沿任意方向的方向导数与连续

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例说方向导数与连续

7.期刊论文沈永红.高忠社多元函数微分学中几个基本概念之间的关系 -高等数学研究2009,12(2)
针对多元函数微分学中用以刻画函数局部性态的基本概念,给出连续、偏导数、可微、方向导数之间的关系图,采用证明和举反例的方式 ,深入分析这些概念之间的关系.
8.期刊论文张秀芳.Zhang Xiu-ying 多元函数条件极值的解法探讨 -安徽电子信息职业技术学院学报 2009,8(3)
10.期刊论文宋虎森关于非光滑函数凸性的研究 -华北工学院学报2002,23(6)
目的解决多元函数的方向导数问题. 方法借助于一元函数将多元函数的问题简化. 结果由一元函数左、右导数的定义及其性质, 将多元函数的方向导数转为一元函数左、右导数, 从而解决了微积分学习和研究中的一个难点. 结论学习和研究微积分的过程中, 可以利用已学过的较简单的知识, 处理和简化较难的问题.
函数! （#，在一点 ’ （ !，）连续，要求点 ’ （#，以任何方式趋于 ’ 时，都有 ! （#， "! $） $ $） $） !# ! ! （# ，!）。在上叙反例中，点（#，沿各条射线趋于原点，都有! （#，（，） “快慢” " ! ! )但收敛的 $） $） ! !$ 很不相同，在越接近铅直的母线上，（#，趋于 ! （，）越 “艰难” 。由此我们想到，若对收敛 ("! ! ! $） “快慢” 有所限定，则只需点（#，沿各射线这一种方式趋于（# ，!）时，有! （#，收敛于 ! （# ， $） $） !$ ! ），即可保证! （#，在（# ，!）处的连续性。 $ $） ! !$ 由连续及二重极限定义，即可得出结论：函数! （#，在’ 其充分必要条件是对 ) "% $） ! 连续，，，不论 ’ 沿任何方向只要就有（#，（# ! * #% ! " 趋于’ $ ’ ’ $ + #， $ & $ + " 成立。 ! $） ! $ !， ! !， !）这一结论表明，（#，在一点 ’ 连续，不仅要求沿各方向都有! （#，收敛于 ! （# ，!），同 ! $） $） ! !$ 时还需存在一个只与" 相关，对所有方向都适用的# 使不等式成立。多元函数与一元函数在连续这一概念上的本质性区别与联系恰好在此！参考文献

