第二讲整除与同余(教师版)

第二讲 整除与同余一、整数的进位制1、【十进制数】给定一个m 位的正整数A ，其各位上的数字分别记为021,,,a a a m m ， A 可以表示成10的1 m 次多项式，即012211101010a a a a A m m m m ，其中{0,1,2,,9},i a L01,2,,1i m L ，且01 m a ，简记为021a a a A m m .2、【p 进制数】若十进制正整数A 可以表示为：012211a p a p a p a A m m m m ，其中{0,1,2,,1},01,2,,1i a p i m L L ，且01 m a ，m 仍然为十进制数，则称A 为p 进制数，记为p m m a a a A )(021 .【例题分析】1、（2008）a 是由2005个9组成的2005位数，b 是由2005个8组成的2005为数，则ab 是（ ）位数.A 4000B 4004C 4008 4010 2．求满足3)(c b a abc 的所有三位数abc 。

解：由于999100 abc ，则999)(1003c b a ，从而95 c b a ；当5 c b a 时，33)521(1255 ； 当6 c b a 时，33)612(2166 ；当7 c b a 时，33)343(3437 ； 当8 c b a 时，33)215(5128 ；当9 c b a 时，33)927(7299 ；于是所求的三位数只有512.3．一个四位数，它的个位数字与百位数字相同。

如果将这个四位数的数字顺序颠倒过来（即个位数字与千位数字互换，十位数字与百位数字互换），所得的新数减去原数，所得的差为7812，求原来的四位数。

解：设该数的千位数字、百位数字、十位数字分别为z y x ,,，则 原数y z y x 10101023①；颠倒后的新数x y z y 10101023②由②－①得7812＝)(90)(999y z x y即2868111()10()10()10()()y x z y y x z x y x ③ 比较③式两端百位、十位、个位数字得6,8 x z x y .由于原四位数的千位数字x 不能为0，所以1 x ，从而98 x y ，又显然百位数字9 y ， 所以76,1,9 x z x y ，所以所求的原四位数为1979.二、整除的概念及其性质（一）、基本概念1、定义：设b a ,是给定的整数，0 b ，若存在整数c ，使得bc a ,则称b 整除a ，记作a b |，并称b 是a 的一个约数(或因数)，称a 是b 的一个倍数，如果不存在上述c ，则称b 不能整除a ,记作b a .2、整除的性质(1) 若c b |且a c |，则a b |(传递性)； (2) 若a b |且c b |，则)(|c a b ;若反复运用这一性质，易知a b |及c b |，则对于任意的整数v u ,有)(|cv au b ; 更一般，若i b a |，则 ni ii bc a 1|其中,1,2,,i c Z i n L ；(3) 若a b |，则或者0 a ，或者||||b a ;特别地，若a b |且b a |，则b a ； (4) (带余除法定理)设b a ,为整数，0b ，则存在一对整数q 和r ，使得r bq a ，其中0r b ，满足以上条件的整数q 和r 是唯一确定.整数q 称为a 被b 除得的商，数r 称为a 被b 除得的余数。

注意：r 共有b 种可能的取值：0,1，……，1 b ；若0 r ，即为a 被b 整除的情形； （5）若n 是正整数，则))((1221n n n n nny xy y x xy x y x ；(6) 如果在等式mk kn i iba 11中去掉某一项外，其余项均为c 的倍数，则去掉项也是c 的倍数；(7) m （m ≥2且m Z ）个连续整数中，有且只有一个是m 的倍数；(8) 任何n （n ≥2且n Z ）个连续的整数之积一定是n!的倍数，特别地，三个连续正整数之积能被6整除；（9）若一个整数的未位数字能被2（或5）整除，则这个数能被2（或5）整除，否则不能； （10）一个整数的数码之和能被3（或9）整除，则这个数能被3（或9）整除，否则不能； （11）若一个整数的未两位数字能被4（或25）整除，则这个数能被4（或25）整除，否则不能； （12）若一个整数的未三位数字能被8（或125）整除，则这个数能被8（或125）整除，否则不能； （13）若一个整数的奇位上的数码之和与偶位上的数码之和的差是11的倍数，则这个数能被11整除，否则不能。

（14）① 质数：一个大于1的正整数，如果它的因数只有1和它本身，则称为质数或素数；② 合数：如果一个正整数包含有大于1且小于其本身的因子，则称这个正整数为合数。

（二）、奇数、偶数的性质(1) 奇数 奇数=偶数，偶数 偶数＝偶数，奇数 偶数＝奇数，偶数 偶数＝偶数，奇数 偶数＝偶数，奇数 奇数＝奇数；任意多个偶数的和、差、积仍为偶数，奇数个奇数的和、差仍为奇数，偶数个奇数的和、差为偶数.（2）奇数的平方都可以表示成18 m 的形式，偶数的平方可以表示为m 8或48 m 的形式，其中m Z ； （3）任何一个正整数n ，都可以写成l n m2 的形式，其中m 为负整数，l 为偶数。

