华南理工大学《材料力学》轴向拉压的强度和变形
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WYQ09-10(下)材料力学第二章轴向拉压的强度条件和变形
第二章 轴向拉伸和压缩
结点A的位移
1 由 PΔA Vε 知 2
2Vε 2 64 .67 N m ΔA P 100 10 3 N 1.293 10 3 m 1.293 mm ()
第二章 轴向拉伸和压缩
§2-6 材料在拉伸和压缩时的力学性能
Ⅰ. 材料的拉伸和压缩试验
d d d 1.9 10 -4 0.2 m 3.8 10 -5 m 0.038 mm
第二章 轴向拉伸和压缩
例题2-5 如图所示杆系，荷载 P = 100 kN，试求结点A 的位移ΔA。已知： = 30° ，l = 2 m，d = 25 mm，杆的材
料(钢)的弹性模量为E = 210 GPa。
l1 l2 Pl ΔA cos cos 2 EA cos2
第二章 轴向拉伸和压缩
从而得
(100 10 3 N)( 2 m) ΔA π 9 2(210 10 Pa )[ (25 10 3 m) 2 ] cos2 30 4 1.293 10 3 m 1.293mm ()
1）求钢索内力：以ABCD为对象
mA T sin 60o 0.8 1.2 P 1.6T sin 60o 0
800 XA A YA
400 T
T P / 3 11 .55kN
B
D
2) 钢索的应力和伸长分别为：
T 11.55 109 151MPa A 76.36
p sin
正应力和切应力的正负规定：
()
0
2
sin 2
()
()
()
第二章 轴向拉伸和压缩
k
F F F
华南理工大学材料力学-轴向拉压的强度和变形
2
2 E1 A1 cos a FN3 3 L3 1 2cos a E1 A1 / E3 A3
3
乐考无忧，考研我有！
已知： 1、2号杆的尺寸及材料都相同，当结构 温度由T1变到T2时,求各杆的温度内力。 （各杆的线膨胀系数分别为ai ; △T= T2 -T1)
②设计截面尺寸
③许可载荷：
Amin
N max [ ]
N max A
乐考无忧，考研我有！
160MPa, 杆2为木， 7MPa 杆1为钢， 2 2 P A1 10 cm , A2 20 cm 求：
1 2
（3）位移的计算
x A AA2 l2 0.24 103 m y A AE EA3 l1 l2 sin tan 0.48 0.24 1.376 103 m sin 30 tan 30
乐考无忧，考研我有！
平衡方程:
B
3 1 D C 2
FN1
F F
x
N1
sin FN2 sin 0
A
F
y
FN1 cos FN2 cos FN3 0
FN2
FN3
物理方程：
FNi Li Li T ai Li Ei Ai
L2
L3
A1
L1
a a
A P
乐考无忧，考研我有！
例3-3 求杆的总伸长
x
Al
（1）内力
FN x xAl
A
（2）
d l
dx
的变形
l
dx
FN x
x
A
O
2 E1 A1 cos a FN3 3 L3 1 2cos a E1 A1 / E3 A3
3
乐考无忧，考研我有！
已知： 1、2号杆的尺寸及材料都相同，当结构 温度由T1变到T2时,求各杆的温度内力。 （各杆的线膨胀系数分别为ai ; △T= T2 -T1)
②设计截面尺寸
③许可载荷：
Amin
N max [ ]
N max A
乐考无忧，考研我有！
160MPa, 杆2为木， 7MPa 杆1为钢， 2 2 P A1 10 cm , A2 20 cm 求：
1 2
（3）位移的计算
x A AA2 l2 0.24 103 m y A AE EA3 l1 l2 sin tan 0.48 0.24 1.376 103 m sin 30 tan 30
乐考无忧，考研我有！
平衡方程:
B
3 1 D C 2
FN1
F F
x
N1
sin FN2 sin 0
A
F
y
FN1 cos FN2 cos FN3 0
FN2
FN3
物理方程：
FNi Li Li T ai Li Ei Ai
L2
L3
A1
L1
a a
A P
乐考无忧，考研我有！
例3-3 求杆的总伸长
x
Al
（1）内力
FN x xAl
A
（2）
d l
dx
的变形
l
dx
FN x
x
A
O
工程力学(材料力学)6拉压杆件的强度与变形问题
机械制造中的拉压杆件
机械制造中的拉压杆件主要用于 实现运动传递、力的传递和变形 等，如连杆、活塞杆、传动轴等。
这些杆件需要在高速、高温、重 载等极端条件下工作，因此需要 具备优异的力学性能和耐久性。
在机械制造中，拉压杆件的设计 和制造需要精确控制尺寸、形状 和材料，以确保其工作性能和可
靠பைடு நூலகம்。
其他工程领域中的拉压杆件
总结词
新型材料如碳纤维复合材料、钛合金等具有高强度、轻质等优点，在拉压杆件中得到广 泛应用。
详细描述
随着科技的不断发展，新型材料如碳纤维复合材料、钛合金等逐渐应用于拉压杆件的制 作。这些新型材料具有高强度、轻质、耐腐蚀等优点，能够提高杆件的力学性能和使用
寿命。
高性能的拉压杆件设计
总结词
通过优化设计，可以显著提高拉压杆件的性能。
刚度分析
对杆件的刚度进行分析， 可以确定其变形程度和承 载能力，为结构设计提供 依据。
拉压杆件的稳定性问题
稳定性定义
01
稳定性是指杆件在受到载荷作用时，保持其平衡状态的能力。
稳定性分析
02
通过稳定性分析，可以确定杆件在受到载荷作用时是否会发生
失稳现象，以及失稳的临界载荷。
稳定性要求
