激光基本知识第二章答案解析
周炳琨激光原理第二章习题解答(完整版)
周炳琨激光原理第二章习题解答（完整版）1.试利用往返矩阵证明对称共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。
证明：设从镜M1→M 2→M 1,初始坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛θ00r ，往返一次后坐标变为⎪⎪⎭⎫⎝⎛θ11r =T⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛θ00r ,往返两次后坐标变为⎪⎪⎭⎫⎝⎛θ22r =T •T ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛θ00r而对称共焦腔，R 1=R 2=L则A=1-2R L 2=-1B=2L ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2R L 1=0 C=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+121R L 21R 2R 2=0 D=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--211R L 21R L 21R L 2=-1所以，T=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1001故，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛θ22r =⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1001⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1001⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛θ00r =⎪⎪⎭⎫⎝⎛θ00r 即，两次往返后自行闭合。
2．试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。
解：共轴球面腔的稳定性条件为0<g 1•g 2<1,其中g 1=1-1R L ,g 2=1-2R L （a 对平凹腔：R 2=∞,则g 2=1,0<1-1R L <1，即0<L<R1(b)对双凹腔：0<g 1•g 2<1, 0<⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21R L 1R L 1<1 L R >1，L R >2或L R <1L R <2且LR R >+21(c)对凹凸腔：R 1=1R ,R 2=-2R ,0<⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21R L 1R L 1<1，L R >1且LR R <-||213．激光器的谐振腔由一面曲率半径为1m 的凸面镜和曲率半径为2m 的凹面镜组成，工作物质长0.5m ，其折射率为1.52，求腔长L 在什么范围内是稳定腔。
高中物理 知识点考点解析含答案 知识讲解 光的衍射、偏振、色散、激光 基础
光的衍射、偏振、色散、激光【学习目标】1．了解光的衍射现象及观察方法． 2．理解光产生衍射的条件．3．知道几种不同衍射现象的图样．5．知道振动中的偏振现象，偏振是横波特有的性质． 6．明显偏振光和自然光的区别．7．知道光的偏振现象及偏振光的应用． 8．知道光的色散、光的颜色及光谱的概念． 9．理解薄膜干涉的原理并能解释一些现象．10．知道激光和自然光的区别． 11．了解激光的特点和应用．【要点梳理】 要点一、光的衍射 1．光的衍射现象当单色光通过很窄的缝或很小的孔时，光离开了直线路径，绕到障碍物的阴影里去，光所达到的范围会远远超过它沿直线传播所应照明的区域，形成明暗相间的条纹或光环． 2．产生明显衍射的条件障碍物的尺寸可以跟光的波长相近或比光的波长还要小时能产生明显的衍射．对同样的障碍物，波长越长的光，衍射现象越明显；对某种波长的光，障碍物越小，衍射现象越明显．由于波长越长，衍射性越好，所以要观察到声波的衍射现象就比观察到光波的衍射现象容易得多． 3．三种衍射现象和图样特征 (1)单缝衍射． ①单缝衍射现象．如图所示，点光源S 发出的光经过单缝后照射到光屏上，若缝较宽，则光沿着直线传播，传播到光屏上的AB 区域；若缝足够窄，则光的传播不再沿直线传播，而是传到几何阴影区，在AA BB ''、区还出现亮暗相间的条纹，即发生衍射现象．要点诠释：衍射是波特有的一种现象，只是有的明显，有的不明显而已． ②图样特征．单缝衍射条纹分布是不均匀的，中央亮条纹与邻边的亮条纹相比有明显的不同：用单色光照射单缝时，光屏上出现亮、暗相间的衍射条纹，中央条纹宽度大，亮度也大，如图所示，与干涉条纹有区别．用白光照射单缝时，中间是白色亮条纹，两边是彩色条纹，其中最靠近中央的色光是紫光，最远离中央的是红光．(2)圆孔衍射．①圆孔衍射的现象．如图甲所示，当挡板AB上的圆孔较大时，光屏上出现图乙中所示的情形，无衍射现象发生；当挡板AB上的圆孔很小时，光屏上出现图丙中所示的衍射图样，出现亮、暗相间的圆环．②图样特征．衍射图样中，中央亮圆的亮度大，外面是亮、暗相间的圆环，但外围亮环的亮度小，用不同的光照射时所得图样也有所不同，如果用单色光照射时，中央为亮圆，外面是亮度越来越暗的亮环．如果用白光照射时，中央亮圆为白色，周围是彩色圆环．(3)圆板衍射．在1818年，法国物理学家菲涅耳提出波动理论时，著名的数学家泊松根据菲涅耳的波动理论推算出圆板后面的中央应出现一个亮斑，这看起来是一个荒谬的结论，于是在同年，泊松在巴黎科学院宣称他推翻了菲涅耳的波动理论，并把这一结果当作菲涅耳的谬误提了出来但有人做了相应的实验，发现在圆板阴影的中央确实出现了一个亮斑，这充分证明了菲涅耳理论的正确性，后人把这个亮斑就叫泊松亮斑．小圆板衍射图样的中央有个亮斑——泊松亮斑，图样中的亮环或暗环间的距离随着半径的增大而减小．4．衍射光栅(1)构成：由许多等宽的狭缝等距离排列起来形成的光学仪器．(2)特点：它产生的条纹分辨程度高，便于测量．(3)种类：⎧⎨⎩透射光栅反射光栅．5．衍射现象与干涉现象的比较种类项目单缝衍射双缝干涉不同点产生条件只要狭缝足够小，任何光都能发生频率相同的两列光波相遇叠加条纹宽度条纹宽度不等，中央最宽条纹宽度相等条纹间距各相邻条纹间不等各相邻条纹等间距亮度中央条纹最亮，两边变暗清晰条纹，亮度基本相等相同点干涉、衍射都是波特有的现象，属于波的叠加；干涉、衍射都有明暗相间的条纹6．三种衍射图样的比较如图所示是光经狭缝、小孔、小圆屏产生的衍射图样的照片．