备战高考数学考试万能工具包第二篇考前必看解题技巧专题2.3破解6类解答题

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专题1-3 跳出10个解题陷阱-备战高三数学考试万能工具包2018版含解析精品

备战高三考试万能工具包【2018版】专题03 跳出10个解题陷阱“陷阱”,顾名思义,它是指人们在认识事物的过程中因认识的片面性而不知不觉地陷入其中的一种情况.数学中的陷阱题,往往针对某些概念、定理的掌握及运算中的薄弱环节,在考生容易出现错误的地方着手编拟,或是针对考生思维的惯性或弱点来设计障碍,或是针对考生解决某些问题的方法上的缺陷设置问题.这些问题像现实生活中的陷阱那样,难以识别,可以有效地暴露与检测出考生数学知识掌握的缺陷. 陷阱一混淆概念——理解概念抓本质例 1 【2018四川省广元市统考】已知a 是实数， i 是虚数单位，若()211z a a i =-++是纯虚数，则a =__________．易错分析本题易混淆复数的相关概念,忽视虚部不为零的限制条件,导致多解.▲跳出陷阱在解答概念类试题时,一定要仔细辨析所求的问题,在明确概念的前提下再解答.本题要搞清楚虚数,纯虚数,实数与复数的概念. 跟踪集训【2018湖北省稳派教育联考】若0,0x y >>，则“2x y += A. x y = B. 2x y = C. 2,x =且1y = D. ,x y =或1y = 陷阱二错用结论——公式定理要记准例2 【2018东北四校联考】已知函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，现将()y f x =的图象向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，则()g x 在50,24π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域为（） A. []1,2- B. []0,1 C. []0,2 D. []1,0-易错分析该题易出现的问题有两个:一是不能确定函数解析式的变换与图象平移方向之间的关系;二是记错函数图象上点的横坐标的伸缩变化与函数解析式变换之间的对应关系. 【答案】A▲跳出陷阱三角函数图象的平移与伸缩变换问题,关键是把握变换前后两个函数解析式之间的关系,熟记相关的规律.如函数y=f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位,得到函数y=f(x+m)的图象;若向右平移m(m>0)个单位,得到函数y=f(x-m)的图象.若函数y=f(x)的图象上的点的横坐标变为原来的ω(ω>0)倍,则得到函数y=f的图象.跟踪集训已知函数()22sin 22cos 148f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，把函数()f x 的图象向右平移8π个单位，得到函数()g x 的图象，若12,x x 是()0g x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的两根，则()12sin x x +的值为（）A.B. C. D. 陷阱三忽视验证——特例情况要谨记例3 已知椭圆+=1的半焦距为c,曲线Γ上任一点(x,y)(x≥0)到定点F(1,0)的距离比到y 轴的距离大c.(1)求曲线Γ的方程;(2)直线l 过点F,交曲线Γ于A,B 两点,过A,B 分别作曲线Γ的切线,交于点P,判断 ·是否为定值.若是,请给予证明并求出该定值;若不是,请说明理由.易错分析直线l 过点F 交曲线Γ于A,B 两点,经常设直线l 的方程为y=k(x-1),k≠0,漏掉了过点F的直线l与x轴垂直这一特殊情况,导致错误.正确解析(1)因为椭圆+=1的半焦距为c,所以c==1,因为曲线Γ上任一点(x,y)(x≥0)到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,所以曲线Γ上任一点(x,y)(x≥0)到定点F(1,0)的距离等于到直线x=-1的距离.根据抛物线的定义,知曲线Γ的轨迹为抛物线.设抛物线Γ的方程为y2=2px(p>0),所以=1,解得p=2,所以曲线Γ的方程为y2=4x.(2)·为定值0.证明如下:①当过点F的直线l与x轴垂直时,则直线l的方程为x=1,根据抛物线的对称性知,点P在x轴上,所以PF⊥AB,所以·=0.由y2=4x(y<0),得y=-2,y'=-,所以过点B的切线PB的方程为y-y2=-(x-x2),即y=--;由得即P.所以直线PF的斜率k PF==-,所以k PF·k=-×k=-1,所以PF⊥AB.综上所述,·为定值,且定值为0.▲跳出陷阱破解椭圆、抛物线、直线、平面向量的综合问题需注意:一是活用定义可加快求解速度,还可避开烦琐的运算;二是注意特殊情况,如用点斜式设直线方程时,应注意直线斜率不存在的特殊情形;三是注意适时转化,如例3,将判断·是否为0转化为判断两直线斜率的积是否为-1.跟踪集训数列{}n a 的前n 项和是n S ， ()111,2n n a S a n N ++==∈，则n a =__________．陷阱四讨论漏解——参数标准要恰当例4 已知函数()()()22ln 0,f x x x a x x x a R =+-+>∈．（Ⅰ）求函数()y f x =的单调区间；（Ⅱ）当1a =时，证明：对任意的0x >， ()22xf x x x e >+-+．【解析】（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞， ()()22af x x a x =---' ()()12x x a x+-=，当0a ≤时， ()f x '对任意的()0,x ∈+∞恒成立，所以函数单调递增；当x 变化时， ()g x '和()g x 变化情况如下表()()0min g x g x == 00001ln 22x e x x x --=+-，因为00x >，且01x ≠，所以()min20g x >=，因此不等式得证．易错分析该题易出现的问题是讨论f(x)的单调性时,对参数进行分类讨论的标准不正确,造成分类的重复或遗漏.正确解析【解析】（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞， ()()22af x x a x =---' ()()12x x a x+-=，()10x g x e x ='-=，此时方程有唯一解0x ，满足0010x e x -= 当x 变化时， ()g x '和()g x 变化情况如下表()()0min g x g x == 00001ln 22x e x x x --=+-，因为00x >，且01x ≠，所以()min 20g x >=，因此不等式得证．▲跳出陷阱含参函数单调性的分析是一个难点,易出现的问题是对参数分类的标准不清楚,导致分类混乱.明确标准,合理分类是解决此类问题的关键,讨论含参函数单调性的问题,对参数进行分类讨论的基本顺序为①最高次幂系数是否为0;②方程f '(x)=0是否有解;③解是否在定义域内;④解之间的大小关系.分类后确定导函数的符号,应画出导函数的图象,根据图象与x 轴的相对位置确定导函数的符号,进而写出单调区间.【变式训练】已知()()xf x e ax a R =-∈（e 为自然对数的底数）．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x 有两个零点12,x x ，求a 的取值范围；（2）在（1）的条件下，求证： 122ln x x a +<．陷阱五条件遗漏——细心审题不遗漏例5 用1,2,3,4,5,6组成各位数字不重复的六位数,满足1不在左、右两端,2,4,6三个偶数中有且只有两个偶数相邻,则这样的六位数的个数为( )A.432B.288C.216D.144易错分析该题易出现的问题是不注意审题,导致漏掉或错用题中的限制条件. 答案 B正确解析解法一:先考虑只有2,4相邻,可以用2,4相邻的个数减去2,4与6相邻的个数.2,4相邻,把2,4捆绑在一起,与另外4个数排列(相当于5个元素排列),1不在左、右两侧,则这样的六位数的个数为2!·3·4!=144.第三步,两组偶数插空(1,3,5全排列后形成4个空),不同的方法有种. 由分步乘法计数原理可得,满足只有两个偶数相邻的排法种数有=432.其中1在左、右两端的情况:第一步,选出两个偶数相邻(捆绑法),不同的方法有种; 第二步,1,3,5排列,且1在两端,不同的方法有种;第三步,两组偶数插空(1在两端,两组偶数只能插在1,3,5排好后形成4个空中的3个),不同的方法有种.故1在左、右两端的排法种数有=144.所以满足条件的排法种数有432-144=288.即满足题意的六位数的个数为288.故选B.▲跳出陷阱排列组合的实际应用题中限制条件较多,如何处理这些限制条件是解决问题的关键.一般来说要遵循排列组合的基本策略:先组后排,特殊优先.组合中要注意均分问题,记住相应的规律,如本题有两个偶数相邻——捆绑法;只有两个相邻,即与第三个偶数不相邻——插空法,明确处理此类问题的基本顺序,然后逐步求解即可.【变式训练】【2018河南省中原名校联考】已知函数()22sin 4f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， ()1cos 24x g x π⎛⎫=++⎪⎝⎭的图象在区间,22m m ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上有且只有9个交点，记为()(),1,2,,9i i x y i = ，则()91i i i x y =+=∑（）A.92π B. 8 C.982π+ D. 992π+ 陷阱六推理不当——归纳类比要合理例 6 我国齐梁时代的数学家祖暅发现了一条原理:幂势既同,则积不容异.这句话的意思是:夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平行平面的任何平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.设由曲线x 2=4y 和直线x=4,y=0所围成的平面图形绕y 轴旋转一周所得到的旋转体为Γ1,由同时满足x≥0,x 2+y 2≤16,x 2+(y-2)2≥4,x 2+(y+2)2≥4的点(x,y)构成的平面图形绕y 轴旋转一周所得到的旋转体为Γ2,根据祖暅原理,通过类比Γ2可以得到Γ1的体积为 .易错分析该题易出现的问题是不能准确理解祖暅原理,只关注两个平面图形形状的差异性,找不出共性,导致错误类比.答案 32π正确解析如图(1)和图(2),设图(1)中的阴影部分绕y 轴旋转一周得到的旋转体Γ'的体积为V',则V'=2,两图形绕y 轴旋转所得的旋转体夹在两个相距为8的平行平面之间,用任意一个与y 轴垂直的平面截这两个旋转体,设截面与原点的距离为|y|,则所得截面面积S 1=π(42-4|y|),S 2=π(42-y 2)-π[4-(2-|y|)2]=π(42-4|y|),所以S 1=S 2,由祖暅原理知,Γ'与Γ2的体积相等.因为Γ2由同时满足x≥0,x 2+y 2≤16,x 2+(y-2)2≥4,x 2+(y+2)2≥4的点(x,y)构成的平面图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体,所以它应该为一个大的球体减去两个半径一样的小的球体,体积为·43-2··23=64π,所以Γ1的体积为32π.▲跳出陷阱类比推理的关键在于“类”,即找到两类事物的共性,这是类比推理的基础,在此基础上才能进行由此及彼的相关性质研究,如该题中两个截面面积相等是类比两个几何体体积相等的关键.【变式训练】【2018湖北省沙市中学模拟】“求方程34155x x⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解”有如下解题思路：设()3455x xf x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 在R 上单调递减，且()21f =，所以原方程有唯一解2x =.类比上述解题思路，不等式()()63222x x x x -+>+-的解集是__________．陷阱七画图不准——数化“形”要准确例7 【2018河北省定州中学模拟】若函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),且x∈(-1,1］时f(x)=1-x 2,函数(),0{1,0lg x x g x x ≠== ,则函数()()()h x f x g x =- 在区间［-5，10］内零点的个数为A. 15B. 14C. 13D. 12易错分析该题易出现的错误是不能准确作出函数图象,导致无法判断两个函数图象交点的个数. 【答案】B【解析】因为f(x+2)=f(x)，所以f(x)周期为2，，作图可知交点有14个，所以选B.▲跳出陷阱该题是利用函数图象的直观性解决两函数图象的交点问题,利用函数的性质准确画出函数图象是解决此类问题的关键.要熟练掌握函数的一些基本性质,如函数的奇偶性、周期性与单调性等.如该题中的函数y=f(x),根据题意知,该函数图象既有对称中心,又有对称轴,所以该函数也具有周期性——其周期就是对称中心到相邻对称轴距离的4倍,所以该函数的周期为T=2×4=8.所以,可以利用周期性作出函数在已知区间之外的图象.【变式训练】设f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (2＋x )＝f (2－x )，当x ∈[－2,0)时，f (x )＝x⎝⎭－1，若关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >0且a ≠1)在区间(－2,6)内恰有4个不等的实数根，则实数a 的取值范围是( ) A. 1,14⎛⎫⎪⎝⎭B. (1,4)C. (1,8)D. (8，＋∞)陷阱八计算跳步——步骤过程要合理例8 如图所示的四棱锥 A-BCDE,四边形BCDE 是边长为3的正方形,AE⊥平面BCDE,AE=3,P 是边DE 上的一个动点,连接PA,PC.(1)若点Q 为棱AC 的中点,是否存在点P,使得 PQ∥平面AEB?若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由;(2)当EP=ED 时,求平面AEB 和平面APC 所成二面角的正弦值.易错分析求平面法向量时,常因点的坐标、向量的坐标或平面向量的数量积运算出错,导致所求的法向量有误;求平面AEB 和平面APC 所成二面角的正弦值时,易与求直线与平面所成角相混淆,导致所求的结果出错.正确解析 (1)当P 为DE 的中点时,PQ∥平面AEB. 理由如下:取AB 的中点M,连接EM,QM,如图所示.由Q为AC的中点,得MQ∥BC,且MQ=BC,(2)因为AE⊥平面BCDE,BE⊥DE,所以以E为原点,EB,ED,EA所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,因为四边形BCDE是边长为3的正方形,EP=ED,AE=3,所以B(3,0,0),A(0,0,3),P(0,2,0),C(3,3,0).所以=(3,1,0),=(0,-2,3).易知平面AEB的一个法向量为n1=(0,1,0),设平面APC的法向量为n2=(x,y,z),由得取y=3,得平面APC的一个法向量为n2=(-1,3,2),所以|cos<n1,n2>|==,设平面AEB 和平面APC 所成的二面角为θ,则sin θ==,所以平面AEB 和平面APC 所成二面角的正弦值为.▲跳出陷阱求两个平面所成角的正弦值需注意两处运算:一是求平面法向量,此时一定要认真求出点的坐标,利用“终减起”,求出向量的坐标,再通过联立方程,求出法向量的坐标;二是求两个平面所成角的正弦值,先计算两个平面所成角的余弦值,再利用同角三角函数的基本关系式,即可得结论. 【变式训练】【2018吉林省实验中一模】已知数列{}n a 中， ()*111,3nn n a a a n N a +==∈+．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）数列{}n b 满足()312nn n n n b a =-⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式()112nn n n T λ--<+对一切*n N ∈恒成立，求λ的取值范围．陷阱九转化不当——由此及彼要等价例9 【2018甘肃省张掖市一模】已知函数()()2xf x ax ea R =-∈.（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线与y 轴垂直，求()y f x ='的最大值；（2）若对任意120x x ≤<都有()()()()221122ln222ln2f x x f x x +-<+-，求a 的取值范围. 易错分析该题易出现的问题是不能根据已知条件转化为函数单调性求解. 【解析】（1）由()2xf x ax e '=-，得， ()1202ef a e a =-=⇒=，从而()()222ln20xh x ax e =+--≤' 在[)0,+∞上恒成立，令()()222ln2xF x ax e =+--，则()2xF x a e ='-，当12a ≤时， ()0F x '≤，所以函数()F x 在[)0,+∞上单调递减，则()()max 012ln20F x F ==-<，当12a >时， ()20F x a ex '=-=，得l n2x a =，所以函数()F x 在[)0,ln2a 上单调递增，在[)ln2,a +∞上单调递减，则()()max ln22222ln220F x F a alo a a ==+--≤，即2ln222ln22a a a -≤-，通过求函数ln y x x x =-的导数可知它在[)1,+∞上单调递增，故112a <≤，综上，实数a 的取值范围是(],1-∞.▲跳出陷阱条件的合理转化是将复杂、陌生的问题转化为简单、熟悉的问题的关键,在转化过程中一定要对式子进行等价变形,如该题中的第(2)问根据不等式结构特征，转化为函数具有单调性。