03
在工程应用中，杆件的稳定性需要满足一定的要求，以保证结
强度失效准则
当拉压杆件内部的应力达到或超过材料的屈服极限时，杆件会发生屈服失效， 丧失承载能力。
拉压杆件的强度计算
静力分析
根据外力的大小和方向，以及杆件的几何尺寸和材料属性，计算杆件内部的应力 分布。
动力分析
考虑动载荷的影响，分析杆件在振动、冲击等动态过程中的应力变化。
拉压杆件的强度校核
材料力学轴向拉压
σ
σ
α
2.3 拉压杆的变形
一、拉压杆的轴向变形
F
F
l
l1
b
b1
轴向变形
轴向线应变 拉为正
实验表明，当 F 在一定的范围时，有：
FN
FN
胡克定律, E 称弹性模量或杨氏模量, 与应力有相同的量刚,EA 称杆的拉压刚度。
2.3 拉压杆的变形
b1 横向变形 横向线应变 弹性模量 E 和泊松比μ都是材料的弹性常数，由实验测得。
即 横向线应变与轴向线应变恒异号，两者之比的绝对值为一常数，称为泊松比。
二、拉压杆的横向变形
实验表明，在胡克定律适用的范围时，有：
F
l1
b
l
F
例：图示等截面直杆，横截面面积为A，弹性模量E，自重为W。杆的自由端受轴向力F作用，考虑杆的自重影响，求自由端 B 及杆中截面C 的轴向位移。
F
l/2
l/2
一、外力作用下的超静定问题 例：图示结构由刚性杆AB及两弹性杆件EC 及FD 组成，在B端受力 F 作用。两弹性杆的拉压刚度分别为E1A1 和E2A2 。试求杆EC 和 FD 的内力。
A
D
C
B
E
F
F
l / 3
l / 3
l / 3
a
E1A1
E2A2
C`
D`
A
FHA
FVA
B
FN2
F
FN1
解：一次超静定问题，取AB 杆为研究对象
当曲柄为铅直位置时轴力(值)最大
(受压)
确定连杆截面尺寸：
θmax
例：图示三角托架。在节点A受铅垂载荷F作用，其中钢拉杆AC由两根№6.3（边厚为6mm）等边角钢组成，AB杆由两根№10工字钢组成。材料为Q235钢，许用拉应力[σt]=160MPa，许用压应力[σc]=90MPa ，试确定许用载荷[ F ]。
轴向拉伸与压缩—轴向拉(压)杆的强度条件及其应用(材料力学)
（1）取销钉C为研究对象，受力分析如下：
Fx 0 FCBx FCA 0 FCB 72kN
Fy 0 FCBy F 0
FCA 62.3kN
FCA
FCB F
2.9 拉（压）杆的强度条件及其应用
（2）内力分析,由于杆AC，CB是二力杆，所以 FNAC FAC 62.3kN （拉力）
FNBC FBC 72kN （压力）
（3）强度校核
AC
FNAC AAC
62.35 103
2
100
6.235 MPa
1
10MPa
BC
FNBC ABC
72 103 3.14 10 2
229 MPa
2 160 MPa
229160 100% 43% 5% 160
（4）结论 AC杆满足强度要求，但是BC杆不满足强度要求。
2.9 拉（压）杆的强度条件及其应用
三、工作应力
杆件在荷载作用下所产生的应力，称为工作应力。对于
拉压杆，横截面上的工作应力为：
FN
A
极限应力、许用应力、工作应力的关系：
极限应力、许用 应力、工作应力 三者的关系？
u
n
2.9 拉（压）杆的强度条件及其应用
四、强度条件
为保证构件不发生强度破坏，应使杆的最大工作应力小于等 于许用应力，即
max
这就是拉（压）杆的强度条件。对于等截面拉（压）杆，强
度条件为：
max
FN，m a x A
2.9 拉（压）杆的强度条件及其应用
根据强度条件，可以进行三方面的计算：
（1） 强度校核 比较 与 max 的大小；
（2） 截面选择 根据外力与许用应力条件确定截面尺寸 （3） 许用荷载 已知截面形状、尺寸和许用应力，确定
工程力学-第7章-轴向拉压杆件的强度与变形计算
广
州
轴向拉压杆横截面上的应力
汽
轴向拉压杆斜截面上的应力
车
轴向拉压杆的变形计算 胡克定律
学
轴向拉压杆的强度计算
院
3
Guang Zhou Auto College
工程力学
第7章 轴向拉压杆件的强度与变形计算
广 州
轴向拉压杆横截面上的应力
汽 车 学 院
4
工程力学
第7章 轴向拉压杆件的强度与变形计算
了确定直杆横截面上的最大
汽
正应力和杆的总变形量，必
须首先确定各段杆的横截面
车
上的轴力。
应用截面法，可以确
学
定AD、DEB、BC段杆横
截面上的轴力分别为：
院
FNAD＝－2FP＝120 kN；
FNDE＝FNEB＝－FP＝60 kN；
FNBC＝－FP＝60 kN。
32
7-3轴向拉压杆的变形计算 胡克定律
数学模型经过简化
某些不可预测的因素
# 构件必须适应工作条件的变化，要有强度储备
# 考虑安全因素
极
•材料的极限应力是指保证 正常工作条件下，该材料 所能承受的最大应力值。
0
限 应
力
所谓正常工作，一是不发生过大的塑性变形，二是不断裂破坏。
7-4轴向拉压杆的强度计算
工程力学
Guang Zhou Auto College
广 州 汽 车 学 院
7
Guang Zhou Auto College
工程力学
第7章 轴向拉压杆件的强度与变形计算
广 州 汽
斜拉桥承受拉力的钢缆 车 学 院
8
Guang Zhou Auto College
材料力学-第3章 轴向拉压变形
dz
微元应变能
1 dVε = σ dxdz ⋅ ε dy 2
σ dxdz ~ ε dy
dy
x
σ
应变能密度 vε =
z
σε
2
=
σε
2
⋅ dxdydz
σ = Eε
vε =
σ2
2E
36
材料力学－第3章 轴向拉压变形
拉压与剪切应变能
应变能密度（比能） vε的计算公式
