最短路径问题(将军饮马问题)--教学设计复习过程

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人教版八年级数学上册：13.4课题学习最短路径问题(将军饮马为题)教案

5.结合实际情境，让学生体会数学与生活的密切联系，增强数学学习的兴趣和信心，培养正确的数学价值观。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握轴对称的性质，以及在实际问题中的应用。
-学会利用轴对称性质解决最短路径问题，特别是将军饮马问题。
-掌握通过直观感知、操作确认、推理证明等数学活动来解决几何问题。
其次，小组讨论环节，学生的参与度很高，大家积极分享自己的观点。但我注意到，有些小组在讨论时可能会偏离主题，讨论一些与最短路径问题不相关的内容。这提示我在今后的教学中，需要更加明确讨论的主题和目标，适时引导学生回到主题上来。
另外，实践活动的设计上，我觉得还可以进一步优化。虽然实验操作能够帮助学生理解最短路径的概念，但我觉得可以增加一些更具挑战性和实际意义的任务，让学生在实践中遇到更多的问题，从而激发他们更深层次的思考和探索。
教学内容：
（1）回顾线段的性质，强调线段是两点间距离最短的路径。
（2）引入将军饮马问题，探讨在给定条件下如何找到最短路径。
（3）学习轴对称的性质，掌握将问题转化为轴对称问题的方法。
（4）应用轴对称性质解决将军饮马问题，得出最短路径的解法。
（5）通过例题和练习，巩固最短路径问题的求解方法。
二、核心素养目标
在难点和重点的讲解上，我尽量使用了简单的语言和生动的例子，但仍有部分学生在理解上存在障碍。我考虑在下一节课前，通过一些小测验来检测学生对这些概念的理解程度，以便我能够更有针对性地进行辅导。
此外，我也意识到，对于一些接受能力较强的学生，他们在掌握了基本概念后，可能需要更多拓展性的内容来满足他们的学习需求。因此，我计划在后续的课程中，提供一些难度较高的题目，让他们在挑战中进一步提升自己的能力。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调轴对称性质和线段性质这两个重点。对于难点部分，我会通过具体例题和图形比较来帮助大家理解。

134将军饮马——最短路径问题教学设计

134将军饮马——最短路径问题教学设计13.4将军饮马——最短路径问题教学设计一、教学内容解析为了解决生产，经营中省时省力省钱而希望寻求最佳的解决方案而产生了最短路径问题.初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”，“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”，为理论基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究.本节内容是在学生研究平移、轴对称等变换的基础上对数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体进行变式设计，开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称、平移将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”的问题.从中，让学生借助所学知识和生活经验独立思考或与他人合作，经历发现问题和提出问题，分析问题和解决、验证问题的全过程，感悟数学各部分内容之间，数学与实际生活之间及其他学科的联系，激发学生研究数学的兴趣，加深对所学数学内容的理解，它既是轴对称、平移知识运用的延续，又能培养学生自行探究，学会思考，在知识与能力转化上起到桥梁作用。

