小结_二次函数
第26章小结二次函数的复习课件
2、抛物线 y = 3x 2 + 2 的开口向
坐标为
.
， 顶点
3、抛物线 y =2（ x +1）2 - 4 的顶点坐标为
对称轴为
.
4、当a 为最高点.
时，抛物线 y =（a +2）x 2 的顶点
5、抛物线 y = （ x - 2） 2 + 3 的开口向 ，对称
轴为
，在对称轴左侧，y 随 x 的增大而
2
1
A
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1
-1
D B
2 3 4 56 7
8x
1、本课主要复习了哪些内容？ 2、通过复习，你有什么体会或收获呢？
二次函数 y x2 2x 3
1）用配方法求其顶点D的坐标； 2）求其与y轴的交点C的坐标、与x轴交点A、B （且点A在点B的左边）的坐标。
y x2 2x 1
y
9
8 y=x2-2x+3
7
6
y x2 4x 3
5
4
3
2
1
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5 6 7 8x
-1
知识点回顾四：
二次函数一般式与顶点式的转化
一般式
y ax2 bx c
配方
顶点式
y ax m2 k
y ax2 bx c
（
大 a ＞0 致 图 象 a＜0
函 数
a ＞0
变 化 a＜0
在对称轴左侧，y 随 x 的增大而减小. 在对称轴右侧，y 随 x 的增大而增大. 在对称轴左侧，y 随 x 的增大而增大. 在对称轴右侧，y 随 x 的增大而减小.
由a、b、c
二次函数重点知识小结
＜１＞ ＜２＞ ＜３＞
（１）当一丢ｅ［ｍ，一Ｍ
大值是，（ｍ）、，（Ｈ）中的较大者。
ｆｉｘ）的卧值是小期＝Ｔ４ａｃ－ｂ２，删的最
４∈Ⅳ’，由＜１＞×＜２＞得口２‘（１一毛）】ｒ『２０－－Ｘ２）≥Ｉ
而ｊ。（１一＾）≤『兰二譬二卅２：ｉ１（当且仅当而：ｉ１时取等号）， ｘ：（１一屯）≤［兰二鼍爿２＝丢（当且仅当而：ｊ１时取等号），通过＜３＞可得
例２：试说明函数Ｙ＝ｘ２＾＋５，无论Ｘ取何值，ｙ＞０。
分析：第一种方法：用配方法将其化成ｙ＝（ｘ一２）２＋ｌ的形式 来说明。（但如果系数取值不好．该方法就比较麻烦） 第二种方法：用△来说明．因为△＝－４＜Ｏ．所以函数与ｘ轴无交点， 又因为该函数的二次项系数ａ＝Ｉ＞０．所以图象开１３向上。于是，图 象在ｘ轴上方．因此无论ｘ取何值，ｖ＞ｏ。 例３：求证：不论ｍ取什么实数．方程ｘ２－（ｍ２＋ｍ）ｘ＋ｍ一２－－０必 有两个不相等的实数根。 分析：这道题如果用常规做法．就是证明一元二次方程的Ａ＞ Ｏ的问题．然ｆ『ｉｉ本题的判别式△是一个关于ｍ的一元四次多项 式．符号不易判断。这就给证明带来了麻烦。若用函数思想分析题 意。设ｆ（ｘ）－－－＇ｘ２－（ｍ：＋ｍ）ｘ＋ｍ一２，由于它的开口向上，所以只要找到 一个实数ｘＯ。使得ｆ（ｘ０）＜ｏ。就说明这个二次函数的图象与ｘ轴有 两个交点，问题就得到了解决。
对应二次方程的根． 图１ 例２．已知２工２＜３ｘ，求函数，Ｏ）＝Ｊ２＋ｘ＋１的最值。
（２）不等式ａｘ２＋ｂｘ＋Ｃ＞０（或＜ｏ）的解集为对应的二次函数图 像在ｘ轴上方ｆ或下方）的点的横坐标的取值集合．
例：
若不等式舣２＋ｂｘ－Ｉ－４＞０的解集为ｆ
ｘ
Ｉ一２＜ｘ＜ｌ｝。则二
次函数Ｙ＝ｂｘ２＋４ ｘ＋ａ在区ｆｓ３［０，３
二次函数小结与复习教案
二次函数小结与复习教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解二次函数的定义、性质和图像；（2）掌握二次函数的求解方法，包括配方法、公式法、图像法；（3）能够运用二次函数解决实际问题。
2. 过程与方法：（2）培养学生运用二次函数解决实际问题的能力；（3）培养学生合作学习、讨论交流的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣，培养其自信心；（2）培养学生勇于探究、积极思考的精神；（3）培养学生团队协作、分享的品质。