2E 适用于所有单一方向存在应力的情况
vp = σp2 / 2E 称为材料的回弹模量， σp —材料 的比例极限 应变能密度的单位为 J/m3（焦耳/米3）
拉压杆的变形与胡克定律
总结：描述材料变形特征的材料常数有哪几个？
1. 弹性模量 2. 泊松比 3. 剪切模量
σ
dx dx + ε dx
σ
ε=
σ
E
E
τ
µσ ε′ = = − µε −
γ
τ
τ = Gγ
三个常数之间的相互关系：
E G= 2(1 + µ )
8
材料力学－第3章 轴向拉压变形
拉压杆的变形与胡克定律
C ⇒ C ′′ C ′′ ⇒ C ′
( 4 F + 2 F2 ) l ′′ =CD = 1 因为：CC ∆l EA cos 30° CC ′′ CC ′= = 2∆lCD 所以： sin 30°
∠CC ′C ′′ = = ∠BCD 30°
AA′= 2CC ′= 4∆lCD
29
材料力学－第3章 轴向拉压变形
∆
δ
31
材料力学－第3章 轴向拉压变形
拉压与剪切应变能
•
物体因变形而储存在物体内部的能量称为物体的变形能 或应变能。用 Vε 表示。 由于外力是缓慢作用到物体上的（静荷载），可以忽略 物体动能的改变，在弹性变形范围内，物体无热能的改 变，故由能量守恒原理可知：外力在变形过程中所做的 功等于物体的变形能（应变能） 即： Vε = W
微元应变能
1 dVε = σ dxdz ⋅ ε dy 2
σ dxdz ~ ε dy
dy
x
σ
应变能密度 vε =
z
σε
2
=
σε
2
⋅ dxdydz
σ = Eε
vε =
σ2
2E
36
材料力学－第3章 轴向拉压变形
拉压与剪切应变能
应变能密度（比能） vε的计算公式
2E 适用于所有单一方向存在应力的情况
vp = σp2 / 2E 称为材料的回弹模量， σp —材料 的比例极限 应变能密度的单位为 J/m3（焦耳/米3）
拉压杆的变形与胡克定律
总结：描述材料变形特征的材料常数有哪几个？
1. 弹性模量 2. 泊松比 3. 剪切模量
σ
dx dx + ε dx
σ
ε=
σ
E
E
τ
µσ ε′ = = − µε −
γ
τ
τ = Gγ
三个常数之间的相互关系：
E G= 2(1 + µ )
8
材料力学－第3章 轴向拉压变形
拉压杆的变形与胡克定律
C ⇒ C ′′ C ′′ ⇒ C ′
( 4 F + 2 F2 ) l ′′ =CD = 1 因为：CC ∆l EA cos 30° CC ′′ CC ′= = 2∆lCD 所以： sin 30°
∠CC ′C ′′ = = ∠BCD 30°
AA′= 2CC ′= 4∆lCD
29
材料力学－第3章 轴向拉压变形
∆
δ
31
材料力学－第3章 轴向拉压变形
拉压与剪切应变能
•
物体因变形而储存在物体内部的能量称为物体的变形能 或应变能。用 Vε 表示。 由于外力是缓慢作用到物体上的（静荷载），可以忽略 物体动能的改变，在弹性变形范围内，物体无热能的改 变，故由能量守恒原理可知：外力在变形过程中所做的 功等于物体的变形能（应变能） 即： Vε = W
工程材料力学第六章轴向拉压时的强度计算
P N1
N2 l
N2
20
P
P
解. ①静力平衡（端板）：
SF X=0 N1+ N2 - P=0 (1)
0.5N2 N1 0.5N2
P
21
⑵变形协调方程：
l
l = l1 = l2
物理方程：
N1 l △l1= ——— E1 A1 N2 l △l 2= ———— E2 A2 l
即：
N1l N 2l E1 A1 E 2 A2
………⑵
22
⑶联立解⑴、⑵两式，得：
l
PE1A1 N1= ———— E1A1+ E2A2 PE2A2 N2= ———— E1A1+ E2A2
l
23
例2： 1、2两杆有相同的 抗拉压 刚度EA， 长度为L，3杆的抗 拉压刚度为E3A3。 α 、P 也为已知。 求：1、2、3三杆的内力及应力
24
B
度条件求杆件横截面面积或尺寸。 FN ,max A [ ] (3) 确定荷载 已知拉(压)杆材料和横截面尺寸，按
强度条件确定杆所能容许的最大轴力，进而计算许可荷载。 FN,max=A[] ，由FN,max计算相应的荷载。
4
强度破坏实例
实例1：高压容器螺栓断裂 实例2：甘肃500人拔河 钢丝绳断裂，伤14人，4人重伤
L2
2 E1 A1 cos3 N3 L3 1 2 cos3 E1 A1 / E3 A3
36
应力集中的概念
应力集中（stress concentration）：
由于杆件横截面骤然变化而引起的应力局部骤然增大。
37
理论应力集中因数： 按线弹性理论或相应的数值方法得出的最大局部应力
华南理工大学物理化学工程力学(48学时)主要公式
工程力学(48学时)主要公式1.外力偶矩计算公式（P功率，n转速）2.弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式3.轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式（杆件横截面轴力F N，横截面面积A，拉应力为正）4.轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式（夹角a 从x轴正方向逆时针转至外法线的方位角为正）5.纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距l，拉伸后试样标距l1；拉伸前试样直径d，拉伸后试样直径d1）纵向线应变和横向线应变泊松比6.胡克定律7.