高中数学考试万能工具包专题2.1 巧用12个解题技巧

第2篇考前必看解题技巧专题01巧用12个解题技巧技法一特例法从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断.特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等.例1 (2017·山东卷)若a ＞b ＞0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A.a ＋1b ＜b2a ＜log 2(a ＋b )B.b 2a ＜log 2(a ＋b )＜a ＋1bC.a ＋1b ＜log 2(a ＋b )＜b 2aD.log 2(a ＋b )＜a ＋1b ＜b 2a▲方法点睛 1.特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含字母或具有一般性结论的选择题.2.特例法解选择题时，要注意以下两点：第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理.第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解. 【变式训练】1. 如图，在棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P ，Q 满足A 1P ＝BQ ，过P ，Q ，C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( )A.3∶1B.2∶1C.4∶1D.3∶12.函数f(x)=cos x·log 2|x|的图象大致为( )3.如图,点P 为椭圆+=1上第一象限内的任意一点,过椭圆的右顶点A 、上顶点B 分别作y 轴、x 轴的平行线,它们相交于点C,过点P 引BC,AC 的平行线,分别交AC 于点N,交BC 于点M,交AB 于D 、E 两点,记矩形PMCN的面积为S1,三角形PDE的面积为S2,则S1∶S2=( )A.1B.2C.D.技法二图解法(数形结合法)对于一些含有几何背景的题目,若能“数中思形”“以形助数”,则往往可以借助图形的直观性,迅速作出判断,简捷地解决问题,得出正确的结果.Venn图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等,都是常用的图形.例2 (1)设向量a,b,c满足|a|=|b|=1,a·b=,(a-c)·(b-c)=0,则|c|的最大值等于( )A. B.C. D.1【答案】A【解析】(1)解法一(几何法):如图,a=,b=,c=.由题意有∠AOB=,点C在圆M上.当点C达到点D时,|c|最大,|c|max=||+||=sin+cos=.选A.当点C达到点D时,|c|最大,|c|max=||+||=sin+cos=.选A.(2) 【2018山西省太原市实验中学模拟】函数是定义域为的偶函数，当时，若关于的方程有且仅有8个不同实数根，则实数的取值范围是________【答案】要使关于x的方程，有且仅有8个不同实数根，设t=f（x），则t2+at+=0的两根均在（-1，--故答案为▲方法点睛数形结合是依靠图形的直观性进行分析的，用这种方法解题比直接计算求解更能抓住问题的实质，并能迅速地得到结果.不过运用图解法解题一定要对有关的函数图象、几何图形较熟悉，否则错误的图象反而导致错误的选择. 【变式训练】 1.已知函数f(x)=和函数g(x)=log 2x,则函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数为( )A.1B.2C.3D.42.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －[x ]，x ≥0，f （x ＋1），x <0，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.1]＝－2，[π]＝3等.若方程f (x )＝k (x ＋1)(k >0)恰有三个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1技法三估算法估算法就是不需要计算出代数式的准确数值,通过估算其大致取值范围从而解决相应问题的方法.该种方法主要适用于比较大小的有关问题,尤其是在选择题或填空题中,解答不需要详细的过程,因此可以通过猜测、合情推理、估算而获得,从而减少运算量.例3 (1)(2015湖北,7,5分)在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记p 1为事件“x+y≥”的概率,p 2为事件“|x -y|≤”的概率,p 3为事件“xy≤”的概率,则( )A.p 1<p 2<p 3B.p 2<p 3<p 1C.p 3<p 1<p 2D.p 3<p 2<p 1(2)已知三棱锥P-ABC 的侧面与底面所成二面角都是60°,底面三角形三边长分别是7、8、9,则此三棱锥的侧面面积为 ( )A.12B.24C.6D.18答案 (1)B (2)B解析 (1)满足条件的x,y 构成的点(x,y)在正方形OBCA 及其边界上.事件“x+y≥”对应的图形为图①公式求出侧面面积为32,四个选项中只有24与之最接近,选B.▲方法点睛估算法是根据变量变化的趋势或极值的取值情况进行求解的方法.如某些函数的取值范围或最值、函数图象的变化等问题,常用此法确定正确选项.【变式训练】设M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a扫过A 中的那部分区域的面积为( ) A.34 B.1 C.74D.2技法四待定系数法待定系数法是为确定变量间的函数关系,设出未知数,然后根据所给条件确定这些未知数的一种方法,其理论依据是多项式恒等.多项式f(x)≡g(x)的充要条件是:对于任意的一个a 值,都有f(a)≡g(a);或者两个多项式各项的系数对应相等.例4 衣柜里的樟脑丸,会因为挥发而体积变小,刚放入的新樟脑丸体积为a,经过t 天后樟脑丸的体积V(t)与天数t 的关系为V(t)=a·e -kt,若新樟脑丸经过80天后,体积变为a,则函数V(t)的解析式为 .答案 V(t)=a·(t≥0)解析因为樟脑丸经过80天后,体积变为a,所以a=a·e-80k,所以e-80k=,解得k=-ln ,所以V(t)=a·=a·,所以函数V(t)的解析式为V(t)=a·(t≥0).▲方法点睛破解此类题的关键是依题设所给的函数模型,利用待定系数法求解,本题的突破口是将题设中的自变量的值与相应的函数值代入所给关系式,得关于参数的方程,利用“两边取对数”,即可求出参数的值.【变式训练】1. 函数f(x)＝lg为奇函数，则实数a＝________.2.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象上的一个最高点和与它相邻的一个最低点的距离为2，且过点，则函数f(x)＝________.技法五换元法换元法又称辅助元法、变量代换法.通过引入新的变量,可以把分散的条件联系起来,使隐含的条件显露出来,或者变为熟悉的形式,简化计算或证明.换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,使非标准型问题标准化、复杂问题简单化.换元法经常用于三角函数的化简求值、复合函数解析式的求解等.典型例题例5 椭圆+=1上有两点P、Q,O为原点,连接OP、OQ,k OP·k OQ=-.(1)求证:|OP|2+|OQ|2等于定值;(2)求线段PQ的中点M的轨迹方程.解析(1)证明:设P(4cos θ1,2sin θ1),Q(4cos θ2,2sin θ2),则k OP·k OQ=·=-,整理得cos θ1cos θ2+sin θ1sin θ2=0,即cos(θ1-θ2)=0.∴|OP|2+|OQ|2=16cos2θ1+4sin2θ1+16cos2θ2+4sin2θ2=8+12(cos2θ1+cos2θ2)=20+6(cos 2θ1+cos 2θ2)=20+12cos(θ1+θ2)cos(θ1-θ2)=20,即|OP|2+|OQ|2等于定值20.(2)由中点坐标公式得到线段PQ的中点M的横、纵坐标分别为x=2(cos θ1+cos θ2),y=sin θ1+sin θ2,所以有+y2=2+2(cos θ1cos θ2+sin θ1sin θ2)=2+2cos(θ1-θ2)=2,即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为+=1.▲方法点睛由椭圆方程,联想到cos2θ+sin2θ=1,于是可进行“三角换元”(得到的是椭圆的参数方程),通过换元引入新的参数,转化为三角函数问题进行研究.本题还要求能够熟练使用三角公式和“平方法”,在由中点坐标公式求出M点的坐标后,将所得方程稍作变形,再平方相加,即(cos θ1+cos θ2)2+(sin θ1+sin θ2)2,这是求点M的轨迹方程的关键一步.一般地,求动点的轨迹方程运用“参数法”时,我们可以将点的横、纵坐标分别表示为一个或几个参数的函数,再运用“消参法”消去所含的参数,即得到所求的轨迹方程.【变式训练】1. 设a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a2的最大值和最小值技法六构造法用构造法解题的关键是由条件和结论的特殊性构造数学模型,从而简化推导与运算过程.构造法是建立在观察联想、分析综合的基础上的,首先应观察题目,观察已知条件形式上的特点,然后联想、类比已学过的知识及各种数学式子、数学模型,深刻了解问题及问题的背景(几何背景、代数背景),通过构造几何、函数、向量等具体的数学模型快速解题.典型例题例6 (1)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体各个面的面积中,最小的值为( )A.2B.8C.4D.8(2)已知m,n∈(2,e),且-<ln ,则( )A.m>nB.m<nC.m>2+D.m,n 的大小关系不确定答案 (1)B (2)A解析 (1)构造棱长为4的正方体,由三视图可知,该几何体为如图所示的三棱锥P-ABC,其中点P 、B 分别为相应棱的中点.因为S △PAB =S △PBC =××4=4,S △ABC =×4×4=8,S △PAC =·AC·=×4×=8.因为8>4>8,所以该几何体各个面的面积中,最小的值为8,故选B.▲方法点睛应用构造法的技巧:一是“定目标构造”,从已知条件入手,紧扣要解决的问题进行构造,把陌生问题构造为熟悉的问题;二是“解决构造的问题”,用相关的知识解决所构造的问题. 跟踪集训1.(2018·合肥模拟)如图，已知球O 的球面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________.2. 【2018湖北省襄阳市统测】已知定义在R 上的可导函数f(x)的导函数为()y f x ='，满足()()f x f x '<，f (0) = 1，则不等式()xf x e <的解集为（）A. ()0+∞，B. ()1+∞，C. ()2-+∞，D. ()4+∞，技法七反证法反证法是指从命题正面论证比较困难,通过假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明原假设错误,从而证明原命题成立的证明方法.反证法证明问题一般分为三步:(1)否定结论;(2)推导矛盾;(3)得出结论.典型例题例7 如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则( )A.△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B.△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C.△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形D.△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形答案 D得所以A2+B2+C2=++,即π=-π,显然该等式不成立,所以假设不成立.所以△A2B2C2不是锐角三角形,所以△A2B2C2是钝角三角形.故选D.▲方法点睛用反证法证明全称命题以及命题中含有“至少”“至多”关键词的问题比较简单.其关键是根据假设导出矛盾——与已知条件、定义、公理、定理或明显的事实相矛盾或自相矛盾.【变式训练】【2018吉林省长春市一五0中学模拟】设m、n、t都是正数，则4mn+、4nt+、4tm+三个数（）A. 都大于4B. 都小于4C. 至少有一个大于4D. 至少有一个不小于4技法八分离参数法分离参数法是求解不等式有解、恒成立问题常用的方法,通过分离参数将问题转化为相应函数的最值或范围问题求解,从而避免对参数进行分类讨论的烦琐过程.该方法也适用于含参方程有解、无解等问题的解决.但要注意该方法仅适用于分离参数后能求出相应函数的最值或值域的情况.典型例题例8 【2018安徽省淮南市联考】已知函数在区间上是单调增函数，则实数的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】B∴∴在上恒成立，∴在上减函数，∴,实数的取值范围为，故选B.▲方法点睛应用分离参数法解决不等式恒成立问题或有解问题,关键在于准确分离参数,然后将问题转化为参数与函数最值的大小关系问题.分离参数时要注意参数系数的符号是否会发生变化,如果参数的系数符号为负号,则分离参数时应注意不等号的变化,否则就会导致错解.【变式训练】已知函数，为自然对数的底数，．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，恒成立，求的取值范围．技法九整体代换法整体代换法是根据式子的结构特征,在求值过程中,直接将两数或多个数之和的表达式当成一个整体来处理,从而建立已知和所求之间的关系或方程进行求解的方法.利用该种方法求值,可以避免烦琐的计算.该方法适用于等差、等比数列中连续几项和的有关计算.典型例题例9 (1)等比数列{a n}中,已知a1+a3=8,a5+a7=4,则a9+a11+a13+a15的值为( )A.1B.2C.3D.5(2)已知函数f(x)的导函数为f '(x),且满足f(x)=2f 'cos x+sin x+2x,则f '=( )A.0B.C.1D.答案(1)C (2)B所以(a5+a7)2=(a1+a3)(a9+a11),故a9+a11===2.同理,a9+a11是a5+a7与a13+a15的等比中项,所以(a9+a11)2=(a5+a7)(a13+a15),故a13+a15===1.所以a9+a11+a13+a15=2+1=3.(2)因为f(x)=2f 'cos x+sin x+2x,所以f '(x)=-2f 'sin x+cos x+2.令x=,得f '=-2f 'sin +cos+2,解得f '=.故选B.▲方法点睛整体代换法求值的关键是准确把握代数式的结构特征,确定已知和所求之间的关系.【变式训练】已知x,y,z是正数,求证:++≥.技法十判别式法判别式法就是将实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),利用方程有解的充要条件(判别式Δ=b2-4ac≥0)求解.典型例题例10 已知α,β,γ为任意三角形的三个内角,求证:x2+y2+z2≥2xycos α+2yzcos β+2zxcos γ.证明设f(x)=x2+y2+z2-(2xycos α+2yzcos β+2zxcos γ)=x2-2(ycos α+zcos γ)x+y2+z2-2yzcos β,又Δ=4(ycos α+zcos γ)2-4(y2+z2-2yzcos β)=-4(ysin α-zsin γ)2≤0,所以f(x)≥0,即x2+y2+z2≥2xycosα+2yzcos β+2zxcos γ.▲方法点睛判别式是方程、函数和不等式之间联系的重要工具,是不等式之间相互转化的重要桥梁,运用判别式法证明不等式有两种途径:(1)构造一元二次方程,然后利用Δ≥0来证明;(2)构造恒大于(或小于)零的二次函数,然后利用Δ≤0来证明.【变式训练】1.设x,y为实数,若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值是.2.设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n,满足S5S6+15=0,则d的取值范围是.技法十一割补法割补法主要是针对平面图形或空间图形采用的一种几何方法,其主要思想是把不规则图形转化为规则图形,这种方法常常用来求不规则平面图形的面积或不规则空间几何体的体积.典型例题例11 (1)如图,过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD,若PA=AB,则平面PAB与平面CDP所成二面角的度数为( )A.90°B.60°C.45°D.30°(2)已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形,AD∥BC,CE∥BG,∠BCD=∠BCE=,平面ABCD⊥平面BCEG,BC=CD=CE=2AD=2BG=2,则五面体EGBADC的体积为.答案(1)C (2)解析(1)把原四棱锥补成正方体ABCD-PQRH,如图所示,连接CQ,则所求二面角转化为平面CDPQ与平面BAPQ所成的二面角,而∠CQB是平面CDPQ与平面BAPQ所成二面角的平面角,又因为∠CQB=45°,所以平面PAB 与平面CDP所成二面角的度数为45°.(2)▲方法点睛对于一些不规则的几何体(图形),不能直接利用体积(面积)公式,此时必须对几何体(图形)进行相应的割补,将其转化为规则几何体(图形)以便于计算其体积(面积).【变式训练】1.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )A.6B.8C.10D.122.函数y=cos x(0≤x≤2π)和y=1的图象所围成的封闭图形的面积为 .3. 【2018河南省联考】如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=︒，且22AD BC CD ==，PA PB PD ==．（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）若45PAD ∠=︒且，E ，F 分别是PA ，PC 的中点，求多面体PEBFD 的体积．技法十二等体积转化法等体积转化法是通过变换几何体的底面,利用几何体(主要是三棱锥)体积的不同表达形式求解相关问题的方法.其主要用于求解点到面的距离. 典型例题例12 【2018四川省广元市统考】如图四棱锥P ABCD -，底面梯形ABCD 中，//AB DC ，平面PAD ⊥平面ABCD ，已知（1）求证：BD PA ⊥；(2)线段PC 上是否存在点M ，使三棱锥P ABD -体积为三棱锥P MBD -体积的6倍.若存在，找出点M 的位置；若不存在，说明理由.【解析】（1∴222,AB AD BD =+BD AD ∴⊥，∴点M 是PC 上的一个靠近点P 的三等分点.▲方法点睛利用等体积转化法求解点到平面的距离,关键是选择合适的底面,选择的底面应具备两个特征:一是底面的形状规则,面积可求;二是底面上的高比较明显,即线面垂直比较明显. 跟踪集训1. 【2018广东深圳高级中学模拟】如图,在正方体中,棱长为1,分别为与的中点,到平面的距离为A.B.C.D.2. 【2018甘肃张掖质检】如图，四边形ABCD 是矩面（1）证明：平面PAC ⊥平面PBE ；（2）设AC 与BE 相交于点F ，点G 在棱PB 上，且CG PB ⊥，求三棱锥F BCG -的体积.答案部分技法一特例法【变式训练】2.【答案】B【解析】函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f =cos log 2=-cos , f =cos·log 2=-cos ,所以f =f,排除A,D;又f=-cos <0,排除C.故选B.3.【答案】A 【解析】不妨取点P ,则可计算S 1=×(5-4)=,易求得PD=2,PE=,所以S 2=×2×=,所以S 1∶S 2=1.技法二图解法(数形结合法) 【变式训练】 1.【答案】C2.【答案】B【解析】直线y ＝kx ＋k (k >0)恒过定点(－1，0)，在同一直角坐标系中作出函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝kx ＋k (k >0)的图象，如图所示，因为两个函数图象恰好有三个不同的交点，所以14≤k <13.技法三估算法【变式训练】【答案】C【解析】如图知区域的面积是△OAB 去掉一个小直角三角形.阴影部分面积比1大，比S △OAB ＝12×2×2＝2小，故C 项满足.技法四待定系数法【变式训练】 1.【答案】-1【解析】因为函数f (x )＝lg为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即lg ＝－lg ⇒＝⇒a ＋⇒1－x 2＝(a ＋2)2－a 2x 2⇒a ＝－1.故答案为-1技法五换元法【变式训练】1. 【解】设sinx ＋cosx ＝t ，则t∈[，由(sinx ＋cosx)2＝1＋2sinx·cosx 得：sinx·cosx∴ f(x)＝g(t)－2a)2＋（a>0），t∈[，t＝取最小值：－2a2－a当t取最大值：－2a2＋。