山东科技大学大一公共课高等数学试卷及答案

山东科技大学期末复习题及参考解答一.填空题1.设点)4,1,1(-A 在曲面),(:y x f z S =上.若3)1,1(=-'x f ,且),(y x f 在其定义域内任意一点),(y x 处满足方程),(),(),(y x f y x f y y x f x y x ='+',则曲面S 在A 点处的切平面方程为 03 =--z y x . 解:由题设有4)1,1(131=-'⋅-⋅y f ,即1)1,1(-=-'y f ,所以 0)4()1()1(3:=--+--z y x ΠT ,即03=--z y x .2.设2e ),,(yz z y x f x =,其中),(y x z z =是由方程0=+++xyz z y x 确定的隐函数,则 1 )1,1,0(=-'x f .解:1d de d )1,1,(d )1,1,0(0==-=-'==x xx x x x x f f . 3.曲线⎩⎨⎧==+-6022x z y x 在点)3,3,6(处的切线与Oz 轴正向的夹角为 6 π.解:曲线方程可写为⎪⎩⎪⎨⎧-===662y z y y x ,6)(,1)(,0)(2-='='='y y y z y y y x ,于是=τ}23,21,0{2}3,1,0{=,23cos =γ,故π6γ=. 4.设n 是曲面632222=++z y x 在点)1,1,1(P 处的外法向量,则函数zy x u 2286+=在点P 处沿方向n 的方向导数 711 =∂∂n u .解:令632),,(222-++=z y x z y x F ,则z F y F x F z y x 2,6,2='='=',于是n }1 ,3 ,2{=,其方向余弦为141cos ,143cos ,142cos ===γβα.又PPux∂==∂ 14886216122=+=∂∂PPy x yz y u, 1486222-=+-=∂∂PPzy x zu ,故711)14(141143148142146=-⋅+⋅+⋅=∂∂Pnu． 5.设22{(,)1}D x y x y =+≤,则235π(2sin 1)d 4Dx x y σ-++=⎰⎰.解: 2323(2sin 1)d d 2sin d d 1d DDDDDx x y x x y σσσσσ-++=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2π123 00π5πcos d d 00ππ.44θθρρ=+++=+=⎰⎰. 6.交换二次积分的次序:d ),(d d ),(d d ),(d 222222 4 211 11 14 02⎰⎰⎰⎰⎰⎰---+----=+y-y y x x x x y x f y y y x f x y y x f x .7.将直角坐标系下的三次积分化为球坐标系下的三次积分:=⎰⎰⎰-----+----2222221 1 11 11 11d ),,(d d x x y x y x z z y x f y x ⎰⎰⎰2 02cos 022 0d sin )cos ,sin sin ,sin cos (d d πϕπϕϕϕθϕθϕθr r r r r f .8.设有曲线段⎩⎨⎧==ta y ta x L sin cos :(π≤≤t 0),则2 π s a =⎰.解:2 d ππL s a s a a a ==⋅=⎰⎰.9.设C 是圆周)1()1(222>=+-R R y x 的正向,则22 d d π 4C x y y x x y-=+⎰.解:因为当)0,0(),(≠y x 时,xQ y x x y y P ∂∂=+-=∂∂22222)4(4,故可在C 的内部作椭圆周2224:a y x l =+,且l 与C 同向,则⎰=+-C y x x y y x 224d d 222222 4d d 12(11)d ππ2l x y ax y y x a a a a a σ+≤-=+=⋅⋅⋅=⎰⎰⎰. 10.设Ω是光滑闭合曲面∑所围成的空间域,其体积为V ,则沿∑外侧的积分3 d d )(d d )(d d )(V z y z x x z x y y x x z =-+-+-⎰⎰∑.解:V V z y z x x z x y y x x z 3d )111(d d )(d d )(d d )(=++=-+-+-⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑.11.若幂级数∑∞=-0)1(n n n x a 在1-=x 处收敛,在3=x 处发散,则其收 )3 ,1[ -=D .解:因为211=--≥R ,213=-≤R ,故2=R ,从而)3 ,1[-=D . 12.设xx x f --=41)(,则 3! )1()(n n n f =.解:因为!)1()(n fa n n =,故n n a n f !)1()(= )(N ∈n . 而∑∑∞=∞=++-=-=---=--=1011)1(31)1(3131113141)(n n nn n n x x x x x x x f , 所以n n n f 3!)1()(= )(N ∈n . 13. ch 2e e )!2(102x x n xx n n =+=-∞=∑.解:易知+∞=R .设=)(x S ∑∞=02)!2(1n n x n ,) ,(∞+-∞∈x ,1)0(=S .=')(x S ∑∞=--112)!12(1n n x n ,) ,(∞+-∞∈x ,0)0(='S . ='')(x S )()!22(1122x S x n n n =-∑∞=-,从而x x C C x S -+=e e )(21.由1)0(=S 及0)0(='S 得⎩⎨⎧=-=+012121C C C C ,解得2121==C C ,故x x S xx ch 2e e )(=+=-. 14.设)(x S 是⎩⎨⎧<≤<≤--=10 ,101 ,)(x x x x f 的以2为周期的Fourier 级数的和函数,则1 )7(, 21 )4(==-S S .解:(1)1011(4)(0),(7)(1)(1)1222S S S S S --++-====-===.15.微分方程0d )(d )1(32=++++y y y x x y 的通解为43 43C y y xy x =+++.解:0d d )d d (d 32=++++y y y y y x x y x , 0)4d()3d()d(d 43=+++y y xy x ,0)43d(43=+++y y xy x ,所以通解为C y y xy x =+++4343.16.用待定系数法求x x y y 2cos 34=+''的特解*y 时,应设]2sin )(2cos )[( x D Cx x B Ax x y +++=*.二.单项选择题1.设函数),(y x f z =在点M 的某邻域内有定义,下列结论正确的是( B )(A)若z 在点M 处沿任意方向l 的方向导数lz ∂∂存在,则z 在点M 处两个偏导数存在.(B)若z 在点M 处可微,则z 在点M 处的梯度存在.(C)若z 在点M 处沿任意方向l 的方向导数lz ∂∂存在,则z 在点M 处连续.(D)若z 在点M 处连续且沿任意方向l 的方向导数lz ∂∂存在,则z 在点M 处可微.2.设曲面224y x z --=上点P 处的切平面平行于平面0122=+++z y x ,则P 点的坐标为( D )(A))2,1,1(-. (B))2,1,1(-. (C))2,1,1(--. (D))2,1,1(.解:因为点P ),,(z y x 处切平面的法向量}1,2,2{y x =n 平行于已知平面的法向量}1,2,2{1=n ,故有112222==y x ,于是得1==y x ,而211422=--=z ,因此P 点的坐标为)2,1,1(. 5.设),(y x f 在域}0,2),{(2>-≤≤=R x Rx y x y x D 上连续,则二重积分=⎰⎰Dy x y x f d d ),(( C )(A)⎰⎰-22 00 d ),(d x Rx Ry y x f x . (B)⎰⎰-22 0 0 d ),(d y R Rx y x f y .(C)⎰⎰--yy R R Rx y x f y 0 22d ),(d . (D)π2in 2π 04d (cos ,sin )d Rs f θθρθρθρρ⎰⎰.8.设有球面:S 1222=++z y x ,1S 是S 的上半部分的上侧,2S 是S 的下半部分的下侧,若=1I ⎰⎰1d d S y x z ,=2I ⎰⎰2d d S y x z ,则( B )(A)21I I <. (B)21I I =. (C)21I I >. (D)021=+I I . 解:=1I ⎰⎰1d d S y x z ⎰⎰≤+--=12222d d 1y x y x y x ,=2I ⎰⎰2d d S y x z ⎰⎰≤+----=12222d )d 1(y x y x y x ⎰⎰≤+--=12222d d 1y x y x y x 1I =.9.以下四式正确的是( B )(A)∑∞=-=+1)1()1ln(n n nn x x (11≤<-x ). (B)20π(1)1(2)!nn n n ∞=-=-∑. (C)x x n x n n n sin )!12()1(02=+-∑∞= (+∞<<∞-x ). (D)211π(1)0(21)!n n n n ∞+=-=+∑. 解:)1ln()1(1x n x n nn+-=-∑∞=, 20π(1)cos π1(2)!nnn n ∞=-==-∑, x xn x n n n sin )!12()1(02=+-∑∞=)0(≠x , 211π(1)sin πππ(21)!n nn n ∞+=-=-=-+∑. 10.设正项级数∑∞=1n n u 收敛,且n n nu ∞→lim 存在,则( A ) (A)n n nu ∞→lim 0=. (B)n n nu ∞→lim 0>. (C)n n nu ∞→lim 0<. (D)不能确定. 解:因为n n nu ∞→lim nu n n 1lim ∞→=存在且∑∞=1n n u 收敛,故必有01lim =∞→n u nn ,否则∑∞=1n n u 发散. 11.将bxa x x f +=)((0≠ab )展为x 的幂级数时,所展幂级数的收敛半径=R ( D )(A)a . (B)b . (C)a b . (D)ba .解:bx a x x f +=)(x ab a x --=11∑∞=-=0)(n n x ab a x ,当1<=-x a b x a b 即b a x <时,级数绝对收敛,当1>-x a b 即b a x >时级数发散,故ba R =. 12.微分方程xy y =' (0<x )满足初始条件e1)2(=-y 的解=y ( C )(A)C x +-22e. (B)22e x . (C)22ex - (D)22Cex -.解:C x +-22e和22Ce x -不是特解,22e x 不满足初始条件,故选(C).(或直接求解.)三.解下列各题1.设),(y x z z =是由方程zz y x e =++确定的隐函数,求22x z ∂∂. 解:将方程两边对x 求导得x z x z z ∂∂=∂∂+e 1,解得1e 1-=∂∂z x z ;两边再对x 求导得22222e )(e x z x z x z z z ∂∂+∂∂=∂∂,解得 22x z ∂∂32)e 1(e e 1)(e z zz z x z -=-∂∂=. 2.设),(y x z z =是由方程0),(2222=--z x x y F 确定的隐函数,且),(v u F 可微,试计算yz x x z y ∂∂+∂∂.解:2122F x F x F x '+'-=', 12F y F y '=',22F z F z '-=',故y z x x z y ∂∂+∂∂zxyF z F y x F z F F x y ='-'-+'-'+'--=21221222][2. 3.求xy y x z ++=222在闭域1:22≤+y x D 上的最大值与最小值.解:令⎩⎨⎧=+='=+='0204x y z y x z yx ,得惟一驻点)0,0(,且0)0,0(=z .在边界122=+y x ,即⎩⎨⎧==ty tx sin cos (π20≤≤t )上,函数化为t t t t t z z cos sin sin cos 2)(22++== 232sin 212cos 21++=t t (π20≤≤t ). 令02cos 2sin )(=+-='t t t z 得81π=t ,832π=t .2232321212121)8(+=++=πz , 2232321212121)83(-=+-+-=πz .经比较得223max +z ,0min =z .4.将44分成三个正数z y x ,,之和,使得函数22232z y x u ++=达到最小值. 解:此问题为:求22232z y x u ++=在044=-++z y x 下的最小值. 作=),,,(λz y x L )44(32222-+++++z y x z y x λ,(0,0,,≠>λz y x ).令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++='=+='=+='=+='044 06 04 02z y x L z L y L x L z yx λλλλ,解得惟一驻点)8,12,24(.由于u 存在最小值(无最大值),故当8,12,24===z y x 时u 达到最小.5.在椭球面14222=++z y x 的第一卦限部分上求一点,使得椭球面在该点处的切平面在三个轴上的截距的平方和最小.解:设所求点为),,(z y x P .曲面在P 点的法向量}2,2,2{z y x =n ,切平面Π的方程为0)4(4222=++-++z y x Z z yY xX ,即14=++Z z yY xX .化为1411=++zZ y Y x X ,立即可得Π在三个坐标轴上的截距为z y x 4,1,1.于是问题归结为:求=u 2221611z y x ++(0,0,0>>>z y x )在条件14222=++z y x 下的最小值.作),,,(λz y x L λ+++=2221611zy x )14(222-++z y x (0,0,,≠>λz y x ).令⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-++='=+-='=+-='=+-='014 0232 022022222333z y x L z x z L y y L x x L z y x λλλλ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++==⇒14 22 222z y x x z x y ,得惟一解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===22121z y x . 由问题的实际意义知,点)2,21,21(即为所求的点.6.设三角形的周长为p 2,问三角形的三边各为多少时,才能使它绕自己的一边旋转所得的旋转体体积最大?解:设ABC ∆三边长分别为z y x ,,,则p z y x 2=++且绕其边AC 旋转(见图). 若记AC 上的高为h ,则ABC ∆的面积))()((21z p y p x p p yh S ---==,从而22))()((4y z p y p x p p h ---=;故旋转体体积=V 21π3y h =4π()()()3p p x p y p z y ---,其中p z y x 2=++ (0,0,0>>>z y x ).为简化计算,我们求函数y z p y p x p u ln )ln()ln()ln(--+-+-=在条件p z y x 2=++下的驻点.为此作辅助函数=),,,(λz y x L y z p y p x p ln )ln()ln()ln(--+-+-)2(p z y x -+++λ.解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++='=+--='=+---='=+--=' 0201011 01p z y x L zp L y y p L xp L z yx λλλλ得惟一驻点)43,21,43(p p p .由问题的实际意义知,)43,21,43(p p p 是V 在p z y x 2=++下的最大值点,即当p BC AB 43==,p AC 21=,且绕AC 旋转时,所得体积最大,3max π12V p =.7.用重积分表示并计算出由曲面222y x z +-=与22y x z +=所围立体的表面积.解:记1S :222y x z +-=,2S :22y x z +=,21S S S +=.在21,S S xOy 平面上的投影域均为1:22≤+y x D .y x S d d 2d 1=,2d d S x y =.故⎰⎰+++=Dy x y x S d )d 4412(22⎰⎰+=Dy x d d2 2πd d θρ⎰⎰1322π12π(14)1)126ρ=++=+.8.一质点在平面力场j i F y xx y )11(1232+-+=的作用下,沿曲线122+-=y y x 由点)0,1(A 运动到点)1,4(-B ,求力场所作的功.解:⎰⎰+-+=⋅=),( 232),( d )11(d 1d B A L B A L y y x x x y W s F . 因为xQx y y P ∂∂==∂∂32,故积分与路径无关,于是⎰⎰⎰--+-+=+-+=1 0 4 1 3)1,4( )0,1( 232d )1611(d 1d )11(d 1y y x x y y x x x y W 16132173215-=-=.9.计算曲线积分⎰-++L y yxy f y x x y xy f y 222d ]1)([d )(1,其中L 是经过)0,0(O , )32,3(A 和)2,1(B 三点的圆周上从A 点到B 点的一段劣弧,f 为可微函数.解: 因为x Q yxy f xy xy f y y P ∂∂=-'+=∂∂2321)()(,故积分与路径无关,于是选择沿⎪⎩⎪⎨⎧==x y x x C B A 2:),((x 从3变到1)积分得原式=⎰⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--++1 3 2222d 24]1)2(4[2)2(41x x x f x x x f x4d 13-==⎰x x .10.设S 是曲面1222=++z y x (0≥z )的下侧,求⎰⎰++Sy x z x z y z y x d d d d d d 333. 解:记1:22≤+y x σ,σ+=∑S ,∑所围域记为Ω.原式⎰⎰⎰⎰-=∑上内σ=⎰⎰⎰⎰⎰≤+Ω-++-122222d 0d )(3y x V z y x σπ2π12220 0 03d d sin d r r r θϕϕ=-⋅⎰⎰⎰6π5=-.11.计算y x z z f x z y z f z z y x I yy Sd d )e (d d )e (1d d 333⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰,其中S 是由曲面22y x z +=,221y x z --=和224y x z --=所围立体的表面外侧,f 具有连续导函数.解:记S 所围立体为Ω,由Gauss 公式得⎰⎰⎰Ω++=V z y x I d )(3222π 2π42240 0 13d d sin d r r r θϕϕ=⋅⎰⎰⎰93(2π5=. 12.计算⎰⎰∑++=y x z x z yz z y xz I d d d d d d 2,其中∑是球面4222=++z y x 介于平面3=z 和2=z 之间的部分,并取法向量与Oz 轴正向成锐角的那一侧.解:记3:=z S ;S ,∑在xOy 平面的投影域:xy D 122≤+y x ;S +∑所围域记为Ω,则 =I ⎰⎰⎰⎰-+∑下下上S S ⎰⎰⎰⎰⎰+++=ΩxyD V z z z σd )3(d )2(22π 10 04d d d 3πz θρρ=+⎰⎰π3π4π=+=.15.