二、教学内容1. 复习二次函数的定义：函数式y = ax^2 + bx + c（a ≠0）；2. 复习二次函数的性质：开口方向、对称轴、顶点、单调性等；3. 复习二次函数的图像：开口向上/向下的抛物线，顶点式、对称轴式等；4. 复习二次函数的求解方法：配方法、公式法、图像法；5. 运用二次函数解决实际问题：长度、面积、最大值、最小值等问题。
三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）二次函数的定义、性质和图像；（2）二次函数的求解方法；（3）运用二次函数解决实际问题。
2. 教学难点：（1）二次函数的图像分析；（2）运用二次函数解决实际问题。
四、教学过程1. 导入：通过提问方式引导学生回顾二次函数的相关知识，激发学生的学习兴趣；2. 讲解：根据教材，系统讲解二次函数的定义、性质、图像和求解方法，让学生清晰地理解二次函数的基本概念；3. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用二次函数解决问题，培养学生运用知识的能力；4. 练习：布置课堂练习题，让学生巩固所学知识，并及时给予解答和指导；五、课后作业1. 复习二次函数的定义、性质、图像和求解方法；2. 完成课后练习题，巩固所学知识；3. 选择一个实际问题，运用二次函数解决，并将解题过程和答案写在作业本上。
六、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态；2. 课后作业：检查学生完成的课后作业，评估其对二次函数知识的掌握程度；3. 练习题：分析学生完成的练习题，了解其在二次函数求解方法和实际问题解决方面的能力；4. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，了解其合作学习、交流分享的能力。
第二章二次函数单元小结课件
b2－4ac
b2－4ac＝0
b2－4ac＞0 b2－4ac＜0
与x轴有唯一交点(顶点)
与x轴有两个交点 与x轴没有交点
知识专题
知识点5：二次函数解析式的三种表示方式 1.已知抛物线上的三点，通常设解析式为_y_=_a_x_2_+_b_x_+_c_(_a_≠_0_) _.
作业布置
1.布置作业：教材“复习题”中第2、3、4、8、13 题 2.完成练习册中本课时的练习.
知识点6.二次函数的实际应用
最大面积应用题的解题步骤 1.根据要求设出自变量x，因变量y是面积； 2.列出二次函数的解析式，写出自变量取值范围； 3.运用顶点公式或利用配方把解析式化为顶点式求出
面积的最大值。
知识专题
最大利润应用题的解题步骤 1.总利润=单利润×销售数量； 2.设价格为自变量x，总利润为因变量y，列出关系式； 3.运用公式法或配方化为顶点式求出利润的最大值.
开口方向
a＞0 a＜0
向上 向下
对称轴 x=h
顶点坐标 （h，0）
知识专题
知识点3：抛物线的平移
1.平移关系
当h>0时，向右平移 y=ax2
当h<0时，向左平移
y=a(x-h)2
当k>0时，向上平移 当k<0时，向下平移
y=a(x-h)2+k
2.顶点变化 (0，0)
(h，0)
(h，k)
知识专题
知识点4：二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0) 的图象和性质
考点专练
【要点指点】 解决这类问题常用待定系数法. 设二次函 数表达式时常见的有三种情势：一般式y=ax2+bx+c(a≠0)； 顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0), 其中(h, k)是二次函数图像的顶 点坐标；交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0), 其中x1, x2是抛物 线 与x轴交点的横坐标.
2.9回顾与思考-----二次函数小结
想一想
2
b 4ac − b 2 y = a x + + . 2a 4a
2
函数y=ax²+bx+c的顶点式
一般地,对于二次函数y=ax²+bx+c, 一般地,对于二次函数y=ax +bx+c,我们可以利用配方法 y=ax +bx+c,我们可以利用配方法 推导出它的对称轴和顶点坐标. 推导出它的对称轴和顶点坐标.
