关于矩阵秩的证明
第三讲 矩阵的秩
阶梯形矩阵为 1
6
1
0 4 1
0 0 4 R(B) 3, 0 0 0
故 B 中必有 3 阶非零子式. 且共有 4 个. 计算B的前三行构成的子式
3 2 5 32 5 2 0 52 0 5 3 2 6 6 0 11
25
2
16 0.
6 11
则这个子式便是A 的一个最高阶非零子式.
求矩阵A及矩阵B ( A b)的秩.
解 分析：设 B 的行阶梯形矩阵为B~ ( A~,b~),
则 A~ 就是 A的行阶梯形矩阵， 故从 B~ ( A~,b~) 中可同时看出R( A) 及 R(B).
1 2 2 1 1
B
2 2
4 4
8 2
0 3
2 3
3 6 0 6 4
r2 2r1 1 2 2 1 1
例4
设
A
3 2
2 0
3 1
6 5
13 ,
求矩阵
A的
1 6 4 1 4
秩，并求 A 的一个最高阶非零子式．
解 对A作初等行变换，变成行阶梯形矩阵：
3 2 0 5 0
A
3 2
2 0
3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
1 6 4 1 4
r1 r4
3
2
3
6 1
2 0 1 5 3 3 2 0 5 0
设 n 阶可逆矩阵 A， A 0, A 的最高阶非零子式为 A, R( A) n, 故 A 的标准形为单位阵E, A ~ E.
可逆矩阵的秩等于阶数，故称可逆矩阵 为满秩矩阵. 奇异矩阵为降秩矩阵.
1 2 2 1 1
例5
设A
2 2
线性代数§3.3矩阵的秩
设A为n阶可逆方阵. 因为| A | 0, 所以, A的最高阶非零子式为| A |, 则R(A)=n.
故, 可逆方阵A的标准形为单位阵E, 即A E. 即可逆矩阵的秩等于阶数. 故又称可逆(非奇异)矩 阵为满秩矩阵, 奇异矩阵又称为降秩矩阵. 1 2 2 1 1 2 4 8 0 2 , b , 例5:设 A 2 4 2 3 3 3 6 0 6 4 求矩阵A和矩阵B=(A | b)的秩. 分析: 设矩阵B的行阶梯形矩阵为B=(A| b), 则A就是A的行阶梯形矩阵. 因此可以从B=(A| b)中同时考察出R(A)及R(B).
性质6: R(A + B) R(A) + R(B). 证明: 设A, B为mn矩阵, 对矩阵(A+B ¦ B)作列变 换: ci – cn+i (i =1,2, · · · , n)得, (A+B ¦ B) (A+O ¦ B) B) R(A) + R(B). 于是, R(A+B) R(A+B ¦ B) =R(A+O ¦ 性质7: R(AB) min{R(A), R(B)}. 性质8: 若AmnBnl =O, 则R(A)+R(B) n . 这两条性质将在后面给出证明. 例7: 设A为n阶方阵, 证明R(A+E)+R(A–E) n . 证明: 因为(A+E)+(E–A)=2E, 由性质6知, R(A+E)+R(E–A)R(2E)=n, 而R(E–A)=R(A–E), 所以 R(A+E)+R(A–E) n .
§3.3 矩阵的秩
一、矩阵秩的概念
由上节讨论知: 任何矩阵Amn, 总可以经过有限次 初等行变换把它们变为行阶梯形矩阵和标准形矩阵. 行阶梯形矩阵中非零行的行数, 也就是标准形矩阵中 的数字r 是唯一确定的. 它是矩阵理论中非常重要的数 量关系之一——矩阵的秩. 定义: 在mn矩阵A中任取 k 行 k 列( km, kn ), 位于这 k 行 k 列交叉处的 k2个元素, 不改变它们在A 中所处的位置次序而得到的 k 阶行列式, 被称为矩阵A 的k阶子式. k C k 个. mn矩阵A的k阶子式共有 C m n
左乘列满秩矩阵秩不变证明
左乘列满秩矩阵秩不变证明要证明左乘一个列满秩矩阵不会改变矩阵的秩，我们首先需要明确一些定义和性质。
定义1：矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大个数。
性质1：矩阵的秩等于其行最简形式中非零行的个数。
性质2：矩阵的秩等于其列最简形式中非零列的个数。
性质3：矩阵的秩等于其列空间的维数。
性质4：矩阵的秩等于其行空间的维数。
现在我们来证明左乘一个列满秩矩阵不会改变矩阵的秩。
假设有两个矩阵A和B，其中A是一个列满秩矩阵，B是任意一个矩阵。
我们要证明的是，左乘A不会改变矩阵B的秩，即rank(AB) = rank(B)。
首先，我们知道矩阵乘法的定义是将A的每一行与B的每一列进行内积，得到结果矩阵AB。
假设矩阵B的秩为r，即rank(B) = r。
那么B的列空间的维数为r。
我们知道，矩阵的列空间是由矩阵的列向量生成的向量空间。
所以B的列空间的维数等于B的列向量的个数。
假设B的列向量为b1, b2, ..., bn，那么B的列空间的维数为向量b1, b2, ..., bn 的线性无关的最大个数。
