第04讲 多边形的边与角
多边形的边数和角数
多边形的边数和角数多边形是指由若干条线段组成的平面图形，它具有一些特殊的性质，其中最重要的就是边数和角数。
在本文中，我们将深入探讨多边形的边数和角数之间的关系，以及它们对多边形性质的影响。
1. 边数和角数的基本定义多边形的边数是指组成多边形的线段的数量，用字母n表示。
而多边形的角数是指多边形内部形成的角的数量，用字母m表示。
在正规的多边形中，边数和角数是相等的，即n = m。
2. 边数和角数的关系多边形的边数和角数之间存在着严格的数学关系，可以通过以下公式进行计算：总角数 = (n - 2) * 180°根据这个公式，我们可以得出一些有趣的结论：- 三角形是一种特殊的多边形，它的边数为3，角数为3，总角数为180°。
这是因为 (3 - 2) * 180° = 180°。
- 四边形（矩形、正方形、菱形等）的边数为4，角数为4，总角数为360°。
这是因为 (4 - 2) * 180° = 360°。
- 五边形的边数为5，角数为5，总角数为540°。
这是因为 (5 - 2) * 180° = 540°。
- 六边形的边数为6，角数为6，总角数为720°。
这是因为 (6 - 2) * 180° = 720°。
可以类推得出，每增加一个边，总角数就增加180°。
这个规律对于任意多边形都成立。
3. 边数和角数对多边形性质的影响多边形的边数和角数对其性质有着重要的影响。
以下是一些例子：- 规则多边形：当多边形的边数和角数相等，并且所有边长度和角度都相等时，我们称其为规则多边形。
规则多边形具有对称美，常见的例子有正三角形、正方形等。
规则多边形的边数和角数可以通过公式计算，从而确定其性质。
- 近似圆形：当多边形的边数非常大时，它的形状会趋近于圆形。
这是因为边数的增加导致总角数的增加，使得多边形的每个角度都趋近于平均角度，从而使得整体呈现出圆形的特征。
八年级数学上册第04讲 多边形及其内(外)角和(原卷版)-【暑假自学课】2022年新八年级数学暑假精
第04讲多边形及其内（外）角和【学习目标】1.掌握多边形的定义及有关概念，能区分凹凸多边形.2.掌握正多边形的概念.3.会求多边形的对角线的条数.4.能通过不同的方法探索多边形的内角和与外角和公式.5.会应用多边形的内角和与外角和公式进行有关计算.【基础知识】1．多边形（1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．（2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．（3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．（4）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧．②每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形．2．多边形内角与外角（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数）此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．（2）多边形的外角和等于360°．①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．【考点剖析】考点一：多边形的相关概念例1．（2021·江苏南通市·南通第一初中九年级期中）下列命题正确的是（）A．各边相等的多边形是正多边形B．各内角分别相等的多边形是正多边形C．既是轴对称图形又是中心对称图形的多边形是正多边形D．各边相等、各角也相等的多边形是正多边形变式1. （2021·皋兰县第三中学）下列说法错误的是（）A．多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形B．四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形C．多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形D．多边形是三角形，但三角形不一定是多边形考点二：多边形的对角线问题例2．（2021·安徽当涂县·八年级期末）一个多边形从一个顶点可引出7条对角线，那么这个多边形的边数是（）A．10B．11C．12D．13变式2. （2021·河南淮滨县·七年级期末）请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：多边形的顶点数/个45678……n 从一个顶点出发的对角线的条数/条12345……①___________多边形对角线的总条数/条2591420……②___________（1）观察探究：请自己观察上面的图形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整，其中①______________________；②______________________；（2）实际应用：数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？考点三：多边形的内角和的相关计算例3．（2022春•长沙期中）湖南革命烈士纪念塔是湖南烈士公园的标志性建筑，塔于1959年建成，以纪念近百年为人民解放事业献身的革命先烈，塔底平面为八边形，这个八边形的内角和是（）A．720°B．900°C．1080°D．1440°变式3. （2022春•江阴市期中）下列各度数不是多边形的内角和的是（）A．540°B．900°C．1080°D．1700°考点四：多边形的外角和的相关计算例4．（2022•永善县模拟）八边形的外角和为（）A．180°B．720°C．360°D．1080°变式4. （2021秋•泰州期末）【相关概念】将多边形的内角一边反向延长，与另一条边相夹形成的那个角叫做多边形的外角．如图，将△ABC中∠ACB的边CB反向延长，与另一边AC形成的∠ACD即为△ACB的一个外角．三角形外角和与三角形内角和对应，为与三个内角分别相邻的三个外角的和．【求解方法】借助一组内角与外角的数量关系，可以求出三角形的外角和．如图，△ABC的外角和＝（180°﹣∠ACB）+（180°﹣∠CAB）+（180°﹣∠ABC）＝540°﹣（∠ACB+∠ABC+∠CAB）＝540°﹣180°＝360°．