由图可见：(1)光经不同形状的障碍物产生的衍射图样的形状是不同的．(2)衍射条纹的间距不等．(3)仔细比较乙图和丙图可以发现小孔衍射图样和小圆屏衍射图样的区别：①小圆屏衍射图样的中央有个亮斑——著名的“泊松亮斑”；②小圆屏衍射图样中亮环或暗环间距随着半径的增大而减小，而圆孔衍射图样中亮环或暗环间距随半径增大而增大；③乙图背景是黑暗的，丙图背景是明亮的．要点二、光的偏振1．光是横波光的干涉和衍射现象说明光具有波动性，但不能由此确定光究竟是横波还是纵波．要点诠释：电磁波是横波，电磁波中的电场强度E和磁感应强度B都与波的传播方向垂直．既然光是电磁波，也应该是横波，光的作用主要是由其电场强度E引起的．2．偏振现象(1)狭缝对横波、纵波的影响：如果在波的传播方向上放一带狭缝的木板，不管狭缝方向如何，纵波都能自由通过狭缝；对横波，只有狭缝的方向与横波质点的振动方向相同时，横波才能毫无阻碍地通过狭缝；当狭缝的方向与质点的振动方向垂直时，横波就不能通过狭缝，这种现象叫做横波的偏振．如图所示．(2)横波独有的特征：偏振现象是横波所特有的，故利用偏振现象可判断一列波是横波或是纵波．(3)光的偏振现象说明光波是横波．3．自然光和偏振光(1)自然光：从普通光源直接发出的自然光是无数偏振光的无规则集合，所以直接观察时不能发现光强偏向哪一个方向．这种沿着各个方向振动的光波强度都相同的光叫自然光．自然光介绍：太阳、电灯等普通光源发出的光，包含着垂直于传播方向上沿一切方向振动的光，而且沿着各个方向振动的光波的强度都相同。
激光原理第二章习题答案
2.1 证明：如图2.1所示，当光线从折射率1η的介质，向折射率为2η的介质折射时，在曲率半径R 的球面分界面上，折射光线所经受的变换矩阵为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-2121201ηηηηηR 其中，当球面相对于入射光线凹（凸）面时，R 取正（负）值。
证明：由图可知 11201θ⋅+⋅=x x 又)()(222111θηθη-=-RxR x 21121122x R ηηηθθηη-∴=+ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∴11212122201θηηηηηθx Rx ∴变换矩阵为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-2121201ηηηηηR 2.2 试求半径R=4cm,折射率η=1.5的玻璃球的焦距和主面的位置1h 和2h 。
解：变换矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=2112121221210110101n n R n n n l n n R n n n M 把11=n ，5.12=n ，cm R R 421=-=，cm l 8=代入，可得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⨯-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=3531316355.1145.115.10110815.145.1101M )(12f h A -=, f C 1-=, )(11f h D -= 求得 mm f 30-= mm h 201= mm h 202=2.3 焦距1f =5cm 和2f =-10c=m 的两个透镜相距5cm 。
第一个透镜前表面和第二个透镜后表面为参考平面的系统，其等效焦距为多少？焦点和主平面位置在何处？距1f 前表面20cm 处放置高为10cm 的物体，能在2f 后多远地方成像？像高为多少？ 解：（1）2110101010********1131101011110552A B L M CD f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦)(12f h A -=, f C 1-=, )(11f h D -=，求得cm f 5-= cm h 5.21= cm h 52-=第一个透镜前表面与前主面的距离为2.5cm ，第二个透镜后表面与后主面的距离为-5cm,前主面离焦点的距离为-5cm ，） （2）21201011===l x θ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡45252110235150235150111122θθθx x D C B A xcm l cm x 2,5.222-==（距2f 后表面-2cm ）2.4 一块折射率为η，厚度为d 的介质放在空气中，其两界面分别为曲率半径等于R 的凹球面和平面，光线入射到凹球面上。
激光原理知识点汇总201905
激光原理知识点汇总第一章电磁场和物质的共振相互作用1.相干光的光子描述，光的受激辐射基本概念1)1960年7月Maiman报道第一台红宝石固体激光器，波长694.3nm。
2)光的基本性质：能量ε=hνh: Planck常数，ν :光波频率运动质量m=ε/c2=hv/c2静止质量0动量knhnchnmcp=•===22λππν3)光子的相干性：在不同的空间点、不同时刻的光波场某些特性的相关性相干体积相干面积，相干长度，相干时间光源单色性越好，相干时间越长：相格空间体积以及一个光波摸或光子态占有的空间体积度等于相干体积属于同一状态的光子或同一模式的光波是相干的4)黑体辐射的planck公式在温度T的热平衡下，黑体辐射分配到腔内每个模式上的平均能量1-=kThehEνν腔内单位体积、单位频率间隔内的光波摸式数338chnνπν=Planck公式：11833-==kThechνννπρ单色能量密度，k：Boltzmann常数Bohr定则：νhEE=-125)光的受激放大a.普通光源在红外和可见光波段是非相干光，黑体是相干光黑体辐射的简并度KTnmnmKTnmKTncmKTkThhEn50000,1,110,6.0,3001,60,30010,30,3001)exp(1353=≈=≈==≈==≈==→-==-μλμλμλλννb.让特定、少数模式震荡，获得高的光子简并度21212121338AWABchn===ννρνπρ6)光的自激振荡a.自激振荡概念分数单位距离光强衰减的百自损耗系数)(1)(zIdzzdI-=αdzzIIgzdI)(])([)(..α-=考虑增益和损耗])ex p[()(0zgIzIα-=αααsmsmIgIIIgIg)(1)(0-=→=+=光腔作用: (1)模式选择; (2）提供轴向光波摸的反馈；b.震荡条件等于号是阈值振荡ααα≥→≥-=000)(gIgI sm是工作物质长度llgL...........0δδα≥→=lg0单程小信号增益因子7)激光的特性：单色性、相干性、方向性、高亮性。
第二章光生物物理-激光基本知识与应用
—激光的基本知识与应用
