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44 实对称矩阵的对角化 课件.ppt
2 2 0
4 0 0
(1)A 2 1 2, (2) A 0 3 1
0 2 0
0 1 3
解 (1)第一步 求A 的特征值
2 2 0
A E 2 1 2 4 1 2 0
0 2 得 1 4, 2 1, 3 2.
线性代数课件 hty
9
第二步 由A i E x 0,求出A的特征向量
量单位化；(4)最后正交化．
线性代数课件 hty
16
1 2 p1T p2 0.
1 2 , p1T p2 0. 即p1与p2正交.
线性代数课件 hty
5
定理3 设 A为 n阶对称矩阵, 是A的特征方程的r 重根,则矩阵 A E 的秩 R( A E) n r,从而 对应特征值 恰有 r 个线性无关的特征向量.
定理4 设A为n阶对称矩阵,则必有正交矩阵P,使
4
定理2 设1 , 2 是对称矩阵A的两个特征值 , p1 , p2是对应的特征向量,若1 2 ,则p1与p2正交. 证明 1 p1 Ap1, 2 p2 Ap2 , 1 2 ,
A对称, A AT ,
1 p1T 1 p1 T Ap1 T p1T AT p1T A,
于是 1 p1T p2 p1T Ap2 p1T 2 p2 2 p1T p2 ,
0,
0,
i 1
i 1
即 , 由此可得是实数.
线性代数课件 hty
3
定理1的意义
由于对称矩阵A的特征值 i 为实数,所以齐次
线性方程组
(A i E)x 0 是实系数方程组,由 A i E 0知必有实的基础解
系, 从 而 对 应 的 特 征 向 量 可以 取 实 向 量.
线性代数课件 hty
线性代数—实对称矩阵的对角化PPT课件
( , ) a1b1 a2b2 anbn T .
向量的内积具有如下基本特性：
(1) ( , ) ( , )
(2) ( , ) (, ) ( , )
(3) (k , ) k( , ) （k 为实数）
(4) (, ) 0 ，(, ) 0 当且仅当 。 证略.
1 9
8 9
4 9
1 9
8 9
4 9
T
(2) 8 1 4 8 1 4
9 4
9
9 4
9
9 7
9
9 4
9
9 4
9
9 7
9
1 0 0
0 1 0 ,
0
0
1
所以它是正交矩阵．
17
第17页/共37页
练习 验证矩阵
1 2 1
P
2 1
2
0
是正交矩阵.
1 1 1
2 2 2
1 1 22
0
0
0
特征向量 2 (1 , 2 , 0)T , 3 (1 , 0 , 1)T ,
3
1
0
1
1 5
1
2
0
1 5
4 2 5
,
4
3 2 ,
5
24
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2
1
4
1 1 , 2 2 , 3 2 ,
2
0
5
2
1
1 1 ,
3
1
3
1
1 0 .
2 1
1 , 2 , 3 即为所求 .
10
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例5 已知1 (1, 1, 1)T ，求一组非零向量2 , 3 ， 使 1, 2, 3 两两正交.
向量的内积具有如下基本特性：
(1) ( , ) ( , )
(2) ( , ) (, ) ( , )
(3) (k , ) k( , ) （k 为实数）
(4) (, ) 0 ，(, ) 0 当且仅当 。 证略.
1 9
8 9
4 9
1 9
8 9
4 9
T
(2) 8 1 4 8 1 4
9 4
9
9 4
9
9 7
9
9 4
9
9 4
9
9 7
9
1 0 0
0 1 0 ,
0
0
1
所以它是正交矩阵．
17
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练习 验证矩阵
1 2 1
P
2 1
2
0
是正交矩阵.
1 1 1
2 2 2
1 1 22
0
0
0
特征向量 2 (1 , 2 , 0)T , 3 (1 , 0 , 1)T ,
3
1
0
1
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1
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0
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4 2 5
,
4
3 2 ,
5
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1 1 , 2 2 , 3 2 ,
2
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5
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1
1 1 ,
3
1
3
1
1 0 .
2 1
1 , 2 , 3 即为所求 .
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例5 已知1 (1, 1, 1)T ，求一组非零向量2 , 3 ， 使 1, 2, 3 两两正交.
大学线性代数课程 第二章第三节 矩阵的相似对角化 课件
1
( p1,
p2 ,L
,
pn
)
2
O
P,
n
所以 P 1 AP , 即Ａ与对角矩阵Λ相似．
的列向量必须满足上述条件。满足这个条件的向量称为
特征向量。
反之，若满足条件的向量 p1, p2 ,L , pn，
即 Api i pi (i 1, 2,L , n), 设 P ( p1, p2 ,L , pn ), 则Ｐ
可逆，且 AP ( Ap1, Ap2 ,L , Apn ) (1 p1,2 p2 ,L ,n pn )
若 P p1, p2,L , pn ,
1
有
A
p1 ,
p2 ,L
,
pn
p1 ,
p2 ,L
,
pn
2
O
1 p1,2 p2 ,L ,n pn
n
于是有 Api i pi (i 1, 2,L , n), 因为Ｐ可逆， 故
pi 0(i 1, 2L , n)
若存在可逆矩阵P,使得P-1AP成为对角矩阵，那么，P
（4）Ａ∽Ｂ，则 R A = R B
（5）Ａ∽Ｂ，则 A B （6）Ａ∽Ｂ，且Ａ可逆，则 A1 ∽ B1
B1 P 1 A1P
（7）Ａ∽Ｂ，则 Am ∽ Bm
（8）Ａ∽Ｂ，则Ａ的多项式 A ∽ B
特别 若有可逆矩阵Ｐ使 P 1 AP , 则 Ak P K P 1,
( A) P()P1.