基于以上分析，本节课的教学重点确定为：[教学重点]利用轴对称、平移等变换将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.二、教学目标解析新课程标准明确要求，数学研究不仅要让学生获得必要的数学知识、技能，还要包括在启迪思维、解决问题、情感与态度等方面得到发展.因此，确定教学目标如下：[教学目标]能利用轴对称、平移解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟领会转化的数学思想，培养学生探究问题的兴趣和合作交流的意识，感受数学的实用性，体验自己探究出问题的成就感.[目标解析]达线目标的标志是：学生能将实际问题中的“地点”、“河”、“草地”抽象为数学中的“点”、“线”，把最短路径问题抽象为数学中的线段和最小问题，能利用轴对称将处在直线同侧的两点，变成两点处在直线的异侧，能利用平移将两条线段拼接在一起，从而转化为“两点之间，线段最短”问题，能经由进程逻辑推理证实所求距离最短，在探索问题的进程中，体会轴对称、平移的感化，体会感悟转化的数学思想.三、学生学情诊断八年级的学生直接经验少，理解本领差，抽象思维水平较低，处于直觉经验型思维向逻辑思维的过渡阶段，辩证思维还只是处在萌芽和初始的状态上.最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中生，在此前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手.解答：“当点A、B在直线的同侧时，如何在上找点C，使AC与CB的和最小”，需要将其转化为“直线异侧的两点，与上的点的线段和最小”的问题，为什么需要这样转化，怎样通过轴对称实现转化，一些学生会存在理解和操作方面的困难.在证实“最短”时，需要在直线上任取一点，证实所连线段和大于或等于所求作的线段和.这种思路和办法，一些学生还想不到.在解答“使处在直线两侧的两线段和最小”的问题，需要把它们平移拼接在一起，一些学生想不到.教学时，教师可以让学生首先思考“直线的异侧的两点，与上的点的线段和最小”，给予学生开导，在证实“最短”时，点拨学生要另选一个量，经由进程与求证的那个量举行比较来证实，同时让学生体会“任意”的感化，因此确定本节课的教学难点为：[教学难点]如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.四、教学策略分析建构主义理论的核心是“知识不是被动接受的而是认知主体积极建构的.”根据本节课的教学目标、教材内容以及学生的认知特点和实际水平，教学上采用“引导——探究——发现——证明——归纳总结”的教学模式，鼓励引导学生、开动脑筋、大胆尝试，在探究活动中培养学生创新思维与想象能力.教师的教法：突出解题办法的引导与开导，注重思维惯的造就，为学生搭建介入和交流的平台.经由进程对“将军饮马问题”而改编与设计，增强数学教室兴趣性,相同背景，不同问题，由浅入深、层层递进，有利于学生分析与解决问题，同时利用现代的信息技术，直观地展示图形的变化进程，进步学生研究兴趣与激情.学生的学法：突出探究与发现，思考与归纳提升，在动手探究、自主思考、互动交流中，获取知识与能力.5、教学基本流程探索新知——运用新知——拓展新知——提炼新知——课外思考六、教学过程设计（一）探索新知1、建立模型问题1唐朝诗人XXX的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题．如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的指挥部A地出发，到一条笔直的河边使他所走的路线全程最短？追问1，这是一个实际问题，你打算首先做什么呢？师生活动：将A、B两地抽象为两个点，将河抽象为一条直线饮马，然后到军营B地，到河滨什么地方饮马可追问2，你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学的问题吗？师生活动：学生交流讨论，回答并相互补充，最后达成共识：（1）行走的路线：从A地出发，到河边饮马，然后到B 地；上的点.设C为直线l（2）路线全程最短转化为两条线段和最短；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线上的一个动点，上面的问题转化为：当点C在的什么位置时，AC与CB的和最小［设计意图］从数学史上久负盛名的“将军饮马问题”引入，增长学生们的数学底蕴，进步其人文思想.同时引导学生分析题意，画出图形.将实际问题转化为数学问题更有利于分析问题、解决问题.2、解决问题问题2如图点A、B在直线的同侧，点C位直线位置时，AC与CB的和最小？上的一个动点，当点C在的什么师生活动：让学生独立思考、画图分析，并展示如果学生有困难，教师作如下提示：（1）如图，如果军营B地在河对岸，点C在此受到什么启发呢？的什么位置时，AC与CB的和最小？由（2）如图，如何将点B“移”到保持CB与CB´的长度相等？的另一侧B´处，且满足直线上的任意一点C，都学生在老师的开导引导下，完成作图.［设计意图］先通过学生对本题的思考尝试，并展示，师生共同纠错，提高认识与辩证思想，再通过老师的引导启发明白解决这个问题应该运用轴对称的性质，将两点在直线同侧的问题，转化为两点在直线异测的问题，提高学生的空间想象能力与逻辑思维能力，让学生在思考和解决问题的过程中，提高甄别是非的能力，感悟转化的数学思想.3、证明“最短”问题3，为什么这种作法是正确的呢？你能用所学的知识证明AC+CB最短吗？师生活动：分组讨论，教师引导点拨，结合多媒体的演示，师生共同完成证明过程.证明：如图，在直线上任取一点Cˊ.连接AC´、BC´、B´C´.由轴对称的性质可知：BC=B´CBC´.=B´C´∴XXX=AB´AC´+BC´=AC´+B´C´当C´与C不重合时AB´＜AC´+C´B´∴AC+BC＜AC´+C´B当C´与C重合时AC+BC=AC´+C´B总之，AC+BC≤AC´+C´B即AC+BC最短［设计意图］利用现代信息技术，经由进程移动点C´的位置，可发觉：当C´与C不重合时，AC+BC＜AC´+C´B，当C´与C重合时，XXX让学生很容易知道AC+BC最短，消除学生的疑虑，发挥了多媒体的感化，让学生进一步体会作法的正确性，进步了逻辑思维本领.4、小结新知回顾前面的探究进程，我们是经由进程怎样的进程，借助什么解决问题的？体现了什么数学思想？师生活动：学生回答，并相互补充.［设计意图］让学生在反思的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想，明确解题的方法与策略，为后面进一步的研究探究做准备.（二）运用新知XXX，如果将军从指挥部A地出发，先到河滨a某一处饮马，再到草地边b某一处牧马，然后来到军营B地，请画出最短路径.师生活动：分组讨论，教师点拨，点学生上台操作演示，画出最短路径.［设计意图］对前面所学的解题办法与思路得以巩固，让学生构成技能，进一步体会感悟数学中的转化思想，点学生下台操作演示，进步他们的学生兴趣与理论本领，体会成功的高兴，激发他们进一步探究问题的欲望.（三）拓展新知有一天，将军突发奇想：如果从指挥部A地出发，到一条笔直的河边a某处饮马，然后沿着河边行走一定的路程，再来到军营B地，到河边什么地方饮马可使所走的路线全程最短？师生举动：1、老师首先解释行走肯定的路程的含义，引导学生将实际问题抽象为数学问题，再提出如下问题：（1）要使所走的路线全程最短，实际上是使几条线段之和最短？（2）怎样将问题转化为“两点之间，线段最短”的问题.2、分组讨论，师生共同分析.3、完成作图，体会作图的步调与分析问题的思路的联系与区别.［设计意图］本题在“将军饮马问题”的背景下进行改编，有造桥选址问题的影子，既增强了课堂教学的趣味性，又完成了教学任务，可谓一举两得..教学由问题引领，老师引导，学生小组合作讨论交流的方式，充分发挥现代信息技术的作用完成分析与解答的过程，让学生学得轻松与愉悦，培养了学生的应用意识、创新意识、综合与分析能力，在解决问题的过程中，体会作图题的解题方法与策略.让学生的能力得到进一步锻炼与提高.（四）提炼新知师生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：1、本节课研讨问题的进程是什么？2、解决上述问题运用了什么知识？。