授课教师：张 旸 联系方式：新逸夫教学楼226室 电子邮件：
本章的主要内容
第一节 光学的基本知识
– 要点：根据光学的各个不同发展时期讲述每个时期产 生的光学知识与理论。
第二节 激光的基本知识与应用
– 要点：主要讲述激光的发展史，激光的概念特点应用 ，重点讲述激光产生的原理。
1965年，第一台可产生 大功率激光的器件— 二氧化碳激光器诞生。
1967年，第一台Ｘ射线 激光器研制成功。
1997年，美国麻省理工 学院的研究人员研制出 第一台原子激光器。
中国第一台激光器（1961）
激光的特点
激光的高亮度
光源的亮度，就是指光源在单位面积上，向某一个 方向的单位立体角内所发出的光的功率。
– 用途：定位、导向、测距等。用激光测定地球 与月球的距离，精度已达到1.5m。
激光的特点
激光的单色性好
– 发出的光占有的波段很窄。通常把波长范围小于几埃的 一段辐射，称为单色光。
– 单色性最好的激光是氦氖激光（波长为6328×10-8cm ），谱线范围宽度在室温下为1×10-15cm。
太阳光经过三棱镜后，太阳光被分成 红橙黄绿青蓝紫，各种不同的颜色。
关于成影现象的认识
பைடு நூலகம்– 日晷、中国古代历法器具
光学发展简史 - 几何光学时期
这一时期可以称为光学发展史上的转折点。 在这个时期建立了光的反射定律和折射定律，奠
定了几何光学的基础。
光的反射定律
光的折射定律
光学发展简史 - 波动光学时期
19世纪初，波动光学初步形成，其中托马斯·杨圆满地解 释了“薄膜颜色”和双狭缝干涉现象。
光学发展简史 - 量子光学时期
激光专业知识
工作物质 全反射镜
激光输出
激光 部分反射镜
L
光学谐振腔
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第二章 激光的认识
第一节 激光器的结构图——内部结构图详解
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第二章 激光的认识
第二节 激光器的结构功能——工作物质
激光作为光学家族的一员，具有波粒二相性，一方面激光是由无数光子组成，具有光的 粒子性；另一方面，其本身也是一种电磁波。
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第一章 激光的概述
第五节 激光技术的应用——核聚变
激光控制核聚变
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第一章 激光的概述
第五节 激光技术的应用——激光导航星
天文台（激光导航星）
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第一章 激光的概述
第五节 激光技术的应用——测距与激光雷达
激光测距与激光雷达
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第二章 激光的认识
第一节 激光器的结构图——内部结构图
基态和激发态：当原子内所有电子处于可能的最低能级时，整个原子的能量最低，我 们称原子处于基态；当一个或多个原子电子处于较高的能级时，我们 称原子处于激发态。
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第二章 激光的认识
第四节 激光产生的原理——受激吸收/自发辐射
受激吸收：原子吸收入射光子（h=Eh-El），从低能态（El）跃迁到高能态（Eh）。
一般而言，激光的产生需要3个条件：
工作物质：激光的产生必须选择合适的工作介质，可以是气体、液体、固体或半导体。 关键是能在这种介质中实现粒子数反转，就被称为激活介质(active medium) 或工作物质。
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第二章 激光的认识
第二节 激光器的结构功能——激励源
激励源：为了使工作介质中出现粒子数反转，必须用一定的方法去激励原子体系，使处 于上能级的粒子数增加。如：电激励、光激励、热激励、化学激励等各种激励 方式被形象化地称为泵浦或抽运；只有不断泵浦才能维持上能级粒子数多于下 能级，不断获得激光输出。
激光原理第二章答案
第二章开放式光腔与XX光束1.证明如图2.1所示傍轴光线进入平面介质界面的光线变换矩阵为证明：设入射光线坐标参数为，出射光线坐标参数为，根据几何关系可知傍轴光线则，写成矩阵形式得证2.证明光线通过图2.2所示厚度为d的平行平面介质的光线变换矩阵为。
证明：设入射光线坐标参数为，出射光线坐标参数为，入射光线首先经界面1折射，然后在介质2xx自由传播横向距离d，最后经界面2折射后出射。
根据1题的结论和自由传播的光线变换矩阵可得化简后得证。
3.试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下图所示:其往返矩阵为:由于是共焦腔，则有R i = R2 = L将上式代入计算得往返矩阵T m [A D1"101〔01 一可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。
于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。
4.试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。
解：共轴球面腔稳定性条件其中对平凹共轴球面镜腔有则，再根据稳定性条件可得。
对双凹共轴球面腔有，则根据稳定性条件可得。
对凹凸共轴球面镜腔有，则根据稳定性条件可得。
5•激光器的谐振腔由一面曲率半径为的凸面镜和曲率半径为的凹面镜组成，工作物质长，其折射率为1.52，求腔长L在什么范围内是稳定腔。
解：设两腔镜和的曲率半径分别为和，工作物质长，折射率当腔内放入工作物质时，稳定性条件中的腔长应做等效，设工作物质长为,工作物质左右两边剩余的腔长分别为和，贝y。
设此时的等效腔长为，则光在腔先经历自由传播横向距离，然后在工作物质左侧面折射，接着在工作物质中自由传播横向距离，再在工作物质右侧面折射，最后再自由传播横向距离，则。
］「1 ql1 °=1 町n J(0dj o 冷0 1-所以等效腔长等于1 ■01.17m<L ：：2.17m6. 图2.3所示三镜环形腔，已知，试画出其等效透镜序列图，并求 球面镜的曲率半径R 在什么范围内该腔是稳定腔。
激光原理第二章习题答案
2.19某共焦腔氦氖激光器，波长λ＝0.6328μm ，若镜面上基模光斑尺寸为0.5mm ，试求共焦腔的腔长，若腔长保持不变，而波长λ＝3.39μm ，问：此时镜面上光斑尺寸多大？ 解：20/ 1.24s L m ωπλ=≈0/1.16mms L ωλπ==2.20考虑一台氩离子激光器，其对称稳定球面腔的腔长L=1m ，波长λ= 0.5145μm ，腔镜曲率半径R=4m ，试计算基模光斑尺寸和镜面上的光斑尺寸。
