随堂练习_一元二次方程(3)
17.2一元二次方程的解法--公式法
x2 4、写出方程的解： x1、
26
三、当 b2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数
根。 当 b2-4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根。
当 b2-4ac＜0时，一元二次方程没有实数根。
四、计算一定要细心，尤其是计算b2-4ac的值和代 入公式时，符号不要弄错。
提高练习 已知方程 2 x 2 7 x c 0, b2 4ac 0, 求c和x的值.
做一做
1.用公式法解下列方程：
(4)4x2-6x=0 解:
a 4, b 6, c 0 b 4ac 36 0 36 0
2
(5)6t2 -5 =13t
解 : 6t 2 13t 5 0 a 6, b 13, c 5 b 2 4ac 169 120 289 0
. x+2= 0.
解: a 1, b 2 2 , c 2 b 4ac 8 8 0
2
(2 2 ) 0 2 2 0 x 2 2
x1 x2 2.
思考题 1、 m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0 有两个相等的实数解
x2 4、写出方程的解： x1、
12
用公式法解方程：
用公式法解方程：
x2 – x 解：方程两边同乘以3, 得 2 x2 -3x-2=0
=0
x2 +3 = 2
x2 -2
a=1，b=-2
解：移项，得
x (默3)
x+3 = 0
，c=3 = = =
a=2，b= -3，c= -2.
∴b2-4ac=(-3) 2-4×2×(-2)=25. 0 ∴x= = = ∴x=
23.2.3 一元二次方程的解法(3)
那么在方程 两边同时加 上的这个数 有什么规律?
结论:在方程两边同时 添加的常数项等于一 次项系数一半的平方
师生合作 1
例2 用配方法解方程: (1) x2-6x-7=0
x 6 x 7.
2
(2)x2+3x+1=0
解: (1)移项， 得
方程左边配方 ，得 x 2 2 x 3 32 7 32
(2)移项， 得 3x 1 方程左边配方， 得 x
2
2
即( x 3) 2 16
3 3 2 3 2 x 2 x ( ) 1 ( ) 2 2 2
所以x 3 4
原方程的解是 x1 7, x2 1
3 2 5 即( x ) 2 4
3 5 所以x 2 2
归纳
上面，我们把方程 x 2 4 x 3 0 变形为 ( x 2) 2 1 ， 它的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一 个非负常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解. 这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 注意到第一步在方程两边同时加上了一个数后，左边可 以用完全平方公式从而转化为用直接开平方法求解。 那么，在方程两边同时加上的这个数有什么规律呢？
1 x 3x 0 4 1 2 x 3x 4
3 2 5 (x ) 2 2
3 10 x2 3 10 x1 2 2
3 1 3 x 2 3x ( ) 2 ( ) 2 2 4 2
直接开平方，得 所以
3 x 2
10 2
x
3 2
10 2
随堂练习2 用配方法解方程： （ 1） 2 x 2 2 (2 x ___) 2
50道一元二次方程带解题过程
(1)x(x-2)+x-2=0；
(2)5x²-2x- =x²-2x+ .
解：(1)因式分解，得
(2)移项、合并同类项，得
(x-2)(x+1)=0.
于是得
x-2＝0或x+1=0，
4x²-1=0
因式分解，得 (2x＋1)(2x-1)=0.
即
2x＋1=0或2x-1=0，
解得
解得
x1=2，x2=-1.
用配方法解下列方程：
解：(1)移项，得
x2+10x=-9.
(1)x²+10x+9＝0 ;
配方，得
x2+10x+5²=-9+5²，
(2)x²+6x-4＝0;
(3)x²+4x+9＝2x+11.
(x+5)²=16.
由此可得
x+5=±4,
x1=-1，x2=-9.
随堂练习
用配方法解下列方程：
解：(2)移项，得
(3)3x²-6x=-3；
因式分解，得
(4)4x²-121=0；
( x-4-5 + 2x )( x-4 + 5-2x ) = 0.
(5)3x(2x+1)=4x+2；
则有 3x-9 = 0 或 1-x = 0 ，
(6)(x-4)²=(5-2x)².
x1 = 3， x2 = 1.
练习
快速回答：下列各方程的根分别是多少？
之间有什么关系?
( )²
4.x²+px+____=(x+__)²
.
人教版九年级数学上册课件：21.1一元二次方程(3)
活动1 一元二次方程的概念和一元二次方程的根的概念的应用
例1 判断下列方程是否为一元二次方程？
(1)2x2 7x 1
否
(2)(x 1)(x 3) 0
是
(3)(x 1)(x 3) x2
否
(4) x2 4 4
否
(5)
1 x2 1
1 5
否
(6)ax2 bx c 0(a, b, c为常数)
探究二：利用一元二次方程的概念解决简单的问题
将x=-3代入原【方程解， 题过程】
解：（2） 为一元一次方程, 探注究意二 有：些利方用程一化元简二前次含方有程二的次概项念，解但决是简化单简的后k问二2题次项1系数2 为x02，这样k的方1程不x是一2元二次0方程．
(2)按照整式中的多项式的规定，它们的最高次数是几次？
③（x-2）（x+5）=x2-1 ④
一元二次方程特殊形式有： (2)按照整式中的多项式的规定，它们的最高次数是几次？
重点、难点知识★▲
活动3 综合应用 探究二：利用一元二次方程的概念解决简单的问题
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）， （2）k为何值时，此方程为一元一次方程?
（1）一元二次方程的概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程.
（2）原方程整理得：9x+10=0，因此它不是一元二次方程.
k 2 1 2 x2 k 1 x 2 0
探究二：利用一元二次方程的概念解决简单的问题
（2）k为何值时，此方程为一元一次方程? 【思路点拨】判断一个数是否为方程的解，可以将这个数代入方程，判断方程左、右两边的值是否相等．
③（x-2）（x+5）=x2-1 ④
一元二次方程的解法---公式法
解：由题意，得 m-1≠0① ⊿=（－2m)2-4（m-1）m≥0② 解之得，m﹥0且m≠1，故应选D
(3) m为何值时,关于x的一元二次方程 m2x2+(2m+1)x+1=0有两个不等实根？ 解：△=(2m+1)2-4m2
2 2
(2)x2-(m+1)x+m=0.
m 2 2m 1 4m 2 (m 1) ≥0
∴当m-1=0时，
当m-1≠0时，
方程有两个相等的实数根； 方程有两个不相等的实数根；
应用2：根据方程根的情况判断某一字母取值范围
(1)、若关于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m=0有 两个实数根，则m的取值范围是 （ D ）
下 可 要 多 交 流 呦！
课堂心得
一元二次方程根的判别式
b 4ac
2
（1） （2）
＞0 =0 ＜0 ≥0
两个不相等实根 两个相等实根 无实数根 两个实数根
（3）
（ 4）
动手试一试吧！
1、方程3 x2 +1=2 x中， b2-4ac= 0 .