?
(1). y = 2 x 2 − 12 x + 13; (2). y = −5 x 2 + 80 x − 319;
1 (3). y = 2 x − (x − 2); (4). y = 3(2 x + 1)(2 − x ). 2
１.顶点坐标与对称轴 顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 位置与开口方向 ３.增减性与最值 增减性与最值 根据图形填表： 根据图形填表： 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值
二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x 的图象和x轴交点 有两个交点 有一个交点 没有交点 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 有两个相异的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 一元二次方程 ax2+bx+c=0根的判别式 Δ=b2-4ac
b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0
2 b b b c = a x + x + − + a 2a 2a a 2 b 4ac − b 2 整理:前三项化为平方形 = a x + + 2 2a 4a 式,后两项合并同类项 2 2
二次函数基础知识点总结
二、掌握二次函数的图像和性质①y=ax2（a是常数，且a≠0）的图像和性质②y=ax2+bx（a是常数，且a≠0，b是常数，b≠0）的图像和性质③y=ax2+c（a是常数，且a≠0，c是常数，c≠0）的图像和性质④y=ax 2+bx +c （a 是常数，且a ≠0，b 是常数，b ≠0，c 是常数，c ≠0）的性质 a ＞0时 ，开口向上；a ＜0时，开口向下顶点坐标是（-a b 2，a b ac 442-），对称轴是直线x=-ab2。
当a ＞0时 ，函数有最小值，y=a b ac 442-；a ＜0时，函数有最大值，y=ab ac 442-；性质，当a ＞0时，在对称轴的左边，y 随x 的增大而减小，在对称轴的右边，y 随x 的增大而增大；当a ＜0时，在对称轴的左边，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右边，y 随x 的增大而减小.三、会结合图像确定y= 2ax +bx +c （a 是常数，且a ≠0，b 是常数，b ≠0，c 是常数，c ≠0）的四种符号a 的符号：看抛物线的开口方向：开口向上，a ＞0；开口向下a ＜0; b 的符号：有对称轴的位置和的a 符号确定： 对称轴是y 轴，b=0；对称轴在原点的左侧：02 a b-，对称轴在原点的右侧，02 ab-；c 的符号：看抛物线与y 轴交点的位置： 交点在原点，c=0；交点在原点以上，c ＞o ；交点在原点以下，c＜0。
b2－4ac的符号：看抛物线与x轴交点的个数：抛物线与x轴有两个交点 b2－4ac＞0；抛物线与x轴有一个交点 b2－4ac=0，抛物线与x轴没有交点 b2－4ac＜0，四、掌握确定二次函数关系式的基本条件确定二次函数的关系式，要具备的基本条件是：对于表达式是y=ax2（a≠0）的,要确定出待定字母a的值的基本条件是：知道图像上一个点的坐标。
对于表达式是y=ax2+bx（a≠0）的, 要确定出待定字母a、b的值的基本条件是：知道图像上两个点的坐标。
yjx二次函数小结与思考(扬州市江都区武坚中学 于家贤)
二、解析式及求法
一般地，如果 y=ax2+bx+c(a，b，c 是常数，a≠0)，那么，y 叫做x的二次函数。
三、图象及性质
一、定义
解析式
使用范 围
已知任意 三个点
已知顶点 （h,k)及 另一点
Hale Waihona Puke 一般 二、解析式及求法 式三、图象及性质
y=ax2+bx+c
y=a(x-h)2+k
顶点 式
已知与x 交点 y=a(x-x1)(x-x2) 轴的两个 交点及另 式 一个点
（2）m满足什么条件时方程ax2+bx+c=m， ①有两个不相等的实数根？ ②有两个相等的实数根？ ③没有实数根？
问题五：根据图象回答问题：
如图2，若直线y k x m(k 0)与该抛物线y ax 2 bx c 交于A（ ， 1 0），B（ 1， 4）两点，则 :
y
B
4
• 问题一：已知二次函数y=ax2+bx+c的部分 图象如图1所示，图象经过（1，0）， • 从中你能得到哪些结论？
y 4
-1
o
1
x
图1
问题二：
若A(-3, y1 )，B（ 2，y 2）是图 所示抛物线上的两点，则y1 ___ y 2； 1
若A(-2, y1 )，B（4，y 2）也是抛物线上的两点，则y1 ___ y 2 (填 , 或 )。
变式：若A(m, y1 )，B（m 2，y 2）是图1所示抛物线上的两点， m取何值时， 当 则①y1 y 2 ? ②y1 y 2 ?