现在我们来看矩阵AB的列空间。
AB的列空间是由AB的列向量生成的向量空间。
所以AB的列空间的维数等于AB的列向量的个数。
假设AB的列向量为c1, c2, ..., cm，那么AB的列空间的维数为向量c1, c2, ..., cm 的线性无关的最大个数。
我们知道，AB的列向量是A的每一行与B的每一列进行内积得到的。
假设A的行向量为a1, a2, ..., ak，B的列向量为b1, b2, ..., bn。
那么AB的列向量可以表示为c1 = a1b1 + a2b2 + ... + akbn, c2 = a1b1 +a2b2 + ... + akbn, ..., cm = a1b1 + a2b2 + ... + akbn。
我们可以看出，AB的列向量是由A的行向量与B的列向量进行线性组合得到的。
现在我们来证明AB的列向量是线性无关的。
矩阵的秩不等式
矩阵的秩不等式矩阵的秩不等式是线性代数中一个重要的定理，它描述了一个矩阵的秩和其子矩阵的秩之间的关系。
在本文中，我们将介绍矩阵的秩不等式的定义、证明以及应用。
1. 定义设 $A$ 是一个 $m\times n$ 的矩阵，则它的秩记为$\text{rank}(A)$。
如果 $B$ 是 $A$ 的一个子矩阵，则它的秩记为$\text{rank}(B)$。
则有以下不等式：$$\text{rank}(A)+\text{rank}(B)-n\leq \text{rank}(AB)\leq\min(\text{rank}(A),\text{rank}(B))$$其中，$AB$ 表示 $A$ 和 $B$ 的乘积。
2. 证明为了证明上述不等式，我们需要使用以下两个引理：引理1：设 $A,B,C$ 是三个矩阵，则有 $\text{rank}(AB)\leq\min(\text{rank}(A),\text{rank}(B))$ 和 $\text{rank}(ABC)\leq\min(\text{rank}(AB),\text{rank}(C))$引理2：设 $A,B,C,D$ 是四个矩阵，则有$\text{rank}\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \\ \end{pmatrix}\geq \text{rank}(A)+\text{rank}(D)-\text{rank}(B)-\text{rank}(C)$下面我们来证明矩阵的秩不等式：首先，由引理1可得：$$\text{rank}(AB)\leq \min(\text{rank}(A),\text{rank}(B))$$于是，我们有：$$\text{rank}(AB)\leq \min(\text{rank}(A),\text{rank}(B))\leq\min(\text{rank}(A)+\text{rank}(B)-n,\min(\text{rank}(A),\text{rank}(B)))$$其中，第二个不等式是因为 $\min(a,b)\leq a+b-n$。
线性代数-矩阵的秩
设A
=
2 −2 3
−4 4 −6
8 −2 0
−036 , b
=
2 43
求矩阵A及矩阵B = ( A b)的秩. 解 分析：设 B 的行阶梯形矩阵为 B~ = ( A~,b~),
则 A~ 就是 A 的行阶梯形矩阵， 故从 B~ = ( A~,b~) 中可同时看出 R( A) 及 R(B).
1 − 2 2 − 1 1
故 R(AT A) = R(A).
又由于 B 也可经一次初等变换变为 A, 故也有 R(B) ≤ R( A).
因此 R( A) = R(B).
经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经 有限次初等行变换矩阵的秩仍不变．
设A经初等列变换变为 B,也有R( A) = R(B).
设 A 经初等列变换变为 B, 则 AT 经初等行变换变为 BT , R( AT ) = R(BT ),
6 11
则这个子式便是A 的一个最高阶非零子式.
设 n 阶可逆矩阵 A， A ≠ 0, ∴ A 的最高阶非零子式为 A, R( A) = n, 故 A 的标准形为单位阵 E, A ~ E.
可逆矩阵的秩等于阶数 ，故称可逆矩阵 为满秩矩阵. 奇异矩阵为降秩矩阵 .
1 − 2 2 − 1 1
例5
− 2 0 1 5
解
13 02 −2 0
1 0
3 = 2 ≠ 0, 2
计算A的3阶子式，
−2
1 3 2 1 −2 2
− 1 = 0, 0 2 3 = 0, 0 − 1 3 = 0,
1
−2 0 5 −2 1 5
3 −2 2
2 − 1 3 = 0, ∴ R(A) = 2.