一、定义
定义 设Ａ、Ｂ都是ｎ阶矩阵，若有可逆矩阵Ｐ， 使得 P 1 AP B, 则称Ｂ是Ａ的相似矩阵，或者说矩阵 Ａ与Ｂ相似．
记作： Ａ∽Ｂ． 对Ａ进行运算P 1AP, 称为对Ａ进行相似变换，
可逆矩阵Ｐ称为把Ａ变成Ｂ的相似变换矩阵．
§7.52020线性变换的对角化
k1λmξ1 + k2λmξ2 + " + km−1λmξm−1 + kmλmξm = 0 （7.5.3）
把（7.5.2）减去（7.5.3）得：
k1(λ1 − λm )ξ1 + k2 (λ2 − λm )ξ2 + " + km−1(λm−1 − λm )ξm−1 = 0 由假设知，ξ1,ξ2 ,",ξm−1 线性无关，故得
⎞ ⎟ ⎟
=
⎛ ⎜ ⎜
0 0
⎞ ⎟ ⎟
,
⎝⎜ −3 −6 −3⎠⎟ ⎝⎜ x3 ⎠⎟ ⎝⎜ 0⎠⎟
其基础解系为
⎛1⎞
η3
=
⎜ ⎜
−2
⎟ ⎟
⎜⎝ 3 ⎟⎠
⎛ −2 1 1 ⎞
⎛2 0 0 ⎞
故A可对角化，令
T
=
⎜ ⎜⎜⎝
1 0
0 1
−2 3
⎟ ⎟⎟⎠
,
则
T ′AT
=
⎜ ⎜⎜⎝
0 0
2 0
0 −4
⎟ ⎟⎟⎠
ki (λi − λm ) = 0, i = 1, 2,", m − 1 。 又由于 λi ≠ λm , i = 1, 2,", m − 1, 故得 ki = 0, i = 1, 2,", m − 1 代入（7.5.1）得 kmξm = 0, 又 ξm ≠ 0, 故 km = 0 。
因此 ξ1,ξ2 ,",ξm 线性无关。
结论（1） 若 dimV = t1 + t2 + " + ts , 则 σ 可对角化； （2）若 t1 + t2 +" + ts < dimV , 则 σ 不可对角化。
把（7.5.2）减去（7.5.3）得：
k1(λ1 − λm )ξ1 + k2 (λ2 − λm )ξ2 + " + km−1(λm−1 − λm )ξm−1 = 0 由假设知，ξ1,ξ2 ,",ξm−1 线性无关，故得
⎞ ⎟ ⎟
=
⎛ ⎜ ⎜
0 0
⎞ ⎟ ⎟
,
⎝⎜ −3 −6 −3⎠⎟ ⎝⎜ x3 ⎠⎟ ⎝⎜ 0⎠⎟
其基础解系为
⎛1⎞
η3
=
⎜ ⎜
−2
⎟ ⎟
⎜⎝ 3 ⎟⎠
⎛ −2 1 1 ⎞
⎛2 0 0 ⎞
故A可对角化，令
T
=
⎜ ⎜⎜⎝
1 0
0 1
−2 3
⎟ ⎟⎟⎠
,
则
T ′AT
=
⎜ ⎜⎜⎝
0 0
2 0
0 −4
⎟ ⎟⎟⎠
ki (λi − λm ) = 0, i = 1, 2,", m − 1 。 又由于 λi ≠ λm , i = 1, 2,", m − 1, 故得 ki = 0, i = 1, 2,", m − 1 代入（7.5.1）得 kmξm = 0, 又 ξm ≠ 0, 故 km = 0 。
因此 ξ1,ξ2 ,",ξm 线性无关。
结论（1） 若 dimV = t1 + t2 + " + ts , 则 σ 可对角化； （2）若 t1 + t2 +" + ts < dimV , 则 σ 不可对角化。
线性代数课件4-1矩阵的对角化
解得特征值为$lambda_1 = 2, lambda_2 = lambda_3 = 3$。
对于$lambda_2 = lambda_3 = 3$，解方程 组$(B - 3I)X = 0$得特征向量$beta_2 = (0, 1,
0)^T, beta_3 = (4, 0, 1)^T$。
对于$lambda_1 = 2$，解方程组$(B - 2I)X = 0$得特征向量$beta_1 = (0, -4, 1)^T$。
通过相似变换，将线性方程组的系数矩阵转换为对角矩 阵，从而简化方程组的形式。
简化后的方程组求解
对角化后的方程组具有更简单的形式，可以直接求解各 个未知数。
提高线性方程组求解效率
减少计算量
通过对角化，可以避免对原始系数矩阵 进行复杂的运算，从而减少计算量。
VS
并行计算
对角化后的方程组可以方便地进行并行计 算，进一步提高求解效率。
02
性质
03
反身性：$A sim A$（任何矩阵都与自身相似）。
04
对称性：若$A sim B$，则$B sim A$。
05
传递性：若$A sim B$且$B sim C$，则$A sim C$。
06
相似矩阵具有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。
相似对角化条件与方法
01
条件
02
$n$阶矩阵$A$可对角化的充分必要条件是$A$有$n$个线性 无关的特征向量。
Jordan标准型概念及性质
Jordan标准型定义：对于n阶方阵A，如果存在一个可逆 矩阵P，使得$P^{-1}AP$为Jordan矩阵，则称A为 Jordan可约的，对应的Jordan矩阵称为A的Jordan标准 型。 性质
对于$lambda_2 = lambda_3 = 3$，解方程 组$(B - 3I)X = 0$得特征向量$beta_2 = (0, 1,
0)^T, beta_3 = (4, 0, 1)^T$。
对于$lambda_1 = 2$，解方程组$(B - 2I)X = 0$得特征向量$beta_1 = (0, -4, 1)^T$。
通过相似变换，将线性方程组的系数矩阵转换为对角矩 阵，从而简化方程组的形式。
简化后的方程组求解
对角化后的方程组具有更简单的形式，可以直接求解各 个未知数。
提高线性方程组求解效率
减少计算量
通过对角化，可以避免对原始系数矩阵 进行复杂的运算，从而减少计算量。
VS
并行计算
对角化后的方程组可以方便地进行并行计 算，进一步提高求解效率。
02
性质
03
反身性：$A sim A$（任何矩阵都与自身相似）。
04
对称性：若$A sim B$，则$B sim A$。
