第04讲 多边形的边与角

第4讲多边形的边与角

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1.多边形的边与角的关系；

2.多边形中角度计算.

【板块一】多边形的边角的关系

方法技巧

熟记n 边形内角和外角和以及正多边形边角的关系，直接运用公式计算.

题型一求多边形边数

【例1】若一个多边形的内角和是外角和的3倍，求这个多边形的边数.

题型二求多边形对角线条数

【例2】一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形的对角线共有______条.

题型三探究多边形边角变化规律

【例3】一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的()

A.内角和增加180°

B.外角和增加360°

C.对角线增加一条

D.内角和增加360°

题型四正多边形内外角与边数关系

【例4】如果一个正多边形的内角和等于外角和的2倍，求每一个内角的度数.

针对练习1

1.如图，如果边长相等的正五边形和正方形的一边重合，则∠1的度数是_________.

2.一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为2520°，求原多边形的边数.

1

【板块二】多边形中角度计算

方法技巧

1.直接运用公式计算；

2.运用转化思想，整体思想，设参计算等解决多边形中角度问题.

题型一正多边形组合求角

【例5】有公共顶点A ，B 的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接AC 交正六边形于点D ，求∠ADE 的度数.

E

D C B

A

题型二多边形多角求和(转化思想＋整体思想)

【例6】“转化思想”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题.

(1)请你根据已经学过的知识求出下面星形图1中∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E 的度数；

(2)若对图1中星形截去一个角，如图2，请你求出∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F 的度数；

(3)若再对图2中的角进一步截去，你能由(1)(2)所得的方法或规律，猜想图3中的∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＋∠H ＋∠M ＋∠N 的度数吗?(只要写出结论，不需要写出解题过程)

图1图2图3E A B

C

D 2211N M G

F E D C B A F E D

C B A

题型3多边形与角平分线夹角

【例7】(2018济宁)如图，在五边形ABCDE 中，∠A ＋∠B ＋∠E ＝300°，DP ，CP 分别平分∠EDC ，∠BCD ，求∠P 的度数.

P

E

A

B

C

【例8】如图1，四边形ABCD 中，设∠A ＝α，∠D ＝β，∠P 为四边形ABCD 的内角∠ABC 与外角∠DCE 的平分线所在直线相交而形成的锐角.

(1)如图1，若α＋β＞180°，求∠P 的度数(用含α，β的代数式表示)；

(2)如图2，若α＋β＜180°，请在图2中画出∠P ，并直接写出∠P 的度数(用含α，β的代数式表示).

图1图2A B D A

B

D E

针对练习2

1.如图，以正六边形ADHGFE 的一边AD 为边向外作正方形ABCD ，求∠BED 的度数.

A

B C D

E

F G

2.如图1所示，△ABO 与△CDO 称为“对顶三角形”，其中∠A ＋∠B ＝∠C ＋∠D.利用这个结论，在图2中，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G 的度数.

图1图2A

C

D E

F G O D C

B

A

3.如图，P 是四边形ABCD 的外角∠EBC 与∠BCF 的平分线BP 和CP 的交点，设∠A ＋∠D ＝α.

(1)求∠BPC 与α之间的数量关系；

(2)根据α的值的情况，判断△BPC 的形状(按角分类).

A

B

C D E

F

4.动手操作，探究:

探究一:三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系

已知:如图1，在△ADC 中，DP ，CP 分别平分∠ADC 和ACD ，试探究∠P 与∠A 的数量关系并说明理由；

探究二:若将△ADC 改为任意四边形ABCD 呢?

已知:如图2，在四边形ABCD 中，DP ，CP 分别平分∠ADC 和∠BCD ，请你利用上述结论探究∠P 与∠A ＋∠B 的数量关系，并说明理由；

探究三:若将上题中的四边形ABCD 改为六边形ABCDEF ，如图3所示，请你直接写出∠P 与∠A ＋∠B ＋∠E ＋∠F 的数量关系.

图3图2P P P A B E F A

B C 图1A