2015年春季学期几何光学作业2
习题九 几何光学
习题九 几何光学（习题参考解答）[9-1] 将一物置于长柱形玻璃的凸球面前25cm 处，设这个凸球面曲率半径为5cm ，玻璃前的折射率n=1.5，玻璃前的媒质是空气，求：（1） 像的位置，是实像还是虚像？（2） 该折射面的焦距。
已知：5.11525====n n cm r cm u o 求：①?=v ②??21==f f 解：∵ rn n v n u n 1221-=+ ∴ 515151251-=+.v . )(25cm v = 成实像当：时∞=u 2f v =515.112-=f cm f 152=当：1f u v =∞=时55.15.111=∞+f cm f 101=答：像的位置在球面后25cm 外 为实像焦距cm f 101= cm f 152=[9-2] 有一厚度为3cm ，折射率为1.5的共轴球面系统，其第一折射面是半径为2cm 的球面，第二折射面是平面，若在该共轴球面系统前面对第一折射面8cm 处放一物，像在何处？ 已知：cm d 3= 1=o n 5.1=n cm r 21= ∞=2rcm u 81=求：?=v解：∵ rn n v n u n 1221-=+ ∴ 215151811-=+.v . cm v 121=又 ∵ ∞-=+--5.111)312(5.1v ∴ cm v 6=答：像最后成在第二折射面后6cm 处。
[9-3] 一个双凸透镜，放在空气中，两面的曲率半径分别为15cm 和30cm ，如玻璃折射率为1.5，物距为100cm ，求像的位置和大小，并作图验证之。
已知：cm r 151= cm r 302-= 5.1=n cm u 100=求：像的位置?=v 像的大小解：∵ 透镜的焦距f 为：()121111-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=r r n f ∴ 1)301151)(15.1(-⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=f )(20cm =又 ∵ fv u 111=+ ∴20111001=+v )(25cm v =又 ∵ 放大率 uv m = 10025= 41=答：像的位置在透镜后20cm 外，实像且放大率为41[9-4] 一对称的双凸透镜折射率为1.5它在空气中的焦距为12cm ，其曲率半径为多大？另一双凸薄透镜置下列介质中，其左边为折射率为n 1=4/3的水，右边为空气，且右侧球面的半径与上一透镜的相同。
几何光学作业2
10. 如图所示，L1、L2分别为凸透镜和凹透镜，前面放 一小物，移动屏幕到L2后20cm的S1处接收到像。现将凹 透镜L2撤去，将屏幕移前5cm至S2处，重新接收到像， 凹透镜L2的焦距为（ ） A. -20cm C. -60cm B. -40cm D. -80cm
20cm
5cm
L1
L2
S2
S1
1 l1 1 l1 1 f 1 l1 1 12 1 6
S
l1 12cm
凸透镜右12cm，距离凹面反射镜10cm。 经凹面反射镜第二次成像
1 l2 1 l2 2 r l2 10 20 l2 5cm 在反射镜前5cm 1 1 2
C. 光线将内反射；
D.光线将全部吸收。
3. 光束由介质II射向介质I，在界面上发生全反射，则 光在介质I、II中的传播速度u1和u2的大小为（） A. u1 u 2 B. u 2 u1 C . u1 u 2
D. 无法判别 1、u 2的大小 u
4. 一薄透镜由折射率为1.5的玻璃制成，将此薄透镜放 在折射率为4/3的水中。则此透镜的焦距数值就变成原 来在空气中焦距数值的（） D：1.5/1.333倍 C. 4倍 A. 2倍 B. 3倍 5. 焦距为4cm的薄凸透镜用作放大镜，若物置于透镜 前3cm处，则其横向放大率为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 12
1 1.5 5
d 50cm
所以棒长50cm
3. 一平凹薄透镜，由折射率为1.50的玻璃制成，其凹 面的曲率半径为10cm，位于空气中，求它的焦距和光 焦度。如果将此透镜放在水中，水的折射率为4/3，问 透镜焦距数值变为原来在空气焦距的多少倍？ 解：(1) f
高考物理光学知识点之几何光学经典测试题及答案解析(2)
高考物理光学知识点之几何光学经典测试题及答案解析(2)一、选择题1．如果把光导纤维聚成束，使纤维在两端排列的相对位置一样，图像就可以从一端传到另一端，如图所示．在医学上，光导纤维可以制成内窥镜，用来检查人体胃、肠、气管等器官的内部．内窥镜有两组光导纤维，一组用来把光输送到人体内部，另一组用来进行观察．光在光导纤维中的传输利用了( )A．光的全反射B．光的衍射C．光的干涉D．光的折射2．华裔科学家高锟获得2009年诺贝尔物理奖，他被誉为“光纤通讯之父”．光纤通讯中信号传播的主要载体是光导纤维，它的结构如图所示，其内芯和外套材料不同，光在内芯中传播．下列关于光导纤维的说法中正确的是A．内芯的折射率比外套的小，光传播时在内芯与外套的界面上发生全反射B．内芯的折射率比外套的大，光传播时在内芯与外套的界面上发生全反射C．波长越短的光在光纤中传播的速度越大D．频率越大的光在光纤中传播的速度越大3．如图所示，将等腰直角棱镜截去棱角，使截面平行于底面，制成“道威棱镜”，可以减小棱镜的重量和杂散的内部反射。
从M点发出一束平行于底边CD的单色光从AC边射入，已知折射角γ＝30°，则A．光在玻璃中的频率比空气中的频率大B．玻璃的折射率6 nC2×108 m/sD．CD边不会有光线射出4．某单色光在真空中传播速度为c，波长为λ0，在水中的传播速度为v，波长为λ，水对这种单色光的折射率为n，当这束单色光从空气斜射入水中时，入射角为i，折射角为r，下列正确的是（）A ．v=n c ，λ=n c 0λB ．λ0=λn，v=sini csinr C ．v=cn ，λ=c v0λD ．λ0=λ/n，v=sinrcsini 5．如图所示，口径较大、充满水的薄壁圆柱形浅玻璃缸底有一发光小球，则（ ）A ．小球必须位于缸底中心才能从侧面看到小球B ．小球所发的光能从水面任何区域射出C ．小球所发的光从水中进入空气后频率变大D ．小球所发的光从水中进入空气后传播速度变大6．有一束波长为6×10－7m 的单色光从空气射入某种透明介质，入射角为45°，折射角为30°，则A ．介质的折射率是2B ．这束光在介质中传播的速度是1.5×108m ／sC ．这束光的频率是5×1014HzD ．这束光发生全反射的临界角是30°7．如图所示，O 1O 2是半圆柱形玻璃体的对称面和纸面的交线，A 、B 是关于O 1O 2轴等距且平行的两束不同单色细光束，从玻璃体右方射出后的光路如图所示，MN 是垂直于O 1O 2 放置的光屏，沿O 1O 2方向不断左右移动光屏，可在屏上得到一个光斑P ,根据该光路图，下列说法正确的是（ ）A ．在该玻璃体中，A 光比B 光的运动时间长B ．光电效应实验时，用A 光比B 光更容易发生C ．A 光的频率比B 光的频率高D ．用同一装置做双缝干涉实验时A 光产生的条纹间距比B 光的大8．a 、b 两种单色光以相同的入射角从半圆形玻璃砖的圆心O 射向空气，其光路如图所示．下列说法正确的是（ ）A．a光由玻璃射向空气发生全反射时的临界角较小B．该玻璃对a光的折射率较小C．b光的光子能量较小D．b光在该玻璃中传播的速度较大9．明代学者方以智在《阳燧倒影》中记载：“凡宝石面凸，则光成一条，有数棱则必有一面五色”，表明白光通过多棱晶体折射会发生色散现象．如图所示，一束复色光通过三棱镜后分解成两束单色光a、b，下列说法正确的是A．若增大入射角i，则b光最先消失B．在该三棱镜中a光波速小于b光C．若a、b光通过同一双缝干涉装置，则屏上a光的条纹间距比b光宽D．若a、b光分别照射同一光电管都能发生光电效应，则a光的遏止电压高10．如图所示半圆形玻璃砖，圆心为 O，半径为 R．某单色光由空气从 OB 边界的中点 A 垂直射入玻璃砖，并在圆弧边界 P 点发生折射，该折射光线的反向延长线刚好过B点．则（）A．该玻璃对此单色光的折射率为1.5B．光从 A 传到 P 的时间为（c为空气中的光速）C．该玻璃对此单色光的临界角为45°D．玻璃的临界角随入射光线位置变化而变化11．已知单色光a的频率低于单色光b的频率，则（）A．通过同一玻璃三棱镜时，单色光a的偏折程度小B．从同种玻璃射入空气发生全反射时，单色光a的临界角小C．通过同一装置发生双缝干涉，用单色光a照射时相邻亮纹间距小D．照射同一金属发生光电效应，用单色光a照射时光电子的最大初动能大12．光在真空中的传播速度为c ，在水中的传播速度为v 。
2015年春季学期几何光学作业2
M B D A B’’ M A’’
12、名词解释： （1）光学间隔
（2）光楔Leabharlann （3）镜像（4）共轭距
4
4、曲率半径为 50mm，折射率为 1.5 的双凹薄透镜， 位于空气中的像方焦距和光焦度分别为多少？浸入 折射率为 1.33 的水中时的像方焦距是多少？
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2015 年春季学期《几何光学》作业（二）姓名：
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6、试以两个薄透镜组按下列要求组成光学系统： （1） 8、图中的正透镜对实物成实象。请根据物 两透镜组间间隔不变， 物距任意改变而倍率不变； （2） 的坐标系给出最后像的坐标系，并说明理 物距不变，两透镜组间间隔任意改变，而倍率不变。 由。 问该两薄透镜组焦距间关系，求组合焦距的表达式。
2015 年春季学期《几何光学》作业（二）姓名：
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1、由正、负两薄透镜组合成 f’=1.2m 的光学系统， 2、一个薄透镜对某一物体成一实像，垂轴 该系统对无限远物体成像，像面离正透镜 700mm，离 放大率为－1，今以另一个薄透镜紧贴在第 负透镜 400mm,。求正、负透镜的焦距，并在光路图中 一透镜上，则见像向透镜方向移动 20 毫米， 标出该系统的像方主点 H’ 、焦点 F’和焦距 f’ 。 放大率为原先的 3／4，求两块透镜的焦距。
9、请描述道威棱镜的旋转特性，并运用棱 镜系统的成像方向判断方法对其进行图解。 7、给出二次反射等腰直角棱镜的展开图，并计算光 轴长度和棱镜常数。
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2015 年春季学期《几何光学》作业（二）姓名：
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10、一光学系统由一透镜和平面镜组成，如图。平面 11、试以图解方式说明远摄型光组与反远距 镜 MM 与透镜光轴垂直交于 D 点，透镜前方离平面镜 型光组的区别。 600mm 有一物体 AB，经透镜和平面镜后，所成虚象 A//B//至平面镜的距离为 150mm， 且象高为物高的一半， 试分析透镜焦距的正负，确定透镜的位置和焦距，并 画出光路图。
2015届高三二模理科数学分类汇编(立体几何)
北京各区二模理科数学分类汇编立几(2015届西城二模) 8．在长方体，点M 为AB 1 的中点，点P 为对角线AC 1上的动点，点Q 为底面ABCD上的动点（点P ，Q 可以重合），则MP ＋PQ 的最小值为（ ）(2015届西城二模) 17．（本小题满分14 分） 如图 1，在边长为4 的菱形ABCD 中，AB DE BAD⊥=∠,600于点E ，将△ADE 沿DE折起到△A 1D E 的位置，使A 1D ⊥DC ，如图 2．⑴ 求证：A 1E ⊥平面BCDE ；⑵ 求二面角E —A 1B —C 的余弦值；⑶ 判断在线段EB 上是否存在一点P ，使平面A 1DP ⊥A 1BC ？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为DE BE ⊥,//BE DC ,所以DE DC ⊥, ……………… 1分 又因为1A D DC ⊥，1A D DE D =I ,所以DC ⊥平面1A DE ， ……………… 2分所以1DC A E ⊥. ……………… 3分又因为1A E DE ⊥,DC DE D =I ,所以1A E ⊥平面BCDE .……………… 4分（Ⅱ）解：因为1A E ⊥平面BCDE ，DE BE ⊥，所以1,,A E DE BE 两两垂直，以1,,EB ED EA 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系， ……………… 5分易知23DE=,则1(0,0,2)A ，(2,0,0)B ，(4,23,0)C ，(0,23,0)D ， EA 1BCD所以1(2,0,2)BA =-u u u r,(2,0)BC =u u u r.平面1A BE 的一个法向量为0,1,0n =r（）， ……………… 6分 设平面1A BC 的法向量为(,,)m x y z =u r,由10BA m ⋅=u u u r u r ，0BC m ⋅=u u u r u r ,得220,20.x z x -+=+=⎧⎪⎨⎪⎩令 1y =,得(m =u r. ……………… 8分所以cos ,7||||m n m n m n ⋅<>==⋅u r r u r ru u r r .由图，得二面角1E A B C --的为钝二面角，所以二面角1E A B C --的余弦值为7-. ……………… 10分（Ⅲ）结论：在线段EB 上不存在一点P ，使平面1A DP ⊥平面1A BC . ……………… 11分 解：假设在线段EB 上存在一点P ，使平面1A DP⊥平面1A BC .设(,0,0)P t （02t ≤≤），则1(,0,2)A P t =-u u u r,1(0,2)A D =-u u u r，…………… 12分设平面1A DP 的法向量为111(,,)p x y z =u r，由10A D p ⋅=u u u r u r ，10A P p ⋅=u u u r u r，得111120,20.z tx z -=-=⎧⎪⎨⎪⎩令 12x =，得所以)p t =u u r. ……………… 13分 因为平面1A DP⊥平面1A BC ，所以0m p ⋅=u r u r，即0=，解得3t =-. 因为02t ≤≤，所以在线段EB 上不存在点P ，使得平面1A DP ⊥平面1A BC . ……………… 14分(2015届海淀二模)A 1B EC答案：C(2015届海淀二模)（17）（共14分）（Ⅰ）证明：连结BD交AC于点O，连结OM.因为//AB CD，2AB CD=，所以2BO ABDO CD==.因为2BM MP=，所以2BMPM=.