流体力学(旋转流体动力学)(课堂PPT)

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几个特征无量纲量
1.特征罗斯贝数
R 0特 特征 征偏 惯 U 2 向 性 U /L力 力 U/ L
本质上与第三章的定义：R 0 U /fL U /2 L sin
一致，是衡量旋转效应的一个重要量。
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R0 U/L
由Rossby数的定义可知：
RO 1 ，地转偏向力的作用大，旋转效应重要； RO 1，地转偏向力的作用小，可不考虑地球的旋转效应。
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考虑不可压缩粘性流体的运动方程：
பைடு நூலகம்
ddVtF 1p2V
daV radV r2 rV r 2R r dt dt
d V r F r 1 p 2 V r 2 r V r 2 R r
d t
偏向力 惯性离心力
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万有引力（地心引力）与惯性离心力 合成重力项，于是：
d d V trg r 1 p 2 V r2 r V r
V r ( V rg ) V r 1 p g r 2 V r 2 k r V r t
U T
U2 L
0 2 L2 0L
g
U L2
U
1
U
T
L
L g
U U L2
1
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旋转流体运动的无量纲方程
1 V r U ( V r g ) V r L ( 1 p ) g g r 2 V r 2 k r V r T t L U U L 2
第七章 旋转流体动力学
前面讨论的流体运动，是在惯性坐标系下进行的，并没有 考虑地球的旋转效应。
地球自身以一定速度自转，而地球的旋转效应，将会对地 球大气、海洋等流体的运动产生很显著的影响。
假设考虑流体运动的参考系，本身是以一定的角速度绕轴 转动的；那么，这种参考系称为旋转参考系，而相对于旋转参 考系的流体运动则称之为旋转流体运动。大多数的地球物理流 体力学所关心的大量问题均属于旋转流体动力学问题。
U L U L T V r t ( V r g ) V r U 1 1 p g 2 L g r L 2 2 V r 2 k r V r
RO
L
1/Fr
Ek
R 0 U L T V r t ( V r g ) V r R 1 0 1 p F 1 rg r E k 2 V r 2 k r V r
特征长度尺度：
L
特征速度尺度：
U
特征时间尺度：
T
重力加速度特征量：
g
密度特征量：
0
旋转参考系的自转角速度特征量： 17
特征压力差可以取两种不同的尺度：
0U2、02L2
考虑到讨论 U/L 1的极限情形，通常选取最大 有效尺度 02L2 作为压力差的尺度。
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二、旋转流体运动的无量纲方程
d d V trg r 1 p 2 V r2 k r V r
实际应用中：
大尺度运动（L大），流速缓慢（U小）， RO 1，旋转效应重要，采 用旋转流体运动方程； 中小尺度运动，流速快， RO 1，可以不考虑地球的旋转效应，采用 一般的流体运动方程。
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2.埃克曼数
特征粘 U 性 /L2 力
E k特征偏 向 U 力 L2 反映了旋转流体中粘性的相对重要性
旋转流体力学运动方程
2R F
g
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地转偏向力的讨论：
①引进了旋转坐标系之后或者说考虑了地球的旋转效 应之后，出现了地转偏向力（或称柯氏力）。地转偏 向力与流速相垂直，且它只改变流速的方向，并不改 变流速矢量的大小；沿着流向观测，对于地球流体运 动而言，地转偏向力使流体向右偏转（北半球）。
rr
rr
7
da
d
r
dt dt
上述算子只适用于矢量的情形，标量在绝对坐标系和 相对坐标系中的时间微商相同。
daF dF dt dt
8
牛顿第二定理是建立在惯性坐标系的基础上的，即：
daVa dt
i
Fi
以下分析得出适用于描述旋转流体的运动方程。
9
rr dd aV tadd V ta rV ra
d a V ra dV r r r r rV r r r r
d t
d t
rr d a V ad V 2 r V r r ( r r r) d t d t
10
d a V rad V r 2 r V r r ( r r r)
d t d t
r ( r r r ) r ( r R r ) 2 R r R
r
daV radV r2 rV r 2R r dt dt
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第二节 旋转流体的无量纲方程和Rossby数
为了进一步研究旋转流体运动的特征，通常需要对旋转 流体运动方程进行分析和简化。
本节将导出旋转流体运动的无量纲方程，为旋转流体运
动方程的分析和简化提供依据，并介绍旋转流体力学中
常用到的特征Rossby数。
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一、选取特征尺度（特征值）
首先选取进行尺度分析所需的各物理量的特征尺度：
R e特 特征 征粘 惯 U U 性 性 2/L /2L 力 力 U L
Ek R 0 Re
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3.旋转流体的弗雷德数
F r旋重 转力 惯 ( L 性 g )2/L力 g 2L
相对速度
牵连速度：
r Ve
r rr
5
VaVVe
r dar
drr
r rr
dt dt
速度---矢径随时间的变化
引进微分算子：
da
d
r
dt dt
①②③
①绝对变化项 ②相对变化项 ③牵连变化项
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A 对于任意矢量 ，满足：
daAr dAr r Ar dt dt
该算子是联系惯性坐标系与旋转坐标系的普遍关系。
2V 2kV
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②地转偏向力的出现，完全是由于旋转参考系下观测 流体运动所产生的旋转效应。当坐标不旋转时，惯性 离心力和偏向力均不出现，运动方程退化为N-S方程
在地球物理流体力学或大气动力学中，流体运动方
程大多数是采用旋转流体运动方程的（除小尺度运动
外）。但必须注意：旋转效应与流体运动的尺度密切
相关。
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低压 高压
2
低压 高压
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本章将主要介绍考虑地球旋转效应下的流体运动 主要内容
第一节 旋转参考系中的流体运动方程 第二节 旋转流体的无量纲方程和 Rossby 数 第三节 普鲁德曼—泰勒定理 第四节 地转流动
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第一节 旋转参考系中的流体运动方程
惯性坐标系与旋转坐标系中的运动速度之间满足：
绝对速度 VaVVe 牵连速度