通信原理(第二版)(章 (2)

)
升余弦频谱函数及其时间波形如图2.3.4所示。
第2章 确知信号分析 图2.3.4 升余弦频谱及其时间波形
第2章 确知信号分析
2.3.3 周期信号的频谱函数
一个周期信号的频谱可以用傅氏级数展开式进行分析，我们
知道一个周期信号f (T)可表示为
x(t)
V e j2πnf0t n
n
根据傅氏变换，也可求得周期信号x (t)的频谱函数为
第2章 确知信号分析
任何周期为T0周期信号x(t)，只要满足狄里赫利条件， 都可以展开为指数形式的傅氏级数，即
其中，
x(t)
V e j2 nf0t n
n
（2-2-1）
Vn
1 T0
T0 /2 x(t)e j2 nf0tdt
T0 / 2
（2-2-2）
称为傅氏级数的系数，f0=1/T0称为周期信号的基波频率，nf0 称为n次谐波频率。
第2章 确知信号分析
例2.3.2 求x (T)=Acos2πf0T信号的频谱函数。 解 Acos2πf0T可变换为
因为
x(t)
Acos 2πf0t
A [e j2πf0t 2
e j2πf0t ]
F[e j2πf0t ] ( f f0 )
F[e j2πf0t ] ( f f0 )
所以余弦信号x (T)=Acos2πf 0T的频谱为
析是通过傅氏变换进行的。傅氏变换公式为
F ( f ) f (t)e j2πft dt 称为傅氏变换
(2-3-1)
f (t) F ( f )e j2πft df
称为傅氏反(逆)变换 (2-3-2)
第2章 确知信号分析 通常把F(f)叫做f(t)的频谱密度函数，简称频谱。它的物理意
义是单位频率占有的振幅值。信号f(t)与其频谱F(f)之间存在着一 一对应的关系。也就是说，f(t)给定后，F(f)惟一确定； 反之亦然。 因此，信号既可以用时间函数f(t)来描述，也可以用它的频谱F(f) 来描述。傅氏变换提供了信号在频率域和时间域之间的相互变换 关系。习惯上，由f(t)去求F(f)的过程叫做傅氏变换，而由F(f)去 求f(t)的过程称为傅氏反(逆)变换。信号f(t)与其频谱F(f)组成傅氏
f (t) F( f )
第2章 确知信号分析
2.3.2 通信中常用信号的频谱函数
1. 矩形脉冲信号的傅氏变换及矩形频谱的傅氏反变换
利用傅氏变换公式(2-3-1)可求出其频谱函数为
X ( f ) f (t)e j2πftdt /2 Ae j2πftdt A sin(πf ) A Sa(πf )
|
f
| 1
5 f0
处。
图2.2.2周期矩形脉冲频谱图
第2章 确知信号分析
从图2.2.2中可以看出，周期矩形脉冲信号的频谱有以下
（1）离散性。频谱由不连续的谱线组成，即是离散谱， 它包括基波频率f0和各次谐波频率，谱线间隔为f0
（2）谐波性。谐波与基波是整倍数关系，即各谐波频率 等于nf0
（3）各次谐波的振幅变化规律是按取样函数变化的。最 大值出现在f=0处，零点在f=±k/τ处（k=1,2,3,…），其中第一 个零点对应的频率为f=±1/τ，所以τ的大小决定第一个零点的 位置。
其平均功率P为
E f 2 (t)dt
P x2 (t) lim 1 T / 2 x2 (t)dt T T -T / 2
若信号的能量有限(即0<E<∞)，则称该信号为能量信号； 若
信号的平均功率有限(0<P<∞)，则称该信号为功率信号。 能量信号的平均功率(在全时间轴上的平均)等于0，而功率信
F[Acos 2πf0t]
A[ ( f
2
f0) ( f
f0 )]
第2章 确知信号分析
频谱图如图2.3.6所示。我们知道上述余弦信号只含有f 0一个 频率成分，幅度为A。而频谱图上除了f0处有谱线外，-f 0处也有 谱线。这并不代表余弦信号有两个频率成分，这只是一种数学上 的表示，这种频谱称为双边谱。在这种频谱中，每个频率成分的 幅度分成两半，正负频率上各画一根谱线且完全对称，幅度都是 原幅度的一半。如此例中，将f 0成分的幅度A分成两个A/2，±f 0 频率处各画一根谱线，幅度都为A/2。
解由例题2.2.1得到，周期冲激脉冲信号的傅氏级数展开
