高等量子力学讲义 林子敬 2014
高等量子力学演示文稿1
线性无关
23{Leabharlann 1 , 1 , 2 ,, i 1 , i } 线性相关
{1 , 1 , 2 ,, i 1 , i } 线性相关
现在把 i 去掉，加入 i 1 ， 使集合成为
{1 , 1 , 2 ,, i 1 , i 1}
440????????对任意都成立??则由关系2可知0???????所以有?????2两条定理定理1若三个右矢和?满足????????????????????则?证用任意左矢与第一式作内积有???????得?????????????????????两边取复共轭两边取复共轭得???????????45?0???????因为为任意右矢所以有?????????0????????定理2若二右矢满足????a?????则必有?????a证用任意左矢与式????作内积有???a????????a?两边取复共轭得????即?????????????aa460????????a因为为任意右矢所以有???a?????0???????a这两条定理建立了左矢空间和右矢空间的对应关系也就是在左
f ( x), g ( x) f * ( x) g ( x)dx
a
b
这样的函数全体构成一个内积空间---函数空间。 不同的函数都是此空间中的矢量。
14
§1.2 正交性和模
一、正交归一性 1. 正交：若干矢量 和 的内积满足关系 则称矢量 和 正交。 2. 模方：矢量 同它自己的内积 ( , )是一个大于0 的实数，称为矢量 的模方。记作
本章中，矢量空间通常指在复数域上的 内积空间。
﹟
7
二、矢量空间的简单性质
1.零矢量是唯一的
[证明]
高等量子力学讲义5-6章
确定位置设置粒子接收器
→ 比较 → − ↗
散射问题中量子态的渐近行为
量子力学 波函数 描述散射过程中粒子的状态。 − − − − − → 我们考虑非相对论无自旋粒子的入射束，由于考查渐近行为， V = 0，确定粒子的入射粒子束有 平面波描述 i Ae Pz z 沿 z 轴入射 进入散射中心 (靶) 的有效力程后 入射波 (物质波) 发生衍射 − − − − − − − − − − − − − → −→ 原入射方向外 + 其它方向的衍射传播 按衍射理论习惯 − − − − − − − − − − − − → ψi ↓ 入射波 相干叠加 ψ − − − − − − → 进一步，由于散射波是由散射中心向外发散的， 出了有效力程后 相对自由粒子的球面波 − − − − − − − − − − − → ψr→∞ −→ A e
i
+
ψs ↓ 散射波 = ψi + ψs
Pi r cos θ
+A
f (θ, φ) i Ps r e r
Pi 为入射粒子动量； Ps 为粒子经散射的动量。
渐进行为中量与散射物理量的关系
由量子力学：入射粒子流 ⃗ ji = 出射粒子流：
r js =
mi
z ∗ = ∇ψi −→ ji ψi
|A|2 Pi m
2π
若我们完成对立体角的积分，则得到总的散射截面 ˆ ˆ ˆ σ = dσ = σ (θ, ϕ)dΩ =
0
ˆ
0
π
σ (θ, φ) sin θdφdθ
上述物理量的实验获得：
实验可确定量 ↙ 单位时间入射粒子数目 ↘ ratio 微分散射截面 ↓ 总散射截面 散射理论的最终目的→ 确立理论中的散射截面 6 ← 积分 → − ↘ ↘ ↙ 散射后出射的粒子数 ↙
高等量子力学
高等量子力学连续谱在量子力学中有一些可观测量具有连续的本征值。
于是我们从从本征值方程出发，在连续谱的情况下它被写成：\hat \xi | \xi' \rangle = \xi' | \xi' \rangle \tag{1}其中\hat \xi是一个算符，而\xi' 只是一个数。
也就是说，右矢| \xi'\rangle是算符\hat \xi的一个本征右矢，其本征值为\xi'。
为了类比于分立谱，我们用：狄拉克的\delta函数替代克罗内科符号。
用对连续变量\xi'的积分代替对本征值\{ a_n \}的分立求和。