所以BM BOPM DO=.所以//OM PD. ………………2分因为OM⊂平面MAC，PD⊄平面MAC，所以//PD平面MAC. ………………4分（Ⅱ）证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，AD AB⊥，平面PAD I平面ABCD AD=，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PAD. ………………6分因为PA⊂平面PAD，所以AB PA⊥. ………………7分同理可证：AD PA⊥.因为AD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD AB A=I，所以PA⊥平面ABCD. ………………9分（Ⅲ）解：分别以边,,AD AB AP所在直线为,,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由MBD COAPEFA22AB AD AP CD ====得(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(2,1,0)C ，(2,0,0)D ，(0,0,2)P ，则(2,1,0)AC =u u u r，(0,2,2)PB =-u u r.由（Ⅱ）得：PA ⊥平面ABCD .所以 平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)n =r. ………………10分设PMPBλ=(01)λ≤≤，即PM PB λ=uuu r uu r .所以(0,2,22)AM AP PB λλλ=+=-u u u r u u u r u u r.设平面AMC 的法向量为(,,)m x y z =u r，则 0,0,m AC m AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r uuu r ur uuu r 即20,2(22)0.x y y z λλ+=⎧⎨⋅+-⋅=⎩令1x λ=-，则22y λ=-，2z λ=-.所以(1,22,2)m λλλ=---u r. ………………12分因为 二面角B AC M --的余弦值为23，所以23=，解得12λ=. 所以 PM PB的值为12. ………………14分(2015届东城二模)（17）（本小题共14分） 如图，三棱柱ABC DEF -的侧面BEFC 是边长为1的正方形，侧面BEFC ⊥侧面ADEB ，4AB =，60DEB ∠=o ，G 是DE 的中点．（Ⅰ）求证：CE ∥平面AGF ；（Ⅱ）求证：GB ⊥平面BEFC ；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在一点P ，使二面角P GE B --为45o，的长；若不存在，说明理由．（17）（共14分） （Ⅰ）证明：连接CD 与AF 相交于H ，则H 为CD 的中点，连接HG ．因为G 为DE 的中点， 所以HG ∥CE ． 因为CE ⊄平面AGF ，HG ⊂平面AGF ，A所以CE ∥平面AGF ． ………4分（Ⅱ）证明：1BE =，2GE=，在△GEB 中，60GEB ∠=o ，BG =因为222BGBE GE +=，所以GB BE ⊥． 因为侧面BEFC⊥侧面ADEB ，侧面BEFC I 侧面ADEB BE =，GB ⊂平面ADEB ，所以GB ⊥平面BEFC ． ………8分（Ⅲ）解：,,BG BE BC 两两互相垂直，建立空间直角坐标系B xyz -．二面角P GE B --为45．假设在线段BC 上存在一点P ，使平面BGE 的法向量(0,0,1)=m，设(0,0,),[0,1]P λλ∈．G (0,1,0)E ．所以()GP λ=u u u r ，(GE =u u u r．设平面PGE 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0.GP GE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u uu r u u u rn n 所以0,0.z y λ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩令1z=，得y λ=，x =， 所以PGE 的法向量为,1)λ=n ．因为1⋅=m n ， 所以112=，解得[]0,12λ=，故2BP =． 因此在线段BC 上存在一点P ，使二面角P GE B --为45o， 且BP =………14分(2015届昌平二模) 6 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为A.B.C.D.(2015届丰台二模) 5(A) 6(B)29(C) 3 (D)23(2015届丰台二模)17.（本小题共14分）如图所示，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，⊥1AA 底面ABCD，BD AC⊥于O,且124AA OC OA ===，点M 是棱1CC 上一点．（Ⅰ）如果过1A ，1B ，O 的平面与底面ABCD 交于直线l ，求证：//l AB ；（Ⅱ）当M 是棱1CC 中点时，求证：1AO DM ⊥；（Ⅲ）设二面角1A BD M--的平面角为θ，当cos 25θ=时，求CM 的长．（Ⅲ）原题：设二面角1A BD M--的余弦值为25，求CM 的长．（要舍一解）17.（本小题共14分）证明：（Ⅰ）因为1111D C B A ABCD -是棱柱，所以BAB A 11是平行四边形．所以AB B A //11．侧 视图俯视图俯视图正视图OMD 1C 1B 1A 1DCBA因为⊄11B A 平面ABCD ，⊂AB 平面ABCD ，所以//11B A 平面ABCD ．因为平面IO B A 11平面ABCD l =，所以11//B A l ． 所以AB l //．………………4分（Ⅱ）因为DB AC ⊥于O ，如图建立空间直角坐标系．因为41=AA ，且24OC AO ==，所以(0,0,0)O ，(4,0,0)C ，(2,0,0)A -，1(2,0,4)A -．因为M 是棱1CC 中点，所以(4,0,2)M ．设(0,,0)D b ，所以(4,,2)DM b =-u u u u r，1(2,0,4)OA =-u u u r ．所以08081=++-=⋅OA DM ．所以1AO DM ⊥． ……………………8分（Ⅲ）设(0,,0)D b ，(0,,0)B c ，平面BD A 1的法向量为),,(z y x =，又因为1(2,,4)A D b =-u u u u r ，1(2,,4)A B c =-u u u r ，所以1102402400m A D x by z x cy z m A B ⎧⋅=+-=⎧⎪⇒⎨⎨+-=⋅=⎩⎪⎩u r u u u u r u r u u u r． 因为c b ≠，所以0=y ，令1z =，则2x =，所以(2,0,1)m =u r． 设),0,4(h M ，所以(4,,)MD b h =--u u u u r ，(4,,)MB c h =--u u u r．设平面MBD 的法向量为111(,,)n x y z =r，所以 111111400400x by hz n MD x cy hz n MB ⎧-+-=⋅=⎧⎪⇒⎨⎨-+-=⋅=⎩⎪⎩r u u u u r r u u u r． 因为c b ≠，所以10y =，令11z =，则14h x =-，所以(,0,1)4hn =-r ．又因为cos 25θ=，B所以25 cos ,25m n<>=u r r，即21252255116hm nn m h-⋅==⨯+u r rr u r．解得3h=或76h=．所以点(4,0,3)M或7(4,0,)6M．所以3CM=或76CM=．……………………14分(2015届昌平二模) 17. (本小题满分14分)如图，已知等腰梯形ABCD中，1//,2,2AD BC AB AD BC E===是BC的中点，AE I BD M=，将BAE∆沿着AE翻折成1B AE∆，使平面1B AE⊥平面AECD.（I）求证：1CD B DM⊥平面；（II）求二面角1D AB E--的余弦值；（III）在线段1B C上是否存在点P，使得//MP平面1B AD，若存在，求出11B PB C的值；若不存在，说明理由.17. (本小题满分14分)( I ) 由题意可知四边形ABED是平行四边形，所以MEAM=，故AEMB⊥1.又因为,AB BE M AE=为的中点,所以BM AE⊥,即.DM AE⊥AD//BC又因为, 2.AD CE==所以四边形ADCE是平行四边形.所以//.AE CD故CD DM⊥.因为平面⊥AEB1平面AECD, 平面IAEB1平面AEAECD=,1B M⊂平面AECD所以⊥MB1平面AECD.1.B M AE⊥因为⊂CD平面AECD, 所以⊥MB1CD.因为MMBMD=1I, MD、⊂MB1平面MDB1,所以⊥CD平面MD B 1. ……………5分(II) 以ME 为x 轴, MD 为y 轴, 1MB 为z 轴建立空间直角坐标系，则)0,3,2(C , )3,0,0(1B , )0,0,1(-A ,)0,3,0(D .平面E AB 1的法向量为)0,3,0(=→MD .设平面A DB 1的法向量为),,(z y x m =→, 因为)3,0,1(1=→AB ，)0,3,1(=→AD ,⎪⎩⎪⎨⎧=+=+0303y x z x , 令1=z 得, )1,1,3(-=→m .所以55,cos>=<→→MD m , 因为二面角E AB D --1为锐角, 所以二面角E AB D --1的余弦值为55. ……………10分(III) 存在点P ,使得//MP 平面1B AD . ……………11分 法一: 取线段1B C 中点P ，1B D 中点Q ，连结,,MP PQ AQ . 则//PQ CD ，且1=2PQ CD . 又因为四边形AECD 是平行四边形，所以//AE CD .因为M 为AE 的中点，则//AM PQ .所以四边形AMPQ 是平行四边形，则//MP AQ .又因为AQ ⊂平面1AB D ,所以//MP 平面1AB D .所以在线段C B 1上存在点P ，使得//MP 平面AD B 1，2111=C B P B . ……………14分 法二：设在线段C B 1上存在点P ，使得//MP 平面AD B 1,设11B P B C λ=u u u r u u u u r,(10≤≤λ),(2,3,0)C ，因为11MP MB B P =+u u u r u u u u r u u u r .所以(2,3,33)MP λλλ=-u u u r.xyAE CDMB 1z因为//MP 平面AD B 1, 所以0MP m ⋅=u u u r u r, 所以033332=-++-λλλ, 解得21=λ, 又因为MP ⊄平面AD B 1, 所以在线段C B 1上存在点P ，使得//MP 平面AD B 1，2111=C B P B ．……………14分。
几何光学练习
几何光学练习（一）1、有一直径为4cm 的实心玻璃球，球内有一小气泡，当观察者的眼睛与球心、气泡在同一条直线上时，气泡似相距球面1cm ，试求此气泡距球面的真实距离。
玻璃的折射率为1.5。
2、如图所示，一个半径为R 的球型玻璃鱼缸放置在直立的平面镜前，缸壁很薄，其中心距镜面3R ，缸中充满水，观察者在远处通过球心并与镜面垂直的方向注视鱼缸，一条小鱼以速度v 0射率n=4/3。
3、某人将折射率n=1.50、半径为10cm的玻璃球放在书上看字。
试求：（1）看到的字在什么地方？放大率为多少？（2）若将玻璃球切成两半并取其一，令其平面向上，而让球面和书面接触，这时看到的字在何处？放大率等于多少？4、如图所示，凸透镜焦距为f=15cm ，OC=25cm ，以C 点为圆心，r=5cm 为半径的发光圆环与主轴共面，试求出该圆环通过透镜折射后所成的像。
5、若一会聚透镜在空气中的焦距为5cm ，平置于离水箱底面40cm 高处，水箱充水至60cm ，试问：（1）水箱底面经过这一系统成像于何处？设透镜的折射率为1.52，水的折射率为1.33。
（2）假定水面以2cm/s 的速率向下降至透镜处，求这段时间内像的变化情况。
6、如图所示，一个小会聚透镜紧靠在凹面镜上，遮住面镜反射面的中央部分，当物体位于面镜前某一位置时，此光具组成两个实像。
一个像到面镜的距离为v 1=50cm ，另一个像到面镜的距离为v 2=10cm 。
求透镜的焦距。
7、平面镜M 1与凸透镜L 的主光轴的夹角α=45°，L 的焦距f=15cm ，AO=24cm ，BO=32cm ，N 是一挡光板，发光点P 在A 点正上方16cm 处，但发出的光线不能直接射到凸透镜上，如图所示，求发光点P 通过此光学系统最终成像的位置。
2 2题图 4题图几何光学练习题（二）1、平行光束垂直射在等腰棱镜的底面上，如图所示。
如果在离棱镜距离L=100cm 处放一个屏M ，在屏幕中央形成宽为2d=1cm 的暗纹，求棱镜的折射角α。
光学作业答案
I = 0.37% ，此时接近消反射。 I0
2π λ0 λ0 = π ， λ0 = 500nm λ 2 λ
（2）反射两光束相位差
δ=
2π
λ
2n 2 h =
将 λ = 400nm 和 λ = 700 nm 分别代入上式，得到相位差分别是 1.375πrad 和 0.7857πrad 20.砷化镓发光管制成半球形，以增加位于球心的发光区对外输出功率，减少反射损耗，已 知砷化镓发射光波长 930nm，折射率为 3.4，为了进一步提高光输出功率，常在球形表面涂 一层增透膜。 （1）不加增透膜时，球面的强度反射率多大？ （2）增透膜折射率和厚度应取多大？ （3）如果用氟化镁（1.38）作为增透膜，能否增透？强度反射率多大？ （4）如果用硫化锌（2.35） ，情况又如何？ 解：
此光学系统成像在 L1 之右 10cm 处。
, s1, s2 10 10 = − = −1 ， V2 = − = − = 2， 横向放大率分别为 V1 = − −5 s1 10 s2
总放大率 V = V1 • V2 = −2 27.用作图法求本题各图中的 Q 像。 （a）
（b）
（c）
（d）
35.（1）用作图法求图中光线 1 共轭线 （2）在图上标出光具组节点 N，N’位置
与屏幕交点（零级）随之移动，即以 M 为中心转了角 β ≈ δs / B ，反映在屏幕上零级位移
C δs ，即幕上条纹总体发生一个平移。 B （5）设扩展光源 b，即其边缘两点间隔 δs = b ，若这两套条纹错开的距离（零级平移量） δx = Δx ，则幕上衬比度降为零，据此有， B+C C δx = b ， Δx = λ 2aB B 令 δx = Δx ，