备战208版高三数学考试万能工具包第二篇考前必看解题技巧. 巧用2个解题技巧

专题01 巧用12个解题技巧技法一特例法从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入,将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断.特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用,特殊情况可能是:特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等.例1 (2017·山东卷)若a＞b＞0，且ab＝1，则下列不等式成立的是( ）A.a＋错误!＜错误!＜log2（a＋b）B.错误!＜log2(a＋b）＜a＋错误!C.a＋错误!＜log2(a＋b)＜错误!D.log2（a＋b)＜a＋错误!＜错误!▲方法点睛1。

特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含字母或具有一般性结论的选择题.2。

特例法解选择题时，要注意以下两点:第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理。

第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验,或改用其他方法求解。

【变式训练】1。

如图，在棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P，Q满足A1P＝BQ，过P，Q，C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为（）A.3∶1 B。

2∶1C。

4∶1 D.错误!∶12。

函数f（x)=cos x·log2｜x|的图象大致为( )3.如图，点P为椭圆+=1上第一象限内的任意一点，过椭圆的右顶点A、上顶点B分别作y轴、x轴的平行线，它们相交于点C，过点P引BC，AC的平行线，分别交AC于点N,交BC于点M,交AB于D、E两点，记矩形PMCN的面积为S1,三角形PDE的面积为S2，则S1∶S2=( )A。

1 B。

2 C. D.技法二图解法（数形结合法）对于一些含有几何背景的题目，若能“数中思形”“以形助数”,则往往可以借助图形的直观性，迅速作出判断,简捷地解决问题,得出正确的结果。

Venn图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等，都是常用的图形.例2 (1）设向量a，b,c满足|a|=|b|=1,a·b=，(a-c)·（b-c）=0，则｜c｜的最大值等于( )A.B.C.D。

审题要领备战高三数学考试万能工具包

专题审题要领著名数学家波利亚总结了解决数学问题的四个步骤：弄清问题、拟订计划、实现计划、代入回顾．其中“弄清问题”即审题．审题是解题的基础和关键，是解题者对题目提供信息的发现、辨认和转译，并对信息作有序提炼，明确题目的条件、问题和相互间的关系．能否迅速准确地理解题意，在很大程度上影响和决定了数学成绩的好坏．从这个意义上讲，数学成绩的高低“功在审题”的说法一点都不过分.审题要弄清以下三个方面的问题（2016全国乙17）ABC △的内角A，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =（1）求C ；（2）若c =ABC △ABC △的周长．审题指导：(1)类型二数列类考题（2016全国丙17）已知数列{}n a 的前n 项和1n S a =+，1n n S a λ=+.其中0λ≠.（1）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式；（2）若53132S =，求λ. 审题指导：(1)类型三概率与统计类考题某险种的基本保费为a（单元：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：（1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（2）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（3）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．审题指导：(1)(2)(3)解析（1）设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A ，则()1()1(0.300.15)0.55P A P A =-=-+=．（2）设续保人保费比基本保费高出60%为事件B ，0.100.053()0.5511P B +==．（3）设本年度所交保费为随机变量X ．平均保费为：0.850.300.15 1.250.20 1.50.20 1.750.1020.05=1.23EX aa a a a a a a =⨯++⨯+⨯+⨯+⨯，所以平均保费与基本保费比值为1.23．类型四立体几何类考题【2017课标II19】如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，o 1,90,2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= E 是PD 的中点。

高考数学万能解题技巧总结

高考数学万能解题技能总结由于考试比较容易紧张，不仅速度慢，还可能会把自己本来会做的题做错，因此掌控一些数学的解题方法尤为重要。

下面是作者为大家整理的关于高考数学万能解题技能总结，期望对您有所帮助!高考数学万能解题方法1.思路思想提炼法催生解题灵感。

“没有解题思想，就没有解题灵感”。

但“解题思想”对很多学生来说是既熟悉又陌生的。

熟悉是由于教师每天挂在嘴边，陌生就是说不请它究竟是什么。

建议同学们在老师的指导下，多做典型的数学题目，则可以快速掌控。

2. 典型题型精熟法抓准重点考点管理学的“二八法则”说：20%的重要工作产生80%的成效，而80%的琐碎工作只产生20%的成效。

数学学习上也有同样现象：20%的题目(重点、考点集中的题目)对于考试成绩起到了80%的奉献。

因此，提高数学成绩，必须优先抓住那20%的题目。

针对许多学生“题目解答多，研究得不透”的现象，应当通过科学用脑，到达每个章节的典型题型都成竹在胸时，解题时就会得心应手。

3. 逐渐深入纠错法巩固薄弱环节管理学上的“木桶理论”说：一只水桶盛水多少由最短板决定，而不是由最长板决定。

学数学也是这样，数学考试成绩常常会由于某些薄弱环节大受影响。

因此，巩固某个薄弱环节，比做对一百道题更重要。

高考数学万能解题技能高考数学万能解题法——熟悉基本的解题步骤和解题方法解题的进程，是一个思维的进程。

对一些基本的、常见的问题，前人已经总结出了一些基本的解题思路和常用的解题程序，我们一样只要顺着这些解题的思路，遵守这些解题的步骤，常常很容易找到习题的答案。

高考数学万能解题法——审题要认真仔细对于一道具体的习题，解题时最重要的环节是审题。

审题的第一步是读题，这是获取信息量和摸索的进程。

读题要慢，一边读，一边想，应特别注意每一句话的内在涵义，并从中找出隐含条件。

有些学生没有养成读题、摸索的习惯，心里着急，匆匆一看，就开始解题，结果常常是漏掉了一些信息，花了很长时间解不出来，还找不到原因，想快却慢了。

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高考数学万能解题法高考数学高分备考技巧高考数学万能解题法高考数学高分备考技巧高考数学是很多学生在高考中非常大的困哪，那么高考数学有哪些万能的解题法呢，高中数学要怎样备考呢，下面为大家总结一下，仅供大家参考。

高考数学有哪些万能的解题方法解决绝对值问题主要包括化简、求值、方程、不等式、函数等题，基本思路是：把含绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。

具体转化方法有：①分类讨论法:根据绝对值符号中的数或式子的正、零、负分情况去掉绝对值。

②零点分段讨论法：适用于含一个字母的多个绝对值的情况。

③两边平方法：适用于两边非负的方程或不等式。

④几何意义法：适用于有明显几何意义的情况。

因式分解根据项数选择方法和按照一般步骤是顺利进行因式分解的重要技巧。

因式分解的一般步骤是：提取公因式选择用公式十字相乘法分组分解法拆项添项法换元法解某些复杂的特型方程要用到换元法。

换元法解方程的一般步骤是：设元换元解元还元高中数学有哪些高分的解题技巧良好的开端是成功的一半，从考试的心理角度来说，这确实是很有道理的，拿到试题后，不要急于求成、立即下手解题，而应通览一遍整套试题，摸透题情，然后稳操一两个易题熟题，让自己产生旗开得胜的快意，从而有一个良好的开端，以振奋精神，鼓舞信心，很快进入最佳思维状态，即发挥心理学所谓的门坎效应，之后做一题得一题，不断产生正激励，稳拿中低，见机攀高。