因此我们有：\langle a_m|a_n\rangle =\delta _{mn}\longrightarrow \langle\xi _p|\xi _q\rangle =\delta \left( \xi _p-\xi _q \right) \tag{2} \sum_n{\left| a_n \right> \left< a_n \right|}=I\longrightarrow\int{d\xi _q\left( \left| \xi _q \right> \left< \xi _q \right|\right)}=I \tag{3} \left| \alpha \right> =\sum_n{\left| a_n\right>}\langle a_n|\alpha \rangle \longrightarrow \left| \alpha \right> =\int{d\xi _q\left| \xi _q \right> \langle \xi _q|\alpha \rangle} \tag{4} \sum_n{\left| \langle a_n|\alpha \rangle\right|}^2=1\longrightarrow \int{d\xi _q}\left| \langle \xi_q|\xi \rangle \right|^2=1 \tag{5} \langle \beta |\alpha \rangle =\sum_n{\langle \beta \left| a_n \right> \left< a_n\right|}\alpha \rangle \longrightarrow \langle \beta |\alpha\rangle =\int{d\xi _q\langle \beta \left| \xi _q \right> \left< \xi _q \right|}\alpha \rangle \tag{6} \langlea_m|\hat{A}|a_n\rangle =a_n\delta _{mn}\longrightarrow \langle \xi _q|\hat{A}|\xi _p\rangle =\xi _q\delta \left( \xi _q-\xi _p \right) \tag{7} 。
量子力学讲义第3章
第三章 量子体系的力学量本章讨论在量子力学中如何描述力学量的问题。
它是量子力学的重点之一，对初学者而言，开始显得比较抽象，因此，应注意习题训练。
3．1 力学量的平均值公式 力学量用算符表示~算符进入量子力学一、坐标的平均值⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-==>=<r d r r d r r d t r w r r 3*323),(ψψψ分量： ⎰∞∞->=<r d t r x t r x n n3*),(),(ψψ问题：能否用),(t rψ导出其他力学量的平均值？二、动量的平均值⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-==>=<p d t p C p t p C p d t p C p p d t p w p p3*323),(),(),(),(我们希望直接用),(t r ψ写出><p（注意r d t r p p 32),(⎰>≠<ψ~2),(t r ψ不是p的几率）。
以x 分量为例：⎰∞∞->=<p d t p C p t p C p x x3*),(),(将 r d e t r t p C r p i⎰∞∞-⋅-=323),()2(1),(ψπ 代入，有⎰⎰⎰∞∞-⋅-∞∞-⋅>=<pd r de t r p r d e t r p r p i x r p i x3/3/233*23]}),()2(1[]),()2(1[{/ψπψπ ⎰⎰⎰-⋅=])2(1)[,(),(3)(3//3*3/p d ep t r r d t r r d r r p i xπψψ计算[…]有)()()2(1[...]/33)(3/r r x i p d e x i r r p i-∂∂-=∂∂-=⎰∞∞--⋅δπ 于是 ⎰⎰∞∞-∞∞--∂∂->=<)(),())(,(/3//3*3r r t r r d x i t r r d p x δψψ),())(,(*3t r xi t r r d ψψ⎰∞∞-∂∂-=。
《高等量子力学》课程教学大纲
《高等量子力学》课程教学大纲《高等量子力学》课程教学大纲一、课程名称（中英文）中文名称：高等量子力学英文名称：Advanced Quantum Mechanics二、课程代码及性质课程编码：课程性质：学科(大类)专业选修课/选修三、学时与学分总学时：64（理论学时：64学时）学分：4四、先修课程先修课程：无五、授课对象本课程面向物理学各专业学生开设六、课程教学目的（对学生知识、能力、素质培养的贡献和作用）量子力学理论是20世纪物理学取得的两个（相对论和量子理论）最伟大的进展之一，以研究微观物质运动规律为基本出发点建立的量子理论开辟了人类认识客观世界运动规律的新途径，开创了物理学的新时代。