36.已知 1-1’是一对共轭光线，求光线 2 的共轭线。
2015年高三二模汇编——立体几何
CBAC 1B 1A 12015年高三二模汇编——立体几何一、 填空题1.（2015黄浦二模理10文10）已知AB 是球O 的一条直径，点1O 是AB 上一点，若14OO =，平面α过点1O 且垂直AB ，截得圆1O ，当圆1O 的面积为9π时，则球O 的表面积是 ．【答案】1002.（2015静安、青浦、宝山二模理11文11）把一个大金属球表面涂漆，共需油漆2.4公斤．若把这个大金属球熔化制成64个大小都相同的小金属球， 不计损耗，将这些小金属球表面都涂漆，需要用漆 公斤．【答案】9.63.（2015浦东二模理9文9）已知球的表面积为64π2cm ，用一个平面截球，使截面圆的半径为2cm ，则截面与球心的距离是 cm ．【答案】4.（2015普陀二模理8）一个圆锥与一个球体积相等且圆锥的底面半径是球半径的2倍，若圆锥的高为1，则球的表面积为 ． 【答案】45.（2015普陀二模文9）一个底面置于水平面上的圆锥，若主视图是边长为2的正三角形，则圆锥的侧面积为 ． 【答案】46.（2015徐汇、松江、金山二模理10）如图所示：在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，1AB BC BB ==，则平面11A B C 与平面ABC 所成的二面角的大小为 ．【答案】4π二、选择题1.（2015崇明二模理17）如图，已知圆锥的底面半径为10r =，点Q 为半圆弧AB 的中点，点P 为母线SA 的中点．若PQ 与SO 所成角为4π，则此圆锥的 全面积与体积分别为（ ）A．,B．100(1,πC．D．100(1,π【答案】B2.（2015奉贤二模理18）如图，取一个底面半径和高都为R 的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R 的半球放在同一水平面α上．用一平行于平面α的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）．设截面面积分别为S 圆和S 圆环，那么（ ）A ．S 圆＞S 圆环B ．S 圆＜S 圆环C ．S 圆=S 圆环D ．不确定3.（2015虹口二模理17）如图所示，PAB ∆所在平面α和四边形ABCD 所在的平面β互相垂直，且AD α⊥，BC α⊥，4AD =，8BC =，6AB =，若tan 2tan 1ADP BCP ∠-∠=，则动点P 在平面α内的轨迹是（ ） A.线段 B.椭圆的一部分 C.抛物线 D.双曲线的一部分 【答案】D4.（2015黄浦二模理15文15）在空间中，下列命题正确的是（ ）A ．若两直线,a b 与直线l 所成的角相等，那么//a bB ．空间不同的三点A 、B 、C 确定一个平面C. 如果直线//l 平面α且//l 平面β，那么//αβ D ．若直线a 与平面M 没有公共点，则直线//a 平面M 【答案】D5.（2015闵行二模理18文18）如图，已知直线l ⊥平面α，垂足为O ，在ABC △中，2,2,22BC AC AB ===，点P 是边AC 上的动点.该三角形在空间按以下条件 作自由移动：(1)A l ∈，(2)C α∈.则OP PB +的最大值为( )(A) 2. (B) 22. (C) 15+. (D) 10. 【答案】C6.（2015浦东二模理16文16）平面α上存在不同的三点到平面β的距离相等且不为零，则平面α与平面β的位置关系为（ ）)(A 平行 )(B 相交 )(C 平行或重合 )(D 平行或相交【答案】D7.（2015普陀二模理15文15）a b c 、、表示直线，α表示平面，下列命题正确的是（ ） A ．若//,//αa b a ，则//αb B ． 若,α⊥⊥a b b ，则α⊥a C ．若,⊥⊥a c b c ，则//a b D ．若,αα⊥⊥a b ，则//a b 【答案】D8.（2015闸北二模理11文11）下列命题中，正确的个数是【 】① 直线上有两个点到平面的距离相等，则这条直线和这个平面平行； ② a 、b 为异面直线，则过a 且与b 平行的平面有且仅有一个； ③ 直四棱柱是直平行六面体；βαP B A DC ABlC αN P O④ 两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥．A 、0B 、1C 、2D 、3 【答案】B9.（2015长宁、嘉定二模理18文18）在四棱锥ABCD V -中，1B ，1D 分别为侧棱VB ，VD 的中点，则四面体11CD AB 的体积与四棱锥ABCD V -的体积之比为（ ） A ．6:1 B ．5:1 C ．4:1 D ．3:1【答案】C三、解答题1.（2015崇明二模理20）（本题满分14分）本题共有2小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分． 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动． （1）证明：11D E A D ⊥；（2）AE 等于何值时，二面角1D EC D --的大小为4π．【答案】解：（1）在如图所示的空间直角坐标系中，11(1,0,1),(0,0,0),(0,0,1)A D D设(1,,0)([0,2])E y y ∈ 则11(1,,1),(1,0,1)D E y DA =-=…所以110D E DA ⋅=……所以11D E A D ⊥…… （2）方法一：设(,,)n u v w =为平面1D CE 的一个法向量由1100n CD n D E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得200v w u yv w -+=⎧⎨+-=⎩，所以(2)2u y v w v =-⎧⎨=⎩…因为二面角1D EC D --的大小为4π，所以cos |42π===又[0,2]y ∈，所以2y =2AE =时二面角1D EC D --的大小为4π2.（2015崇明二模文20）（本题满分14分）本题共有2小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分． 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动． （1）当E 为AB 的中点时，求四面体1E ACD -的体积； （2）证明：11D E A D ⊥．【答案】解：（1）1122ACE S AE BC ∆=⋅=… 因为1D D ACE ⊥平面，所以1111136E ACD D ACE ACE V V S D D --∆==⋅=…x D 1C 1A 1AEDB 1B C（2）正方形11ADD A 中，11A D AD ⊥……因为11AB ADD A ⊥平面，所以1AB A D ⊥…所以11A D AD E ⊥平面…所以11D E A D ⊥……3.（2015奉贤二模理20文20）三棱柱111C B A ABC -中，它的体积是315，底面ABC ∆中，090=∠BAC ，3,4==AC AB ,1B 在底面的射影是D ，且D 为BC 的中点． （1）求侧棱1BB 与底面ABC 所成角的大小；(7分) （2）求异面直线D B 1与1CA 所成角的大小．(6分)【答案】解：（1）依题意，⊥D B 1面ABC ，BD B 1∠就是侧棱1BB 与底面ABC 所成的角θ 2分111111431532ABC A B C ABC V S B D B D -∆=⋅=⨯⨯⨯= 4分1532B D = 5分计算25=BD ，θθtan 25tan 1==BD D B ， tan 3,3πθθ=∴= 7分（2）取11C B 的中点E ，连E A EC 1,，则1ECA ∠（或其补角）为所求的异面直线的角的大小 9分 ⊥D B 1面ABC ，D B 1‖CE ，面ABC ‖面111C B A ⊥∴CE 面111C B A ，E A CE 1⊥∴ 11分33325tan 251===∠EC AE CE A 12分 所求异面直线D B 1与1CA 所成的角6π13分4.（2015虹口二模理20）（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.在如图所示的几何体中，四边形CDPQ 为矩形，四边形ABCD 为直角梯形， 且90BAD ADC ∠=∠=，平面CDPQ ⊥平面ABCD ，112AB AD CD ===，2PD =.（1）若M 为PA 的中点，求证：AC //平面DMQ ； （2）求平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角的大小.【答案】解：（1）如图，设CP 与M 的交点为N ，连接MN ．易知点N 是CP 的中点，又M 为PA 的中点，故//AC MN ．…4分 于是，由MN ∉平面DMQ ，得//AC 平面DMQ ．……………6分 （2）如图，以点D 为原点，分别以DA DB DC 、、为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,2)D A B C P ．易知1(0,1,0)n =为平面PAD 的一个法向量，设2(,,)n x y z =为平面PBC 的一个法向量．则220220n BC x y n PC y z ⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩2x y z y =⎧⎪⇒⎨=⎪⎩，令1y =，得2(1,1,2)n =．…………………10分 1A ABCQP DM(第20题图）D 1C 1B 1BCDA 1A设平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角为θ，则12121cos 2n n n n θ==，…………………12分 故平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角的大小为3π．………………………………………14分5.（2015虹口二模文20）(本题满分14分) 本题共2个小题，第1小题6分，第2小题8分. 在如图所示的直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的 菱形，且60,BAD ∠=︒1 4.AA =（1）求直四棱柱1111ABCD A B C D -的体积；（2）求异面直线11AD BA 与所成角的大小．【答案】解：（1）因菱形ABCD 的面积为2sin 60AB ⋅︒=……2分故直四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为：14ABCD S AA ⋅==底面……6分（2）连接111BC A C 、，易知11//BC AD ，故11A BC ∠等于异面直线11AD BA 与所成角. ……8分由已知，可得1111,A B BC AC === ……10分则在11A BC ∆中，由余弦定理，得 222111111117cos .210A B BC AC A BC A B BC +-∠==⋅ ……12分 故异面直线11AD BA 与所成角的大小为7cos .10arc……14分6.（2015黄浦二模理19）（本题满分12分）本题共2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分. 在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，13AA =，过11,,A C B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如下所示的几何体111ABCD AC D -.（1）若11A C 的中点为1O ，求求异面直线1BO 与11A D所成角的大小（用反三角函数值表示）；（2）求点D 到平面11A BC 的距离d ．【答案】解：(1)按如图所示建立空间直角坐标系．由题知，可得点D(0,0,0)、(2,2,0)B 、1(0,0,3)D 、1(2,0,3)A 、1(0,2,3)C ． 由1O 是11A C 中点，可得1(1,1,3)O . 于是，111(1,1,3),(2,0,0)BO A D =--=-． 设异面直线1BO 与11A D 所成的角为θ，则111111cos ||||2BO A D BO A D θ⋅===因此，异面直线1BO 与11A D 所成的角为arccos 11． (2)设(,,)nx y z =是平面ABD 的法向量． ∴110,0.n BA n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩又11(0,2,3),(2,0,3)BA BC =-=-，∴230,230.y z x z -+=⎧⎨-+=⎩取2z =， 可得3,3,2.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩即平面11BA C 的一个法向量是(3,3,2)n =． ∴||n DB d n⋅=11=．7.（2015黄浦二模文19）(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，13AA =，过1A 、1C 、B 三点的平面截去长方体的 一个角后，得到如下所示的几何体111ABCD AC D -．（1）求几何体111ABCD AC D -的体积，并画出该几何体的左视图(AB 平行主视图投影所在的平面)； （2）求异面直线1BC 与11A D 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【答案】解： 2AB BC ==，13AA =，11111=2232231032ABCD A D C V V V-∴=-⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=长方体三棱锥．左视图如右图所示． (2)依据题意，有11,A D AD AD BC ，即11A D BC ． ∴1C BC ∠就是异面直线1BC 与11A D 所成的角． 又1C C BC ⊥，∴113tan 2C C C BC BC ∠==．∴异面直线1BC 与11A D 所成的角是3tan 2arc ． 8.（2015静安、青浦、宝山二模理19） (本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分．如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，已知21===AB BC AA ，AB ⊥BC ． （1）求四棱锥111A BCC B -的体积； （2）求二面角111C C A B --的大小．