判断级数∑∞=-12!)e (n nn n n λλ（0≥λ）的敛散性. 解:因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-=++∞→+∞→!)e ()1()!1()e (lim lim 21121n n n n a a n n n n n n n n λλλλ e)11(limλλ=+=∞→n n n, 故当1e<λ,即e <λ时,级数收敛,当e =λ时级数显然收敛; 当1e>λ,即e >λ时,级数发散.16.求幂级数∑∞=+02!21n n n x n n 的收敛域及和函数. 解:因为01!2)!1(21)1(lim lim 2121=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=+∞→+∞→n n n n a a n n n n n n ,所以) ,(∞+-∞=D . =)(x S ∑∞=+02!21n n n x n n ∑∑∞=∞=+=020)()(2!2!1n n n n x n n x n=+=∑∞=122!e n n x t n n ∑∞=--+112)!1(e n n x t n n t ∑'∞=-+=12][)!1(e n n x n t t ∑'∞=--+=112][)!1(e n n x n tt t 22222e )421(e )(e ]e [e xtx txx x t t t t ++=++='+=,) ,(∞+-∞∈x . 17.将函数231)(2++=x x x f 展为)1(-x 的幂级数.解:231)(2++=x x x f x x x x +-+=++=2111)2)(1(1 )1(31)1(21-+--+=x x 311131211121-+--+=x x∑∑∞=∞=-----=003)1()1(312)1()1(21n nn n n n n n x x , n n n n n x )1)(3121()1(101---=+∞=+∑,)3 ,1(-∈x . 18.将π()2x x ϕ-=(π20<≤x )展为以2π为周期的Fourier 级数,并求级数∑∞=12cos n n nx 的和函数.解: (1)π()2x x ϕ-=在[0, 2π)上满足Dirichlet 条件,且2π0 01()d πa x x ϕ=⎰ 2π 0π1d 0π2x x -==⎰, 2π 0π1cos d π2n x a nx x -==⎰ 2π 2π0 011πcos d cos d 2π2πnx x x nx x -⎰⎰2π2π0 0sin 110sin d 02π[]x nx nx x n n =--=⎰ ( ,2,1=n ), 2π 0π1sin d π2n x b nx x -==⎰ 2π 2π0 011πsin d sin d 2π2πnx x x nx x -⎰⎰2π2π0 0cos 1110cos d 2π[]x nx nx x n n n-=-+=⎰ ( ,2,1=n ); 故∑∞=1sin ~)(n n nx x ϕπ,(0, 2π)20, 0x x -⎧⎪=⎨⎪=⎩. (2)设=)(x f ∑∞=12cos n n nx ,[0, 2π)x ∈,其中=)0(f 221π16n n∞==∑;因为=')(x f 1sin ππ222n nx x x n ∞=--=-=-∑,(0, 2π)x ∈,所以=)(x f ⎰'+xx x f f 0 d )()0(2222ππ2π36π64212x x x x +-=+-=,[0, 2π)x ∈. 19.设有微分方程)(2x y y ϕ=-',其中⎩⎨⎧><=1,01,2)(x x x ϕ.试求在) ,(∞+-∞内的连续函数)(x y y =,使之在)1 ,(-∞和) ,1(∞+内都满足所给方程,且满足条件0)0(=y .解: (1)当1<x 时,方程为22=-'y y ,通解为1e 21-=x C y ,由0)0(=y 得11=C ,所以1e 2-=x y . (2)当1>x 时,方程为02=-'y y ,通解为x C y 22e =.要使)(x y y =在1=x 处连续,必须)1e (lim e lim 21221-=-+→→x x x x C ,即1e e 222-=C ,于是得22e 1--=C ,所以x y 22e )e 1(--=.(3)补充定义=)1(y 1e 2-,则得在) ,(∞+-∞内的连续函数)(x y y =⎩⎨⎧>-≤--1x ,e )e (11,1e 222xx x 满足所给方程及初始条件.20.一质量为m 的汽艇以速度0v 行驶,在0=t 时刻关闭动力继续行驶.假定水对汽艇的阻力与行驶速度v 的n 次方成正比(n 为常数),求v 与关闭动力后行驶距离之间的函数关系.解:设经过t 时间后,行驶的距离为)(t x (0>t ),阻力n kv R -=(0>k ),由Newton 第二定律得 0)]([)(='+''n t x mk t x ,由题设有0)0(,0)0(v x x ='=.因为v t x =')(,所以xv v t x d d )(='',于是方程化为0d d 1=+-n v mk x v ,分离变量得x mk v v n d d 1-=-.(1)当2≠n 时,通解为C x mk n v n+=--22,由0)0()0(v x v ='=得n vC n -=-220,所以x n mk v v nn )2(202--=--,即)()2(220n n v v k n m x ----=; (2)当2=n 时,通解为x mk C v -=e,由0)0()0(v x v ='=得0v C =,故x mk v v -=e0,即vvkm x 0ln =.21.设)(x f 具有二阶连续导数,且积分y x f x y x f x f L x d )(d ])()(2[e '+-'-⎰λ (λ为常数)与路径无关,试求)(x f .解:因为积分与路径无关,故有xQyP ∂∂=∂∂,即)()()(2e x f x f x f x ''=-'-λ,整理得x x f x f x f λe )()(2)(=+'+''.0122=++r r ⇒121-==r r ,所以)(e 21x C C Y x +=-.当1-≠λ时,设x A y λe =*,代入原方程定出2)1(1λ+=A ,即2)1(e λλ+=*xy ,此时通解为=y )(e 21x C C x+-2)1(e λλ++x; 当1-=λ时,设xAx y λe 2=*,代入原方程定出21=A ,即2e 2xx y -*=,此时通解为=y )2(e 221x x C C x ++-.22.设高为)(t h 厘米(t 为时间,单位为小时)的雪堆,在融化过程中其侧面方程为)()(2)(22t h y x t h z +-=,其体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为0.9),问高度为130厘米的雪堆全部融化需要多少小时? 解: 设雪堆的体积为V ,侧面积为S ,则 222 ()()23 0 01[()()]2ππd d d [()()]d ()24h t h t x y h t h t z V z x y h t h t z z h t +≤-==-=⎰⎰⎰⎰, ⎰⎰≤+'+'+=)(2122222d d 1t h y x yx y x z z S ⎰⎰≤+++=)(21222222d d )()(161t h y x y x t h y x2πd ()h t ρ=⎰213π()12h t =. 由题设知S tV 9.0d d -=,即23π()d ()4d h t h t t 213π()91012h t =-,于是 1013d (t)d -=t h , 故C t t h +-=1013)(,由130)0(=h 得130=C ,即 1301013)(+-=t t h .令0)(=t h 得100=t (小时),即高度为130厘米的雪堆全部融化需要100小时.23.求微分方程24d (2)d xy x x y y =- 的通解.解：方程可化为：31d 2d x x y x y y --=-，这是Bernoulli 方程.令1(1)2,z x x --==则方程化为线性方程 3d 42,d z z y y y-=- 44d d 34e2e d (2ln ),y yyy z C y y y C y ---⎡⎤⎰⎰=+-=-⎢⎥⎣⎦⎰ 故通解为24(2ln ).x y C y =-24.求幂级数30(3)!n n x n ∞=∑的和函数. 解：易知收敛半径为+∞，设30(),(, ),(3)!nn x s x x n ∞==∈-∞+∞∑显然(0) 1.s =313211(),(0)0;(),(0)0;(31)!(32)!n n n n x x s x s s x s n n ∞∞--==''''''====--∑∑ 33310()();(33)!(3)!n n n n x x s x s x n n ∞∞-=='''===-∑∑ 故得 ()()0,(0)1,(0)0,(0)0.s x s x s s s '''-=⎧⎨'''===⎩ 或 ()()()e ,(0)1,(0)0. x s x s x s x s s '''⎧++=⎨'==⎩（1）()()0,(0)1,(0)0,(0)0s x s x s s s '''-=⎧⎨'''===⎩的求解过程如下：3212,3123110,1,()e e .2x x r r r s x C C x C x -⎛⎫-===-∴=++ ⎪⎝⎭又21232311()e e ,22x x s x C C x C x -⎡⎤⎛⎫⎛⎫'=+-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦21232311()e esin ,22x x s x C C C x -⎡⎤⎛⎫⎫''=+--+-⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦于是由初始条件得121231231, 10,210,2C C C C C C ⎧+=⎪⎪⎪-+=⎨⎪⎪--=⎪⎩解得1231, 32,30.C C C ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩所以和函数212()e e c ,(,).33x x s x x x -=+∈-∞+∞（2）()()()e ,(0)1,(0)0 x s x s x s x s s '''⎧++=⎨'==⎩的求解过程如下：221,212110,()e sin .2x r r r S x C x C x -⎛⎫++==-±∴=+ ⎪⎝⎭因为i 1λω+=不是特征根，故设e x s A =，代入原方程，得1,3A =即1e ,3x s =于是2121()()()e e .3x x s x S x s x C x C x -⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭由(0)1s =得123C =，即2212()e +e .33x x s x C x -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭222111()e +e 332x x s x C x -⎡⎤⎫⎫'=-+⎢⎥⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由(0)0s '=得20C =，所以和函数212()e e c ,(,).os 33x x s x x x -=+∈-∞+∞四.证明题2.若0lim =∞→n n na ,且∑∞=+-+11])1[(n n n na a n 收敛,试证∑∞=1n n a 收敛. 证:记=n s 1n k k a =∑,=n σ∑=+-+nk k k ka a k 11])1[(, ,2,1=n ,则}{n σ收敛.=n σ )2(21a a -)23(32a a -+)34(43a a -+ +])1[(1+-++n n na a n 13212222+-++++=n n na a a a a 12+-=n n na s ,12121++=∴n n n na s σ.因为}{n σ收敛,所以要证}{n s 收敛,只需证}{1+n na 收敛.事实上,由0lim =∞→n n na 知0)1(lim 1=++∞→n n a n ,于是 =+∞→1lim n n na 0])1(1[lim 1=+++∞→n n a n n n . 因此}{n s 收敛,即∑∞=1n n a 收敛.(且∑∞=1n n a 21=∑∞=+-+11])1[(n n nna an .)3.若幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛半径10=R ,则幂级数∑∞=0!n nn x n a 的收敛半径+∞=R . 证:因为10=R ,故对于)1 ,0(0∈x ,级数∑∞=00n n n x a 绝对收敛,从而}{0nn x a 有界,设M x a n n ≤0.于是),(∞+-∞∈∀x ,有nn n n nn n n x x n M x x n x a x n a 000!!!≤≤.而由比值法知,) ,(∞+-∞∈∀x ,∑∞=00!n nn x x n M 收敛,从而∑∞=0!n n n x n a 绝对收敛,故其收敛半径+∞=R .4.设)1(21,211nn n a a a a +==+(N ∈n ),试证:(1) nn a ∞→lim 存在; (2) ∑∞=+-11)(1n n naa收敛.证: (1))1(21,211n n n a a a a +==+1212≥+=nn a a (N ∈n ),即}{n a 有下界;又02121<-=-+nnn n a a a a ,即}{n a 单调递减,故n n a ∞→lim 存在. (2)因为}{n a 单调递减,所以11-+n n a a 0>,即∑∞=+-11)(1n n n a a是正项级数,又因为1≥n a ,所以11-+n n a a =111+++-≤-n n n n n a a a a a (N ∈∀n );而n n a ∞→lim 存在,故∑∞=+-11)(n n n a a 收敛,于是由比较判别法知,∑∞=+-11)(1n n n a a收敛.5.证明: (1)∑∞=+-1)(1ln 1n n n n收敛; (2)1ln 131211lim =++++∞→n n n . 证: (1)因为=+-≤n n n 1ln 10)11ln(1n n +-2211112o n n n n ⎡⎤⎛⎫=--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2211,2o n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 而∑∞=121n n收敛,所以∑∞=+-1)(1ln 1n n n n 收敛.(2) ∑∞=+-1)(1ln 1n n n n ∑=∞→++-=nk n k k k1)(ln )1ln(1lim ]ln )1ln(1312ln 3ln 212ln 1[lim n n n n ++-+-++-+-=∞→ )]1ln(131211[lim +-++++=∞→n nn , 因为∑∞=+-1)(1ln 1n n n n收敛,即)]1ln(131211[lim +-++++∞→n n n 存在,故 0ln )1ln(131211lim =+-++++∞→nn n n , 即0ln )1ln(ln 131211lim =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-++++∞→n n n n n ; 易知1ln )1ln(lim =+∞→n n n , 所以 =++++∞→nn n ln 131211lim 1ln )1ln(lim =+∞→n n n . 7. 12111,(2,3,4,).:n n n a a a a a n +-===+=设证明111,,2n n n x a x ∞-=<∑对于收敛().s x 并求其和函数解：111,2n n n x a x ∞-=<∑(1)先证:对于收敛.{}0,,n n a a >由题设知单调增从而112n n n n a a a a +-=+≤，即 2322123222222 (2,3,4,).n n n n n n a a a a a n -----≤≤≤≤≤== 易知2122n n n x∞--=∑的收敛半径为11,,22x ∀<于是2122n n n x ∞--=∑绝对收敛，即1222n n n x∞--=∑收敛；又11122,n n n n n n a xa xx----=≤故2122n n n x ∞--=∑绝对收敛，从而111,2n n n x a x ∞-=<∑对于收敛.（2）再求和函数111() ().2n n n s x a x x ∞-==<∑11111122()11[]n n n n n n n n n n s x a xa xa a x ∞∞∞---+-=====+=+-∑∑∑112112231111n n k m n n k m n n k m a x a xa xa x ∞∞∞∞---+-=====+-=+=+-∑∑∑∑11311111[()1]()k m k m k m a x x a x s x x xs x x x ∞∞--===+-=+---∑∑211(),0.x s x x xx-=-≠解之得21(),(0),1s x x x x=≠--又1(0)1,s a ==所以1,2x ∀<有1211() .1n n n s x a x x x∞-===--∑ 9.设正数列{}n a 单调递减，若级数1(1)nn n a ∞=-∑发散，则111nn n a ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑收敛.证：因为0,n a >且{}n a ，故有极限，设lim ,n n a a →∞=则0.a ≥又因为1(1)n n n a ∞=-∑发散，故由Leibniz 判别法知0a ≠，即lim 0.n n a a →∞=>11lim lim 1,111n n n n a a →∞→∞⎛==<∴ +++⎝111nn n a ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑收敛. 10. 设0,n u ≠且lim 1,n n n u →∞=试证11111(1)n n n n u u ∞-+=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∑条件收敛.证：记1111(1),n n n n a u u -+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭由lim 1,n nn u →∞=知 111lim lim lim 2,11n n n n n n n n a n n n n n u u u u n n →∞→∞→∞++⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭而11n n ∞=∑发散，故1n n a ∞=∑发散，即原级数不会绝对收敛. 因为11111(1)nk n kk k s u u -+=⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∑ 1122334111111111(1)n nn u u u u u u u u -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11111(1),n n u u -+=+-且由1lim lim 1,1n n n n un u n→∞→∞==知1lim 0n nu →∞=，从而111lim(1)0,n n n u -→∞+-=故11lim ,n n s u →∞=即原级数收敛. 因此原级数条件收敛.。

