abaqus系列教程-07线性动态分析

7.1.2 振型叠加
在线性问题中，可以应用结构的固有频率和振型来定性它在载荷作用下的动态响 应。采用振型叠加（modal superposition）技术，通过结构的振型组合可以计算结构的 变形，每一阶模态乘以一个标量因子。在模型中的位移矢量 u 定义为

u i i
i 1
其中 i 是振型 i 的标量因子。 这一技术仅在模拟小变形、 线弹性材料和无接触条件的 情况下是有效的，换句话说，即线性问题。 在结构的动力学问题中，结构的响应往往被相对较少的几阶振型控制，在计算这 类系统的响应时，应用振型叠加成为特别有效的方法。考虑一个含有 10,000 个自由度 的模型， 对动态运动方程的直接积分将在每个时间点上同时需要联立求解 10,000 个方 程。如果通过 100 个振型来描述结构的响应，则在每个时间增量步上只需求解 100 个 方程。更重要的是，振型方程是解耦的，而原来的运动方程是耦合的。在计算振型和 频率的过程中，开始时需要一点成本，但是，在计算响应时将会节省大量的计算花费。 如果在模拟中存在非线性，在分析中固有频率会发生明显的变化，因此振型叠加 法将不再适用。在这种情况下，只能要求对动力平衡方程直接积分，它所花费的时间 比振型分析昂贵得多。 必须具备下列特点的问题才适合于进行线性瞬态动力分析： 系统应该是线性的：线性材料行为，无接触条件，以及没有非线性几何效应。 响应应该只受相对少数的频率支配。当在响应中频率的成分增加时，诸如是打击和 碰撞的问题，振型叠加技术的效率将会降低。
7 线性动态分析
如果你只对结构承受载荷后的长期响应感兴趣，静力分析（static analysis）是足 够的。然而，如果加载时间很短 （例如在地震中）或者如果载荷在性质上是动态的（例 如来自旋转机械的荷载） ，你就必须采用动态分析（dynamic analysis） 。本章将讨论应 用 ABAQUS/Standard 进行线性动态分析； 关于应用 ABAQUS/Explicit 进行非线性动态 分析的讨论，请参阅第 9 章“非线性显式动态分析” 。
图 7–3
板的粗网格
图 7-4 显示了同样的板采用了一阶单元的精细网格的模拟。现在，第六阶振型的 位移形状看起来明显变好，对于该阶振型所预测的频率更加准确。如果作用在板上的 动态载荷会显著地激发该阶振型，则必须采用精细的网格；采用粗网格将得不到准确 的结果。
7-7
图 7–4 板的精细网格
7.5 例题：货物吊车—动态载荷
7.5.1 修改模型
打开模型数据库文件 Crane.cae，将 Static 模型复制成一个名为 Dynamic
7-9
的模型。除了下面描述的修改之外，动态分析的模型基本上与静力分析的模型相同。 材料 在动态分析中，必须给定每种材料的密度，这样才能形成质量矩阵。在吊车 中钢的密度为 7800 kg/m3。 在这个模型中，材料属性是作为截面特性定义的一部分给出的。所以需要在 Property 模块中编辑 BracingSection 和 MainMemberSection 截面定义来指 定密度。 在 Edit Beam Section （编辑梁截面） 对话框的 Section material density （截面材料密度）域中，为每个截面输入密度值为 7800。 注意：如果材料数据的定义是独立于截面属性的，通过编辑材料定义可以将密度 包括在内，即在 Edit Material 对话框中，选择 General-->Density。 分析步 应用于动态分析的分析步定义与静力分析的分析步定义具有本质上的不同。 因此，两个新的分析步将取代前面所建立的静力分析步。 在动态分析中的第一个分析步用于计算结构的自振频率和振型。