问题三：（1）若把图1的函数图象绕着顶点旋转180度，
则能得到函数的表达式是 ， 若再将得到的函数图象向上平移2个单位， 向右平移3个单位得新函数
第22章二次函数小结与复习
小结与复习
要点梳理
考点讲练
课堂小结
课后作业
要点梳理
1.二次函数的概念
一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c (a，b，c 是常数，a ≠０ __)的函数，叫做二次函数．
[注意] (1)等号右边必须是整式；(2)自变量的
最高次数是2；(3)当b＝0，c＝0时，y＝ax2是特
殊的二次函数．
5.二次函数与一元二次方程的关系
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点有三
种情况:有两个交点,有两个重合的交点,没有交点.当
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴有交点时,交 点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次 方程ax2＋bx＋c=0的根.
有两个交点
有两个重合 的交点 没有交点
下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜
0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是D ( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：由图像开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧 可得b＜0，由图像与y轴交于正半轴可得 c＞0，则 abc＞0，故①正确； 由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确； 由图像上横坐标为 x＝－2的点在第三象限可得4a－2b ＋c＜0，故③正确； 由图像上横坐标为x＝1的点在第四象限得出a＋b＋c＜ 0，由图像上横坐标为x＝－1的点在第二象限得出
3.二次函数图像的平移
y＝ax2 沿x轴翻折 y＝-ax2
左、右平移 左加右减
ya(xh)2
上、下平移 上加下减
ya(xh)2k
写成一般形式
yax2 bxc
4.二次函数表达式的求法
1．一般式法：y＝ax2＋bx＋c (a≠ 0) 2．顶点法：y＝a(x－h)2＋k(a≠0) 3．交点法：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)
二次函数教学心得小结与思考.doc
本题的关键是确定点B 的坐标.一、例题分析：例1、如图表示一个正比例函数与一个一次函数的 图象，它们交于点A （4, 3）, 一次函数的图象与y 轴y A 交于点B,且0A 二0B,求这两个函数的解析式.分析：确定一次函数解析式需要两个独立条件，例2、一次函数的图像与x 轴正半 轴交于点A ，与y 轴负半轴交于点B,与正比例函数2y= — x3的图像交于点C,若C 点的横坐标为6, 求：（1） 一次函数的解析式； （2） AABC 的面积；（3） 原点0到直线AB 的距离。
分析：本题是集一次函数、面积运算及距离 运算于的综合题，解题的关键在于确定一次函数 的解析式。
合作探究二、交流展示1、_次函数)，=(2〃，一6)x + 5 中，y 随 *增大而减小，则m的取值范围是2、如图,将直线0P向下平移3个单位, 所得直线的函数解析式为.3、(若正比例函数的图象经过点(-1,2),则这个图象必经过点( ).A. (1, 2)B. (-1, -2)C. (2, -I )D. (1, 一2)(C) (— 2, — 2) (D)( — 2 , — 2 )6、如图，在矩形ABCD中，AB=2, BC=1,动点P从点B出发，沿路线B-C-D作匀速运动，那么AABP的面积S与点P运动的路程尤之间的函数图象大致是A7、已知点Q与P(2, 3)关于x轴对称，一个一次函数的图象经过点Q, 且与y轴的交点M与原点距离为5,求这个一次函数的解析式.4、已知函数yd + b的图象如图, 则y = 2kx + b的图象可能是D c当堂达标2、甲、乙两同学骑白行车从A地沿同一条路到B地，已知乙比甲先出发，他们高出发地的距离s(km)和骑行时间t(h)之间的函数关系如图所示,给出下列说法： ()(1)他们都骑行了 20km;(2)乙在途中停留了 0. 5h;(3)甲、乙两人同时到达目的地；(4)相遇后，甲的速度小于乙的速度.根据图象信息，以上说法正确的有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3、已知一次函数y=kx+b的图象经过点P (2, —1)与点。
二次函数基础知识规律小结
1中考复习专题之二次函数基础知识规律小结一、二次函数概念及图像特征⒈二次函数概念：形如y=ax 2+bx+c （a ≠0，a 、b 、c 为常数）的函数，那么， y 叫x 的二次函数。