【自主探究】根据以上提示，完成下列问题：（1）将下列表格补充完整．名称图形内角和外角和180°360°三角形四边形五边形…………n边形…（2）如果一个八边形的每一个内角都相等，请用两种不同的方法求出这个八边形一个内角的度数．考点五：正多边形的相关计算例5．（2022•路南区一模）如图，由一个正六边形和正五边形组成的图形中，∠1的度数应是（）A．72°B．84°C．82°D．94°变式5.（2021·山东八年级期末）已知某正多边形的一个内角比它相邻外角的3倍还多20°．（1）求这个正多边形一个内角的度数；（2）求这个正多边形的内角和．考点六：多边形的密铺问题例6．（2021·吉林朝阳区·长春外国语学校）在现实生活中，铺地最常见的是用正方形地板砖，某小区广场准备用多种地板砖组合铺设，则能够选择的组合是（）A．正六边形，正八边形B．正方形，正七边形C．正五边形，正六边形D．正三角形，正方形变式6 （2021·吉林朝阳区·七年级期末）如图，张明同学设计了四种正多边形的瓷砖图案，这四种瓷砖图案中，不能铺满地面的是（）A．B．C．D．考点七：七巧板的相关问题例7．（2021·广东南海区·）如图，把一幅七巧板按如图所示进行①~⑦编号，①~⑦号分别对应着七巧板的七块，如果编号①对应的面积等于2，则由这幅七巧板拼得的“天鹅”的面积等于______．变式7. （2021·山东城阳区·）如图，把一副七巧板按如图进行1~7编号，1~7号分别对应着七巧板的七块，如果编号5对应的面积等于5cm2，则由这幅七巧板拼得的“房子”的面积等于___________cm2．【真题演练】1．（2021•驿城区校级期末）若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（）A．5或6B．6或7C．5或6或7D．6或7或82．（2021·重庆渝中·初二期末）关于正多边形的概念，下列说法正确的是（）A．各边相等的多边形是正多边形B．各角相等的多边形是正多边形C．各边相等或各角相等的多边形是正多边形D．各边相等且各角相等的多边形是正多边形3．（2021·四川省成都市七中育才学校七年级开学考试）如果过一个多边形的一个顶点有6条对角线，则该多边形是（）A．七边形B．八边形C．九边形D．十边形4．（2021·吉林长春市·八年级开学考试）在现实生活中，铺地最常见的是用正方形地板砖，某小区广场准备用多种地板砖组合铺设，则能够选择的组合是（）A．正六边形，正八边形B．正方形，正七边形C．正五边形，正六边形D．正三角形，正方形5．（2021·浙江省余姚市实验学校八年级期中）若一个多边形的内角和是720°，则这个多边形的边数为（）A．4B．5C．6D．76．（2021·云南临沧·八年级期末）一个八边形的内角和度数为（）A．360°B．720°C．900°D．1080°7．（2021·四川达州市·八年级期末）小磊利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如从点A 出发，沿直线走5米后向左转θ，接着沿直线前进5米后，再向左转θ……如此下去，当他第一次回到A点时，发现自己走了60米，θ的度数为（）A．28°B．30°C．33°D．36°8．（2022•禅城区二模）正五边形ABCDE中，其内角∠BAE大小是（）A．72°B．90°C．108°D．150°9．（2021秋•克东县期末）如图所示，将多边形分割成三角形、图（1）中可分割出2个三角形；图（2）中可分割出3个三角形；图（3）中可分割出4个三角形；由此你能猜测出，n边形可以分割出个三角形．10．（2022·西工大附中分校初三其他）如图，五边形ABCDE的对角线共有________条．11．（2021·江苏苏州市·九年级专题练习）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，顾名思义，是由七块板组成的．清陆以潘《冷庐杂识》卷一中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．玩家也可以把它拼成各种人物、形象、动物、桥、房、塔等等．小明用一块边长为8cm的正方形的厚纸板，做了一套七巧板（如图甲）．小聪用小明做的七巧板拼成一座桥（如图乙），这座桥的阴影部分的面积是______．12．（2021 •虎林市校级期末）已知一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的4倍多30°，求这个多边形是几边形？并求出这个多边形的内角和．13．（2022•宿城区校级月考）利用“模型”解决几何综合问题往往会取得事半功倍的效果．几何模型：如图（1），我们称它为“A”型图案，易证明：∠EDF＝∠A+∠B+∠C．运用以上模型结论解决问题：（1）如图（2），“五角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝？分析：图中A1A3DA4是“A”型图，于是∠A2DA5＝∠A1+∠A3+∠A4，所以∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝；（2）如图（3），“七角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7的度数．14．（2021·山东临清市·七年级期末）某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“n边形（n＞3）共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格：（1）请在表格中的横线上填上相应的结果：多边形的边数456…n从多边形一个顶点出发12_____…_______可引起的对角线条数多边形对角线的总条数2_________________（2）应用得到的结果解决以下问题：①求十二边形有多少条对角线？②过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为2016吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由．【过关检测】1．（2021·商城县第一中学）下列说法正确的是（）A．五条长度相等的线段首尾顺次相接所构成的图形是正五边形B．正六边形各内角都相等，所以各内角都相等的六边形是正六边形C．