本课程是物理学专业本科课程《量子力学》的后续课程，用以弥补量子力学课程与学生实际进入科研前沿之间的知识鸿沟。
其内容分为两部分：第一部分是在量子力学课程的基础上归纳阐述量子力学的基本原理（公设）及表述形式。
第二部分主要是讲述量子力学的基本方法及其应用。
在分析清楚各类基本应用问题的物理内容基础上，掌握量子力学对一些基本问题的处理方法。
课程的教学目的是使得学生掌握微观粒子的运动规律、量子力学的基本假设、基本原理和基本方法，掌握量子力学的基本近似方法及其对相关物理问题的处理，并了解量子力学所揭示的互补性认识论及其对人类认识论的贡献。
七、教学重点与难点：课程重点：本课程所讲授的内容均为学生从事前沿科学研究所必备，因此所有内容均为重点课程难点：本课程所讲授的内容抽象程度较高，理论推导计算量大，因此所有内容均为难点八、教学方法与手段：教学方法：采用课堂讲授、讨论、习题等多种授课形式相结合的教学新模式。
课堂讲授基本概念、基本原理，通过讨论课加深学生对基本内容的理解，通过习题课提高学生运用基本理论分析问题、解决问题的能力。
教学手段：采用多媒体与板书相结合的教学手段，传统授课手段与现代教育技术手段相互取长补短，相得益彰。
特别的，将Mathematica 和Matlab等计算软件引入本课程的教学，以实现抽象复杂的数学物理问题的直观展现，提高学生的学习兴趣。
高等量子力学(第2版)
高等量子力学(第2版)高级量子力学是一门融合了近代物理中的理论和实验的学科，它提供了一个解释和预测原子和分子物理系统的统一框架。
本书《高等量子力学(第2版)》是一本深入浅出的教材，深入的述及了理论和实验的完整内容，让学生和研究生可以全面了解量子力学的概念和应用。
一、量子力学基础1. 历史背景本书介绍量子力学的理论基础和实验过程，追溯自plank常数的发现；对量子力学的提出有详细介绍，以及Heisenberg不确定性原则，Schrόdinger方程以及杂化原理等重要概念；2. 量子力学模型量子力学模型也会在本书中被提到。
将大自然的运动规律抽象为微观的量子力学形式，能够解释为何物质的特性和行为出现这样那样的现象。
3. 矩阵技术量子力学中矩阵技术的应用，会在本书中被详细描述。
矩阵技术提供了一个量子力学模型的更加精确和深入的理解方式，它们可以让我们更好的理解量子力学。
二、量子力学的实验1. 物理学实验物理学的实验有助于研究和探索量子力学的原理，比如量子隧道效应；拉曼散射、X射线衍射等实验，并可以通过测量分子能级的精确度来检验量子力学的模型正确性。
2. 抽象实验当量子力学的原理无法直接验证时，可以通过抽象实验进行测试推测，比如你仭-杨实验等，他们是用电子粒子进行可靠性实验的奠基人，为量子力学的研究现代化而做出重大贡献。
三、量子力学的应用1. 化学量子力学的应用同样可以在化学中拥有重要的作用，基于量子力学原理可以准确地预测和解释分子结构，特性以及相互作用；比如量子化学，电子学，以及其他电子结构学方面。
2. 核物理学量子力学也可以应用在核物理学中，其概念可以用于探索原子核内部的结构，以及解释核反应，并且可以提出抽象的模型来模拟量子力学在核物理学中的作用。
因此，《高等量子力学(第2版)》深入浅出的展现了量子力学的理论与实验，结合实验的科学，系统的历史背景，基本概念，矩阵技术及其实验应用，让我们对量子力学有初步了解，未来在这个科学领域也有较为充分的准备。
中科大林子靖高等量子力学课件2013
•
– – – – –
相对论量子力学
Klein-Gordon 方程及其非相对论近似. Dirac 方程,动量和角动量守恒. 自由电子的平面波解,正电子. 非相对论近似下,电磁场和核库仑场中的电子. 氢原子光谱的精细结构.
课程总结归纳
3. 量子理论简史
3.1. 黑体辐射（量子概念的提出） 3 E d ν = c ν exp(−c2ν / T )dν • Wien半经验公式： ν 1
•
• • • •
全同粒子
交换对称 对称性假设 两电子体系; 氦原子 电子结构理论概述
•
– – –
粒子数表象和二次量子化
全同粒子系的粒子数表象. 单体和二体力学量算符的两种表达式. 二次量子化.
•
– – – –
散射理论
散射问题的一般描述: 散射截面和散射振幅. 分波法:平面波和球面波,分波散射振幅和相移,光学定理. Lippman-Schwinger 方程:方程及其解 Born近似及其应用条件.