解：1/42021/42242()(2)(22)(2) 4.65104L R L R L R L RL L mλωπλπ-⎡⎤--=⎢⎥-⎣⎦⎡⎤-==⨯⎢⎥⎣⎦1/42121/4222422()()(2)4.9810(2)L R R L L R L R L R L mRL L λωωπλπ-⎡⎤-==⎢⎥--⎣⎦⎡⎤==⨯⎢⎥-⎣⎦2.21腔长L ＝75cm 的氦氖平凹腔激光器，波长λ＝0.6328μm ，腔镜曲率半径R ＝1m ，试求凹面镜上光斑尺寸，并计算该腔基模远场发散角θ。
解：1/41/4212211121121/41/422112212212()0.295mm()()(1)()0.591()()(1)s s R R L g L Lw L R L R R L g g g R R L g LL w mmL R L R R L g g g λλππλλππ⎡⎤⎡⎤-===⎢⎥⎢⎥-+--⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤-===⎢⎥⎢⎥-+--⎣⎦⎣⎦1/41/42221212120212121212(2)(2)220.0014rad=0.0782()()()(1)L R R g g g g L R L R L R R L L g g g g λλθππ⎡⎤⎧⎫--+-===⎨⎬⎢⎥--+--⎣⎦⎩⎭2.22设稳定球面腔的腔长L ＝16cm ，两镜面曲率半径为1R ＝20cm ，2R ＝－32cm ，波长λ=410-cm ，试求：（1）最小光斑尺寸0ω和最小光斑位置；（2）镜面上光斑尺寸1s ω、2s ω；（3）0ω和1s ω、2s ω分别与共焦腔（1R ＝2R ＝L ）相应值之比。
激光原理及应用 章部分课后答案
激光原理及应用部分课后答案1-4为使He-Ne 激光器的相干长度达到1KM ，它的单色性0λλ∆应是多少？2-2当每个模式内的平均光子数（光子简并数）大于1时，以受激辐射为主。
2-3如果激光器和微波激射器分别在um 10=λm 500n =λ和z 3000MH =ν输出1W 连续功率，问美秒从激光上能级向下能级跃迁的粒子数是多少？2-4当一对激光能级为E2和E1（f1=f2），相应的频率为v （波长为λ），能级上的粒子数密度分别为n2和n1,q 求：（1）当v=3000MHZ ，T=3000K 时，n2/n1=？（2）当λ=1um ，T=3000K 时，n2/n1=？（3）当λ=1um ，n2/n1=0时，温度T=？解：2-5激发态的原子从能级E2跃迁到E1时，释放出λ=5um的光子，求这个两个能级的能量差。
若能级E1和E2上的原子数分别为N1和N2，试计算室温T=300K的N2/N值。
2-7如果工作物质的某一跃迁是波长为100nm的远紫外光，自发辐射跃迁概率1621s10-=A，试问：（1）改跃迁的受激辐射爱因斯坦系数B21是多少？（2）为使受激辐射跃迁概率比自发辐射跃迁概率大三倍，腔内的单色能量密度νρ应为多少？2-9某一物质受光照射，沿物质传播1mm的距离时被吸收了1%，如果该物质的厚度是0.1m,那么入射光中有百分之几能通过该物质？并计算该物质的吸收系数α。
2-10激光在0.2m 长的增益介质中往复运动过程中，其增强了30%。
求该介质的小信号增益系数0G 。
假设激光在往复运动中没有损耗。
3-2CO2激光器的腔长L=100cm,反射镜直径D=1.5cm,两镜的光强反射系数分别为r1=0.985,r2=0.8.求由衍射损耗及输出损耗所分别引起的δ，τ。
3-4，分别按下图中的往返顺序，推导近轴光线往返一周的光学变换矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D C B A ，并证明这两种情况下的）（D A +21相等。
精简版---激光原理知识点+复习90题
T
A C
1 2L
B D
2 R1
R2
2 R2
1
2L R1
2 L1
L R2
2L R1
1
2L R1
1
2L R2
把条件 R1 R2 R L 带入到转换矩阵 T，得到：
T
A C
B D
1 0
0 1
共轴球面腔的稳定判别式子 1 1 A D 1
2
如果 1 A D 1 或者 1 A D 1 ，则谐振腔是临界腔，是否是稳定腔要根据情况来定。本题中 ，
(1)判断腔的稳定性; (2)求输出端光斑大小； (3)若输出端刚好位于焦距 f=0.1m 的薄透镜焦平面上，求经透镜聚焦后的光腰大小和位置。
解: (1)如图所示，等效腔长
L
'
a
b
0.44
m
0.1 m 1.7
0.5m
由等效腔长可得
：
g1 g 2
1
L' R1
1
L' R2
1
0.5 1
1
0.5
2
1
1.52 1
1.52
要达到稳定腔的条件，必须是 1 1 A D 1，按照这个条件，得到腔的几何长度为：
2
1.17 L1 2.17 ，单位是米。（作图）
11
4.4（夏珉习题 2.19 数据有改变）如图 2.8 所示，波长 1.06m的钕玻璃激光器,全反射镜的曲率半径
R=1m，距离全反射镜 0.44m 处放置长为 b=0.1m 的钕玻璃棒，其折射率为 n=1.7。棒的右端直接 镀上半反射膜作为腔的输出端。
第三章
光学谐振腔
激光原理第二章习题解答
激光原理第二章习题解答(共15页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--《激光原理》习题解答 第二章习题解答1 试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限次，而且两次往返即自行闭合.证明如下：（共焦腔的定义——两个反射镜的焦点重合的共轴球面腔为共焦腔。
共焦腔分为实共焦腔和虚共焦腔。
公共焦点在腔内的共焦腔是实共焦腔，反之是虚共焦腔。
两个反射镜曲率相等的共焦腔称为对称共焦腔，可以证明，对称共焦腔是实双凹腔。
）根据以上一系列定义，我们取具对称共焦腔为例来证明。
设两个凹镜的曲率半径分别是1R 和2R ，腔长为L ，根据对称共焦腔特点可知：L R R R ===21因此，一次往返转换矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=211121222121221221221R L R L R L R L R R R L L R L D C B A T 把条件L R R R ===21带入到转换矩阵T ，得到：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001D C B A T 共轴球面腔的稳定判别式子()1211<+<-D A 如果()121-=+D A 或者()121=+D A ，则谐振腔是临界腔，是否是稳定腔要根据情况来定。