05
传递性：若$A sim B$且$B sim C$，则$A sim C$。
06
相似矩阵具有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。
相似对角化条件与方法
01
条件
02
$n$阶矩阵$A$可对角化的充分必要条件是$A$有$n$个线性 无关的特征向量。
Jordan标准型概念及性质
Jordan标准型定义：对于n阶方阵A，如果存在一个可逆 矩阵P，使得$P^{-1}AP$为Jordan矩阵，则称A为 Jordan可约的，对应的Jordan矩阵称为A的Jordan标准 型。 性质
浅谈线性变换的对角化问题
目录摘要 (1)Abstract (2)引言 (3)1 线性变换 (4)1.1 线性变换的定义 (4)1.1.1 线性变换的概念 (4)1.1.2 线性变换的矩阵及矩阵表示 (4)1.2 矩阵的相似对角化问题 (5)1.2.1 相似对角化问题 (5)1.2.2 矩阵的特征值与特征向量 (5)2 线性变换的对角化 (7)2.1 线性变换的对角化 (7)2.1.1 线性对角化的提出 (7)2.1.2 线性对角化的定义 (7)2.2 线性变换的特征值与特征向量 (7)2.2.1 线性变换的特征值与特征向量的概念 (7)2.2.2 线性变换的特征多项式 (7)2.3 线性变换对角化与矩阵对角化之间的联系 (8)2.3.1 特征值与特征向量的联系 (8)2.3.2 线性变换对角化与矩阵相似对角化之间的关系 (9)2.3.3 线性变换可对角化的充要条件及推论 (9)2.3.4 求线性变换对角化的方法和步骤 (10)3 线性对角化问题的相关题目 (14)总结 (16)参考文献 (17)致谢 (18)摘要线性变换是贯穿高等代数的重要内容之一，其研究价值不言而喻。
本文尝试通过探讨矩阵对角化的知识点类比线性变换对角化的知识点，再通过矩阵的特征值与特征向量，以线性对角化问题为主要线索，着手研究线性变换特征值与特征向量的求解步骤以及线性对角化的基本条件，并且总结说明线性变换的对角化与矩阵对角化的联系，更进一步的，加深了解矩阵对角化与线性对角化的内容及要点。
关键词：线性变换的对角化问题；矩阵；特征值；特征向量Linear transformation is an important part of higher algebra through its research value is self-evident. This paper attempts to explore the matrix diagonalization by knowledge points of analog linear transformation diagonalization knowledge, and through the eigenvalues and eigenvectors of the matrix, linear diagonalization problem as the main clue, started studying linear transformations eigenvalues and eigenvectors steps to solve the basic conditions and linear keratosis, and summary description of the linear transformation matrix diagonalization diagonalization with links to further deepen understanding of linear matrix diagonalization diagonalization content and points.Keywords: Changing existing diagonalization；Matrix；Eigenvalues；Eigenvectors线性变换的对角化问题作为重要的数学课程，在高等代数的地位不言而喻，高等代数是数学与应用数学专业最主要的基础课之一，它在初等代数的基础上对研究对象进行进一步的扩充，并引进了许多新的概念以及与通常情况很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。
《线性代数》教学课件—矩阵的相似、对角化
k个
若A PB P 1 , 则
k
1
A PB P 1 PB P
PB P 1 PB P 1 P B k P 1 .
A的多项式
( A) a0 An a1 An1 an1 A an E
a 0 P B n P 1 a 1 P B n 1 P 1
判断下列实矩阵能否对角化？
1 2 2
(1) A 2 2 4
2
4
2
解
2 1 2
( 2) A 5 3 3
1 0 2
1
(1)由 E A
2
2
2
2
2 4
4
2
2 7
为对角阵，称矩阵A可对角化或相似于对角阵。
定理（重要结论）n阶方阵A与对角阵相似（即A能对角化)
的充要条件是A 有n个线性无关的特征向量。
1
假设存在可逆阵
P
,
使
P
AP 为对角阵,
定理证明：
把 P 用其列向量表示为 P p1 , p2 ,, pn .
由 P 1 AP , 得AP P ,
1
2
即 A p1 , p2 ,, pn p1 , p2 ,, pn
1 p1 , 2 p2 ,, n pn .
n
A p1 , p2 ,, pn Ap1 , Ap2 ,, Apn 1 p1 , 2 p2 ,
2
若A PB P 1 , 则
k
1
A PB P 1 PB P
PB P 1 PB P 1 P B k P 1 .