8π • Rayleigh-Jeans公式： Eν dν = 3 kTν 2 dν C c1ν 3 dν • Planck两参数经验公式： Eν dν = exp(c2ν / T ) − 1
• Planck“量子概念”公式： （ε=hν)
8π hν 3 1 Eν = C 3 exp(hν / kT ) − 1
教材
J. J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Revised edition, Addison-Wesley Publishing Company, Reading, 1994 (Editor: San Fu TUAN); ISBN: 0-201-53929-2
高等量子力学-理论方法-量子跃迁理论 ppt课件
ppt课件
11
2. 一阶常微扰
（1）含时 Hamilton 量
设 H’ 在 0 t t1 这段时间之内不为零，但与时间无关，
即： 0
t0
Hˆ
Hˆ
(r)
0
0 t t1 t t1
（2）一级微扰近似 am(1)
H’mk 与 t 无关 (0 t t1)
am(1)(t )
an (t )n
n
i t n
an (t )n Hˆ (t )
n
an (t )n
i
n
d dt
an
(t
)
n
i
n
an (t
)
t
n
i t
n
Hˆ 0n
相 an(t )Hˆ 0n an(t )Hˆ (t)n
n
m* Hˆ (t )nd
i n
d dt
an(t ) mn
n
an (t )
* m
Hˆ
(
t
)
ne
i[
m
n
]t
/
d
d
i dt am (t) n
an(t )Hˆ m neimn t
其中
Hˆ
m n
* m
Hˆ
(t
)
nd
ppt课件
4
含时微扰理论
i Hˆ (t ) t
Hˆ 0 n n n
i t
n
Hˆ 0n
《高等量子力学》课件
弹性散射和散射振幅
讨论弹性散射和散射振幅在量子力学中的重要性和 实验方法。
广义相对论和黑洞解释
探索广义相对论和量子力学如何解释黑洞和宇宙的 起源和性质。
原子结构和分子谱学
介绍原子结构和分子谱学的基本概念和实验方法。
第三部分：应用和实验
超导量子干涉仪和QED效应
量子热力学和量子信息
揭示量子热力学和量子信息领域中的新理论和 实验进展。
探索超导量子干涉仪和量子电动力学效应在实 验室中的应用。
干涉和纠缠
阐述干涉和纠缠的特性和重要性，以及实验验 证。
量子统计和量子相变
探讨量子统计和量子相变在凝聚态物理中的关 键作用。
哥本哈根解释和悖论
解读哥本哈根解释及其涉及的悖论和思考。
拓扑态和拓扑物质
介绍拓扑态和拓扑物质在量子领域中的前沿研 究和发展。
3
测量和测量算符
探索测量在量子力学中的意义，并介绍测量算符的概念。
4
Heisenberg不确定关系
阐述Heisenberg不确定关系对于测量的限制和角度的重要性。
5
哈密顿算符和Schrödinger方程
深入研究哈密顿算符和Schrödinger方程在量子力学中的作用。
第二部分：量子力学的基本理论
基态和激发态
《高等量子力学》PPT课 件
欢迎大家参加《高等量子力学》PPT课件，本课程将全面介绍量子力学的基本 原理、数学工具、应用和实验领域。让我们一起踏上奇妙的量子世界之旅！
第一部分：基础概念和数学工具
1
量子力学的发展和基本假设
追溯量子力学的发展历程，并介绍背后的基本假设和原理。
《高等量子力学》PPT课件
若
(微扰小于能级差的一半)，则有
注：1）在
时级数才能快速收敛
2）能级不因微扰而交叉
3）并非微扰足够小便能级数展开,还需满足收敛条件
2
二、微扰理论
记
，有
可见
定义
有
和
可解得：
因
取 有相应解
3
利用 本征矢方程为：
得：
比较解得：
4
归纳得解：
这里 微扰使不同未微扰态有所混合，但混入部分不含|n0>
5
三、微扰态矢的归一化
记
由于<n(0)|n>=1,
≤1
6
么么么么方面
Sds绝对是假的
四、应用举例
例1：谐振子
该问题也可解析求解：
8
解析解基态能量： 波函数：无微扰 有微扰时：
与二阶微扰结果完全相同！
9
例2：电场中的类氢原子