从n边形的一个顶点出发可以引（n-2）条对角线D．n边形共有(3)2n n条对角线2．（2021•烟台期中）从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，则这个多边形的边数为（）A．2001B．2005C．2004D．20063．（2021·河南中原区·七年级期末）今年是牛年，在班级“牛年拼牛画”的活动中，小刚同学用一个边长为8cm的正方形做成的七巧板（如图1）拼成了一头牛的图案（如图2），则牛头部所占的面积为（）A．4 cm2B．8 cm2C．16 cm2D．20 cm24．（2021·河北承德市·八年级期末）一个多边形的内角和是900°，这个多边形的边数是（）A．3B．4C．5D．75．（2021·北京市第五中学朝阳双合分校八年级期中）如果一个四边形四个内角度数之比是1：2：3：4，那么这四个内角中（）．A．只有一个直角B．只有一个锐角C．有两个直角D．有两个钝角6．（2021·广西来宾市·八年级期中）正六边形的每一个内角的度数是（）A．720︒B．120︒C．60︒D．307．（2021·中山大学附属中学八年级期中）一个多边形的内角和比它的外角和多540°，并且这个多边形的各个内角都相等，则这个多边形边数是___．8．（2021·土默特左旗教育局教研室八年级月考）商店出售下列四种形状的地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形，若选购地砖镶嵌地面，那么，可供选择的有______种．9．（2022·南京市宁海中学八年级开学考试）如图，五边形ABCDE的两个内角平分线相交于点O，∠1，∠2，∠3是五边形的3个外角，若∠1+∠2+∠3=220°，则∠AOB=___________．10．（2020·湖南娄底·初二期末）在抗击新冠肺炎的斗争中，娄底市根据疫情的发展情况，决定全市中小学延期开学，并采用线上教学的形式，真正做到停课不停学，某中学初二1班全体同学自主完成学习任务的同时，不忘关心同学的安危，在停课不停学期间全班每两个同学都通过一次电话，我们可以把该班人数n与通话次数S间的关系用下列模型表示：问：若该班有50名同学，则它们之间共通了_________次电话；11．（2022春•武冈市期中）如图，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数．12．（2021·陕西）一个多边形的内角和与外角和的度数之和为1260 ，求这个多边形的边数．13．（2021·广西八年级期中）己知一个n边形的每一个外角都等于30°．（1）求n的值．（2）求这个n边形的内角和．14．（2021·广西来宾市·八年级期中）已知一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的4倍多30，求这个多边形是几边形？并求出这个多边形的内角和．11/ 11。
多边形的边数和角数
多边形的边数和角数多边形是几何学中常见的形状，它由若干个直线段组成，每个直线段都是多边形的一条边。
不同的多边形有不同的边数和角数，本文将探讨多边形的边数和角数之间的关系。
一、三角形三角形是最简单的多边形，它有三条边和三个角。
三角形的边数是3，角数也是3。
三角形的三个内角之和为180度，即∠A + ∠B + ∠C = 180°。
根据边数和角数之间的关系，我们可以得出结论：当多边形的边数为n时，其内角之和为180×(n-2)度。
二、四边形四边形是有四条边和四个角的多边形。
常见的四边形有矩形、正方形、菱形、梯形等。
四边形的边数是4，角数也是4。
四边形的内角之和为360度，即∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°。
三、五边形五边形是有五条边和五个角的多边形。
五边形的边数是5，角数也是5。
五边形的内角之和为540度，即∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E = 540°。
类似地，当边数增加时，内角之和也会随之增加。
例如六边形的内角之和为720度，七边形的内角之和为900度，以此类推。
通过观察我们可以发现，多边形的边数和角数之间满足如下关系：内角之和 = 180×(边数-2)度。
这说明多边形的边数和角数是相关联的，可以通过边数求得角数或通过角数推算边数。
除了内角之和，多边形中每个角的度数也是有规律的。
在规则多边形中，每个内角的度数相等。
例如，在正五边形中，每个内角的度数为108度。
而在非规则多边形中，各个内角的度数可能不相等。
总结起来，多边形的边数和角数之间有以下特点：1. 边数等于角数；2. 内角数等于边数减2；3. 规则多边形内角的度数相等。
通过掌握多边形的边数和角数之间的关系，我们可以更好地理解和研究多边形的性质，并能够应用于几何学的问题解答中。
在几何学的学习中，多边形的边数和角数是最基础、最重要的知识点之一。
它不仅能帮助我们更好地理解几何学的规律，还有助于我们解决与多边形相关的问题。
多边形的外角与内角
多边形的外角与内角多边形是几何中常见的图形，它由多个直线段组成，每个直线段被称为边，而多边形的顶点则是边的两个端点的连接点。
多边形的外角和内角是研究多边形性质中的重要概念。
本文将详细介绍多边形的外角和内角，并探讨它们之间的关系及其性质。
一、多边形的内角多边形的内角是指多边形内部的角，也即是顶点处的角。
我们先来考虑一下n边形（其中n > 3）的内角之和。
我们可以先画一个三角形，它的内角之和已经被证明等于180度。
而对于n边形，我们可以将其划分为n-2个三角形，这样每个三角形的内角之和是180度，而整个n边形的内角之和就是(n-2) × 180度。
举例来说，一个四边形（矩形）的内角之和为(4-2) × 180度 = 360度。
同样地，一个五边形（正五边形）的内角之和为(5-2) × 180度 = 540度。
从这个规律可以看出，多边形的内角之和与其边数n之间存在着线性关系。
二、多边形的外角多边形的外角是指多边形外部的角，也即是顶点处的角。
和内角不同，多边形的外角之和是一个常数。
对于n边形，它的外角之和等于360度。
为了更好地理解外角和内角之间的关系，我们可以通过观察多个不同的多边形来进行比较。
以三角形为例，一个三角形的内角之和为180度，而它的外角之和为360度。
可以看出，外角之和恰好是内角之和的两倍。
再以四边形为例，一个四边形的内角之和为360度，而它的外角之和同样也是360度。