A的多项式
( A) a0 An a1 An1 an1 A an E
a 0 P B n P 1 a 1 P B n 1 P 1
判断下列实矩阵能否对角化？
1 2 2
(1) A 2 2 4
2
4
2
解
2 1 2
( 2) A 5 3 3
1 0 2
1
(1)由 E A
2
2
2
2
2 4
4
2
2 7
为对角阵，称矩阵A可对角化或相似于对角阵。
定理（重要结论）n阶方阵A与对角阵相似（即A能对角化)
的充要条件是A 有n个线性无关的特征向量。
1
假设存在可逆阵
P
,
使
P
AP 为对角阵,
定理证明：
把 P 用其列向量表示为 P p1 , p2 ,, pn .
由 P 1 AP , 得AP P ,
1
2
即 A p1 , p2 ,, pn p1 , p2 ,, pn
1 p1 , 2 p2 ,, n pn .
n
A p1 , p2 ,, pn Ap1 , Ap2 ,, Apn 1 p1 , 2 p2 ,
2
线性变换对角化问题浅析
ｄ ａ ｏ ａｉ ａｉ ｎ ｏ ｉ ｅ ｒｔａ ｓ ｏ ａ ｉ ｎ ｉ ｇ ｎ ｌｚ ｔｏ ｆｌ ａ ｎ ｆ ｒ ｔ ． ｎ ｒ ｍ ｏ ．
【 ｙｗｏｄ ］ ａｏａｉ ｔ ｎｏ ｎ ａ ａ ｓ ｒ ａｉｎ Ｓｍ ｌ ｉ ａｒ ｉｇｎｌ ａｉ ；Ｅｇｎａｕｓａｄｅ ｅｖｃｏ Ｋｅ ｒｓＤｉ ｎｌ ａｉ ｆｉｅｒ ｒ ｆ ｍ ｔ ；ｉｉ ｒｙｍ ｔｘｄａｏａｉ ｔ ｎ ｉ ｖｌｅ ｎ ｉ ｎ ｅｔ ｇ ห้องสมุดไป่ตู้ ｏ ｌ ｔ ｎ ｏ ｏ ａｔ ｉ ｚ ｏ ｅ ｇ ｓ ｒ
Ｄｉ ｇ ｎａ ｉａ ｉ ｎ ｏ ｎ ａｒ Ｔｒ ｎ ｆ ｒ ａ ｉ ｎ ａ ｏ ｌｚ ｔｏ ｆＬｉ ｅ ａ ｓ ｏ ｍ ｔｏ Ｗ ＡＮＧ — ｅ Ｙｕ ｍ ｉ
（ ｐ ｒｍｅ ｔ ｆ Ｄｅ ａ ｔ ｎ ｔ ｅ ｔ ｓ Ｈｅ ｅＵｎ ｖ ｒｉ ， ｚ ｈ ｎ ｏ ｇ ２ ４ １ ， ｈ ｎ ） ｏ Ｍａ ｈ ｍａ ｉ ， ｚ ｉｅ ｓｔ Ｈｅ ｅＳ ａ ｄ ｎ ， ７ Ｏ ５ Ｃ ｉａ ｃ ｙ
Ｐ ， … （ ≤５≤ｌ ｉ １ ， ） ｎＰ １ ， ， …ｔ ＝ ２
线 性 变 换 的 对 角 化 问 题 及 方 阵 的相 似 对 角 化 问 题 是 高 等 代 数 课 程 线 性 变 换 一 章 的 重点 。大 多 数 高 等代 数 及 线 性 代 数 教 材 ， 以线 性 都 变 换 对 角 化 为 主 线 ， 杂 着 涉 及 了 矩 阵 相 似 对 角 化 的 问 题 ， 就 使 得 夹 这 我 们 可 能 对 矩 阵相 似 对 角 化 知识 掌握 得 很 不 系 统 、 整 。 虽 然 在 解 决 完
相 对 于 线 性 变换 对 角 化 理 论 ， 得较 具 体 ， 好 理 解 。 掌 握 了 前 者 ， 显 较 对 以有 掌 握 后 者 有极 大 的促 进 作 用 ， 得掌 握 后 者 成 为 较 容 易 的事 。 使
【 ｙｗｏｄ ］ ａｏａｉ ｔ ｎｏ ｎ ａ ａ ｓ ｒ ａｉｎ Ｓｍ ｌ ｉ ａｒ ｉｇｎｌ ａｉ ；Ｅｇｎａｕｓａｄｅ ｅｖｃｏ Ｋｅ ｒｓＤｉ ｎｌ ａｉ ｆｉｅｒ ｒ ｆ ｍ ｔ ；ｉｉ ｒｙｍ ｔｘｄａｏａｉ ｔ ｎ ｉ ｖｌｅ ｎ ｉ ｎ ｅｔ ｇ ห้องสมุดไป่ตู้ ｏ ｌ ｔ ｎ ｏ ｏ ａｔ ｉ ｚ ｏ ｅ ｇ ｓ ｒ
Ｄｉ ｇ ｎａ ｉａ ｉ ｎ ｏ ｎ ａｒ Ｔｒ ｎ ｆ ｒ ａ ｉ ｎ ａ ｏ ｌｚ ｔｏ ｆＬｉ ｅ ａ ｓ ｏ ｍ ｔｏ Ｗ ＡＮＧ — ｅ Ｙｕ ｍ ｉ
（ ｐ ｒｍｅ ｔ ｆ Ｄｅ ａ ｔ ｎ ｔ ｅ ｔ ｓ Ｈｅ ｅＵｎ ｖ ｒｉ ， ｚ ｈ ｎ ｏ ｇ ２ ４ １ ， ｈ ｎ ） ｏ Ｍａ ｈ ｍａ ｉ ， ｚ ｉｅ ｓｔ Ｈｅ ｅＳ ａ ｄ ｎ ， ７ Ｏ ５ Ｃ ｉａ ｃ ｙ
Ｐ ， … （ ≤５≤ｌ ｉ １ ， ） ｎＰ １ ， ， …ｔ ＝ ２
线 性 变 换 的 对 角 化 问 题 及 方 阵 的相 似 对 角 化 问 题 是 高 等 代 数 课 程 线 性 变 换 一 章 的 重点 。大 多 数 高 等代 数 及 线 性 代 数 教 材 ， 以线 性 都 变 换 对 角 化 为 主 线 ， 杂 着 涉 及 了 矩 阵 相 似 对 角 化 的 问 题 ， 就 使 得 夹 这 我 们 可 能 对 矩 阵相 似 对 角 化 知识 掌握 得 很 不 系 统 、 整 。 虽 然 在 解 决 完
相 对 于 线 性 变换 对 角 化 理 论 ， 得较 具 体 ， 好 理 解 。 掌 握 了 前 者 ， 显 较 对 以有 掌 握 后 者 有极 大 的促 进 作 用 ， 得掌 握 后 者 成 为 较 容 易 的事 。 使
线性代数课件--6.2矩阵对角化
4l
解 3 3
0 l 1 l 2 0
2
0
1 l
所以l1 l2 1, l3 2.