受多个力作用的杆件纵向变形计算公式8.承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算公式9.轴向拉压杆的强度计算公式10.许用应力，脆性材料，塑性材料11.延伸率12.截面收缩率13.剪切胡克定律（切变模量G，切应变γ）14.拉压弹性模量E、泊松比和切变模量G之间关系式15.圆截面对圆心的极惯性矩（a）实心圆（b）空心圆16.圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩T，所求点到圆心距离r）17.圆截面周边各点处最大切应力计算公式18.扭转截面系数，（a）实心圆（b）空心圆19.薄壁圆管（壁厚δ≤ R0 /10 ，R0为圆管的平均半径）扭转切应力计算公式20.圆轴扭转角与扭矩T、杆长l、扭转刚度GI p的关系式21.同一材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的直径不同（如阶梯轴）时22.等直圆轴强度条件扭转圆轴的刚度条件或组合图形的形心坐标计算公式23.任意截面图形对一点的极惯性矩与以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和的关系式24.截面图形对轴z和轴y的惯性半径25.平行移轴公式（形心轴z c与平行轴z1的距离为a，图形面积为A）26.纯弯曲梁的正应力计算公式27.横力弯曲最大正应力计算公式28.矩形、圆形、空心圆形的弯曲截面系数29.几种常见截面的最大弯曲切应力计算公式（为中性轴一侧的横截面对中性轴z的静矩，b为横截面在中性轴处的宽度）30.矩形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处31.工字形截面梁腹板上的弯曲切应力近似公式32.轧制工字钢梁最大弯曲切应力计算公式33.圆形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处34.圆环形薄壁截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处35.弯曲正应力强度条件36.几种常见截面梁的弯曲切应力强度条件37.梁的挠曲线近似微分方程38.梁的转角方程39.梁的挠曲线方程40.剪切实用计算的强度条件41.挤压实用计算的强度条件。
华南理工大学 材料力学 习题答案——第二版
解题思路： （1）由式（2－1）求 A、B、C、D 轮上的扭转外力偶矩。 （2）分别列出 AB、BC、CD 三段的扭矩方程。 （3）按扭矩方程作出扭矩图。 （4）将轮 C 与轮 D 对调，分析最大扭矩值并判断是否有利 答案： （1）T1＝955 N m ，T2＝1671 N m ，T1＝－1194 N m （2）不利。 2－6 一钻探机的功率为 10 kW，转速 n =180 r/min。钻杆钻入土层的深度 l= 40m。若土壤对 钻杆的阻力可看作是均匀分布的力偶，试求分布力偶的集度 m，并作钻杆的扭矩图。
解题思路： （1）由式（2－1）求扭转外力偶矩。 （2）求分布力偶矩集度 m。 （3）作扭矩图。 答案：m=13.26Nm/m 2－8（a） 、 （c） 、 （e） 、 （g） 、 （h）试列出图示各梁的剪力方程和弯矩方程。作剪力图和弯矩 图，并确定 Fs max 及 M max 值。
解题思路：略 答案： （a）FSmax＝2ql ，Mmax＝3ql2/2 ； （c）FSmax＝5FP/3 ，Mmax＝5 FP a/3 ； （e）FSmax＝2FP ，Mmax＝FP a ； （g）FSmax＝2qa ，Mmax＝qa2 ； （h）FSmax＝3qa/8 ，Mmax＝9qa2/128 。 2－9（a） 、 （c） 、 （ d） 、 （ f） 、 （ g） 、 （ i） 、 （k ） 、 （ l） 、 （m）试用简易法作图示各梁的剪力图和 弯矩图，并确定 Fs max 及 M max 值，并用微分关系对图形进行校核。
解题思路： （1）分段用截面法求轴力并画轴力图。 （2）由式（3－1）求 AB、BC 两段的应力。 （3）令 AB、BC 两段的应力相等，求出 F2。 答案：F2＝62.5kN
3－5 变截面直杆如图所示。已知 A1＝8cm2，A2＝4cm2，E＝200GPa 。求杆的总伸长量。
《材料力学》第三章 轴向拉压变形
-3（共 4 页）
第三章 轴向拉压变形
*四、温度应力、装配应力 一）温度应力：由温度引起杆变形而产生的应力（热应力） 。 温度引起的变形量—— L tL 1、静定问题无温度应力。 2、超静定问题存在温度应力。 二）装配应力——预应力、初应力：由于构件制造尺寸产生的制造误差，在装配时产生变形而引起的应 力。 1、静定问题无装配应力 2、超静定问题存在装配应力。 轴向拉压变形小结 一、拉压杆的变形（重点） 1、轴向变形：轴向尺寸的伸长或缩短。 2、横向变形：横向尺寸的缩小或扩大。 3、横向变形系数（泊松比） ： 4、变形——构件在外力作用下或温度影响下所引起的形状尺寸的变化。 5、弹性变形——外力撤除后，能消失的变形。 6、塑性变形——外力撤除后，不能消失的变形。 3、横向变形系数 7、位移——构件内的点或截面，在变形前后位置的改变量。 8、正应变——微小线段单位长度的变形。
4、求变形： L
FN L EA
LAB
FNAB LAB 240 3.4 104 2.67(m m) EAAB 2.114.54
LCD 0.91mm LEF 1.74mm
5、求位移,变形图如图