〖2021年整理〗《最短路径问题1》名师优秀教案

课题学习最短路径问题（第一课时）将军饮马问题（邹敏）一、教学目标一学习目标1会利用轴对称解决简单的最短路径问题;2会利用轴对称解决简单的周长最小问题;3体会轴对称变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．（二）教学重点教学重点：利用轴对称知识将最短路径问题的实际问题转化为“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”的问题（三）教学难点教学难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题二、教学过程（一）课前设计1．预习任务前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，”，“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，”等的问题，我们称它们为问题．【答案】线段最短，垂线段最短，最短路径2．预习自测⑴如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走路最近你的理由是【设计意图】让学生回顾旧知“两点之间，线段最短”，为引入新课作准备【知识点】两点之间、线段最短【答案】②，两点之间，线段最短（或者三角形中两边之和大于第三边）⑵已知：如图，A ，B 在直线的两侧，在上求一点l ABlPABlPABlB Al ABlCABlBAlCB'BAlCB'BAC'图1E D CA''A'ON M A图2FED CA''A'O NM AE'F'F EP 2P 1P A BO河流草地MNDC B'A'ABFllA.B.（第3题图）（图1）（图2）4题图4题答案图lBAlBBA小明，点M 、N 分别在OA、OB 上，求△，即△2【思路点拨】该题属于“一点两线型”求三角形周长最短问题，所求△ 【答案】6cm探究型多维突破9、如图，牧童在A 处放牛，其家在B 处，A ，B 到河岸CD 的距离分别为AC ，BD ，且AC ＝BD ，若A 到河岸CD 的中点的距离为500 m 1牧童从A 处把牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？在图中作出该处；保留作图痕迹，不写作法 2求出最短路程【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短、全等三角形的判定【解题过程】1作法：①如图作点A 关于CD 的对称点A ′；②连接A ′B 交CD 于点M 2由1可得直线CD 是点A 与点A ′的对称轴，M 在CD 上，∴AM ＝A ′M ，A ′C ＝AC ，又∵AC ＝BD ，∠A ′CM=∠BDM=90°， ∠A ′MC=∠BMD ，∴△A ′CM ≌△BDM ，∴CM ＝DM ，A ′M ＝BM ，∴M 为CD 的中点，且A ′B ＝2AM ，∵AM＝500 m，所以A′B＝AM＋BM＝2AM＝1 000 m．即最短路程1000 m【思路点拨】⑴该题为“两点直线同侧一线型”求最短路径问题，在直线上找一点M，使A′MMB最小，A′MMB的最小值为线段A′B的值，再根据“两点之间，线段最短”解决;⑵由条件“AC＝BD”可推出△A′CM ≌△BDM，从而得到最短距离A′B=2AM=1000m【答案】1如图，点M即为所求的点; 2 最短路程为1000 m10如图，在五边形ABCDE中，①在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN周长最小；保留作图痕迹，不写作法②若∠BAE＝125°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC，AE＝DE，∠AMN＋∠ANM的度数为________．【知识点】轴对称知识，两点之间线段最短，三角形的内角（外角）知识【解题过程】①取点A关于BC的对称点，与DE相交于点N，如图1，N的周长最小值，如图2；②如图3，∵∠BAE＝125°，∴在△AN＝∠＝2∠＝∠Q＋∠QAN＝2∠Q，∴∠AMN＋∠ANM＝2∠N周长AMMNAN的最小值为线段N周长最小；②∠AMN＋∠ANM＝110°自助餐1 如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（2，8）和（6，0），点C是轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（）A（0，0）B（0，2）C（0，4）D（0，6）【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短、等腰直角三角形的知识【解题过程】作B 点关于轴对称点B ′点，连接AB ′交轴于点C′，当点C 在C ′处时△ABC 的周长最小过点A 作AE ⊥轴于点E ，∵点A 、B 的坐标分别为（2，8）和（6，0），∴B′点坐标为（﹣6，0），E （2，0），AE =8，OE =2∴B′E=8，∴B′E =AE ，O B′=B′E －OE=6 又∵AE ⊥B′B ，∴∠A B′E =∠B′AE =45°，∵C′O ∥AE ，∠C′O B′=90°， ∴∠C ′B′O = ∠B′C ′O =45°，∴C ′O = B ′O =6， ∴点C′的坐标是（0，6），当点C 在C ′处时△ABC 的周长最小，故选D ．【思路点拨】分离出“两点一线型”的最短路径模型：在轴的同侧有点A 和点B ，点，在轴上找一点C ，使AC ，再由图可构造等腰直角△AC B′，求出坐标【答案】D 2如图所示，点22EF A B21、ON 于Q 、R ，此时△的对称点O ，NO 于Q ，R ，连接上任取一个异于Q 的点Q ′，在ON 上任取一个异于R 的点R ′，连接PQ ′，P ′Q ′，Q ′R ′，P ″R ′，PR ′，则PQ ′＝P ′Q ′，PR ′＝P ″R ′，P ′Q ′＋Q ′R ′＋R ′P ″＞P ′Q ＋QR ＋RP ″，所以△PQR 的周长最小，Q ，R 就是我们所求的小桥的位置．5．如图所示，P，Q为△ABC边上的两个定点，在BC上求作一点R，使△PQR的周长最小．【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【解题过程】1作点P关于直线BC的对称点P′；2连接P′Q，交BC于点R，则点R就是所求作的点，如图所示．【思路点拨】P，Q为△ABC边上的两个定点，所以PQ长为定值，使△PQR的周长最小，只需要PRQR最小故分离出“一点两线型”的模型：在直线BC的同侧有点P和点Q，在直线BC上找一点R，使PRQR最小【答案】如图所示，点R就是所求作的点6．如图，一艘游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上某处，再返回P 处，请画出游船航行的最短路径．【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【数学思想】转化思想【解题过程】如图1，作点P关于直线BC 的对称点P′，连接QP′，与直线BC相交于点R则游船航行路线是：P→Q→R→P，即将游客送到河岸BC的R，游船航行的路径最短（或作点Q关于直线BC 的对称点Q′同样得解，如图2）【思路点拨】将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC 的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与QR 的和最小”由于P、Q为定点，所以线段PQ 长为定值，航行路径中的必经线路PQ为定值，只需在BC上找一点R使PRQR最小即可，即“两点一线型”的最短路径问题图2【答案】如图3，游船航行路线是：P →Q →R →P ，即将游客送到河岸BC 的R 处，游船航行的路径最短图3R P'C ABQ P。