(整理)多元函数微分习题

第五部分多元函数微分学[选择题]容易题1—36，中等题37—87，难题88—99。

1．设有直线⎩⎨⎧=+--=+++031020123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L ( )(A) 平行于π。

(B) 在上π。

(D) 与π斜交。

答：C2．二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x y x xyy x f 在点)0,0(处 ( )(A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在答：C3．设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组⎩⎨⎧+=+=22v u y v u x 确定，则当v u ≠时，=∂∂x u( ) (A)v u x - (B) v u v -- (C) v u u -- (D) vu y- 答：B4．设),(y x f 是一二元函数，),(00y x 是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是( )(A) 若),(y x f 在点),(00y x 连续，则),(y x f 在点),(00y x 可导。

(B) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 连续。

(D) 若),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在点),(00y x 连续。

答：D 5．函数2223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是( )(A) )32,31,31(- (B) )32,31,31(2- (C) )92,91,91(- (D) )92,91,91(2- 答：A6．函数在点处具有两个偏导数是函数存在全微分的（）。

高等数学8.8 方向导数

f ( x0
x, y0
y)

f ( x0 , y0 )

f x (x0 , y0 )
(2). 沿着 x轴负向、 y 轴负向的方向导数是 f x , f y.
定理如果函数z f ( x, y)在点 P(x0, y0) 处可微，那末函数在该
点沿任意方向 L 的方向导数都存在，且有
(6
x
2

8
y
2
1
)2
在此处沿方向n的方向导数.
z
解令 F( x, y, z) 2x2 3 y2 z2 6,
故 nr |(1,1,1) Fx, Fy, Fz |(1,1,1) 4, 6, 2 ,
cos 2 ,
14
cos 3 ,
14
cos 1 .
f lim f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 ) lim fx ( x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 )y o( )
l （x0 ,y0）0+