015
1 3 − 2 2 另解 对矩阵 A = 0 2 − 1 3 做初等变换，
线性代数课件第三章矩阵的秩课件
VS
矩阵的秩可以用于判断两个矩阵是否相似。如果两个矩阵相似，则它们的秩相同。
特征值和特征向量
矩阵的秩还可以用于确定矩阵的特征值和特征向量的个数。对于给定的矩阵，其秩等于其非零特征值的个数。
矩阵相似
矩阵的秩可以用于矩阵分解，如奇异值分解（SVD）和QR分解等。这些分解方法将一个复杂的矩阵分解为几个简单的、易于处理的矩阵，有助于简化计算和解决问题。
1 2 3 | 0 0 -3
7 8 9 | 0 0 0`
```
由于非零行的行数为2，所以矩阵B的秩为2。
题目3
求矩阵C=[1 -2 3; -4 5 -6; 7 -8 9]的秩。
解答
首先，将矩阵C进行初等行变换，得到行阶梯矩阵
```
继续进行初等行变换，得到
1 -2 3 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0
矩阵秩的应用
03
线性方程组的解
矩阵的秩可以用来判断线性方程组是否有解，以及解的个数。如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则方程组有唯一解；否则，方程组无解或有无数多个解。
最小二乘法
矩阵的秩还可以用于最小二乘法，通过最小化误差平方和来求解线性方程组。最小二乘法的解就是使残差矩阵的秩等于其行数或列数的最小二乘解。
矩阵秩的等式与不等式的证明及应用
矩阵秩的等式与不等式的证明及应用矩阵是高等代数的一个重要概念，也是线性代数中的主要研究对象，同时也是一种应用广泛的数学工具.不管是在数学学习还是实际问题中，我们常常会遇到许多比较复杂的计算问题，而使用矩阵来解决这些难题，往往会使问题简单化.早在古代，我国的《九章算术》就已经对矩阵有了初步的描述.而矩阵的理论起源，可追溯到18世纪.高斯在1801年、艾森斯坦在1844-1852年，先后把一个线性变换的全部系数用一个字母来表示，艾森斯坦还强调乘法次序的重要性.这些工作都孕育了矩阵的思想，但矩阵的正式定义直到1858年才由凯莱给出来.凯莱在《矩阵论的研究报告》中全面阐述了矩阵的一些理念，同时他还在文中给出了许多矩阵的运算法则以及矩阵转置的定义，证明了矩阵加法中的可交换性与可结合性，更为重要的是他还给出了伴随矩阵、矩阵可逆的概念.由于凯莱的奠基性工作，一般认为他是矩阵理论的创始人.而矩阵的秩是矩阵的一个重要特征，是矩阵理论中研究的一个重要内容，它具有许多的重要性质.对于矩阵的秩的等式与不等式，近年来有一些学者对其进行了研究.张英，乔世东利用同解方程组、标准形、线性空间和同态基本定理来证明矩阵秩的一些性质；王廷明利用构造分块矩阵并通过广义初等变换的方法,证明矩阵秩的(不)等式；殷倩把分散的知识点及重要的常用结论整合在一起，归纳整理出若干常用有效的证明方法；徐小萍给出五个矩阵秩的不等式,并利用代数理论对其进行证明,然后用一些典型例题对其应用进行分析.在前人研究的基础上，本文进一步系统的探究了矩阵秩的等式与不等式及其应用.首先介绍矩阵秩的等式与不等式的研究背景和国内外的研究现状，其次介绍矩阵秩的定义与简单性质，然后给出一些矩阵秩的等式与不等式的证明，最后通过例子研究其在多方面的应用。
11 预备知识1.1 矩阵的定义定义1.1 由m n ⨯个数()1,2,,;1,2,,ij a i m j n ==所排列成的m 行n 列的数表111212122212n n m m mna a a a a a a a a称为m 行n 列的矩阵，简称m n ⨯矩阵.记作111212122212,n n m m mn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（1.1） 简记为()ij m n A a ⨯=或m n A ⨯，这m n ⨯个数称为A 的元素.当m n =时，矩阵A 称为n 阶方阵.例如，431259370⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦就是一个3阶方阵.1.2 矩阵秩的定义定义1.2 通过在m n ⨯矩阵A 中任取k 行k 列（,k m k n ≤≤）的行列交叉处的2k 个元素，而不改变它们在A 中所处的位置顺序而得到的k 阶行列式，称为矩阵A 的k 阶子式. m n ⨯矩阵A 的k 阶子式共有kkm n C C ⋅个.定义 1.3 如果矩阵A 有一个不为零的r 阶子式D ，且所有1r +阶子式都为零，那么D 称为矩阵A 的最高阶非零子式，这个数r 称为矩阵A 的秩，记作()R A ，并且规定零矩阵的秩等于零.2 矩阵秩的性质在矩阵秩的问题当中，有些问题仅依靠定义来解决比较复杂和困难，而利用性质则会简单些，下面我们总结和归纳出了矩阵秩的一些性质.性质2.1 矩阵的行秩与列秩相等.证明 考虑线性方程组0AX =，首先如果未知数的个数超过A 的行秩，则它有非零解.设m n ⨯阶矩阵A 的行秩为r ，考虑方程组0AX =，它由m 个方程n 个未知数组成.从A 的行向量中任意选取r 个线性无关的行向量，重新组合成矩阵B ，所以方程组0AX =和0BX =同解.在这种情况下，如果B 的列数大于行数，那么方程组0BX =必有非零解，因此0AX =也有非零解.接着证明行秩等于列秩.设m n ⨯阶矩阵A 的行秩为r ，列秩为s .