LGH 1.63mm
D
LEF LGH DG LGH 1.70 mm EG
第三章 轴向拉压变形
第三章
一、概念 1、轴向变形：轴向尺寸的伸长或缩短。 2、横向变形：横向尺寸的缩小或扩大。 二、分析两种变形
轴向拉压变形
§3—1 轴向拉压杆的变形
b
L F F
b1
L1
1、轴向变形：Δ L=L1-L ，
L L F L （2） 、在弹性范围内： L N A
（1） 、轴向正应变线应变：
第三章 轴向拉压变形
*四、温度应力、装配应力 一）温度应力：由温度引起杆变形而产生的应力（热应力） 。 温度引起的变形量—— L tL 1、静定问题无温度应力。 2、超静定问题存在温度应力。 二）装配应力——预应力、初应力：由于构件制造尺寸产生的制造误差，在装配时产生变形而引起的应 力。 1、静定问题无装配应力 2、超静定问题存在装配应力。 轴向拉压变形小结 一、拉压杆的变形（重点） 1、轴向变形：轴向尺寸的伸长或缩短。 2、横向变形：横向尺寸的缩小或扩大。 3、横向变形系数（泊松比） ： 4、变形——构件在外力作用下或温度影响下所引起的形状尺寸的变化。 5、弹性变形——外力撤除后，能消失的变形。 6、塑性变形——外力撤除后，不能消失的变形。 3、横向变形系数 7、位移——构件内的点或截面，在变形前后位置的改变量。 8、正应变——微小线段单位长度的变形。
4、求变形： L
FN L EA
LAB
FNAB LAB 240 3.4 104 2.67(m m) EAAB 2.114.54
LCD 0.91mm LEF 1.74mm
5、求位移,变形图如图
LGH 1.63mm
D
LEF LGH DG LGH 1.70 mm EG
第三章 轴向拉压变形
第三章
一、概念 1、轴向变形：轴向尺寸的伸长或缩短。 2、横向变形：横向尺寸的缩小或扩大。 二、分析两种变形
轴向拉压变形
§3—1 轴向拉压杆的变形
b
L F F
b1
L1
1、轴向变形：Δ L=L1-L ，
L L F L （2） 、在弹性范围内： L N A
（1） 、轴向正应变线应变：
第7章 轴向拉压杆件的强度与变形计算
l l1 l 2 l 3 F N 1 l1 F N 2 l 2 F N 3 l 3 EA 0 . 065 mm
• 例7-3
如图所示等直杆，设杆长为l，杆件横截 面面积为A，材料容重为γ，试求全杆由自重引起 的总伸长量。 解：（1）受力分析，
F N x xA
F x 0,
FP sin
Fy 0
（拉力）
FN1
80 kN
F N 2 F N 1 cos 69 . 7 kN （压力）
（2）求各杆变形
l1 l 2 FN 1 l1 E1 A1 FN 2 l 2 E 2 A2 4 FN 1 l1 E1d
2
0.48 10
主要内容
• • • • • 轴向拉压杆横截面上的应力 轴向拉压杆斜截面上的应力 轴向拉压杆的变形计算 胡克定律 轴向拉压杆的强度计算 拉压超静定问题
7.1 轴向拉压杆横截面上的应力
• 轴力FN是截面上轴向分布内力的合力
FN
dA
A
– 外力合力的作用线与杆轴重合。 – 材料是均匀连续的。
2
p sin cos sin
sin 2
– 通过杆内任一点不同方位截面上的正应力和 切应力将随着截面的方位角变化。
0, max , 0
最大正应力发生在横截面上
2
45 ,
o
,
max 2 min 2
7.2 轴向拉压杆斜截面上的应力
• 截面法
Fx 0
F N F P
• 斜截面上各点的总应力
材料力学轴向拉伸和压缩第4节 强度条件
截面面积。
解： 1）求各杆 的轴力：
取节点 C为研究对 象, 作出其 受力图
1）求各杆的轴力
n
Fix 0
i1 n
Fiy 0
i1
FN1 cos 30 FN2 cos 30 0 FN1 sin 30 FN1 sin 30 F 0
解得： FN1 F 50 kN（拉） FN 2 50 kN（压）
4 12 3.14
.5 10 3 45 106
m
18.8 mm
FN FN
例2-5 如图所示一结构由钢杆1和铜杆2在A、B、 C处铰接而成，在节点A点悬挂一个G = 20kN的重物。 钢杆AB的横截面面积为A1 = 75mm2，铜杆的横截面
面积为A2 = 150mm2。材料的许用应力分别为[1]=160 MPa，[2] = 98MPa，试校核此结构的强度。
2）求各杆横截面上的应力
1
FN1 A1
139 ΜΡa
[1]
2
FN2 A2
97.6 ΜΡa
[ 2 ]
故：此结构的强度足够。
例2-6 如图所示，三角架受载荷F = 50kN作用，
AC 杆是钢杆，其许用应力[1] = 160MPa；BC杆的材 料是木材，其许用应力[2] = 8MPa，试设计两杆的横
即屈服极限 s 。
• 脆性材料的强度极限 b 、塑性材料屈服极限 s
称为构件失效的极限应力。
二、安全系数的概念
为了保证构件具有足够的强度，构件在外力作 用下的最大工作应力必须小于材料的极限应力。在 强度计算中，把材料的极限应力除以一个>1的系数 n — 称为安全系数，作为构件工作时所允许的最大
解： 1）求各杆 的轴力：
取节点 C为研究对 象, 作出其 受力图
1）求各杆的轴力
n
Fix 0
i1 n
Fiy 0
i1
FN1 cos 30 FN2 cos 30 0 FN1 sin 30 FN1 sin 30 F 0
解得： FN1 F 50 kN（拉） FN 2 50 kN（压）
4 12 3.14
.5 10 3 45 106
m
18.8 mm
FN FN