内紧外松，集中注意，消除焦虑怯场有些考生只知道考场上一味地要快，结果题意未清，条件未全，便急于解答，岂不知欲速则不达，结果是思维受阻或进入死胡同，导致失败。

应该说，审题要慢，解答要快。

审题是整个解题过程的基础工程，题目本身是怎样解题的信息源，必须充分搞清题意，综合所有条件，提炼全部线索，形成整体认识，为形成解题思路提供全面可靠的依据。

而思路一旦形成，则可尽量快速完成。

高考中答数学题要注意什么1.检查关键结果。

解题过程中得到关键结果，要审查一下这个结果有没有错。

一旦出错，后面的解答也是费力不讨好。

2022高考数学突破6类解答题必看大招

突破6类解答题三角函数问题重在“变”——变角、变式思维流程策略指导1.常用的变角技巧:(1)已知角与特殊角的变换;(2)已知角与目标角的变换;(3)角与其倍角的变换;(4)两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用.如:α=(α+β)-β=(α-β)+β,2α=(α+β)+(α-β),2α=(β+α)-(β-α),α+β=2·α+β2,α+β2=(α-β2)-(α2-β).2.常用的变式技巧:主要从函数名、次数、系数等方面入手,常见的情况有:(1)讨论三角函数的性质时,常常将它化为一次的单角的三角函数来讨论;(2)涉及sin x±cos x、sin x·cos x的问题,常做换元处理,如令t=sinx±cos x,t∈[-√2,√2],将原问题转化为关于t的函数来处理;(3)在解决三角形的问题时,常利用正、余弦定理化边为角或化角为边等方法.1/ 182 / 18规范解答典例1 (2019课标全国Ⅰ,17,12分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin 2A-sin Bsin C.(1)求A;(2)若√2a+b=2c,求sin C.标准答案阅卷现场解析 (1)由已知得sin 2B+sin 2C-sin 2A=sin Bsin C,故由正弦定理得b 2+c 2-a 2=bc.(2分)① 由余弦定理得cos A=b 2+c 2-a 22bc=12.(4分)②因为0°<A<180°,所以A=60°.(5分)③(2)由(1)知B=120°-C,由题设及正弦定理得√2sin A+sin(120°-C)=2sin C, (7分)④即√62+√32cos C+12sin C=2sin C,可得cos(C+60°)=-√22.(9分)⑤由于0°<C<120°,所以sin(C+60°)=√22,(10分)⑥ 故sin C=sin(C+60°-60°)=sin(C+60°)cos第(1)问踩点得分①由正弦定理将角之间的关系转化为边之间的关系b 2+c 2-a 2=bc 得2分. ②将所得边之间的关系变形并求得cos A 的值得2分.③由cos A 的值及A 的取值范围求出A 的值得1分. 第(2)问踩点得分④借助第(1)问的结果,利用正弦定理将条件√2a+b=2c 转化为三角函数间的关系得2分.⑤利用三角恒等变换求得cos(C+60°)的值得2分.⑥利用同角三角函数基本关系求3 / 1860°-cos(C+60°)·sin 60°=√6+√24.(12分)⑦sin(C+60°)的值得1分.⑦通过变角,利用三角恒等变换求得sin C 的值得2分.题后悟通1.利用正、余弦定理求解问题的策略2.三角恒等变换的思路为“一角二名三结构”数列问题重在“归”——化归思维流程策略指导化归的常用策略化归:首项与公差(比)称为等差(比)数列的基本量,将已知条件化归为等差或等比数列的基本量间的关系.归纳:对于不是等差或等比的数列,可从特殊的情景出发,归纳出一般性的规律、性质,这种归纳思想便形成了解决一般性数列问题的重要方法:观察、归纳、猜想、证明.4 / 18规范解答典例2 (2018课标全国Ⅲ,17,12分)等比数列{a n }中,a 1=1,a 5=4a 3. (1)求{a n }的通项公式;切入点:利用等比数列的通项公式求出公比q.(2)记S n 为{a n }的前n 项和.若S m =63,求m.关键点:根据等比数列的前n 项和公式,列出方程,求出m.标准答案阅卷现场解析 (1)设{a n }的公比为q, 由题设得a n =q n-1.(1分)① 由已知得q 4=4q 2,(2分)②解得q=0(舍去)或q=-2或q=2.(4分)③故a n =(-2)n-1或a n =2n-1.(6分)④ (2)若a n =(-2)n-1,则S n =1−(−2)n3.(7分)⑤由S m =63得(-2)m =-188,(8分)⑥ 此方程没有正整数解.(9分)⑦ 若a n =2n-1,则S n =2n -1. 由S m =63得2m=64,(11分)⑧解得m=6. 综上,m=6.(12分)⑨第(1)问踩点得分 ①正确写出通项公式得1分. ②根据题目中的条件,结合通项公式列出关于q 的方程得1分.③正确求出公比q 得2分,没有将q=0舍去扣1分.④每正确写出一个通项公式得1分. 第(2)问踩点得分⑤正确写出前n 项和公式得1分. ⑥根据⑤及题目中的条件,写出关于m 的方程得1分.⑦判断方程是否有正整数解,判断正确得1分.⑧正确写出当a n =2n-1时,2m =64得2分.⑨解得m=6,正确得1分.题后悟通如果一个数列是等差(比)数列或者是可以转化为等差(比)数列的数列,破解此类题的关键点如下:(1)做判断.根据条件判断数列是等差(比)数列或者特殊的数列.(2)求基本量.若是等差(比)数列,求出其首项和公差(比).(3)得结论.根据条件灵活选用公式,代入求值.立体几何问题重在“建”“转”——建模、转换思维流程策略指导立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合,以某个几何体为依托,分步设问,逐层加深,解决这类题目的原则是建模、建系.建模——将问题转化为平行模型、垂直模型、平面化模型及角度,距离等的计算模型.建系——依托于题中的垂直条件,建立空间直角坐标系,利用空间向量求解.5/ 18规范解答典例3(2019课标全国Ⅰ,18,12分)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.(1)证明:MN∥平面C1DE;(2)求二面角A-MA1-N的正弦值.标准答案阅卷现场解析(1)证明:连接B1C,ME.因为M,E分别为BB1,BC的中点,第(1)问踩点得分6/ 187 / 18所以ME ∥B 1C,且ME=12B 1C.(1分)①又因为N 为A 1D 的中点,所以ND=12A 1D.由题设知A 1B 1 DC,可得B 1C A 1D,故ME ND,(2分)②因此四边形MNDE 为平行四边形,MN ∥ED.(3分)③ 又MN ⊄平面EDC 1,所以MN ∥平面C 1DE.(4分)④(2)由已知可得DE ⊥DA.以D 为坐标原点,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,(5分)⑤则A(2,0,0),A 1(2,0,4),M(1,√3,2),N(1,0,2),A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,-4),A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,√3,-2),A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,-2),MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-√3,0).(6分)⑥设m=(x,y,z)为平面A 1MA 的法向量,则{m ·A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.所以{-x +√3y -2z =0,-4z =0.可取m=(√3,1,0).(8分)⑦设n=(p,q,r)为平面A 1MN 的法向量,则{n ·MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.所以{-√3q =0,-p -2r =0.可取n=(2,0,-1).(10分)⑧①证明ME 12B 1C 得1分. ②证得ME ND 得1分. ③利用平行四边形的性质,证明MN ∥ED 得1分. ④利用线面平行的判定定理证得结论得1分. 第(2)问踩点得分 ⑤建立恰当的空间直角坐标系得1分.⑥正确求出各点坐标、向量坐标得1分.⑦正确求出平面A 1MA 的法向量得2分.⑧正确求出平面A 1MN 的法向量得2分.⑨正确求出两个法向量夹角的余弦值得1分. ⑩正确求出二面角的正弦值得1分.于是cos<m,n>=m·n|m||n|=√32×√5=√155,(11分)⑨所以二面角A-MA1-N的正弦值为√105.(12分)⑩题后悟通利用法向量求解空间角的关键在于“四破”概率与统计问题重在“辨”——辨析、辨型、辨图思维流程策略指导8/ 189 / 18概率与统计问题辨析、辨型与辨图的基本策略(1)准确弄清问题所涉及的事件有什么特点,事件之间有什么关系,如互斥、对立等.(2)理清事件以什么形式发生,如同时发生、至少有几个发生等.(3)明确抽取方式,如放回还是不放回、抽取有无顺序等.(4)准确选择排列组合的方法来计算基本事件发生数和事件总数,或根据概率计算公式和性质来计算事件的概率.(5)确定随机变量的取值并求其对应的概率,写出分布列再求期望.(6)会套用求b ^、K 2的公式求值,从而进一步求值与分析. (7)理解各图表所给的信息,根据信息找出所要数据.规范解答典例4 (2019课标全国Ⅰ,21,12分)为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈,则甲药得1分,乙药得-1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈,则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈,则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X 的分布列;(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,p i(i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p8=1,p i=ap i-1+bp i+cp i+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假设α=0.5,β=0.8.(i)证明:{p i+1-p i}(i=0,1,2,…,7)为等比数列;(ii)求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.标准答案阅卷现场解析(1)X的所有可能取值为-1,0,1.(1分)①P(X=-1)=(1-α)β,P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β),P(X=1)=α(1-β).(3分)②所以X的分布列为X-101P(1-α)βαβ+(1-α)(1-β)α(1-β) (4分)③第(1)问踩点得分①正确写出随机变量X的取值得1分.②正确求出X取不同值时的概率得2分.③列出X的分布列得1分.第(2)问踩点得分④求出a,b,c的值得1分.⑤通过变形得出关系式p i+1-p i=4(p i-p i-1)得2分.10/ 1811 / 18(2)(i)证明:由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1.(5分)④ 因此p i =0.4p i-1+0.5p i +0.1p i+1,故0.1(p i+1-p i )=0.4(p i -p i-1),即p i+1-p i =4(p i -p i-1).(7分)⑤ 因为p 1-p 0=p 1≠0,所以{p i+1-p i }(i=0,1,2,…,7)是公比为4,首项为p 1的等比数列.(8分)⑥(ii)由(i)可得p 8=p 8-p 7+p 7-p 6+…+p 1-p 0+p 0=(p 8-p 7)+(p 7-p 6)+…+(p 1-p 0)=48-13p 1.由于p 8=1,故p 1=348-1,(10分)⑦ 所以p 4=(p 4-p 3)+(p 3-p 2)+(p 2-p 1)+(p 1-p 0)=44-13p 1=1257.(11分)⑧p 4表示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时,认为甲药更有效的概率为p 4=1257≈0.003 9,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试验方案合理.(12分)⑨⑥得出{p i+1-p i }的性质得1分.⑦根据p 8,利用累加法求得p 1得2分.⑧利用累加法求得p 4得1分.⑨根据p 4的值解得这种试验方案的合理得1分.题后悟通1.本题以试验新药疗效为背景,命制了一个概率与数列的综合性问题,试题很新颖,创新度高,考查学生灵活运用数学知识解决实际问题的能力,解决本题的关键是正确理解题意,准确将实际问题转化为数列问题,利用数列的性质求解.2.概率问题的求解关键是辨别它的概率模型,只要找到模型,问题便迎刃而解了.而概率模型的提取往往需要经过观察、分析、归纳、判断等复杂的辨析思维过程,常常因题设条件理解不准而出错.另外,还需弄清楚概率模型中等可能事件、互斥事件、对立事件等事件间的关系,注意放回和不放回试验的区别,合理划分复合事件.圆锥曲线问题重在“设”——设点、设线思维流程策略指导圆锥曲线解答题的常见类型:第1小题通常是根据已知条件,求曲线方程或离心率,一般比较简单;第2小题往往是通过方程研究曲线的性质——弦长问题、中点弦问题、动点轨迹问题、定点与定值问题、最值问题、相关量的取值范围问题等,这一小题综合性较强,可通过巧设“点”“线”,设而不求.在具体求解时,可将整个解题过程分成程序化的三步:第一步,联立两个方程,并将消元所得方程的判别式和根与系数的关系正确写出;第二步,用两个交点的同一类坐标的和与积来表示题目中涉及的位置关系和数量关系;第三步,求解转化而来的代数问题,并将结果回归到原几何问题中.在求解时,要根据题目特征恰当地设点、设线,以简化运算.规范解答典例5(2019课标全国Ⅲ,21,12分)已知曲线C:y=x 22,D为直线y=-12上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A,B.12/ 1813 / 18(1)证明:直线AB 过定点;切入点:(1)D 为直线y=-12上的动点;(2)A,B 为过D 作C 的两条切线的切点.(2)若以E (0,52)为圆心的圆与直线AB 相切,且切点为线段AB 的中点,求四边形ADBE 的面积.标准答案阅卷现场解析 (1)证明:设D (t,-12),A(x 1,y 1),则x 12=2y 1.(1分)①由于y'=x,所以切线DA 的斜率为x 1,故y 1+12x 1-t=x 1. 整理得2tx 1-2y 1+1=0.(2分)②设B(x 2,y 2),同理可得2tx 2-2y 2+1=0.(3分)③故直线AB 的方程为2tx-2y+1=0. 所以直线AB 过定点(0,12).(4分)④(2)由(1)得直线AB 的方程为y=tx+12.(5分)⑤ 由{y =tx +12,y =x 22可得x 2-2tx-1=0.(6分)⑥ 于是x 1+x 2=2t,x 1x 2=-1,y 1+y 2=t(x 1+x 2)+1=2t 2+1,第(1)问踩点得分①正确设出D,A 两点的坐标得1分.②利用切线的斜率建立t,x 1,y 1的关系得1分.③建立与B 点坐标的关系得1分.④正确证明结论得1分. 第(2)问踩点得分 ⑤用参数表示出AB 的方程得1分.⑥联立直线与抛物线的方程并正确化简得1分.14 / 18|AB|=√1+t 2|x 1-x 2|=√1+t 2×√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=2(t 2+1).(8分)⑦ 设d 1,d 2分别为点D,E 到直线AB 的距离,则d 1=√t 2+1,d 2=2√t 2+1.(9分)⑧因此,四边形ADBE 的面积S=12|AB|(d 1+d 2)=(t 2+3)√t 2+1.(10分)⑨ 设M 为线段AB 的中点,则M (t,t 2+12).由于EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,而EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(t,t 2-2),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量(1,t)平行, 所以t+(t 2-2)t=0.解得t=0或t=±1.(11分)⑩ 当t=0时,S=3;当t=±1时,S=4√2.因此,四边形ADBE 的面积为3或4√2.(12分)⑦利用弦长公式得出|AB|得2分.⑧求出D,E 到AB 的距离得1分.⑨表示出四边形ADBE 的面积得1分.⑩利用直线与圆相切求出参数t 的值得1分. 求出四边形的面积得1分.题后悟通解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤 (1)设方程及点的坐标;(2)联立直线方程与曲线方程得方程组,消元得方程(注意二次项系数是不是零); (3)得到根与系数的关系及判别式;(4)结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解.15/ 1816 / 18函数与导数问题重在“分”——分离、分解思维流程策略指导函数与导数问题一般以函数为载体,导数为工具,重点考查函数的一些性质,如含参函数的单调性、极值或最值的探求与讨论,复杂函数零点的讨论,有关函数不等式中参数取值范围的讨论,恒成立和能成立问题的讨论等,是近几年高考试题的命题热点.对于这类综合问题,一般是先求导,再变形、分离或分解出基本函数,再根据题意处理.规范解答典例6 (2018课标全国Ⅱ,21,12分)已知函数f(x)=e x -ax 2. (1)若a=1,证明:当x ≥0时, f(x)≥1;切入点:构造新函数,利用导数判断其单调性并进行证明.(2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a.关键点:构造函数,结合函数的单调性,确定函数零点的情况,最后求a.标准答案阅卷现场解析 (1)证明:当a=1时, f(x)≥1等价于(x 2+1)e -x -1≤0. 设函数g(x)=(x 2+1)e -x -1,(1分)① 则g'(x)=-(x 2-2x+1)e -x =-(x-1)2e -x .(2分)②当x ≠1时,g'(x)<0,所以g(x)在(0,1)和(1,+∞)上单调递减.(3分)③第(1)问踩点得分 ①构造函数g(x)=(x 2+1)e -x -1得1分.②正确求导得1分.③判断出g(x)在(0,1)和17 / 18而g(0)=0,故当x ≥0时,g(x)≤0,即f(x)≥1.(4分)④ (2)设函数h(x)=1-ax 2e -x .f(x)在(0,+∞)只有一个零点当且仅当h(x)在(0,+∞)只有一个零点. (i)当a ≤0时,h(x)>0,h(x)没有零点;(5分)⑤ (ii)当a>0时,h'(x)=ax(x-2)e -x .当x ∈(0,2)时,h'(x)<0;当x ∈(2,+∞)时,h'(x)>0. 所以h(x)在(0,2)单调递减,在(2,+∞)单调递增. 故h(2)=1-4ae 2是h(x)在(0,+∞)的最小值.(6分)⑥ ①若h(2)>0,即a<e 24,h(x)在(0,+∞)没有零点;(7分)⑦ ②若h(2)=0,即a=e 24,h(x)在(0,+∞)只有一个零点;(8分)⑧ ③若h(2)<0,即a>e 24,由于h(0)=1, 所以h(x)在(0,2)有一个零点. 由(1)知,当x>0时,e x >x 2,所以h(4a)=1-16a 3e 4a =1-16a 3(e 2a )2>1-16a 3(2a)4=1-1a >0.(10分)⑨ 故h(x)在(2,4a)有一个零点. 因此h(x)在(0,+∞)有两个零点.综上, f(x)在(0,+∞)只有一个零点时,a=e 24.(12分)⑩(1,+∞)上单调递减得1分. ④得出结论得1分. 第(2)问踩点得分 ⑤判断出当a ≤0时,h(x)没有零点得1分.⑥求出h(x)在(0,+∞)的最小值为h(2)得1分. ⑦得出a<e 24时,h(x)在(0,+∞)没有零点得1分. ⑧得出a=e 24时,h(x)在(0,+∞)只有一个零点得1分.⑨对h(2)<0时,分析得出h(4a)>0得2分.⑩判断出h(x)在(2,4a)有一个零点,并求出a 的值得2分.题后悟通函数与导数综合问题的解题关键(1)求函数的极值点,先求方程f'(x)=0的根,将函数的定义域分成若干个开区间,再列成表格,最后根据表格内容即可写出函数的极值;(2)证明不等式常构造函数,并利用导数法判断新构造函数的单调性,从而可证明原不等式成立;(3)不等式恒成立问题除了用分离参数法外,还可以从分类讨论和判断函数的单调性入手,求参数的取值范围.18/ 18。