考虑A 的任意1r +个列向量组成的矩阵C ，因为C 的行秩小于或等于r （因为C 的行向量是由A 的行向量的一部分分量组成的），所以CX=0存在非零解，这表明这1r +个列向量是线性相关的.所以A 的列秩最大为r ，即s r ≤.同理可证r s ≤，因此s r =.性质2.2 初等行（列）变换不改变矩阵的秩.数域P 上的矩阵的初等行（列）变换是指以下三种变换： （1）用数域P 中的一个非零数k 乘以矩阵的某一行（列）； （2）将矩阵的某一行（列）的c 倍加到另一行（列）； （3）交换矩阵中两行（列）的位置.证明 设m n ⨯矩阵A 通过一次初等行变换转变为m n ⨯矩阵B ,且()1R A r =，()2R B r =.1.初等交换变换：i jr rA B ↔→（交换矩阵的第i 行与第j 行）由于矩阵A 中的任意11r +阶子式均全为零，因此矩阵B 的任意11r +阶子式也为零.所以有矩阵B 中任11r +阶子式等于任意非零常数k 与矩阵A 的某个11r +阶子式的乘积.2.初等乘法变换：ikr A B →（将矩阵的第i 行与用非零常数k 相乘）由于矩阵A 中的任意11r +阶子式全为零，因此矩阵B 的任意11r +阶子式也为零.所以有矩阵B 中任何11r +阶子式等于任意非零常数k 与A 的某个11r +阶子式的乘积.3.初等加法变换：i j r krA B +→（将矩阵的第j 行的k 倍加到矩阵的第i 行上） 对于矩阵B 的任意11r +阶子式1B .（1）若1B 不包含矩阵B 的第i 行或同时包含第j 行与第i 行，那么由行列式的性质得11+1r B D =这里的1+1r D 为矩阵A 的任意11r +阶子式；（2）若1B 包含第i 行但不包含第j 行，那么由行列式的性质得11111r r B D k C ++=+这里的11r D +，11r C +均为矩阵A 的11r +阶子式。
利用分块矩阵证明有关矩阵的秩
第五章 利用分块矩阵证明有关矩阵的秩定理1：设A 是数域P 上的n ×m 矩阵，B 是数域P 上的m ×s 矩阵，求证秩（AB ）≤min ｛秩A ，秩B ｝。
证明：令B 1，B 2，…，B m 为B 的行向量，则有由上可知，AB 的行向量是B 的行向量的线性组合，因此秩AB ≤秩B ； 同理，令A 1，A 2，…，A m 为A 的列向量，同样可得AB 的列向量是A 的列向量的线性组合，因此秩AB ≤秩A 。
综上所述，秩（AB ）≤min ｛秩A ，秩B ｝。
命题1：证明秩（A+B ）≤秩（A ）+秩（B ）。
证明：令A 1，A 2，…，A n 为A 的列向量，令B 1，B 2，…，B n 为B 的列向量，从而A+B=（A 1+B 1，A 2+B 2，…，A n +B n ），即其每个列向量均可由｛A 1，A 2，…，A n ，B 1，B 2，…，B n ｝线性表出，不妨设｛A 1，A 2，…，A ｒ｝｛B 1，B 2，…B ｔ｝分别为｛A 1，A 2，…，A n ｝｛B 1，B 2，…，B n ｝的极大线性无关组。
则A+B 的列向量均可由向量组｛A 1，A 2，…，A ｒ，B 1，B 2，…B ｔ｝线性表出。
因此秩（A ＋B ）＝秩｛A 1+B 1，A 2+B 2，…，A n +B n ｝≤秩｛A 1，A 2，…，A ｒ，B 1，B 2，…B ｔ｝≤r+t ，即秩（A+B ）≤秩（A ）+秩（B ）。
命题2：设A 为数域P 上的n 阶方阵，若A 2=E ，证明秩（A+E ）+秩（A －E ）＝n 。
证明：矩阵进行初等变换后秩不变，最后的矩阵秩为n 。
由此可得 秩（A+E ）+秩（A －E ）＝n 。
11111221m m 22112222m m m n11n22nm m B a B a B a B B a B a B a B B AB B a B a B a B +++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+++ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭L L M M L ，21A+E A E 2A E0A E A E A E 2E 0A E 0A E 0A E 0-2E 02E 10A E (A E)(A E)A E 2=++-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫→→⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫-⎛⎫ ⎪−−−−−−→−−−→ ⎪ ⎪-+--⎝⎭⎝⎭将二列的（）倍加到一列。
2.5 矩阵的秩
可逆矩阵， O 为什么？ r r . 1 2 I r2 O O O
返回
2 0 0 0 2 0 0 0
2 4 2 6 2 2 0 0 1 1 0 0
1 2 1 3 1 0 1 0
1 0 5 1
r2 2 1 0 r3 r2 0 r4 3r2 0
R( A) 2,
R( B ) 3.
返回
A
m n
A
m n
A
m n
推论 对任意矩阵A, R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)=R(A)， 其中P, Q分别为可逆矩阵. 证 因为Q可逆，存在初等矩阵E1, …, Et使得 Q= E1• • • Et，
AQ =A E1• • • Et，
即 AQ 为A经列初等变换所得. 故 R(AQ)= R(A). 同理可证其他.
显然对任意矩阵A， A的秩唯一，但其最高阶非零 子式一般不唯一.