例2-5 如图所示一结构由钢杆1和铜杆2在A、B、 C处铰接而成，在节点A点悬挂一个G = 20kN的重物。 钢杆AB的横截面面积为A1 = 75mm2，铜杆的横截面
面积为A2 = 150mm2。材料的许用应力分别为[1]=160 MPa，[2] = 98MPa，试校核此结构的强度。
2）求各杆横截面上的应力
1
FN1 A1
139 ΜΡa
[1]
2
FN2 A2
97.6 ΜΡa
[ 2 ]
故：此结构的强度足够。
例2-6 如图所示，三角架受载荷F = 50kN作用，
AC 杆是钢杆，其许用应力[1] = 160MPa；BC杆的材 料是木材，其许用应力[2] = 8MPa，试设计两杆的横
即屈服极限 s 。
• 脆性材料的强度极限 b 、塑性材料屈服极限 s
称为构件失效的极限应力。
二、安全系数的概念
为了保证构件具有足够的强度，构件在外力作 用下的最大工作应力必须小于材料的极限应力。在 强度计算中，把材料的极限应力除以一个>1的系数 n — 称为安全系数，作为构件工作时所允许的最大
轴向拉压杆的强度与变形计算-48
32
31
轴向拉压杆的强度与变形计算
强度条件
CB、EF杆截面相同，受 力大的EF杆为危险杆
FN 2 1.9 FN 4 [ ] [ ] d2 d2 4 3.14 30 2 10 6 160 10 6 FP 59.52 10 3 N 1 .9 4
规定 斜截面方位角 以从轴正向 规定：斜截面方位角 逆时转至其外法线为正。
由
F
x
0
FN FP FN
斜截面上的应力
5
p
FN F N cos cos A cos A
6
1
轴向拉压杆斜截面上的应力
垂直于斜截面的正应力
p cos cos 2
FA FB FP 0
一次超静定问题
3 1 2
杆上、下端固定，受力后杆件的总长 度不改变
l l AC lCB 0
FP
变形协调条件或变形协调方程
35 36
6
拉压超静定问题
拉压超静定问题
在线弹性范围内，应用胡克定律
F l F l l AC l1 N1 1 A 1 EA EA FN 2 l 2 FB l 2 lCB l 2 EA EA
FN i l i EAi
l l1 l 2 l 3
FN1 l1 FN 2 l 2 FN 3 l 3 EA (6 10 3 )(1) - (2 10 3 )(2) (3 10 3 )(1.5) (2 109 )(500 10-6 ) 65 10 6 m 0.065 mm
– l和d — 分别表示杆件变形前的长度和直径； – l1和d1— 分别表示杆件变形后的长度和直径。
31
轴向拉压杆的强度与变形计算
强度条件
CB、EF杆截面相同，受 力大的EF杆为危险杆
FN 2 1.9 FN 4 [ ] [ ] d2 d2 4 3.14 30 2 10 6 160 10 6 FP 59.52 10 3 N 1 .9 4
规定 斜截面方位角 以从轴正向 规定：斜截面方位角 逆时转至其外法线为正。
由
F
x
0
FN FP FN
斜截面上的应力
5
p
FN F N cos cos A cos A
6
1
轴向拉压杆斜截面上的应力
垂直于斜截面的正应力
p cos cos 2
FA FB FP 0
一次超静定问题
3 1 2
杆上、下端固定，受力后杆件的总长 度不改变
l l AC lCB 0
FP
变形协调条件或变形协调方程
35 36
6
拉压超静定问题
拉压超静定问题
在线弹性范围内，应用胡克定律
F l F l l AC l1 N1 1 A 1 EA EA FN 2 l 2 FB l 2 lCB l 2 EA EA
FN i l i EAi
l l1 l 2 l 3
FN1 l1 FN 2 l 2 FN 3 l 3 EA (6 10 3 )(1) - (2 10 3 )(2) (3 10 3 )(1.5) (2 109 )(500 10-6 ) 65 10 6 m 0.065 mm
– l和d — 分别表示杆件变形前的长度和直径； – l1和d1— 分别表示杆件变形后的长度和直径。
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几何方程
L1 L2
物理方程
L1
FN1L1 E1 A1
FN2 L2 E2 A2
L2
P y
4FN1 FN2
解得：
FN1 0.07P ; FN2 0.72P
FN1 0.07P A11
A1=3.086cm2
P1 A11/ 0.07 308.6 160 / 0.07 705.4kN FN2 0.72P A2 2
24
d D
p
6
D
1 0.0645494D 22.59mm 6 40
* 三铰屋架，q =4.2kN/m，屋架中的钢拉杆直径
d =16 mm，[]=170M Pa。 校核钢拉杆的强度。
q
钢拉杆 8.5m
q
F Ax
F Ay A
C
钢拉杆 8.5m
由平衡方程求得：
F 0 Ax F 19.5KN Ay
P2 A22/ 0.72 2502 12 / 0.72 1042kN
已知： 3号杆的尺寸误差为，
A L3
0
A1
求： 各杆的装配内力。
B
3D C
1 aa 2
A1
A
FN3
FN1 a a FN2
A1
平衡方程: L1 L2
A
Fx FN1 sina FN2 sina 0
Fy FN1 cosa FN2 cosa FN3 0
P
P
L
L L
L NL
A
P
P
L
L L
2、胡克定律
* 在线弹性范围内
L NL EA
虎克定律
P
3、应变
L L1 L
LL
L NL EA
P
L
L L
纵向线应变
E
4、横向线应变
d d1 d
d
d
关系
Poisson ' s ratio
例3-3 求A点的位移