本题中 ，因此可以断定是介稳腔（临界腔），下面证明对称共焦腔在近轴光线条件下属于稳定腔。
经过两个往返的转换矩阵式2T ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10012T 坐标转换公式为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1111112221001θθθθr r r T r 其中等式左边的坐标和角度为经过两次往返后的坐标，通过上边的式子可以看出，光线经过两次往返后回到光线的出发点，即形成了封闭，因此得到近轴光线经过两次往返形成闭合，对称共焦腔是稳定腔。
激光原理及应用名词解释大题知识点总结考试专用
第一章1、自发辐射：在没有外界影响时，它们会自发的从高能级E2向低能级E1跃迁，同时放出能量为hu的光子，这种与外界影响无关的、自发进行的辐射称为自发辐射。
2、受激辐射：如果原子系统的两个能级E2和E1满足辐射跃迁选择定则，当受到外来能量hu=E2-E1的光照射时，处在E2能级的原子有可能受到外来光的激励作用而跃迁到较低的能级E1上去，同时发射一个与外来光子完全相同的光子。
3、自发辐射和受激辐射的区别：①自发辐射是非相干光，受激辐射是相干光。
②自发辐射跃迁几率就是自发辐射本身，而受激辐射的跃迁几率决定于受激辐射系数与外来光单色辐射能量密度的乘积。
③当受激辐射系数B21一定时，外来光的单色辐射能量密度越大，受激辐射几率越高。
4、受激吸收：处于低能级E1的原子受到一个外来光子的激励作用，完全吸收该光子的能量而跃迁到高能级E2的过程，叫作受激吸收。
5、自发辐射、受激辐射、受激吸收之间的关系：在光和大量原子系统的相互作用中，三者之间三种过程是同时发生的。
A21n2dt+B21n2ρvdt=B12n1ρvdt（自发辐射光子数+受激辐射光子数=受激吸收光子数）6、自然增宽:在不受外界影响时，处于激发态的粒子会自发的向低能态跃迁。
也就是说，在自发辐射发光过程中，能量不断衰减，电偶极子的正负中心不再做简谐振动，从而导致光谱线有一定的宽度，叫做自然增宽。
(洛伦兹线型函数)7、均匀增宽介质和非均匀增宽介质的区别:均匀增宽：(1)自然加宽（普遍存在，但在固体工作物质中可忽略）—源于不确定性原理(2)碰撞加宽（存在于气体工作物质中）—源于气体分子碰撞导致的上能级粒子寿命变化(3)晶格振动加宽（存在于固体工作物质中）—源于固体中激光工作粒子在晶格附近的热振动。
非均匀增宽：(1)多普勒加宽（存在于气体工作物质中）——源于工作物质不断地运动而产生的多普勒频移(2)晶格缺陷加宽（存在于固体工作物质中）——源于固体加工时内部产生的晶格缺陷导致工作粒子所处状态不完全相同8、光谱线宽度:通常定义Δv=v2-v1,即相对光强为最大值的1/2处的频率间隔叫做光谱线的半(值)宽度，简称光谱线宽度。
激光原理 第二章光学谐振腔理论
光学谐振腔一方面具有光学正反馈作用,另一方面 也存在各种损耗。损耗的大小是评价谐振腔质量 的一个重要指标,决定了激光振荡的阈值和激光的 输出能量。本节将分析无源开腔的损耗,并讨论表 征无源腔质量的品质因数Q值及线宽。
一、损耗及其描述 (1)几何偏折损耗: 光线在腔内往返传播时，可能从腔的侧面 偏折出去，我们称这种损耗为几何偏折损 耗。其大小首先取决于腔的类型和几何尺 寸。
概述
3.波动光学分析方法 从波动光学的菲涅耳-基尔霍夫衍射积分理论出发,可以建立 一个描述光学谐振腔模式特性的本征积分方程。 利用该方程原则上可以求得任意光腔的模式,从而得到场的 振幅、相位分布,谐振频率以及衍射损耗等腔模特性。 虽然数学上已严格证明了本征积分方程解的存在性,但只有在 腔镜几何尺寸趋于无穷大的情况下,该积分方程的解析求解 才是可能的。 对于腔镜几何尺寸有限的情况,迄今只对对称共焦腔求出了 解析解。 多数情况下,需要使用近似方法求数值解。虽然衍射积分方 程理论使用了标量场近似,也不涉及电磁波的偏振特性,但与 其他理论相比,仍可认为是一种比较普遍和严格的理论。
第一节 光学谐振腔的基本知识
本节主要讨论光学谐振腔的构成、分类、作用,以及 腔模的概念
光学谐振腔的构成和分类
根据结构、性能和机理等方面的不同,谐振腔有不同 的分类方式。
按能否忽略侧面边界,可将其分为
开腔、 闭腔 气体波导腔
第一节 光学谐振腔的基本知识
开腔而言： 1. 根据腔内傍轴光线几何逸出损耗的高低,又可分为 稳定腔、非稳腔及临界腔; 2. 按照腔镜的形状和结构,可分为球面腔和非球面腔; 3. 就腔内是否插入透镜之类的光学元件,或者是否考 虑腔镜以外的反射表面,可分为简单腔和复合腔; 4. 根据腔中辐射场的特点,可分为驻波腔和行波腔; 5. 从反馈机理的不同,可分为端面反馈腔和分布反馈 腔; 6. 根据构成谐振腔反射镜的个数,可分为两镜腔和多 镜腔等。
第三讲 激光原理基础知识二
27
自再现物理过程的形象化描述和定性解释——孔阑传输 孔阑传输 自再现物理过程的形象化描述和定性解释
28
横向场振幅分布和相位分布都均匀的平面波入射， 横向场振幅分布和相位分布都均匀的平面波入射，经过多 次孔阑的衍射影响后，二者都变得不再均匀， 次孔阑的衍射影响后，二者都变得不再均匀，成为相对场 振幅和相对相位分布都不受衍射影响的稳态场分布。 振幅和相对相位分布都不受衍射影响的稳态场分布。
22
当光强增大到一定程度，g下降到 m时，增益=损耗，激 当光强增大到一定程度， 下降到g 增益 损耗， 下降到 损耗 光就达到稳定了。 光就达到稳定了。 通常称
1 1 g≥ ln = gm 2L R R2 1
-----为阈值条件。 为阈值条件。 为阈值条件 ( threshold condition)
25
纵模
• 沿腔轴线光场能量分 布形式。 • 更普遍的是指频率， 或者光波长。
一般激光器为多纵模激光器。
26
xy横向电磁场分布 横向电磁场分布——反射镜面对电磁场的衍射决定。 反射镜面对电磁场的衍射决定。 反射镜面对电磁场的衍射决定 理解反射镜面的衍射损耗！ 理解反射镜面的衍射损耗！
(1) 自再现模：往返一次能再现自身的稳态场分布。 自再现模：往返一次能再现自身的稳态场分布。 (2)往返损耗：自再现模往返一次的损耗。 往返损耗：自再现模往返一次的损耗。 往返损耗
g=
d I ( z) I ( z) d z
9
激光工作介质的增益系数g取决于反转粒子数 反转粒子数 的大小： 的大小：
∆N = N 2 − N1
g∞∆N
光的增益是以消耗反转粒子数为代 价的。 价的。
N2
N1
10
激光基本知识与激光技术课后知识题目解析完全版及勘误表
激光原理与激光技术习题答案《激光原理与激光技术》堪误表见下方习题一(1)为使氦氖激光器的相干长度达到1m ，它的单色性∆λ/λ应为多大？解： 10101032861000106328--⨯=⨯=λ=λλ∆=.L R c(2) λ=5000Å的光子单色性∆λ/λ=10-7，求此光子的位置不确定量∆x解： λ=h p λ∆λ=∆2h p h p x =∆∆ m R p h x 5101050007102=⨯=λ=λ∆λ=∆=∆--(3)CO 2激光器的腔长L=100cm ，反射镜直径D=1.5cm ，两镜的光强反射系数分别为r 1=0.985,r 2=0.8。
