第二讲整除与同余(教师版)

第二讲 整除与同余

一、整数的进位制

1、【十进制数】给定一个m 位的正整数A ，其各位上的数字分别记为021,,,a a a m m ， A 可以表示成10

的1 m 次多项式，即01221

1101010

a a a a A m m m m ，其中{0,1,2,,9},i a L

01,2,,1i m L ，且01 m a ，简记为021a a a A m m .

2、【p 进制数】若十进制正整数A 可以表示为：012211a p a p a p a A m m m m ，其中

{0,1,2,,1},01,2,,1i a p i m L L ，且01 m a ，m 仍然为十进制数，则称A 为p 进制数，记为p m m a a a A )(021 .

【例题分析】

1、（2008）a 是由2005个9组成的2005位数，b 是由2005个8组成的2005为数，则ab 是（ ）位数.

A 4000

B 4004

C 4008 4010 2．求满足3

)(c b a abc 的所有三位数abc 。

解：由于999100 abc ，则999)(1003

c b a ，从而95 c b a ；

当5 c b a 时，3

3

)521(1255 ； 当6 c b a 时，3

3

)612(2166 ；

当7 c b a 时，3

3

)343(3437 ； 当8 c b a 时，3

3

)215(5128 ；

当9 c b a 时，3

3

)927(7299 ；

于是所求的三位数只有512.

3．一个四位数，它的个位数字与百位数字相同。如果将这个四位数的数字顺序颠倒过来（即个位数字与千位数字互换，十位数字与百位数字互换），所得的新数减去原数，所得的差为7812，求原来的四位数。 解：设该数的千位数字、百位数字、十位数字分别为z y x ,,，则 原数y z y x 1010102

3

①；

颠倒后的新数x y z y 1010102

3

②

由②－①得7812＝)(90)(999y z x y

即2

868111()10()10()10()()y x z y y x z x y x ③ 比较③式两端百位、十位、个位数字得6,8 x z x y .

由于原四位数的千位数字x 不能为0，所以1 x ，从而98 x y ，又显然百位数字9 y ， 所以76,1,9 x z x y ，所以所求的原四位数为1979.

二、整除的概念及其性质

（一）、基本概念

1、定义：设b a ,是给定的整数，0 b ，若存在整数c ，使得bc a ,则称b 整除a ，记作a b |，并称b 是

a 的一个约数(或因数)，称a 是

b 的一个倍数，如果不存在上述

c ，则称b 不能整除a ,记作b a .

2、整除的性质

(1) 若c b |且a c |，则a b |(传递性)； (2) 若a b |且c b |，则)(|c a b ;

若反复运用这一性质，易知a b |及c b |，则对于任意的整数v u ,有)(|cv au b ; 更一般，若i b a |，则 n

i i

i b

c a 1

|

其中,1,2,,i c Z i n L ；

(3) 若a b |，则或者0 a ，或者||||b a ;特别地，若a b |且b a |，则b a ； (4) (带余除法定理)

设b a ,为整数，0b ，则存在一对整数q 和r ，使得r bq a ，其中0r b ，满足以上条件的整数q 和r 是唯一确定.整数q 称为a 被b 除得的商，数r 称为a 被b 除得的余数。

注意：r 共有b 种可能的取值：0,1，……，1 b ；若0 r ，即为a 被b 整除的情形； （5）若n 是正整数，则))((1221

n n n n n

n

y xy y x x

y x y x ；

(6) 如果在等式

m

k k

n i i

b

a 1

1

中去掉某一项外，其余项均为c 的倍数，则去掉项也是c 的倍数；

(7) m （m ≥2且m Z ）个连续整数中，有且只有一个是m 的倍数；

(8) 任何n （n ≥2且n Z ）个连续的整数之积一定是n!的倍数，特别地，三个连续正整数之积能被6整

除；

（9）若一个整数的未位数字能被2（或5）整除，则这个数能被2（或5）整除，否则不能； （10）一个整数的数码之和能被3（或9）整除，则这个数能被3（或9）整除，否则不能； （11）若一个整数的未两位数字能被4（或25）整除，则这个数能被4（或25）整除，否则不能； （12）若一个整数的未三位数字能被8（或125）整除，则这个数能被8（或125）整除，否则不能； （13）若一个整数的奇位上的数码之和与偶位上的数码之和的差是11的倍数，则这个数能被11整除，否则不能。

（14）① 质数：一个大于1的正整数，如果它的因数只有1和它本身，则称为质数或素数；

② 合数：如果一个正整数包含有大于1且小于其本身的因子，则称这个正整数为合数。 （二）、奇数、偶数的性质

(1) 奇数 奇数=偶数，偶数 偶数＝偶数，奇数 偶数＝奇数，偶数 偶数＝偶数，奇数 偶数＝偶数，奇数 奇数＝奇数；任意多个偶数的和、差、积仍为偶数，奇数个奇数的和、差仍为奇数，偶数个奇数的和、差为偶数.

（2）奇数的平方都可以表示成18 m 的形式，偶数的平方可以表示为m 8或48 m 的形式，其中m Z ； （3）任何一个正整数n ，都可以写成l n m

2 的形式，其中m 为负整数，l 为偶数。

（4）若有限个整数之积为奇数，则其中每个整数都是奇数；若有限个整数之积为偶数，则这些整数中至少有一个是偶数；两个整数的和与差具有相同的奇偶性；偶数的平方根若是整数，它必为偶数。 （三）、完全平方数及其性质

能表示为某整数的平方的数称为完全平方数，简称为平方数，平方数有以下性质： （1）平方数的个位数字只可能是0, 1，4 , 5，6, 9；

（2）偶数的平方数是4的倍数，奇数的平方数被8除余1，即任何平方数被4除的余数只有可能是0或1；

（3）奇数平方的十位数字是偶数；

（4）十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6；