高考数学万能做题技巧

高考数学万能做题技能数学这个学科是很多人心中的惧怕，由于它复杂难知道，特别是对于文科生来说，需要强大的逻辑思维才能理顺一道数学题。

下面是作者为大家整理的关于高考数学万能做题技能，期望对您有所帮助!高中数学解题方法一、分析条件和结论的联系解完题后，要摸索题目触及了哪些知识点，各已知条件之间是怎样深化和联系的，有哪些条件的运用方式是以前题目中没有显现过的，条件和结论是怎样联系的，求得的结果与题意或实际生活是否相符。

通过这样的摸索可使我们清楚题目的背景，促使我们进行大胆探索，进而发觉规律，激发创造性思维。

二、体会数学方法和思想解题后，要注意摸索所解题目运用的是那一种数学方法，渗透了什么数学思想，以到达举一反三、触类旁通的目的。

常用的数学方法主要有：(1) 配方法 (2) 换元法 (3) 待定系数法 (4 ) 定义法 (5 ) 数学归纳法( 6 ) 参数法( 7) 反证法 (8)构造法 ( 9) 分析与综合法 (10) 特例法 (11 ) 类比与归纳法。

高中数学常用的数学思想有：(1)数形结合思想(2 )分类讨论思想(3 ) 函数与方程思(4 ) 转化与化归的思想。

常常进行这样的摸索和分析，有利于对知识的深入知道和运用，提高知识的迁移能力。

高中数学做题技能1.先易后难就是先做简单题，再做综合题，应根据自己的实际，果断跳过啃不动的题目，从易到难，也要注意认真对待每一道题，力求有效，不能走马观花，有难就退，伤害解题情绪。

2.先熟后生。

通览全卷，可以得到许多有利的积极因素，也会看到一些不利之处，对后者，不要惶恐失措，应想到试题偏难对所有考生也难，通过这种暗示，确保情绪稳固，对全卷整体掌控之后，就可实行先熟后生的方法，即先做那些内容掌控比较到家、题型结构比较熟悉、解题思路比较清楚的题目。

这样，在拿下熟题的同时，可以使思维流畅、超常发挥，到达拿下中高级题目的目的。

3.先同后异。

先做同科同类型的题目，摸索比较集中，知识和方法的沟通比较容易，有利于提高单位时间的效益。

高考数学快速解题的方法及技巧(精选19篇)

高考数学快速解题的方法及技巧(精选19篇)高考数学快速解题的方法及技巧篇1考前要摒弃杂念，排除干扰思绪，使大脑处于“空白”状态，创设数学情境，进而酝酿数学思维，提前进入“角色”，通过清点用具、暗示重要知识和方法、提醒常见解题误区和自己易出现的错误等，进行针对性的自我安慰，从而减轻压力，轻装上阵，稳定情绪、增强信心，使思维单一化、数学化、以平稳自信、积极主动的心态准备应考。

高考数学快速解题的方法及技巧篇21.熟悉基本的解题步骤和解题方法解题的过程，是一个思维的过程。

对一些基本的、常见的问题，前人已经总结出了一些基本的解题思路和常用的解题程序，我们一般只要顺着这些解题的思路，遵循这些解题的步骤，往往很容易找到习题的答案。

高考数学快速解题的方法及技巧篇3对于一道具体的习题，解题时最重要的环节是审题。

审题的第一步是读题，这是获取信息量和思考的过程。

读题要慢，一边读，一边想，应特别注意每一句话的内在涵义，并从中找出隐含条件。

有些学生没有养成读题、思考的习惯，心里着急，匆匆一看，就开始解题，结果常常是漏掉了一些信息，花了很长时间解不出来，还找不到原因，想快却慢了。

所以，在实际解题时，应特别注意，审题要认真、仔细。

高考数学快速解题的方法及技巧篇4解题、做练习只是学习过程中的一个环节，而不是学习的全部，你不能为解题而解题。

解题时，我们的概念越清晰，对公式、定理和规则越熟悉，解题速度就越快。

因此，我们在解题之前，应通过阅读教科书和做简单的练习，先熟悉、记忆和辨别这些基本内容，正确理解其涵义的本质，接着马上就做后面所配的练习，一刻也不要停留。

学习学不下去了可以看下这本书，淘宝搜索《高考蝶变》购买高考数学快速解题的方法及技巧篇5在通览全卷，将简单题顺手完成的情况下，情绪趋于稳定，情境趋于单一，大脑趋于亢奋，思维趋于积极，之后便是发挥临场解题能力的黄金季节了，这时，考生可依自己的解题习惯和基本功，结合整套试题结构，选择执行“六先六后”的战术原则。