求由衍射损耗及输出损耗分别引起的δ、τc 、Q 、∆νc (设n=1)解： 衍射损耗: 1880107501106102262.).(.a L =⨯⨯⨯=λ=δ-- s ..c L c 881075110318801-⨯=⨯⨯=δ=τ 686810113107511061010314322⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=πντ=--....Q cMHz .Hz ...c c 19101910751143212168=⨯=⨯⨯⨯=πτ=ν∆- 输出损耗: 1190809850502121.)..ln(.r r ln =⨯⨯-=-=δ s ..c L c 881078210311901-⨯=⨯⨯=δ=τ 686810964107821061010314322⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=πντ=--....Q c MHz .Hz ...c c 75107510782143212168=⨯=⨯⨯⨯=πτ=ν∆-(4)有一个谐振腔，腔长L=1m ，两个反射镜中，一个全反，一个半反，半反镜反射系数r=0.99，求在1500MHz 的范围内所包含的纵模个数，及每个纵模的线宽(不考虑其它损耗)解： MHz Hz .L c q 150105112103288=⨯=⨯⨯==ν∆ 11]11501500[]1[=+=+ν∆ν∆=∆q q005.0201.02===T δ s c L c 781067.6103005.01-⨯=⨯⨯==δτ MHz cc 24.01067.614.321217=⨯⨯⨯==-πτν∆(5) 某固体激光器的腔长为45cm ，介质长30cm ，折射率n=1.5，设此腔总的单程损耗率0.01π，求此激光器的无源腔本征纵模的模式线宽。
激光原理-第二章光学谐振腔理论(1)
第一节 光学谐振腔的基本知识
2. 作用 光学谐振腔的作用主要有两方面: ① 提供轴向光波模的光学正反馈; 通过谐振腔镜面的反射,轴向光波模可在腔内往 返传播,多次通过激活介质而得到受激辐射 放大, 从而在腔内建立和维持稳定的自激振 荡。光腔的这种光学反馈作用主要取决于 腔镜的反射率、几何形状以及之间的组合 方式。这些因素的改变将引起光学反馈作 用的变化,即引起腔内光波模损耗的变化。
光学谐振腔理论研究的基本问题是: 光频电磁场在腔内的传输规律 从数学上讲是求解电磁场方程的本征函数和 本征值。 由于开放式光腔侧面不具有确定的边界,一般 情况下不能在给定边界条件下对经典电磁场理 论中的波动方程严格求解。因此,常采用一些 近似方法来处理光腔问题。
概述
常用的近似研究方法包括: 1.几何光学分析方法 在几何光学近似下,光的波动性不起主要作用,可将 光看成光线用几何光学方法来处理。 对于光学谐振腔来说,当腔的菲涅耳数远大于1时,光在 其中往返传播时横向逸出腔外的几何损耗远大于由 于腔镜的有限尺寸引起的衍射损耗。此时可用几何 光学的方法来处理腔的模式问题。 这种方法的优点是简便、直观,主要缺点在于不能得 到腔的衍射损耗和腔模特性的深入分析。
2
q
2L ' q 2 L ' ni Li
第一节 光学谐振腔的基本知识
对于非均匀介质： L ' dL ' 0 n( z)dz 2L' cq 所以： q = q
q 2L'
L
平面腔中沿轴向传播的平面波的谐振条件。λq 称为腔 的谐振波长,νq 称为腔的谐振频率。平面腔中的谐振 频率是分立的。 可以将F—P腔中满足的平面驻波场称为腔的本征模式。 其特点是：在腔的横截面内场分布是均匀的，而沿腔的 轴线方向(纵向)形成驻波，驻波的波节数由q决定。通常 将由整数q所表征的腔内纵向场分布称为腔的纵模。不同 的q值相应于不同的纵模。q称为纵模序数。
激光与原理习题解答第二章
激光原理第二章习题答案1．估算2CO 气体在室温(300K)下的多普勒线宽D ν∆和碰撞线宽系数α。
并讨论在什么气压范围内从非均匀加宽过渡到均匀加宽。
解：2CO 气体在室温(300K)下的多普勒线宽D ν∆为11822770693103007.16107.161010.61044 0.05310HzD T M νν---⨯⎛⎫⎛⎫∆=⨯=⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭=⨯ 2CO 气体的碰撞线宽系数α为实验测得，其值为49KHz/Pa α≈2CO 气体的碰撞线宽与气压p 的关系近似为L p να∆=当L D νν∆=∆时，其气压为930.053101081.6Pa 4910Dp να∆⨯===⨯所以，当气压小于1081.6Pa 的时候以多普勒加宽为主，当气压高于1081.6Pa 的时候，变为以均匀加宽为主。
2．考虑某二能级工作物质，2E 能级自发辐射寿命为s τ，无辐射跃迁寿命为τ。
假定在t=0时刻能级2E 上的原子数密度为2(0)n ，工作物质的体积为V ，自发辐射光的频率为ν，求：(1)自发辐射光功率随时间t 的变化规律；(2)能级2E 上的原子在其衰减过程中发出的自发辐射光子数；(3)自发辐射光子数与初始时刻能级2E 上的粒子数之比2η，2η称为量子产额。
解：(1) 在现在的情况下有可以解得：11()22()(0)s tn t n eττ-+=可以看出，t 时刻单位时间内由于自发辐射而减小的能级之上的粒子数密度为2/s n τ，这就是t 时刻自发辐射的光子数密度，所以t 时刻自发辐射的光功率为：222()()s dn t n ndt ττ=-+(2) 在t dt →时间内自发辐射的光子数为：所以(3) 量子产额为：3．根据红宝石的跃迁几率数据：7151332312121310.510,310,0.310,S sA sA s S S ---=⨯=⨯=⨯=估算13W 等于多少时红宝石对694.3nm λ=的光是透明的。
激光基础学习知识原理考试基本概念
第一章1、激光与普通光源相比有三个主要特点：方向性好，相干性好，亮度高。
2、激光主要是光的受激辐射，普通光源主要光的自发辐射。
3、光的一个基本性质就是具有波粒二象性。
光波是一种电磁波，是一种横波。
4、常用电磁波在可见光或接近可见光的范围，波长为0.3~30μm,其相应频率为10^15~10^13。
5、具有单一频率的平面波叫作单色平面波，如果频率宽度Δν<<v 时，这种波叫作准单色波。
6、原子处于最低的能级状态称为基态，能量高于基态的其他能级状态叫作激发态。
7、两个或两个以上的不同运动状态的电子可以具有相同的能级，这样的能级叫作简并能级。
