最优控制理论与应用

平方的时间积分为最小。即
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维纳在40年代提出了相对于某 一性能指标进行最优设计的概念
这是一种综合性能指标评价方法。通过对这种评价方法的进
一步发展，将对系统的要求统一在一个评价函数中，以求得
在总体上达到最优。这就是最优控制思想的萌芽。
性能指标(目标函数、评价函数或性能泛函)可以是产量 达到最高、成本降到最低、目标方位角估计误差最小、火箭 射程最远等。
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绪论
1. 三个著名的古典问题
2. 最优控制问题的提出 3. 最优控制问题举例 4. 最优控制问题的一般描述 5. 最优控制发展简史
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等周问题
在微积分以前，已有许多人开始研究用数学方法 解决最优化问题。例如欧洲古代城堡几乎都是圆形的。 因为公元前187年－212年，阿基米德已证明，给定周 长，圆所包围的面积最大，数学上称为等周问题。中 国古代城堡却是方形的，这是因为给定周长时正方形 是包围面积最大的四边形；反之给定面积时，正方形 是周长最短的四边形。
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绪论
1. 三个著名的古典问题
2. 最优控制问题的提出
3. 最优控制问题举例 4. 最优控制问题的一般描述 5. 最优控制发展简史
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最优控制问题的提出
经典控制理论 采用试凑法设计控制系统，系统性能 不是最优的。所用性能指标如上升时间、最大超调量、调 节时间、稳态误差等。
维纳对控制系统的设计思想：使系统过渡过程期间误差
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维纳
维纳不仅是一个很有名的数学家，在数学方面也有很 多贡献，而且对其他学科也很有兴趣。在第二次世界大战 末期，有两个大问题特别引起了他的兴趣，一个是电子计 算机，另一个是火炮命中率问题。在第二次世界大战期间， 交战双方都在努力提高防空火炮打飞机的命中率，当时平 均3000发炮弹才能击中一架敌机。
车的快速运行、轧钢机的快速控制、机械振动的快速消振、 卫星的快速会合等。
将被控对象简化成一个内部带控制器的物体M，其质 量为1。重力加速度g垂直向下作用到M的质心上。控制器 可提供一个作用于M质心上的使其垂直上升或下降的加速 度u(t)。考虑到u(t)由动力设备产生，其大小必受到限制。 因此有| u(t) |≤k， k为正常数。简化示意图如图所示。
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绪论
1. 三个著名的古典问题 2. 最优控制问题的提出
3. 最优控制问题举例
4. 最优控制问题的一般描述 5. 最优控制发展简史
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最优控制问题
例 产值分配问题 设x(t)是某一企业在时刻t
的产值的总额，这一总额分配给下面两种用途：
①利润上缴及消费；②再投资提高生产力。设u(t)
wenku.baidu.com
表示在时刻t用于再投资的产值的比值，这里
参考书
参考书
• 最优控制理论与系统
胡寿松, 王执铨, 胡维礼编著，科学出版社，2005年06月
• 最优控制－理论与应用
解学书，清华大学出版社，1986年7月
• 最优控制理论与应用
冯国楠编著 ，北京工业大学出版社， 1991年10月
• 最优控制的要点·例题·习题
徐湘元，华南理工大学出版社， 1997年06月
t1 (1 u(t))x(t)dt
0
利润与消 费的积累
取最大值。
对于这个问题，我们应该考虑，是要把一切产
值都用于消费品的生产；还是目前作一些投资提高
现有的生产能力，以便今后能生产得更多，从而也
能消费得更多。我们是否要遵循先投资一切，而后
再消费一切的过程。
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最优控制问题
例 升降机的最快升降问题 电梯快速升降问题、机
弧长为定值的曲 线y=y(x)如何选 取，才能使所围 成的面积为最大。
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捷线问题
捷线问题，或称最短时间问题，或称最速降线问 题，是这样提出来的：如果有一个质量为m的小球受 到重力的作用，在垂直平面内沿金属丝无摩擦的下滑 到某一点，为了使下滑时间最短，则金属丝应当具有 什么形状？伽利略曾猜测金属丝形状是圆弧，但1694 年贝努里证明这种金属丝是一条摆线，与利用求泛函 极值的变分法所得结果一致。
0≤u(t)≤1，那么1－ u(t)就表示用于利润上缴及消
费的比值。假设再投资的产值用来提高生产能力，
则可表示为
dx ku(t)x(t) dt
产值增 长率
其中x(0)=x0表示原始资金，k为适当常数(即生产 的增长率正比于投资的总额)。
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最优控制问题
问题是选择u(t)，使得在某一固定时期t1内总的 利润与消费的积累为最大值，也就是说，我们要使
x u(t)
M g o 地面
记x为M的质心距地面高度， 地面上为正，地面下为负。加速 度u(t)向上为正，向下为负。初 始时刻t0，末端时刻tf 。
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短程线问题
短程线问题 给定一个曲面及其上面的任意两点 A和B，寻找一条把A、B连接起来的曲线，使它的长度 最短。这条最短的曲线叫做短程线。
以上是三个在历史上对变分法的创立产生过重大 影响的命题。实际上人们做任何一件事，不管是分析 问题，还是进行综合、作出决策，都要用一种标准衡 量一下是否达到了最优。在科学实验、生产技术改造、 工程设计，和在生产计划管理、社会经济问题中，人 们总是希望采取种种措施，以便在有限的资源条件下 或规定的约束条件下得到最满意的效果。
维纳和一位年轻工程师合作，从驾驶汽车这种简单的 动作中发现，人是采用了一种叫“反馈”的控制方法，使 汽车按要求行驶。维纳又请来了神经专家进行共同研究， 发现机器和人的控制机能有相似之处。后来，维纳又和许 多有名科学家进行讨论，听取对方的批评意见，甚至是 “攻击”意见，终于于1948年出版了《控制论》。
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维纳
美国数学家，美国全国科学院院士。 控制论的创始人。1913年18岁在哈佛大 学获得数学和哲学两个博士学位。
毕业后到英国剑桥大学在哲学家和数学家 罗素指导下研究数理逻辑，后又到德国格丁根大学在著名 的数学家希尔伯特指导下研究数学。1915~1919年间先后 担任哈佛大学哲学讲师，缅因大学数学讲师，通用电气公 司工程师等职。1919年到麻省理工学院任数学讲师，1924 年任助理教授，1929年任副教授，1932年任教授，直到 1960年退休。1935~1936年间曾访问过中国，担任清华大 学客座教授。1933年当选为美国全国科学院院士。 1935~1937年当选为美国数学会副主席。