⒉图像特征：y=ax 2+bx+c=a （x+2ba ）2+244acb a-它是一条以直线x=-2b a为对称轴， 以（-2b a，244ac b a-）为顶点的抛物线。
二、抛物线y=ax 2+bx+c 与系数a 、b 、c 的关系： ⒈系数a⑴、a 决定抛物线开口方向，a ＞0时，抛物线开口向上；a ＜0时，抛物线开口向下。
⑵、｜a ︱决定抛物线开口大小，｜a ︱相同，抛物线开口大小相同； ｜a ︱越大，抛物线开口越小。
⒉ a 、b 决定抛物线对称轴的位置 a 、b同号⇒x=-2ba ＜0⇒对称轴在y 轴的左侧a 、b 异号⇒x=-2ba ＞0⇒对称轴在y 轴的右侧 总结四字口诀：对称轴同左异右。
b=0⇒x=-2ba =0⇒对称轴是y 轴。
⒊c 决定抛物线与y 轴的交点位置c ＞0，抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上。
交点坐标（0，c ）。
c =0，抛物线过原点，（0,0）。
c ＜0，抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上。
交点坐标（0，c ）。
三、b 2-4ac 决定抛物线与x 轴的交点个数b 2-4ac ＞0时，ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数解，抛物线与x 有两个交点。
b 2-4ac =0时，ax 2+bx+c=0有两个相等的实数解，抛物线与x 轴只有一个交点。
b 2-4ac ＜0时，ax 2+bx+c=0无实数解，抛物线244ac b a-=0，与x 轴无两个交点。
四、抛物线的特殊位置与系数a 、b 、c 的关系⒈顶点在x 轴，有两种理解：第一种，顶点纵坐标为0，既顶点坐标(-2ba ,O),对应解析式: y=a （x-h ）2第二种，抛物线与x 轴只有一个交点，则b 2-4ac =0。
第26章 《二次函数》小结与复习(3)doc
第26章《二次函数》小结与复习（3）教学目标：1．使学生掌握二次函数模型的建立，并能运用二次函数的知识解决实际问题。
2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，获得用数学方法解决实际问题的经验，感受数学模型、思想在实际问题中的应用价值。
重点难点：重点：利用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思。
难点：将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策。
教学过程：一、例题精析，引导学法，指导建模1．何时获得最大利润问题。
例：重庆市某区地理环境偏僻，严重制约经济发展，丰富的花木产品只能在本地销售，区政府对该花木产品每投资x万元，所获利润为P=－150(x－30)2＋10万元，为了响应我国西部大开发的宏伟决策，区政府在制定经济发展的10年规划时，拟开发此花木产品，而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元，若开发该产品，在前5年中，必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路，且5年修通，公路修通后，花木产品除在本地销售外，还可运往外地销售，运往外地销售的花木产品，每投资x万元可获利润Q=－4950(50－x)2＋1945(50－x)＋308万元。
(1)若不进行开发，求10年所获利润最大值是多少?(2)若按此规划开发，求10年所获利润的最大值是多少?(3)根据(1)、(2)计算的结果，请你用一句话谈谈你的想法。
学生活动：投影给出题目后，让学生先自主分析，小组进行讨论。
教师活动：在学生分析、讨论过程中，对学生进行学法引导，引导学生先了解二次函数的基本性质，并学会从实际问题中抽象出二次函数的模型，借助二次函数的性质来解决这类实际应用题。
教师精析：(1)若不开发此产品，按原来的投资方式，由P=－150(x－30)2＋10知道，只需从50万元专款中拿出30万元投资，每年即可获最大利润10万元，则10年的最大利润为M1＝10×10=100万元。
(2)若对该产品开发，在前5年中，当x=25时，每年最大利润是：P＝－150(25－30)2＋10=9.5(万元)则前5年的最大利润为M2=9.5×5=47.5万元设后5年中x万元就是用于本地销售的投资。
第22章《二次函数》小结与复习课件
(2)∵∠F =∠A = 45°，∠CBF =∠ABC = 90°，
∴∠BGF =∠F = 45°，1BG = BF1 = 2x -130. 1
所= 以 32Sx△2D+EF60-xS-△4G5BF0.= 2DE2 - 2BF2 = 2 x2 - 2 (2x - 30)2
若点 A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，且
x1＜x2＜1，则 y1 与 y2 的大小关系是 ( B )
A．y1≤y2 B．y1＜y2 C．y1≤y2 D．y1＞y2
x
【解析】由图象看出，抛物线开口向下，对称轴是 x＝1， 当 x＜1时，y 随 x 的增大而增大．∵x1＜x2＜1，∴ y1＜y2.