返回
例1 求矩阵的秩：
1 (1) A 2 1 2 ; ( 2) B 2 1 4 2 1 8 ; ( 3) C 2 1 3 2 4 6 4 8 2 1 2 0
解 (1)、（2） 易
O P1 I r2 O O P2 Q2 O O
I r1 O O O O P2 O
O Q2
A 所以，秩 O
I r1 O O O O 秩 B O
返回
三、矩阵的标准形（分解）
定理2
对任意矩阵A , 都存在可逆矩阵P , Q 使得
m n m m n n
I PAQ O
r
关于矩阵的秩的证明方法
关于矩阵的秩的证明方法矩阵的秩是线性代数中一个重要的概念，它可以用于描述矩阵的行或列的线性独立性。
在解决线性方程组、计算矩阵的逆、求解特征值等问题中，矩阵的秩起到了至关重要的作用。
本文将介绍几种常用的证明矩阵秩的方法。
方法一：初等行变换法我们可以使用初等行变换法来证明矩阵的秩。
初等行变换包括三种操作：交换两行、某行乘以一个非零常数、某行加上另一行的若干倍。
通过这些操作，我们可以将矩阵化简为行阶梯形矩阵，然后计算矩阵中非零行的个数即可得到矩阵的秩。
举个例子来说明这个方法。
假设有一个3×3的矩阵A，经过初等行变换后，得到行阶梯形矩阵B。
如果B中有3行都不为零，那么矩阵A的秩为3；如果B中只有2行不为零，那么矩阵A的秩为2；如果B中只有1行不为零，那么矩阵A的秩为1；如果B中没有非零行，那么矩阵A的秩为0。
方法二：线性无关向量法另一种常用的证明矩阵秩的方法是使用线性无关向量。
假设有一个矩阵A，我们可以将其列向量表示为A1、A2、...、An。
如果这些列向量线性无关，即不存在非零的标量c1、c2、...、cn，使得c1A1+c2A2+...+cnAn=0，那么矩阵A的秩为n。
否则，矩阵A的秩小于n。
举个例子来说明这个方法。
假设有一个3×3的矩阵A，其列向量表示为A1、A2、A3。
如果这三个向量线性无关，那么矩阵A的秩为3；如果其中两个向量线性无关，那么矩阵A的秩为2；如果其中只有一个向量线性无关，那么矩阵A的秩为1；如果这三个向量线性相关，那么矩阵A的秩为0。
方法三：行列式法还有一种证明矩阵秩的方法是使用行列式。
对于一个n×n的矩阵A，如果其行列式不为零，即|A|≠0，那么矩阵A的秩为n。
否则，矩阵A的秩小于n。
举个例子来说明这个方法。
假设有一个3×3的矩阵A，如果|A|≠0，那么矩阵A的秩为3；如果|A|=0，那么矩阵A的秩小于3。
方法四：零空间法我们可以使用零空间来证明矩阵的秩。
线性代数矩阵的秩
几个简单结论 (1) 若 矩 阵 A 中 有 某 个 s 阶 子 式 不 为 0 则 R(A)s 若A中所有t 阶子式全为0 则R(A)t (2)若A为mn矩阵 则0R(A)min{m n} (3)R(AT)R(A) (4)对于n阶矩阵A 当|A|0时 R(A)n 当 |A|0时 R(A)n 可逆矩阵又称为满秩矩阵 不可逆矩阵(奇 异矩阵)又称为降秩矩阵
则
R( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3
也就式说矩阵A的秩和它行向量组和列向量组 的秩是相等的。 那么这到底是巧合还是必然呢？下面我们就来 研究这个问题
二、矩阵与向量组秩的关系
定理1 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于
它的行向量组的秩.
定理1说明求向量组的秩可以转化为求矩阵的 秩
例1 求矩阵
1 0 A 0 0 1 1 2 1 4 0 0 5 0 0 0 3
的秩
解
显然A的四阶子式 A 0
1 1 1
而A的一个三阶子式 D 0 2 4 10 0 因此R(A)＝3
0 0 5
注意A是一个行阶梯矩阵，而它的秩恰好是非 零行的行数。
E 0
0 0
但是在第一章中我们不能确定E的阶数， 而学习完矩阵的秩的有关知识以后我们知道E 的阶就是矩阵A的秩 由此我们也知道对于一个可逆矩阵它的等价标 准形就是与它同阶的单位矩阵。
说明
（1）初等变换不改变矩阵的秩
（2）用初等行（列）变换把矩阵化成行（列） 阶梯时，非零行（列）的个数就是矩阵的秩 （3）把矩阵A化成行（列）阶梯矩阵B，则B的 列（行）向量组中任意最大无关组所对应的A的 列（行）向量组构成A的一个最大无关组。
三、矩阵秩的求法
1、用定义
矩阵的秩
ai1 j1 L
ai1 j2 L
L L
ai1 jr L
ai2 j1 air j1
ai2 j2 air j2
ai2 jr air jr
L L
，
则子式中的r个列向量必定线性无关, 把 这r个列向量加长后,可以得到A的r个线性
11
无关的列向量, 这说明A的列秩p ≥r; 根据引理, A的极大无关列构成的矩阵一 定有一个非零的p阶子式, 故p≤r, 所以p=r. 类似地，有 r rA r T =AT的列秩 A =A的行秩.
(2) A的非零子式的最高阶数r称为矩阵A的 秩(rank)，常用秩(A), R(A), rankA, rA 等记号表示. 规定零矩阵的秩为零.
3
由于行列式与它的转置行列式相等, 易知 rankA=rankAT. 当A的行(列)秩等于A的行(列)数时, 称 A为行(列)满秩矩阵. 当A是n阶方阵且|A|≠0时, rankA=n, 称 A为满秩矩阵. 易知： (1) 若矩阵A中有一个r阶非零子式, 则 rAr; (2) 若A中所有r阶子式全为0, 则 rA< r;
称为A的 一个k阶子式(minor).
2
,
1 i1 i2 ik s
如果矩阵A有一个r阶子式不为零, 所 有r+1阶子式(如果存在r+1阶子式)都等于 零, 则可推出A的所有更高阶的子式全为 零, 于是, r是A的非零子式的最高阶数. 定义11 (1) 矩阵A的行、列向量组的秩 分别称为A的行秩、列秩.