可以发现，多边形的外角之和总是等于360度，不论多边形的边数是多少。
三、多边形的外角和内角之间的关系我们已经知道，一个多边形的内角和外角之和都等于360度。
那么，多边形的外角和内角之间是否有其他的关系呢？事实上，我们可以通过外角和内角之间的关系来得出一个更普遍的结论：一个多边形的内角和外角之间存在着线性关系。
具体来说，设一个多边形的内角之和为S，外角之和为T，边数为n，则有如下关系：S + T = (n-2) × 180度 + 360度 = (n-2) × 180度 + 2 ×180度 = n × 180度。
多边形的角——精选推荐
多边形的⾓多边形的内⾓1.1 多边形的内⾓相邻两边组成的⾓叫做多边形的内⾓．1.2 多边形的内⾓和n边形内⾓和等于（n－2）× 180°n = 4ab90°90°90°90°内⾓和: (n - 2) × 180°= ( 4 - 2 ) × 180°=360°每个⾓: $$n−2n×180$$=4−24×180$$=90°内⾓和与边数的关系内⾓和随边数的变化⽽变化：边数每增加 1，内⾓和就增加 180°．2多边形的外⾓2.1 多边形的外⾓的边与它的邻边的延长线组成的⾓叫做多边形的外⾓．注意1. ⼀个多边形中每个⾓都能有两个外⾓，所以n边形有 2n个外⾓．2. 多边形的外⾓与不相邻的内⾓的关系，和三⾓形的不同．3. 四边形的外⾓和与它相邻的内⾓互为．2.2 多边形的外⾓和ABCDE∠A = 72°∠B = 72°∠C = 72°∠D = 71°∠E = 73°外⾓和 = 360°在每⼀个顶点处取这个多边形的⼀个外⾓，它们的和叫做：多边形的外⾓和．多边形的外⾓和等于 360°．与多边形的边数与形状⽆关，．2.3 证明⽅法的每个内⾓与和它相邻的外⾓是，所以n边形的内⾓和加外⾓和等于 n⋅180∘．所以：外⾓和等于 n⋅180∘−(n−2)⋅180∘=360∘．以五边形为例，探究多边形外⾓和3多边形的对⾓线连接不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对⾓线．⼀个n边形从⼀个顶点出发有（n-3）条对⾓线，所有对⾓线的数量是2n(n−3)．n = 5ab注意1. 三⾓形没有对⾓线．2. 把多边形转化成三⾓形求解的常⽤⽅法是连接对⾓线．。
多边形的角与边
多边形的角与边多边形是平面几何中常见的图形，它由若干个顶点和边组成。
每一个多边形的角与边都有特定的性质和关系，这些性质和关系在几何学中具有重要的应用价值。
本文将从多边形的角度和边的角度两个方面进行论述。
一、多边形的角度多边形的角度是指多边形内部每个顶点所对应的角度。
根据多边形的边数和对应角度的关系，可以推导出以下结论：1. 三角形的角度和为180度：三角形是最简单的多边形，它由三条边组成，每个顶点对应一个角度。
根据角度和定理，三角形的三个角度之和为180度，即α+β+γ=180°。
2. 四边形的角度和为360度：四边形是由四条边组成的多边形，根据四边形角度和定理，四边形的四个角度之和为360度，即α+β+γ+δ=360°。
3. 五边形的角度和为540度：五边形是由五条边组成的多边形，根据五边形角度和定理，五边形的五个角度之和为540度，即α+β+γ+δ+ε=540°。
以此类推，n边形的角度和等于(n-2)×180度，可以用以下公式表示：α+β+γ+δ+...+θ=(n-2)×180°。
多边形的角度关系在实际应用中具有广泛的作用。
例如，在土木工程中，设计师需要根据多边形的角度来计算角度悬臂墙的支撑力和结构稳定性。
在地图制作中，通过测量多边形的角度，可以准确绘制地理图形。
二、多边形的边多边形的边是多边形各个顶点之间相连接的线段，边数取决于多边形的形状。
在多边形中，边与边之间存在一些重要的关系，如下所示：1. 对角线：对角线是多边形内部两个不相邻顶点之间的连线。
例如，四边形有两条对角线，五边形有五条对角线。
对角线可以分割多边形成多个三角形，研究对角线的性质可以帮助我们更好地理解多边形的结构和形态。
2. 边长：边长是多边形相邻两个顶点之间的距离，多边形的边长各不相同。
边长可以通过测量或计算得到，在图形设计中经常需要精确控制多边形的边长，以确保图形的准确性和美观度。
多边形的边与角 新思维初中数学
23.多边形的边与角解读课标大街上的行人道，装修一新的居家，在许多地方，我们可以看到各种形状（呈多边形）的地砖或瓷砖铺成的漂亮的地面和墙面.一般地，由n条不在同一直线上的首尾顺次连接组成的平面图形称为n边形，又称多边形.边、角、对角线是多边形中最基本的概念.多边形的许多性质常可以用三角形来说明、解决，连对角线或向外补形，是把多边形问题转化为三角形问题来解决的基本策略.n-⨯︒随n的变化而变化，而多边形多边形的内角和性质反映出一定的规律性：()2180的外角和性质反映出更本质的规律：外角和是360°的一个常数.把内角问题转化为外角问题，以静制动是解多边形相关问题的常用技巧.问题解决例1 如图，A B C D E F∠+∠+∠+∠+∠+∠=.（河南省竞赛题）例1图例4图试一试运用三角形外角的性质，或连线运用对顶角三角形的性质，把分散的角加以集中.例2 凸多边形恰好有三个内角是钝角，这样的多边形边数的最大值是（）A.4B.5C.6D.7试一试把凸多边形内角问题转化为外角问题.例3 凸n边形除去一个内角外，其余内角和为2570°，求n的值.试一试设除去的角为x︒，可建立关于x，n的不定方程；又0180x︒<<︒，又可得到关于n的不等式，故有两种解题途径，注意n为自然数的隐含条件.例4 如图四边形ABCD 中，已知,,,AB CD AD BC AE BC E AF CD F ⊥⊥∥∥于于，求证：180BAD EAF ∠+∠=︒.试一试从四边形AECF 内角和入手.例5 （1）如图①，任意画一个五角星，求A B C D E ∠+∠+∠+∠+∠的度数. （2）如图②，用“一笔画”方法画成的七角形，求A B C D E F G ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠度数.（3）如图③，用“一笔画”方法画成的21n +角形（2n ≥），且12221n n B B B B + 是凸21n +边形，求123221n n A A A A A +∠+∠+∠+∠+∠+ 度数.等角六边形法国著名数学家傅里叶曾说：“对自然界的深刻研究是数学发现的最丰富的源泉.”蜂房结构、飞舞雪花肥皂泡的聚接等，六边形备受自然界的青睐.