2、若关于x的方程x2-2nx+3n+4=0 有两个相等的实数根，则n= -1或4 3、练习:用公式法解方程: x2 - 2
∴ △ > 0方程有两个不等实根
含有字母系数时，将△配方后判断
1、不解方程，判断根的情况. (1)2x2-4x-5=0;
解： b2 4ac (4)2 4 2 (5) =56 >0 ∴方程有两个不相等的实数根； 解： b 4ac ( m 1) 4 1 m
21.3+实际问题与一元二次方程+随堂练习+2024—2025学年人教版数学九年级上册
21.3 实际问题与一元二次方程 随堂练习一、选择题1．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元．若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x 株，则可以列出的方程是（ ）A ．（3+x ）（4﹣0.5x ）＝15B ．（x+3）（4+0.5x ）＝15C ．（x+4）（3﹣0.5x ）＝15D ．（x+1）（4﹣0.5x ）＝152．如图，在高3m ，宽4m 的长方形墙面上有一块长方形装饰板(图中阴影部分)，装饰板的上面和左右两边都留有宽度为()m x 的空白墙面.若长方形装饰板的面积为24m ，则以下方程正确的是（ ）A ．()()344x x --=B ．()()3424x x --=C ．()()3244x x --=D ．()()32424x x --=简称：用主客场赛制(也就是参赛的每两个队之间都进行两场比赛).2022−2023CBA 常规赛共要赛240场，则参加比赛的队共有（ ）A ．80个B ．120个C ．15个D ．16个4．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x 株，则可以列出的方程是（ ）A ．（3+x ）（4-0.5x ）=15B ．（x+3）（4+0.5x ）=15C ．（x+4）（3-0.5x ）=15D ．（x+1）（4-0.5x ）=155．李师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2000元，4月份的盈利达到2880元，且从2月到4月，若每月盈利的平均增长率都相同．那么按照这个平均增长率，预计五月份这家商店的盈利将达到（ ）元．A ．3320B ．3440C ．3450D ．34566．为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为x ，则下面所列方程正确的是（ ）A ．()22891256x -=B ．()22561289x -= C ．()28912256x -= D ．()25612289x -= 7.北京时间2月6日，土耳其、叙利亚遭遇严重地震，中国政府在第一时间启动紧急人道主义援助机制，彰显了大国担当．救援物资登机前，救援队临时搭建了长100米、宽80米的存储救援物资的矩形仓库，阴影部分是等宽的人、车通道，若除通道外，设道路宽为x 米，则可列方程为（ ）A ．（100+x ）（80+2x ）＝7178B ．（100+2x ）（80+x ）＝7178C ．（100﹣x ）（80﹣2x ）＝7178D ．（100﹣2x ）（80﹣x ）＝71788.如图，面积为50m 2的矩形试验田一面靠墙（墙的长度不限），另外三面用22m 长的篱笆围成，平行于墙的一边开有一扇1m 宽的门（门的材料另计）（m ），则所列方程正确的是（ ）A ．（22+1﹣x ）x ＝50B ．（22﹣1﹣x ）x ＝50C ．（22+1﹣2x ）x ＝50D ．（22﹣1﹣2x ）x ＝509．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m ，另一边减少了3m ，剩余一块面积为220m 的矩形空地.设原正方形空地的边长为xm ，则下面所列方程正确的是（ ）A ．()()x 3x 220--=B ．()()x 3x 220++=C ．2x 3x 2x 20--=D ．2x 3220-⨯=10．如图1，矩形ABCD 中，点E 为BC 的中点，点P 沿BC 从点B 运动到点C ，设B P ，两点间的距离为x PA PE y -=，，图2是点P 运动时y 随x 变化的关系图象，则BC 的长为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9二、填空题 1.电流通过导线时会产生热量，设电流是I(安培)，导线电阻为R(欧姆)，t 秒产生的热量为Q(焦)，根据物理公式Q=I ²Rt ，如果导线的电阻为5欧姆，2秒时间导线产生60焦热量，则电流I 的值是 安培．2．已知直角三角形两条的边长是方程27120x x -+=的两个根，则这个直角三角形的面积为 ．3.有一人患流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，若要求出未知数x ，则应列出方程： （列出方程即可，不要解方程）．4.春节期间，某超市举办了“2023年跨年迎新购物季”促销活动，该超市对一款原价为a 元的商品降价%x 销售一段时间后，为了加大促销力度，再次降价%x ，此时售价共降低了b 元，则b = ．5.若某等腰三角形的底和腰的长分别是一元二次方程x 2−6x +8=0的两根，则这个等腰三角形的周长是 ．6.某种植物的主干长出若干相同数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是73，求每个支干又长出多少小分支？如果设每个支干又长出 x 个小分支，那么依题意可得方程为 .7.如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为2116y x =-，当水面离桥顶的高度OH 为4m 时，水面的宽度AB 为 m ．8.2023年5月8日，C919商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．12时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的地物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A 、B 的水平距离为80米时，两条水柱在物线的顶点H 处相遇，此时相遇点H 距地面20米，喷水口A 、B 距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口A '、B '到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点H '距地面 米．三、解答题1.我们知道，传销能扰乱一个地方正常的经济秩序，是国家法律明令禁止的．某非法传销组织现有一名头目计划每人发展若干数目的下线，每个下线再发展同样数目的下线成员．经过两轮发展后，非法传销组织成员共有57人，间每个人计划发展下线多少人？2.已知：矩形ABCD的两边AB，BC的长是关于方程210 24mx mx-+-=的两个实数根．(1)当m为何值时，矩形ABCD是正方形？求出这时正方形的边长；(2)若AB的长为2，那么矩形ABCD的周长是多少？3.甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务．(1)求甲工程队每小时修的路面长度；(2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了(25m+)小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了3m米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值．4.甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工6米．已知甲乙每天施工所需成本共108万元．因地质情况不同，甲每合格完成1米桥梁施工成本比乙每合格完成1米的桥梁施工成本多2万元．(1)分别求出甲，乙每合格完成1米的桥梁施工成本；(2)实际施工开始后，甲每合格完成1米隧道施工成本增加16a万元，且每天多挖1 24a．乙每合格完成1米隧道施工成本增加13a万元，且每天多挖18a米．若最终每天实际总成本比计划多11242a⎛⎫+⎪⎝⎭万元，求a的值．5.某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元时；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量y（双）（元）之间存在如图所示的函数关系．（1）求出y与x的函数关系式；（2）公司希望平均每天获得的利润达到8910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少？（3）为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的50%，公司每天能否获得9000元的利润？若能，求出定价，请说明理由．。
实际问题与一元二次方程-(含答案)
实际问题与一元二次方程列一元二次方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，都是根据问题中的相等关系列出方程，解方程，并能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步提高分析问题、解决问题的意识和能力。
在利用一元二次方程解决实际问题，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性．主要学习下列两个内容：1. 列一元二次方程解决实际问题。
一般情况下列方程解决实际问题的一般步骤：审、设、列、解、验、答六个步骤，找出相等关系的关键是审题，审题是列方程(组)的基础，找出相等关系是列方程(组)解应用题的关键.2. 一元二次方程根与系数的关系。
一般地，如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两个根是1x 和2x ，那么ac x x a b x x =•,=+2121-．知识链接点击一： 列方程解决实际问题的一般步骤应用题考查的是如何把实际问题抽象成数学问题，然后用数学知识和方法加以解决的一种能力，列方程解应用题最关键的是审题，通过审题弄清已知量与未知量之间的等量关系，从而正确地列出方程.概括来说就是实际问题——数学模型——数学问题的解——实际问题的答案.一般情况下列方程解决实际问题的一般步骤如下：(1)审：是指读懂题目，弄清题意和题目中的已知量、未知量，并能够找出能表示实际问题全部含义的等量关系.(2)设：是在理清题意的前提下，进行未知量的假设(分直接与间接). (3)列：是指列方程，根据等量关系列出方程. (4)解：就是解所列方程，求出未知量的值.(5)验：是指检验所求方程的解是否正确，然后检验所得方程的解是否符合实际意义，不满足要求的应舍去.(6)答：即写出答案，不要忘记单位名称.总之，找出相等关系的关键是审题，审题是列方程(组)的基础，找出相等关系是列方程(组)解应用题的关键.针对练习1: 某城市2006年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2008年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x ，由题意，所列方程正确的是（ ）A ．300(1＋x )=363B ．300(1＋x )2=363C ．300(1＋2x )=363D ．363(1－x )2=300点击二：一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系。
《二次函数与一元二次方程》
b2-4ac＞0 b2-4ac＝0 b2-4ac＜0
随堂练习
2、抛物线y= x2 － x ＋ 2与x轴的交点情况是（
1、抛物线y=－3(x－2)(x＋5)与x轴的交点坐标为(2，0)和(-5，0) 。
c
）
A 两个交点 B 一个交点 C 没有交点 D 画出图象后才能说明 3、抛物线y=x2-4x+4与轴有 一 个交点，坐标是 （2，0） 。 4、不画图象，求抛物线y=x2-3x-4与x轴的交点坐标。 解：∵x2－3x－4＝0 (x－4)(x＋1)＝0 ∴ x1=4，x2=-1 ∴抛物线 y=x2－3x－4 与x轴的交点坐标是 （4 ，0）和（ -1，0）
课堂点睛
(3) 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的个数与 一元二次方程ax2+bx+c=0的根的个数有什么关系?
