必修四三角函数复习题

2017年05月09日三角函数复习题一．解答题（共16小题）1．已知点P（3m，﹣2m）（m＜0）在角α的终边上，求sinα，cosα，tanα．2．已知α为三角形一角，且sinα+cosα=．（1）求tana的值；（2）求．3．已知关于x的方程2x2﹣（+1）x+m=0的两根为sin θ、cos θ，θ∈（0，2π），求：（1）+的值；（2）m的值．4．已知函数f（x）=2sin（π﹣x）cosx+2cos2x+a﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，]上的最大值与最小值的和为2，求a的值．5．已知函数f（x）=cos（2x﹣）+2sin（x﹣）sin（x+）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）在区间[﹣，]上单调性并求出的值域．6．已知函数f（x）=2cos2x﹣1，x∈R．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅲ）设g（x）=f（﹣x）+cos2x，求g（x）的值域．7．已知是函数f（x）=2cos2x+asin2x+1的一个零点．（Ⅰ）数a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．8．已知函数f（x）=2sin（x+）﹣2cosx，x∈[，π]．（1）若sinx=，求函数f（x）的值；（2）求函数f（x）的值域和对称轴．9．设函数．（Ⅰ）求f（x）的定义域及最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最值．10．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x+（Ⅰ）求函数f（x）=0时x的集合；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，]上的最小值．11．（1）设α，β为锐角，且，求α+β的值；（2）化简求值：．12．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B （A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最大值为2，最小值为﹣，周期为π，且图象过（0，﹣）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调递增区间．13．已知函数f（x）=sin2ωxcosφ+cos2ωxsinφ+cos（+φ）（0＜φ＜π），其图象上相邻两条对称轴之间的距离为π，且过点（）．（I）求ω和φ的值；（II）求函数y=f（2x），x∈[0，]的值域．14．已知函数（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期与单调递减区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．15．已知．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当时，对任意的t∈R，不等式mt2+mt+3≥f（x）恒成立，数m的取值围．16．已知．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最大值；（Ⅱ）若，画出函数y=g（x）的图象，讨论y=g（x）﹣m（m∈R）的零点个数．2017年05月09日三角函数复习题参考答案与试题解析一．解答题（共16小题）1．（2017春•天桥区校级月考）已知点P（3m，﹣2m）（m＜0）在角α的终边上，求sinα，cosα，tanα．【分析】直接利用任意角的三角函数，求解即可．【解答】解：角α的终边为点P（﹣3，4），所以x=3m，y=﹣2m，r=﹣，sinα==．cosα==，tanα=．2．（2017春•金水区校级月考）已知α为三角形一角，且sinα+cosα=．（1）求tana的值；（2）求．【分析】（1）已知等式两边平方，利用同角三角函数间基本关系化简，求出2sinαcosα=﹣，确定出sinα与cosα的正负，再利用完全平方公式列出关系式，求出sinα与c osα的值，即可求出tanα的值；（2）将sinα与cosα的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）已知等式sinα+cosα=①，两边平方得：（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=，即2sinαcosα=﹣，∵sinα＞0，cosα＜0，即α为钝角，∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=，即sinα﹣cosα=②，联立①②，解得：sinα=，cosα=﹣，则tana=﹣；（2）∵sinα=，cosα=﹣，∴原式==．3．（2017春•万柏林区校级月考）已知关于x的方程2x2﹣（+1）x+m=0的两根为sin θ、cos θ，θ∈（0，2π），求：（1）+的值；（2）m的值．【分析】（1）利用韦达定理求得sin θ+cos θ和sin θcos θ的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．（2）把sin θ+cos θ=，两边平方，可求得m的值．【解答】解：（1）由根与系数的关系可知sin θ+cos θ=①，sin θcos θ=②，则+==sin θ+cos θ=．（2）由①式平方得1+2sin θcos θ=，∴1+m=，∴m=．4．（2017•）已知函数f（x）=2sin（π﹣x）cosx+2cos2x+a﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，]上的最大值与最小值的和为2，求a的值．【分析】（I）利用倍角公式与和差公式可得：函数f（x）=2+a．可得f（x）的最小正周期T．（II）由x∈[﹣，]，可得≤2x+≤，可得∈．进而得出答案．【解答】解：（I）函数f（x）=2sin（π﹣x）cosx+2cos2x+a﹣1=sin2x+cos2x+a =2+a．∴f（x）的最小正周期T==π．（II）∵x∈[﹣，]，∴≤2x+≤，∴∈．