0+

fx ( x0 , y0 )cos f y ( x0 , y0 )cos
y
l
• P
且 P U( p). = | PP | (x)2 (y)2 ,

y
若 lim f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 )
P
••
x
0+

o
f
x
则称此极限为 z f ( x, y)在P处沿方向 l 的方向导数, 记为 l （x0 , y0）
l 0

z

(整理)第七节方向导数与梯度

第七节方向导数与梯度要求：了解方向导数与梯度的概念，会计算方向导数与梯度方法。

重点：方向导数与梯度的计算。

难点：梯度的几何意义，方向导数与梯度的联系。

作业：习题8－7（60P ）2,4,6,8,10一．方向导数问题提出：在许多实际问题中，常常需要知道函数),(y x f z =在点(,)P x y 沿任意方向或某个方向的变化率．例如预报某地的风向和风力就必须知道气压在该处沿着哪个方向的变化率，在数学上就是多元函数在一点沿给定方向的方向导数问题．1．方向导数定义设函数),(y x f z =在点(,)P x y 的某一邻域内有定义，自P 点引有向直线L ，x 轴正向与直线L 夹角为ϕ，在L 上任取一点'(,)P x x y y +∆+∆，若'P 沿着L 趋近于P 时，即当0)()(22→∆+∆=y x ρ时，极限ρρ),(),(limy x f y y x x f -∆+∆+→ 存在则称此极限值为函数在点P 沿着L 方向的方向导数．记作ρρ),(),(lim 0y x f y y x x f L f -∆+∆+=∂∂→．说明（1）规定逆时针方向旋转生成的角是正角0>ϕ，顺时针方向旋转生成的角是负角0<ϕ；2．方向导数的计算定理若函数),(y x f z =在点(,)P x y 可微分，那么函数),(y x f z =在点(,)P x y 沿任一方向L 的方向导数都存在，且有计算公式ϕϕsin cos y f x f L f ∂∂+∂∂=∂∂{},cos ,sin ,f f f f e x y x y ϕϕ⎧⎫⎧⎫∂∂∂∂=⋅=⋅⎨⎬⎨⎬∂∂∂∂⎩⎭⎩⎭．其中ϕ为x 轴到方向L 的转角，e 是与L 同方向的单位向量．证明：因为函数),(y x f z =在点(,)P x y 可微分，所以有()f ff x y o x yρ∂∂∆=∆+∆+∂∂，上式两边同除以ρ，得()()cos sin ff x f y o f f o x y x y ρρϕϕρρρρρ∆∂∆∂∆∂∂=++=++∂∂∂∂，则0lim cos sin f f f f L x yρϕϕρ→∂∆∂∂==+∂∂∂ 例1．求函数yxe z 2=在点(1,0)P 处沿从点(1,0)P 到点)1,2(-Q 的方向的方向导数．解这里方向L 即向量{}1,1PQ =-的方向，因此x 轴到L 方向的转角4πϕ=,又因为y e x z 2=∂∂，y xe y z 22=∂∂，所以在点)0,1(处，1=∂∂xz，2=∂∂y z ，于是方向导数为22)4sin(2)4cos(1-=-+-⋅=∂∂ππL z ．另一方法．例2. 设由原点到点),(y x 的向径为r ，x 轴到r的转角为θ，x 轴到射线L 的转角为ϕ，求Lr ∂∂，其中22y x r r +== )0(≠r ．解因为θcos 22==+=∂∂r x y x x xr ，θsin 22==+=∂∂ryy x y yr 所以)cos(sin sin cos cos ϕθϕθϕθ-=+=∂∂Lr，讨论：当θϕ=时，1=∂∂L r,即沿着向径本身方向的方向导数为1,当2πθϕ±=时，0=∂∂Lr,即沿着与向径垂直的方向导数为零．3．三元函数的方向导数三元函数),,(z y x f u =在空间一点(,,)P x y z 沿方向L (设方向L 的方向角为γβα,,)的方向导数，同样定义为ρρ),,(),,(lim 0z y x f z z y y x x f L f -∆+∆+∆+=∂∂→．其中222)()()(z y x ∆+∆+∆=ρ，γρβραρcos ,cos ,cos =∆=∆=∆z y x ．若函数),,(z y x f 在点(,,)P x y z 可微分，则在该点方向导数计算公式为cos cos cos {,,}{cos ,cos ,cos }f f f f f f fL x y z x y zαβγαβγ∂∂∂∂∂∂∂=++=⋅∂∂∂∂∂∂∂ {,,}f f fe x y z∂∂∂=⋅∂∂∂．其中{cos ,cos ,cos }e αβγ=是与L 同方向的单位向量．例3．求函数u xyz =在点(5,1,2)P 处沿从点(5,1,2)P 到点(9,4,14)Q 的方向的方向导数．解因为u yz x ∂=∂，,u u xz xy y z ∂∂==∂∂，所以2,10,5PPPu uu xyz∂∂∂===∂∂∂，而且{95,41,142}{4,3,12}PQ =---=，2||413PQ ==，于是 4312cos ,cos ,cos 131313αβγ===，从而431298cos cos cos 210513131313f f f f L x y z αβγ∂∂∂∂=++=⨯+⨯+⨯=∂∂∂∂．二．梯度1．梯度定义设函数),(y x f z =在平面区域D 内具有一阶连续偏导数，则对于每一点(,)P x y D∈都可确定出一个向量j yf i x f∂∂+∂∂，这个向量称为函数),(y x f z =在点(,)P x y D ∈的梯度，记作⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂∂∂=∂∂+∂∂=x f x f j y f i x f y x gradf ,),( ． 2．梯度与方向导数关系设cos sin e i j ϕϕ=+是与L 同方向的单位向量，则由方向导数的计算公式得{}cos sin ,cos ,sin f f ff f L x y x y ϕϕϕϕ⎧⎫∂∂∂∂∂=+=⋅⎨⎬∂∂∂∂∂⎩⎭(,)(,)cos(^)gradf x y e gradf x y e gradf e =⋅=⋅),(y x gradf prj L =．可见，方向导数Lf∂∂就是梯度在方向L 上的投影．当L 方向与梯度方向一致时，有1)^cos(=e gradf，从而方向导数(,)f gradf x y L∂=∂有最大值，所以沿梯度方向的方向导数达到最大值，也就是说，梯度的方向是函数),(y x f 在这点增长最快的方向．结论：函数在某点的梯度方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值，即(,)max()f gradf x y L∂=∂ 3．梯度的计算梯度的模为 22)()(),(xfx f y x gradf ∂∂+∂∂=，梯度方向为当0≠∂∂xf时，x 轴到梯度转角的正切xf y f∂∂∂∂=θtan ． 4．梯度的几何意义曲面),(y x f z =被平面c z =所截得曲线L 的方程为⎩⎨⎧==c z y x f z ),(这条曲线L 在xoy 面上的投影是一条平面曲线*L ，它在xoy 平面上的直角坐标方程为c y x f =),(对于曲线*L 上一切点，对应的函数值都是c ，所以称曲线*L 为函数),(y x f z =的等高线，等高线*L 上任一点(,)P x y 处法线斜率为11tan ()y x x yf dy f f dx f θ-=-==-，梯度j yf i x f ∂∂+∂∂为等高线上点P 处的法向量．梯度与等高线关系：函数),(y x f z =在点),(y x p 的梯度的方向与过点p 的等高线c y x f =),(在该点的法线方向相同，且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数，这个法线方向就是方向导数取得最大值的方向．5．三元函数的梯度k zf j y f i x f z y x gradf∂∂+∂∂+∂∂=),,(等高线对应等量面．例3．求221y x grad+．解因为221),(yx y x f +=，所以22)(2y x x x f +-=∂∂，22)(2y x yy f +-=∂∂，于是j y x yi y x x y x grad 22222222)(2)(21+-+-=+．例4．设222),,(z y x z y x f ++=，求)2,1,1(-gradf ．解因为k z j y i x z y x gradf222),,(++=，所以k j i gradf422)2,1,1(+-=-．6.数量场与向量场如果对于空间区域G 内的任一点M ，都有一个确定的数量)(M f ，则称在这空间区域G 内确定了一个数量场，一个数量场可由一个数量函数)(M f 来确定，如果与点M 相对应的是一个向量()F M ，则称在空间区域内确定了一个向量场，一个向量场可用一个向量函数()F M 来确定．思考题1．2．方向导数与梯度有何区别？又有何联系？（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。

多元微积分中方向导数不同定义的分析与探讨

参考文献：
［1］朱健民，李建平.高等数学：下册［M］.北京：高等教育出版社，2007.
［2］同济大学应用数学系.高等数学：下册［M］.5 版.北京：高等教育出版社，2002.
［3］凯勒姆(McCallum，W.G.).多元微积分［M］.董达英，等，译.北京：高等教育出版社，2003.
［4］孙家永.方向导数与可微的关系及可微之充要条件［J］.高等数学研究，2012，15(1)：6－7.
1 方向导数的不同定义
定义1［1］设二元函数f(x，y) 在点(x0，y0)的某邻域内有定义，向量u 对应的单位向量为u°= {cosα，cosβ }，其中α，β 为向量u 的方向角。定义函数f(x，y) 在点(x0，y0) 沿方向u 的方向导数为：
其中，ρ 可正可负。ρ＞0 时，表示自变量从(x0，y0) 沿着方向u 移动的距离，ρ＜0 表示自变量沿方向u 反向移动的距离。
偏导数存在只能得出函数沿着坐标轴方向(正方向的方向导数为对应的偏导数，而负方向为对应偏导数的相反数)的方向导数存在，而不能推出其它方向的方向导数存在，如函数：
除了坐标轴方向的方向导数存在外，沿着其他方向的方向导数都不存在。由该例也可以知道，即使函数在某点处两个方向导数都存在，也不能使用公式(2)来计算沿着其他方向的方向导数。
定义2［2］在前提条件与定义1 相同的情况下，定义方向导数为：
其中，ρ 表示自变量从(x0，y0) 沿着方向u 移动的距离。
定义3［3］设二元函数f(x，y) 在点(x0，y0)的某领域内有定义，单位向量u=(a，b) ，定义方向导数为：
以上定义很容易推广得到n(n≥3) 元函数的方向导数定义。
3 方向导数计算的注意事项
在不同的教材中都以定理的形式给出了多元函数方向导数存在的充分条件与快速计算方法。以二元函数为例，如果函数f(x，y)在(x，y)处可微，则函数在该点处沿着任意方向u 的方向导数存在，并且有：

第6章多元函数微分学4-8导学解答(6.1.6 方向导数6.1.7 梯度)

6.1 多元函数微分的基本概念6.1.6 方向导数 6.1.7 梯度一、相关问题1.一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？ (问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行．)2.假设你在攀登一座形状满足方程2210000.010.02z x y =--的山峰，且正处在坐标为（60，100，764）的位置。

（1）为了最快到达山顶，此时你应选择哪个方向进行？（2）如果沿上所确定的方向进行，初始的上升角度是多少？二、相关知识1.函数的方向导数有什么几何意义？2.函数的方向导数与函数的连续、可导、可微之间有什么关系？3.函数的梯度有何几何意义？4.函数的梯度与方向导数有什么区别和联系？三、练习题1.求函数xyz u =在点)2,1,5(处沿从点)2,1,5(到点)14,4,9(的方向的方向导数。

解 {}{},12,3,4214,14,59=---=→l.131691234||222==++=→l 1312cos ,133cos ,134cos ===γβα 1312133134cos cos cos xy xz yz z u y u x u l u +⋅+⋅=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβα 所以 ()1398513121013321342,1,5=⨯+⨯+⨯=∂∂l u . 2.已知函数(,)f x y 在000(,)P x y 点的偏导数存在，且00(,)x f x y m '=，求(,)f x y 在0P点沿x 轴负方向的方向导数。

解过0P 点沿x 轴负方向作射线L ，在0P 点的邻域内射线L 上取一点00(,)P x x y +∆，则000000(,)(,)l i m P P f x x y f x y PP →+∆-00000(,)(,)l i m x f x x y f x y x∆→+∆-=∆ 0000000(,)(,)lim (,)x x f x x y f x y f x y m x∆→+∆-'==-=--∆ 所以(,)f x y 在0P 点沿x 轴负方向的方向导数为m -．3.问函数2u xy z =在点(1,1,2)P -处沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大值．解 {}{}22,,,2,x y z gradu u u u y z xyz xy '''=={}2,4,1M gradu=-是方向导数在点P 取最大值的方向， {}2,4,1M gradu =-=4.问函数z xy u 2=在点)2,1,1(-P 处沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大值。