第二个分析 步则应用这些数据来计算吊车的瞬态（模型）动态响应。在这个分析中，我们假 定一切都是线性的。如果你想在分析中模拟任何的非线性，必须使用隐式动态 （implicit dynamic）过程对运动方程进行直接积分。关于进一步的细节请参阅第 7.9.2 节“非线性动态分析” 。 ABAQUS/Standard 提供了 Lanczos 和子空间迭代（subspace iteration）的特征 值提取方法。对于具有很多自由度的系统，当要求大量的特征模态时，一般来说 Lanczos 方法的速度更快。当需要仅少数几个（少于 20）特征模态时，则应用子 空间迭代法的速度可能更快。 在这个分析中，我们使用 Lanczos 特征值求解器并求解前 30 个的特征值。除 了指定所要提取模态的数目，也可以指定所感兴趣的最小和最大频率，因此，一 旦 ABAQUS/Standard 已经提取了在这个指定范围内的所有特征值， 就会结束该分 析步。也可以指定一个变换点（shift point） ，距离这个变换点最近的特征值将被 提取。在默认情况下，不使用最小或最大的频率或变换点。如果没有约束结构的 刚体模态，必须设置变换值为一个小的负值，以避免由于刚体运动产生的数值问 题。
7.1 引言
动态模拟是将惯性力包含在动力学平衡方程中：
I P 0 Mu
其中 M
u
结构的质量。 结构的加速度。 在结构中的内力。 所施加的外力。
I
P
在上面公式中的表述是牛顿第二运动定律（F = ma） 。 在静态和动态分析之间最主要的区别是在平衡方程中包含了惯性力（M u ） 。在两 类模拟之间的另一个区别在于内力 I 的定义。在静态分析中，内力仅由结构的变形引 起；而在动态分析中，内力包括源于运动（例如阻尼）和结构的变形的贡献。
7-2
特征值；它的平方根 j 是结构的第 j 阶模态的固有频率（natural frequency） ，而 j 是 相应的第 j 阶特征向量（eigenvector） 。特征向量也就是所谓的模态（mode shape） （也 称为振型） ，因为它是结构以第 j 阶模态振动的变形形状。 在 ABAQUS/Standard 中， 应用频率的提取过程确定结构的振型和频率。 这个过程 应用起来十分容易，你只要指出所需要的振型数目或所关心的最高频率即可。
图 7–2
阻尼
7.2.1 在 ABAQUS/Standard 中阻尼的定义
对于瞬时模态分析， 在 ABAQUS/Standard 中可以定义一些不同类型的阻尼： 直接 模态阻尼（direct modal damping） ，瑞利阻尼（Rayleigh damping）和复合模态阻尼 （composite modal damping） 。 阻尼是针对模态动力学过程定义的，阻尼是分析步定义的一部分，每阶模态可以 定义不同量值的阻尼。
7.1.1 固有频率和模态
最简单的动态问题是在弹簧上的质量自由振动，如图 7-1 所示。
7-1
图 7–1
质量－弹簧系统
在弹簧中的内力给出为 ku ，所以它的动态运动方程为
ku P 0 mu
这个质量－弹簧系统的固有频率（natral frequency） （单位是弧度/秒（rad/s） ）给出为
其中 和 是由用户定义的常数。 尽管阻尼是正比于质量和刚度矩阵的假设没有 严格的物理基础，实际上我们对于阻尼的分布知之甚少，也就不能保证其它更为 复杂的模型是正确的。一般的，这个模型对于大阻尼系统不可靠；即超过临界阻 尼的大约 10%。相对于其它形式的阻尼，你可以精确地定义系统的每阶模态的 Rayleigh 阻尼。 对于一个给定模态 i，临界阻尼值为 i ，而 Rayleigh 阻尼值 和 的关系为
d 1 2
其中
d

