沿任意方向的方向导数与连续
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扑、纽结理论等研究 ,Email : huaan _ wu @yahoo. com. cn
这一结果表明 f ( x , y) 在点 (0 ,0) 处沿任意方向的方
向导数都存在. 由于
lim f ( x , y)
y = kx x →0
=
li m
x →0
x2
k2 x3 + k4 x4
=
lim
x →0
1
k2 x + k4
[ 3 ] 吕林根 ,许子道. 解析几何[ M ] . 4 版. 北京 :高等教育出版 社 ,2006 :106 - 108.
不存在全微分.
此例既说明函数在一个定点沿任意方向的方向
导数存在 ,并不能保证函数在此点连续 , 同时我们也 可以看到 ,一个函数即使沿任一直线连续也不能就此 断言函数在此点连续.
参考文献
[ 1 ] 沈永红 ,高忠社. 多元函数微分学中几个基本概念之间的 关系[J ] . 高等数学研究 ,2009 , (12) 2 :33 - 36.
[ 2 ] 武忠祥. 工科数学分析基础教学辅导书 (下册) [ M ] . 北京 : 高等教育出版社 ,2007 :223.
所以
d
=|
( r1
- r0 ) ·( a ×b) | | a ×b |
,
将 (5) , (7) , (8) , (9) 式代入 ,即可得距离公式 (2) .
研究点到平面间距离公式的推导 ,对于理解和掌
x2
=0 =
f (0 ,0) .
这说明 ,当动点 P( x , y) 沿任意直线
y = kx
向原点逼近时 ,函数的极限都存在且等于函数在原点
处的函数值 ,即所谓“沿任意直线函数连续”,然而因为
lim f ( x , y)
y= x
=
li m
x →0 +
x2
x2 +
x2
=
1 2
,
x →0 +
所以函数在原点处必不连续. 当然此函数在原点处也
等 ,使人们进一步认识到平面向量式方程的作用 , 看 到了向量的数量积 、向量积 、混合积在讨论平面问题 中的重要应用.
参考文献
[ 1 ] 刘德金. 两异面直线间距离公式的多种推导 [J ] . 高等数 学研究 ,2009 ,12 (2) :21 - 23.
[ 2 ] 王敬庚 ,付若男. 空间解析几何 [ M ] . 北京 :北京师范大学 出版社 ,2003 :81 - 84.
一个问题. 它证明的根据是 , 函数在一个定点处沿任
一直线均连续时 ,函数就在此点连续. 这是对多元函
数连续的定义认识不够所致. 我们给出一个反例.
例 设
f ( x , y) =
xy2 x2 + y4
,
x2
+ y2
≠0 ,
0,
x2 + y2 = 0.
令
n = (co sα,co sβ)
为任意给定的方向 ,则
Vol. 13 ,No . 2 Mar. , 2010
S TUD I ES
IN
高等数学研究 COLL E GE MA
T H EMA
T ICS
21
沿任意方向的方向导数与连续
吴华安
(武汉理工大学理学院 ,武汉 ,430063)
摘 要 利用反例说明函数在一定点处沿任意方向的方向导数存在时 ,函数在此定点未必连续.
握点到平面间距离公式有很大帮助. 五种方法利用平
面的点法式向量方程 、法式向量方程 、向量式参数方
程 ,涉及到两点之间 、两平行平面之间的距离的求法 ,
涉及到一个向量在另一个向量上的投影 ,用到向量的
加减法 、数乘向量 、向量的数量积 、向量的向量积 、向
量的混合积 , 还涉及到向量作为因式的方程的解等
关键词 方向导数 ;全微分 ;连续.
中图分类号 O13
文[1 ] 讨论了函数在一个定点可微 , 存在偏导 ,
偏导连续 ,沿任一方向的方向导数存在这些概念之间
的关系 ,指出 “: 若函数在一点处沿任一方向的方向导
数存在 ,则函数在该点处必连续”. 这是一个完全错
பைடு நூலகம்
误的命题 ,也是我们在高等数学的学习中易于弄错的
5f 5n
(0 ,0)
= lim f ( tco sα, tco sβ)
t →0 +
t
=
lim
t →0 +
co sαco s2β co s2α+ t2 co s4β
=
ccoossα2β, co sα ≠0 ,
0,
co sα = 0.