【答案】解：（1）因为AB ⊥BC ，三棱柱111C B A ABC -是直三棱柱，所以11从而11A B 是四棱锥111A BCC B -的高. ……………………………………2分A B C D 1A 1C 1D A 1A 1四棱锥111A BCC B -的体积为1822233V =⨯⨯⨯=…………………………4分 （2）如图（图略），建立空间直角坐标系．则A （2，0，0），C （0，2，0），A 1（2，0，2）， B 1（0，0，2），C 1（0，2，2）， …………………………………………………6分 设AC 的中点为M ，,,1CC BM AC BM ⊥⊥)0,1,1(11=⊥∴BM C ，C A BM 即平面是平面A 1C 1C 的一个法向量．设平面A 1B 1C 的一个法向量是),,(z y x n =，)0,0,2(),2,2,2(11-=--=B A AC …8分,0222,02111=-+-=⋅=-=⋅∴z y x C A n x B A n令z=1，解得x=0，y=1．)1,1,0(=∴n ， …………………………………………9分 设法向量n 与BM 的夹角为ϕ，二面角B 1—A 1C —C 1的大小为θ，显然θ为锐角．||1cos |cos |,.23||||n BM n BM πθφθ⋅====⋅解得 111.3B AC C π∴--二面角的大小为………………………………………………12分9.（2015静安、青浦、宝山二模文19） (本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分．如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，已知16AA =， 三棱柱111C B A ABC -的体积为183． （1）求正三棱柱111C B A ABC -的表面积； （2）求异面直线1BC 与1AA 所成角的大小.【答案】解：（1）因为三棱柱的体积为18316AA =，从而23334ABC S BC ∆== 因此23BC =. ………………………2分 该三棱柱的表面积为2+=63+363423ABC S S S ∆=⋅=全侧………4分（2）由（1）可知23BC =因为1CC //1AA .所以1BC C ∠为异面直线1BC 与1AA 所成的角， ………8分 在Rt 1BC C ∆中，1233tan BC C ∠==， 所以1BC C ∠=6π.B异面直线1BC与1AA所成的角6π……………………………………………12分10.（2015闵行二模理19文19）（本题满分12分）如图，已知圆锥的底面半径为10r=，点Q为半圆弧AB的中点，点P为母线SA点．若直线PQ与SO所成的角为4π，求此圆锥的表面积．【答案】解：取OA的中点M,连接PM,又点P为母线SA的中点所以//PM OS，故MPQ∠为PQ与SO所成的角． (2)在Rt MPQ△中，4MPQπ∠=，PM QM=，………………………4分由点Q为半圆弧AB的中点知OQ AB⊥，在Rt MOQ△中，10,5OQ OM MQ==⇒=故PM=，所以OS=SA所以2S100rππ==底，10S r SAππ=⋅=⨯⨯=侧………………10分100100(1S S Sππ=+=+=+全底侧．…………………………………12分11.（2015浦东二模理20）（本大题共有2个小题，满分14分）第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分．如图，在四棱锥P ABCD-中，底面正方形ABCD为边长为2，PA⊥底面ABCD，E为BC的中点，PC与平面PAD所成的角为．（1）求异面直线AE与PD所成角的大小（结果用反三角函数表示）；（2）求点B到平面PCD的距离．【答案】解：方法１,（1）因为底面ABCD为边长为2的正方形，⊥PA底面ABCD,则⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊥⊥CDAPAADPACDADCD平面PAD，所以CPD∠就是CP与平面PAD所成的角．………………2分在CDPRt∆中，由22tan==∠PDCDCPD，得22=PD，…………………………3分在PADRt∆中，2=PA．分别取AD、PA的中点M、N，联结MC、NC、MN，PAB CDP则NMC ∠异面直线AE 与PD 所成角或补角．……………4分 在MNC ∆中，2=MN，MC =，3NC =，由余弦定理得，2223cos 10NMC +-∠==-， 所以arccos10NMC π∠=-，………6分 即异面直线AE 与PD 所成角的大小为1010arccos ．……7分（2）设点B 到平面PCD 的距离为h ，因为BCD P PCD B V V --=，…………………………9分 所以，11113232CD PD h BC CD PA ⨯⋅⋅=⨯⋅⋅，得h =14分 方法２，（1） 如图所示，建立空间直角坐标系，同方法１，得2=PA ，……………3分 则有关点的坐标分别为()0,0,0A ，()2,1,0E ，()0,2,0D ，()2,0,0P所以()2,1,0AE =，()2,2,0-=．设θ为异面直线AE 与PD 所成角， 则()101085202102cos =⨯-⨯+⨯+⨯=θ，所以，1010arccos =θ，即异面直线AE 与PD 所成角的大小为1010arccos（2）因为()2,2,0-=，()0,0,2=，()0,2,0=，设()w v u ,,=， 则由⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=-=⋅w v u u w v 002022，………………………………………………11分 可得()1,1,0=，所以2n BC d n⋅===14分12.（2015浦东二模文20）（本题共有2个小题，满分14分）；第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为边长为2的正方形， ⊥PA 底面ABCD , 2=PA ．（1）求异面直线PC 与BD 所成角的大小； （2）求点A 到平面PBD 的距离．【答案】解：（1）联结AC 与BD 交于点M ，取PA 的中点N ，联结MN ，则CP MN //， 所以NMB ∠为异面直线PC 与BD 所成角或补角．……………………2分 在BMN ∆中，由已知条件得，5=BN ，2=BM ，3=MN ，…………5分yPAB DED 1C 1A 1B 1CDBA 所以222MN BM BN +=，2π=∠BMN ，所以异面直PC 与BD 所成角为2π．…7分 （或用线面垂直求异面直线PC 与BD 所成角的大小）（2）设点A 到平面PBD 的距离为h ，因为ABD P PBD A V V --=，……………9分 所以，11113232BD PM h BC CD PA ⨯⋅⋅=⨯⋅⋅， 得332=h ．（或在MAN Rt ∆中求解）………14分13.（2015普陀二模理20）(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 在正方体1111-ABCD A B C D 中，E 是棱1DD 的中点． （1）求直线BE 与平面11ABB A 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）在棱11C D 上是否存在一点F ，使得1//B F 平面1A BE ，若存在，指明点F 的位置；若不存在，说明理由． 【答案】解：（1）以A 为坐标原点，以射线1AB AD AA 、、分别为x y z 、、轴，建立空间 直角坐标系，如图所示.不妨设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a （0a >），则(,0,0),(0,,)2aB a E a ，于是(,,)2a BE a a =- 3分 根据正方体的性质，可知11DA ABB A ⊥平面,故11AD ABB A 是平面的一个法向量且AD =(0,,0)a 4分设直线BE 与平面11ABB A 所成的较为θ，则22sin 0332BE AD a BE ADa a θ===>⨯ 5分 所以2arcsin3θ=，故直线BE 与平面11ABB A 所成的角的大小为2arcsin 3. 6分（2）假设在棱11C D 上是存在一点F ,使得11//B F A BE 平面,设(,,)F x a a （其中0x a ≤≤）111(,0,0),(0,0,),(,0,),(,,0)B a A a BA a a B F x a a =-=- 8分根据（1）可知，(,,)2aBE a a =- 9分设(,,)n x y z =平面1A BE 的一个法向量，则100n BA n BE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即002ax az aax ay z -=⎧⎪⎨--=⎪⎩， 10分 取2z =，则(2,1,2)n =，由于直线11//B F A BE 平面,所以10B F n = 11分即(,,0)(2,1,2)0x a a -=，化简得2()0x a a -+=，解得2ax = 12分 故在棱11C D 上是存在一点F ，使得11//B F A BE 平面,且点F 是棱11C D 的中点. 14分14.（2015普陀二模文19） (本题满分12分)在正方体1111-ABCD A B C D 中，E 是棱1DD 的中点． 求直线BE 与11B A 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；【答案】解：设正方体的棱长为a ，根据正方体的性质可得：四棱锥E ABCD -的底面积2ABCD S a =，高2aED =2分21143323ABCD a V S ED a =⨯⨯=⨯=，解得2a = 5分因为11//AB A B ,所以ABE ∠即为异面直线BE 与11B A 所成角或其补角， 8分 在ABE中，2,3AB AE BE ===,由余弦定理可得4952cos 02233ABE +-∠==>⨯⨯，即2arccos 3ABE ∠= 11分所以异面直线BE 与11B A 所成的较的大小为2arccos 3ABE ∠=. 12分15.（2015徐汇、松江、金山二模理19文19）(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．如图，在Rt AOB ∆中，6OAB π∠=，斜边4AB =，D 是AB 的中点．现将Rt AOB ∆以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥，点C 为圆锥底面圆周上的一点，且2BOC π∠=．（1）求该圆锥的全面积；（2）求异面直线AO 与CD 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【答案】解：（1）在Rt AOB ∆中，2OB =，即圆锥底面半径为2圆锥的侧面积8S rl ππ==侧………………..4’故圆锥的全面积=+8+412S S S πππ==全侧底……………….6’（2）解法一：如图建立空间直角坐标系．则(0,0,(2,0,0),A C D(0,0,23),(AO CD ∴=-=-………………..8’设AO 与CD 所成角为θ，则cos 42AO CD AO CDθ⋅===-⋅ED 1C 1A 1B 1CDBA∴异面直线AO 与CD所成角为arc cos4………………..12’ 解法二：过D 作//DM AO 交BO 于M ，连CM则CDM ∠为异面直线AO 与CD 所成角………………..8’AO OBC ⊥平面 DM OBC ∴⊥平面DM MC ∴⊥在Rt AOB ∆中，AO=DM ∴=D 是AB 的中点 M ∴是的中点 1OM=CM ∴=在Rt CDM ∆中，tan CDM ∠==，………………..10’ CDM ∴∠=AO 与CD 所成角的大小为……………….12’16.（2015杨浦二模理20）（本题满分14分，其中第一小题7分，第二小题7分）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱BC 的中点，点F 是棱CD 上的动点. （1）试确定点F 的位置，使得1D E ⊥平面1AB F ;（2）当1D E ⊥平面1AB F 时，求二面角1C EF A --的大小（结果用反三角函数表示）. 【答案】解：（1）如图建系，设 ),10(≤≤=x x DF 1分 则)0,1,()0,21,1()1,1,0()1,0,1(),0,1,0(),0,0,1(),0,0,0(11x F E D B D B A 2分)0,1,(),1,0,1(),1,21,1(11x AF AB E D ==--=∴, 3分1111,011AB E D AB E D ⊥∴=-=⋅ 4分 由AF E D F AB E D ⊥∴⊥111,平面 5分21,01=⇒=⋅∴x AF E D 6分)0,1,21(F ∴，即F 为CD 中点时F AB E D 11平面⊥。
2015-2016学年度中考复习系列光学综合专题(二)原版卷+解析卷
2015-2016学年度中考复习系列光学综合专题（二）原版卷一、选择题（每小题给出的选项中只有一个是正确选项，请将正确选项的标号填入题后的括号内。
每小题3分，共计30分）1．关于凸透镜成像及成像规律的应用，有以下几种说法：（1）当物距小于焦距时，凸透镜成正立、放大的实像；（2）照相机是利用凸透镜成倒立、缩小的实像原理制成的；（3）幻灯机是利用当物距大于2焦距时凸透镜成倒立、放大的实像的原理制成的；（4）集邮爱好者观察邮票用时若一时找不到放大镜，可以用老花镜代替。
正确的是（）A．（2）（4）正确 B．（2）（3）正确 C．（1）（4）正确 D．（1）（2）正确2．小李从平面镜里看到平面镜对面的电子钟的示数如图所示，这时的实际时间是：（）A．10∶21 B．21∶10 C．10∶51 D．12∶013．下列说法不正确的是（）A．镜面反射遵从光的反射规律B．平行光束经平面镜反射后，仍然是平行光束C．漫反射不遵从光的反射规律D．漫反射中入射的平行光束经反射后，不再是平行光束4．如图画中人出现了错误判断．以下四幅图中，能正确说明这一现象产生原因的是( )5．下列有关光现象的说法中，正确的是（）6．如图所示，有一圆柱体PQ，放在凸透镜前图示的位置，它所成像P′Q′的形状应该是下列图中的（）7．生活中常见到各种光现象，其中属于光的反射现象的是（）8．关于电磁波的说法正确的是（）A．可见光不是电磁波B．电磁波的波长越短则频率越低C．红外线和可见光在真空中传播速度相同D．电磁波不可以在真空中传播9．如图所示，一只烧杯中装有半杯水，放在水平木板AB上，一束光线竖直向下照在水面上．现在B端下方垫一个小木块C，使木板倾斜一个小的角度，则此时（）A．反射光线顺时针方向旋转B．反射光线逆时针方向旋转C．折射光线的方向不变D．折射光线逆时针方向旋转10．如图所示是“探究光的反射规律”的实验装置，一可沿ON折叠的白色硬纸板垂直放置在平面镜上，使光线AO紧贴硬纸板射向镜面O点，为了研究反射角与入射角之间关系，实验时应进行的操作是（）A．绕ON前后转动板EB．绕ON前后转动板FC．改变光线AO与ON之间的夹角D．改变光线OB与ON之间的夹角二、填空题（共28分）11．某同学身高1.6m，站在竖直放置的平面镜前1.5 m处。