备战高考数学考试万能工具包第二篇考前必看解题技巧专题2.3 破解6类解答题

专题03 破解6类解答题一、三角函数问题重在“变”——变角、变式与变名三角函数类解答题是高考的热点,其起点低、位置前,但由于其公式多,性质繁,使不少同学对其有种畏惧感.突破此类问题的关键在于“变”——变角、变式与变名.(1)变角:已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用.如α=(α+β)-β=(α-β)+β,2α=(α+β)+(α-β),2α=(β+α)-(β-α).(2)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式,方法通常有:“常值代换”“逆用、变形用公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等.(3)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,方法通常有“切化弦”“升次与降次”等.例1 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sin B=.(1)求b和sin A的值;(2)求sin的值.所以sin 2A=2sin Acos A=,cos 2A=1-2sin2A=-.(变名)故sin=sin 2Acos+cos 2Asin=.(变角)变式:利用恒等变换变为sin A=.变名:利用二倍角公式实现三角函数名称的变化. 变角:把2A+的三角函数表示为2A 和的三角函数. ▲破解策略求解此类题目的策略:既要注重三角知识的基础性,又要注重三角知识的应用性,突出与代数、几何、向量等知识的综合联系.“明确思维起点,把握变换方向,抓住内在联系,合理选择公式”是三角变换的基本要决.在解题时,要紧紧抓住“变”这一核心,灵活运用公式与性质,仔细审题,快速运算. 【变式训练】【2018四川省广元市一模】设函数()22cos 22cos 3f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最大值，并写出使()f x 取最大值时x 的集合；（2）已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()32f A =， 2b c +=，求a 的最小值. 二、数列问题重在“归”——化归、归纳等差数列与等比数列是两个基本数列,是一切数列问题的出发点与归宿.首项与公差(比)称为等差数列(等比数列)的基本量.只要涉及这两个数列的数学问题,我们总希望把条件化归为等差或等比数列的基本量间的关系,从而达到解决问题的目的.这种化归为基本量处理的方法是等差或等比数列特有的方法,对于不是等差或等比的数列,可从简单的个别的情形出发,从中归纳出一般的规律、性质,这种归纳思想便形成了解决一般性数列问题的重要方法:观察、归纳、猜想、证明.由于数列是一种特殊的函数,也可根据题目的特点,将数列问题化归为函数问题来解决.例2 (2017课标全国Ⅲ,17,12分)设数列{a n }满足a 1+3a 2+…+(2n -1)a n =2n. (1)求{a n }的通项公式;(2)求数列的前n 项和.从而{a n }的通项公式为a n =(n∈N *).(2)记的前n 项和为S n .由(1)知==-.(化归)则S n =-+-+…+-=.归纳:通过条件归纳出a 1+3a 2+…+(2n -3)a n-1=2(n-1)(n≥2),进而得出{a n }的通项公式. 化归:把数列的通项分拆,利用裂项相消法求和.▲破解策略 “算一算、猜一猜、证一证”是数列中特有的归纳思想,利用这种思想可探索一些一般数列的简单性质.等差数列与等比数列是数列中的两个特殊的基本数列,高考中通常考查的是非等差、等比数列问题,应对的策略就是通过化归思想,将其转化为这两种数列.【变式训练】【2018江西省师范大学附属中学、九江第一中学联考】已知正项数列{}n a 满足:()211,21n n a a n a =--= ()()211212.n n a n a n n --++-≥∈N 且(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求3223111111n n a a a a a a ++++++---L 的值.三、立体几何问题重在“建”——建模、建系立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合,以某个几何体为依托,分步设问,逐层加深,解决这类题目的原则是建模、建系.建模——将问题转化为平行模型、垂直模型、平面化模型及角度、距离等的计算模型;建系——依托于题中的垂直条件,建立空间直角坐标系,利用空间向量求解.例 3 (2017课标全国Ⅲ,19,12分)如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D-AE-C的余弦值.所以平面ACD⊥平面ABC.(2)由题设及(1)知,OA,OB,OD两两垂直.以O为坐标原点,的方向为x轴正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.(建系)则A(1,0,0),B(0,,0),C(-1,0,0),D(0,0,1).由题设知,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的,从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距同理可取m=(0,-1,),则cos<n,m>==.易知二面角D-AE-C为锐二面角,所以二面角D-AE-C的余弦值为.建模:构建二面角的平面角模型.建系:以两两垂直的直线为坐标轴.▲破解策略立体几何的内容在高考中的考查情况总体上比较稳定,因此,复习备考时往往有“纲”可循,有“题”可依.在平时的学习中,要加强“一题两法(几何法与向量法)”的训练,切勿顾此失彼;要重视识图训练,能正确确定关键点或线的位置,将局部空间问题转化为平面问题;能依托于题中的垂直条件,建立适当的空间直角坐标系,将几何问题化归为代数问题.【变式训练】【湖南省株洲市2018届高三教学质量统一检测】如图,在几何体ABCDEF中，四边形ADEF为矩形，四边形ABCD 为梯形, //AB CD ,平面CBE 与平面BDE 垂直，且CB BE ⊥.（1）求证： ED ⊥平面ABCD ；（2）若,1AB AD AB AD ⊥==,且平面BCE 与平面ADEF 所成锐二面角的余弦值为66,求AF 的长. 四、概率问题重在“辨”——辨析、辨型概率与统计问题的求解关键是辨别它的概率模型,只要模型一找到,问题便迎刃而解.而概率与统计模型的提取往往需要经过观察、分析、归纳、判断等复杂的辨析思维过程,同时,还需清楚概率模型中等可能事件、互斥事件、对立事件等事件间的关系,注意放回和不放回试验的区别,合理划分复杂事件.例4 (2016课标Ⅱ,18,12分)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下: 上年度出险次数 01234≥5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下: 一年内出险次0 1 2 3 4 ≥5数概率0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.解析(1)设A表示事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1,(辨析1)故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.(辨型1)(2)设B表示事件:“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3,(辨析2)故P(B)=0.1+0.05=0.15.又P(AB)=P(B),故P(B|A)====.(辨型2)辨型1:该问题为求随机事件的概率,利用互斥事件的概率加法公式求解.辨析2:判断事件B发生,在一年内出险次数为4或≥5.辨型2:该问题为条件概率,可利用公式求解.▲破解策略概率与统计知识的复习应抓住基本概念、基本公式,不需要做难题、偏题、怪题.在审题时,一般按以下程序操作:(1)准确弄清问题所涉及的事件有什么特点,事件之间有什么关系,如互斥、对立、独立等;(2)理清事件以什么形式发生,如同时发生、至少有几个发生、至多有几个发生、恰有几个发生等;(3)明确抽取方式,如放回还是不放回、抽取有无顺序等;(4)准确选择排列组合的方法来计算基本事件发生数和事件总数,或根据概率计算公式和性质来计算事件的概率.【变式训练】【2018湖南省长沙市第一中学模拟】2017年4月1日，新华通讯社发布：国务院决定设立河北雄安新区.消息一出，河北省雄县、容城、安新3县及周边部分区域迅速成为海内外高度关注的焦点. （1）为了响应国家号召，北京市某高校立即在所属的8个学院的教职员工中作了“是否愿意将学校整体搬迁至雄安新区”的问卷调查，8个学院的调查人数及统计数据如下：调查人数(x) 10 2030 40 50 60 70 80愿意整体搬迁人数(y)8 17 25 31 39 47 55 66请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y关于变量x的线性回归方程y bx a=+（b保留小数点后两位有效数字）；若该校共有教职员工2500人，请预测该校愿意将学校整体搬迁至雄安新区的人数；（2）若该校的8位院长中有5位院长愿意将学校整体搬迁至雄安新区，现该校拟在这8位院长中随机选取4位院长组成考察团赴雄安新区进行实地考察，记X为考察团中愿意将学校整体搬迁至雄安新区的院长人数，求X的分布列及数学期望.参考公式及数据：882122111,ˆˆ,16310,20400·ni iii i ini iiix y n x yb a y b x x y xx n x====-⋅⋅==-⋅==-∑∑∑∑.五、解析几何问题重在“设”——设点、设线解析几何试题知识点多,运算量大,能力要求高,综合性强,在高考试题中大都是以压轴题的面貌出现,是考生“未考先怕”的题型,不是怕解题无思路,而是怕解题过程中繁杂的运算.因此,在遵循“设——列——解”程序化解题的基础上,应突出解析几何“设”的重要性,以克服平时重思路方法、轻运算技巧的顽疾,突破如何避繁就简这一瓶颈.例5 (2017课标全国Ⅰ,20,12分)设A,B为曲线C:y=上两点,A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率;(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程.解析(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1≠x2,y1=,y2=,x1+x2=4,(设点)于是直线AB的斜率k===1.(2)由y=,得y'=,设M(x3,y3),由题设知=1,即4=2(m+1),解得m=7.所以直线AB的方程为y=x+7.设点:设出A,B两点坐标,并得出x1≠x2,x1+x2=4.设线:由(1)知直线斜率,再设直线方程为y=x+m,利用条件可求出m的值.▲破解策略解析几何的试题常要根据题目特征,恰当地设点、设线,以简化运算.常见的设点方法有减元设点、参数设点、直接设点等,常见的设线方法有圆方程的标准式与一般式、直线方程有y=kx+b、x=my+n 及两点式、点斜式等形式、还有曲线系方程、参数方程等.【变式训练】【2018黑龙江省大庆市一模】已知椭圆2222:1x y C a b+= ()0a b >>，其焦距为2，离心率为22（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆的右焦点为F ， K 为x 轴上一点，满足2OK OF =u u u v u u u v，过点K 作斜率不为0的直线l 交椭圆于,P Q 两点，求FPQ ∆面积s 的最大值.六、函数与导数问题重在“分”——分离、分解以函数为载体,以导数为工具的综合问题是高考常考的压轴大题,多涉及含参数的函数的单调性、极值或最值的探索与讨论,复杂函数的零点的讨论,不等式中参数范围的讨论,恒成立和能成立问题的讨论等,是近几年高考试题的命题热点.对于此类综合试题,一般先求导,再变形或分解出基本函数,再根据题意处理.例6 (2017课标全国Ⅱ,21,12分)已知函数f(x)=ax 2-ax-xln x,且f(x)≥0. (1)求a;(2)证明: f(x)存在唯一的极大值点x 0,且e -2< f(x 0)<2-2.当0<x<1时,g'(x)<0,g(x)单调递减; 当x>1时,g'(x)>0,g(x)单调递增.所以x=1是g(x)的极小值点,故g(x)≥g(1)=0. 综上,a=1.(2)由(1)知f(x)=x 2-x-xln x, f '(x)=2x-2-ln x. 设h(x)=2x-2-ln x,(分解) 则h'(x)=2-. 当x∈时,h'(x)<0;当x∈时,h'(x)>0, 所以h(x)在单调递减,在单调递增.分离:把函数f(x)分离为x 与g(x)的积. 分解:构造h(x)=2x-2-ln x.▲破解策略函数与导数压轴题计算复杂、综合性强、难度大.可以参变量分离,把复杂函数分离为基本函数;可把题目分解成几个小题;也可把解题步骤分解为几个小步,注重分步解答,这样,即使解答不完整,也要做到尽可能多拿步骤分.【变式训练】已知函数()1ln f x ax x =-+（1）若不等式()0f x ≤恒成立，则实数a 的取值范围；（2）在（1）中， a 取最小值时，设函数()()()()122g x x f x k x =--++.若函数()g x 在区间182⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上恰有两个零点，求实数k 的取值范围；（3）证明不等式： ()2212ln 234n n n n-+⨯⨯⨯⨯>L （*n N ∈且2n ≥）.答案精解精析一、三角函数问题重在“变”——变角、变式与变名【变式训练】【解析】（1）由题意得()()13cos2x 2122f x sin x cos x =--++ 13cos2x 212sin x =-+ cos 213x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ，∵1cos 213x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭， ∴0cos 2123x π⎛⎫≤++≤ ⎪⎝⎭， ∴()f x 的最大值为2．此时()223x k k Z ππ+=∈，即()6x k k Z ππ=-∈，∴5233A ππ+=，∴23A π=在ABC ∆中， 2b c +=， 1cos 2A =，由余弦定理得()2222222cos a b c bc A b c bc b c bc =+-=++=+-又212b c bc +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，∴()22413a b c bc =+-≥-=，当且仅当1b c ==时取等号， ∴a二、数列问题重在“归”——化归、归纳【变式训练】【解析】(1) ()221n n a n a --因为=()21121n n a n a --+-,⇒()()11n n n n a a a a -+-+=()()121n n n a a --+,0n a >所以,所以()1212n n a a n n --=-≥,又n a 因为=()()()112211n n n n a a a a a a a ----+-++-+L =()()212331n n -+-+++L =2n . (2)11n n a a +-=122111n n n a a a -+=+--=2211n +-=()()2111n n +-+=()111211n n n +-≥-+,所以原式=1111111111113243511n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++-++-+++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L =()1111111113243511n n n ⎛⎫-+-+-+-++- ⎪++⎝⎭L = 11121n n n +--+. 三、立体几何问题重在“建”——建模、建系【变式训练】【解析】（1)证明：因为平面CBE 与平面BDE 垂直故ED ⊥平面ABCD（2）由（1）知， ED 垂直DA ， ED 垂直DC ，又AD 垂直AB ， AB 平行CD ，所以DC 垂直DA ，如图，以D 为坐标原点， DA DC DE 、、分别为,,x y z 轴建立空间坐标系1,,2AD AB AB AD BD ==⊥=又,45CB BD CDB ⊥∠=︒，所以2DC =，设DE a =则()()()1,1,0,0,2,0,0,0,B C E a()()1,1,,1,1,0BE a BC =--=-因为平面BCE 与平面ADEF 6，则6cos ,n m =v v，2624a =+1a =，即1AF DE == 四、概率问题重在“辨”——辨析、辨型【变式训练】【解析】（1）由已知有 1221163108453645,36,0.820400845ˆ54ni ii n i i x y n x y x y bx n x==-⋅⋅-⨯⨯====≈-⨯⨯-⋅∑∑，360.80450a =-⨯=,故变量 y 关于变量 x 的线性回归方程为0.8y x =，所以当 2500x =时，25000.802000y =⨯=.（2）由题意可知X 的可能取值有1，2,3,4.()()132253534488131,2147C C C C P X P X C C ⋅⋅======， ()()2145354488313,4714C C C P X P X C C ⋅======. 所以 X 的分布列为X1 2 3 4p114 37 37 114()1331512341477142E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 五、解析几何问题重在“设”——设点、设线【变式训练】【解析】(1)因为椭圆焦距为2，即22c =，所以1c =,22c a =，所以2a =，从而2221b a c =-=，所以椭圆的方程为2212x y +=.()()22222222818214221121k k k k k k k -=+-+++ ()()()222222812121222121k k kk k k --==++，令212t k =+，12t <<，则22232131222416t t S t t -+-⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭，当134t =时， S 取得最大值，此时216k =， 6k =±， S 取得最大值24. 六、函数与导数问题重在“分”——分离、分解【变式训练】【解析】(2)由(1)可知， 1a ≥，当1a =时， ()1ln f x x x =-+，()()()ln 22g x x x x k x =--++ ()2ln 22x x x k x =--++，()g x 在区间1,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点，即关于x 的方程()2ln 220x x x k x --++=在区间1,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个实数根. 整理方程得， 2ln 22x x x k x -+=+，令()2ln 21,822x x x s x x x -+⎡⎤=∈⎢⎥+⎣⎦，， ()()2232ln 4'2x x x s x x +--=+，令()232ln 4x x x x ϕ=+--， 1,82x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()()212'x x x xϕ-+=， 1,82x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，于是()'0x ϕ≥， ()x ϕ在1,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增.因为()10ϕ=，当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时， ()0x ϕ<，从而()'0s x <， ()s x 单调递减，当(]1,8x ∈时， ()0x ϕ>，从而()'0s x >， ()s x 单调递增，19ln22105s ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ()11s =， ()3312ln285s -=，因为()15726ln280210s s -⎛⎫-=>⎪⎝⎭，所以实数k 的取值范围是9ln21105⎛⎤+⎥⎝⎦，. (3)由(1)可知，当1a =时，有1ln x x -≥，当且仅当1x =时取等号.。

专题2.2 套用18个解题模板-2018版备战高三数学考试万能工具包

第2篇考前必看解题技巧专题02 套用18个解题模板模板一求函数值例1 已知函数f (x )的定义域为R.当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当12x >时， 1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则f (6)等于( ) A. －2 B. －1 C. 0 D. 2 【答案】D▲模板构建已知函数解析式求函数值,常伴随对函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性的考查,其解题思路如下:【变式训练】【2018山西省太原市实验中学模拟】奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (8)＋f (5)的值为( ) A. 2 B. 1 C. －1 D. －2 模板二函数的图象例2 【2018江西省K12联盟质量检测】函数()()2244log x x f x x -=-的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B▲模板构建由原函数的图象判断导函数的图象,关键是根据原函数的单调性与导函数值的正负的对应关系进行判断,基本的解题要点如下:【变式训练】【2018甘肃省张掖市质检】函数()()28sin 2x x f x x x -=+-的部分图象大致是（）A. B. C. D.模板三函数的零点问题例3 函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点可能落在的区间为( ) A. (0,1) B. (2,3) C. (3,4) D. (4,5)▲模板构建利用零点存在性定理可以根据函数y=f(x)在某个区间端点处函数值的符号来确定零点所在区间.这种方法适用于不需要确定零点的具体值,只需确定其大致范围的问题.基本的解题要点为:学+-科网【变式训练】【2018南京市、盐城市联考】设函数()f x 是偶函数，当x ≥0时，()f x =()3,03,{ 31,>3x x x x x-≤≤-+，若函数()y f x m =- 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．模板四三角函数的性质例4 【2018湖南师范大学附属中学模拟】下列选项中为函数()1cos 2sin264f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的一个对称中心为（）A. 7,024π⎛⎫⎪⎝⎭ B. ,03π⎛⎫⎪⎝⎭ C. 1,34π⎛⎫- ⎪⎝⎭ D. ,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A▲模板构建在利用三角函数的性质求最值或值域时,要注意:(1)先确定函数的定义域;(2)将已知函数化简为y=As in(ωx+φ)+k 的形式时,尽量化成A>0,ω>0的情况;(3)将ωx+φ视为一个整体.解题思路为:【变式训练】【2018辽宁省凌源市模拟】已知函数()2cos 3sin sin 2f x x x x π⎛⎫=-++⎪⎝⎭，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最小值与最大值之和为__________．模板五三角函数的图象变换例5 将函数()2sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标缩小为原来的12，再向右平移φ(φ>0)个单位后得到的图象关于直线2x π=对称，则φ的最小值是( )A. 4πB. 3πC. 34πD. 38π【答案】D▲模板构建三角函数图象变换的主要类型:在x 轴方向上的左、右平移变换,在y 轴方向上的上、下平移变换,在x 轴或y 轴方向上的伸缩变换.其基本步骤如下:【变式训练】【2018湖南省长郡中学模拟】为了得到函数2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需把函数cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（）A. 向左平移2π个单位长度 B. 向右平移2π个单位长度C. 向左平移4π个单位长度D. 向右平移4π个单位长度模板六解三角形例 6 【2018湖南省长沙市第一中学模拟】已知在ABC 中， D 是AC 边上的点，且AB AD =，6BD AD =， 2BC AD =,则sin C 的值为（） A.158B. 154C. 18D. 14【答案】A.▲模板构建利用正弦定理、余弦定理都可以进行三角形的边、角之间的互化,当已知三角形的两边及一边的对角,或已知两角及一角的对边时,可以利用正弦定理求解三角形中的有关量;如果已知三边或两边及其夹角,则可利用余弦定理进行求解.其基本思路如下:【变式训练】【2018河南省南阳市第一中学模拟】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为(),,,sin cos cos 3cos a b c B a B b A c B +=.（1）求B ；（2）若3,b ABC =∆的面积为3ABC ∆的周长.学+-科网模板七利用函数性质解不等式例7 已知定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞上递减且()10f =，则不等式()414log log 0f x f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭的解集为__________．【答案】1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦▲模板构建函数性质法主要适用于解决抽象函数对应的不等式问题.其解题要点如下:【变式训练】【2018吉林省实验中模拟】设函数()212xf x e x =-+，则使得()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是A. 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C. 11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭模板八利用基本不等式求最值例8．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xyz取得最大值时， 212x y z +-的最大值为________．【答案】1【解析】由x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，得z ＝x 2－3xy ＋4y 2， ∴xyz ＝22xy 3xy 4x y -+＝143x y y x+-▲模板构建拼凑法就是将函数解析式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求最值.应用此法求最值的基本思路如下:【变式训练】已知,x y +∈R ,且满足22x y xy +=,那么34x y +的最小值为____. 模板九不等式恒成立问题例9 【2018河南省中原名校联考】已知函数()()1ln ,0mf x x m x m x=-+->，当[]1,x e ∈时， ()0f x >恒成立，则实数m 的取值范围为（）A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()1,+∞C. ()0,1D. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】记函数()f x 在[]1,e 上的最小值为()g m : ()()1ln mf x x m x x=-+-的定义域为()0,+∞. ()211m mf x x x++'=-. 令()0f x '=，得m x =或1x =.①0m 1<≤时，对任意的1x e <<,()0f x '>， ()f x 在[]1,e 上单调递增， ()f x 的最小值为()11m f =-②当1m e <<时，()f x 的最小值为()()m m 1m 1lnm f =--+;故实数m 的取值范围为()0,1. 故选C.▲模板构建分离参数法是求解不等式恒成立问题的常用方法,其解题要点如下:【变式训练】（Ⅰ）设不等式()2211x m x ->-对满足2m ≤的一切实数m 的取值都成立，求x 的取值范围；学/*科-网（Ⅱ）是否存在实数m ,使得不等式()2211x m x ->-对满足2x ≤的一切实数x 的取值都成立．模板十简单的线性规划问题例10 已知x ， y 满足约束条件20,{20,4180,x y x y x y -≤-≥+-≤则目标函数328xy z =的最小值为__________．【答案】14【解析】▲模板构建线性规划问题是指在线性约束条件下求解线性目标函数的最值问题,解决此类问题最基本的方法是数形结合法.其基本的解题步骤如下:【变式训练】【2018辽宁省凌源市联考】已知实数,x y 满足73,{313, 1y x x y x y ≥-+≤≤+则23412x y z -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的最小值为__________．模板十一数列的通项与求和例11 【2018湖南省长沙市第一中学模拟】已知等差数列{}n a 中， 2465,22a a a =+=，数列{}n b 中，()113,212n n b b b n -==+≥.（1）分别求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）定义[]()x x x =+， []x 是x 的整数部分， ()x 是x 的小数部分，且()01x ≤<.记数列{}n c 满足1n n n a c b ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，求数列{}n c 的前n 项和.两式相减，得345122113357221321215252422222442222n n n n n n n n n S +++++++=+++++-=+--=- 故152522n n n S ++=-.▲模板构建数列的通项与求和问题的解题步骤如下:【变式训练】【2018贵州省贵阳市第一中学模拟】已知ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别是,,a b c 且222a c b cb =+-， 3a ={}n a 的公差1,2sin ad a A== . （Ⅰ）若角A 及数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足3log 2n n a b =，求数列2n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S . 模板十二空间中的平行与垂直例12【2018南京市、盐城市一模】如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中， CA CB =，点,M N 分别是11,AB A B 的中点.（1）求证： BN ∥平面1A MC ；（2）若11A M AB ⊥，求证： 11AB A C ⊥.【解析】证明：（1）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以11//AB A B ，且11AB A B =，又点,M N 分别是11,AB A B 的中点，所以1MB A N =，且1//MB A N ．则由侧面11ABB A ⊥底面ABC ，侧面11ABB A ⋂底面ABC AB =，CM AB ⊥，且CM ⊂底面ABC ，得CM ⊥侧面11ABB A ．又1AB ⊂侧面11ABB A ，所以1AB CM ⊥．又11AB A M ⊥， 1,A M MC ⊂平面1A MC ，且1A M MC M ⋂=，所以1AB ⊥平面1A MC ．又1AC ⊂平面1A MC ，所以11AB A C ⊥． ▲模板构建证明空间中的平行与垂直的步骤如下:【变式训练】如图， 11,AA BB 为圆柱1OO 的母线， BC 是底面圆O 的直径， D 是1AA 的中点.（Ⅰ）问： 1CB 上是否存在点E 使得//DE 平面ABC ？请说明理由；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若DE ⊥平面1CBB ，假设这个圆柱是一个大容器，有条体积可以忽略不计的小鱼能在容器的任意地方游弋，如果小鱼游到四棱锥11C ABB A -外会有被捕的危险，求小鱼被捕的概率. 模板十三求空间角例13 【2018吉林省实验中学模拟】如图， AB 为圆O 的直径，点E ， F 在圆O 上， //AB EF ，矩形ABCD 和圆O 所在的平面互相垂直，已知2AB =， 1EF =．（Ⅰ）求证：平面DAF ⊥平面CBF ；学+科*-网（Ⅱ）当AD 的长为何值时，二面角D FE B --的大小为60︒．（Ⅱ）设EF 中点为G ，以O 为坐标原点， OA OG AD 、、方向分别为x 轴、y 轴、z 轴方向建立空间直角坐标系（如图）．设(0)AD t t =>，则点D 的坐标为()1,0,t ，则()1,0,C t -，又()()131,0,0,1,0,0,,,02A B F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，∴，因此，当AD 6时，平面DFC 与平面FCB 所成的锐二面角的大小为60°。

