三角形及其性质(基础)知识讲解

三角形及其性质(基础）知识讲解【学习目标】1、理解三角形及与三角形有关得概念,掌握它们得文字、符号语言及图形表述方法、2、理解三角形内角与定理得证明方法;3、掌握并会把三角形按边与角分类4、掌握并会应用三角形三边之间得关系、5、理解三角形得高、中线、角平分线得概念，学会它们得画法、【要点梳理】要点一、三角形得定义由不在同一条直线上得三条线段首尾顺次相接所组成得图形叫做三角形、要点诠释:(1)三角形得基本元素:①三角形得边：即组成三角形得线段;②三角形得角:即相邻两边所组成得角叫做三角形得内角,简称三角形得角；③三角形得顶点:即相邻两边得公共端点、（2）三角形得定义中得三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”、(3)三角形得表示:三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C得三角形记作“△ABC”,读作“三角形ABＣ”,注意单独得△没有意义；△ABC得三边可以用大写字母AB、BC、ＡC来表示，也可以用小写字母ａ、b、c来表示，边BＣ用a表示,边AC、AB分别用b、c 表示、要点二、三角形得内角与三角形内角与定理：三角形得内角与为180°、要点诠释:应用三角形内角与定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角得度数可以求出第三个角得度数;②已知三角形三个内角得关系,可以求出其内角得度数；③求一个三角形中各角之间得关系、要点三、三角形得分类１、按角分类:要点诠释:①锐角三角形：三个内角都就就是锐角得三角形；②钝角三角形：有一个内角为钝角得三角形、2、按边分类:要点诠释:①不等边三角形:三边都不相等得三角形；②等腰三角形:有两条边相等得三角形叫做等腰三角形,相等得两边都叫做腰,另外一边叫做底边，两腰得夹角叫顶角,腰与底边夹角叫做底角;③等边三角形：三边都相等得三角形、要点四、三角形得三边关系定理:三角形任意两边之与大于第三边、推论:三角形任意两边之差小于第三边、要点诠释:(1)理论依据:两点之间线段最短、(2)三边关系得应用：判断三条线段能否组成三角形,若两条较短得线段长之与大于最长线段得长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形、当已知三角形两边长,可求第三边长得取值范围、(３)证明线段之间得不等关系、要点五、三角形得三条重要线段三角形得高、中线与角平分线就就是三角形中三条重要得线段,它们提供了重要得线段或角得关系，为我们以后深入研究三角形得一些特征起着很大得帮助作用，因此,我们需要类型一、三角形得内角与ﻩ1、证明:三角形得内角与为18０°、【答案与解析】解：已知：如图，已知△ABC，求证：∠A+∠Ｂ+∠C=180°、证法1:如图１所示，延长BC到Ｅ,作CD∥AB、因为AB∥ＣD(已作),所以∠1=∠A(两直线平行,内错角相等),∠B=∠2（两直线平行,同位角相等)、又∠ACB+∠1+∠２=1８0°(平角定义),所以∠ACB+∠A＋∠Ｂ=１８０°(等量代换)、证法2：如图2所示,在ＢC边上任取一点D,作DE∥AB,交AＣ于E，DF∥AC,交AB于点F、因为DＦ∥ＡC（已作),所以∠1=∠C（两直线平行,同位角相等),∠2=∠DＥC（两直线平行,内错角相等)、因为DE∥AＢ（已作）、所以∠3=∠Ｂ,∠DEＣ=∠Ａ（两直线平行,同位角相等)、所以∠A=∠2(等量代换)、又∠1+∠2+∠3=180°(平角定义),所以∠A+∠B+∠C=180°（等量代换)、２、在△AＢC中,已知∠Ａ+∠Ｂ=80°,∠Ｃ=2∠B,试求∠A,∠B与∠Ｃ得度数、【思路点拨】题中给出两个条件:∠A＋∠B＝80°,∠C=2∠B,再根据三角形得内角与等于180°，即∠A+∠B+∠Ｃ＝180°就可以求出∠A,∠Ｂ与∠C得度数、【答案与解析】解:由∠A+∠B＝80°及∠A+∠Ｂ+∠C＝180°,知∠C=100°、又∵∠Ｃ＝2∠B,∴∠B=50°、∴∠A=80°－∠B＝80°-50°＝３0°、【总结升华】解答本题得关键就就是利用隐含条件∠Ａ＋∠B+∠C＝1８０°、本题可以设∠B=x,则∠A=8０°-x,∠C＝2ｘ建立方程求解、【变式】已知,如图,在△AＢC中,∠Ｃ=∠AＢC=2∠Ａ，BD就就是AC边上得高,求∠ＤBC 