（4）若有限个整数之积为奇数，则其中每个整数都是奇数；若有限个整数之积为偶数，则这些整数中至少有一个是偶数；两个整数的和与差具有相同的奇偶性；偶数的平方根若是整数，它必为偶数。

（三）、完全平方数及其性质能表示为某整数的平方的数称为完全平方数，简称为平方数，平方数有以下性质： （1）平方数的个位数字只可能是0, 1，4 , 5，6, 9；（2）偶数的平方数是4的倍数，奇数的平方数被8除余1，即任何平方数被4除的余数只有可能是0或1；（3）奇数平方的十位数字是偶数；（4）十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6；（5）不能被3整除的数的平方被3除余1，能被3整除的数的平方能被3整除。

因而，平方数被9除的余数为0,1，4,7，且此平方数的各位数字的和被9除的余数也只能是0,1，4,7； （6）平方数的正约数的个数为奇数个；（7）任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数。

（四）、格点：数学上把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点或整点. 【例题分析】1、（2005年11）若69222n 为一个平方数，则正整数n .2、（2009）多项式942222012223+3-13+2=++++x x x a a x a x a x L ，则13521++++=a a a a L3、（2007）设数列 n a 满足:211=1=5241,n n n a a a a n N，,求证： na 的各项都是正整数.4 、（2009）证明：平面直角坐标系xoy 内存在不在一条直线上的2009个整点，使得每条直线上至少有3个整点，且任意两点的距离都是整数.5、（2008）6．证明：若正整数b a ,满足b b a a 2232，则b a 和122 b a 都是完全平方数。

证：已知b b a a 2232 222)()(2b b a b a （b a ）（122 b a ）＝2b ①显然b a ，令d b a ),(，则d b b d a a 11, ，1),(11 b a从而b a ＝d b a )(11 ，将其代入①得d b b a d a 21112132 ②因为|d d a 212，所以|d )(11b a ，从而 d 11b a ；而②式又可写成)(11b a 2111)122(d b b a ；因为d b a ),(且1),(11 b a ，所以 1),(111b b a )(11b a 所以)(11b a d |，从而d b a 11。

所以11b a d ，所以b a ＝211)(d d b a ，从而b a 为完全平方数。

所以222)(122d b db b a 也是完全平方数。

三、同余的定义及其性质【定义1】. 设m 是正整数，若用m 去除整数b a ,，所得的余数相同，则称a 与b 关于模m 同余，记作)(mod m b a ，否则称a 与b 关于模m 不同余，记作a)(mod m b .例如：)15(mod 434 ，)7(mod 11000 ，98(mod 2) 等等。

当m b 0时，)(mod m b a ，则称b 是a 对模m 的最小非负剩余。

对于固定的模m ，通常有下面的性质：性质1. )(mod m b a 的充要条件是,a mt b t Z 也即)(|b a m 。

性质2.同余关系满足以下规律： （1）（反身性）)(mod m a a ；（2）（对称性）若)(mod m b a ，则)(mod m a b ；（3）（传递性）若)(mod m b a ，)(mod m c b ，则)(mod m c a ；（4）（同余式相加）若)(mod m b a ，)(mod m d c ，则)(mod m d b c a ； （5）（同余式相乘）若)(mod m b a ，)(mod m d c ，则)(mod m bd ac ；注意：① 反复利用（4）（5），可以对多于两个的（模相同的）同余式建立加、减和乘法的运算公式 ；② 特别地，由（5）易推出：若)(mod m b a ，c k ,为整数且0 k ，则)(mod m c b c a kk；③ 同余式的消去律一般并不成立，即从)(mod m bc ac 未必能推出)(mod m b a ，可是我们却有以下结果：若)(mod m bc ac ，则),(mod c m m b a .由此可以推出：（6）若,1),( m c )(mod m bc ac ，则有)(mod m b a ，即在c 与m 互素时，可以在原同余式两边约去c 而不改变模.（7）若)(mod m b a ，d ｜m ，则)(mod d b a ； （8）若)(mod m b a ，0 d ，则)(mod dm db da ；（9）若(mod )(1,2,,)i a b m i k L ，则12(mod [,,,])k a b m m m L ，特别地，若12,,,k m m m L 两两互素时，则有12(mod )k a b m m m L ；性质3.若k i m b a i i ,,2,1),(m od ，则)(mod 11m b a k i k i ii；11(mod )k kiii i a b m ；性质4.设)(x f 是系数全为整数的多项式，若)(mod m b a ，则))(mod ()(m b f a f 。