将军饮马的教案

将军饮马的教案一、教学目标1.了解“将军饮马”问题的基本原理，掌握解决此类问题的方法。

2.通过实例分析，培养学生的数学思维能力和解题技巧。

3.激发学生对数学的兴趣，提高学习数学的积极性。

二、教学内容1.引入“将军饮马”问题：通过讲述古代将军饮马的故事，引出数学中的对称问题。

2.讲解基本原理：介绍“将军饮马”问题的基本原理，即两点之间线段最短。

3.实例分析：通过具体实例，让学生了解如何运用“将军饮马”原理解决实际问题。

4.练习与巩固：提供相关练习题，让学生在实际操作中掌握解题方法。

三、教学步骤1.导入新课：通过讲述古代将军饮马的故事，引出数学中的对称问题，激发学生的学习兴趣。

2.讲解基本原理：详细讲解“将军饮马”问题的基本原理，让学生明确线段最短的性质。

3.实例分析：通过具体实例，让学生了解如何运用“将军饮马”原理解决实际问题。

教师可以先演示一遍，然后让学生自己动手操作，加深理解。

4.练习与巩固：提供相关练习题，让学生在实际操作中掌握解题方法。

教师可以根据学生的实际情况进行个别辅导，确保每个学生都能掌握解题方法。

5.总结与回顾：对本节课的内容进行总结与回顾，让学生明确学习目标和学习内容。

6.布置作业：布置相关作业，让学生在课后继续巩固所学知识。

四、教学评价1.课堂表现：观察学生在课堂上的表现，评估他们对“将军饮马”问题的理解程度。

2.作业完成情况：检查学生的作业完成情况，评估他们对解题方法的掌握程度。

3.综合评价：根据学生的课堂表现和作业完成情况，综合评价他们的学习效果。

将军饮马问题复习课教案

将军饮马问题复习课教案
教学步骤
引入问题（5分钟）
引出将军饮马问题的背景和基本情境。

提问学生：你们还记得将军饮马问题是什么吗？
确保学生对问题的基本概念有一定的了解。

问题分析（10分钟）
回顾将军饮马问题的具体要求和限制条件。

强调问题的复杂性和挑战性。

分析问题的关键点和难点，以帮助学生深入理解。

解题思路（15分钟）
介绍常用的解题思路和策略。

强调分析问题的重要性，包括确定问题的边界条件和可能的解决方案。

提示学生注意思考的层次和逻辑，以找到最优解。

案例讲解（20分钟）
通过具体的案例，展示将军饮马问题的解题过程。

分步讲解解题思路和关键步骤。

强调问题求解的合理性和可行性。

小组讨论（15分钟）
将学生分成小组，让他们自由讨论解题思路和方法。

鼓励学生在小组中分享彼此的见解和想法。

监督小组讨论的进行，确保每个学生都有机会参与。

总结和巩固（10分钟）
总结本节课的重点内容和要点。

强调将军饮马问题的应用领域和实际意义。

提供额外的练习题或资源，以帮助学生巩固所学内容。

作业
要求学生完成指定的练习题或问题，以进一步巩固对将军饮马问题的理解和解题能力。

鼓励学生自主学习相关的拓展知识和应用案例。

备注
确保课堂教学流畅进行，引导学生主动思考和讨论。

人教版数学八年级上册13.4课题学习最短路径问题将军饮马优秀教学案例

（二）过程与方法
在本章节的学习过程中，学生将经历以下过程与方法：
1.通过小组合作、讨论交流的方式，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
2.引导学生从实际问题出发，培养学生的发现问题、分析问题和解决问题的能力。
3.利用数学软件、教具等辅助工具，培养学生的动手操作能力和实际应用能力。
4.通过对最短路径问题的探讨，引导学生掌握数学建模的方法，提高学生的数学思维能力。
4.教师巡回指导，关注每个小组的学习情况，及时解答学生疑问。
（四）反思与评价
1.教师引导学生对所学知识进行总结、反思，帮助学生巩固知识点，形成知识体系。
2.鼓励学生自我评价，反思自己在解决问题过程中的优点和不足，培养学生的自我认知能力。
3.组织小组互评，让学生学会欣赏他人的优点，发现自身的不足，促进团队合作。
3.对学生提出的解决方案进行讨论、分析，找出最优解，并解释其原理。
（三）小组合作
小组合作是实现教学目标的重要途径，具体策略如下：
1.将学生分成若干小组，每组4-6人，确保组内成员在知识、能力、性格等方面具有一定的互补性。
2.各小组针对问题进行讨论、研究，共同寻找解决方案。
3.小组间进行交流、分享，互相学习，取长补短。
4.教师对学生在课堂上的表现进行评价，给予肯定和鼓励，指出需要改进的地方。
（五）作业小结
在作业小结环节，我将布置以下任务：
1.请学生运用所学知识，解决一个生活中的最短路径问题，并以作文或报告的形式提交。
2.要求学生在作业中阐述自己的思考过程、解决方案和心得体会，以提高学生的书面表达能力。
3.鼓励学生进行课后拓展，了解其他求解最短路径的方法，如：A*算法、遗传算法等，提升学生的自主学习能力。
3.小组间进行分享、交流，互相借鉴，完善各自的方法和思路。