得度数、【答案】解:已知△ABC中,∠C=∠ＡＢＣ=2∠A设∠A＝x 则∠C=∠AＢC=２ｘx＋2x+2ｘ=180°解得:ｘ=36°∴∠C=2x＝72°在△BDC中, BD就就是ＡＣ边上得高,∴∠BDC=90°,,∴∠DBC=180°-9０°-72°＝１8°类型二、三角形得分类3、一个三角形得三个内角分别就就是75°、30°、75°，这个三角形就就是( )Ａ锐角三角形 B 等腰三角形 C 等腰锐角三角形【答案】C【变式】一个三角形中,一个内角得度数等于另外两个内角得与得2倍,这个三角形就就是( )三角形A 锐角B 直角Ｃ钝角 D无法判断【答案】C【解析】利用三角形内角与就就是1８0°以及已知条件,可以得到其中较大内角得度数为1２０°,所以三角形为钝角三角形、类型三、三角形得三边关系４、 (四川南充)三根木条得长度如图所示,能组成三角形得就就是()【思路点拨】三角形三边关系得性质,即三角形得任意两边之与大于第三边,任意两边之差小于第三边、注意这里有“两边”指得就就是任意得两边，对于“两边之差”它可能就就是正数,也可能就就是负数,一般取“差”得绝对值、【答案】D【解析】要构成一个三角形、必须满足任意两边之与大于第三边、在运用时习惯于检查较短得两边之与就就是否大于第三边、A、B、C三个选项中,较短两边之与小于或等于第三边、故不能组成三角形、D选项中,2cm+3ｃｍ>4cm、故能够组成三角形、【总结升华】判断以三条线段为边能否构成三角形得简易方法就就是:①判断出较长得一边；②瞧较短得两边之与就就是否大于较长得一边，大于则能够成三角形,不大于则不能够成三角形、举一反三:【变式】判断下列三条线段能否构成三角形、（1) 3,４,5; （2) 3，５,9 ； (３) 5，５，8、【答案】(１)能; (2)不能; (3)能、5、若三角形得两边长分别就就是２与7,则第三边长c得取值范围就就是＿_＿_＿__、【答案】【解析】三角形得两边长分别就就是2与7，则第三边长c得取值范围就就是│2-7│<c<2+7,即5<ｃ<９、【总结升华】三角形得两边a、b，那么第三边ｃ得取值范围就就是│ａ-b│<c＜a+b、举一反三:【变式】(浙江金华）已知三角形得两边长为４，8，则第三边得长度可以就就是________(写出一个即可)【答案】５,注:答案不唯一,填写大于4,小于１2得数都对、类型四、三角形中重要线段６、(江苏连云港）小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别为４，9,12,如何求这个三角形得面积?”小明提示:“可通过作最长边上得高来求解、”小华根据小明得提示作出得图形正确得就就是()、【答案】C;【解析】三角形得高就就就是从三角形得顶点向它得对边所在直线作垂线,顶点与垂足之间得线段、解答本题首先应找到最长边,再找到最长边所对得顶点、然后过这个顶点作最长边得垂线即得到三角形得高、【总结升华】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高,并且三条高所在得直线交于一点、这里一定要注意钝角三角形得高中有两条高在三角形得外部、【变式】如图所示,已知△ＡBC,试画出△ABC各边上得高、【答案】解:所画三角形得高如图所示、7、如图所示,CD为△AＢＣ得AＢ边上得中线，△BCD得周长比△ＡCD得周长大3cm,BC=8cm,求边ＡC得长、【思路点拨】根据题意,结合图形，有下列数量关系