例6定义：六个内角相等的六边形叫等角六边形. （1）研究性质①如图1，等角六边形ABCDEF 中，三组正对边AB 与DE ，BC 与EF ，CD 与AF 分别有什么位置关系？证明你的结论.②如图2，等角六边形ABCDEF 中，如果有AB=DE ，则其余两组正对边BC 与EF ，CD 与AF 相等吗？证明你的结论.③如图3，等角六边形ABCDEF 中，如果三条正对角线AD ，BE ，CF 相交于一点O ，那么三组正对边AB 与DE ，BC 与EF ，CD 与AF 分别有什么数量关系？证明你的结论.（2）探索判定三组正对边分别平行的六边形，至少需要几个内角为120°，才能保证六边形一定是等角六边形？数学冲浪知识技能广场1.平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则312_____∠+∠-∠=度.（2015年河北省中考题）2.一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510︒，则这个多边形对角线的条数是.（2015年山东省莱芜市中考题）1题3题4题3.如图，1234567∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=度.4. 用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1.用n个全等的正六边形按这种方式拼接，如图2，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则n的值为（）（河北省中考题）5题6题7题5. 将五边形纸片ABCDE按如图方式折叠，折痕为AF，点E. D分别落在E′、D′，已知76AFC∠=︒，则∠CFD′等于( )A.31°B.28°C.24°D.22°（湖北省武汉市中考题）6.如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P的度数为( )A.1902α︒- B.1902α︒+ C.12α D.360α︒-（四川省达州市中考题）7.如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340︒的新多边形，则原多边形的边数为（）. A.13 B.14 C.15 D.16（贵州省毕节市中考题）8.一个多边形的每一内角都等于140°，那么，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是 ( )A.9条B.8条C.7条D.6条9. 如图，已知,,,130DC AB BAE BCD AE DE D ∠=∠⊥∠=︒∥，求∠B 的度数.（江苏省竞赛题）9题11题10.P 表示n 边形对角线的交点个数(指落在其内部的交点)，如果这些交点都不重合，那么P 与n 的关系式是：212(4)()n n P n an b -=∙-+ (其中a ，b 是常数，n ⩾4) (1)填空：通过画图可得：四边形时，P =___(填数字);五边形时，P =___(填数字).(2)请根据四边形和五边形对角线的交点个数，结合关系式，求a 和b 的值.(注：本题中的多边形均指凸多边形)（2015年湖南省株洲市中考题）思维方法天地11.如图，一个六边形的内角都相等，其中4条边的边长分别是3，7，4，8，则另外两条边的长度的和a b +=.（第25届“希望杯”邀请赛试题）12.一个多边形截去一个(三角形状的)角后，形成另一个多边形，其内角和是3060°，则原多边形是______边形．（《时代学习报》数学文化节试题）13.如图，若120CGE ∠=︒，则A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=___. 14. 如图，求A B C D E F G H I K ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠的度数为.BAFE DC应用探究乐园21. 在平面直角坐标系中，若点()P x y ，的坐标x y ，均为整数，则称点P 为格点.若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L.例如图中△ABC 是格点三角形，对应的1,0,4S N L ＝＝＝. (1) 求出图中格点四边形DEFG 对应的,,S N L 的值；(2) 已知格点多边形的面积可表示为S N aL b ＝＋＋，其中a ，b 为常数.若某格点多边形对应的82,38N L ＝＝，求S 的值.（四川省宜宾市中考题）22. 如图是一个多边形，求1232324A A A A A ∠+∠+∠++∠+∠ 的度数.（世界数学团体锦标赛试题）。
多边形的内角和外角
实例二：五边形的内角和与外角和
总结词
五边形可以被划分为3个三角形，因此其内 角和为540度，外角和也为360度。
详细描述
五边形可以被划分为3个三角形，每个三角 形的内角和为180度。因此，五边形的内角 和为3 * 180度 = 540度。同时，由于多边 形的外角和总是等于360度，所以五边形的 外角和也为360度。
了解多边形的内角和 外角在几何学中的应 用。
掌握多边形的内角和 外角的计算方法。
02 多边形的内角和外角的基 本概念
内角和外角的定义
内角
多边形内部相邻两边的夹角。
外角
多边形外部与一个内角相邻的两边的夹角。
内角和外角的关系
01
02
03
外角和内角互补
一个内角与相邻的外角的 和为180度。
外角和的性质
06 总结与回顾
本章重点回顾
1 2
多边形的内角和外角的概念
多边形的内角是指多边形内部的角，而外角则是 与内角相对的，位于多边形外部的角。
内角和外角的性质
多边形的内角和等于其边数减2的乘积再乘以 180度，而外角和则等于360度。
3
内角和外角的应用
内角和外角的性质在几何学中有着广泛的应用， 例如在计算多边形的面积、判断多边形的类型等 方面。
总结词
计算多边形内角和的公式是（n-2） *180度，其中n是多边形的边数。
详细描述
这个公式是计算多边形内角和的关键。 通过将多边形的边数代入公式，即可 得到多边形的内角和。例如，一个五 边形的内角和为（5-2）*180度=540 度。
04 多边形的外角和性质
外角的定义和性质
总结词
外角的定义是指多边形各边延长线所形成的角。每个外角的大小与相邻的内角互补，即它们的角度之 和为180度。