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 一元二次方程ax2+bx+c=0 根的判别式：b2-4ac 二次函数y=ax2+bx+c的 图象和x轴交点 有两个交点 有一个交点 没有交点
b2-4ac＞0 b2-4ac＝0
有一个交点 没有交点
b2-4ac＜0
P72 习题2.9 第1、2 、3题
解 : (1)h 5t 40t
2
80 60 40 20
(2) 小球经过多少秒后落地?你 有几种求解方法?与同伴进行交 流.
0
2
4
6
8
t/s
可以利用图象, 也可以解方程 5t 2 40t 0 (2)8s;
活动探究
活动探究
二次函数y=x2+2x, y=x2-2x+1 , y=x2-2x+2的图象如图所示.
一元二次方程的四种解法
一元二次方程的解法(1) 一元二次方程的概念一、考点、热点回顾1、一元二次方程必须同时满足的三个条件:⑴⑵⑶2、一元二次方程的一般形式：二、典型例题例1：判断下列方程是否为一元二次方程：® x2+x = \ ®x~ = 1 ®x2 -2x + 3y = 0 @x2 - 3 = (x-l)(x-4)⑤ax2+bx + c = 0 ®mx2 =0 (m是不为零常数)例2：—元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.(l)x2-l Ox-900 = 0 (2)5x2 +10—2.2 = 0⑶ 2X2-15=0 (4)X2 + 3x = 0(5) (x + 2)2 =3 (6) (x + 3)(x-3) = 0例3：当加 _______ 时，关于x的方程(m+2) x s +3mx+l=0是一元二次方程。
三、课堂练习1、下列方程中，关于x的一元二次方程是()A.3(X +1)2=2(X+1)B； +丄一 2 = 0xT yC.ax2 + 加 + <? = 0D.x1 + 2x = x，-12、用换元法解方程(X2+X):+(X:+X)=6时，如果设x'+x = y,那么原方程可变形为()A、y:+y—6=0B、y2—y—6 = 01 / 15C、y:—y+6 = 0D、y'+y+6 = 03、已知两数的积是12,这两数的平方和是25,以这两数为根的一元二次方程是4、已知关于x的一元二次方程十一伙+ l)x_6 = 0的一个根是2,求k的值.四、课后练习1•将方程3乂(乂_1) = 5(乂+ 2)化成一元二次方程的一般形式，得____ ;其中二次项系数是_ ; 一次项系数是 __________ ;常数项是_________ .2.方程伙-4)，+5x + 2& + 3 = 0是一元二次方程，则£就满足的条件是____________ .3.已知m是方程x'-x-2二0的一个根，则代数式mJn二 __________4.在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2,设金色纸边的宽为wm,则乳满足的方程是( )(A) x2+130A--1400 = 0 (B) x2 +65x-35O = O(C) x2 -130x-1400 = 0 (D) x2 -65x-350 = 05.关于x的方程(加-3)，+心+加=0,在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一次方程？(2) 一直接开方法一、考点、热点回顾1、了解形如x2=a(a>0)或(x+h)= k(k^0)的一元二次方程的解法一一直接开平方法小结：如果一个一元二次方程具有(x + /»)2=n(n>0)的形式，那么就可以用直接开平方法求解。
人教版九年级数学上册随堂练习： 21.3 实际问题和一元二次方程之传播问题
传播问题一．填空题（共8小题，3*8=24）1. 小明将环保倡仪书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发，每个好友转发后又邀请n个互不相同的好友转发，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参加了传播，则n＝____.2. 一个两位数，个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数为________，若交换两个数位上的数字，则得到的新两位数为____．3. 股市规定：股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．某支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是________________________．4．为落实房地产调控政策，某县加快了经济适用房的建设力度，2017年该县政府在这项建设中已投资3亿元，预计2019年投资5.88亿元，则该项投资的年平均增长率为_________．5．某商品出售价600元，第一次降价后，销售较慢，第二次大幅降价，降价的百分率是第一次的2倍，结果以432元迅速出售，若设第一次降价的百分数为x，依题意列方程得_____________________________________．6．体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排28场比赛，应邀请____________支球队参加比赛。
7. 一个两位数，个位数字比十位数字大3，且个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是____________．8．在一次商品交易会上，参加交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，会议结束后统计签订了78份合同，那么出席了这次交易会的公司有____________家.二、选择题（共10小题，3*10=30）9．某种疾病，传染性很强，曾有2人同时患上这种疾病，在一天内，一人可传染x人，两天后共有128人患上这种疾病，则x的值为( )A．10 B．9 C．8 D．710．早期，甲肝流行，传染性很强，曾有2人同时患上甲肝，在一天内，一人能传染x人，经过两轮传染后共有128人患上甲肝，则x的值为( )A．10 B．9 C．8 D．711．某工厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改进技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得三年的总产量达到1 200件，若设这个百分数为x，则可列方程( ) A．200＋200(1＋x)2＝1 200B．200＋200(1＋x)＋200(1＋x)2＝1 200C ．200(1＋x)2＝1 200D ．200(1＋x)＋200(1＋x)2＝1 20012. 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了132件，如果全组有x 名同学，则根据题意列出的方程是( )A ．x(x ＋1)＝132B ．x(x －1)＝132C ．x(x ＋1)＝132×2D ．x(x －1)＝132×213．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为( ) A ．9人 B ．10人 C ．11人 D ．12人14．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了15条航线，则这个航空公司共有飞机场( )A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个15．如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，13，14，15，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为( )A.32 B ．126 C ．135 D ．14416. 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件．如果全组有x 名同学，则根据题意列出的方程是( )A ．x(x ＋1)＝182B ．x(x －1)＝182C ．2x(x ＋1)＝182D ．x(x －1)＝182×217．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手20次，设有x 人参加这次聚会，下面所列方程正确的是( )A ．x(x －1)＝20 B.x （x －1）2＝20 C ．x(x ＋1)＝20 D.x （x ＋1）2＝20 18. 某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有飞机场( )A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个三．解答题（共7小题， 46分）19．(6分) 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，若小分支、支干和主干的总数是73，则每个支干长出多少个小分支？20. (6分) “埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强，一游客在非洲旅游时不慎感染“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有361人受到感染，问每轮传染中平均一人传染了几个人？若不控制，第二轮后又新增了多少人感染？21. (6分)有人利用手机发微信，获得信息的人也按他的发送人数发送该条微信，经过两轮微信的发送，共有56人手机上获得同一条微信，则每轮一个人要向几个人发送微信？22．(6分) 一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小2，如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小36，求原来的两位数．23．(6分) 观察下列图形规律：当n为多少时，图形中“·”的个数和“△”的个数相等？24．(8分) 月季生长速度很快，开花鲜艳诱人，且枝繁叶茂，现有一棵月季，它的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是73.求每个枝干长出多少个小分支？25．(8分)一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小2，如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小36，求原来的两位数．参考答案1. 102. 10b ＋a ，10a ＋b3. (1－10%)(1＋x)2＝14. 40%5. 600(1－x)－600(1－x)·2x ＝4326. 87. 36或258. 139-13 DDBBC14-18CDBBB19. 解：设每个支干长出x 个小分支，则1＋x ＋x·x ＝73，即x 2＋x －72＝0，解得x 1＝8，x 2＝－9(不合题意，舍去)，故每个支干长出8个小分支20. 解：设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，依题意得1＋x ＋(1＋x)x ＝361.解得x 1＝18，x 2＝－20(舍)，第二轮新增人数为361×18＝6 498(人)．答：每轮传染中平均一个人传染18人，若不控制，第二轮后又会新增6 498人感染21. 解：设每轮一个人要向x 个人发送微信，由题意得x(x ＋1)＝56，解得x 1＝7，x 2＝－8(不合题意，舍去)，则每轮一个人要向7个人发送微信22. 解：设原来两位数的个位数字是x ，则[10(x 2－2)＋x]－(10x ＋x 2－2)＝36，解得x 1＝3，x 2＝－2(不合题意，舍去)，x 2－2＝7.所以原来的两位数为7323. 解：第n 个图形中“·”的个数是3n ；第n 个图形中“△”的个数是n×（1＋n ）2.由3n ＝n×（1＋n ）2，可得n 2－5n ＝0，解得n ＝5或n ＝0(舍去)，∴当n ＝5时，图形中“·”的个数和“△”的个数相等24. 解：设每个枝干长出x 个小分支，由题意，得1＋x ＋x·x ＝73，解得x 1＝－9(舍去)，x 2＝8.故每个枝干长出8个小分支25. 解：设个位数字为x ，则十位数字为x 2－2，由题意得10(x 2－2)＋x －(10x ＋x 2－2)＝36，整理得x 2－x －6＝0，解得x 1＝3，x 2＝－2(不合题意，舍去)，∴十位数字为32－2＝7，则原来的两位数为73。
一元二次方程求解
x1 x2 15
前测
研讨
中测
研讨
小结
布置作业
后测
• 中测7：某宾馆有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客
房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满.客房定价每提 高10元，就会有一间客房空闲.对有游客入住的客房，宾馆还需 要对每个房间支出20元/天的维修费用.设每间客房的定价提高 了 x元 . (1)填表（不需化简）
等量关系： 每张贺卡利润×售出贺卡数量=总利润
设降价为x元， （0.3-x）（500+200× 0.05 ）=180 设降x个0.05元，（0.3-0.05x）（500+200x）=180
x
x1 0.1, x2 0.075 （舍）
x1 2, x2 1.5 （舍）
前测
研讨
中测
研讨
小结
售价 销量 200 200+10x 800-200-（200+10x）
第一个月 第二个月
清仓
80 80-x 40
（2）如果这次销售活动中，商家欲想获利9000元的利润， 第二个月应降价多少元？
80 ×200+(80-x)(200+10x)+40[800-200-(200+10x)]=9000
x1 30, x2 10（舍）
— 20（60-
（舍） x1 100, x2 320
前测
研讨
中测
研讨
小结
布置作业
后测
一元二次方程的解法 全
321.