《最短路径-将军饮马问题》教学设计

《最短路径问题》教学设计一、内容和内容解析1、教学内容《最短路径问题》是人教版八年级上册第十三章课题学习第1课时的内容.本节课的主要内容是解决由“将军饮马问题”引出的数学问题“两点在直线同侧求最短路径”以及“两线一点”，“两线两点”等最短路径问题.2、教学内容解析本节课是在学生学习了轴对称的知识以及“两点之间，线段最短”，“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等知识的基础上，展开了本节课的求最短路径问题，这节课是轴对称知识的一个很好的应用，进一步巩固了轴对称的知识，使轴对称知识更加灵活，并在学生头脑中打下扎实的基础。

最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究。

本节课以数学史中的一个经典问题一“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”(或“三角形两边之和大于第三边”)问题.3、教学重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短问题”二、教学目标及其解析1、教学目标:(1)理解并掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定。

(2)能利用轴对称解决简单的最短路径问题。

(3)通过独立思考，合作探究，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

2、目标解析:要求学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”把实际问题抽象为数学的线段和最小问题:能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题:能另选一点，通过比较、逻辑推理证明所求距离最短:在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想。

三、学生学情分析八年级学生的观察、操作、猜想能力较强，但演绎推理、归纳和运用数学的意识比较薄弱，此年龄段的学生具有一定的探究精神和合作意识，能在一定的亲身经历和体验中获取一些数学知识，但在数学的说理上还不规范，演绎推理能力有待加强。

函数中将军饮马问题教学设计

函数中将军饮马问题教学设计一、教学内容解析通过轴对称思想建立模型解决数学中的最短路径问题，是近几年中考中常出现且大多以压轴题的形式出现的考查点。

由于中学生数学建模能力不强，许多学生认为解决最短路径问题比较困难，无从下手。

本文通过运用“将军饮马”问题中的轴对称思想在一些复杂图形中建立轴对称模型，解决求线段和、三角形周长等一类最小值问题以及函数动点中的最小值问题，给数学教育工作者中考备考提出一些建议。

本节课以数学史中的一个经典故事“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间、线段最短”的问题。

【教学目标】1.要求学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”、“线”，把最短路径问题抽象为数学中的线段和最小问题，能利用轴对称变换转化为“两点之间，线段最短”问题，通过逻辑推理证明所求距离最短，从而解决一些复杂图形中求函数动点中的最值问题。

2.培养学生探究问题的兴趣和合作交流的意识，提高解题能力，体会感悟转化的数学思想.【教学重点】利用两点之间，线段最短及轴对称变换解决有关最短距离问题。

【教学难点】如何找动点、定点、对称点、对称轴，利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。

【课时设计】1 课时教学过程：教师活动“将军饮马”问题在古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，有位将军不远千里专程来向他请教一个问题：将军从位于 A 点的军营出发到河边饮马，然后再去 B 军营，饮马的地点选在哪，才能使所走的总路程最短？1.这个问题中A 点和B 点在河的不同侧；2. A 点和B 点在河的同侧；（1）（2）例（2015 年广东中考题）如图，反比例函数(k≠0，x＞0)图象与直线y=3x 相交于点C，过直线上点A(1，3)作AB⊥x轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AB=3BD。

（1）求k 的值；（2）求点C 的坐标；（3）在y 轴上确定一点M，使点M 到C、D 两点距离之和d=MC+MD 最小，求点M 的坐标。

数学北师大版九年级下册将军饮马问题教学设计

中考最值专题复习《将军饮马问题》教学设计连州市北山中学欧金玲教学目标：1、理解并掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上某一个点距离之和的点的位置的确定。

2、了解平面内“两线＋一点”和“两线＋两点”的最短距离问题的解题思路。

3、了解将军饮马问题的四个模型，能通过逻辑推理证明所求距离最短。

4、在探索最短路径的过程中，体会轴对称的图形变换作用，感悟转化思想.5、通过解决实际生活中的路径最短的问题，让学生感悟将“生活实际问题”转化为“数学模型问题”的转化思想。

教学重、难点教学重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。

教学难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。

突破难点的方法：利用轴对称性质，作任意已知点的对称点，连接对称点和已知点，得到一条线段，利用两点之间线段最短来解。

教学准备：多媒体课件。

教学过程一、复习旧知1.将军饮马问题的起源。

2.初中平面几何中与最值有关的公理和定理二、模型提炼(一)两定点在一条直线两侧例1.如图：古希腊一位将军骑马从城堡A到城堡B，途中马要到小溪边饮水一次。

问将军怎样走路程最短？(二)两定点在一条直线同侧例2.如图：一位将军骑马从城堡A 到城堡B ，途中马要到河边饮水一次，问：这位将军怎样走路程最短？变式：已知：P 、Q 是△ABC 的边AB 、AC 上的点，你能在BC 上确定一点R ，使△PQR 的周长最短吗？(三)一定点在两相交直线内部例3.如图：一位将军骑马从驻地A 出发，先牵马去草地OM 吃草，再牵马去河边ON 喝水，最后回到驻地A ，问：这位将军怎样走路程最短？变式1：已知P 是△ABC 的边BC 上的点，你能在AB 、AC 上分别确定一点Q 和R ，使△PQR 的周长最短吗？变式2：已知∠MON 中有一点A,求在OM 、ON 上分别找一个点B 、C,城堡A城堡B使得AB+BC最短。