2015年高三二模汇编——解析几何
2015年高三二模汇编——解析几何一、填空题1.（2015崇明二模文6理6）设直线0132=++y x 和圆22230x y x +--=相交于点A 、B ，则弦AB 的垂直平分线方程是 ． 【答案】0323=--y x ；2.（2015崇明二模文12理11）已知双曲线2212y x -=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上且120MF MF ⋅=，则点M 到x 轴的距离等于 ．【答案】332； 3. （2015奉贤二模文6理6）以抛物线x y 42=的焦点F 为圆心，与抛物线的准线相切的圆的标准方程为__________．【答案】()4122=+-y x ；4. （2015奉贤二模理11）关于x 的实系数一元二次方程2240x px -+=的两个虚根1z 、2z ，若1z 、2z 在复平面上对应的点是经过原点的椭圆的两个焦点，则该椭圆的长轴长为__________．【答案】4；5. （2015奉贤二模文13）设12,F F 是曲线()0,012222>>=+n m ny m x 的两个焦点，曲线上一点与12,F F 构成的三角形的周长是16，曲线上的点到1F 的最小距离为2，则=n ____________．【答案】4或5；6. （2015虹口二模文8）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点在圆22(1)4x y -+=上，则p =________. 【答案】67. （2015虹口二模理11文11）如图所示，已知12,F F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，且122F F =，若以坐标原点O 为圆心，12F F 为直径的圆与该双曲线的左支相交于,A B角形，则双曲线的实轴长为__________.18. （2015虹口二模文13）已知直线1:125150l x y -+=和2:2,l x =-8P y x =点为抛物线上的动点，则1P l 点到直线2l 和直线的距离之和的最小值为_________.【答案】39．（2015黄浦二模文8理8）已知点(2,3)(1,4)A B --、，则直线AB 的点法向式方程是 ．【答案】7(2)3(3)0 7(1)3(4)0x y x y 也可以是；24第6题10．（2015黄浦二模文9理9）已知抛物线216y x =的焦点与双曲线2221(0)12x y a a -=>的一个焦点重合，则双曲线的渐近线方程是 ． 【答案】3yx ；11．（2015静安二模文9）圆22420x y x y +-+=的圆心到直线3430x y ++=的距离为 ． 【答案】1；12.（2015静安二模理9）过圆0422=+-+my x y x 上一点)1,1(P 的切线方程为 ． 【答案】210x y -+=；13.（2015闵行二模理11文11）斜率为2的直线与焦点在x 轴上的椭圆2221(0)y x b b+=>交于不同的两点P 、Q .若点P 、Q 在x 轴上的投影恰好为椭圆的两焦点，则该椭圆的焦距为 .12；徐汇二模理3的一个法向量是(1,3n =-所在平面上的定点P ，若存在以点是 ． 【答案】2π 19.（2015闸北二模文9理8）从双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于点P ，若M 是线段FP 的中点，O 为原点，则MO MT -的值是____________． 【答案】b a -20．（2015长宁二模文2理2）抛物线28x y =的焦点到准线的距离是______________． 【答案】4二、选择题1. （2015虹口二模理17）如图所示，PAB ∆所在平面α和四边形ABCD 所在的平面β互相垂直，且AD α⊥，BC α⊥，4AD =，8BC =，6AB =，若tan 2tan 1ADP BCP ∠-∠=，则动点P在平面α内的轨迹是（ ）A.线段B.椭圆的一部分C.抛物线D.双曲线的一部分【答案】D2. （2015虹口二模理18）已知F 为抛物线24y x =的焦点，,,A B C 为抛物线上的三点，O 为坐标原点，F 若为ABC ∆的重心，,,OFA OFB OFC ∆∆∆面积分别记为123,,S S S ，则222123S S S ++的值为（ ）A.3B.4C.6D.9【答案】A3．（2015浦东二模理17文17）若直线30ax by +-=与圆223x y +=没有公共点，设点P 的坐标(,)a b ，则过点P 的一条直线与椭圆22143x y +=的公共点的个数为 ( ) )(A 0 )(B 1)(C 2 )(D 1或2 【答案】C4．（2015长宁二模文17）设双曲线12222=-by a x （0>a ，0>b ）的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为……………………………………………………………………………（ ）A ．x y 2±=B ．x y 2±=C ．x y 22±=D ．x y 21±= 【答案】C三、解答题1.（2015崇明二模理22文22）已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F 与x 轴不垂直的直线交椭圆于,P Q 两点．βαP BAD C（1）求椭圆的方程；（2）当直线l 的斜率为1时，求POQ ∆的面积；（3）在线段OF 上是否存在点(,0)M m ，使得以,MP MQ 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】解（1）设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x根据题意得1==c b 所以2222=+=c b a 所以椭圆方程为1222=+y x （2）根据题意得直线方程为1:-=x y l解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+11222x y y x 得Q P ,坐标为)31,34(),1,0(-计算324=PQ 点O 到直线PQ 的距离为22 所以，32=∆OPQ S（3）假设在线段OF 上存在点)10)(0,(<<m m M ，使得以,MP MQ 为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与x 轴不垂直，所以设直线的方程为)0)(1(≠-=k x k y ．Q P ,坐标为),(),,(2211y x y x 由⎩⎨⎧-==+)1(2222x k y y x 得，0224)21(2222=-+-+k x k x k 222212221212,214kk x x k k x x +=⋅+=+- 计算得：),(),,(2211y m x y m x -=-=，其中021≠-x x 由于以,MP MQ MQ MP =计算得421x x m += 即2221214kk x x m +=+=，)0(≠k 所以210<<m2.（2015奉贤二模理21文21）平面直角坐标系中，点()0,2-A 、()0,2B ，平面内任意一点P 满足：直线PA 的斜率1k ，直线PB 的斜率2k ，4321-=k k ，点P 的轨迹为曲线1C ．双曲线2C 以曲线1C 的上下两顶点N M ,为顶点，Q 是双曲线2C 上不同于顶点的任意一点，直线QM 的斜率3k ，直线QN 的斜率4k ． （1）求曲线1C 的方程；(5分)（2）如果04321≥+k k k k ，分别求双曲线2C 的两条渐近线倾斜角的取值范围．(9分) 【答案】（1）()22123,1222443y y x y k k x x x =⋅=-∴+=≠±+- 5分 （2）设双曲线方程为()222103y x b b-=> 6分 ()00,Q x y 在双曲线上，所以()22002103y x b b-=> 200034220003333y y y k k x x x b +-=== 8分 2330,024b b∴-+≥∴<< 9分330,024b b-+≥∴<≤ 10分焦距是 12分∴ 14分3.（205虹口二模文22理22）已知圆()221:18F x y ++=，点()21,0F ，点Q 在圆1F 上运动，2QF 的垂直平分线交1QF 于点P .（1）求动点P 的轨迹的方程C ；（2）设,M N 分别是曲线C 上的两个不同点，且点M 在第一象限，点N 在第三象限，若122OM ON OF +=，O 为坐标原点，求直线MN 的斜率；（3）过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线l 交曲线C 于,A B 两点，在y 轴上是否存在定点T ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点T 的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】解：（1）因为2QF 的垂直平分线交1QF 于点P . 所以2PF PQ =，从而1211122,PF PF PF PQ FQ F F +=+==>= 所以，动点P 的轨迹C 是以点12F F 、为焦点的椭圆 设椭圆的方程为12222=+bya x ，则22,222==c a ，1222=-=c ab ， 故动点P 的轨迹C 的方程为 2212x y += ……5分（2）设1122(,),(,)M a b N a b 1122(0,0,0,0)a b a b >><<，则2222112222,22a b a b +=+= ①因为122OM ON OF +=，则121222,20a a b b +=-+= ② 由①、② 解得112215,,24a b a b ===-=……8分 所以直线MN 的斜率MNk 2121b b a a -==- . ……10分（3）设直线l 的方程为1,3y kx =-则由221312y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得229(21)12160,k x kx +--= 由题意知，点1(0,)3S -在椭圆C 的内部，所以直线l 与椭圆C 必有两个交点，设11(,)A x y 、 22(,)B x y ，则121222416,.3(21)9(21)k x x x x k k +==-++ ……12分假设在y 轴上存在定点(0,)T m 满足题设，则1122(,),(,),TA x y m TB x y m =-=- 因为以AB 为直径的圆恒过点T , 所以1122(,)(,)0,TA TB x y m x y m ⋅=-⋅-= 即1212()()0()x x y m y m +--=*……14分 因为112211,,33y kx y kx =-=-故()*可化为2121212221212()121(1)()()339x x y y m y y m k x x k m x x m m +-++=+-+++++2222222216(1)1421()9(21)33(21)3918(1)3(325)9(21)k k k m m m k k m k m m k +=--+⋅+++++-++-=+由于对于任意的R k ∈,0,TA TB ⋅=恒成立，故2210,3250m m m ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩ 解得 1m =. 因此，在y轴上存在满足条件的定点T ，点T 的坐标为(0,1). …… 16分4.（2015黄浦二模理23）已知点()1F 、)2F ，平面直角坐标系上的一个动点(),P x y 满足124PF PF +=，设动点P 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的轨迹方程；（2）点M 是曲线C 上的任意一点，GH 为圆()22:31N x y -+=的任意一条直径，求MG MH ⋅的取值范围； （3）已知点,A B是曲线C 上的两个动点，若OA OB ⊥（O 是坐标原点），试证明：直线AB与某个定圆 恒相切，并写出定圆的方程．【答案】解(1)依据题意，动点(,)P x y4=.又12||4F F =，因此，动点(,)P x y 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆，且24,2a b c =⎧⎪=⎨=⎪⎩ 所以，所求曲线C 的轨迹方程是22142x y +=． (2) 设00(,)M x y 是曲线C 上任一点．依据题意，可得,MG MN NG MH MN NH =+=+．GH 是直径，∴NH NG =-．又||=1NG ，22=()()=()() =||||.MG MH MN NG MN GH MN NG MN NG MN NG ∴⋅+⋅++⋅-- ∴22200||(3)(0)MN x y =-+-＝201(6)72x --． 由22142x y +=，可得22x -≤≤，即022x -≤≤．2221||25||||24MN MN NG ∴≤≤≤-≤，0．∴MG MH ⋅的取值范围是024MG MH ≤⋅≤．(另解21||25MN ≤≤：结合椭圆和圆的位置关系，有||||||||||||OM ON MN OM ON -≤≤+(当且仅当M N O 、、共线时，等号成立)，于是有1||5MN ≤≤．)(3)证明 因A B 、是曲线C 上满足OA OB ⊥的两个动点，由曲线C 关于原点对称，可知直线AB 也关于原点对称．若直线AB 与定圆相切，则定圆的圆心必在原点．因此，只要证明原点到直线AB 的距离(d )是定值即可． 设12||,||OA r OB r ==，点11(cos ,sin )A r r θθ，则 2222(cos(),sin())(sin ,cos )22B r r r r ππθθθθ++=-． 