多边形边角关系
（三角形的“五心三线段” ｛多边形的概念与性质 ［多边形的镶嵌、\prepare1. 判断：三角形的高是一条直线.（ ）2. 判断：三角形的三条高必交一点.（ ）3. 判断：所有内角都相等的多边形是正多边形.（)4.正六边形的一个内角等于度.【解析】错，错，错，120. 删叶卄“五心”（1）三角形的“三线段”指的是三角形的角平分线.中线、高.⑵三角形的“五心”指的是三角形的内心、重心、垂心、外心、旁心.①三角形的三条角平分线的交点叫做内心.② 三角形的三条中线的交点叫做重心.③ 三角形的三条高所在的直线的交点叫做垂心.④ 三角形的三条边的中垂线的交点叫做外心.⑤ 三角形的任意两个外角的外角平分线和第三个内角平分线的交点叫做旁心.（虽然课本没有, 但中考中出现了很多与旁心相关的题）锐角三角形的内心直角三角形的内心 钝角三角形的内心 三角形内切岡的恻心锐角三角形的重心直角三角形的重心 钝角三角形的重心【例1】⑴如图1, 30平分Z4BC, ⑵如图2, BO 平分ZABC, ⑶如图3, BO 平分乙CBD , CO 平分ZACD,写出ZA 与ZO 之间的等童关系.CO 平分ZACB,写出ZA 与上O 之间的等童关系. CO 平分ZBCE,写出ZA 与ZO 之间的等量关系.角平分线 中线 高钝角三角形的垂心说角三角形的垂心直角三角形的垂心 钝角三角形的外心Z0+Z1+22 = 180°ZA+(180°- 2Z1) + (180° - 2Z2) =180° 【变式】如下图，ZAEB=ZCEB, ZADB=ZCDB,写出ZA, ZB, ZC 之间的等童关系.【解析】用上一讲的结论：■乙2 3 4,.・.2Z5=ZA +ZC . ZC=Z1+Z2 + ZB【例2】已知BD 、CE 是A4BC 的两条高，直线BD 、CE 交于点O,且D.E.A.O 互不重合，ZBOC = a, 请用a^ZBAC的度数.【解析】1•锐角三角形的情形：ZBAC = lSO°-a.二、Z4为钝角三角形的锐角，如图：ZBAC = a.2 直角三角形不符合的情形；3 钝角三角形的情形：一、ZA 为钝角三角形的钝角，如图：ZBAC = lSO°-a.【解析】（D由外角定理: 2Z1+ZA = 2Z2 Z1 + ZO=Z2 ,・・・ZO =丄乙4.由三角形内角和定理:2Z1 + 2Z2+ZA = 18O° Z1+Z2+ZO = 180°,・・・込9。
多边形的定义及内角和、外角和知识分享
多边形的定义及内角和、外角和精品资料多边形相关定义：多边形：在平面内，有一些线段首尾顺序依次相接组成的封闭图形叫做多边形。
多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
凸多边形：画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都是在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形。
正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
特别提示：一个n变形从一个顶点出发有（n-3）条对角线，所有对角线的数量是n(n-3)/2条。
多边形的内角和、外角和设多边形有n条边，N边形内角和公式：(N-2)×180°（注n边形可分成（n-2）个三角形，（n-2）个三角形没有内角是重合的）正n边形的每个内角等于n-2/n×180°，每个外角等于360°/n任何多边形外角和为360度，与多边形的边数无关。
设多边形的边数为N则其内角和＝（N－2）*180°因为N个顶点的N个外角和N个内角的和＝N*180°（每个顶点的一个外角和相邻的内角互补）所以N边形的外角和＝N*180°－（N－2）*180°＝N*180°－N*180°＋360°＝360°即N边形的外角和等于360°设多边形的边数为N 则其外角和＝360°因为N个顶点的N个外角和N个内角的和＝N*180°（每个顶点的一个外角和相邻的内角互补）所以N边形的内角和＝N*180°－360°＝N*180°－2*180°＝（N－2）*180°即N边形的内角和等于（N－2）*180°仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2。
初中数学知识归纳多边形的边数和角数关系
初中数学知识归纳多边形的边数和角数关系初中数学知识归纳：多边形的边数和角数关系多边形是几何学中重要的概念之一，指的是由直线段组成的封闭图形。
多边形的边数和角数之间存在着一定的关系。
本文将介绍多边形的定义、分类以及多边形的边数和角数之间的关系。
一、多边形的定义和分类多边形是由至少三条直线段组成的封闭图形，并且各条直线段彼此相连而不相交。
多边形根据边的个数可以分为三角形、四边形、五边形等不同的类型。
1. 三角形三角形是最简单的多边形，由三条线段组成。
根据三角形的边的长度可以进一步分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
2. 四边形四边形是由四条线段组成的多边形。
常见的四边形有正方形、长方形、平行四边形和菱形等。
3. 五边形及以上除了三角形和四边形之外，多边形还可以有五边形、六边形、七边形等等。
这些多边形没有特定的名称，通常用边数来表示。
二、多边形的边数和角数关系多边形的边数和角数之间存在着一定的关系。
我们以n表示多边形的边数，以s表示多边形的内角和。
针对不同的多边形，我们可以总结出以下规律：1. 三角形三角形是由三条线段组成的多边形，所以n=3。
而三角形的内角和等于180度，即s=180°。
2. 四边形四边形是由四条线段组成的多边形，所以n=4。
四边形的内角和等于360度，即s=360°。
3. 五边形及以上对于五边形及以上的多边形，其内角和可以通过以下公式计算：s = (n - 2) * 180°。
例如，对于六边形，其边数n=6，那么内角和s = (6 - 2) * 180° = 720°。
通过上述公式，我们可以计算出任意多边形的内角和。
三、例题解析为了更好地理解多边形的边数和角数关系，我们可以通过几个例题进行解析。
例题1：一个六边形的内角和是多少度？根据公式，六边形的内角和s = (6 - 2) * 180° = 720°。
所以一个六边形的内角和为720度。
多边形的概念及特征
多边形的概念及特征一、多边形的定义多边形是由多条线段组成封闭平面图形，其中每条线段称为边，相邻两边之间的夹角称为内角，多边形的每个内角都大于0度而小于180度。