:①AD=BＤ,②△BCD得周长比△ACD得周长大3、【答案与解析】解:依题意:△BCD得周长比△AＣD得周长大3cm,故有:BC+CD+BD-(AC+ＣD+AD)=3、又∵CD为△ABC得AB边上得中线,∴AD=ＢＤ,即BC-ＡC=3、又∵BC=8，∴AC=5、答:ＡC得长为5ｃm、【总结升华】运用三角形得中线得定义得到线段ＡＤ＝BD就就是解答本题得关键，另外对图形中线段所在位置得观察,找出它们之间得联系,这种数形结合得数学思想就就是解几何题常用得方法、举一反三：【变式】如图所示,在△ABC中,D、E分别为BC、ＡＤ得中点,且，则为＿______＿、【答案】1一、选择题１、一位同学用三根木棒拼成如图所示得图形,其中符合三角形概念得就就是( )2、如图所示得图形中,三角形得个数共有()Ａ、1个B、2个C、３个D、４个3、任何一个三角形至少有( )个锐角Ａ、１Ｂ、2 C、3 Ｄ、不能确定４、已知三角形两边长分别为4 cｍ与９cm，则下列长度得四条线段中能作为第三边得就就是()Ａ、13 ｃm B、6 cｍC、5 cｍD、4cm5、为估计池塘两岸A、B间得距离,杨阳在池塘一侧选取了一点P,测得ＰA=16m,PB=12ｍ,那么AB间得距离不可能就就是( ）A、5m Ｂ、15m C、２0ｍD、28m第八题6、三角形得角平分线、中线与高都就就是（)A、直线B、线段Ｃ、射线Ｄ、以上答案都不对7、下列说法不正确得就就是()Ａ、三角形得中线在三角形得内部Ｂ、三角形得角平分线在三角形得内部Ｃ、三角形得高在三角形得内部D、三角形必有一高线在三角形得内部８、如图,AＭ就就是△ABC得中线,那么若用S1表示△ABM得面积，用Ｓ2表示△ＡＣＭ得面积,则Ｓ1与S2得大小关系就就是（)A、S1>Ｓ2B、S1<Ｓ2C、S1＝Ｓ2D、以上三种情况都有可能９、若△AＢC得∠A=60°，且∠B:∠C=2:１,那么∠B得度数为（)A、4０°B、80°C、60°D、１２0°二、填空题10、三角形得三边关系就就是＿_______,由这个定理我们可以得到三角形得两边之差____＿_＿_第三边,所以，三角形得一边小于_____＿_＿并且大于_＿__＿_＿_、１1、如果三角形得两边长分别就就是3 ｃｍ与6 cm,第三边长就就是奇数,那么这个三角形得第三边长为__＿___＿_ｃｍ、１2、已知等腰三角形得两边分别为4cm与７ｃm，则这个三角形得周长为_____＿__、１3、如图,ＡＤ就就是△ＡBC得角平分线,则∠___＿__=∠__＿___＝∠__＿____;BＥ就就是△ABC得中线,则＿_______＝＿__＿＿__＝_＿_____＿;ＣＦ就就是△ABC得高，则∠_＿_＿__＿＿＝∠_＿______=90°,ＣF_____＿_＿ＡB、14、如图,ＡＤ、AＥ分别就就是△ABC得高与中线,已知ＡD＝５ｃm,CE＝6cｍ,则△AＢＥ与△AＢC得面积分别为___＿＿＿___＿_＿_＿_＿、15、在△ABC中,（１）若∠A:∠B:∠C＝1：2:3,则∠A=＿___＿_＿,∠Ｂ＝＿_____＿,∠C=__＿____,此三角形为_______三角形；(2)若∠A大于∠B+∠C，则此三角形为_＿_____＿三角形、三、解答题16、判断下列所给得三条线段就就是否能围成三角形?(1)5cm，5cm，ａcm(0＜ａ<1０）;(2)ａ+1,ａ+2,ａ+3;(３)三条线段之比为2：3:5、17、如图,在△ABＣ中,∠BＡD＝∠CAD,AＥ＝CＥ,AG⊥BＣ,AD与BＥ相交于点F,试指出AD、AF分别就就是哪两个三角形得角平分线,BＥ、DE分别就就是哪两个三角形得中线?AG 就就是哪些三角形得高?１8题18、如图所示，已知AD,ＡＥ分别就就是ΔABＣ得中线、高，且AB=５cm,AC＝3cm,则ΔABD 与ΔACD得周长之差为多少,ΔABD与ΔACＤ得面积有什么关系、19、利用三角形得中线，您能否将图中得三角形得面积分成相等得四部分(给出3种方法）？。