正态分布总结

x
20 40 60 80 100
• [题后感悟] 解答此类题目的关键在于将待求 的问题向(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ －3σ，μ＋3σ)这三个区间进行转化，然后利用 上述区间的概率求出相应概率，在此过程中依 然会用到化归思想及数形结合思想．
1、下列函数是正态密度函数的是（
A.
㈠知识疏理
1.正态分布与正态曲线
如果随机变量的总体密度曲线为：
f ( x)
1 e 2 ( x )2 2 2
（x R),
式中的实数、 ( 0)为参数，分别表示总体的平均数与标准差.
称 服从参数为、的正态分布，用N （， 2）表示.
f ( x)的的图像，总体密度曲线简称为正态曲线.
, 的随机变量X只取 3 , 3
2
㈠知识疏理
5 正态曲线的性质： ①曲线位于x轴上方,与x轴不相交； ②曲线是单峰的,它关于直线X= 对称； ③曲线在X=
处达到峰值

④曲线与x轴之间的面积为1； ⑤当σ一定时,曲线随着的 变化而沿x轴平移, ⑥当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小，曲线 越“瘦高”,表示总体的分布 越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散,
2
3．(2010山东卷第5题)已知随机变量ξ服从正态分布 )，若P(ξ>2) =0.023,则P(-2≤ξ≤2)=( ) N(0，
2
A.0.477
B.0.625
C.0.954
D.0.977
略解：P(-2≤ξ≤2)=1-0.023X2=0.954 选C
㈡基础自测
4．(2011年湖北卷第5题)已知随机变量ξ 服从正态分布 2 N(2, )，且Ｐ（ξ＜ 4）＝0.8 ，则Ｐ（0＜ ξ＜2）＝ （ ） Ａ．0．6 B．0．4 C．0．3 D．0．2
㈡基础自测
1．(2010年广东卷第7题)已知随机变量X服从正态分布N(3,1)， 且P(2≤ x≤4)＝0.682 6，则P( X>4)＝( ) A．0.1588 B．0.1587 C．0.1586 D．0.1585 略解：P( X>4)＝[1－P(2≤ X≤4)]/2＝(1－0.682 6)/2＝0.158 7.选B. 2．(2009年安徽卷第11题)若随机变量X～N(μ, ) 1 则p(X≤μ）= 答案： 2
2 2
由正态分布N(μ ,σ 2)性质知,x=μ 为正态密
度函数图象的对称轴,故μ 1<μ 2.又σ 越小，图象越
高瘦,故σ 1<σ 2.
㈢典例剖析
变式训练:把一正态曲线C1沿着横轴方向向右移动2个单位， 得到一条新的曲线C2,下列说法不正确的是 A.曲线C2仍是正态曲线 ( ) B.曲线C1,C2的最高点的纵坐标相等
(四 )课堂训练
服从一正态
位于区间(70,110)上的概率是
（2）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩 在(80,100)间的考生大约有多少人？
0.9544 2000 • 0.6826=137
(五)归纳总结:
⑴知识:正态曲线的性质,对称性,面积为1,记住三 个特殊区间概率值 ①P(μ-σ<X≤μ+σ)= 0.6826 ②P(μ-2σ<X≤μ+2σ)= 0.9544; ③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)= 0.9974 ⑵方法:利用对称法和转化法求与正态分布相关的 概率 ⑶数学思想：数形结合
㈠知识疏理
y
2.正态曲线的意义
P(a X b) , ( x)dx
a
O
b
3.正态总体在三个特殊区Байду номын сангаас内取值的概率值
①P(μ-σ<X≤μ+σ)= 0.6826 ③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)= 0.9974
a
b
x
②P(μ-2σ<X≤μ+2σ)= 0.9544
4 3σ原则
在实际应用中，通常认为服从于正态分布N 之间的值
C.以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差比以曲线
C1为概率密度曲线的总体的方差大2
D.以曲线C2为概率密度曲线的总体的均值比以曲线 C1为概率密度曲线的总体的均值大2 解析 正态曲线左右平移,只会改变对称轴，即x=μ 变化,其他特征都不变.
㈢典例剖析
方法总结:解决有关正态函数图象问题, 要结合μ和σ的 意义和对图象的影响去解决.
㈢典例剖析
题型二 求与正态分布相关的概率
例2 设X～N(1,22)，试求：(1)P(－1＜X≤3) (2)P(3 ＜X≤5)．
解析:由条件可知 =1, =2,所以P(－1＜
X≤3)= 1)=P(u- ＜X≤u=0.84,则P(ξ <0)等于 A.0.16 B.0.32 C.0.68

) =0.6828
( D.0.84
变式训练:已知随机变量ξ 服从正态分布N(2,σ 2),P(ξ ≤4) )
解析 P(ξ<0)=P(ξ>4)=1-P(ξ≤4)=1-0.84=0.16.
[题后感悟] 解答此类问题要注意以下知识的应用： (1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与 x 轴之间面积为 1； (2)正态曲线关于直线 x＝μ 对称， 从而在关于 x＝μ 对称 的区间上概率相等． (3)P(X＜a)＝1－P(X≥a)， P(X＜μ－a)＝P(X≥μ＋a)， 1－Pμ－b＜X≤μ＋b 若 b＜μ，则 P(X＜b)＝ . 2
(四 )课堂训练
( x )2 2 2
B ）
1 f ( x) e 2
2 f ( x) e 2
, , ( 0)都是实数
B.
x2 2
C.
1 f ( x) e 2 2
( x 1)2 4
D.
1 f ( x) e 2
x2 2
(四 )课堂训练
2、若一个正态分布的概率函数是一个偶函数且该函
㈢典例剖析
题型3 正态分布的实际应用 例3 某地区数学考试的成绩X服从正态分布，其密 度函数曲线如图： y
1
1.写出X的分布密度函数； 8 2 2.求成绩X位于区间 (52,68] 的概率是多少？ 3.求成绩X位于区间(60,68] 的概率是多少？ O 4.若该地区有10000名学生 参加考试，从理论上讲成绩 在76分以上的考生有多少人？
㈢典例剖析
题型一 正态曲线的性质
例1(2010·安徽理)设两个正态分布N(μ 1, 12 ) (σ 1>0)和N(μ 2, 2 ) (σ 2>0)的密度函数图象如
2
图所示,则有
( A )
A.μ 1<μ 2,σ 1<σ
C.μ 1>μ 2,σ 1<σ 解析
2 2
B.μ 1<μ 2,σ 1>σ
D.μ 1>μ 2,σ 1>σ
1 数的最大值等于 ，求该正态分布的概率密度函数 4 2
的解析式。
y
3、如图，是一个正态曲线， 试根据图象写出其正态分布 的概率密度函数的解析式， 求出总体随机变量的期望和 方差。
1 2
5 10 15 20 25 30 35 x
4、在某次数学考试中，考生的成绩 分布,即 ~N(90,100). （1）试求考试成绩 多少？