B
（1）内力
FN1
FN2
E1A1P cos2 a 2E1A1 cos3 a E3A3
;
FN3
E3 A3P
2E1A1 cos3 a
E3 A3
已知：角钢和木材：[]1=160M Pa和[]2=12MPa
E1=200GPa E2 =10GPa；求许可载荷P。 平衡方程:
P y
4FN1 FN2
Fy 4FN1 FN2 P 0
Fy FN1 cosa FN2 cosa FN3 P 0
B
几何方程——变形协调方程：
D
C
3
1 aa 2
L1 L3 cosa
物理方程——弹性定律：
A
L2 L3
L1
L1
FN1L1 E1 A1
L3
FN3L3 E3 A3
FN1L1 FN3L3 cosa
A1
E1 A1
E3 A3
L3 L1 cosa
* 装配应力
2，方法
* 建立变形协调方程
利用：几何变形关系、物理关系、 静力平衡关系
已知： L1=L2、 L3 =L ； A1=A2=A、 A3 ，
E1=E2=E、E3 求： 各杆的内力
B
D
C
3
1 aa 2
FN3
取节点A FN1 a a FN2
A P
A
P
Fx FN1 sina FN2 sina 0
4FN2l1 cos E1a 2
0.24 103 m
xA AA2 l2 0.24 103m
yA
AE
EA3
l1
sin
l2
tan
0.48 0.24 1.376 103m sin 30 tan 30
例3-3 求杆的总伸长
（1）内力
A
FN x xAl
（2） dx 的变形 l
dx
x
d l FN x dx xdx
EA
E
（3）整杆的总变形
l
l d
l
l
xdx E
l2
2E
All
2EA
1 2
Wl EA
Where
W Al
x
FN x
A O
Al
FN x
3.4 拉压杆的强度条件
max
max(
FN x
A(x)
)
u
n
许用应力 极限应力 安全系数
* 三种计算 ①校核强度：
3、横截面上的应力
P
N(x)
N ( x) A
* 在横截面上均布
* 危险应力 ——
max ( N )
A max
A
210KN
40 B
150KN
C
D
20
100KN
40KN
N
(KN)
0.5m
0.5m 0.5m
40
60
210
* 危险截面？
4、应力集中
在截面尺寸突变处，应力急剧变大。
6、 Saint-Venant原理 离开载荷作用处一定距离，应力分布 与大小不受外载荷作用方式的影响。
3.2 轴向拉压杆斜截面上的应力
pa
Pa Aa
A A
a cosa
k
P
P
a
k
k
P
Pa
pa
Pa Aa
Pcosa
A
0 cosa
a
k
pa 0cosa
P
pa
k
a
k
a
a Pa
ta
a pa cosa 0cos2a
ta
pa
sina
0
cosasina
0
2
sin
2a
* 讨论：
3.3 轴向拉压杆的变形 胡克定律 1、变形
A l1
C
l2
A
A2
l1 P A1
FN1
A
FN2 P
FN1 FP / sin 80kN FN2 FN2 cos 69.7kN
A2 l2
A1
E
A l2
A
A
切线代圆弧
（3）位移的计算
（2）变形
l1
FN1l1 E1 A1
4FN1l1 E1 d 2
0.48 103 m
l2
FN2l2 E2 A2
第3章 轴向拉压的强度和变形
3.1 轴向拉压杆横截面上的应力
轴向拉压杆横截面上的应力的合力等 于截面上的轴力
FN
dA
A
轴向拉压杆横截面上的应力怎么分布？ 怎么确定？
1、应力—— 内力集度
变形前
ab cd
受载后 P
a´
b´
c´
d´
P
2、平面假设：
纵向纤维变形相同。
原为平面的横截面在变形后仍为平面。
A1
3 P1 2 A1
1
P1 ?
2
N2 A2
P2 2 A2
2
184.8kN
P2 ?
28kN
油缸与盖用6个螺栓连接，D 350mm,
p 1MPa, 40MPa 求：螺栓直径d
D
p
D
p
油压：
P pA p D2
4
D 每个铆钉受拉：FN
P 6
p
24
2
A
d
4
2
FN
p
D2
B FB
mC 0 FN 26.3kN
max
FN A
4P
d2
q
4 26.3103 3.14 0.0162
131MPa
F Ax
F Ay
A
F Cx
C
F Cy
FN
max 131 MPa 170 MPa
此杆满足强度要求，是安全的
3.5 拉压超静定
1，三种类型 * 简单超静定 * 温度应力
max
②设计截面尺寸
Amin
Nmax
[ ]
③许可载荷：
Nmax A
杆1为钢， 1 160MPa, 杆2为木， 2 7MPa A1 10 cm2 , A2 20 cm2 求：P
取节点A，由平衡方程求得：
C
N1
3 2 P1
N
2
1 2
P2
300 1
N1
600 2
A
B
N2 P
1 N1
L1 L2
物理方程
L1
FN1L1 E1 A1
FN2 L2 E2 A2
L2
P y
4FN1 FN2
解得：
FN1 0.07P ; FN2 0.72P
FN1 0.07P A11
A1=3.086cm2
P1 A11/ 0.07 308.6 160 / 0.07 705.4kN FN2 0.72P A2 2
24
d D
p
6
D
1 0.0645494D 22.59mm 6 40
* 三铰屋架，q =4.2kN/m，屋架中的钢拉杆直径
d =16 mm，[]=170M Pa。 校核钢拉杆的强度。
q
钢拉杆 8.5m
q
F Ax
F Ay A
C
钢拉杆 8.5m
由平衡方程求得：
F 0 Ax F 19.5KN Ay