大学经典课件之高等数学——8-6方向导数和梯度

机动
∂f ∂f ∂f ∂f r = cos α + cos β + cos γ . ∂l ∂x ∂y ∂z
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二、梯度
问题 : 函数在点 P 沿哪一方向变化率增加的最快 ? r r 设 e = {cos α , cos β } 是方向 l 上的单位向量，
则
∂f ∂f ∂f ∂f ∂f r = cosα + cos β = { , } ⋅ {cosα , cos β } ∂y ∂x ∂y ∂ l ∂x
结论：函数在某点的梯度是一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，即：沿梯度的方向函数的变化率增加最快。而梯度的模为方向导数的最大值。梯度的模为 2
⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂ f ⎞ | gradf ( x , y ) |= ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠
2
机动
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∂ f ∂f r ∂f 2 ∂f 2 = ( ) + ( ) cosθ , 其中 θ = ({ , }, e ) ∂x ∂y ∂x ∂x
∂f 显然当 cos θ = 1 ，即 θ = 0 时， r 有最大值。 ∂l
∂f ∂f 即沿方向 { , } 函数的变化率增加最快 ∂ x ∂y
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然而，在实际问题中还要经常会遇到在其它方向上的变化率的问题。
问题：函数 z = f ( x , y )在其它方向上的变化率如何刻划？
—— 方向导数
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方向导数的定义
y
l
设函数 z = f ( x , y ) 在点P ( x , y ) r α 的某一邻域 U ( P ) 内有定义，是过 l • • P r Δx 点 P 的任意确定方向。在 l 上任取 ′( x + Δx , y + Δy )， P ′ ∈ U ( P ), o 一点 P 使

7.5_方向导数与梯度

可微方向导数存在如, 函数 z 的方向导数 ( x ) 2 0 2 0 f f x lim lim 1, | x | x 0 x l i |x|0 偏导数存在 2 2 x y 在点(0, 0)处沿方向 l i
2 2 ( x ) 0 0 | x | f xz lim , lim lim 但 x 0 x x x x 0 x x 0 不存在. 即z在(0, 0)点的偏导数不存在.
π 特别地, 当 l为正x轴时, 0, , 上式化为 2 f z . 可微必可导 l P x P
因此, 函数 z = f (x, y)在点P (x, y)处沿x轴正方向的方向导数就是函数 z = f (x, y)在该点处对x的偏
z f f cos cos l P x P y P
f x y
方向导数与梯度
沿梯度方向, 函数的增长最快!
grad z P
f f , x y P
结论函数在某点的梯度是这样一个向量, 它的方向与取得最大方向导数的方向一致, 而它的模为方向导数的最大值(最大的变化率).
2 梯度的模为 2 f f | grad z |P x y
2 2 z x y , 例2 某山体表面某段曲面方程为
一登山者位于点(1,2)处. 求山体表面在该点处沿方向 l (1,1)处海拔高度z值变化率, 该变化率说明什么.
z 2 因为 x (1, 2 )
z 解 z沿方向 l 的变化率即为方向导数 .
0 1 1 f l 的单位向量 l ,
11
方向导数与梯度
f f f cos cos l P0 x P0 y P0

第八章方向导数与梯度

z e 2 y (1, 0 ) 1; x (1, 0 )
所求方向导数
z cos( ) 2 sin( ) 2 . 2 4 4 l
y 例 2 求函数 f ( x , y ) x 2 xy 2 在点（1，1） l 沿与 x 轴方向夹角为的方向射线的方向导数.并问在怎样的方向上此方向导数有（1）最大值；（2）最小值；（3）等于零？
与曲面 z = f ( x , y ) 所交的曲线记为 C 在上考察C P0 P的方向与l 对应

f ( x0 x , y0 y ) f ( x0 , y0 )
即
表示C 的割线向量
P0 P与l 的交角的正切值即
P0 P关于l 的斜率
当 0时
( x0 x, y0 y ) ( x0 , y0 )
割线转化为切线
上式极限存在就意味着当点
( x0 x, y0 y )
趋于点
( x0 , y0 )
P0
T
C
曲线C在点 P0 有唯一的切线它关于
P
l 方向的斜率
f 就是方向导数 l
( x 0 , y0 )
M0
M
l
L
定理如果函数z f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 是可微分的，那末函数在该点沿任意方向 L 的方向导数都
3 1 在 P0 ( , ,0) 处梯度为 0. 2 2
a b x2 y2 例5 求函数 z 1 ( 2 2 ) 在点 ( , ) 处 2 2 a b x2 y2 沿曲线 2 1 的内法线方向的方向导数 a2 b
解一用方向导数计算公式
即要求出从 x 轴正向沿逆时针转到内法线方向的转角

数学分析17.3多元函数微分学之方向导数与梯度

第十七章多元函数微分学3方向导数与梯度定义1：设三元函数f 在点P 0(x 0,y 0,z 0)的某邻域U(P 0)⊂R 3有定义，l 为从点P 0出发的射线，P(x,y,z)为l 上且含于U(P 0)内的任一点，以ρ表示P 与P 0两点间的距离. 若极限ρ)f(P -f(P)lim00ρ+→=ρflim 0ρl ∆+→存在，则称此极限为函数f 在点P 0沿方向l 的方向导数，记作0P lz ∂∂,f l (P 0)或f l (x 0,y 0,z 0).若f 在点P 0存在关于x 的偏导数，则f 在P 0沿x 轴正向的方向导数为：P lz ∂∂=P xz ∂∂；当l 的方向为x 轴的负方向时，则有P lz ∂∂=-P xz ∂∂.定理17.6：若函数f 在点P 0(x 0,y 0,z 0)可微，则f 在点P 0沿任一方向l 的方向导数都存在，且f l (P 0)=f x (P 0)cos α+f y (P 0)cos β+f z (P 0)cos γ，其中 cos α,cos β,cos γ是方向l 的方向余弦.证：设P(x,y,z)为l 上任一点，于是有⎪⎩⎪⎨⎧=∆==∆==∆=ρcosγz z -z ρcosβy y -y ρcosαx x -x 000，∵f 在点P 0可微，∴f(P)-f(P 0)=f x (P 0)△x +f y (P 0)△y +f z (P 0)△z+o (ρ)，两边除以= f x (P 0)cos α+f y (P 0)cos β+f z (P 0)cos γ+ρ)ρ(o ，∴f l (P 0)=ρ)f(P -f(P)lim 00ρ+→=f x (P 0)cos α+f y (P 0)cos β+f z (P 0)cos γ.注：二元函数f(x,y)对应的结果是：f l (P 0)=f x (x 0,y 0)cos α+f y (x 0,y 0)cos β，其中α,β是平面向量l 的方向角.例1：设f(x,y,z)=x+y 2+z 3,求f 在点P 0(1,1,1)沿方向l:(2,-2,1)的方向导数. 解：∵f x (P 0)=1; f y (P 0)=2y|(1,1,1)=2; f z (P 0)=3z 2|(1,1,1)=3; 又cos α=2221)2(22+-+=32; cos β=-32; cos γ=31;∴f l (P 0)=f x (P 0)cos α+f y (P 0)cos β+f z (P 0)cos γ=32-34+1=31.例2：讨论f(x,y)=⎩⎨⎧+∞<<∞<<其余部分时当，，0x -，x y 012在原点处的方向导数.解：f 在原点不连续，所有不可微. 但在始于原点的任何射线上，都存在包含原点的充分小的一段，在这一段上，f 的函数值恒为0. 根据方向导数的定义，在原点处沿任何方向l 都有)(0,0lf∂∂=0.注：例2说明：(1)函数在一点可微是方向导数存在的充分条件，不是必要条件； (2)函数在一点连续既不是方向导数存在的必要条件也不是充分条件.定义2：若f(x,y,z)在点P 0(x 0,y 0,z 0)存在对所有自变量的偏导数，则称向量(f x (P 0),f y (P 0),f z (P 0))为函数f 在点P 0的梯度，记作：gradf=(f x (P 0),f y (P 0),f z (P 0)). 向量gradf 的长度(或模)为：|gradf|=)P (f )P (f )P (f 02z 02y 02x ++. 若记l 方向上的单位向量为：l 0=(cos α,cos β,cos γ)，则方向导数公式可写成：f l (P 0)=gradf(P 0)·l 0=|gradf(P 0)|cos θ，这里θ是梯度向量gradf(P 0)与l 0的夹角. 因此当θ=0时， f l (P 0)取得最大值|gradf(P 0)|，即当f 在点P 0可微时， f 在点P 0的梯度方向是f 的值增长最快的方向，且沿这一方面的变化率就是梯度的模；而当l 与梯度向量反方向(θ=π)时，方向导数取得最小值-|gradf(P 0)|.例3：设f(x,y,z)=xy 2+yz 3, 求f 在P 0(2,-1,1)的梯度及它的模.解：由f x (P 0)=y 2|(2,-1,1)=1; f y (P 0)=2xy+z 3|(2,-1,1)=-3; f z (P 0)=3yz 2|(2,-1,1)=-3得， f 在P 0的梯度gradf=(1,-3,-3)，模为：222)3()3(1-+-+=19.习题1、求函数u=xy 2+z 3-xyz 在点(1,1,2)沿方向l(方向角分别为60⁰,45⁰,60⁰)的方向导数.解：∵u x (1,1,2)=y 2-yz|(1,1,2)=-1; u y (1,1,2)=2xy-xz|(1,1,2)=0; u z (1,1,2)=3z 2-xy|(1,1,2)=11; cos60⁰=21; cos45⁰=22; ∴f l (1,1,2)=(-1)×21+0+11×21=5.2、求函数u=xyz 在点A(5,1,2)沿到点B(9,4,14)的方向AB 上的方向导数. 解：∵u x (5,1,2)=yz|(5,1,2)=2; u y (5,1,2)=xz|(5,1,2)=10; u z (5,1,2)=xy|(5,1,2)=5; cos α=222)214()14()59(59-+-+--=134; cos β=133; cos γ=1312; ∴f l (5,1,2)=2×134+10×133+5×1312=1398.3、求函数u=x 2+2y 2+3z 2+xy-4x+2y-4z 在A(0,0,0)及B(5,-3,32)的梯度以及它们的模.解：∵u x (0,0,0)=2x+y-4|(0,0,0)=-4; u x (5,-3,32)=2x+y-4|(5,-3,2/3)=3； u y (0,0,0)=4y+x+2|(0,0,0)=2; u y (5,-3,32)=4y+x+2|(5,-3,2/3)=-5； u z (0,0,0)=6z-4|(0,0,0)=-4; u z (5,-3,32)=6z-4|(5,-3,2/3)=0；∴gradu(0,0,0)=(-4,2,-4)，|gradu(0,0,0)|=222)4(2)4(-++-=6； gradu(5,-3,32)=(3,-5,0)，|gradu(5,-3,32)|=2220)5(3+-+=34.4、设函数u=ln ⎪⎭⎫ ⎝⎛r 1, 其中r=222)c z ()b y ()a -(x -+-+, 求u 的梯度，并指出在空间哪些点上等式|gradu|=1成立. 解：u x =x r dr du ∂∂=-r a -x r 1=2r x -a ; u y =y r dr du ∂∂=2ry -b ; u z =z r dr du ∂∂=2r z -c ;∴gradu=(2r x -a ,2r y -b ,2rz-c ). 当|gradu|=1时，由 222222r z -c r y -b r x -a ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=4222r z)-(c y)-(b x)-(a ++=42r r =r 1=1，知 222)c z ()b y ()a -(x -+-+=1，即空间以(a,b,c)为球心，以1为半径的球面上的所有点，都有|gradu|=1.5、设函数u=22c z -22ax -22b y ，求它在点(a,b,c)的梯度.解：∵u x (a,b,c)=-2a 2x |(a,b,c)=-a 2; u y (a,b,c)=-2b 2y |(a,b,c)= -b 2; u z (a,b,c)=2c2z|(a,b,c)=c 2; ∴gradu(a,bc)=(-a 2,-b 2,c 2).6、证明：(1)grad(u+c)=gradu,(c 为常数)； (2)grad(αu+βv)=αgradu+βgradv ； (3)grad(uv)=ugradv+vgradu ； (4)gradf(u)=f ’(u)gradu.证：设u=u(x 1,…,x n )，v=v(x 1,…,x n )；则 (1)grad(u+c)=(u x1,…,u xn )=gradu.(2)grad(αu+βv)=(αu x1+βv x1,…,αu xn +βv xn )=α(u x1,…,u xn )+β(v x1,…,v xn ) = αgradu+βgradv.(3)grad(uv)=(vu x1+uv x1,…,vu xn +uv xn )=u(v x1,…,v xn )+v(u x1,…,u xn ) =ugradv+vgradu.(4)gradf(u)=(f ’(u)u x1,…,f ’(u)u xn )=f ’(u)gradu.7、设r=222z y x ++, 试求：(1)gradr; (2)grad r1.解：(1)∵r x =rx ; r y =r y ; r z =r z; ∴gradr=r1(x,y,z).(2)令u=r 1, 则u x =dr du r x =-3r x ; r y =-3r y ; r z =-3rz ; ∴grad r 1=-3r 1(x,y,z).8、设u=x 2+y 2+z 2-3xyz, 试问在怎样的点集上gradu 分别满足： (1)垂直于x 轴；(3)平行于x 轴；(3)恒为零向量.解：∵u x =2x-3yz; u y =2y-3xz; u z =2z-3xy; ∵gradu=(2x-3yz,2y-3xz,2z-3xy). (1)当gradu 垂直于x 轴时，∵x 轴的方向向量为(1,0,0)， ∴(2x-3yz,2y-3xz,2z-3xy)(1,0,0)=2x-3yz=0，即2x=3yz.(3)当gradu 平行于z 轴时，13yz -2x =03xz -2y =03xy-2z =c(常数)，即 2x-3yz=c, 2y=3xz, 2z=3xy.(3)当gradu 恒为零向量时， (2x-3yz,2y-3xz,2z-3xy)=(0,0,0)，即 2x=3yz, 2y=3xz, 2z=3xy ；解得x 2=y 2=z 2=94.9、设f(x,y)可微，l 是R 2上的一个确定向量. 倘若处处有f l (x,y)=0，试问此函数f 有何特征？解：若f l (x,y)=f x cos α+f y cos β≡0，即(f x ,f y )(cos α,cos β)=0，说明函数f 在定义域内任一点P(x,y)的梯度向量与向量l 垂直.10、设f(x,y)可微，l 1与l 2是R 2上的一组线性无关向量. 试证明：若i l f (x,y)≡0, (i=1,2)，则f(x,y)≡常数.证：依题意，f l1(x,y)=f x cos α1+f y cos β1=0，f l2(x,y)=f x cos α2+f y cos β2=0， cos α1,cos β1为l 1的方向余弦; cos α2,cos β2为l 2的方向余弦; 又l 1与l 2性线无关，即2121βcos βcos αcos αcos ，，≠0，∴f x =f y =0，∴f(x,y)≡常数.。