忽略自旋自由度，并设体系不简并（V不改变态的自 旋），则据微扰理论，能量变化为
12
无微扰态是宇称本征态，zkk=0, 无线性Stark效应（体 系无电偶极矩）。故微扰产生的是2阶Stark效应。
由于
,求和局限于相关态
10
原子极化率α定义： 类氢原子的基态的α:
对氢，该求和可严格求解为ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 估算：
,与实验吻合
(考虑低激发态波函数，可提高估算精度）
11
§5.2 简并态的定态微扰理论
λ~[0,1]. λ=1是真正要求的微扰问题。引入λ可了解微扰 作用的特点，且使我们能通过比较λ不同幂次的系数 而方便地求得微扰展开序列。当然，这意味着本征态 与本征值在λ的复平面上，对应于λ =0附近是解析连续 的。此外，如果微扰法在实用上可行，则要求取少数 几项展开便应是较好的近似。
高等量子力学(2014)
高等量子力学（2014）一、(1)，简要介绍量子力学中Schroedinger图像和Heisenberg图像里的波函数和力学量算符随时间的演化规律；(2)，利用Heisenberg图像中力学量随时间演化的方程ddt ¯A=1i[A,H]，证明对于一维波包，有d dt 2=1m(xp+px)上面公式里力学量算符顶端的横线“−”表示求平均值。
二、耦合谐振子的Hamilton量为ˆH=12m (ˆp21+ˆp22)+12mω2(x21+x22)+λx1x2,其中ˆp1=−i ∂∂x1,ˆp2=−i ∂∂x2。
x1,ˆp1和x2,ˆp2分别属于不同的自由度，设λ<mω2，利用自变量代换将此耦合谐振子的Hamilton量写成两个独立谐振子的Hamilton量之和，并求此耦合谐振子的精确能级。
三、两个自旋为12的定域非全同粒子（不考虑轨道运动）相互作用能为（取 =1）H=A⃗s1·⃗s2t=0时，粒子1自旋“向上”(s1z=12)，粒子2自旋“向下”(s2z=−12)。
求任意t>0时刻(1)，体系的能量本征值和本征态；(2)，体系所处的态χ(t)；(3)，粒子1自旋“向上”的概率；(4)，粒子1和粒子2自旋均“向上”的概率。
四、有质量的Klein-Gordon Lagrangian密度为L KG=12[˙ϕ2−(▽ϕ)2−m2ϕ2](1)，试由Euler-Lagrange方程导出其坐标空间的运动方程：¨ϕ−▽2ϕ+m2ϕ=0(2)，给出上述运动方程在动量空间的表达式。
五、质量为M的初态粒子衰变为质量为m1和m2的两末态粒子，在初态粒子的质心参考系中(1），若m1=m2，请利用M、m1和m2，给出粒子1的E1和p1的表达式；(2），若m1=m2，请利用M、m1和m2，给出粒子1的E1和p1的表示式。
高等量子力学 课件
§3-4 无无穷维空间情况
• 厄米米算符： – 具有离散的本征值谱，其本征值及相应的 本征矢矢量是可数的无无穷多个 – 具有连续的本征值谱，具有不可数无无穷多 个本征值和相应的本征矢矢量
离散本征值情形
• 本征矢矢量 A|ii = ai |ii
! ! ! !
(i = 1, 2, · · · )
ij
• 线性算符：定义域为矢矢量空间，且满足足如下 条件
A( | i + | ' i ) = A| i + A| ' i
A( | i a ) = ( A| i ) a
§2-1 定义
• 算符：两个矢矢量间的一一种对应关系
! !
| ' i = A| i
• 反线性算符：定义域为矢矢量空间，且满足足如 下条件
定理
• 当且仅当两个厄米米算符互相对易时，它们有 一一组共同的本征矢矢量完全集
厄米米算符完备组
• 对于一一个希尔伯特空间，一一组互相对易的厄 米米算符A,B,C,…,它们有一一组完全确定的共同 本征矢矢量完全集，而而去掉算符中的任何一一个， 都会使剩下的那些算符的共同本征矢矢量完全 集具有任意性，称它们一一组厄米米算符完备组
空间的完全性
• 空间中任何在Cauchy意义下收敛的序列的 极限必须也在此空间中。
量子子力力学的空间
• 复数域上的希尔伯特空间 • 向量：线性空间中的元素
§1-2 正交性和模
• 两个矢矢量正交：两个矢矢量的内积为零
! !
( , ') = 0
• 模方方：
! !