二、多边形的边和角1.边：多边形有若干条边，边数称为多边形的边数，用n表示，n≥3。
2.角：多边形有n个内角，每个内角都大于0度而小于180度，多边形的外角和为360度。
三、多边形的分类1.根据边数不同，多边形可分为三角形、四边形、五边形、六边形等。
2.根据边是否相等，多边形可分为不等边多边形和等边多边形。
3.根据角是否相等，多边形可分为不等角多边形和等角多边形。
四、多边形的面积1.面积公式：多边形的面积=（边长1×边长2×……×边长n）/（n×（n-2）×π）。
2.特殊多边形面积公式：三角形面积=底×高/2；平行四边形面积=底×高；矩形面积=长×宽；正方形面积=边长×边长。
五、多边形的对角线1.对角线：多边形的一条线段，连接两个非相邻顶点。
2.对角线数量：n边形的对角线数量为(n(n-3))/2。
3.对角线长度：对于任意多边形，对角线长度小于等于边长，且对角线将多边形分成两个面积相等的三角形。
六、多边形的性质1.多边形内角和定理：n边形的内角和为（n-2）×180度。
2.多边形外角和定理：n边形的外角和为360度。
3.多边形对角线定理：n边形的对角线数量为(n(n-3))/2，且对角线将多边形分成n-2个三角形。
七、多边形与圆的关系1.圆内接多边形：多边形的所有顶点都在圆上。
2.圆外切多边形：多边形的所有边都与圆相切。
3.圆的内接与外切多边形，其边数、内角和等性质均有所不同。
八、多边形的应用1.平面几何中的多边形问题，如计算面积、周长、对角线长度等。
2.实际生活中的多边形应用，如设计图形、计算土地面积等。
以上是对多边形的概念及特征的详细归纳，希望对您的学习有所帮助。
八年级数学上册：多边形的边与角
八年级数学上册：多边形的边与角知识导航1.多边形的边与角的关系；2.多边形中角度计算.【板块一】多边形的边角的关系方法技巧熟记n 边形内角和外角和以及正多边形边角的关系，直接运用公式计算.题型一求多边形边数【例1】若一个多边形的内角和是外角和的3倍，求这个多边形的边数.题型二求多边形对角线条数【例2】一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形的对角线共有______条.题型三探究多边形边角变化规律【例3】一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的()A.内角和增加180°B.外角和增加360°C.对角线增加一条D.内角和增加360°题型四正多边形内外角与边数关系【例4】如果一个正多边形的内角和等于外角和的2倍，求每一个内角的度数.针对练习11.如图，如果边长相等的正五边形和正方形的一边重合，则∠1的度数是_________.2.一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为2520°，求原多边形的边数.1【板块二】多边形中角度计算方法技巧1.直接运用公式计算；2.运用转化思想，整体思想，设参计算等解决多边形中角度问题.题型一正多边形组合求角【例5】有公共顶点A ，B 的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接AC 交正六边形于点D ，求∠ADE 的度数.ED C BA题型二多边形多角求和(转化思想＋整体思想)【例6】“转化思想”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题.(1)请你根据已经学过的知识求出下面星形图1中∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E 的度数；(2)若对图1中星形截去一个角，如图2，请你求出∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F 的度数；(3)若再对图2中的角进一步截去，你能由(1)(2)所得的方法或规律，猜想图3中的∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＋∠H ＋∠M ＋∠N 的度数吗?(只要写出结论，不需要写出解题过程)图1图2图3E A BCD 2211N M GF E D C B A F E DC B A题型3多边形与角平分线夹角【例7】(2018济宁)如图，在五边形ABCDE 中，∠A ＋∠B ＋∠E ＝300°，DP ，CP 分别平分∠EDC ，∠BCD ，求∠P 的度数.PEABC【例8】如图1，四边形ABCD 中，设∠A ＝α，∠D ＝β，∠P 为四边形ABCD 的内角∠ABC 与外角∠DCE 的平分线所在直线相交而形成的锐角.(1)如图1，若α＋β＞180°，求∠P 的度数(用含α，β的代数式表示)；(2)如图2，若α＋β＜180°，请在图2中画出∠P ，并直接写出∠P 的度数(用含α，β的代数式表示).图1图2A B C D EABC D E针对练习21.如图，以正六边形ADHGFE 的一边AD 为边向外作正方形ABCD ，求∠BED 的度数.AB C DEF G2.如图1所示，△ABO 与△CDO 称为“对顶三角形”，其中∠A ＋∠B ＝∠C ＋∠D.利用这个结论，在图2中，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G 的度数.图1图2ACD EF G O D CBA3.如图，P 是四边形ABCD 的外角∠EBC 与∠BCF 的平分线BP 和CP 的交点，设∠A ＋∠D ＝α.(1)求∠BPC 与α之间的数量关系；(2)根据α的值的情况，判断△BPC 的形状(按角分类).ABC D EFP4.动手操作，探究:探究一:三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系已知:如图1，在△ADC 中，DP ，CP 分别平分∠ADC 和ACD ，试探究∠P 与∠A 的数量关系并说明理由；探究二:若将△ADC 改为任意四边形ABCD 呢?已知:如图2，在四边形ABCD 中，DP ，CP 分别平分∠ADC 和∠BCD ，请你利用上述结论探究∠P 与∠A ＋∠B 的数量关系，并说明理由；探究三:若将上题中的四边形ABCD 改为六边形ABCDEF ，如图3所示，请你直接写出∠P 与∠A ＋∠B ＋∠E ＋∠F 的数量关系.图3图2P P P A B C DE F AB C 图1AC D。