8、同一能级所对应的不同电子运动状态的数目，叫作简并度，用字母g表示。
9、辐射跃迁选择定则（本质：状态一定要改变），原子辐射或吸收光子，不是在任意两能级之间跃迁，能级之间必须满足下述选择定则：a、跃迁必须改变奇偶态；b、ΔJ=0，±1（J=0→J=0除外）；对于采用LS耦合的原子还必须满足下列选择定则：c、ΔL=0，±1（L=0→L=0除外）；d、ΔS=0，即跃迁时S不能发生改变。
10、大量原子所组成的系统在热平衡状态下，原子数按能级分布服从玻耳兹曼定律。
11、处于高能态的粒子数总是小于处在低能态的粒子数，这是热平衡情况的一般规律。
12、因发射或吸收光子从而使原子造成能级间跃迁的现象叫作辐射跃迁，必须满足辐射跃迁选择定则。
13、光与物质的相互作用有三种不同的基本过程：自发辐射，受激辐射，和受激吸收。
14、普通光源中自发辐射起主要作用，激光工作过程中受激辐射起主要作用。
15、与外界无关的、自发进行的辐射称为自发辐射。
自发辐射的光是非相干光。
16、能级平均寿命等于自发跃迁几率的倒数。
17、受激辐射的特点是：a、只有外来光子的能量hv=E2-E1时，才能引起受激辐射。
b、受激辐射所发出的的光子与外来光子的特性完全相同（频率相同，相位相同，偏振方向相同，传播方向相同）。
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第二章开放式光腔与高斯光束1.证明如图2.1所示傍轴光线进入平面介质界面的光线变换矩阵为121 0ηη⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
证明：设入射光线坐标参数为11,rθ，出射光线坐标参数为22,rθ，根据几何关系可知211122,sin sinr rηθηθ==傍轴光线sinθθ则1122ηθηθ=，写成矩阵形式2121121 0r rθθηη⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦得证2.证明光线通过图2.2所示厚度为d的平行平面介质的光线变换矩阵为1210 1dηη⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
证明：设入射光线坐标参数为11,rθ，出射光线坐标参数为22,rθ，入射光线首先经界面1折射，然后在介质2中自由传播横向距离d，最后经界面2折射后出射。
根据1题的结论和自由传播的光线变换矩阵可得212121121 0 1 010 00 1r rdθθηηηη⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦化简后21211210 1dr rθθηη⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦得证。
3．试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。
证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下图所示：其往返矩阵为：由于是共焦腔，则有12R R L ==将上式代入计算得往返矩阵()()()121010110101nnnn n n r L r L ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A B C D T T T T T 可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。
于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。
4.试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。
解：共轴球面腔稳定性条件1201g g <<其中121211,1L Lg g R R =--=- 对平凹共轴球面镜腔有12,0R R =∞>。
则1221,1Lg g R ==-，再根据稳定性条件 1201g g <<可得22011LR R L <-<>⇒。
对双凹共轴球面腔有，120,0R R >>则12121,1L Lg g R R =-=-,根据稳定性条件1201g g << 可得11221212010 01 1R LR L R L R L R R L L R R L<<⎧>⎧⎪<<⎨⎨>⎛⎫⎛⎫<--<⇒ ⎪⎩⎪+> ⎪⎝⎭⎝⎭⎩ 或。
对凹凸共轴球面镜腔有，120,0R R ><则12121,1,0L Lg g R R =-=>-根据稳定性条件1210101122110101A B L L T C D RR ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1001T -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦1201g g << 可得121120111R L R R R L L R L ⎛⎫⎛⎫<--<⇒ ⎪⎪⎝⎭+⎝><⎭⎧⎨⎩。
5. 激光器的谐振腔由一面曲率半径为1m 的凸面镜和曲率半径为2m 的凹面镜组成，工作物质长0.5m ，其折射率为1.52，求腔长L 在什么范围内是稳定腔。
解：设两腔镜1M 和2M 的曲率半径分别为1R 和2R ，121m,2m R R =-= 工作物质长0.5m l =，折射率 1.52η=当腔内放入工作物质时,稳定性条件中的腔长应做等效,设工作物质长为l ,工作物质左右两边剩余的腔长分别为1l 和2l ，则12l l l L ++=。
设此时的等效腔长为L '，则光在腔先经历自由传播横向距离1l ，然后在工作物质左侧面折射，接着在工作物质中自由传播横向距离l ，再在工作物质右侧面折射，最后再自由传播横向距离2l ，则所以等效腔长等于 21()llL l l L l ηη'=++=-+再利用稳定性条件由(1)解出 2m 1m L '>> 则 所以得到：1.17m<2.17m L <6. 图2.3所示三镜环形腔，已知l ，试画出其等效透镜序列图，并求球面镜的曲率半径R 在什么范围内该腔是稳定腔。
图示环形腔为非共轴球面镜腔。
在这种情况下，对于在由光轴组成的平面内传输的子午光线，式(2.2.7)中的(cos )/2F R θ=，对于在与此垂直的平面内传输的弧矢光线，011 1 (1)21L L ''⎛⎫⎛⎫<-+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭10.5(1)0.171.52L L L ''=+⨯-=+21211011101110010100101101L l l l l l l ηηη⎡⎤'⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎤++⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦/(2cos )F R θ=，θ为光轴与球面镜法线的夹角。