5 2
.
即x1
3 2
5 ，x1
3 2
5.
拓展练习
解下列方程：
(1) 4x2 8x 4 0
x1 x2 1
想想怎 样解？
(2) 1 x2 x 3 0 2
x 1 7
请归纳配方法解一元二次方程的步骤
1、若二次项系数不是1，把二次项系数化为1(方程两 边都除以二次项系数)； 2、把常数项移到方程右边； 3、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方， 使左边成为完全平方； 4、如果方程的右边整理后是非负数，用直接开平方 法解之，如果右边是个负数，则指出原方程无实根。
归纳 小结
用直接开平方法可解下列类型 的一元二次方程：
x 2 b b 0或 x a 2 b b 0.
根据平方根的定义，要特别注意： 由于负数没有平方根， 所以，当b<0时，原方程无解。
（第2课时）
知识回顾
用直接开平方法可解下列类型的一元二次方程：
x2 b b 0或 x a2 b b 0;
拓展练习2：解方程
解下列方程：
(1) (x＋1)(x+2)=2 (2) (2a－3)2=(a－2)(3a－4)
(3) 2 y2=3y
(4) (4x－3)2=(x+3)2
(5) x2 3 x(3 2x) x(3x 1)
3
2
3
小结
用因式分解法解一元二次方程的步骤
1. 方程右边不为零的化为 零 。 2 .将方程左边分解成两个一次因式 的 乘积。 3 .至少 有一个 一次因式为零，得到 两个一元一次方程。 4 .两个 一元一次方程的解 就是原方 程的解。
(3) x2 2x 5
上面，我们把方程 x2 2x 5
陇川县八中九年级数学上册 第22章 一元二次方程 专题三 一元二次方程易错题型归纳课件新版华东师大版
结束语
同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成 功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
考试加油!奥利给~
随堂练习
1.关于频率和概率的关系,以下说法准确的选项是B哪一项：( ) A.频率等于概率 B.当试验次数很大时,频率稳定在概率附近 C.当试验次数很大时,概率稳定在频率附近 D.试验得到的频率与概率不可能相等
解析:频率只能估计概率,所以A错误;当试验次数很大,频率稳定在概率附 近,所以B准确;概率是定值,频率稳定在概率附近,所以C错误;试验得到的 频率与概率可以相同,如〞抛硬币试验”,可得到正面向上的频率为0.5,
(1)嘉淇的解法从第_四___步开始出现错误 ; 事实上 , 当b2－4ac>0时 , －b± b2－4ac
方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是___x_＝________2_a____________ ; (2)用配方式解方程 : x2－2x－24＝0.
解 : (2)x1＝6 , x2＝－4
(2)销售这种水果要想每天盈利300元 , 老板需将每斤的售价定为多少元 ？
解：(1)将这种水果每斤的售价 x 元， 则每天的销售量是 100＋0x.1 ×20＝100＋200x(斤)，故答案为 100＋200x
(2)设每斤售价降低 x 元，根据题意，得(4－2－x)(100＋200x)＝300， 解得 x＝12 或 x＝1，当 x＝12 时，销售量是 100＋200×12 ＝200<260； 当 x＝1 时，销售量是 100＋200＝300(斤). ∵每天至少售出 260 斤，∴x＝12 (舍去)，∴x＝1.∴4－1＝3， 答：老板需将每斤的售价定为 3 元
2．(铜仁中考)已知△ ABC∽△DEF，相似比为 2， 且△ ABC 的面积为 16，则△ DEF 的面积为 (C ) A．32 B．8 C．4 D．16
九年级数学上册第二章一元二次方程3用公式法求解一元二次方程第2课时利用一元二次方程解决面积问题练习2(
九年级数学上册第二章一元二次方程3用公式法求解一元二次方程第2课时利用一元二次方程解决面积问题练习2（新版）新人教版◆随堂检测1、长方形的长比宽多4cm ，面积为60cm 2，则它的周长为________．2、有两块木板，第一块长是宽的2倍，第二块的长是第一块宽的3倍，宽比第一块的长少2米，已知第二块木板的面积比第一块大1082米，这两块木板的长和宽分别是（ ）A 、第一块木板长18米，宽9米，第二块木板长27米，宽16米B 、第一块木板长12米，宽6米，第二块木板长18米，宽10米C 、第一块木板长9米，宽4.5m ，第二块木板长13.5m ，宽7米D 、以上都不对3、从正方形铁片，截去2cm 宽的一条长方形，余下的面积是48cm 2，求原来的正方形铁片的面积是多少？4、如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=8m ，CB=6m ，点P 、Q 同时由A ，B•两点出发分别沿AC 、BC 方向向点C 匀速移动，它们的速度都是1m/s ，•几秒后△PCQ•的面积为Rt △ACB 面积的一半．（点拨：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半，△PCQ 也是直角三角形．）•◆典例分析如图①，要设计一幅宽20cm ，长30cm 的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2∶3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？ B C A Q P解:◆课下作业 ●拓展提高1、矩形的周长为，面积为1，则矩形的长和宽分别为________．2、如图，在ABCD 中，AE BC ⊥于E ，AE EB EC a ===，且a 是一元二次方程2230x x +-=的根，则ABCD 的周长为（ ） A、4+ B、12+、2+ D、212++3、某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m ），•另三边用木栏围成，木栏长40m ． （1）鸡场的面积能达到180m 2吗？能达到200m 2吗？（2）鸡场的面积能达到210m 2吗？4、某林场计划修一条长750m ，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m 2，•上口宽比渠深多2m ，渠底比渠深多0.4m ． （1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？图② 图①A DC EB（2）如果计划每天挖土48m 3，需要多少天才能把这条渠道挖完？(分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为x m.)●体验中考1、在一幅长为80cm ，宽为50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程是（ ）A 、213014000x x +-=B 、2653500x x +-=C 、213014000x x --=D 、2653500x x --=2、如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为（ ）A 、1米B 、1.5米C 、2米D 、2.5米3、张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元，问张大叔购回这张矩形铁皮共化了多少元？●挑战能力1.如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m ），另三边用木栏围成，木栏长35m 。
2.3用公式法求解一元二次方程(3)