式为 f (t) 1
e j2πnf0t
T0 n
所以其频谱为
F( f
)
F[
f
(t)]
1 T0
(f
n
nf0 )
周期冲激脉冲信号及其频谱如图2.3.5所示。在数字通信 中将用到此信号的频谱函数。
第2章 确知信号分析 图2.3.5 周期冲激脉冲信号及其频谱
第2章 确知信号分析
当x(t)为实偶信号时，Vn为实偶函数。 Vn反映了周期信 号中频率为nf0成分的幅度值和相位值，故Vn~f称为周期信号
周期矩形脉冲信号是通信中最常用到的信号之一，因此 我们选择它作为典型信号进行分析，并通过它归纳出周期信 号频谱的特点。
第2章 确知信号分析 例2.2.1 一个典型的周期矩形脉冲信号x(t)的波形如图
/2 /2
A 2
1 cos
2π
t
e
j2
πft
dt
经计算化简得到
X(f
)
A
2
Sa(πf )
1
1
f 2 2
第2章 确知信号分析 图2.3.3 升余弦脉冲信号的波形及频谱
第2章 确知信号分析
升余弦脉冲信号频谱的特点： (1) 频谱在频率为零处有最大幅度值Aτ/2，此值等于升余弦脉 冲的面积； (2) 频谱有等间隔的零点，零点位置在n/τ(n=±2, ±3, …)处； (3) 频谱第一个零点的位置是2/τ，和矩形脉冲的频谱相比，升 余弦脉冲的频谱在第一个零点内集中了更多的能量。如果用第一 个零点的频率值作为带宽的话，显然，在τ相同时，升余弦脉冲信 号的带宽是矩形脉冲信号带宽的2倍； (4) 和矩形脉冲相比，此频谱幅度随频率衰减的速度更快。
F
(
f
)
A
－B f B
2
2
0 其它
时，求时间函数f (T)。
用傅氏反变换式(2-3-2)可求得时间函数为
f (t) F ( f )e j2πft df B / 2 Ae j2πft df ABSa (πtB)
B/2
矩形频谱及它的时间波形如图2.3.2所示。
第2章 确知信号分析 图2.3.2 矩形频谱及其时间波形
sin
nf0 nf0
A
T0
nf0
代入式(2-2-1)得周期矩形脉冲信号的傅氏级数表达式为
x(t)
A
T0
Sa( nf0 )e j2Байду номын сангаасnf0t
N
Sa(x) sin x 称为取样函数或取样信号。 x
第2章 确知信号分析
（２）将T0=5τ代入Vn，并求出n取不同值时的Vn值，即可画 出Vn~f频谱图，如图2.2.2所示。谱线的包络按照Sa(πfτ)的曲线 （图中虚线所示）变化，第一个零点出现在
(2-4-1)
式(2-4-1)称为频率卷积定理。由此定理可知：两个时域信号乘积
的频谱等于两个时域信号频谱的卷积。
第2章 确知信号分析
2． 升余弦脉冲信号的傅氏变换及升余弦频谱函数的傅氏反 变换
在通信中，升余弦脉冲信号常用来取代矩形脉冲信号作为数 字脉冲信号。图2.3.5是升余弦脉冲信号的波形及频谱示意图。其 数学表达式及频谱函数如下
x(t)
A 2
1
cos
2
t
0
t
2 其它
X ( f )
x(t)e j2πftdt
第2章 确知信号分析
当频谱函数为升余弦特性时，即
X
(
f
)
A 2
(1
cos
2
B
f)
0
其傅氏反变换就是此频谱的时间波形，为
f B 2
其它
x(t)
F ( f )e j2πftdf
B/2 B/2
A 2
1
cos
2π B
f
e
j2 πft
df
经计算得
x(t)
AB 2
Sa
(
πBt
)
(1
1 B
2t
2
号的能量等于无穷大。持续时间无限的信号一定是功率信号，而 持续时间有限的信号则是能量信号。
第2章 确知信号分析
2.2 周期信号的频谱分析
信号的频谱分析在通信原理课程中占有极其重要的地位。 频谱分析的目的是找出信号所包含的频率成分以及各个频率
周期信号的频谱分析采用傅氏级数展开法，傅氏级数展 开有多种表达形式，其中指数表达式最常用。
(4) 当矩形脉冲宽度变窄时，带宽增大； 反之，当脉冲宽度 增大时，信号的带宽变窄。通俗地说，信号在时域中的宽度越窄， 则在频域中的宽度就越宽； 信号在时域中的宽度越宽，则在频域 中的宽度就越窄。