齐次线性方程组为 A I x 0 当l1 l2 1时， 6 0 1 2 0 3 A I 3 6 0 0 0 0 得 x1 2 x2 3 6 0 0 0 0 0 2 1 , p 0 得基础解系 p1 2 1 0 齐次线性方程组为 A 2 I x 0 当l3 2时，
§6.2 矩阵对角化
相似矩阵和矩阵的对角化问题
定义 对n阶矩阵A,B,若存在n阶满秩矩阵P,使成立
B P AP
则称A与B相似或称A相似于B.
1
对 A 进行运算 P −1AP 称为对 A 进行相似变换; 称可逆矩阵 P 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵．
注 矩阵相似是一种等价关系. 定理 若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式 相同，从而 A 和 B 的特征值也相同． 证明 根据题意，存在可逆矩阵 P ，使得 P −1AP = B ，故
| B −lI | = | P −1AP − P −1(lI) P |
= | P −1(A−lI ) P | = | P −1| |A−lI | |P | = |A−lI| ．
推论 设 n 阶矩阵 L = diag(l1, l2, …, ln )，则l1, l2, …, ln 就是 L 的 n 个特征值． 证明
L lI
l1 l l2 l
(l1 l )(l2 l ) (ln l )
ln l
故 l1, l2, …, ln 就是 L 的 n 个特征值．
线性代数课件4-2相似矩阵和矩阵对角化
特征向量与相似矩阵的关系
特征向量是判断两个矩阵是否相似的关键因素之一。
04
矩阵对角化的方法
Chapter
特征值法
首先求出矩阵的特征值和特征向 量，然后判断特征值是否都互异 ，如果互异，则矩阵可对角化。
如果矩阵有重特征值，需要进一 步判断其对应的线性无关特征向 量个数是否等于该重特征值的重 数。
总结词 详细描述 适用范围 注意事项
在数值计算中，矩阵对角化可以用于求解线性方 程组和特征值问题。
2
在量子力学中，矩阵对角化可以用于求解哈密顿 算子的本征值和本征向量。
3
在信号处理中，矩阵对角化可以用于进行信号的 频谱分析和滤波。
03
相似矩阵和矩阵对角化的关系
Chapter
相似矩阵与对角矩阵的关系
相似矩阵的定义
如果存在一个可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP=B$，则称矩阵A和B相 似。
线性代数课件4-2相似矩阵和矩阵 对角化
目录
• 相似矩阵的定义和性质 • 矩阵对角化的条件和性质 • 相似矩阵和矩阵对角化的关系 • 矩阵对角化的方法 • 矩阵对角化的应用
01
相似矩阵的定义和性质
Chapter
定义
01
相似矩阵
特征值
02
03
特征向量
如果存在一个可逆矩阵P，使得 $P^{-1}AP=B$，则称矩阵A与B 相似。
。
幂法
总结词
通过计算矩阵的幂，判断矩阵是 否可对角化。
01
02
适用范围
03
适用于较小的矩阵或者具有特殊 性质的矩阵。
04
详细描述
计算矩阵的幂，观察矩阵是否能 够通过有限次幂运算化为对角矩 阵，如果可以，则原矩阵可对角 化。
特征向量是判断两个矩阵是否相似的关键因素之一。
04
矩阵对角化的方法
Chapter
特征值法
首先求出矩阵的特征值和特征向 量，然后判断特征值是否都互异 ，如果互异，则矩阵可对角化。
如果矩阵有重特征值，需要进一 步判断其对应的线性无关特征向 量个数是否等于该重特征值的重 数。
总结词 详细描述 适用范围 注意事项
在数值计算中，矩阵对角化可以用于求解线性方 程组和特征值问题。
2
在量子力学中，矩阵对角化可以用于求解哈密顿 算子的本征值和本征向量。
3
在信号处理中，矩阵对角化可以用于进行信号的 频谱分析和滤波。
03
相似矩阵和矩阵对角化的关系
Chapter
相似矩阵与对角矩阵的关系
相似矩阵的定义
如果存在一个可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP=B$，则称矩阵A和B相 似。
线性代数课件4-2相似矩阵和矩阵 对角化
目录
• 相似矩阵的定义和性质 • 矩阵对角化的条件和性质 • 相似矩阵和矩阵对角化的关系 • 矩阵对角化的方法 • 矩阵对角化的应用
01
相似矩阵的定义和性质
Chapter
定义
01
相似矩阵
特征值
02
03
特征向量
如果存在一个可逆矩阵P，使得 $P^{-1}AP=B$，则称矩阵A与B 相似。
。
幂法
总结词
通过计算矩阵的幂，判断矩阵是 否可对角化。
01
02
适用范围
03
适用于较小的矩阵或者具有特殊 性质的矩阵。
04
详细描述
计算矩阵的幂，观察矩阵是否能 够通过有限次幂运算化为对角矩 阵，如果可以，则原矩阵可对角 化。
5对称矩阵的对角化
以它们为列向量构成正交矩阵 P ，则 P 1 AP P 1 P
其中对角矩阵的对角元素含r1 个1 , ,rs 个s ,恰
是A的n个特征值.用正交矩阵将对称矩阵化
为对角矩阵，其具体步骤为： 1. 求A的特征值;
2. 由A i E x 0 ,求 出A的 特 征 向 量;
理4.8( 如上)可得：
4
r 对应特征值 ( i 1,2, ,s ),恰有 个线性无
i
i
关的实特征向量,把它们正交化并单位化,即得ri 个
单位正交的特征向量. 由r1 r2 rs n知,
这样的特征向量共可得 n 个.