c
c0
是阻尼特征值，
c c0
是临界阻尼比， 是该振型的阻尼， 是临界阻尼。
7-4
对于 的较小值（ 0.1 ） ，有阻尼系统的特征频率非常接近于无阻尼系统的相 应值；当 增大时，无阻尼系统的特征频率成为不太准确的；而当 接近于 1 时，采 用无阻尼系统的特征频率就成为无效的。 如果结构是处于临界阻尼（ 1 ） ，在任何扰动后，结构不会有摆动而是尽可能 迅速地恢复到它的初始静止构形。 （见图 7-2）
7-3

载荷的主要频率应该在所提取的频率范围之内，以确保对载荷的描述足够精确。 应用特征模态，应该精确地描述由于任何突然加载所产生的初始加速度。 系统的阻尼不能过大。
7.2 阻尼
如果允许一个无阻尼结构做自由振动， 则它的振幅会是一个常数。 然而在实际中， 能量被结构的运动耗散，振动的幅度减小直至振动停止。这种能量耗散被称为阻尼 （damping） 。通常假定阻尼为粘滞的，或者正比于速度。包含阻尼的动力平衡方程可 以重新写为
I P 0 Mu I Ku Cu
其中 C 是结构的阻尼矩阵 是结构的速度。
u
来自百度文库
能量耗散来自于诸多因素，其中包括结构连接处的摩擦和局部材料的迟滞效应。 阻尼是一种很方便的方法，它包含了重要的能量吸收而又无需模拟具体的效果。 在 ABAQUS/Standard 中，特征模态的计算是关于无阻尼系统的。然而，大多数工 程问题都包含某种阻尼，尽管阻尼可能很小。对于每个模态，在有阻尼和无阻尼的固 有频率之间的关系是
I 0 Mu
对于无阻尼系统， I Ku ，因此有
Ku 0 Mu
这个方程的解具有形式为
u e i t
将此式代入运动方程，得到了特征值（eigenvalue）问题
K M
其中 2 。 该系统具有 n 个特征值，其中 n 是在有限元模型中的自由度数目。记 j 是第 j 个
这个例子采用在第 6.4 节“例题：货物吊车”中已分析过的同样的货物吊车，现 在要求研究的问题是当 10 kN 的载荷在 0.2 秒的时间中落到吊车挂钩上所引起的响应。 在 A, B, C 和 D 点（见图 7-5）处的连接仅能够承受的最大拉力为 100 kN。你必须决 定这些连接的任何一个是否会断裂。
图 7–5
货物吊车
加载的持续时间很短意味着惯性效应可能是很重要的，基本上要进行动态分析。 这里没有提供关于结构的阻尼的任何信息。由于在桁架和交叉支撑之间采用的是螺栓 连接，因此由摩擦效应引起的能量吸收可能是比较显著的。因此，基于经验可以对每
7-8
一阶振型选择 5％的临界阻尼。 施加载荷的值与时间的关系，如图 7-6 所示。

k m
如果质量块被移动后再释放，它将以这个频率振动。若以此频率施加一个动态外 力，位移的幅度将剧烈增加，这种现象即所谓的共振。 实际结构具有大量的固有频率。因此在设计结构时，非常重要的是避免使可能的 载荷频率过分接近于固有频率。通过考虑非加载结构（在动平衡方程中令 P 0 ）的 动态响应可以确定固有频率。则运动方程变为
7-6
7.3 单元选择
事实上，ABAQUS 的所有单元均可用于动态分析，选取单元的一般原则与静力分 析相同。但是，在模拟冲击和爆炸载荷时，应该选用一阶单元，因为它们具有集中质 量公式，这种公式模拟应力波的效果优于二阶单元采用的一致质量公式。
7.4 动态问题的网格剖分
当你正在设计应用于动态模拟的网格时，你需要考虑在响应中将被激发的振型， 并且使所采用的网格能够充分地反映出这些振型。 这意味着能够满足静态模拟的网格， 不一定能够计算由于加载激发的高频振型的动态响应。 例如，考虑图 7-3 所示的板。一阶壳单元的网格对于板受均布载荷的静力分析是 适合的，并也适合于一阶振型的预测。但是，该网格是明显地过于粗糙以至于不能够 精确地模拟第六阶振型。
7-5
直接模态阻尼 应用直接模态阻尼可以定义与每阶模态相关的临界阻尼比 ，其典型的取值 范围是在临界阻尼的 1%到 10%之间。直接模态阻尼允许用户精确地定义系统的 每阶模态的阻尼。 Rayleigh 阻尼 在 Rayleigh 阻尼中，假设阻尼矩阵是质量和刚度矩阵的线性组合，
C M K ，
图 7–6 载荷－时间特性
在本手册的在线文档第 A.5 节“Cargo crane – dynamic loading”提供了输入文件。 当通过 ABAQUS/CAE 运行这个输入文件时，将创建关于该问题的完整的分析模型。 根据下面给出的指导如果你遇到困难，或者如果你希望检查你的工作，则可以运行这 个输入文件。在附录 A“Example Files”中，给出了如何提取和运行输入文件的指导。 如果你没有进入 ABAQUS/CAE 或者其它的前处理器，可以人工创建关于这个问 题的输入文件， 关于这方面的讨论， 见 Getting Started with ABAQUS/Standard： Keywords Version，第 9.5 节“Example：Cargo crane – dynamic loading” 。
i
复合阻尼
2 i 2 i
在复合阻尼中，对于每种材料定义一个临界阻尼比，这样就得到了对应于整 体结构的复合阻尼值。当结构中有多种不同的材料时，这一选项是有用的。在本 指南中将不对复合阻尼做进一步的讨论。
7.2.2 选择阻尼值
在大多数线性动力学问题中， 恰当地定义阻尼对于获得精确的结果是十分重要的。 但是，在某种意义上阻尼只是近似地模拟了结构吸收能量的特性，并非试图去模拟引 起这种效果的物理机制。因此，在模拟中确定所需要的阻尼数据是很困难的。偶尔， 你可以从动态试验中获得这些数据，但是，你不得不通过查阅参考资料或者经验获得 这些数据。在这些情况下，你必须十分谨慎地解释模拟结果，并通过参数分析研究来 评估模拟对于阻尼值的敏感性。