( 四）两定点在两相交直线内部如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要从牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的最短路线。

最短路径问题(将军饮马为题) 优秀教案

人教版八年级上册第十三章轴对称课题学习最短路径问题教学设计课题人教版八年级上册第十三章轴对称教具准备多媒体课件，正方体纸盒13.4课题学习最短路径问题学具准备正方体纸盒，三角板课时共（1）课时，第（1）课时执教教师教材分析本节课是在学生已经学习了“两点之间，线段最短”“垂线段最短”的基础上，借助轴对称研究以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题．学情分析最短路径问题从本质上说是极值问题，作为八年级的学生，在此之前很少接触，解决这方面问题的经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的极值问题，更会感到陌生，无从下手。

教学目标知识与技能1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题。

2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用。

3.感悟转化思想。

过程与方法1.在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力。

；2.渗透数学建模的思想。

情感态度与价值观1.通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.2.体验数学学习的实用性,体现人人都学有所用的数学教学重点利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题；培养学生解决实际问题的能力.教学难点路径最短的证明教学过程设计设计意图一、以旧引新，激情引趣1、利用101PPT中本课的一道习题，复习“两点之间，线段最短”为了激发学生的求知欲，利用蚂蚁爬行最短路径问题激情引趣。

充分利用101PPT学科工具中立体展开还原的动画过程，让学生通过观察纸盒的打开过程，寻找蚂蚁的爬行捷径。

从而引出线段公理：两点之间线段最短和垂线段的性质：垂线段最短让学生体会新知识是在原有知识基础上“生长”出来的。

以旧引新，给予学生亲切感，树立学好本节课的信心。

二、展示目标，合理定位利用思维导图，展示本节课的学习目标三、探究新知，教师主导1、师生一起借助信息技术探究“将军饮马问题（一）”传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天骑马从城堡出发，到军营，途中马要到小溪边饮水一次。

数学人教版八年级上册微课教学设计——《最短路径——将军饮马问题》

微课《最短路径-将军饮马问题》教学设计博白县中学张玉玲一、学习目标：1．能利用轴对称解决简单的最短路径问题。

2. 体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。

二、重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。

难点：利用轴对称解决简单的最短路径问题。

三、学前准备对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题。

四、教学过程（一）课前导入前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等问题，我们称它们为最短路径问题，现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本课将利用所学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”。

（2）引出问题问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：将军从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到营地B 处．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？（3）证明过程如图，点A ，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 之和最小？问题3 你能用所学的知识证明AC +CB 之和最小吗？证明：如图，在直线上任取一点C ′，（与点C 不重合）连接A C ′, B ′C, B ′C ′。

由轴对称的性质知，BABA lCBAlCC CCBC =B ′C ，BC ′=B ′C ′ ∴ AC +BC = AC +B ′C = AB ′， AB ′＜AC ′+B ′C ′， ∴ AC +BC ＜AC ′+BC ′．即 AC +CB 之和最小。

（四）方法总结B¡¤lA¡¤B ′CC ′B¡¤lA¡¤B ′CB¡¤lA¡A ′C。

最短路径问题(将军饮马问题)--教学设计

最短路径问题(将军饮马问题)--教学设计最短路径问题——将军饮马问题及延伸湖南省永州市双牌县茶林学校熊东旭最短路径问题教学内容解析：本节课的主要内容是利用轴对称研究某些最短路径问题，最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移变换进行研究。

本节课以数学史中的一个经典故事----“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间、线段最短”的问题。

教学目标设置：1、能利用轴对称解决最短路径问题。

2、在解题过程能总结出解题方法，，能进行一定的延伸。

3、体会“轴对称”的桥梁作用，感悟转化的数学思想。

教学重点难点：重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题。

难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。

学情分析：1、八年级学生的观察、操作、猜想能力较强，但演绎推理、归纳和运用数学意识的思想比较薄弱，自主探究和合作学习能力也需要在课堂教学中进一步引导。

此年龄段的学生具有一定的探究精神和合作意识，能在一定的亲身经历和体验中获取一定的数学新知识，但在数学的说理上还不规范，集合演绎推理能力有待加强。

2、学生已经学习过“两点之间，线段最短。

”以及“垂线段最短”。

以及刚刚学习的轴对称和垂直平分线的性质作为本节知识的基础。

教学条件分析:在初次解决问题时，学生出现了多种方法，通过测量，发现利用轴对称将同侧两点转化为异侧两点求得的线段和比较短；进而利用PPT动画演示，实验验证了结论的一般性；最后通过逻辑推理证明。

教具准备：直尺、ppt教学过程：将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”，把实际问题抽象线段和最小问题。

二探究新知（1）【转化】：你能将实际问题抽象为数学问题吗？（2）【展示】：让学生猜想，并画出图形。

人教版八年级数学上册13.4《最短路径问题——将军饮马》教学设计

13.4 课题学习最短路径问题第一课时一、内容和内容解析1.内容最短路径问题——将军饮马问题2.内容解析本节课主要以“轴对称知识”、“两点之间，线段最短”、“三角形三边关系”等为基础，来解决数学史上的一个经典问题——“将军饮马问题”，让学生经历将实际问题抽象为数学中的线段和最小问题，接着利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”的问题，然后再利用“三角形三边关系”对作图进行证明。

