泛函分析考试题

某某大学考试题

课程名称：泛函分析 队别： 班次： 姓名： 第1页共2页 1、 写出下面定义或结论（每个5分）：

a ）两个集合具有相同基数的定义；

b ）度量空间Cauchy 序列的定义；

c ）泛函序列弱*收敛的定义；

d ）开映射定理.

2、 定义2:R f →，使得

1()n n n f x x α∞

==∑

其中2α∈。证明：f 是有界的并计算f 的范数f .

3、 X 是赋范线性空间，,x y X ∈是两个给定向量。证明：如果对任意有界线性泛函*f X ∈都有()()f x f y =，则

x y =.

4、 在[,]C a b 中定义范数

[,]||||m a x |()|

t a b x x t ∈= 证明：如序列{}[,]n x C a b ⊂弱收敛到[,]x C a b ∈，即w n x x −−→，n →∞，则序列{}n x 在

[,]a b 上处处收敛到x ，即对任意[,]t a b ∈，

l i m ()(n n x t x t →∞

=。 5、 在2中定义线性算子序列{}n T ，22:n T →：对()212,,,,n x ξζξ=∈，

()12(),,,

,n n n n T x ξξζ++=

证明：

a ）n T 强收敛到零算子；

b ）n T 不一致收敛到零算子. 6、 证明：在实内积空间中，x y ⊥当且仅当对任意实数α，都有

||||||x y x α+≥.

7、 设M 是内积空间X 中的非空子集，证明：M 的正交补是X 的闭子空间。

8、 证明Bessel 不等式：设{}123,,,e e e 是Hilbert 空间的规范正交集，证明，对任意x X ∈，

221

|,|.n n x e

x ∞=<>≤∑ 9、 X 是Banach 空间，{}n f X *⊂是有界泛函序列。如果对任意的x X ∈都有1()n n f

x ∞=<∞∑，证

明存在0

μ>，使得

1

() n

n f x x

μ

∞

=<

∑. （2-9题每题10分）