由定理4.7知对应于不同特征值的特征向量正交， 故这 n 个单位特征向量两两正交.
7
对 1 2,解A 2Ex 0,由
2 0 0 1 0 0 A 2E 0 1 1 0 1 1
0 1 1 0 0 0
得基础解系
0
1 1
1
8
对 2 3 4 ,解A 4 E x 0 ,由
0 0 0 0 1 - 1 A 4E 0 -1 1 0 0 0
（4）若Ａ为ｎ阶对称阵，则必有正交矩阵Ｐ，使得
P1AP
12
2. 利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤： 1. 求A的特征值;
2. 由A i E x 0 ,求 出A的 特 征 向 量;
3. 将特征向量正交化; 4. 将特征向量单位化.
13
思考题
设n阶实对称矩阵A满足A2 A,且A的秩为r,
定 理4.9 设A为n阶对称矩阵,则必有正交矩阵P ,使
P 1 AP ,其 中 是 以A的 n 个 特征 值 为 对角 元
素 的 对 角 矩 阵.
证明 设A的互不相等的特征值为 1,2 , ,s ,
其中对角矩阵的对角元素含r1 个1 , ,rs 个s ,恰
是A的n个特征值.用正交矩阵将对称矩阵化
为对角矩阵，其具体步骤为： 1. 求A的特征值;
2. 由A i E x 0 ,求 出A的 特 征 向 量;
理4.8( 如上)可得：
4
r 对应特征值 ( i 1,2, ,s ),恰有 个线性无
i
i
关的实特征向量,把它们正交化并单位化,即得ri 个
单位正交的特征向量. 由r1 r2 rs n知,
这样的特征向量共可得 n 个.
由定理4.7知对应于不同特征值的特征向量正交， 故这 n 个单位特征向量两两正交.
7
对 1 2,解A 2Ex 0,由
2 0 0 1 0 0 A 2E 0 1 1 0 1 1
0 1 1 0 0 0
得基础解系
0
1 1
1
8
对 2 3 4 ,解A 4 E x 0 ,由
0 0 0 0 1 - 1 A 4E 0 -1 1 0 0 0
（4）若Ａ为ｎ阶对称阵，则必有正交矩阵Ｐ，使得
P1AP
12
2. 利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤： 1. 求A的特征值;
2. 由A i E x 0 ,求 出A的 特 征 向 量;
3. 将特征向量正交化; 4. 将特征向量单位化.
13
思考题
设n阶实对称矩阵A满足A2 A,且A的秩为r,
定 理4.9 设A为n阶对称矩阵,则必有正交矩阵P ,使
P 1 AP ,其 中 是 以A的 n 个 特征 值 为 对角 元
素 的 对 角 矩 阵.