利用面积相等，有11||||||22OA OB AB d ⋅=⋅，于是2221222122211111r r d r r r r ==++． 又A B 、两点在曲线C 上，故222211222222cos sin 1,42sin cos 1.42r r r r θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 可得22212222cos sin 1,42sin cos 1.42r r θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩因此，22121134r r +=． 所以，243d =，即d为定值3．所以，直线AB 总与定圆相切，且定圆的方程为：2243x y +=． 5.（2015黄浦二模文23）已知点12(F F 、，平面直角坐标系上的一个动点(,)P x y 满足12||+||=4PF PF ．设动点P 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的轨迹方程；（2）点M 是曲线C 上的任意一点，GH 为圆22:(3)1N x y -+=的任意一条直径，求MG MH ⋅的取值范围；（3）已知点A B 、是曲线C 上的两个动点，若OA OB ⊥(O 是坐标原点)，试证明：原点O 到直线AB 的距离是定值．【答案】解(1)依据题意，动点(,)P x y4=.又12||4F F =，因此，动点(,)P x y 的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，且24,2a b c =⎧⎪=⎨=⎪⎩ 所以，所求曲线C 的轨迹方程是22142x y +=． (2) 设00(,)M x y 是曲线C 上任一点．依据题意，可得,MG MN NG MH MN NH =+=+．GH 是直径，∴NH NG =-．又||=1NG ，22=()()=()() =||||.MG MH MN NG MN GH MN NG MN NG MN NG ∴⋅+⋅++⋅-- ∴22200||(3)(0)MN x y =-+-＝201(6)72x --． 由22142x y +=，可得22x -≤≤，即022x -≤≤．2221||25||||24MN MN NG ∴≤≤≤-≤，0．∴MG MH ⋅的取值范围是024MG MH ≤⋅≤．(另解21||25MN ≤≤：结合椭圆和圆的位置关系，有||||||||||||OM ON MN OM ON -≤≤+(当且仅当M N O 、、共线时，等号成立)，于是有1||5MN≤≤．)(3)证明 设原点到直线AB 的距离为d ，且A B 、是曲线C 上满足OA OB ⊥的两个动点．01若点A 在坐标轴上，则点B 也在坐标轴上，有11||||||22OA OB AB d =⋅，即22233d a b==+．02若点(,)A A A x y 不在坐标轴上，可设1:,:OA y kx OB y x k==-．由221,42.x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩ 得222224,124.12A Ax k k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩设点(,)B B B x y ，同理可得，222224,24.2B B k x k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩于是，221||212k OA k +=+，221||22k OB k +=+，2222223(1)||(2)(12)k AB OA OB k k +=+=++ ． 利用11||||||22OA OB AB d =⋅，得23d =． 综合0012和可知，总有233d =，即原点O 到直线AB 的距离为定值233．(方法二：根据曲线C 关于原点和坐标轴都对称的特点，以及OA OB ⊥，求出A B 、的一组坐标，再用点到直线的距离公式求解，也可以得出结论)6.（2015静安二模理22）在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C 的方程为2218x y +=，设AB 是过椭圆C 中心O 的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线，M 是l 上与O 不重合的点． （1）求以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程；（2）若2MO OA =，当点A 在椭圆C 上运动时，求点M 的轨迹方程；（3）记M 是l 与椭圆C 的交点，若直线AB 的方程为(0)y kx k =>，当△AMB 面积取最小值时，求直线AB 的方程．【答案】解：（1）椭圆一个焦点和顶点分别为(7,0),(22,0)，………………………1分所以在双曲线22221y x a b-=中，27a =，28c =，2221b c a =-=， 因而双曲线方程为2217x y -=．……………………………………………………4分 （2）设()M x y ，，()A m n ，，则由题设知：2OM OA =，0OA OM ⋅=． 即22224()0x y m n mx ny ⎧+=+⎨+=⎩，，………5分 解得22221414m y n x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，．……………………7分因为点()A m n ，在椭圆C 上，所以2218m n +=，即…()()222182yx +=，亦即221432x y +=．所以点M 的轨迹方程为221432x y +=．…………………9分（3）（方法1）因为AB 所在直线方程为(0)y kx k =>．解方程组2218x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，得22818A x k =+，222818A k y k =+， 所以22222222888(1)181818A A k k OA x y k k k +=+=+=+++，222232(1)418k AB OA k +==+. 又22181x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，解得2228+8M k x k =，228+8M y k =，所以2228(1)+8k OM k +=．………… 11分 由于22214AMB S AB OM =⋅△2222132(1)8(1)418+8k k k k ++=⨯⨯+ 22222264(1)39225688(18)(+8)818658k k k k k+==-≥+++……………………………………………14分 或()2222264(1)18+82k k k +≥++222264(1)2568181(1)4k k +==+，当且仅当22188k k +=+时等号成立，即k ＝1时等号成立， 此时△AMB 面积的最小值是S △AMB ＝169．……………………………………… 15分AB 所在直线方程为y x =． ………………………………………………… 16分 （方法2）设()M x y ，，则()(0)A y x λλλλ-∈≠R ，，，因为点A 在椭圆C 上，所以222(8)8y x λ+=，即22288y x λ+=（i ）又2288x y +=（ii ）（i ）+（ii ）得()2228119x y λ+=+，………………………………………………11分所以()228116||()||99AMB S OM OA x y λλλ∆=⋅=+=+≥.……………………………14分当且仅当1λ=±（即1AB k =±）时，()min 169AMB S ∆=. 又0k > AB 所在直线方程为y x =．………………………………………………… 16分7.（2015静安二模文22）在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C 的方程为2218x y +=，设AB 是过椭圆C 中心O 的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线，M 是l上与O 不重合的点． （1）求以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程；（2）若2MO OA =，当点A 在椭圆C 上运动时，求点M 的轨迹方程；（3）记M 是l 与椭圆C 的交点，若直线AB 的方程为(0)y kx k =>，当△AMB 面积为4147时， 求直线AB 的方程．【答案】解：（1）椭圆一个焦点和顶点分别为(7,0),(22,0)，………………………1分所以在双曲线22221y x a b-=中，27a =，28c =，2221b c a =-=， 因而双曲线方程为2217x y -=．……………………………………………………4分 （2）设()M x y ，，()A m n ，，则由题设知：2OM OA =，0OA OM ⋅=． 即22224()0x y m n mx ny ⎧+=+⎨+=⎩，，……………5分 解得22221414m y n x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，．…………………7分因为点()A m n ，在椭圆C 上，所以2218m n +=，即…()()222182yx +=，亦即221432x y +=．所以点M 的轨迹方程为221432x y +=．…………………9分（3）因为AB 所在直线方程为(0)y kx k =>．解方程组2218x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，得22818A x k =+，222818A k y k =+， 所以22222222888(1)181818A A k k OA x y k k k +=+=+=+++，222232(1)418k AB OA k +==+. 又22181x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，解得2228+8M k x k =，228+8M y k =，所以2228(1)+8k OM k +=．………… 11分 由于22214AMB S AB OM =⋅△2222132(1)8(1)418+8k k k k ++=⨯⨯+222264(1)32(18)(+8)7k k k +==+……………14分解得22221(61)(6)066k k k k --=⇒==或即k k ==又0k >，所以直线AB方程为y =或y =………………………………… 16分8.（2015闵行二模理22）已知两动圆2221:(F x y r +=和2222:((4)F x y r +=-（04r <<），把它们的公共点的轨迹记为曲线C ,若曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，且曲线C 上的相异两点A B 、满足0MA MB ⋅=． （1）求曲线C 的方程；（2）证明直线AB 恒经过一定点，并求此定点的坐标； （3）求ABM △面积S 的最大值．【答案】[解]（1）设两动圆的公共点为Q ，则有：12124()QF QF F F +=>．由椭圆的定义可知Q 的轨迹为椭圆，2,a c ==C 的方程是：2214x y +=．…4分 （2）证法一：由题意可知：(0,1)M ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ,当AB 的斜率不存在时，易知满足条件0MA MB ⋅=的直线AB 为：0x =过定点3(0,)5N -……………6分 当AB 的斜率存在时，设直线AB ：y kx m =+，联立方程组：2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩①②，把②代入①有：222(14)8440k x kmx m +++-=……………8分 122814km x x k -+=+③，21224414m x x k -⋅=+④，因为0MA MB ⋅=，所以有1212(1)(1)0x x kx m kx m ⋅++-+-=，221212(1)(1)()(1)0k x x k m x x m +⋅+-++-=，把③④代入整理：22222448(1)(1)(1)01414m km k k m m k k--++-+-=++，（有公因式m -1）继续化简得： (1)(53)0m m --=，35m -=或1m =（舍），综合斜率不存在的情况，直线AB 恒过定点3(0,)5N -． ………………………10分证法二：（先猜后证）由题意可知：(0,1)M ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ,如果直线AB 恒经过一定点，由椭圆的对称性可猜测此定点在y 轴上，设为(0,)N m ； 取特殊直线:1MA y x =+，则直线MB 的方程为1y x =-+，解方程组22141x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得点83(,)55A --，同理得点83(,)55B -，此时直线AB 恒经过y 轴上的点3(0,)5N -（只要猜出定点的坐标给2分）……2分 下边证明点3(0,)5N -满足条件0MA MB ⋅=当AB 的斜率不存在时，直线AB 方程为：0x =，点 A B 、 的坐标为(0,1)±，满足条件0MA MB ⋅=；………………………8分 当AB 的斜率存在时，设直线AB ：35y kx =-，联立方程组： 221435x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩①②，把②代入①得：222464(14)0525k k x x +--= 122245(14)k x x k +=+③，1226425(14)x x k -⋅=+④， 所以1212121288(1)(1)()()55MA MB x x y y x x kx kx ⋅=⋅+--=⋅+--21212864(1)()525k k x x x x =+-++2226482464(1)052525(14)5(14)k k k k k -=+⋅-⋅+=++………………………10分（3）ABM △面积MNA MNB S S S =+△△=1212MN x x -由第（2）小题的③④代入，整理得：2322514S k =⋅+……………………………12分 因N 在椭圆内部，所以k R ∈,可设2t ≥，23249t S t =+32(2)94t t t=≥+ ………………14分92542t t +≥，∴6425S ≤(0k =时取到最大值)．