1 2 1 0 0
4 1 1 / 3 2 0 1 3 0 1 3 1
16
1 0 r4 r3 0 阶梯形 0
1 2 1 0 0
矩阵的秩与方程组解的判定
1 2 2 1 1
B
2 2
4 4
8 2
0 3
2 3
3 6 0 6 4
r2 2r1 1 2 2 1 1
r3 2r1 0 0 4 2 0
r4 3r1
0 0
0 0
2 1 5 6 3 1
r2 2 1 2 2 1 1 r3 r2 0 0 2 1 0
0 0 0 0 5 r4 3r2 0 0 0 0 1
证 先证明：若A经一次初等行变换变为B， 则R( A) R(B).
设 R( A) r，且 A 的某个 r 阶子式 Dr 0.
当A ri rj B或 A rik B时， 在 B 中总能找到与Dr 相对应的子式 Dr ,.
由于 Dr Dr 或 Dr Dr 或 Dr kDr ,
因此 Dr 0，从而 R(B) r. 当A ri krj B时，分三种情况讨论：
r3 5 r4 r3
1 2 2 1 1 0 0 2 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
R( A) 2, R(B) 3.
三、小结
1. 矩阵秩的概念 2. 求矩阵秩的方法 (1)利用定义 (即寻找矩阵中非零子式的最高阶数); (2)初等变换法
(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行 阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).
3 2 0 5 0
A
3 2
2 0
3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
r1 r4 r2 r4 r3 2r1 r4 3r1
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 0 12 9 7 11 0 16 12 8 12
r3 3r2
1 0
6 4
4 3
1 1
4 1
两个矩阵相乘为0,两个矩阵秩相加小于等于n证明
两个矩阵相乘为0,两个矩阵秩相加小于等于n证明首先，我们需要明确一些基本概念和性质：矩阵相乘：设有两个矩阵A和B，它们的乘积AB为另一个矩阵C。
若A是m×n的矩阵，B 是n×p的矩阵，则C是m×p的矩阵。
矩阵相乘的定义是：C的第(i,j)个元素等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。
矩阵的秩：对于一个矩阵A，定义其秩(rank)为该矩阵的列向量组的最大无关组的向量个数。
秩的性质有：-矩阵的秩小于等于它的行数和列数中的较小值。
-对于任意的矩阵A，经过初等变换可以得到一个行简化阶梯形矩阵R，其非零行的个数就是矩阵A的秩。
现在我们来证明题目给出的结论：假设有两个矩阵A和B，且它们的乘积为零矩阵（全零矩阵），即AB=0。
根据矩阵相乘的定义，我们可以知道，C=AB的第(i,j)个元素为A的第i行与B 的第j列对应元素的乘积之和。
而AB为全零矩阵，即C的所有元素都为零。
设A是m×n的矩阵，B是n×p的矩阵，则C是m×p的矩阵。
所以，对于C的每一个元素cij来说，有：cij=∑(k=1ton)aik*bkj其中aik是A的第i行第k列的元素，bkj是B的第k行第j列的元素。
由于C是全零矩阵，所以对于任意的i和j，有：∑(k=1ton)aik*bkj=0现在我们来证明题目给出的结论：两个矩阵的秩相加小于等于n，即rank(A)+rank(B)≤n。
根据矩阵的秩的定义，我们可以将矩阵A进行初等行变换，得到一个行简化阶梯形矩阵R_A。
同样地，将矩阵B进行初等行变换，得到一个行简化阶梯形矩阵R_B。
设R_A有r_A个非零行，R_B有r_B个非零行。
现在考虑矩阵C=AB，根据矩阵相乘的性质，C的秩等于A的秩与B的秩的乘积除以p，即rank(C)=rank(A)rank(B)/p。
而题目中已经给出AB=0，即C为全零矩阵，所以rank(C)=0。
结合上面的等式，我们有：rank(A)rank(B)/p=0由于p大于等于1（因为B是n×p的矩阵），所以rank(A)rank(B)=0。
§4.4 矩阵的秩这个还得好好看一下,尤其是那几个证明题好好看一下啊
显然： 显然：
非零行行数. 行阶梯形矩阵的秩为其
1 例 求 阵 = 2 1 矩 A −3
7 6的 、 秩 列 。 秩 行 与 秩 1
： 二 子 d 解 A的 阶 式 = r 故A =2 ；
1 7 2 6
≠ 0 A没 三 子 ， ， 有 阶 式
1 7 1 7 又 ≠ 0, , 线 无 ， 加 性 关 添 分 2 6 2 6 得 两 列 量 性 关 A 列 ＝ 。 量 A的 个 向 线 无 ， 的 秩 ２
T T T
从而rC ≤ rB。
22
推论1 设A是一个s × n矩阵，P，Q 分别是s阶和n阶可逆矩阵，则 rA = rPA = rAQ = rPAQ.
证明： = P (PA)，由矩阵乘积的秩 A 的定理，有rA = rP−1 ( PA) ≤ rPA ≤ rA，所以， rA = rPA； 同理rA = rAQ = rPAQ。
3
2 例 0 求矩阵 B = 0 0 解
−1 3 0 0
0 1 0 0
0
QB是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行， ∴ B 的所有 4 阶子式全为零 .
2 −1 3 而 0 3 − 2 ≠ 0, 0 0 4
∴
R ( B ) = 3.