证明 设A的互不相等的特征值为 1,2 , ,s ,
浅谈线性变换的对角化问题
添加标题
线性变换的矩阵表示：对于一个线性变换T，存在一个矩阵A，使得T(x)=Ax，其中x为输入向量
添加标题
线性变换的运算性质：对于任意两个线性变换T1和T2，有T1T2=T2T1，即两个线性变换的乘积 是可交换的
矩阵表示
线性变换与矩阵 线性变换的矩阵表示 矩阵的运算与线性变换 矩阵表示的意义与作用
应一个特征值。
对角化方法与技巧： 通过对角化方法， 可以将线性变换表 示为对角矩阵的形 式，从而简化计算 和问题解决。
特征向量与基向量之间的关系
特征向量与基向量的定义
对角化方法与技巧
添加标题
添加标题
特征向量与基向量的关系
添加标题
添加标题
特征值与特征向量的性质
对角化过程中的计算技巧
特征多项式求解 技巧
添加标 题
特征多项式：线性 变换的特征多项式 是关于特征值的方 程，它描述了特征 值与线性变换之间
的关系。
添加标 题
添加标 题
添加标 题
特征值：特征值是 线性变换的特征多 项式的根，它描述 了线性变换对向量
空间的影响。
特征多项式与特征 值的关系：特征多 项式和特征值之间 存在一一对应关系， 即每个特征值对应 一个特征多项式， 每个特征多项式对
特征值和特征向 量的计算方法
对角化矩阵的构 造技巧
计算过程中需要 注意的问题
对角化在实际问题 中的应用
在线性方程组求解中的应用
对角化在解线性方程组中的应用
对角化在解线性方程组中的局限性
添加标题
添加标题
对角化在解线性方程组中的优势
添加标题
添加标题
对角化在解线性方程组中的具体实 现方法
在矩阵分解中的应用
浅谈线性变换的对角化问题
对角化方法的误差分析
数值稳定性：对 角化方法在计算 过程中可能会受 到数值不稳定性 的影响，导致误 差的积累和扩大。
特征值选取：选 取的特征值可能 不准确，影响对 角化方法的精度 和可靠性。
近似方法：在实 际应用中，常常 采用近似方法进 行对角化，这也 会引入误差。
病态问题：对于 一些病态问题， 对角化方法可能 无法得到准确的 结果，因为这些 问题的解是不稳 定的。
对角化方法的优化策略
选取合适的基向量
考虑矩阵的特殊性质
使用数值稳定的方法
结合其他数学工具进行优 化
感谢您的观看
汇报人：
应用：在解决线性方程组、矩阵相似性判断等领域有广泛应用
特征多项式的方法
定义：特征多项式是线性变换在某组基下的矩阵的特征多项式。
计算方法：通过求解特征多项式的根，可以得到线性变换的特征值和对应的特征向量。
对角化条件：如果特征多项式的根都是互异的，则线性变换可以对角化。
对角化过程：将线性变换在某组基下的矩阵表示为对角矩阵，需要找到一组基使得线性变换 在该组基下的矩阵是对角矩阵。
信号去噪：利用 线性变换对角化 增强有用信号， 抑制噪声干扰
信号检测：通过 线性变换对角化 提高信号的检测 精度和可靠性
05 线性变换对角化的方法
相似对角化的方法
定义：将一个 线性变换通过 相似变换化为 对角矩阵的过
程
条件：矩阵的 特征值必须互 异，且每个特 征值对应的特 征向量必须线
性无关
步骤：求矩阵 的特征值和特 征向量，构造 相似变换矩阵， 通过相似变换 化为对角矩阵
线性变换的对角化问 题
,a click to unlimited possibilities
线性代数 相似矩阵与矩阵对角化ppt课件
故 P1AP ，矩阵A与对角矩阵 相似。
6
推论 n阶矩阵A有n个互异的特征值1, 2, , n ，
1 0 0
则A必可与对角矩阵
0 0
2
0
0
n
相似。
3 2 4
例1 把矩阵 A 2 对6 角 2化 。
4 2 3
解：在§4.1例4中已经求出A的全部特征值为：
1 2 , 2 3 7
7
2
A对应于1 的2特征向量为：
1 1
2
A对应于2 3的特7 征向量为：
1
1
2 2 ,3 0
0 1
①令
2 1 1
P1 (1,2 ,3 ) 1 2 0
2 0 1
则
P11 AP1
1
2 0
0 7
0 0
0 0 7
8
②令 则
③令
1 2 1
P2 (2 ,1,3) 2 1 0
0 2 1
7 0 0
P21 AP2
2
0
2
0
0 0 7
1 1 2
P3 (3,2 ,1) 0 2 1
1 0 2
7 0 0
则
P31 AP3
1
0
7
0
0 0 2
9
例2
设二阶矩阵
A
3 1
31 ，求 A10
解：易于求出A的全部特征值为：1 2 , 2 4
A对应于1 的2 特征向量为： 1 11
29 219
29 29
219 219
29 29
219 219
524800 523776
552243870706
11
第3节线性变换的可对角化问题(09-10第二学期)(1)
ξ 2 = −ε 1 + ε 2 , ξ 3 = ε 2 − ε 3 ,
Hale Waihona Puke 全部特征向量就是k2ξ2 + k3ξ3 (k2 , k3 ∈ K , k2 , k3不全为零).
高等代数与解析几何
例 3 在空间 Kn-1[x] 中，线性变换 D f (x) = f ′(x) 2 n −1 x x , , 在基 1 , x , 下的矩阵是 2! ( n − 1)!
也没有特征向量.