答题策略与答题技巧备战高三数学考试万能工具包

答题策略与答题技巧（一）历年高考数学试卷的启发1.试卷上有参考公式，80%是有用的，它为你的解题指引了方向；2.解答题的各小问之间有一种阶梯关系，通常后面的问要使用前问的结论。

如果前问是证明，即使不会证明结论，该结论在后问中也可以使用。

当然，我们也要考虑结论的独立性；3.注意题目中的小括号括起来的部分，那往往是解题的关键；（二）答题策略选择1.先易后难是所有科目应该遵循的原则，而数学卷上显得更为重要。

一般来说，选择题的后两题，填空题的后一题，解答题的后两题是难题。

当然，对于不同的学生来说，有的简单题目也可能是自己的难题，所以题目的难易只能由自己确定。

一般来说，小题思考1分钟还没有建立解答方案，则应采取“暂时性放弃”，把自己可做的题目做完再回头解答；2.选择题有其独特的解答方法，首先重点把握选择支也是已知条件，利用选择支之间的关系可能使你的答案更准确。

切记不要“小题大做”。

注意解答题按步骤给分，根据题目的已知条件与问题的联系写出可能用到的公式、方法、或是判断。

虽然不能完全解答，但是也要把自己的想法与做法写到答卷上。

多写不会扣分，写了就可能得分。

（三）答题思想方法1.函数或方程或不等式的题目，先直接思考后建立三者的联系。

首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”。

2.如果在方程或是不等式中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法，即“有形无数去找数，有数无形去配形；形之根源在平几，数的核心是解析.数形结合无限好，化繁为简创奇迹”；3.面对含有参数的初等函数来说，在研究的时候应该抓住参数没有影响到的不变的性质。

如所过的定点，二次函数的对称轴或是……；4.选择与填空中出现不等式的题目，优选特殊值法，即“小题在前，特值当先”；5.求参数的取值范围，应该建立关于参数的等式或是不等式，用函数的定义域或是值域或是解不等式完成，在对式子变形的过程中，优先选择分离参数的方法；6.恒成立问题或是它的反面，可以转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，分类讨论的思想，分类讨论应该不重复不遗漏；7.圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成，直线与圆锥曲线相交问题，若与弦的中点有关，选择“设而不求”“点差法”，与弦的中点无关，选择韦达定理公式法；使用韦达定理必须先考虑是否为二次及根的判别式；8.求曲线方程的题目，如果知道曲线的形状，则可选择待定系数法，如果不知道曲线的形状，则所用的步骤为建系、设点、列式、化简（注意去掉不符合条件的特殊点）；9.求椭圆或是双曲线的离心率，建立关于a、b、c之间的关系等式即可；10.三角函数求周期、单调区间或是最值，优先考虑化为一次同角弦函数，然后使用辅助角公式解答；解三角形的题目，重视内角和定理的使用；与向量联系的题目，注意向量角的范围；11.数列的题目与和有关，优选和通公式，优选作差的方法；注意归纳、猜想之后证明；猜想的方向是两种特殊数列；解答的时候注意使用通项公式及前n项和公式，体会方程的思想；12.立体几何第一问如果是为建系服务的，一定用传统做法完成，如果不是，可以从第一问开始就建系完成；注意向量角与线线角、线面角、面面角都不相同，熟练掌握它们之间的三角函数值的转化；锥体体积的计算注意系数1/3，而三角形面积的计算注意系数1/2；与球有关的题目也不得不防，注意连接“心心距”创造直角三角形解题；13.导数的题目常规的一般不难，但要注意解题的层次与步骤，如果要用构造函数证明不等式，可从已知或是前问中找到突破口，必要时应该放弃；重视几何意义的应用，注意点是否在曲线上；4.概率的题目如果出解答题，应该先设事件，然后写出使用公式的理由，当然要注意步骤的多少决定解答的详略；如果有分布列，则概率和为1是检验正确与否的重要途径；15.三选二的三题中，极坐标与参数方程注意转化的方法，不等式题目注意柯西与绝对值的几何意义；16.遇到复杂的式子可以用换元法，使用换元法必须注意新元的取值范围，有勾股定理型的已知，可使用三角换元来完成；17.注意概率分布中的二项分布，二项式定理中的通项公式的使用与赋值的方法，排列组合中的枚举法，全称与特称命题的否定写法，取值范或是不等式的解的端点能否取到需单独验证，用点斜式或斜截式方程的时候考虑斜率是否存在等；18.绝对值问题优先选择去绝对值，去绝对值优先选择使用定义；19.与平移有关的，注意口诀“左加右减，上加下减”只用于函数，沿向量平移一定要使用平移公式完成；20.关于中心对称问题，只需使用中点坐标公式就可以，关于轴对称问题，注意两个等式的运用：一是垂直，一是中点在对称轴上。

高考数学6大解答题技巧

高考数学6大解答题技巧（最新版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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高考数学考试万能工具包考前必看解题策略专题3.3答题策略与答题技巧

专题03 答题策略与答题技巧（一）历年高考数学试卷的启发1.试卷上有参考公式，80%是有用的，它为你的解题指引了方向；2.解答题的各小问之间有一种阶梯关系，通常后面的问要使用前问的结论。

如果前问是证明，即使不会证明结论，该结论在后问中也可以使用。

一般来说，选择题的后两题，填空题的后一题，解答题的后两题是难题。

当然，对于不同的学生来说，有的简单题目也可能是自己的难题，所以题目的难易只能由自己确定。

切记不要“小题大做”。

注意解答题按步骤给分，根据题目的已知条件与问题的联系写出可能用到的公式、方法、或是判断。

虽然不能完全解答，但是也要把自己的想法与做法写到答卷上。

多写不会扣分，写了就可能得分。

（三）答题思想方法1.函数或方程或不等式的题目，先直接思考后建立三者的联系。

首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”。

备战2021年高考数学选择题万能解题法答题技巧

备战2021年高考数学选择题万能解题法答题技巧高考频道为____年高考生支招，介绍几种高考数学选择题万能解题法：1.特值检验法：对于具有一般性的数学问题，我们在解题过程中，可以将问题特殊化，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下不真这一原理，达到去伪存真的目的。

2.极端性原则：将所要研究的问题向极端状态进行分析，使因果关系变得更加明显，从而达到迅速解决问题的目的。

极端性多数应用在求极值、取值范围、解析几何上面，很多计算步骤繁琐、计算量大的题，一但采用极端性去分析，那么就能瞬间解决问题。

3.剔除法：利用已知条件和选择支所提供的信息，从四个选项中剔除掉三个错误的答案，从而达到正确选择的目的。

这是一种常用的方法，尤其是答案为定值，或者有数值范围时，取特殊点代入验证即可排除。

4.数形结合法：由题目条件，作出符合题意的图形或图象，借助图形或图象的直观性，经过简单的推理或计算，从而得出答案的方法。

数形结合的好处就是直观，甚至可以用量角尺直接量出结果来。

5.递推归纳法：通过题目条件进行推理，寻找规律，从而归纳出正确答案的方法。

6.顺推破解法：利用数学定理、公式、法则、定义和题意，通过直接演算推理得出结果的方法。

7.逆推验证法(代答案入题干验证法)：将选择支代入题干进行验证，从而否定错误选择支而得出正确选择支的方法。

8.正难则反法：从题的正面解决比较难时，可从选择支出发逐步逆推找出符合条件的结论，或从反面出发得出结论。

9.特征分析法：对题设和选择支的特点进行分析，发现规律，归纳得出正确判断的方法。

10.估值选择法：有些问题，由于题目条件限制，无法(或没有必要)进行精准的运算和判断，此时只能借助估算，通过观察、分析、比较、推算，从面得出正确判断的方法。

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专题2 万能k法(解析版)-高考数学二轮复习

第2讲万能k 法知识与方法在题目给定关于,x y 的一个二次式,要求另一个代数式的值,可以直接令此式子等于k ,然后用y 表示x ,代人原式,得到一个关于x 的一元二次方程,利用判别式大于等于零,得到一个不等式,解出k 的范围即可,此方法称之为万能k 法.典型例题【例1】若实数,x y 满足221x y xy ++=,则x y +的最大值是 .【解析】【解法1】(万能k 法):令x y k +=,则x k y =-,代入题于()22()1k y y k y y -++-=,整理222221k ky y y ky y -+++-=,即2210,y ky k -+-=()22Δ410k k =--,得243k ,故233k 【解法2】2221,()1.x y xy x y xy ++=∴+=+222,()122x y x y xy x y ++⎛⎫⎛⎫∴+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故可知x y +的最大值是3.【答案】3. 【例2】若正实数,m n 满足23m n mn +=,则m n +的最小值为【解析】【解法1】正实数,m n 满足1223,3,m n mn n m+=∴+=()11212112321333m n m n m n n m n m ⎛⎛⎫⎛⎫∴+=++=++++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝当且仅当2m n n m=,即m =时取等号,则m n +的最小值为13+. 【解法2】令0m n k +=>,则m k n =-带入原式()23k n n k n n -+=-, 整理得233k n kn n +=-,从而()23130,n k n k +-+= 2Δ(13)430k k =--⋅,解得2123k +或2123k -(舍).【答案】1【例3】设,x y 为实数,若2245x y xy ++=,则2x y +的最大值是 .【解析】令2x y t +=,则2,y t x =-()224(2)25x t x x t x ∴+-+-=,化为226350,x tx t -+-=x 为实数,()22Δ92450t t ∴=--, 解得28t ,解得222,t -2x y ∴+的最大值为.【答案】.【例4】已知实数,,a b c 满足0a b c ++=,则2221a b c ++=,则a 的最大值是【解析】【解法1】令a k =时,2220,()1,k b c k c k c ++=+--+= 2222221,22210,k c ck k c c kc k ++++=++-= 66Δ0,33k -. 【解法2】2222:,1b c a b c a +=-+=-因为22222b c b c ++⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以22122a a --⎛⎫ ⎪⎝⎭,解得63a ,所以a .. 【例5】若存在正实数y ,使得154xy y x x y=-+,则实数x 的最大值为 . 【解析】()221,4510,54xy xy x y x y x x y =∴+-+=-+ 212121510,044x y y y y x-∴⋅=>∴+=->, 25100x x ⎧-<∴⎨>⎩或25100x x ⎧->⎨<⎩0x ∴<<x <.① ()2222Δ51160,514x x x x =--∴-或2514x x --,解得115x - ② 综上x 的最大值是15. 【答案】15. 强化训练1. 设正实数,x y 满足4x y xy x y-=+,则实数y 的取值范围是【解析】正实数,x y 满足4x y xy x y -=+,化为()22140,yx y x y +-+= 关于x 的方程有正实数根,Δ0∴.又121440,y x x x y ==>∴与2x 同号,21210y x x y -∴+=>,解得01y <<.由Δ0, ()()()2222221160,41410.01,410y y y y y y y y y ∴--∴+---<<∴--<, 2410y y ∴+-,解得052y<-. ∴实数y 的取值范围是(2⎤⎦,【答案】(2⎤⎦.2. 已知正数,x y 满足4443x y xy x y-=+,那么y 的最大值为【解析】正实数,x y 满足4443x y xy x y -=+,化为()22161240yx y x y +-+=,关于x 的一元二次方程有正实数根,()2222124016Δ124640y y y y ⎧-->⎪⎪∴⎨⎪=--⎪⎩,又0y >,解得13y .那么y 的最大值为13.【答案】13.3.已知正实数,x y 满足24310x y x y+++=,则xy 的取值范围是 . 【解析】设xy m =,则2424.310,310m m y x x y y y x y y m y =+++=∴+++=, 整理得()222310m y my m +-++40,m =,x y 是正实数,Δ0∴,即()()2210042340m m m m -++, 整理得()()3810m m m --,解得813m,或0m (舍去).【答案】813xy . 4．实数,x y 满足224545x xy y -+=,设22S x y =+,则max min11S S +=【解析】【解法1】令t x =,则t x -=222222222,2(22),t tx x x y t tx x x x ∴-+=+∴-+=+- ()2242840x t x t ∴+-+-=.22,22x y y x +=∴=-.又0,0,01x y x >>∴<<. 关于x 的方程在()0,1上有解,()222840,42840,01,2t t t t -∴->+-+-><-<8Δ0,,5t x ∴∴+的最小值为85.22224545,5445x xy y xy x y -+==+-.又()22222252,54452xy x y xy x y x y +∴=+-+. 设22510,45,23S x y S S S =+-∴,即max 103S =.2222552,544585,,1313x y xy xy x y xy xy xy +-∴=+---∴-∴-, 22min max min 10101131382,,131310105S x y xy S S S ∴=+-∴=∴+=+=.【解法2】令()()222222,5454,x y k x y k x xy y +=+=-+ ()()()22545540k x ky x k y -++-=2222Δ254(54)0k y k y =--,即22254(54)0k k --,解得sin maxmax min 1010101011313.,,1331331010 k S SS S==∴+=+85=【答案】8 5.。