图2.1解：22222101011211010111442132221A B l l C D FF l l l l F F F l l Fl F ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤-+-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥⎣⎦()221312l l A D F F+=-+ 稳定条件 223111l lF F-<-+<左边有 22320210l lF Fl l F F -+>⎛⎫⎛⎫--> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以有21l l F F ><或对子午线：对弧矢线： 对子午线和弧矢光线分别代入上述不等式得 子午光线 弧矢光线cos 2R F θ=子午2cos R F θ=弧矢R R <<>或R R <<>或任意光线需同时满足子午线与弧矢线的条件得7. 有一方形孔径的共焦腔氦氖激光器，L =30cm ，方形孔边长20.12cm d a ==，λ=632.8nm ，镜的反射率为121,0.96r r ==，其他的损耗以每程0.003估计。
此激光器能否作单模运转？如果想在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来选择00TEM 模，小孔的边长应为多大？试根据图2.5.5作一个大略的估计。
氦氖增益由公式估算（l 为放电管长度，假设l L ≈）解：01TEM 模为第一高阶横模，并且假定00TEM 和01TEM 模的小信号增益系数相同，用0g表示。
要实现单模运转，必须同时满足下面两个关系式根据已知条件求出腔的菲涅耳数由图2.5.5可查得00TEM 和01TEM 模的单程衍射损耗为氦氖增益由公式计算。
代入已知条件有0e 1.075g l =。
将0e g l、00δ、01δ、1r 和2r 的值代入I 、II 式，两式的左端均近似等于1.05，由此可见式II 的条件不能满足，因此该激光器不能作单模运转。
为了获得基模振荡，在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来增加衍射损耗。
若满足II 式的条件，则要求010.047δ>根据图2.5.5可以查出对应于01δ的腔菲涅耳数 '0.90N < 由菲涅耳数的定义可以算出相应的小孔阑的边长923R R <<>或04e1310g lld-=+⨯00001e 0.003) 1 I e 0.003) 1 IIg g δδ-->--<2270.06 1.930632.810a N L λ-===⨯⨯8.37006011010δδ--≈≈04e 1310g l L d-=+⨯220.83mma==同理利满足I式的条件可得20.7mma>因此，只要选择小孔阑的边长满足0.720.83mmmm a<<即可实现00TEM模单模振荡。
8．试求出方形镜共焦腔面上30TEM模的节线位置，这些节线是等距分布的吗？解：在厄米-高斯近似下，共焦腔面上的30TEM模的场分布可以写成令X=，则I式可以写成()22(/)30303(,)H ex yLv x y C Xλπ+-=式中()3H X为厄米多项式，其值为()33H8-12XX X=由于厄米多项式的零点就是场的节点位置，于是令()3H0X=，得1230;X X X===考虑到0sω=所以，30TEM模在腔面上有三条节线，其x坐标位置分别在0和0s/2处，节线之间0s/2；而沿y方向没有节线分布。
9. 求圆形镜共焦腔20TEM和02TEM模在镜面上光斑的节线位置。
解：在拉盖尔—高斯近似下，可以写成如下的形式()⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-ϕϕωωϕυωmmerLrCr srsnmmsmnmn sincos22,20222对于mnTEM，两个三角函数因子可以任意选择，但是当m为零时，只能选余弦，否则无意义对于20TEM：()⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-ϕϕωωϕυω2sin2cos22,20222222020srsserLrCr22(/)30303(,)H e Ix yLv x y Cλπ+-⎫=⎪⎪⎭120s30s0;;x x x===并且1220220=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s r L ω，代入上式，得到()⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-ϕϕωϕυω2sin 2cos 2,202202020sr s e r C r ， 取余弦项，根据题中所要求的结果，我们取()02cos 2,202202020=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-ϕωϕυωsr s e r C r ，就能求出镜面上节线的位置。
即43,402cos 21πϕπϕϕ==⇒=同理，对于02TEM ，()202202202020220202000202222,ssr sr s s e r L C e r L r C r ωωωωωϕυ--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=404202202022412s s s r r r L ωωω+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，代入上式并使光波场为零，得到()02412,202404202000202=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-sr s s s er r r C r ωωωωϕυ显然，只要0241240420220202=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s s s r r r L ωωω即满足上式镜面上节线圆的半径分别为：s s r r 0201221,221ωω-=+= 10. 今有一球面腔，1 1.5m R =，21m R =-，80cm L =。
试证明该腔为稳定腔；求出它的等价共焦腔的参数；在图上画出等价共焦腔的具体位置。
解：该球面腔的g 参数为由此，120.85g g =，满足谐振腔的稳定性条件1201g g <<，因此，该腔为稳定腔。