收稿日期 :2009 - 04 - 15 ;修改日期 :2010 - 01 - 23. 作者简介 :吴华安 (1954 - ) ,男 ,湖北安陆人 ,硕士 ,副教授 ,从事代数拓
这一结果表明 f ( x , y) 在点 (0 ,0) 处沿任意方向的方
向导数都存在. 由于
lim f ( x , y)
y = kx x →0
=
li m
x →0
x2
k2 x3 + k4 x4
=
lim
x →0
1
k2 x + k4
[ 3 ] 吕林根 ,许子道. 解析几何[ M ] . 4 版. 北京 :高等教育出版 社 ,2006 :106 - 108.
不存在全微分.
此例既说明函数在一个定点沿任意方向的方向
导数存在 ,并不能保证函数在此点连续 , 同时我们也 可以看到 ,一个函数即使沿任一直线连续也不能就此 断言函数在此点连续.
参考文献
[ 1 ] 沈永红 ,高忠社. 多元函数微分学中几个基本概念之间的 关系[J ] . 高等数学研究 ,2009 , (12) 2 :33 - 36.
[ 2 ] 武忠祥. 工科数学分析基础教学辅导书 (下册) [ M ] . 北京 : 高等教育出版社 ,2007 :223.
所以
d
=|
( r1
- r0 ) ·( a ×b) | | a ×b |
,
将 (5) , (7) , (8) , (9) 式代入 ,即可得距离公式 (2) .
研究点到平面间距离公式的推导 ,对于理解和掌
x2
=0 =
f (0 ,0) .
这说明 ,当动点 P( x , y) 沿任意直线
y = kx
向原点逼近时 ,函数的极限都存在且等于函数在原点
处的函数值 ,即所谓“沿任意直线函数连续”,然而因为
lim f ( x , y)
y= x
=
li m
x →0 +
x2
x2 +
x2
=
1 2
,
x →0 +
所以函数在原点处必不连续. 当然此函数在原点处也
等 ,使人们进一步认识到平面向量式方程的作用 , 看 到了向量的数量积 、向量积 、混合积在讨论平面问题 中的重要应用.
参考文献
[ 1 ] 刘德金. 两异面直线间距离公式的多种推导 [J ] . 高等数 学研究 ,2009 ,12 (2) :21 - 23.
[ 2 ] 王敬庚 ,付若男. 空间解析几何 [ M ] . 北京 :北京师范大学 出版社 ,2003 :81 - 84.
一个问题. 它证明的根据是 , 函数在一个定点处沿任
一直线均连续时 ,函数就在此点连续. 这是对多元函
数连续的定义认识不够所致. 我们给出一个反例.
例 设
f ( x , y) =
xy2 x2 + y4
,
x2
+ y2
≠0 ,
0,
x2 + y2 = 0.
令
n = (co sα,co sβ)
为任意给定的方向 ,则
Vol. 13 ,No . 2 Mar. , 2010
S TUD I ES
IN
高等数学研究 COLL E GE MA
T H EMA
T ICS
21
沿任意方向的方向导数与连续
吴华安
(武汉理工大学理学院 ,武汉 ,430063)
摘 要 利用反例说明函数在一定点处沿任意方向的方向导数存在时 ,函数在此定点未必连续.
握点到平面间距离公式有很大帮助. 五种方法利用平
面的点法式向量方程 、法式向量方程 、向量式参数方
程 ,涉及到两点之间 、两平行平面之间的距离的求法 ,
涉及到一个向量在另一个向量上的投影 ,用到向量的
加减法 、数乘向量 、向量的数量积 、向量的向量积 、向
量的混合积 , 还涉及到向量作为因式的方程的解等
关键词 方向导数 ;全微分 ;连续.
中图分类号 O13
文[1 ] 讨论了函数在一个定点可微 , 存在偏导 ,
偏导连续 ,沿任一方向的方向导数存在这些概念之间
的关系 ,指出 “: 若函数在一点处沿任一方向的方向导
数存在 ,则函数在该点处必连续”. 这是一个完全错
பைடு நூலகம்
误的命题 ,也是我们在高等数学的学习中易于弄错的
5f 5n
(0 ,0)
= lim f ( tco sα, tco sβ)
t →0 +
t
=
lim
t →0 +
co sαco s2β co s2α+ t2 co s4β
=
ccoossα2β, co sα ≠0 ,
0,
co sα = 0.
收稿日期 :2009 - 04 - 15 ;修改日期 :2010 - 01 - 23. 作者简介 :吴华安 (1954 - ) ,男 ,湖北安陆人 ,硕士 ,副教授 ,从事代数拓