2-4方向导数与梯度(2)

二、求函数z 1 ( x2 y2 )在点( a , b )处
a2 b2
22
沿曲线 x2 y2 1在这点的内法线方向的 a2 b2
方向导数.
三、设u,v 都是x, y, z 的函数,u,v 的各偏导数都存在且连续,证明:
grad (uv ) vgradu ugradv
四、
点的法线的一个方向相同，且从数较
低的等高线指向数值较高的等高线，
而梯度的模等于函数在这个法线方向
的方向导数．
梯度的概念可以推广到三元函数
三元函数u f ( x, y, z)在空间区域 G
内具有一阶连续偏导数，则对于每一点
P( x, y, z) G ，都可定义一个向量(梯度)
gradf ( x, y, z) f
都存在,但在(0,0)点偏导数不存在，且不可微。
证明
z l
(0,0)

lim
0
f
(0
x,0 y)

f
(0,0)
= lim
(x)2 (y)2 0 1
0
(x)2 (y)2
而
lim
x0
f (0
x,0) x
f (0,0)
= lim x 0
|
故两个偏导数均不存在.
沿任意方向l { x, y, z}的方向导数,
z lim f (x, y) f (0,0)
l (0,0)
0

(x)2 (y)2
lim
1
0 (x)2 (y)2
故沿任意方向的方向导数均存在
且相等.
练习题
一、填空题:
1、函数 z x2 y2 在点(1,2) 处沿从点(1,2) 到点(2,2 3)的方向的方向导数为___.

同济版大一高数第九章第七节方向导数与梯度

ln( x + 1)
ln(1 + y 2 + 1)
1 = 2
8
例3. 求函数
在点P(2, 3)沿曲线
朝 x 增大方向的方向导数. 解:将已知曲线用参数方程表示为 x= x y = x2 −1 它在点 P 的切向量为 (1, 2 x) x = 2 = (1, 4) 1 4 ∴ cos α = , cos β = 17 17
2. 梯度的几何意义
等高线的画法
播放
16
例如, 例如,
函数 z = sin xy 图形及其等高线图形．
17
3. 梯度的基本运算公式
∂f, ∂f, ∂f = ∂x ∂y ∂z
(2) grad (C u ) = C grad u (4) grad ( u v ) = u grad v + v grad u
∂f ∂f ∂f = cos α + cos β ∂l ∂x ∂y
25
2. 梯度 • 三元函数
在点
处的梯度为
∂f ,∂f ,∂f grad f = ∂x ∂ y ∂z
• 二元函数 3. 关系 • 可微方向导数存在
0
在点
处的梯度为
grad f = ( f x ( x, y ) , f y ( x, y ))
M (1,1,1) 处切ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的方向向量
l
∂f ∂l
在点M (1,1,1) 处函数沿 l 的方向导数
M
= [ f x ⋅ cos α + f y ⋅ cos β + f z ⋅ cos γ
] (1,1,1)
23
(2) grad f

方向导数

结束
例1. 求函数 3) 的方向导数 .
在点 P(1, 1, 1) 沿向量
解: 向量 l 的方向余弦为
∂u ∂u ∴ ∂l
2 = 2xyz ⋅ 14 P
3 + x y⋅ 14
2
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结束
例2. 求函数朝 x 增大方向的方向导数.
在点P(2, 3)沿曲线
解: 将已知曲线用参数方程表示为 x = x y = x2 −1 它在点 P 的切向量为 (1, 2x) x=2 = (1, 4) 1 4 ∴ cosα = , cos β = 17 17
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内容小结
1. 方向导数 • 三元函数在点沿方向 l (方向角
为α, β, γ ) 的方向导数为 ∂f ∂f ∂f ∂f = cosα + cos β + cosγ ∂l ∂x ∂y ∂z
• 二元函数在点沿方向 l (方向角为
α, β )的方向导数为
∂ f ∂f ∂f = cosα + cos β ∂y ∂l ∂x
∂f f ( x + ∆x , y + ∆y ) − f ( x , y ) 记为 | P = lim+ . ρ →0 ρ ∂v
依定义，依定义，函数 f ( x , y ) 在点 P 沿着 x 轴正向 e1 = {1,0} 、
y 轴正向e 2 = {0,1}的方向导数分别为 f x , f y ；
∂f ∂f ∂f ∂f cosα + cos β + cosγ = ∂v ∂ x ∂y ∂z
v
v
ρ
P′
证明: 证明由函数 f (x, y, z) 在点 P 可微 , 得 ∂f ∂f ∂f v ∆f = ∆x+ ∆ y+ ∆ z + o (ρ ) ∂x ∂y ∂z