23
−1
2 s 的矩阵， r 推论 设A是一个 × n的矩阵，秩为 , s P 则存在 阶可逆矩阵 和n阶的可逆矩阵 Er Q，使得 PAQ = ， 0 0 . 0
24
A 例 设 , B分 为 × n, s × m矩 ， 别 s 阵 则 rank( A, B) ≤ rankA+ rankB 。
19
1 2 0 2 1 2 0 2 行 证明：A = 1 3 −1 6 0 1 −1 4 → −4 −6 −2 0 0 2 −2 8 1 0 0 0 1 2 0 2 列 行 列 0 1 −1 4 0 1 −1 4 → → → 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 E2 0 。 0 1 0 0 = 0 0 = B 故A ≅ B.rB = 2，则rA = 2。 0 0 0 0 20
线性代数：矩阵的秩
0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 例4 设 A = , 求矩阵 A 的 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4 秩,并求 A 的一个最高阶非零子式 .
作初等行变换, 阶梯形矩阵: 解 对 A 作初等行变换,变成行 阶梯形矩阵:
0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 A= 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4
定义 2 设在矩阵 A 中有一个不等于 0 的 r 阶子 阶子式( 式 D,且所有 r + 1 阶子式(如果存在的话 )全等 的最高阶非零子式, 于 0,那末 D 称为矩阵 A的最高阶非零子式,数 r 称为矩阵 A 的秩,记作 r ( A) .并规定零矩阵的秩 的秩, 等于零 . m × n 矩阵 A 的秩 r ( A) 是 A 中不等于零的 子式的最高阶数 .
2 4
1 1 8 0 2 4 2 3 3 6 0 6 4 2
r2 2r1 1 2 2 1 r3 + 2r1 0 0 4 2 0 0 2 1 r4 3r1 0 0 6 3
1 0 5 1
r2 ÷ 2 r3 r2
r4 + 3r2
1 2 0 0 0 0 0 0
解 Q B是一个行阶梯形矩阵, 其非零行有 3行, 是一个行阶梯形矩阵,
∴ B 的所有 4 阶子式全为零 .
2 1 3 而 0 3 2 ≠ 0, 0 0 4
∴ r ( B ) = 3.
1 例3 已知 A = 0 2 1 3 = 2 ≠ 0, 解 Q 0 2
3 2 2 2 1 3 ,求该矩阵的秩. 求该矩阵的秩. 0 1 5
因此 D r ≠ 0,从而 r ( B ) ≥ r . 分三种情况讨论: 当A → B时,分三种情况讨论:
(1)Dr中不含第 i行; (2)Dr中同时含第 i行和第 j行; (3)Dr中含第 i行但不含第 j行;
矩阵的秩8个公式及证明
矩阵的秩8个公式及证明
矩阵的秩是线性代数中的一个重要概念，它描述了矩阵中线性无关的列（或行）的最大数量。
下面我将列举并证明矩阵的秩的八个公式。
1. 零矩阵的秩为0，证明很简单，因为零矩阵中没有非零的行或列。
2. 对角矩阵的秩等于非零对角元素的个数，证明也比较简单，因为对角矩阵中只有对角线上的元素可能非零，所以秩等于非零对角元素的个数。
3. 初等变换不改变矩阵的秩，初等变换包括交换矩阵的两行（列），用非零常数乘以矩阵的某一行（列），以及用一个非零常数乘以矩阵的某一行（列）加到另一行（列）上。
这些操作不改变矩阵的秩。
4. 行（列）等价的矩阵具有相同的秩，行等价指的是通过一系列的初等行变换可以相互转化的矩阵，列等价类似。
由于初等变换不改变矩阵的秩，所以行（列）等价的矩阵具有相同的秩。
5. 矩阵的秩不超过它的行数和列数中的较小值，这是因为矩阵
的秩描述的是矩阵中线性无关的列（或行）的最大数量，而这个数
量不可能超过矩阵的行数或列数。
6. 对于任意的矩阵A和B，秩(A + B) ≤ 秩(A) + 秩(B)，证
明过程比较复杂，可以使用矩阵的行列式性质和秩的定义进行证明。
7. 对于任意的矩阵A和B，秩(AB) ≤ min(秩(A), 秩(B))，
证明过程比较复杂，可以使用矩阵的行列式性质和秩的定义进行证明。
8. 对于任意的矩阵A，秩(A) = 秩(A^T)，这个公式的证明比
较简单，可以通过矩阵的转置操作和秩的定义进行证明。
综上所述，这是矩阵的秩的八个公式及其证明。
这些公式在线
性代数中具有重要的应用和意义。
第三节 矩阵秩
3 2 0 5 0
例1
设
A
3 2
2 0
3 1
6 5
31, 求矩阵 A的
1
6
4 1
4
秩．
解 对A作初等行变换，变成行阶梯形矩阵：
3 2 0 5 0
A
3 2
2 0
3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
1 6 4 1 4
r1 r4
3
2
3
6 1
2 0 1 5 3 3 2 0 5 0
定理4.3.1 一个 m n 矩阵 A (aij )经过有限次初 等变换后必可化为下面的 m n 标准矩阵.
Er 0
00
此标准形中 r 由A所惟一决定.
定义4.3.2 定理4.3.1中的r称为矩阵A 的秩,记作rank(A)或R(A)。
矩阵秩的性质
命题4.3.2 (1)等价的矩阵有相同的秩; (2)rank(A)=rank(AT).