新北师大版五年级上册地理多边形的角度知识点总结
新北师大版五年级上册地理多边形的角度
知识点总结
本文总结了新北师大版五年级上册地理课程中关于多边形角度的知识点。
以下是对角度概念、角度的种类以及角度的测量方法的简要概述。
1. 角度概念
- 角度是两条射线之间的夹角。
- 角度通常用度（°）表示，一个完整的圆周共有360°，一度是一个圆心角的1/360。
2. 角度的种类
- 零度角（0°）：两条射线重叠。
- 锐角（0° < 角度 < 90°）：小于90°的角度。
- 直角（90°）：正好是90°的角度。
- 钝角（90° < 角度 < 180°）：大于90°小于180°的角度。
- 平角（180°）：正好是180°的角度
- 周角（360°）：正好是360°的角度，一圈的角度。
3. 角度的测量方法
- 使用量角器：量角器是一种用来测量角度的工具，它通常是
一个半圆形的工具，上面标有刻度。
将量角器的中心对准角的顶点，然后读取刻度上的度数，即可测量角的大小。
- 使用直尺：如果已知角的两条边，可以用直尺画一条垂直于
角的边，然后测量与垂直边相交的边的长度，再根据已知边和测得
边的比例计算角度大小。
通过研究本文总结的角度知识点，同学们可以更好地理解和应
用于地理课程中涉及到的多边形角度的概念和测量方法。
注意：本文总结的内容来源于新北师大版五年级上册地理课程，确保内容准确性，请在引用时注明出处。
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第4讲多边形的边与角
知识导航
1.多边形的边与角的关系；
2.多边形中角度计算.
【板块一】多边形的边角的关系
方法技巧
熟记n 边形内角和外角和以及正多边形边角的关系，直接运用公式计算.
题型一求多边形边数
【例1】若一个多边形的内角和是外角和的3倍，求这个多边形的边数.
题型二求多边形对角线条数
【例2】一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形的对角线共有______条.
题型三探究多边形边角变化规律
【例3】一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的()
A.内角和增加180°
B.外角和增加360°
C.对角线增加一条
D.内角和增加360°
题型四正多边形内外角与边数关系
【例4】如果一个正多边形的内角和等于外角和的2倍，求每一个内角的度数.
针对练习1
1.如图，如果边长相等的正五边形和正方形的一边重合，则∠1的度数是_________.
2.一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为2520°，求原多边形的边数.
1
【板块二】多边形中角度计算
方法技巧
1.直接运用公式计算；
2.运用转化思想，整体思想，设参计算等解决多边形中角度问题.
题型一正多边形组合求角
【例5】有公共顶点A ，B 的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接AC 交正六边形于点D ，求∠ADE 的度数.
E
D C B
A
题型二多边形多角求和(转化思想＋整体思想)
【例6】“转化思想”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题.
(1)请你根据已经学过的知识求出下面星形图1中∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E 的度数；
(2)若对图1中星形截去一个角，如图2，请你求出∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F 的度数；
(3)若再对图2中的角进一步截去，你能由(1)(2)所得的方法或规律，猜想图3中的∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＋∠H ＋∠M ＋∠N 的度数吗?(只要写出结论，不需要写出解题过程)
图1图2图3E A B
C
D 2211N M G
F E D C B A F E D
C B A
题型3多边形与角平分线夹角
【例7】(2018济宁)如图，在五边形ABCDE 中，∠A ＋∠B ＋∠E ＝300°，DP ，CP 分别平分∠EDC ，∠BCD ，求∠P 的度数.
P
E
A
B
C
【例8】如图1，四边形ABCD 中，设∠A ＝α，∠D ＝β，∠P 为四边形ABCD 的内角∠ABC 与外角∠DCE 的平分线所在直线相交而形成的锐角.
(1)如图1，若α＋β＞180°，求∠P 的度数(用含α，β的代数式表示)；
(2)如图2，若α＋β＜180°，请在图2中画出∠P ，并直接写出∠P 的度数(用含α，β的代数式表示).
图1图2A B D A
B
D E
针对练习2
1.如图，以正六边形ADHGFE 的一边AD 为边向外作正方形ABCD ，求∠BED 的度数.
A
B C D
E
F G
2.如图1所示，△ABO 与△CDO 称为“对顶三角形”，其中∠A ＋∠B ＝∠C ＋∠D.利用这个结论，在图2中，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G 的度数.
图1图2A
C
D E
F G O D C
B
A
3.如图，P 是四边形ABCD 的外角∠EBC 与∠BCF 的平分线BP 和CP 的交点，设∠A ＋∠D ＝α.
(1)求∠BPC 与α之间的数量关系；
(2)根据α的值的情况，判断△BPC 的形状(按角分类).
A
B
C D E
F
4.动手操作，探究:
探究一:三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系
已知:如图1，在△ADC 中，DP ，CP 分别平分∠ADC 和ACD ，试探究∠P 与∠A 的数量关系并说明理由；
探究二:若将△ADC 改为任意四边形ABCD 呢?
已知:如图2，在四边形ABCD 中，DP ，CP 分别平分∠ADC 和∠BCD ，请你利用上述结论探究∠P 与∠A ＋∠B 的数量关系，并说明理由；
探究三:若将上题中的四边形ABCD 改为六边形ABCDEF ，如图3所示，请你直接写出∠P 与∠A ＋∠B ＋∠E ＋∠F 的数量关系.
图3图2P P P A B E F A
B C 图1A。