第二章一元二次方程2.3 用公式法求解一元二次方程课题§ 2.3 用公式法求解一元二次方程教学目标（一）教学知识点1 •一元二次方程的求根公式的推导.2 •会用求根公式解一元二次方程.（二）能力训练要求1 •通过公式推导，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力.2 •会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程.（三）情感与价值观要求通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，养成良好的运算习惯. 教学重点一元二次方程的求根公式教学难点求根公式的条件：b2-4ac > 0教学方法讲练相结合教具准备投影片五张第一张：复习练习（记作投影片§ 2 • 3A第二张：试一试（记作投影片§ 2. 3B）第三张：小亮的推导过程（记作投影片§ 2・3 C）第四张：求根公式（记作投影片§ 2 • 3 D）第五张：例题（记作投影片§ 2・3 E）教学过程1・巧设现实情景，引入课题［师］我们前面学习了一元二次方程的解法•下面来做一练习以巩固其解法. （出示投影片§ 2. 3 A）1 .用配方法解方程2X2-7X+3 = 0.［生甲］解：2x-7x+3 = 0,7 3两边都除以2,得X 2 -X+ 2 = 0・7 3移项，得；X2- 2 X=- 2 •7 7 3 7配方，得X- 2 x+(- 4 ) = - 2 +(- 4 )•两边分别开平方，得7 5X- 4 =± 47 5 7 5 即 x- 4 = 4 或 x- 4 =- 4 -1二 x i =3, X 2= 2 •［师］同学们做得很好，接下来大家来试着做一做下面的练习. (出示投影片§ 2. 3 B)、_fx 、_fx .r 1 Z~1试一试，冃疋仃：1 .用配方法解下列关于 x 的方程：2 2(1) x +ax = 1; (2)x +2bx+4ac = 0. ［ 生乙］(1)解 x +ax = 1,a a配方得 x?+ax+( 2 )2= 1+( 2)2,, 2a c 4 a (x+2 )2= 4 •两边都开平方，得-a - /4 a 22=22［ 生丙］(2)解 x -2bx+4ac = 0, 移项，得 x 2+2bx = -4ac . 配方，得 x -2bx+b = -4ac+b , 2 2(x+b) =b -4ac . 两边同时开平方，得 x+b =± . b 2 - 4ac ,即 x+b = .b 2 -4ac , x+b = - b 2 -4ac ••• x 1=-b+、b 2 —4ac , x 2= -b- ，b 2 —4ac ［生丁］老师，我觉得丁同学做错了，他通过配方得到 (x+b) 2= b 2-4ac .根据平方根的性质知道：只有正数和零才有平方根，即只有在 b 2-4ac > 0时，才可以用开平方法解出来.所以，在这里应该加一个条件：b 2-4ac > 0.［ 师］噢，同学们来想一想，讨论讨论，戊同学说得有道理吗 ？［生齐声］戊同学说得正确.因为负数没有平方根，所以，解方程x 2+2bx+4ac = 0时，必须有条件：b 2-4ac >0,才有丁同学求出的解.否则，这个方程就没有实数解. ［师］同学们理解得很正确，那解方程x 2+ax = 1时用不用加条件呢？4 a 22a即 x+ 2 =.4 a22旦...4 a 2 x+ 2 =--22…X 1 =-a 4 a 22x+［生齐声］不用. ［师］那为什么呢？数，所以就不必加条件了.［师］好，从以上解题过程中， 我们发现：利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同 的•因此，如果能用配方法解一般的一元二次方程 ax 2+bx+c = 0（a 工0），得到根的一般表达式，那么再解一元二次方程时，就会方便简捷得多.这节课我们就来探讨一元二次方程的求根公式.n.讲授新课［师］刚才我们已经利用配方法求解了四个一元二次方程， 那你能否利用配方法的基本步骤解方程ax 2+bx+c = 0（a 丰0）呢？大家可参照解方程 2X 2-7X +3 = 0的步骤进行. ［生甲］因为方程的二次项系数不为 1，所以首先应把方程的二次项系数变为1,即方程两边都除以二次项系数 a ,得2b c x + x =0.a a［ 生乙］因为这里的二次项系数不为 0，所以，方程 ax 2+bx+c = 0（a 工0）的两边都除以a时，需要说明a 工0.［师］对，以前我们解的方程都是数字系数，显然就可以看到：二次项系数不为 0,所以无需特殊说明，而方程 ax 2+bx+c = 0（a 工0）的两边都除以a 时，必须说明a ^0.好，接下来该如何呢？ ［生丙］移项，得x 2+b x 二--a a2 b / b 、2 c / b 、2配万，得x + x （）（）,a 2a a 2a［师］这时，可以直接开平方求解吗 ？［ 生丁］不，还需要讨论.因为0,所以4a 2>0.当b 2-4ac >0时，就可以开平方. 2恒成立，所以只需 b-4ac 是非负数即可.大家来想一想，讨论讨论:2［师］当 b-4ac > 0 时,生齐声］因为把方程 a2 2x +ax = 1配方变形为(x+ ~2 )=，右边就是 个正（x+却b 2-4ac 4a 2［师］对，在进行开方运算时，被开方数必须是非负数,即要求b 2「4ac4a22>0.因为 4a >0因此, 方程(x+ —)2=2ab 2-4ac4a 2的两边同时开方，得2ab 2-4ac 4a 2b 2-4ac 4a 22、b -4ac2ab 2-4ac 2a所以 x+A=± b _4ac2a2a- b 二.b 2- 4ac2ax+A = ±22a ", 4a 2b 2-4ac 丄 b 2-4ac _______ = ± __________2|a|因为式子前面有双重符号“土”，所以无论 a>0还是a<0,都不影响最终的结果：土x 2+b xai2a 丿b 9 b 2-4ac—（x 丁 —） 2 2a 2a 4a如果- 、b 2 - 4ac - 0这样，我们就得到一元 2次方程 ax +bx+c = 0（a 丰0）的求根公式:x 「b b 2-4ac （b 2-4ac , 0）,2a即（出示投影片§ 2. 3 D ） 一般地，对于一元二次方程ax 2+bx+c = 0（a 丰0），当b 2-4ac > 0时，它的根是一 b ± lb 2 - 4ac x=—2a[ 师]用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.（Solving by formular ）由此我们可以看到：一元二次方程 ax 2+bx+c = 0（a 丰0）的根是由方程的系数 a 、b 、c 确 定的.因此，在解一元二次方程时，先将方程化为一般形式，然后在 b 2-4ac >0的前提条件下，把各项系数 a 、b 、c 的值代入，就可以求得方程的根. 2 2 注：（1）在运用求根公式求解时，应先计算 b -4ac 的值；当b-4ac > 0时，可以用公式求出两个不相等的实数 解；当b 2-4ac v 0时，方程没有实数解•就不必再代入公式计算了.a 、 x=-A ±*2-4眩2a2a好，我们来看小亮的推导过程.（出示投影片§ 2. 3 C ）两边都除以a >配方-- T(2) 把方程化为一般形式后，在确定 a 、b 、c 时，需注意符号.［来源:学科网］接下来，我们来看一例题.(出示投影片§ 2. 3 E) ［例题］解方程X 2-7X -18 = 0.分析：要求方程 X 2-7X -18 = 0的解，需先确定a 、b 、c 的值.注意a 、b 、c 带有符号 解：这里 a = 1, b = -7 , c = -18 .••• b 2-4ac=(-7) 2-4 x 1 x (-18)=121> 0,7 - . 121 7 _11 • X= 2 1— 52却 X 1 = 9, X 2 = -2 .［师］好，我们来共同总结一下用公式法解一元二次方程的一般步骤. ［师生共析］其一般步骤是： (1) 把方程化为一般形式，进而确定a 、b ,c 的值.(注意符号)(2) 求出b 2-4ac 的值.(先判别方程是否有根)(3)在b 2-4ac > 0的前提下，把a 、b 、c 的直代入求根公式， 求出 ——b 一 4ac 的值,2a最后写出方程的根.［师］接下来我们通过练习来巩固用公式法求解一元二次方程的方法. 川.课堂练习 (一) 课本P 43随堂练习1、2、3 (二)看课本P41〜P43，然后小结.W.课时小结这节课我们探讨了一元二次方程的另一种解法一一公式法. (1) 求根公式的推导，实际上是“配方”与“开平方”的综合应用.对于 a 工0, b 2-4ac> 0以及由a 丰0,知4a 2>0等条件在推导过程中的应用，也要弄清其中的道理.(2)应用求根公式解一元二次方程，通常应把方程写成一般形式，并写出a 、b 、c 的数值以及计算b 2-4ac 的值，当熟练掌握求根公式后，可以简化求解过程.V. 课后作业(一)课本P43习题2. 5 1、2 ( 二)预习内容：P44W. 活动与探究1 .阅读材料，解答问题： 阅读材料：为解方程(X 2-1) 2-5(X 2-1)+4 = 0，我们可以将(X 2-1)视为一个整体，然后设 X 2-1 = y ,则 (X 2-1) 2 = y 2，原方程化为 y 2-5y+4=0 .