∴f（x）∈[a﹣1，a+2]．∴a﹣1+a+2=2，解得a=．5．（2017•河东区二模）已知函数f（x）=cos（2x﹣）+2sin（x﹣）sin（x+）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）在区间[﹣，]上单调性并求出的值域．【分析】（Ⅰ）化简函数，再求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）利用正弦函数的性质，讨论函数f（x）在区间[﹣，]上单调性并求出的值域．【解答】解：（Ⅰ）=（sinx﹣cosx）（sinx+cosx）===．∴周期．由，得．∴函数图象的对称轴方程为．（Ⅱ）∵，∴．在区间上单调递增，在区间上单调递减，当时，f（x）取最大值1．∵．∴，．所以值域为．6．（2017•模拟）已知函数f（x）=2cos2x﹣1，x∈R．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅲ）设g（x）=f（﹣x）+cos2x，求g（x）的值域．【分析】（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，从而求得f（）的值．（Ⅱ）根据函数的解析式以及三角函数的周期性，求得函数f（x）的最小正周期．（Ⅲ）化简g（x）的解析式，根据正弦函数的值域求得g（x）的值域．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=2cos2x﹣1=cos2x，∴f（）=cos=．（Ⅱ）函数f（x）=2cos2x﹣1=cos2x 的最小正周期为=π．（Ⅲ）∵g（x）=f（﹣x）+cos2x=cos2（﹣x）+cos2x=sin2x+cos2x=2sin （2x+），故g（x）的值域为[﹣2，2]．7．（2017•海淀区一模）已知是函数f（x）=2cos2x+asin2x+1的一个零点．（Ⅰ）数a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．【分析】（Ⅰ）利用函数的零点的定义，求得实数a的值．（Ⅱ）利用三角恒等变化化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得f（x）的单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，即，即，解得．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得==，函数y=sinx的递增区间为，k∈Z．由，k∈Z，得，k∈Z，所以，f（x）的单调递增区间为，k∈Z．8．（2017•河东区一模）已知函数f（x）=2sin（x+）﹣2cosx，x∈[，π]．（1）若sinx=，求函数f（x）的值；（2）求函数f（x）的值域和对称轴．【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数f（x），根据x∈[，π]时sinx的值求出f（x）的值；（2）根据f（x）的解析式求出x∈[，π]时的值域，求出f（x）在x∈[，π]对称轴是x=．【解答】解：（1）函数f（x）=2sin（x+）﹣2cosx=2sinxcos+2cosxsin﹣2cosx=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），由x∈[，π]，且sinx=，∴cosx=﹣=﹣；∴函数f（x）=sinx﹣cosx=×﹣（﹣）=；（2）由函数f（x）=2sin（x﹣），x∈[，π]，∴x﹣∈[，]，∴sin（x﹣）∈[，1]，∴f（x）在x∈[，π]的值域是[1，2]；且f（x）=2sin（x﹣）对称轴是x=kπ+，k∈Z，x∈[，π]，∴对称轴是x=．9．（2017•一模）设函数．（Ⅰ）求f（x）的定义域及最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最值．【分析】（1）先将函数化简，再求f（x）的定义域及最小正周期；（2）f（x）在区间[﹣π，0]的单调性，再利用正弦函数的性质，即可求出最值【解答】解：（Ⅰ）=，由得f（x）的定义域为{x|x≠2π+4kπ（k∈Z）}故f（x）的最小正周期为，（Ⅱ）∵﹣π≤x≤0，∴，∴，∴，∴，∴，∴10．（2017•平谷区模拟）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x+（Ⅰ）求函数f（x）=0时x的集合；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，]上的最小值．【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化f（x）为正弦型函数，求出f（x）=0时x的取值集合即可；（Ⅱ）方法一：求出x∈[0，]时f（x）的取值围，即可得出最小值．方法二：根据正弦函数的单调性，求出x∈[0，]时f（x）的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）=；…（5分）因为：f（x）=0时，，所以：2x﹣=kπ（k∈Z），解得x=+，k∈Z；所以函数f（x）=0时x的集合为；…（8分）（Ⅱ）因为x∈[0，]，所以，方法一：，所以；故函数f（x）在区间[0，]上的最小值为．…..（13分）方法二：∴当时2x﹣=﹣，即x=0时，f（x）取得最小值﹣，故函数f（x）在区间[0，]上的最小值为．（13分）11．（2017春•期中）（1）设α，β为锐角，且，求α+β的值；（2）化简求值：．【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系、两角和差的余弦公式求得cos（α+β）的值，结合α+β的围，可得α+β的值．（2）利用同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式、诱导公式，求得所给式子的值．【解答】解：（1）∵α为锐角，，∴；∵β为锐角，，∴，∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=，∵α+β∈（0，π），∴α+β=．（2）==sin50°•==1．12．