P2 A22/ 0.72 2502 12 / 0.72 1042kN
已知： 3号杆的尺寸误差为，
A L3
0
A1
求： 各杆的装配内力。
B
3D C
1 aa 2
A1
A
FN3
FN1 a a FN2
A1
平衡方程: L1 L2
A
Fx FN1 sina FN2 sina 0
Fy FN1 cosa FN2 cosa FN3 0
P
P
L
L L
L NL
A
P
P
L
L L
2、胡克定律
* 在线弹性范围内
L NL EA
虎克定律
P
3、应变
L L1 L
LL
L NL EA
P
L
L L
纵向线应变
E
4、横向线应变
d d1 d
d
d
关系
Poisson ' s ratio
例3-3 求A点的位移
B
（1）内力
FN1
FN2
E1A1P cos2 a 2E1A1 cos3 a E3A3
;
FN3
E3 A3P
2E1A1 cos3 a
E3 A3
已知：角钢和木材：[]1=160M Pa和[]2=12MPa
E1=200GPa E2 =10GPa；求许可载荷P。 平衡方程:
P y
4FN1 FN2
Fy 4FN1 FN2 P 0
Fy FN1 cosa FN2 cosa FN3 P 0
B
几何方程——变形协调方程：
D
C
3
1 aa 2
L1 L3 cosa
物理方程——弹性定律：
A
L2 L3
L1
L1
FN1L1 E1 A1
L3
FN3L3 E3 A3
FN1L1 FN3L3 cosa
A1
E1 A1
E3 A3
L3 L1 cosa
* 装配应力
2，方法
* 建立变形协调方程
利用：几何变形关系、物理关系、 静力平衡关系
已知： L1=L2、 L3 =L ； A1=A2=A、 A3 ，
E1=E2=E、E3 求： 各杆的内力
B
D
C
3
1 aa 2
FN3
取节点A FN1 a a FN2
A P
A
P
Fx FN1 sina FN2 sina 0
4FN2l1 cos E1a 2
0.24 103 m
xA AA2 l2 0.24 103m
yA
AE
EA3
l1
sin
l2
tan
0.48 0.24 1.376 103m sin 30 tan 30
例3-3 求杆的总伸长
（1）内力
A
FN x xAl
（2） dx 的变形 l
dx
x
d l FN x dx xdx
EA
E
（3）整杆的总变形
l
l d
l
l
xdx E
l2
2E
All
2EA
1 2
Wl EA
Where
W Al
x
FN x
A O
Al
FN x
3.4 拉压杆的强度条件
max
max(
FN x
A(x)
)
u
n
许用应力 极限应力 安全系数
* 三种计算 ①校核强度：
3、横截面上的应力
P
N(x)
N ( x) A
* 在横截面上均布
* 危险应力 ——
max ( N )
A max
A
210KN
40 B
150KN
C
D
20
100KN
40KN
N
(KN)
0.5m
0.5m 0.5m
40
60
210
* 危险截面？
4、应力集中
在截面尺寸突变处，应力急剧变大。
6、 Saint-Venant原理 离开载荷作用处一定距离，应力分布 与大小不受外载荷作用方式的影响。
3.2 轴向拉压杆斜截面上的应力
pa
Pa Aa
A A
a cosa
k
P
P
a
k
k
P
Pa
pa
Pa Aa
Pcosa
A
0 cosa
a
k
pa 0cosa
P
pa
k
a
k
a
a Pa
ta
a pa cosa 0cos2a
ta
pa
sina
0
cosasina
0
2
sin
2a
* 讨论：
3.3 轴向拉压杆的变形 胡克定律 1、变形
A l1
C
l2
A
A2
l1 P A1
FN1
A
FN2 P
FN1 FP / sin 80kN FN2 FN2 cos 69.7kN
A2 l2
A1
E
A l2
A
A
切线代圆弧
（3）位移的计算
（2）变形
l1
FN1l1 E1 A1
4FN1l1 E1 d 2
0.48 103 m
l2
FN2l2 E2 A2
第3章 轴向拉压的强度和变形
3.1 轴向拉压杆横截面上的应力
轴向拉压杆横截面上的应力的合力等 于截面上的轴力
FN
dA
A
轴向拉压杆横截面上的应力怎么分布？ 怎么确定？
1、应力—— 内力集度
变形前
ab cd
受载后 P
a´
b´
c´
d´
P
2、平面假设：
纵向纤维变形相同。
原为平面的横截面在变形后仍为平面。
A1
3 P1 2 A1
1
P1 ?
2
N2 A2
P2 2 A2
2
184.8kN
P2 ?
28kN
油缸与盖用6个螺栓连接，D 350mm,
p 1MPa, 40MPa 求：螺栓直径d
D
p
D
p
油压：
P pA p D2
4
D 每个铆钉受拉：FN
P 6
p
24
2
A
d
4
2
FN
p
D2
B FB
mC 0 FN 26.3kN
max
FN A
4P
d2
q
4 26.3103 3.14 0.0162
131MPa
F Ax
F Ay
A
F Cx
C
F Cy
FN
max 131 MPa 170 MPa
此杆满足强度要求，是安全的
3.5 拉压超静定
1，三种类型 * 简单超静定 * 温度应力
max
②设计截面尺寸
Amin
Nmax
[ ]
③许可载荷：
Nmax A
杆1为钢， 1 160MPa, 杆2为木， 2 7MPa A1 10 cm2 , A2 20 cm2 求：P
取节点A，由平衡方程求得：
C
N1
3 2 P1
N
2
1 2
P2
300 1
N1
600 2
A
B
N2 P
1 N1