所以ABM △面积S 的最大值为6425． …………………………………………16分9.（2015闵行二模文22）已知两动圆2221:(F x y r +=和2222:((4)F x y r +=-（04r <<），把它们的公共点的轨迹记为曲线C ，若曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，且曲线C 上的相异两点A B 、满足：0MA MB ⋅=． （1）求曲线C 的方程；（2）若A 的坐标为(2,0)-，求直线AB 和y 轴的交点N 的坐标； （3）证明直线AB 恒经过一定点，并求此定点的坐标．【答案】[解]（1）设两动圆的公共点为Q ，则有：12124()QF QF F F +=>．由椭圆的定义可知Q 的轨迹为椭圆，2,a c ==C 的方程是：2214x y +=．…4分 （2）由条件0MA MB ⋅=，知道1MA MB k k =-,(0,1)M ，(2,0)A -∴MA k =12,MB k =2-,得直线MB : 21y x =-+, ………………………6分解方程组221421x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩可得1615(,)1717B -, ……………………………8分310AB k =-,直线AB :33105y x =--, 所以交点3(0,)5N -．………………………10分（3）证法一：由题意可知：(0,1)M ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ,当AB 的斜率不存在时，易知满足条件0MA MB ⋅=的直线AB 为：0x =过定点3(0,)5N -……………12分当AB 的斜率存在时，设直线AB ：y kx m =+，联立方程组：2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩①②，把②代入①有：222(14)8440k x kmx m +++-=……………14分 122814km x x k -+=+③，21224414m x x k -⋅=+④，因为0MA MB ⋅=，所以有1212(1)(1)0x x kx m kx m ⋅++-+-=，221212(1)(1)()(1)0k x x k m x x m +⋅+-++-=，把③④代入整理：22222448(1)(1)(1)01414m kmk k m m k k--++-+-=++，（有公因式m -1）继续化简得： (1)(53)0m m --=，35m -=或1m =（舍），综合斜率不存在的情况，直线AB 恒过定点3(0,)5N -． ………………………16分证法二：（先猜后证）由题意可知：(0,1)M ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ,如果直线AB 恒经过一定点，由椭圆的对称性可猜测此定点在y 轴上，设为(0,)N m ； 取特殊直线:1MA y x =+，则直线MB 的方程为1y x =-+，解方程组22141x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得点83(,)55A --，同理得点83(,)55B -，此时直线AB 恒经过y 轴上的点3(0,)5N -（只要猜出定点的坐标给2分）……12分 下边证明点3(0,)5N -满足条件0MA MB ⋅= 当AB 的斜率不存在时，直线AB 方程为：0x =，点 A B 、 的坐标为(0,1)±，满足条件0MA MB ⋅=；………………………14分 当AB 的斜率存在时，设直线AB ：35y kx =-，联立方程组： 221435x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩①②，把②代入①得：222464(14)0525k k x x +--=122245(14)k x x k +=+③，1226425(14)x x k -⋅=+④， 所以1212121288(1)(1)()()55MA MB x x y y x x kx kx ⋅=⋅+--=⋅+--21212864(1)()525k k x x x x =+-++2226482464(1)052525(14)5(14)k k k k k -=+⋅-⋅+=++………………………16分10．（2015浦东二模理22）已知直线l 与圆锥曲线C 相交于两点,A B ，与x 轴，y 轴分别交于D E 、两点，且满足1EA AD λ=、2EB BD λ=．（1）已知直线l 的方程为24y x =-，抛物线C 的方程为24y x =，求12λλ+的值；（2）已知直线():11l x my m =+>，椭圆22:12x C y +=，求1211λλ+的取值范围；（3）已知双曲线()222122222:10,0,x y a C a b a b bλλ-=>>+=，试问D 是否为定点？若是，求点D 的坐标；若不是，说明理由．【答案】解：（1）将42-=x y ，代入x y 42=，求得点()2,1-A ，()4,4B ，又因为()0,2D ，()4,0-E …2分由AD EA 1λ= 得到，()()2,12,11λ=()112,λλ=，11=λ，同理由2λ=得，22-=λ所以21λλ+=1-.………………………………………4分（2）联立方程组：⎩⎨⎧=-++=022122y x my x 得()012222=-++my y m ，21,22221221+-=+-=+m y y m m y y ，又点()⎪⎭⎫ ⎝⎛-m E D 1,0,0,1， 由AD EA 1λ= 得到1111y m y λ-=+，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=11111y m λ， 同理由2λ= 得到2221y m y λ-=+，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=22111y m λ， 21λλ+=4212)(122121-=⎪⎭⎫⎝⎛⋅+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-m m y y y y m ，即21λλ+4-=，……………6分 2121411λλλλ-=+12144λλ+=()42421-+=λ, …………………………………………8分 因为1>m ，所以点A 在椭圆上位于第三象限的部分上运动，由分点的性质可知()0,221-∈λ，所以()2,1121-∞-∈+λλ.…………………………………………10分（3）假设在x 轴上存在定点)0,(t D ，则直线l 的方程为t my x +=，代入方程12222=-by a x 得到:()()0222222222=-++-b a t mty b y a m b()22222221222221,2a m b b a t y y a m b mtb y y ---=--=+, 2221211a t mty y --=+ （1） 而由AD EA 1λ=、2λ=得到：⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=+-2121112)(y y m t λλ （2） 22212ba =+λλ （3）……………………………………………………………………12分由（1）（2）（3）得到：2222222ba a t mt m t -=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+，22b a t +±=， 所以点)0,(22b a D +±，………………………………………………………………14分 当直线l 与x 轴重合时，a t a +-=1λ，a t a -=2λ，或者at a -=1λ，a t a +-=2λ，都有222222122ba a t a =-=+λλ 也满足要求，所以在x 轴上存在定点)0,(22b a D +±.……………………………16分11．（2015浦东二模文22）已知直线l 与圆锥曲线C 相交于两点,A B ，与x 轴，y 轴分别交于D E 、两点，且满足1EA AD λ=、2EB BD λ=．（1）已知直线l 的方程为24y x =-，抛物线C 的方程为24y x =，求12λλ+的值； （2）已知直线():11l x my m =+>，椭圆22:12x C y +=，求1211λλ+的取值范围；（3）已知双曲线C ：1322=-y x ，621=+λλ，求点D 的坐标． 【答案】解：（1）将42-=x y ，代入x y 42=，求得点()2,1-A ，()4,4B ，又因为()0,2D ，()4,0-E …2分由AD EA 1λ= 得到，()()2,12,11λ=()112,λλ=，11=λ，同理由2λ=得，22-=λ所以21λλ+=1-.………………………………………4分（2）联立方程组：⎩⎨⎧=-++=022122y x my x 得()012222=-++my y m ，21,22221221+-=+-=+m y y m m y y ，又点()⎪⎭⎫ ⎝⎛-m E D 1,0,0,1， 由AD EA 1λ= 得到1111y m y λ-=+，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=11111y m λ， 同理由2λ= 得到2221y m y λ-=+，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=22111y m λ， 21λλ+=4212)(122121-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-m m y y y y m ，即21λλ+4-=，……………6分 2121411λλλλ-=+12144λλ+=()42421-+=λ, …………………………………………8分因为1>m ，所以点A 在椭圆上位于第三象限的部分上运动，由分点的性质可知()0,221-∈λ，所以()2,1121-∞-∈+λλ.…………………………………………10分（3）直线l 的方程为t my x +=，代入方程1322=-y x 得到:()()0323222=-++-t mty y m . 222⎝⎭=2 4（2）设,M a ka （），则(,)OM a ka =，(2,1),PM a ka =-- 6分由PM OM ⊥得0OM PM =,即(2)(1)0a a ka ka -+-=， 7分解得0a =（舍去），221ka k+=+，所以22222(,)11k k k M k k ++++ 8分S RP QDCBAO 22222001232211122111k k k k k kk k +-=+++++，2(21)(2)16215OPM k k S k -+==+ 9分 ①若12k ≥，则2(21)(2)1215k k k -+=+，化简得2215220k k -+=，解得2k =或112k = 10分②若102k <<，则2(12)(2)1215k k k -+=+，化简得2221520k k ++=，解得12k =-或211k =-，均不合题意.综上①②可得，k 的值为2或112. 11分（3）设(,)(,)(,)(0,0)T x yM a ka N b kb a b ->>、、，根据题意可知：OM =ON =22sin 1kMON k ∠=+ 12分 11sin 2MON S OM ON MON k=∠=，即21ab k =（*） 13分(),22a b k a b x y +-==，故22x a by a b k=+⎧⎪⎨=-⎪⎩， 14分变形得222444y x ab k -=（*） 将（*）带入（**）得，22221y x k k-=，即2221(0)k x y x -=> 15分故点T 的轨迹为双曲线2221k x y -=的右支. 16分12.（2015年徐汇二模文21理21）用细钢管焊接而成的花坛围栏构件如右图所示，它的外框是一个等腰梯形PQRS ，内部是一段抛物线和一根横梁．抛物线的顶点与梯形上底中点是焊接点O ，梯形的腰紧靠在抛物线上，两条腰的中点是梯形的腰、抛物线以及横梁的焊接点,A B ，抛物线与梯形下底的两个焊接点 为,C D ．已知梯形的高是40厘米，C D 、两点间的距离为40厘米．（1）求横梁AB 的长度; （2）求梯形外框的用料长度．（注:细钢管的粗细等因素忽略不计，计算结果精确到1厘米．）【答案】解：（1）如图，以O 为原点，梯形的上底所在直线为x 轴，建立直角坐标系 设梯形下底与y 轴交于点M ，抛物线的方程为：()220x py p =<由题意()20,40D -，得5p =-，210x y =-……….3’取20y x =-⇒=±()()20,20A B ---()28ABcm =≈ 答：横梁AB 的长度约为28cm ………………..6’（2）由题意，得梯形腰的中点是梯形的腰与抛物线唯一的公共点设(():200RQ l y k xk +=-<…..7’ (()2220101002010y k x x kx x y ⎧+=-⎪⇒+-=⎨=-⎪⎩则()210040020k k ∆=+=⇒=-:20RQ l y =-+…………..10’得()(),40Q R-OQ MR RQ ⇒===梯形周长为(()2141cm =≈答：制作梯形外框的用料长度约为141cm ……..14’13.（2015年杨浦文23理23） 已知抛物线x y C 4:2=的焦点F ，线段PQ 为抛物线C 的一条弦.（1）若弦PQ 过焦点F ，求证：11FP FQ+为定值； （2）求证:x 轴的正半轴上存在定点M ，对过点M 的任意弦PQ ，都有2211MP MQ +为定值； （3）对于（2）中的点M 及弦PQ ，设PM MQ λ=，点N 在x 轴的负半轴上，且满足()NM NP NQ λ⊥-， 求N 点坐标.【答案】解：（1）证明：),(),,(,2:),0,2(2211y x Q y x P pmy x l p F PQ +=设； ,0222222=--⇒⎪⎩⎪⎨⎧+==∴p pmy y p my x pxypmy p my p x p x FQ FP +++=+++=+∴212111212111 pm p m p p y y mp y y m p y y m 2)1()1(2)(2)(22222121221=++=+++++= 6分（2）),(),,(,:),0)(0,(2211y x Q y x P a my x l a a M PQ +=>设；,022222=--⇒⎩⎨⎧+==∴pa pmy y a my x px y pa y y pm y y 2,22121-=⋅=+∴ 22222221************222212122221212122)1(1)(2)(11)11(11)(1)(1)(1)(111a m pa m p p y y y y y y m y y m y my y my y a x y a x MQ MP ⋅++⋅=⋅⋅-++=++=+++=+-++-=+∴2211MQ MP + 为定值 当a pp MQ MP m ⋅=+=2221110时， 当2222221111a pap p MQ MP m +⋅=+=时， 由p a a pap p a p p =+⋅=⋅得2222211 取)0,(p M 代入验证，则221212,2p y y pm y y -=⋅=+∴222222221)1()1(111p p m m p p MQ MP =⋅++⋅=+∴为定值，得证。