①解得 y 1=4, y 2= 1.2当 y 1 = 4 时，X -1 = 4, ••• X 2 = 5,二 X =± 一 5 .2当 y = 1 时，X -1 = 1, • X 2 = 2,「. X = ± 2 .x 3= 5 , X 4=- 5.解答问题： (1)填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用 _________ 法达到了降次的目的，体现了 _________ 的 数学思想. (2)解方程 x 4-x 2-6 = 0.［ 过程］通过对本题的阅读，让学生在获取知识的同时，来提高学生的阅读理解和解 决问题的能力. ［结果］解：(1)换元转化 (2) 设 x 2 = y ,则 x 4=y 2, 原方程可以化为y2-y-6 = 0. 解得 y i =3, y 2= -2 .当 y i =3 时，x 2 = 3,. x =± . 3 . 当y 2= -2时，x 2=-2，此方程无实根. 原方程的解为x i = •、3 , X 2= - . 3 .板书设计§ 2 . 3公式法2、解：2x-7x+3 = 0, 两边都除以2，得27 3 x - x =0.2 2移项，得27 3 x - x .22配方，得.x i =3, X 2= 1 .X 2-］（三）22472（X-”25416两边分别开平方,2二、求根公式的推导三、课堂练习四、课时小结五、课后作业。
九年级数学上册《一元二次方程根的判别式》随堂练习题及答案解析--随堂练习+综合练习
九年级数学上册《一元二次方程根的判别式》随堂练习题及答案解析随堂练习 + 同步练习 + 综合应用随堂练习1、方程2x2+3x－k=0根的判别式是；当k 时，方程有实根。
2、关于x的方程kx2+(2k+1)x－k+1=0的实根的情况是。
3、方程x2+2x+m=0有两个相等实数根，则m= 。
4、当m 时，关于x的方程3x2－2(3m+1)x+3m2－1=0有两个不相等的实数根。
5、如果关于x的一元二次方程2x(ax－4)－x2+6=0没有实数根，那么a的最小整数值是。
6、若关于x的一元二次方程mx2+3x-4=0有实数根，则m的取值范围为____．7、若关于x的方程x2－2(k+1)x+k2－1=0有实数根，则k的取值范围是( )A.k≥－1B.k＞－1C.k≤－1D.k＜-18、若方程（a-2）x2＋（-2a＋1）x＋a=0有实数根，则（）9、m为何值时，方程2(m+1)x2+4mx+2m－1=0。
(1)有两个不相等的实数根； (2)有两个实数根；(3)有两个相等的实数根； (4)无实数根。
10、.a为何值时，关于x的一元二次方程x2－2ax+4=0有两个相等的实数根?11、已知关于x的方程(m+1)x2+(1－2x)m=2 ，m为什么值时：(1)方程有两个不相等的实数根?(2 )方程有两个相等的实数根?(3)方程没有实数根?12、方程（m-1）x2+2mx＋m＋3=0有两个不相等的实数根，求m的最大整数值．时间:40分钟 班级 姓名1.不解方程,判别方程12x 2+x+12=0的根的情况为 . 2. 关于x 的方程22x 2m 1x m m 2=0 实数根有 个.3.若关于x 的方程（k-1）x 2-2kx+k=3有两个不相等实根,则k 的取值范围是 .4.下列方程没有实数根的是 （ ）A.x 2-2kx+(2k-2)=0; B.9x 2C.x 2+(2m+1)x-(m 2-m)=0; D.3x 2-4x=-5.5.如果关于x 的一元二次方程kx 2-6x+9=0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是 （ ） A.k ＜1 B.k ≠0 C.k ＜1且k ≠0 D.k ＞16.方程(k )x x ---=21210有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A.k ＞2 B.k ＜2且k ≠1 C.k ＜2 D.k ＞2且k ≠17.已知关于x 的方程x 2-2(m+1)x+m 2=0. (1)m 取何值时,方程有两个实数根?(2)为m 选取一个合适的整数,使方程有两个不相等的实数根,并求这两个根.8.方程(k-1)x ++=210有两个不相等的实数根,求k 的取值范围.9.已知关于x 的方程(m-2)x 2-2(m-1)x+m+1=0，当m 为何值时： (1)方程只有一个实数根； (2)方程有两个相等的实数根； (3)方程有两个不等的实数根.10.关于x 的方程kx x +-=2310有实数根，求k 的取值范围.11.已知关于x 的方程x 2+2(a-3)x+a 2-7a-b+12=0有两个相等的实根，且满足2a-b=0. (1)求a 、b 的值；(2)已知k 为一实数，求证：关于x 的方程(-a+b)x 2+bkx+2k-(a+b)=0有两个不等的实根.（一）填空1．方程x2＋2x-1＋m=0有两个相等实数根，则m=____．2．a是有理数，b是____时，方程2x2＋（a＋1）x-（3a2-4a＋b）=0的根也是有理数．3．当k＜1时，方程2（k+1）x2＋4kx+2k-1=0有____实数根．5．若关于x的一元二次方程mx2+3x-4=0有实数根，则m的值为____．6．方程4mx2-mx＋1=0有两个相等的实数根，则 m为____．7．方程x2-mx＋n=0中，m，n均为有理数，且方程有一个根是23，则m= ，n= 。
2022人教版数学《实际问题与一元二次方程(精品)3》配套教案(精选)
21.3 实际问题与一元二次方程(3)教学内容根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题． 教学目标掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课，解决新课中的问题． 重难点关键1．重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题．2．难点与关键：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型． 教具、学具准备 小黑板 教学过程一、复习引入（口述）1．直角三角形的面积公式是什么？一般三角形的面积公式是什么呢？ 2．正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？ 3．梯形的面积公式是什么？ 4．菱形的面积公式是什么？5．平行四边形的面积公式是什么？ 6．圆的面积公式是什么？ （学生口答，老师点评） 二、探索新知现在，我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学模型，解决一些实际问题．例1．某林场计划修一条长750m ，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为m 2，上口宽比渠深多2m ，渠底比渠深多．（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？（2）如果计划每天挖土48m 3，需要多少天才能把这条渠道挖完？分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为xm ，则上口宽为x+2，渠底为，那么，根据梯形的面积公式便可建模． 解：（1）设渠深为xm则渠底为（）m ，上口宽为（x+2）m 依题意，得：（） 整理，得：5x 2+6x-8=0 解得：x 1==0.8m ，x 2=-2（舍） ∴上口宽为，渠底为．（2）=25天12451.675048答：渠道的上口宽与渠底深各是和；需要25天才能挖完渠道．学生活动：例2．如图，要设计一本书的封面，封面长27cm ，宽21cm ，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到）？老师点评：依据题意知：中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比＝9：7，由此可以判定：上下边衬宽与左右边衬宽之比为9：7，设上、下边衬的宽均为9xcm ，则左、右边衬的宽均为7xcm ，依题意，得：中央矩形的长为（27-18x ）cm ，宽为（21-14x ）cm ． 因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的，则中央矩形的面积是封面面积的． 所以（27-18x ）（21-14x ）=×27×21 整理，得：16x 2-48x+9=0 解方程，得：， x 1≈，x 2所以：9x 1=（舍去），9x 2=，7x 2=因此，上下边衬的宽均为，左、右边衬的宽均为． 