最后让学生对所学知识加以应用。

重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题，培养学生解决实际问题的能力。

二、目标和目标解析1.教学目标（1）能将实际问题中的“地点”、“一排商铺”抽象为数学中的“点”、“线”，把实际问题抽象为数学问题；（2）能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”的问题；（3）能通过逻辑推理证明所求距离最短；（4）体会图形的变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想，进一步获得数学活动的经验，增强应用意识。

2.目标解析（1）将实际问题抽象成数学问题是学生的应具备的能力。

数学来源生活，服务生活。

（2）学生学会将用轴对称最短路径变为“两点之间线段最短”问题三、教学问题诊断分析学生在之前已经学习了“两点之间，线段最短”、“三角形三边关系”、“轴对称”等知识，知道如何去找某点关于某条直线的对称点，为本节课的学习打下了基础。

但是如何将将军饮马问题中的同侧两点问题转化为异侧两点问题，最终用“两点之间线段最短”解决，这是学生不易理解的地方。

本节课教学难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题；在实际问题中运用最短路径模型灵活解决问题。

关键：运用好数形结合的思想，特别是从轴对称和线段的性质入手，利用轴对称转移线段，从而获得求线段之和最短问题的直观形象，以便准确理解本节课的内容。

四、教学过程设计1.故事引入，引出课题问题1 同学们你们取过包裹快递吗？你们知道双十一吗？播放《直击双11物流现场》视频，激发学生学习兴趣。

最短路径问题(将军饮马问题)--教学设计

最短路径问题——将军饮马问题及延伸湖南省永州市双牌县茶林学校熊东旭最短路径问题教学内容解析：本节课的主要内容是利用轴对称研究某些最短路径问题，最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移变换进行研究。

教学目标设置：1、能利用轴对称解决最短路径问题。

2、在解题过程能总结出解题方法，，能进行一定的延伸。

3、体会“轴对称”的桥梁作用，感悟转化的数学思想。

教学重点难点：重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题。

难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。

2、学生已经学习过“两点之间，线段最短。

”以及“垂线段最短”。

以及刚刚学习的轴对称和垂直平分线的性质作为本节知识的基础。

教具准备：直尺、ppt教学过程：环节教师活动学生活动设计意图一复习引入1.【问题】：看到图片，回忆如何用学过的数学知识解释这个问题？2.这样的问题，我们称为“最短路径”问题。

1、两点之间，线段最短。

2、两边之和大于第三边。

从学生已经学过的知识入手，为进一步丰富、完善知识结构做铺垫。

最短路径问题(将军饮马问题)--教学设计课题

教学目标设置：1、能利用轴对称解决最短路径问题。

2、在解题过程能总结出解题方法，，能进行一定的延伸。

3、体会“轴对称”的桥梁作用，感悟转化的数学思想。

教学重点难点：重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题。

难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。

2、学生已经学习过“两点之间，线段最短。

”以及“垂线段最短”。

以及刚刚学习的轴对称和垂直平分线的性质作为本节知识的基础。

1、两点之间，线段最短。

2、两边之和大于第三边。

从学生已经学过的知识入手，为进一步丰富、完善知识结构做铺垫。

人教版数学八年级上册13.4课题学习最短路径问题将军饮马说课稿

（三）互动方式
在教学过程中，我将设计多样化的师生互动和生生互动环节，以促进学生的参与和合作。在师生互动环节，我将通过提问、回答和讨论等方式，与学生进行实时互动，了解学生的学习情况，并及时给予引导和反馈。在生生互动环节，我将组织小组讨论、合作探究等活动，让学生相互交流、分享想法和解决问题，培养他们的团队合作能力和沟通能力。此外，我还将鼓励学生积极参与课堂讨论，提出问题和建议，激发他们的学习兴趣和主动性。通过这些互动方式，我将创造积极的学习氛围，促进学生的参与和合作，提高他们的学习效果。
（二）学习障碍
在学习本节课之前，学生需要具备平面几何的基本知识，如点、线、面的基本概念，图形的性质和运算能力。他们还需要具备一定的问题解决能力和逻辑思维能力，能够理解和运用几何图形的性质来解决问题。然而，部分学生可能对将军饮马问题的背景和意义不够了解，可能会对其解决方法感到困惑。此外，对于一些复杂的最短路径问题，学生可能存在理解上的困难和解决上的挑战。
（二）新知讲授
在新知讲授阶段，我将逐步呈现知识点，引导学生深入理解。首先，我会介绍将军饮马问题的定义和特点，让学生明确问题的实质。接着，我会通过图形的直观演示和几何绘图软件的应用，向学生展示将军饮马问题的解决方法。我会引导学生观察图形的变化，解释和证明解决方法的合理性。在这个过程中，我会鼓励学生积极参与，提出问题和想法，并与同学们进行交流和讨论。通过这种方式，学生能够深入理解知识点，并培养他们的逻辑思维能力和解决问题的能力。
（五）作业布置
课后作业的布置目的是帮助学生巩固所学知识，并培养他们的自主学习能力。我计划布置一道将军饮马问题的综合练习题，要求学生在课后解决并提交。此外，我还会布置一些相关的阅读材料，让学生进一步了解将军饮马问题的背景和应用。通过这些作业，学生能够在课后继续巩固和运用所学知识，提高他们的学习效果。

《将军饮马问题》教案 (2)

