某些常用分布的数学期望与方差

m1
Cnm N M
M CnN
n
Cm1 M 1
Cnm N M
.
m1
设k m 1, 得
E(X )
M CnN
n1
CkM
1
Cn1k N M
.
k 0
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
由组合数的性质可知
n1
n1
C C k
n1k
M 1 N M
CkM
Cnm N M
1 CnN
n
m2 CmM
m1
Cnm N M
M CnN
n
m
Cm1 M 1
Cnm N M
,
m1
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
设 k m 1, 得
E( X 2 )
M CnN
n1
(k
k 0
1)
CkM
Cn1k
1 N M
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
二项分布的数学期望和方差还可以用下述方法计算：
如果事件 A 在每次试验中发生的概率为 p , 则 A在 n 次独立试验中发生的次数 X 服从二项分布 B(n , p) .
现在设 X i 表示事件A 在第 i 次试验中发生的次数， (i 1,2 , , n) , 则 X1 , X2 , , Xn 相互独立，服从相同的 “0 1”分布，且有
i1
i1
n
n
X 的方差: D( X ) D( Xi ) D( Xi ) npq.
i1
i1
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
泊松分布
设随机变量X 服从泊松分布P() , 我们有
E( X ) m m e e
m1
,
m0 m!
1
G( p)
x 1 ,2 ,3 ,
p
(0 p 1, p q 1)
续表 方差
q p2
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
续表
分布名称 及记号
概率函数或概率密度
均匀分布
f
(
x)
b
1
a
,
a xb;
U (a ,b)
0 , 其它
数学 期望
§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
均匀分布
设随机变量 X 在区间 a ,b 上服从均匀分布，则
E(X )
b x dx aba
a b. 2
均匀分布的数学期望正是随机变量分布区间的中点值.
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
为了计算 D(X ) , 我们先计算 E( X 2 )
E(X ) np 10 0.4 4, D(X ) npq 10 0.4 (1 0.4) 2.4 , E(X 2) D(X ) E2(X ) 2.4 42 18.4.
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npq
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
续表
分布名称 及记号
概率函数或概率密度
数学 期望
方差
超几何 分布
p(x)
CMx
Cnx N M
CnN
,
nM nM (N M )(N n)
x 0 ,1 ,min(n , M ) N
N 2 (N 1)
设随机变量X 服从指数分布 e() ,则
E( X ) x exdx, 0
置换积分变量x t , 得
E(
X
)
1
t etdt
0
(2)
1.
指数分布的数学期望等于其参数 的倒数.
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
为了计算 D(X ) , 我们先计算 E(X 2) :
1
C(n1)k ( N 1)(M
1)
CnN11,
k 0
k 0
所以有
E(X
)
M
Cn1 N 1
CnN
nM N
.
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
为了计算方差D( X ) , 我们先计算 E(X 2) :
E( X
2)
1 CnN
n
m2
m0
CmM
H (n ,M
, N ) (n , M , N为正整数;
n N ,M N)
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
分布名称 及记号
泊松分布
P()
概率函数或概率密度
p(x) x e
x!
x 0 ,1,2, ( 0)
数学 期望
几何分布
p(x) pqx1 ,
E(X ) , D(X )
E(X ) 1 ,
源自文库
D(
X
)
1
2
E( X ) a b , D( X ) (b a)2
2
12
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
思考题
设 X 表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次 射中目标的概率是0.4，则 X 2的数学期望 E(X 2) _____ 分析： 由题知 X ~ B(10 ,0.4), 所以
§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
由此得
E
(
X
2
)
M CnN
(M
1)
Cn2 N 2
Cn1 N 1
M
n(n 1)(M N (N 1)
1)
n N
所以
nM (nM n M N ) , N (N 1)
D(X ) nM (nM n M N ) (nM )2
N (N 1)
N
D(
m1 (m 1)!
设 k m 1, 得
E( X ) e k e e .
k0 k!
泊松分布的数学期望就是参数 .
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
为了计算 D(X ) , 我们先计算 E(X 2) .