（2017春•新化县校级期中）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B （A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最大值为2，最小值为﹣，周期为π，且图象过（0，﹣）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调递增区间．【分析】（1）利用三角函数的最值求出A，B，利用函数的周期求出ω，利用图象经过的点求出φ，得到函数的解析式．（2）利用函数的单调区间求解函数的单调增区间即可．【解答】（12分）解：（1）∵f（x）=Asin（ωx+φ）+B的最大值为2，最小值为﹣，∴A=，B=．又∵f（x）=Asin（ωx+φ）+B的周期为π，∴T==π，即ω=2．∴f（x）=sin（2x+φ）+．又∵函数f（x）过（0，﹣），∴﹣=sin φ+，即sin φ=﹣．又∵|φ|＜，∴φ=﹣，∴f（x）=sin（2x）+．…8’（2）令t=2x﹣，则y=sin t+，其增区间为：[2k，2k]，k ∈Z．即2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z．解得kπ﹣≤x≤kπ+．所以f（x）的单调递增区间为[，k]，k∈Z．…12’13．（2017•模拟）已知函数f（x）=sin2ωxcosφ+cos2ωxsinφ+cos（+φ）（0＜φ＜π），其图象上相邻两条对称轴之间的距离为π，且过点（）．（I）求ω和φ的值；（II）求函数y=f（2x），x∈[0，]的值域．【分析】（I）将函数进行化简，结合三角函数的图象和性质和已知坐标，即可求函数ω和φ的值；（II）求出函数y=f（2x）的解析式，根据x∈[0，]求出函数y=f（2x）的围，在求其围的最大值和最小值，即可得到值域．【解答】解：f（x）=sin2ωxcosφ+cos2ωxsinφ+cos（+φ）（0＜φ＜π），⇔f（x）=sin2ωxcosφ+cos2ωxsinφ﹣sinφ⇔f（x）=sin2ωxcosφ+sinφ（cos2ωx﹣）⇔f（x）=sin2ωxcosφ+cos2ωxsinφ⇔f（x）=sin（2ωx+φ），（I）∵图象上相邻两条对称轴之间的距离为π，∴T=2π，又∵T=，∴ω=，图象过点（），∴=sin（±1×+φ），解得：，∴f（x）=sin（x+）或f（x）=sin（﹣x+）；（Ⅱ）∵y=f（2x），∴y=f（2x）=sin（2x+），【注意：只需要一个解析式即可，其实两个解析式化简是一样的】又∵x∈[0，]，∴2x+∈[]，结合正弦函数的图象和性质：当时，y取得最大值，即，当时，y取得最小值，即，所以函数y=f（2x），x∈[0，]的值域为．14．（2017•红桥区一模）已知函数（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期与单调递减区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）由三角函数化简可得f（x）=2sin（2x+）+3，由周期公式可得，解不等式2kπ+≤2x+≤2kπ+可得单调递减区间；（Ⅱ）由x∈结合三角函数的性质逐步计算可得2sin（2x+）+3∈[2，5]，可得最值．【解答】解：（Ⅰ）化简可得=•2sinxcosx+2cos2x+2=sin2x+cos2x+1+2=2sin（2x+）+3，∴函数f（x）的最小正周期T==π，由2kπ+≤2x+≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+∴函数的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）；（Ⅱ）∵x∈，∴2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[，1]，∴2sin（2x+）∈[﹣1，2]，∴2sin（2x+）+3∈[2，5]，∴函数的最大值和最小值分别为5，2．15．（2017•海淀区校级模拟）已知．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当时，对任意的t∈R，不等式mt2+mt+3≥f（x）恒成立，数m的取值围．【分析】（1）首先根据向量的坐标运算求出函数的解析式，进一步变函数为正弦型函数，最后求出单调区间．（2）根据函数与的定义域求出函数的值域，进一步利用恒成立问题，利用分类讨论的思想求出m的取值围．【解答】解：（1）∵，∴f（x）=2sinxcosx+（cosx+sinx）（sinx﹣cosx）=sin2x﹣cos2x═2sin（2x﹣），令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+（k∈Z），解得：﹣+kπ≤x≤+kπ，所以：函数f（x）的单调递增区间为：[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）．单调递减区间为[+kπ，+kπ]（k∈Z）．（2）当时，≤2x﹣≤，，对任意t∈R，不等式mt2+mt+3≥f（x）恒成立．只需满足：mt2+mt+3≥f（x）max成立即可．即mt2+mt+1≥0即可．①当m=0时，恒成立②当m≠0时，只需满足解得：0＜m≤4综合所得：0≤m≤4．16．（2017•二模）已知．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最大值；（Ⅱ）若，画出函数y=g（x）的图象，讨论y=g（x）﹣m（m∈R）的零点个数．【分析】（Ⅰ）根据f（x）=2，利用向量数量积的运算法则求解f（x）并化简，即可求得f（x）的最小正周期和最大值（Ⅱ），利用“5点画法”画出函数y=g（x）的图象．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=2=2sinxcosx+2sin2x=sin2x﹣cos2x+1=∴f（x）的最小正周期T=π；函数f（x）的最大值为：；（Ⅱ），利用“5点画法”，函数y=g（x）在区间上列表为x﹣π00﹣1012112描点作图那么：y=g（x）﹣m（m∈R）的零点个数，即为函数y=g（x）与直线y=m的交点个数，由图可知，当时，无零点；当时，有1个零点；当或时，有2个零点；当m=2时，有3个零点．。