4复合函数微分法

11
12
21
22
2
二阶偏导连续
4xyf 2( x2 y2 )exy f xye2xy f (1 xy)exy f
11
12
22
2
练习设w f ( x y z, xyz)，f 具有二阶连续偏导数，求w 和 2w . x xz
2w xz
z z u z v z w x u x v x w x
z
u v
x
z z u z v z w
wy
y u y v y w y
特殊地 z f (u, x, y) 其中 u ( x, y)
即 z f [( x, y), x, y],令 v x, w y,
链式法则如图示
u
x
z
v
y
z z u z v , x u x v x z z u z v . y u y v y
类似地再推广，设u ( x, y)、v ( x, y)、 w w( x, y)都在点( x, y)具有对 x和 y的偏导数，复合函数z f [( x, y),( x, y), w( x, y)] 在对应点( x, y)的两个偏导数存在，且可用下列公式计算
dt t t0 u dt v dt
上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
如 dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
u
z
v
t
w
以上公式中的导数 dz 称为全导数.
dt
定理 2
如果u ( x, y)及v ( x, y)都在点( x, y)
故
z x

2 fu

方向导数的相关问题

方向导数的相关问题张月梅;李小飞【摘要】通过举反例,说明了函数在某点的方向导数与函数在该点的连续性、可偏导性、可微性等之间的关系,以及方向导数与其计算公式之间的有关问题.【期刊名称】《山东师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(030)002【总页数】4页(P24-26,30)【关键词】方向导数;连续;偏导数;可微分【作者】张月梅;李小飞【作者单位】长江大学信息与数学学院,434020,湖北荆州;长江大学工程技术学院,434020,湖北荆州;长江大学工程技术学院,434020,湖北荆州【正文语种】中文【中图分类】O172.1方向导数是高等数学中的一个重要概念，也是一个难点，不同的教材对方向导数的定义有所不同.本文的讨论完全基于文献[1]，也是目前最普遍的一种定义.这里主要以二元函数为例.定义1[1] 设函数z=f(x,y)在点P(x0,y0)的某邻域U(P0)内有定义，l是以P(x0,y0)为起点的一条射线，el=(cosα,cosβ)是与l同方向的单位向量，P′(x0+tcosα,y0+tcosβ)为射线l上另一点，且P′∈U(P0)，如果极限存在，则称此极限为函数f(x,y)在点P0处沿方向l的方向导数，记作方向导数的存在性和计算公式如下：定理1[1] 如果函数z=f(x,y)在点P(x0,y0)处可微分,那么函数在该点处沿任一方向el=(cosα,cosβ)的方向导数都存在,且基于上面的定义和定理，下面讨论方向导数的相关问题.函数在某点沿任意方向的方向导数都存在，但函数在该点处不一定连续，如：例1 设则f(x,y)在(0,0)处沿任意方向的方向导数都存在，但f(x,y)在(0,0)处不连续. 事实上，设射线l的单位向量为el=(cosα,cosβ)，若cosβ=0，即l为x轴正半轴或负半轴，此时f(tcosα,tcosβ)=f(tcosα,0)=0,从而有若cosβ≠0，则有.综合以上两种情况知函数f(x,y)在(0,0)处沿任意方向的方向导数都存在；但f(x,y)在(0,0)处不连续，如当点(x,y)沿曲线y=kx2趋于(0,0)时的极限为与k有关，从而(x,y)不存在，即f(x,y)在(0,0)处不连续.反之，函数在某点连续，但函数在该点处沿任意方向的方向导数不一定都存在，如：例2 考察函数由初等函数的连续性知f(x,y)在(0,0)连续，但极限为无穷大，故不存在，即f(x,y)在(0,0)处沿任意方向(cosα,cosβ)的方向导数均不存在.由以上两例，我们可得出结论：方向导数的存在与函数的连续无关.由定义1不难得出：若函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处的偏导数存在，且射线l的方向是x轴正向，即el=i=(1,0)，则方向导数若射线l的方向是x轴负向，即el=-i=(-1,0)，则方向导数同理可得沿y轴正、负向的方向导数与偏导数fy(x0,y0)的关系.由此可知：函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处的偏导数存在，则f(x,y)在P0(x0,y0)处分别沿坐标轴正、负方向的方向导数存在，但并不意味着任意方向的方向导数都存在，如：例3 设则由偏导数的定义易得函数f(x,y)在点(0,0)处的偏导数存在，且fx(0,0)=fy(0,0)=1，但f(x,y)在点(0,0)处沿非坐标轴(正负)方向的方向导数不存在.事实上，设l的方向为el=(cosα,cosβ)，其中cosα·cosβ≠0，则有不存在，即说明沿l的方向的方向导数不存在.反过来，如果函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处沿x(y)轴正、负向的方向导数存在，且互为相反数，则函数f(x,y)在点P0(x0,y0)处的偏导数fx(x0,y0)(fy(x0,y0))存在.也就是说即使沿x(y)轴正、负向的方向导数存在，偏导数也不一定存在，甚至是函数f(x,y)在点P0(x0,y0)处沿任意方向的方向导数都存在，偏导数都不一定存在，如：例4 函数在点O(0,0)处，设l的方向为el=(cosα,cosβ)，则由定义容易计算方向导数，而由于沿坐标轴正负向的方向导数不是互为相反数，故偏导数不存在.定理1已经告诉我们，若函数f(x,y)在点P0(x0,y0)处可微，则f(x,y)在点P0(x0,y0)处沿任意方向的方向导数都存在；反之，若函数f(x,y)在点P0(x0,y0)处沿任意方向的方向导数都存在，函数f(x,y)在点P0(x0,y0)处却不一定可微，如例1中函数f(x,y)在(0,0)处沿任意方向的方向导数都存在，但f(x,y)在(0,0)处不连续，从而f(x,y)在(0,0)处不可微；又如例4中函数f(x,y)在(0,0)处沿任意方向的方向导数都存在，且等于1，但f(x,y)在(0,0)处偏导数不存在，从而f(x,y)在(0,0)处不可微.即使在函数f(x,y)在点P0(x0,y0)处沿任意方向的方向导数都存在的基础上，加上f(x,y)在点P0(x0,y0)处连续且偏导数存在，也不能得出f(x,y)在点P0(x0,y0)处可微. 例5 设函数由于由夹挤准则可得故知f(x,y)在(0,0)处连续；接下来考虑函数f(x,y)在(0,0)处沿各方向的方向导数.设l的方向为el=(cosα,cosβ).若cosβ=0，即l为x轴正半轴或负半轴，此时从而有若cosβ≠0，则有综合以上两种情况可知f(x,y)在(0,0)处沿任意方向的方向导数均存在，且均为0，从而可得f(x,y)在(0,0)处偏导数存在，且fx(0,0)=fy(0,0)=0.接下来讨论f(x,y)在(0,0)处的可微性.Δz=f(Δx,Δy)-f(0,0)，则极限不存在，从而函数f(x,y)在(0,0)处不可微.此例说明函数在某点连续、偏导数存在、沿任意方向的方向导数存在，都仅仅是可微的必要条件.由定理1可知，当函数z=f(x,y)在点P(x0,y0)处可微分,那么函数在该点处沿任一方向el=(cosα,cosβ)的方向导数都存在,且都可由公式(1)计算.使用公式(1)计算方向导数的前提条件是要求函数z=f(x,y)在点P(x0,y0)处可微分，也就是说函数不可微时，该公式不一定成立.如下例：例6 设由偏导数的定义易求得fx(0,0)=1，fy(0,0)=0，且容易证明f(x,y)在(0,0)处不可微；取l的方向为则f(x,y)在(0,0)处沿l方向的方向导数为而事实上，定理1的条件是充分的：即使函数f(x,y)在点P(x0,y0)处沿任意方向e l=(cosα,cosβ)的方向导数都存在，且都满足公式(1),也不能得到函数f(x,y)在点P(x0,y0)处可微.例7 设容易求出fx(0,0)=fy(0,0)=0；类似例1的方法，当点(x,y)沿曲线y=kx3趋于(0,0)时的极限与k有关，故函数f(x,y)在(0,0)处不连续，从而不可微.设l的单位向量为el=(cosα,cosβ)，则以上分别基于定义1和定理1讨论了二元函数的方向导数与连续、偏导数、可微分的关系，最后讨论了方向导数的计算公式，希望对方向导数的理解有所帮助.以上讨论的结果均可推广至多元函数以及向量值函数.[1] 同济大学数学系.高等数学(第六版) [M] .北京：高等教育出版社，2007.[2] 华东师范大学数学系.数学分析(第三版) [M] .北京：高等教育出版社，2001.[3] 周民强.数学分析习题演练(第三册)[M] .北京：科学出版社，2006.[4] 王安平，杨波，周云才,等.高等数学(下册)[M] .长沙：湖南教育出版社，2014.[5] 张月梅.向量值函数的导数[J] .吉林师范大学学报，2014,35(1):57-59.。

第十章方向导数

y cos ,
z cos ,
同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点沿任意方向 L 的方向导数都存在，且有
f l

f x
cos
f y
cos
f z
cos .
沿着 x 轴负向、 y 轴负向的方向导数是 f x , f y .
二、方向导数的计算公式
定理如果函数z f ( x, y) 在点P ( x, y) 是可微分的，那末函数在该点沿任意方向 L 的方向导数都存在，且有
f l

f x
cos
f y
sin ，
其中为x 轴到方向 L 的转角．
例1
求函数 z xe
2y
在点 P (1,0) 处沿从点
P (1,0) 到点Q ( 2,1) 的方向的方向导数.
解
z
这里方向 l 即为 PQ { 1 , 1 } , 故 x 轴到方向l 的转角 . 4
e
2y (1,0 )

x (1,0 )
1;
z y (1,0 )
2 xe
2y (1,0 )
2,
所求方向导数
z l
cos( ) 2 sin( )
4 4

2 2
.
推广可得三元函数方向导数的定义
对于三元函数u f ( x, y, z)，它在空间一点
定义
f ( x x, y y ) f ( x, y )
, 当 P 沿着 l 趋于 P 时，
0