第2章 确知信号分析
经常还会碰到另一种情况，信号的频谱函数具有矩形特性， 如图2.3.2所示，那么它的时间波形又是什么样的呢？即当
第2章 确知信号分析
2. 周期信号和非周期信号 如果一个信号x(t)可描述为： x(t)=x(t+kT0)，其中T0(常数) >0；k为整数，则称x(t)为周期信号，T0为周期。反之，不满 足此关系式的信号称为非周期信号。
第2章 确知信号分析
3. 能量信号和功率信号
通信信号x(t)的能量(消耗在1Ω电阻上)E为
F[x(t)] VnF[ej2πnf0t ] Vn [ f nf0 ] (2-3-3)
n
n
其中F[e j2πnf0t ] ( f nf0 ), f0 1 / T0 , T0是周期信号的周期。
第2章 确知信号分析
例2.3.1 求周期冲激脉冲信号的频谱函数(设周期为T0， 冲激脉冲的幅度为1)。
信号的基本特征是：不论过去、现在或未来的任何时间，其 取值总是惟一确定的。还有些信号没有确定的数学表达式， 当给定一个时间值时，信号的数值并不确定，通常只能知道 其取值的概率，这种信号称为随机信号。
第2章 确知信号分析
通信系统中的信号可分为两大类：确知信号和随机信号。 确知信号在系统中主要参与对通信信号(携带信息的信号)的变 换，如调制用的载波信号、取样用的取样脉冲信号、同步电路 中用的同步码组等。通信系统中的随机信号包括通信信号和噪 声。通信信号一定具有某种随机性，因为完全确知的信号不携 带信息，所以通信信号是随机信号。另外，通信系统中存在的 噪声几乎都是随机信号。
/2
πf
图2.3.1 矩形脉冲波形及其频谱
第2章 确知信号分析 频谱如图2.3.1所示。其频谱有如下几个主要特点： (1) 频谱连续且无限扩展； (2) 频谱形状为取样函数，频率为零处幅度值最大，等于矩
形脉冲的面积； (3) 频谱有等间隔的零点，零点位置在n/τ(n=±1，±2，…)处。
信号90%以上的能量集中在第一个零点以内，通常将第一个零点 的宽度(正频率部分的宽度)定义为信号的带宽，所以矩形脉冲信 号的带宽为1/τ；
第2章 确知信号分析 图2.3.6 频谱
第2章 确知信号分析
2.4 傅氏变换的基本性质及应用
2.4.1 频率卷积定理及其应用
1． 频率卷积定理
若x 1(T)的频谱函数为X1(f )，x2(T)的频谱函数为X 2(f )，则
x1(T)、 x 2(T)乘积的频谱为
F[x1(t) x2 (t)] X1( f ) X 2 ( f )
T0 / 2
T0
得周期冲激脉冲信号的傅氏级数展开式为
T0 (t)
V e j2 nf0t n
n
1 T0
e j2 nf0t
n
（2）Vn-f关系如图2.2.3（b）所示。
第2章 确知信号分析
2.3 非周期信号的频谱分析
2.3.1 傅氏变换与频谱函数 对于非周期信号，不能用傅氏级数直接表示，其频谱分
第2章 确知信号分析 例2.2.2 周期为T0的冲激脉冲信号如图2.2.3（a）所示。 （1 （2）画出Vn-f关系图。
图2.2.3周期冲激脉冲信号及其振幅谱
第2章 确知信号分析
解（1）根据式（2-2-2）
Vn
1 T0
T0 /2
T0 / 2 T0
(t)dt
1 T0
T0 /2 (t)dt 1
第2章 确知信号分析
第2章 确知信号分析
2.1 引言 2.2 周期信号的频谱分析 2.3 非周期信号的频谱分析 2.4 傅氏变换的基本性质及应用 2.5 波形相关 2.6 谱密度和帕塞瓦尔定理 2.7 信号的带宽 习题
第2章 确知信号分析
2.1 引 言
2.1.1 常用信号的分类 1. 确知信号和随机信号 能用确定的数学表示式描述的信号称为确知信号。确知
2.2.1所示，脉冲宽度为τ，高度为A，周期为T0 (1) (2)画出T0=5τ时的Vn~f频谱图。
图2.2.1周期矩形脉冲
第2章 确知信号分析
解 (1)由式(2-2-2)及图2.2.1得
Vn
1 T0
T0
2 T0
2
x(t)e j2 nf0tdt
1 T0
2
Ae j2 nf0tdt
2
A
T0