三、巩固练习有一张长方形的桌子，长6尺，宽3尺，有一块台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少?（精确到0．1尺） 四、应用拓展 例3．如图（a ）、（b ）所示，在△ABC 中∠B=90°，AB=6cm ，BC=8cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度运动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度运动． （1）如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，经过几秒钟，使S △PBQ =8cm 2．（2）如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，并且P 到B 后又继续在BC 边上前进，Q 到C 后又继续在CA 边上前进，经过几秒钟，使△PCQ 的面积等于2．（友情提示：过点Q 作DQ ⊥CB ，垂足为D ，则：） 九 年级 练数 学 习同步1434DQ CQAB AC=分析：（1）设经过x 秒钟，使S △PBQ =8cm 2，那么AP=x ，PB=6-x ，QB=2x ，由面积公式便可得到一元二次方程的数学模型．（2）设经过y 秒钟，这里的y>6使△PCQ 的面积等于cm 2．因为AB=6，BC=8，由勾股定理得：AC=10，又由于PA=y ，CP=（14-y ），CQ=（2y-8），又由友情提示，便可得到DQ ，那么根据三角形的面积公式即可建模． 解：（1）设x 秒，点P 在AB 上，点Q 在BC 上，且使△PBQ 的面积为8cm 2． 则：（6-x ）·2x=8 整理，得：x 2-6x+8=0 解得：x 1=2，x 2=4∴经过2秒，点P 到离A 点1×2=2cm 处，点Q 离B 点2×2=4cm 处，经过4秒，点P 到离A 点1×4=4cm 处，点Q 离B 点2×4=8cm 处，所以它们都符合要求．（2）设y 秒后点P 移到BC 上，且有CP=（14-y ）cm ，点Q 在CA 上移动，且使CQ=（2y-8）cm ，过点Q 作DQ ⊥CB ，垂足为D ，则有 ∵AB=6，BC=8∴由勾股定理，得：∴DQ=则：（14-y ）· 整理，得：y 2-18y+77=0 解得：y 1=7，y 2=11 即经过7秒，点P 在BC 上距C 点7cm 处（CP=14-y=7），点Q 在CA 上距C 点6cm 处（CQ=2y-8=6），使△PCD 的面积为m 2．经过11秒，点P 在BC 上距C 点3cm 处，点Q 在CA 上距C 点14cm>10， ∴点Q 已超过CA 的范围，即此解不存在． ∴本小题只有一解y 1=7． 五、归纳小结 本节课应掌握：利用已学的特殊图形的面积公式建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．(a)BACQ P (b)B ACQD P12DQ CQAB AC=6(28)6(4)105y y --=126(4)5y -六、布置作业1．教材综合运用5、6 拓广探索全部． 2．选用作业设计:一、选择题1．直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为（）． AB ．5CD ．72．有两块木板，第一块长是宽的2倍，第二块的长比第一块的长少2m ，宽是第一块宽的3倍，已知第二块木板的面积比第一块大108m 2，这两块木板的长和宽分别是（）． A ．第一块木板长18m ，宽9m ，第二块木板长16m ，宽27m; B ．第一块木板长12m ，宽6m ，第二块木板长10m ，宽18m; C ．第一块木板长9m ，宽，第二块木板长7m ，宽; D ．以上都不对3．从正方形铁片，截去2cm 宽的一条长方形，余下的面积是48cm 2，则原来的正方形铁片的面积是（）．A ．8cmB ．64cmC ．8cm 2D ．64cm 2 二、填空题1．矩形的周长为，面积为1，则矩形的长和宽分别为________．2．长方形的长比宽多4cm ，面积为60cm 2，则它的周长为________．3．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m ，所围的面积为150m 2，则此长方形鸡场的长、宽分别为_______．三、综合提高题1．如图所示的一防水坝的横截面（梯形），坝顶宽3m ，背水坡度为1：2，迎水坡度为1：1，若坝长30m ，完成大坝所用去的土方为4500m 2，问水坝的高应是多少?（说明：背水坡度=，迎水坡度）（精确到）2．在一块长12m ，宽8m 的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为8m 2的长方形花台，CF BF 1211DE AE B ACE DF要使花坛四周的宽地宽度一样，则这个宽度为多少?3．谁能量出道路的宽度:如图22-10，有矩形地ABCD一块，要在中央修一矩形花辅EFGH，使其面积为这块地面积的一半，且花圃四周道路的宽相等，今无测量工具，只有无刻度的足够长的绳子一条，如何量出道路的宽度?请同学们利用自己掌握的数学知识来解决这个实际问题，相信你一定能行．答案:一、1．B 2．B 3．D二、1．2．32cm3．20m和或15m和10m三、1．设坝的高是x，则AE=x，BF=2x，AB=3+3x，依题意，得：（3+3+3x）x×30=4500整理，得：x2+2x-100=0解得x≈即x≈（m）2．设宽为x，则12×8-8=2×8x+2（12-2x）x整理，得：x2-10x+22=0解得：x1（舍去），x23．设道路的宽为x，AB=a，AD=b12220.102-+则（a-2x ）（b-2x ）=ab 解得：x=[（a+b ）] 量法为：用绳子量出AB+AD （即a+b ）之长，从中减去BD 之长（对角线），得L=AB+AD-BD ，再将L 对折两次即得到道路的宽，即．第2课时 分式的乘方一、教学目标：1、理解分式乘方的运算法则2、熟练地进行分式乘方的运算 3．渗透类比转化的数学思想方法． 二、重点、难点1．重点：熟练地进行分式乘方的运算.12144AB AD BD +-4a b +-2．难点：熟练地进行分式乘、除、乘方的混合运算. 三、教学过程 1、课堂引入 计算下列各题：（1）2)(ba =⋅b a ba =（ ） (2) 3)(ba =⋅b a ⋅b a ba =（ ） （3）4)(ba =⋅b a ⋅b a b a ba⋅=（ ） [提问]由以上计算的结果你能推出nba )(（n 为正整数）的结果吗？2、例题讲解例5.计算(1) 332)2(a b - (2)4234223)()()(c a ba cb ac ÷÷[分析]第（1）题是分式的乘方运算，它与整式的乘方一样应先判断乘方的结果的符号，再分别把分子、分母乘方.第（2）题是分式的乘除与乘方的混合运算，应对学生强调运算顺序：先做乘方，再做乘除. 3、随堂练习1．判断下列各式是否成立，并改正.（1）23)2(a b =252a b （2）2)23(ab -=2249a b - （3）3)32(xy -=3398x y （4）2)3(b x x -=2229b x x - 2．计算(1) 22)35(y x （2）332)23(c b a - （2）32223)2()3(x ay xy a -÷（3）23322)()(z x zy x -÷- （4))()()(422xy x y y x -÷-⋅- (5)232)23()23()2(ayx y x x y -÷-⋅- 4、小结谈谈你的收获 5、布置作业 6、板书设计第2课时 分式的乘方1、分式乘方的运算法则 例：2、分式乘方的运算 练习：四、教学反思：第1课时 等腰三角形的性质【知识与技能】1.理解掌握等腰三角形的性质.2.运用等腰三角形性质进行证明和计算.、发展形象思维.【过程与方法】、观察、证明等腰三角形的性质,发展学生推理能力.2.通过运用等腰三角形的性质解决有关问题,提高运用知识和技能解决问题的能力.【情感态度】引导学生对图形的观察、发现，激发学生的好奇心和求知欲,并在运用数学知识解答问题的活动中取得成功的体验.【教学重点】等腰三角形的性质及应用.【教学难点】等腰三角形的证明.一、情境导入，初步认识问题 1 让学生根据自己的理解,做一个等腰三角形.要求学生独立思考,动手做图后,再互相交流评价.可按下列方法做出:作一条直线l,在l上取点A,在l外取点B,作出点B关于直线l的对称点C,连接AB,AC,CB,则可得到一个等腰三角形.