高等代数与解析几何
例 8.3.3 设 σ 是数域 K 上线性空间V 的一个线性 变 换,且 σ 2 = σ . 那么 ,当 λ 是 σ 的 特征 值时 ,存在
ξ ∈ V 使 σ ( ξ ) = λξ ,从而 λξ = σ ( ξ ) = σ 2 ( ξ ) = σ ( σ ( ξ ) ) = σ ( λξ ) = λ 2ξ , λ − λ2 )ξ = 0 . (
高等代数与解析几何
所以，A 的特征值为
λ 1 = 5 , λ 2 = λ 3 = − 1,
当
λ1 = 5
时, 解方程组
(5 I − A)X = 0 ,
⎛ 4 −2 −2 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ −2 4 −2 ⎟ ⎜ x2 ⎟ = 0, ⎜ ⎜ −2 −2 4 ⎟ ⎜ x ⎟ ⎝ ⎠⎝ 3 ⎠
⎛0 ⎜ 0 ⎜ D=⎜ ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝
高等代数与解析几何
1 0 0 1 0 0 0 0
0⎞ ⎟ 0⎟ ⎟ ⎟ 1⎟ 0⎟ ⎠
D 的特征多项式是
⎛λ ⎜ ⎜0 | λ I − D |= ⎜ ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝
−1
λ
0 0
0 −1 0 0
0⎞ ⎟ 0⎟ ⎟ = λn . ⎟ −1 ⎟ λ⎟ ⎠
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研究目的：
本课题的主要目的是通过对 易理解的矩阵的对角化问题 的具体分析以及相对复杂线 性变换的对角化问题的探讨， 使我们更轻松的理解并掌握 线性变换的对角化问题。
研究意义：
矩阵的对角化问题在高等代数中扮演 着很重要的角色，在很多方面都有其 重要的作用（例如求方阵的高次幂、 利用特征值求行列式的值、由特征值 与特征向量反求矩阵、判断矩阵是否 相似、求特殊矩阵的特征值）。
研究现状：
矩阵对角化在国内外已有一定的研究。早在十 九世纪末，人们在研究行列式的性质和计算时， 提出了对角矩阵的概念，由于计算机的发展， 更是为矩阵对角化的应用开辟了广阔的前景， 它经常出现在诸如可用于求解微分方程组，用 于研究数理统计量的分布，还有用于研究集合 曲面的标准形等不同的科技领域中，这就使得 对角矩阵成为计算数学中应用及其广泛的矩阵。
定理4 复数域上每一个 n阶矩阵 A都与一个若尔 当标准形相似。这个若当形矩阵除去其中若当块 的排列次序外是被矩阵A 唯一决定的。它称为 A 的若尔当标准形。 定理5 n级方阵可对角化的充要条件它的初等 因子都是一次的。
二 、n级实对称矩阵的可对角化 讨论
定理6 n级实对称矩阵A ,B ,若A 与B相似，则 A 与B 合同。
一、首先从特征值，特征向量入手讨论n 级方阵可对角化的相关条件
定理1 一个 n级方阵 A可对角化的充要条件是它有 n 个线性无关的特征向量。 定理2 矩阵 A的属于不同特征值的特征向量是线 性无关的。 定理3 n阶矩阵A 可对角化的充要条件是：A 的每个特征值对应的特征向量线性无关的最大 个数等于特征值的重数。
本课题的研究内容：
本课题拟从以下几个方面研究： 一、首先从特征值，特征向量入手讨论n级方阵可对角化 的相关条件 二、n级实对称矩阵的可对角化讨论 三、几种常用矩阵的对角化问题讨论 1、非零幂零矩阵一定不可对角化 2、对合矩阵一定可对角化 3、幂等矩阵一定可对角化 四、 可对角化矩阵的应用 1.讨论幂等矩阵的秩与迹的关系 2.求方阵的高次幂 3.由特征值和特征向量反求矩阵 4.判断矩阵是否相似 5.求行列式的值 6. 在几何上的应用
3.1非零幂零矩阵一定不可对角化
例1 非零幂零矩阵一定不可对角化。
推论 幂零阵若可对角化，则它一定是零矩阵。
3.2对合矩阵一定可对角化
设 A为对合阵，则 A E
2
。
3.3幂等矩阵一定可对角化
设幂等矩阵A ，满足 A A
2
本课题的主要目的是通过对 易理解的矩阵的对角化问题 的具体分析以及相对复杂线 性变换的对角化问题的探讨， 使我们更轻松的理解并掌握 线性变换的对角化问题。
研究意义：
矩阵的对角化问题在高等代数中扮演 着很重要的角色，在很多方面都有其 重要的作用（例如求方阵的高次幂、 利用特征值求行列式的值、由特征值 与特征向量反求矩阵、判断矩阵是否 相似、求特殊矩阵的特征值）。
研究现状：
矩阵对角化在国内外已有一定的研究。早在十 九世纪末，人们在研究行列式的性质和计算时， 提出了对角矩阵的概念，由于计算机的发展， 更是为矩阵对角化的应用开辟了广阔的前景， 它经常出现在诸如可用于求解微分方程组，用 于研究数理统计量的分布，还有用于研究集合 曲面的标准形等不同的科技领域中，这就使得 对角矩阵成为计算数学中应用及其广泛的矩阵。
定理4 复数域上每一个 n阶矩阵 A都与一个若尔 当标准形相似。这个若当形矩阵除去其中若当块 的排列次序外是被矩阵A 唯一决定的。它称为 A 的若尔当标准形。 定理5 n级方阵可对角化的充要条件它的初等 因子都是一次的。
二 、n级实对称矩阵的可对角化 讨论
定理6 n级实对称矩阵A ,B ,若A 与B相似，则 A 与B 合同。
一、首先从特征值，特征向量入手讨论n 级方阵可对角化的相关条件
定理1 一个 n级方阵 A可对角化的充要条件是它有 n 个线性无关的特征向量。 定理2 矩阵 A的属于不同特征值的特征向量是线 性无关的。 定理3 n阶矩阵A 可对角化的充要条件是：A 的每个特征值对应的特征向量线性无关的最大 个数等于特征值的重数。
本课题的研究内容：
本课题拟从以下几个方面研究： 一、首先从特征值，特征向量入手讨论n级方阵可对角化 的相关条件 二、n级实对称矩阵的可对角化讨论 三、几种常用矩阵的对角化问题讨论 1、非零幂零矩阵一定不可对角化 2、对合矩阵一定可对角化 3、幂等矩阵一定可对角化 四、 可对角化矩阵的应用 1.讨论幂等矩阵的秩与迹的关系 2.求方阵的高次幂 3.由特征值和特征向量反求矩阵 4.判断矩阵是否相似 5.求行列式的值 6. 在几何上的应用
3.1非零幂零矩阵一定不可对角化
例1 非零幂零矩阵一定不可对角化。
推论 幂零阵若可对角化，则它一定是零矩阵。
3.2对合矩阵一定可对角化
设 A为对合阵，则 A E
2
。
3.3幂等矩阵一定可对角化
设幂等矩阵A ，满足 A A
2