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专题03 破解6类解答题一、三角函数问题重在“变”——变角、变式与变名三角函数类解答题是高考的热点,其起点低、位置前,但由于其公式多,性质繁,使不少同学对其有种畏惧感.突破此类问题的关键在于“变”——变角、变式与变名.(1)变角:已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用.如α=(α+β)-β=(α-β)+β,2α=(α+β)+(α-β),2α=(β+α)-(β-α).(2)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式,方法通常有:“常值代换”“逆用、变形用公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等.(3)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,方法通常有“切化弦”“升次与降次”等.例1 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sin B=.(1)求b和sin A的值;(2)求sin的值.所以sin 2A=2sin Acos A=,cos 2A=1-2sin2A=-.(变名)故sin=sin 2Acos+cos 2Asin=.(变角)变式:利用恒等变换变为sin A=.变名:利用二倍角公式实现三角函数名称的变化.变角:把2A+的三角函数表示为2A和的三角函数.▲破解策略求解此类题目的策略:既要注重三角知识的基础性,又要注重三角知识的应用性,突出与代数、几何、向量等知识的综合联系.“明确思维起点,把握变换方向,抓住内在联系,合理选择公式”是三角变换的基本要决.在解题时,要紧紧抓住“变”这一核心,灵活运用公式与性质,仔细审题,快速运算.【变式训练】【2018四川省广元市一模】设函数 .（1）求的最大值，并写出使取最大值时的集合；（2）已知中，角的对边分别为，若，，求的最小值.二、数列问题重在“归”——化归、归纳等差数列与等比数列是两个基本数列,是一切数列问题的出发点与归宿.首项与公差(比)称为等差数列(等比数列)的基本量.只要涉及这两个数列的数学问题,我们总希望把条件化归为等差或等比数列的基本量间的关系,从而达到解决问题的目的.这种化归为基本量处理的方法是等差或等比数列特有的方法,对于不是等差或等比的数列,可从简单的个别的情形出发,从中归纳出一般的规律、性质,这种归纳思想便形成了解决一般性数列问题的重要方法:观察、归纳、猜想、证明.由于数列是一种特殊的函数,也可根据题目的特点,将数列问题化归为函数问题来解决.例2 (2017课标全国Ⅲ,17,12分)设数列{a n}满足a1+3a2+…+(2n-1)a n=2n.(1)求{a n}的通项公式;(2)求数列的前n项和.从而{a n}的通项公式为a n=(n∈N*).(2)记的前n项和为S n.由(1)知==-.(化归)则S n=-+-+…+-=.归纳:通过条件归纳出a1+3a2+…+(2n-3)a n-1=2(n-1)(n≥2),进而得出{a n}的通项公式.化归:把数列的通项分拆,利用裂项相消法求和.▲破解策略“算一算、猜一猜、证一证”是数列中特有的归纳思想,利用这种思想可探索一些一般数列的简单性质.等差数列与等比数列是数列中的两个特殊的基本数列,高考中通常考查的是非等差、等比数列问题,应对的策略就是通过化归思想,将其转化为这两种数列.【变式训练】【2018江西省师范大学附属中学、九江第一中学联考】已知正项数列满足:(1)求数列的通项公式;(2)求的值.三、立体几何问题重在“建”——建模、建系立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合,以某个几何体为依托,分步设问,逐层加深,解决这类题目的原则是建模、建系.建模——将问题转化为平行模型、垂直模型、平面化模型及角度、距离等的计算模型;建系——依托于题中的垂直条件,建立空间直角坐标系,利用空间向量求解.例 3 (2017课标全国Ⅲ,19,12分)如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D-AE-C的余弦值.所以平面ACD⊥平面ABC.(2)由题设及(1)知,OA,OB,OD两两垂直.以O为坐标原点,的方向为x轴正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.(建系)则A(1,0,0),B(0,,0),C(-1,0,0),D(0,0,1).由题设知,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的,从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距同理可取m=(0,-1,),则cos<n,m>==.易知二面角D-AE-C为锐二面角,所以二面角D-AE-C的余弦值为.建模:构建二面角的平面角模型.建系:以两两垂直的直线为坐标轴.▲破解策略立体几何的内容在高考中的考查情况总体上比较稳定,因此,复习备考时往往有“纲”可循,有“题”可依.在平时的学习中,要加强“一题两法(几何法与向量法)”的训练,切勿顾此失彼;要重视识图训练,能正确确定关键点或线的位置,将局部空间问题转化为平面问题;能依托于题中的垂直条件,建立适当的空间直角坐标系,将几何问题化归为代数问题.【变式训练】【湖南省株洲市2018届高三教学质量统一检测】如图,在几何体中，四边形为矩形，四边形为梯形, ,平面与平面垂直，且.（1）求证：平面；（2）若,且平面与平面所成锐二面角的余弦值为,求的长.四、概率问题重在“辨”——辨析、辨型概率与统计问题的求解关键是辨别它的概率模型,只要模型一找到,问题便迎刃而解.而概率与统计模型的提取往往需要经过观察、分析、归纳、判断等复杂的辨析思维过程,同时,还需清楚概率模型中等可能事件、互斥事件、对立事件等事件间的关系,注意放回和不放回试验的区别,合理划分复杂事件.例4 (2016课标Ⅱ,18,12分)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:上年度出险次0 1 2 3 4 ≥5数保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:一年内出险次0 1 2 3 4 ≥5数概率0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.解析(1)设A表示事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1,(辨析1)故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.(辨型1)(2)设B表示事件:“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3,(辨析2)故P(B)=0.1+0.05=0.15.又P(AB)=P(B),故P(B|A)====.(辨型2)辨型1:该问题为求随机事件的概率,利用互斥事件的概率加法公式求解.辨析2:判断事件B发生,在一年内出险次数为4或≥5.辨型2:该问题为条件概率,可利用公式求解.▲破解策略概率与统计知识的复习应抓住基本概念、基本公式,不需要做难题、偏题、怪题.在审题时,一般按以下程序操作:(1)准确弄清问题所涉及的事件有什么特点,事件之间有什么关系,如互斥、对立、独立等;(2)理清事件以什么形式发生,如同时发生、至少有几个发生、至多有几个发生、恰有几个发生等;(3)明确抽取方式,如放回还是不放回、抽取有无顺序等;(4)准确选择排列组合的方法来计算基本事件发生数和事件总数,或根据概率计算公式和性质来计算事件的概率.【变式训练】【2018湖南省长沙市第一中学模拟】2017年4月1日，新华通讯社发布：国务院决定设立河北雄安新区.消息一出，河北省雄县、容城、安新3县及周边部分区域迅速成为海内外高度关注的焦点.（1）为了响应国家号召，北京市某高校立即在所属的8个学院的教职员工中作了“是否愿意将学校整体搬迁至雄安新区”的问卷调查，8个学院的调查人数及统计数据如下：调查人数() 10 20 30 40 50 60 70 80愿意整体搬迁人数8 17 25 31 39 47 55 66()请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量关于变量的线性回归方程（保留小数点后两位有效数字）；若该校共有教职员工2500人，请预测该校愿意将学校整体搬迁至雄安新区的人数；（2）若该校的8位院长中有5位院长愿意将学校整体搬迁至雄安新区，现该校拟在这8位院长中随机选取4位院长组成考察团赴雄安新区进行实地考察，记为考察团中愿意将学校整体搬迁至雄安新区的院长人数，求的分布列及数学期望.参考公式及数据：.五、解析几何问题重在“设”——设点、设线解析几何试题知识点多,运算量大,能力要求高,综合性强,在高考试题中大都是以压轴题的面貌出现,是考生“未考先怕”的题型,不是怕解题无思路,而是怕解题过程中繁杂的运算.因此,在遵循“设——列——解”程序化解题的基础上,应突出解析几何“设”的重要性,以克服平时重思路方法、轻运算技巧的顽疾,突破如何避繁就简这一瓶颈.例5 (2017课标全国Ⅰ,20,12分)设A,B为曲线C:y=上两点,A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率;(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程.解析(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1≠x2,y1=,y2=,x1+x2=4,(设点)于是直线AB的斜率k===1.(2)由y=,得y'=,设M(x3,y3),由题设知=1,即4=2(m+1),解得m=7.所以直线AB的方程为y=x+7.设点:设出A,B两点坐标,并得出x1≠x2,x1+x2=4.设线:由(1)知直线斜率,再设直线方程为y=x+m,利用条件可求出m的值.▲破解策略解析几何的试题常要根据题目特征,恰当地设点、设线,以简化运算.常见的设点方法有减元设点、参数设点、直接设点等,常见的设线方法有圆方程的标准式与一般式、直线方程有y=kx+b、x=my+n及两点式、点斜式等形式、还有曲线系方程、参数方程等.【变式训练】【2018黑龙江省大庆市一模】已知椭圆，其焦距为2，离心率为（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的右焦点为，为轴上一点，满足，过点作斜率不为0的直线交椭圆于两点，求面积的最大值.六、函数与导数问题重在“分”——分离、分解以函数为载体,以导数为工具的综合问题是高考常考的压轴大题,多涉及含参数的函数的单调性、极值或最值的探索与讨论,复杂函数的零点的讨论,不等式中参数范围的讨论,恒成立和能成立问题的讨论等,是近几年高考试题的命题热点.对于此类综合试题,一般先求导,再变形或分解出基本函数,再根据题意处理.例6 (2017课标全国Ⅱ,21,12分)已知函数f(x)=ax2-ax-xln x,且f(x)≥0.(1)求a;(2)证明: f(x)存在唯一的极大值点x0,且e-2< f(x0)<2-2.当0<x<1时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x>1时,g'(x)>0,g(x)单调递增.所以x=1是g(x)的极小值点,故g(x)≥g(1)=0.综上,a=1.(2)由(1)知f(x)=x2-x-xln x, f '(x)=2x-2-ln x. 设h(x)=2x-2-ln x,(分解)则h'(x)=2-.当x∈时,h'(x)<0;当x∈时,h'(x)>0,所以h(x)在单调递减,在单调递增.分离:把函数f(x)分离为x与g(x)的积.分解:构造h(x)=2x-2-ln x.▲破解策略函数与导数压轴题计算复杂、综合性强、难度大.可以参变量分离,把复杂函数分离为基本函数;可把题目分解成几个小题;也可把解题步骤分解为几个小步,注重分步解答,这样,即使解答不完整,也要做到尽可能多拿步骤分.【变式训练】已知函数（1）若不等式恒成立，则实数的取值范围；（2）在（1）中，取最小值时，设函数.若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围；（3）证明不等式：（且）.答案精解精析一、三角函数问题重在“变”——变角、变式与变名【变式训练】【解析】（1）由题意得，∵，∴，∴的最大值为2．此时，即，∴，∴在中，，，由余弦定理得又，∴，当且仅当时取等号，∴的最小值为.二、数列问题重在“归”——化归、归纳【变式训练】【解析】(1) =,⇒=,,所以,又===.(2) ====,所以原式=== .三、立体几何问题重在“建”——建模、建系【变式训练】【解析】（1)证明：因为平面与平面垂直故平面（2）由（1）知，垂直，垂直，又垂直，平行，所以垂直，如图，以为坐标原点，分别为轴建立空间坐标系又，所以，设则因为平面与平面所成锐二面角的余弦值为，则，即，解得，即四、概率问题重在“辨”——辨析、辨型【变式训练】【解析】（1）由已知有，,故变量关于变量的线性回归方程为，所以当时，.（2）由题意可知的可能取值有1，2,3,4.，.所以的分布列为1 2 3 4五、解析几何问题重在“设”——设点、设线【变式训练】【解析】(1)因为椭圆焦距为2，即，所以,，所以，从而，所以椭圆的方程为.，令，，则，当时，取得最大值，此时，，取得最大值.六、函数与导数问题重在“分”——分离、分解【变式训练】【解析】(2)由(1)可知，，当时，，，在区间上恰有两个零点，即关于的方程在区间上恰有两个实数根. 整理方程得，，令，，令，，则，，于是，在上单调递增.因为，当时，，从而，单调递减，当时，，从而，单调递增，，，，因为，所以实数的取值范围是.(3)由(1)可知，当时，有，当且仅当时取等号.。