《将军饮马问题》教案一、问题背景：唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。

”诗中隐含着一个有趣的数学问题。

如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营，请问怎样走使总的路程最短？B·营地A·山峰河流这个问题在古罗马时代就有了，传说在亚历山大城有位精通数学和物理的学者，名叫海伦。

一天，以为罗马将军专程拜访他，向他请教一个百思不其解的问题。

将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河边同侧的B 营地开会，应怎样走使路程最短？这个问题很简单，海伦略加思索就解决了二、引用“饮马问题”：将军饮马问题，应用拓展到人教版八年级上册轴对称性质当中一实际应用问题：如图所示，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？B·镇A·镇L三、教学方法的探究：当教师在组织教学活动中，平铺直叙得讲，学生不易理解。

“将军饮马”问题，在学生理解方面，存在两大难点，一是如何利用轴对称的性质作出使得线路最短的点。

二是说明最短的理由，如何设计探究活动组织有意义的方法和策略，成为了突出重点、突破难点，化难为易的关键，可采用镜面反射的原理创设探究活动，使问题简单化，学生易于理解和掌握。

设想把河流看作诗一面平面镜，村庄A、B看作诗甲、乙两人，这样设计：甲、乙两人分别位于镜面的同侧A、B两点，甲、乙通过镜面分别看到自己的影子A′、B′。

如图，连接AB′，AB′与L交于C，甲、乙通过镜面都能看到对方的影子。

连接A′C与BC，探究：BALC C′A′B′（1）、AC与A′C，B′C与BC上存在什么关系，说明理由。

（2）、AC+B′C与AC+BC存在大小关系如何，说明理由。

（3）、平面镜L有异于C点的另外一点C′，连接AC′、BC′、B′C′，AC′+BC′与AC′+B′C′是否相等？AC′+BC′与AC+BC是否相等？不相等大小关系如何？说明理由。

13.4-将军饮马——最短路径问题教学设计

13.4最短路径问题教学设计教学目标能利用轴对称、平移解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟领会转化的数学思想，培养学生探究问题的兴趣和合作交流的意识，感受数学的实用性，体验自己探究出问题的成就感.教学重点利用轴对称、平移等变换将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.教学难点如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.教学过程一、回顾旧知1.从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？2.要在河边修建一个泵站向张村引水，在何处修建才能使所用引水管道最短？为什么？前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题。

二、探索新知1、建立模型问题1 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题．如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的指挥部A地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到军营B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？追问1，这是一个实际问题，你打算首先做什么呢？师生活动：将A、B两地抽象为两个点，将河抽象为一条直线追问2，你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学的问题吗？师生活动：学生交流讨论，回答并相互补充，最后达成共识：（1）行走的路线：从A地出发，到河边饮马，然后到B地；（2）路线全程最短转化为两条线段和最短；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线上的点.设C为直线l上的一个动点，上面的问题转化为：当点C 在的什么位置时，AC与CB的和最小2、解决问题问题2如图点A、B在直线的同侧，点C位直线上的一个动点，当点C在的什么位置时，AC与CB的和最小？师生活动：让学生独立思考、画图分析，并展示如果学生有困难，教师作如下提示：（1）如图，如果军营B地在河对岸，点C在的什么位置时，AC与CB的和最小？由此受到什么启发呢？（2）如图，如何将点B“移”到的另一侧B´处，且满足直线上的任意一点C，都保持CB与CB´的长度相等？学生在老师的启发引导下，完成作图.3、证明“最短”问题3，为什么这种作法是正确的呢？你能用所学的知识证明AC+CB最短吗？师生活动：分组讨论，教师引导点拨，结合多媒体的演示，师生共同完成证明过程.证明：如图，在直线上任取一点Cˊ.连接AC´、BC´、B´C´.由轴对称的性质可知：BC=B´C BC´.=B´C´∴AC+BC=AC+B´C=AB´AC´+BC´=AC´+B´C´当C´与C不重合时当C´与C重合时A B´＜AC´+C´B´AC+BC=AC´+C´B∴AC+BC＜AC´+C´B总之，AC+B C≤AC´+C´B，即AC+BC最短4、小结新知回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程，借助什么解决问题的？体现了什么数学思想？师生活动：学生回答，并相互补充.三、运用新知如图，如果将军从指挥部A地出发，先到河边a某一处饮马，再到草地边b某一处牧马，然后来到军营B地，请画出最短路径.师生活动：分组讨论，教师点拨，点学生上台操作演示，画出最短路径.四、拓展新知有一天，将军突发奇想：如果从指挥部A地出发，到一条笔直的河边a某处饮马，然后沿着河边行走一定的路程再来到军营B地，到河边什么地方饮马可使所走的路线全程最短？师生活动：1、老师首先解释行走一定的路程的含义，引导学生将实际问题抽象为数学问题，再提出如下问题：（1）要使所走的路线全程最短，实际上是使几条线段之和最短？（2）怎样将问题转化为“两点之间，线段最短”的问题.2、分组讨论，师生共同分析.3、完成作图，体会作图的步骤与分析问题的思路的联系与区别.五、提炼新知师生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：1、本节课研究问题的过程是什么？2、解决上述问题运用了什么知识？3、在解决问题的过程运用了什么方法？4、运用上述方法的目的是什么？体现了什么样的数学思想？六、课外思考将军又提出一个问题：如图，如果将军从指挥部A地出发，到一条笔直的河边a某处饮马，然后沿着河边行走一定的路程，再来到草地边b某一处牧马，最后来到军营B地，到河边什么地方饮马、草地边何处牧马可使所走的路线全程最短呢？。