解：W = (x-60)•(-x+120) = -x2+180x-7200 = -(x-90)2 +900，
∵抛物线的开口向下， ∴当 x＜90 时，W 随 x 的增大而增大. 而 60≤x≤60×(1 + 45%)，即 60≤x≤87. ∴当 x = 87 时，W 有最大值，
此时 W = -(87- 90)2 + 900 = 891.
售量 y (件)与销售单价 x (元)符合一次函数 y＝kx＋b，且 x＝65
时，y＝55；x＝75 时，y＝45.
(1) 求一次函数的解析式；
解：根据题意，得
65k 75k
b b
55，解得
45.
k
=
-1，b
=
120.
故所求一次函数的解析式为 y = -x + 120.
二次函数知识点小结
向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=ax 2+ky=ax 2二次函数知识点一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向 对称轴顶点坐标2ax y =当0>a 时 开口向上 当0<a 时 开口向下0=x （y 轴）（0,0） k ax y +=20=x （y 轴） (0, k ) ()2h x a y -=h x = (h ,0) ()k h x a y +-=2h x =(h ,k )c bx ax y ++=2abx 2-=(ab ac ab 4422--，)三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 七、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离2214b acAB x x a-=-=. ② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：0∆> 抛物线与x 轴有两个交点 一元二次方程有两个不相等实根 0∆= 抛物线与x 轴只有一个交点一元二次方程有两个相等的实数根 0∆<抛物线与x 轴无交点一元二次方程无实数根.。
二次函数知识小结笔记
方法一： 应用公式法求：
当a>0时，函数有最小值，并且当x= ，y最小值= ；
当a<0时，函数有最大值，并且当x= ，y最大值=
方法二配方法：当把二次函数解析式化为 的形式时，可知当 ，其有最大值或最小值 .
方法三代入法：把x= 代入函数解析式 计算的函数值y是最值
四、求二次函数的顶点坐标
6．(2008年内江市)如图，小明的父亲在相距2米的两棵树 间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为米．
7．（2008年义乌市）李老师给出了一个函数，甲、乙、丙三位学生分别指出这个函数的一个特征．甲：它的图像经过第一象限；乙：它的图像也经过第二象限；丙：在第一象限内函数值y随x增大而增大．在你学的函数中，写出一个满足上述特征的函数解析式______________．
A．a＞0，c＞0B．a＜0，c＜0
C．a＜0，c＞0D．a＞0，c＜0
4．（2008嘉兴市）一个函数的图象如图，给出以下结论：
①当 时，函数值最大；②当 时，函数 随 的增大而减小；
③存在 ，当 时，函数值为0．其中正确的结论是（）
A．①②B．①③C．②③D．①②③答案：C
5.（2008年芜湖市）函数 在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）
答案：x=2
4.(2008常州市) 已知函数 的部分图象如上图所示,则c=______,当x______时,y随x的增大而减小.
5.（2008年甘肃省白银市）抛物线y=x2+x－4与y轴的交点坐标为．
答案：(0，－4)
解析：考查二次函数解析式及平面直角坐标系内点的坐标特征。根据y轴上的点的横坐标为0的特征，可得y=02+0－4=－4，所以所求交点坐标为(0，－4)。