1,ir 1
c1n
d1
0 L
0
0
L
c2i2 L
c c L 2ir
2,ir 1
c2n
d2
M
O
M0
O
MO
M
MO
M
M
(A | b) L
0
L
0
0
L
0 L 0 0 L
0 L 0 0 L
0
L
c c L rir
r ,ir 1
crn
dr
0L 0
0
L
0
d
r
1
0 L 0 0 L 0 0
M
O
M MO
MO
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关于矩阵秩的证明
-----09数应鄢丽萍
中文摘要
在高等代数中,矩阵的秩是一个重要的概念。
它是矩阵的一个数量特征，而且在初等变换下保持不变。
关于矩阵秩的问题,通常转化为矩阵是否可逆,线性方程组的解的情况等来解决。
所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩，矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩，由于矩阵的行秩与列秩相等，故统称为矩阵的秩。
向量组的秩就是向量组中极大线性无关组所含向量的个数。
关键词：初等变换向量组的秩极大线性无关组
约定用E 表示单位向量，A T 表示矩阵A 的转置，r(A)表示矩阵A 的秩。
在涉及矩阵的秩时，以下几个简单的性质： （1） r(A)=r(A T ); （2）
r(kA)=⎩
⎨⎧=≠0 00
)(k k A r
（3） 设A,B 分别为n ×m 与m ×s 矩阵，则 r(AB)≤min{r(A),r(B),n,m,s} (4) r(A)=n,当且仅当A ≠0
(5) r ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛B O O A =r(A)+r(B)≤r ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛B O C A (6) r(A-B)≤r(A)+r(B)
矩阵可以进行加法，数乘，乘法等运算，运算后的新矩阵的秩与原矩阵的秩有一定关系。
定理1：设A,B 为n ×n 阶矩阵，则r(A+B)≤r(A)+r(B) 证: 由初等变换可得
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B O O A →⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A O A →⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+B B A O A
即⎪⎪⎭⎫
⎝⎛E E O E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B O O A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛E E O E =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+B B A O A 由性质5可得
r ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B O O A =r ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+B B A O A
则有r(A)+r(B)≥r(A+B)
定理2（sylverster 公式）设A 为s ×n 阶矩阵，B 为n ×m
阶矩阵，则有r(A)+r(B)-n ≤r(AB)
证：由初等变换可得
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛O A B E n →⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛-AB O B E n →⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-AB O O E n 即⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛-s n E A O E ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛O A B E n ⎪
⎪⎭⎫ ⎝
⎛-m n E O B E ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-AB O O E n 则r ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛O A B E n =r ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-AB O O E n 即r(A)+r(B)-n ≤r(AB)
推论(Frobenius 公式) 设A 为m ×n 阶矩阵，B 为n ×s 阶矩
阵，C 为s ×t 阶矩阵，则
r(AB)+r(BC)-r(B)≤r(ABC)
证：设r(B)=r ,存在n 阶可逆矩阵P ，s 阶可逆矩阵Q ，
使 B=P ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛O O O E r Q=P ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛O E r ()O E r Q 令M=P ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛O E r ，N=()O E r Q 则有B=MN
根据定理2 r(AMNC)≥r(AM)+r(NC)-r(MN) ≥r(AMN)+r(MNC)-r(MN) 即r(AB)+r(BC)-r(B)≤r(ABC)
定理3 设A 为n ×n 矩阵，若A 2=E ，那么有
r(A+E)+r(A-E)=n 证：根据题意有（A+E ）（A-E ）=O 令A+E=A 1，A-E=A 2，有A 1A 2=O 由定理2可知 r(A 1)+r(A 2)≤n
即r(A+E)+r(A-E)≤n 又根据性质6有
r(A+E)+r(A-E)≥r[(A+E)-(A-E)]=r(2E)=n
故r(A+E)+r(A-E)=n
推论 设A 为n ×n 矩阵且A 2=A ，那么有 r(A)+r(A-E)=n 证：事实上，有
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-E A O O A
→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-E A A O A →⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-E A E O A →⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--E A E A A O 2→ ⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-O E A A O 2=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛O E O O 则有r ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-E A O O
A =r ⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛O E O O 故有r(A)+r(A-E)=r(E)=n
定理4 设A 是s ×n 实矩阵，有
r(E n -A T A)-r(E s -AA T )=n-s
证:要证r(E n -A T A)-r(E s -AA T )=n-s
即只要证r(E n -A T A)+s=r(E s -AA T )+n 由初等变换有
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s T n E A A E →⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-T s T n AA E O A E →⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛-T s n AA E O O E 即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-s n E A O E ⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛s T n E A A E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-s n E O A E =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-T s n AA E O O
E 故有
r ⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛s T n E A A E =r ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-T s n AA E O O E =n+r(E s -AA T ) 同理可证 r ⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛s T n E A A E =s+r(E n -A T A) 综上有 n+r(E s -AA T )=s+r(E n -A T A)
定理5 设A,C 均为m ×n 矩阵，B,D 均为n ×s 矩阵，则有 r(AB-CD)≤r(A-C)+r(B-D)
证：由分块矩阵的乘法得
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛n m E O C E ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--D B O O C A ⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛s n E O B E =⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---D B O CD AB C A 故
r ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--D B O O C A =r ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---D B O CD AB C A 故r(A-C)+r(B-D)≥r(AB-CD)
参考文献
【1】 刘红星.高等代数选讲【M 】.：机械工业出版社，2009. 【2】 钱吉林.高等代数题解精粹【M 】.：中央民族大学出版社，
2005.
【3】 徐忡，等.高等代数考研教案【M 】.;西北工业大学出版社，
2009.。