E( X 2 ) m2 m e e m m1 ,
E( X 2 ) b x2 dx a2 ab b2 .
aba
3
所以
D(X )
a2
ab b2 3
a
b 2
2
(b a)2 . 12
均匀分布的方差与分布区间长度的平方成正比.
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
指数分布
k为正整数
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
小结
熟悉常用分布的数学期望与方差
X ~ B(1, p)
E(X ) p , D(X ) pq
X ~ B(n , p)
X ~ P() X ~ e()
X ~ U (a ,b)
E(X ) np , D(X ) npq
ab 2
方差
(b a)2 12
指数分布
ex , x 0 ;
f (x)
e()
0 , x0
1
1
2
( 0)
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
分布名称 及记号
概率函数或概率密度
数学 期望
正态分布
f (x)
1
e , (
x )2 2 2
2 π
N( , 2)
x
( 0)
续表 方差
2
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
分布名称 及记号
概率函数或概率密度
续表
数学 期望
方差
2分布
1
f
(
x)
2
k 2
(
k
)
k 1 x
x2 e 2
,
x 0;
2(k)
2
0,
k 2k x0
X
)
nM
(N N
2(
M N
)( N 1)
n)
.
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
二项分布
设随机变量 X 服从二项分布B(n , p) ,有
n
n
E( X ) mCmn pmqnm mCmn pmqnm
m0
m1
n
np
Cm1 n1
常用分布及其数学期望与方差
分布名称 及记号
概率函数或概率密度
“0 1” p(x) pxq1x , x 0 ,1
分布
(0 p 1, p q 1)
数学 期望
p
二项分布
p(x) Cnx pxqnx ,
x 0 ,1 , , n
np
B(n , p) (0 p 1, p q 1)
方差 pq
M CnN
n1 k 0
k
CkM
Cn1k
1 N M
n1 k 0
CkM
Cn1k
1 N M
.
第二个和式等于
Cn1 N 1
,
与前面计算过程完全类似，
可知第一个和式等于
(M
1)
Cn2 N 2
:
E
(
X
2
)
M CnN
(M
1)
Cn2 N 2
Cn1 N 1
.
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n
X Xi .
i1
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
Xi
0
P(Xi x) q
1
( p q 1)
p
X i 的数学期望和方差分别是
E( Xi ) p, D( Xi ) pq, i 1 ,2 , ,n.
由此可得
n
n
X 的期望： E( X ) E( Xi ) E(Xi ) np,
pm1qnm.
m1
设k m 1, 得
n1
E( X ) np Ckn1 pkqn1k np(q p)n1 np .
k 0
二项分布的数学期望等于参数 n 与 p的乘积.
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
为了计算方差D( X ) , 我们先计算E(X 2) :
m0 m!
m1 (m 1)!
设 k m 1, 得
E(X
2)
e
(k
k 0
1) k
k!
e
k 1
k1
(k 1)!
k 0
k
k!
e ( e e ) ( 1).
所以
D( X ) ( 1) 2 .
泊松分布的方差等于数学期望.
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E( X 2 ) x2 exdx, 0
置换积分变量x t , 得
E(
X
2
)
1
2
t 2 etdt
0
(3)
2
2
2
,
所以
D(X )
2
2
( 1 )2
1
2
,
(X) 1.
指数分布的标准差与数学期望相等.
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
.
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
与前面的过程完全类似，可知上式括弧中第一个和 式等于(n 1) p ; 而第二个和式等于 ( p q)n1 1;
由此得 所以
E(X 2) np(n 1) p 1 np(np q),
D( X ) np(np q) (np)2 npq.
第三章 随机变量的数字特征
§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
超几何分布
设随机变量 X ~ H (n, M , N ) ,则
E(X )
1 CnN
n
m
CmM
Cnm N M
m0
1 CnN
n
m CmM
n
n
E( X 2 ) m2 Cmn pmqnm m2 Cmn pmqnm
m0
m1
n
np
m
Cm1 n1
pm1qnm.
m1
设 k m 1, 得
n1
E( X 2 ) np (k 1) Ckn1 pkqn1k
k 0
np
n1 k 0
k
Ckn1
pk qn1k
n1
Ckn1
k 0
pk qn1k