问题2 老师拿出事先准备好的长方形纸片,按下图方式折叠剪裁.观察并讨论:△ABC有什么特点?教师指导,并介绍等腰三角形的相关概念,及等腰三角形是轴对称图形.【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知教师依据学生讨论发言的情况,归纳等腰三角形的性质:①∠B=∠C→两个底角相等.②BD=CD→AD为底边BC上的中线.③∠BAD=∠CAD→AD为顶角∠BAC的平分线.∠ADB=∠ADC=90°→AD为底边BC上的高.指导学生用语言叙述上述性质.性质1等腰三角形的两个底角相等(简写成:“等边对等角”).性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线,底边上的高重合(简记为:“三线合一”).教师指导对等腰三角形性质的证明.1.证明等腰三角形底角的性质.教师要求学生根据猜想的结论画出相应的图形,写出已知和求证.在引导学生分析思路时强调:(1)利用三角形全等来证明两角相等.为证∠B=∠C,需证明以∠B,∠C为元素的两个三角形全等,需要添加辅助线构造符合证明要求的两个三角形.(2)添加辅助线的方法可以有多种方式:如作顶角平分线,或作底边上的中线,或作底边上的高等.2.证明等腰三角形“三线合一”的性质.【教学说明】在证明中,设计辅助线是关键,引导学生用全等的方法去处理,在不同的辅助线作法中,由辅助线带来的条件是不同的,重视这一点，要求学生板书证明过程,以体会一题多解带来的体验.例如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数.解:∵AB=AC,BD=BC=AD,∴∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD(等边对等角).设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.于是在△ABC中,有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°,解得x=36°于是在△ABC中,有∠A=36°,∠ABC=∠C=72°.【教学说明】等腰三角形“等边对等角”及“三线合一”性质，可以实现由边到角的转化，从而可求出相应角的度数.要在解题过程中,学会从复杂图形中分解出等腰三角形,用方程思想和数形结合思想解决几何问题.三、运用新知，深化理解第1组练习:1.如图,在下列等腰三角形中,分别求出它们的底角的度数.2.如图，△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,∠BAC=90°,AD是底边BC上的高,标出∠B,∠C,∠BAD,∠DAC的度数,指出图中有哪些相等线段.3.如图,在△ABC,AB=AD=DC,∠BAD=26°,求∠B和∠C的度数.第2组练习:1.如果△ABC是轴对称图形,则它一定是( )2.等腰三角形的一个外角是100°,它的顶角的度数是( )A.80°B.20°C.80°和20°D.80°或50°2cm,并且它的周长为16cm.求这个等腰三角形的边长.4.如图，在△ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE∥AB 交AC于E.求证:AE=CE.【教学说明】等腰三角形解边方面的计算类型较多,引导学生见识不同类型,并适时概括归纳,帮学生形成解题能力,注意提醒学生分类讨论思想的应用.【答案】第1组练习答案:1.(1)72°;(2)30°2.∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°;AB=AC,BD=DC=AD3.∠B=77°,∠C=38.5°第2组练习答案:3.设三角形的底边长为xcm,则其腰长为(x+2)cm,根据题意,得2(x+2)+x=16.解得x=4.∴等腰三角形的三边长为4cm,6cm和6cm.4.延长CD交AB的延长线于P,在△ADP和△ADC中,∠PAD=∠CAD,AD=AD,∠PDA=∠CDA,∴△ADP≌△ADC.∴∠P=∠ACD.又∵DE∥AP,∴∠CDE=∠P.∴∠CDE=∠ACD,∴DE=EC.同理可证:AE=DE.∴AE=CE.四、师生互动，课堂小结这节课主要探讨了等腰三角形的性质,并对性质作了简单的应用.请学生表述性质,提醒每个学生要灵活应用它们.学生间可交流体会与收获.1.布置作业：从教材“习题13.3”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.本课时应把重点放在逐步展示知识的形成过程上，先让学生通过剪纸认识等腰三角形；再通过折纸猜测、验证等腰三角形的性质；然后运用全等三角形的知识加以论证.由特殊到一般、由感性上升到理性，逻辑演绎，层层展开，步步深入.。
【人教版】数学九年级全一册一元二次方程根的判别式随堂练习(课件版)
计算判别式的值，判断方程根的情况 【例 1】不解方程，判断方程 x2－3x－1＝0 根的情况．
解：a＝____1____，b＝__－__3__，c＝__－__1__， ∴Δ＝b2－4ac＝___(_－__3_)2_－__4_×__1_×__(－__1_)__ ＝__________1_3__________． ∵Δ___＞___0， ∴方程有两个_不_等__的__实数根．
8.若 a，b，c 分别是三角形的三边，判断方程(a＋b)x2 ＋2cx＋(a＋b)＝0 的根的情况．
解：Δ＝(2c)2 －4(a ＋b )(a ＋b )＝4c 2－4(a ＋b )2 ＝4(c＋a＋b)(c－a－b). ∵a，b，c 分别是三角形的三边， ∴a ＋b ＞c. ∴c＋a ＋b ＞0，c－a －b ＜0. ∴Δ＜0. ∴方程没有实数根．
9.已知关于 x 的一元二次方程 2x2－(4k＋3)x＋2k2＋k ＝0. (1)当 k 取何值时，方程有两个不相等的实数根？ (2)在(1)的条件下，若 k 是满足条件的最小整数，求 方程的根．
(1)当 k 取何值时，方程有两个不相等的实数根？
解：∵关于 x 的一元二次方程 2x2－(4k＋3)x＋ 2k2＋k＝0 有两个不相等的实数根， ∴Δ＝[－(4k＋3)]2－4×2×(2k 2＋k ) ＝16k ＋9＞0. 解得 k＞－ 9 .
16 ∴当 k＞－ 9 时，方程有两个不相等的实数根．
16
(2)在(1)的条件下，若 k 是满足条件的最小整数，求方 程的根．
根据题意，得 k＝0， ∴原方程为 2x2－3x＝0，即 x(2x－3)＝0. 解得 x1＝0，x2＝32 . ∴方程的根为 x1＝0，x2＝32 .
证明：a ＝1，b ＝m ，c＝－6， 由题意，得Δ＝m 2－4×1×(－6)＝m 2＋24. ∵m 2≥0，∴m 2＋24＞0，即Δ＞0. ∴方程总有两个不相等的实数根．
22.2_一元二次方程的解法(直接开平方法配方法公式法因式分解)--
9.x 12x 27 0;
2
8.x1 0; x2 1. 9.x1 3, x2 9.
简记歌诀：
右化零
两因式
左分解
各求解
用配方法解一元二次方程的步骤： 1.把原方程化成 x2+px+q=0的形式。
2.移项整理 得 x2+px=-q 3.在方程 x2+px= -q 的两边同加上一次项系 数 p的一半的平方。 x2+px+( )2 = -q+( ) 2= )2 -q
1 2
例2：用配方法解下列方程
x 6 x 16 0
2
x 8x 1 0
2
二次项系数为1
2 x 1 3x
2 2
二次项系数不为1
3x 6 x 4 0 可以先将系数化为1
用配方法解一元二次方程的步骤:
移项:把常数项移到方程的右边; 系数化为1：将二次项系数化为1； 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方 ; 开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程; 定解:写出原方程的解.
用公式法解一元二次方程的一般
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
步骤：
1、把方程化成一般形式。 并写出a，
b，c的值。
例1.用公式法解方程2x2+5x3=0
①
2、求出b2-4ac的值。
解: a=2, b=5,
∴ 3)=49 ∴x =
= =
c= -3,
②
3、代入求根公式 : X=
b2-4ac=52-4×2×(③
对于方程（2） χ2－1=0 ，你可以怎样解它？
还有其它的解法吗？