• 两个关系： – Schwartz 不等式 – 三角角形不等式
• 如何用用一一组数字具体的表示示矢矢量
高等量子力学
1） 表象理论：Schrodinger表象，Heisenberg表象，相互作用表象。
2） 形式微扰理论，相互作用表象中时间演化算符的一般性质，形式解以及和散射矩阵的关系。
3） 形式散射理论，散射矩阵的微扰展开，散射截面，光学定理。
4） 中心力场中粒子的散射截面，分波法。
(5) Time reversal symmetry: Invariance of a specific Hamiltonian under time reversal transformation; The properties of anti-unitary operators; The role played by the internal degrees of freedom of quantum systems under time reversal transformation; The Kramer theorem and its applications.
(3) Theory of angular momentum: the SU(2) and SO(3) groups and their linear representations; Solutions of the rotating rigid-body systems; The definition of irreducible tensor of operators; Wigner-Eckart theorem and its applications.
高等量子力学课程详细信息
课程号
00410340
学分
4
英文名称
Advanced Quantum Mechanics
[文学]高等量子力学_OK
![[文学]高等量子力学_OK](https://img.taocdn.com/s3/m/13843df6cc1755270622086b.png)
26
附：
abcn Aaa Abb Ann abcn det A
abcn
若a b 1
则 abcn Aa1 Ab1 Ann 11cn det A
abcn
=0
left
abcn Ab1 Aa1 Ann
abcn
a b
bacn Aa1 Ab1 Ann
bacn
27
bacn Aa1 Ab1 Ann
2
② 本征值连续变化，无法编号，用本征值本身给本征矢编号
连续实变量
Aa aa
本征方程
例 X x xx
Pp pp
3
假设本征矢量有完全性类比
da a a 1
可用此展开
( i i 1)
i
在基矢 a 上的分量
d a a a d a a a
a
连续函数
a d a a a a
或 a d a a a a
33
§4-4 连续本征值性质
表象理论 有限维空间
推广 无限维
表象基矢无穷维 离散 形式推广 连续
k
i1
i1
在无穷维空间中取K表象，而厄米算符或对易的厄米算 符完备组K具有在某一区间的连续值谱。
34
K k k k
出发点 k k d k 1
在基 k 上的分量是K的连续
复函数 k ，故 在K表象中
29
定理：任何厄米矩阵都可通过相似变换（实际上为幺正变换）成 为对角矩阵
Proof：采取直接把变换矩阵给出来的证法。
设在n维空间确定一个确定的表象后，厄米算符A 表示矩阵A
的n个互相 的归一化本征矢 i (i 1,2,, n),其矩阵形式：
1
1
2
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(1)-(12)的空间称为内积空间 完全的内积空间称为希尔伯特空间 空间的完全性：任何在Cauchy意义下收敛的序列（ ψ1， ψ2， ψ3，… ）的极限也必须在本空间中 Cauchy意义下收敛的含义：对给定任意小实数ε>0,有N存 在，当m, n>N时，（ ψm- ψn， ψm- ψn ）< ε. 归一化矢量、线性无关、完全集、空间维数、正交归一 基矢
第一章 基本概念
1.1 Stern-Gerlach实验 1.1.1 基本实验原理与结果（空间量子化） 电子自旋角动量分量只能取分立值：量子化的第一层含 义或现象性含义（另一层即理论含义：算符与经典物 理量的对应关系） 1.1.2 相继的SG测量 角动量的不同分量不能同时精确测定（对Sx的测量会破 坏体系原有关于Sz的信息） 1.1.3 与光（波）极化的类比 电子自旋态用2D抽象矢量 =a a V 条件（5） 1= ； （6） ( a)b= (ab); (7) (a b)= a b；(8) ( + )a = a a a实（复）数：实（复）数域上的矢量空间
（1）-（8）的集合称为矢量空间或线性空间
1.2 矢量空间
内积：（ ,） =c 条件(9) ( , )=( , )*； (10) ( , )=( , ) ( , ); (11) ( , a)=( , ) a；(12) ( , ) 0, ( , ) 0, 则 O
1.2 矢量空间
考虑无穷多个同类数学对象的集合{ψ，φ，χ，...}，在它们之 间规定加法、数乘和内积三种运算，当该类数学对象满足 一系列要求时，就构成一个矢量空间（V），每个对象称为 空间的一个元或矢量。
加法： = + V 条件（） 1 + = + ； （2） +( + )=( + ) ; (3) +O= ；(4) + =O, = , +(- )= -