
F (λ) :=
ap b q + , p q
∀a, b ≥ 0
ãÇ a
êÃ
2) H¨ older
N

ai bi ≤
i=1
àßµ
1 p N
bp p bq λ + − b2 λ p q
p, q > 1 ,
+
1 q
=1
1 p
Ã
N
ap i
i=1
bp i
i=1
1 p
∀ a1 , · · · , aN , a1 , · · · , bN ≥ 0
ø ñ
Lipschitz
ñ û
F : [0, 1] × R

泛函分析期末考试题库及答案

泛函分析期末考试题库及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项不是泛函分析中的基本概念？A. 线性空间B. 线性算子C. 微分方程D. 范数答案：C2. 希尔伯特空间中的内积满足的性质不包括以下哪一项？A. 线性B. 对称性C. 正定性D. 可逆性答案：D3. 以下哪个是紧算子的性质？A. 有界B. 可逆C. 连续D. 可微答案：A4. 以下哪个定理是泛函分析中的基本定理？A. 泰勒定理B. 格林定理C. 里斯表示定理D. 牛顿-莱布尼茨定理答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 在泛函分析中，一个线性空间的基是一组线性______的向量。

答案：无关2. 一个线性算子是______的，如果它将一个有界集映射到一个有界集。

答案：有界3. 一个线性算子是______的，如果它将一个紧集映射到一个紧集。

答案：紧4. 一个线性算子是______的，如果它在某个线性空间上是连续的。

答案：连续三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述什么是线性空间，并给出其基本性质。

答案：线性空间是一个集合，其中的元素称为向量，满足加法和数乘两种运算，并且满足加法交换律、加法结合律、数乘分配律等性质。

2. 解释什么是紧算子，并给出一个例子。

答案：紧算子是一个线性算子，它将任意有界序列映射到一个收敛序列。

例如，考虑在L^2空间上的算子K，定义为K(f)(x) =∫f(t)sin(x-t)dt，它是一个紧算子。

3. 描述什么是希尔伯特空间，并说明其与欧几里得空间的关系。

答案：希尔伯特空间是一个完备的内积空间，它允许无限维向量的存在。

希尔伯特空间是欧几里得空间的推广，其中欧几里得空间是有限维的希尔伯特空间。

四、计算题（每题15分，共30分）1. 给定线性算子A: L^2(0,1) → L^2(0,1)，定义为A(f)(x) =∫₀^x f(t)dt，证明A是一个紧算子。

答案：略2. 考虑在L^2(-1,1)上的算子B，定义为B(f)(x) = xf(x)，证明B是一个有界算子，并求出其范数。