北京2015初中二模几何汇总及答案
EF OA BCD1昌平.如图，在平行四边形ABCD 中，AB =5，BC =12，对角线交于点O ，∠BAD 的平分线交BC 于E 、交BD 于F ，分别过顶点B 、D 作AE 的垂线，垂足为G 、H ，连接OG 、OH ． （1）补全图形； （2）求证：OG =OH ；（3）若OG ⊥OH ，直接写出∠OAF 的正切值．2朝阳．数学活动课上，老师提出这样一个问题:如果AB =BC ,∠ABC =60°,∠APC =30°,连接PB ，那么P A 、PB 、PC 之间会有怎样的等量关系呢？ 经过思考后，部分同学进行了如下的交流：小蕾：我将图形进行了特殊化，让点P 在BA 延长线上（如图1），得到了一个猜想: P A 2+PC 2=PB 2 .小东：我假设点P 在∠ABC 的内部，根据题目条件，这个图形具有“共端点等线段”的特点，可以利用旋转解决问题，旋转△P AB 错误！未找到引用源。
后得到△P′CB ,并且可推出△PBP′ ,△PCP ′ 错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
分别是等边三角形、直角三角形，就能得到猜想和证明方法. 这时老师对同学们说，请大家完成以下问题： （1）如图2，点P 在∠ABC 的内部，①P A =4，PC =23，PB= .②用等式表示P A 、PB 、PC 之间的数量关系，并证明.（2）对于点P 的其他位置，是否始终具有②中的结论？若是，请证明；若不是，请举例说明.图1图23东城. 如图1，在ABC Rt △中，90ACB ∠=︒，E 是边AC 上任意一点(点E 与点A ，C 不重合)，以CE 为一直角边作ECD Rt △，90ECD ∠=︒，连接BE ，AD . (1) 若CA CB =，CE CD =，①猜想线段BE ，AD 之间的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论； ②现将图1中的ECD Rt △绕着点C 顺时针旋转锐角α，得到图2，请判断①中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；若8CA =，6CB =，3CE =，4CD =，ECD Rt △绕着点C 顺时针旋转锐角α，(2) 如图3，连接BD ，AE ，计算22BD AE +的值.4海淀．如图1，在△ABC 中，AB =AC ，∠ABC =α，D 是BC 边上一点，以AD 为边作△ADE ，使AE =AD ，DAE ∠+BAC ∠=180°． （1）直接写出∠ADE 的度数（用含α的式子表示）； （2）以AB ，AE 为边作平行四边形ABFE ，①如图2，若点F 恰好落在DE 上，求证：BD =CD ； ②如图3，若点F 恰好落在BC 上，求证：BD =CF ．ECAB DFEBCAD图3DEBACFEBCA D图1 图2 图35门头沟 ．如图1，在△ABC 中，CA =CB ，∠ACB =90°，D 是△ABC 内部一点，∠ADC =135°，将线段CD 绕点C 逆时针旋转90°得到线段CE ，连接DE ． （1）① 依题意补全图形；② 请判断∠ADC 和∠CDE 之间的数量关系，并直接写出答案．（2）在（1）的条件下，连接BE ，过点C 作CM ⊥DE ，请判断线段CM ，AE 和BE 之间的数量关系，并说明理由．（3）如图2，在正方形ABCD 中，AB =2，如果PD =1，∠BPD =90°，请直接写出点A 到BP 的距离．DAB CPDC AB图1 图26顺义．如图，△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，边BA 绕点B 顺时针旋转α角得到线段BP ，连结P A ，PC ，过点P 作PD ⊥AC 于点D ． （1）如图1，若α=60°，求∠DPC 的度数； （2）如图2，若α=30°，直接写出∠DPC 的度数；（3）如图3，若α=150°，依题意补全图，并求∠DPC 的度数．图3PCABDD图2图1ABPC B CPA7西城．正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE=DF．连接BF，作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH.（1）如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是；（2）如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由；（3）如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．8丰台．已知△ABC是锐角三角形，BA=BC，点E为AC边的中点，点D为AB边上一点，且∠ABC=∠AED=α．（1）如图1，当α=40°时，∠ADE= °；（2）如图2，取BC边的中点F，联结FD，将∠AED绕点E顺时针旋转适当的角度β(β<α)，得到∠MEN，EM与BA的延长线交于点M，EN与FD的延长线交于点N．①依题意补全图形；②猜想线段EM与EN之间的数量关系，并证明你的结论．A BECD DCEBA9石景山．如图1，点O 为正方形ABCD 的中心． （1）将线段OE 绕点O 逆时针方向旋转︒90，点E 的对应点为点F ，连结EF ，AE ，BF ，请依题意补全图1；（2）根据图1中补全的图形，猜想并证明AE 与BF 的关系；（3）如图2，点G 是OA 中点，△EGF 是等腰直角三角形，H 是EF 的中点，︒=∠90EGF ，22AB =，2=GE ，△EGF 绕G 点逆时针方向旋转α角度，请直接写出旋转过程中BH 的最大值．10平谷．对某一种四边形给出如下定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．（1）已知：如图1，四边形ABCD 是“等对角四边形”，∠A ≠∠C ，∠A =70°，∠B =80°．则∠C = 度，∠D = 度． （2）在探究“等对角四边形”性质时：小红画了一个“等对角四边形ABCD ”（如图2），其中∠ABC =∠ADC ，AB =AD ，此时她发现CB =CD 成立．请你证明此结论；（3）已知：在“等对角四边形ABCD ”中，∠DAB =60°，∠ABC =90°，AB =5，AD =4．求对角线AC 的长．11怀柔．在△ABC 内侧作射线AP ，自B ，C 分别向射线AP 引垂线，垂足分别为D ，E,M 为BC 边中点，连接MD ，ME. （1）依题意补全图1； （2）求证：MD=ME ； （3）如图2，若射线AP 平分∠BAC ，且AC>AB ，求证：MD=1()2AC AB -.OBDC AEC B H EFGODA图1ACDB图2B DA CPC BA M 图1图2P CBAMa HFEDABC12房山.在△ABC 中，AB ＝BC=2，∠ABC ＝90°，BD 为斜边AC 上的中线，将△ABD 绕点D 顺时针旋转α(0°＜α＜180°)得到△EFD ，其中点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F . BE 与FC 相交于点H .（1）如图1，直接写出BE 与FC 的数量关系：____________; （2）如图2，M 、N 分别为EF 、BC 的中点.求证：MN =22FC ; （3）连接BF ，CE ，如图3，直接写出在此旋转过程中，线段BF 、CE 与AC 之间的数量关系： .13通州．如图①，∠MON =60°，点A ，B 为射线OM ，ON 上的动点（点A ，B 不与点O 重合），且AB =34，在∠MON 的内部、△AOB 的外部有一点P ，且AP =BP ，∠APB =120°． （1）求AP 的长；（2）求证：点P 在∠MON 的平分线上；（3）如图②，点C ，D ，E ，F 分别是四边形AOBP 的边AO ，OB ，BP ，P A 的中点，连接CD ，DE ，EF ，FC ，OP ． 当AB ⊥OP 时，请直接．．写出四边形CDEF 周长的值．图① 图②图2a H FEMNDA BC图1aH FEDABC图 3N MO A BP EFDC NOMA BP1昌平．解：（1）HG E FODCBA……………………… 1分（2）PHG E FODCBA证明：如图，延长AE 、DC 交于点P ．∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AD //BC ，AB //CD ．∴ ∠ DAE =∠ AEB ，∠ BAE =∠ DP A ． …………… 2分 ∵ AE 平分∠ BAD ， ∴ ∠ DAE =∠ BAE ，∴ ∠ BAE =∠ AEB ，∠ DAE =∠ DP A ．∴ BA =BE ，DA =DP ， …………………… 3分 又 ∵ BG ⊥ AE ，DH ⊥ AE ，∴ G 为AE 中点，H 为AP 中点． …………… 4分 又 ∵O 为AC 中点，AD =BC ， ∴ ()()111222OG CE BC BE AD AB ==-=-，()()111222OH CP DP CD AD AB ==-=- ． ……… 5分∴ OG =OH ． ………………… 6分（3）717． ……………………………………………………… 7分2朝阳. （1）①72；……………………………………………………………………………1分图1CGF EBAD②222PB PC PA =+. …………………………………………………………2分 证明：作∠PBP ′＝∠ABC ＝60°，且使BP ′＝BP ，连接P ′C 、P ′P . ……………3分 ∴∠1＝∠2. ∵AB ＝CB ，∴△ABP ≌△CBP′. …………………………4分 ∴P A ＝P ′C ，∠A ＝∠BCP ′. 在四边形ABCP 中，∵∠ABC ＝60°，∠APC ＝30°， ∴∠A ＋∠BCP ＝270°. ∴∠BCP ′＋∠BCP ＝270°.∴∠PCP ′＝360°－(∠BCP ′＋∠BCP )＝90°. ……………………………………5分 ∵△PBP ′是等边三角形. ∴PP ′＝PB .在Rt △PCP ′中，222''P P PC C P =+.……………………………………………6分 ∴222PB PC PA =+.（2）点P 在其他位置时，不是始终具有②中猜想的结论，举例： 如图，当点P 在CB 的延长线上时，结论为222PC PB PA =+. （说明：答案不惟一）……………………………………………………………………………………………7分3东城①解BE AD =，BE AD ⊥；……2分②∴BE AD ⊥.……4分BE AD =，BE AD ⊥仍然成立；证明：设BE 与AC 的交点为点F ，BE 与AD 的交点为点G ，如图1.∵90ACB ECD ∠=∠=︒， ∴ACD BCE ∠=∠. 在ACD △和BCE △中，,,,AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACD BCE △≌△.∴AD BE =，CAD CBE ∠=∠.……3分 ∵BFC AFG ∠=∠，90BFC CBE ∠+∠=︒， ∴90AFG CAD ∠+∠=︒. ∴90AGF ∠=︒.（2）证明：设BE 与AC 的交点为点F ，BE 的延长线与AD 的交点为点G ，如图2. ∵90ACB ECD ∠=∠=︒， ∴ACD BCE ∠=∠.∵8CA =，6CB =，3CE =，4CD =，∴43CA CD CB CE ==. ∴ACD BCE △∽△.……5分∴CAD CBE ∠=∠.∵BFC AFG ∠=∠，90BFC CBE ∠+∠=︒， ∴90AFG CAD ∠+∠=︒. ∴90AGF ∠=︒. ∴BG AD ⊥.……6分 ∴90AGE BGD ∠=∠=︒.∴222AE AG EG =+，222BD BG DG =+. ∴222222BD AE AG EG BG DG +=+++.∵222AG BG AB +=，222EG DG ED +=，∴22222222125BD AE AB ED CA CB CD CE +=+=+++=.……4海淀（1）∠ADE =90α︒-．………………………………………………………….…1分 （2）①证明：∵四边形ABFE 是平行四边形， ∴AB ∥EF ．∴EDC ABC α∠=∠=．…………………………….……2分 由（1）知，∠ADE =90α︒-，∴90ADC ADE EDC ∠=∠+∠=︒．…………………...……3分 ∴AD ⊥BC ． ∵AB =AC ， ∴BD =CD ．………………………………………………..……………4分②证明：∵AB =AC ，∠ABC =α， ∴C B α∠=∠=．∵四边形ABFE 是平行四边形， ∴AE ∥BF , AE =BF ． ∴EAC C α∠=∠=．……………………………………………………………5分由（1）知，2DAE α∠=，∴DAC α∠=．…………………………………………………………………………6分 ∴DAC C ∠=∠． ∴AD =CD ． ∵AD =AE =BF ， ∴BF =CD ．∴BD =CF ．…………………………………………………………………7分5门头沟解：（1）① 依题意补全图形（如图）；…………………………………………1分② ∠ADC +∠CDE =180°．……………………………………………2分 （2）线段CM ，AE 和BE 之间的数量关系是AE =BE +2CM ，理由如下： ∵ 线段CD 绕点C 逆时针旋转90°得到线段CE ，∴ CD =CE ，∠DCE =90°．∴ ∠CDE =∠CED =45°． 又∵ ∠ADC =135°， ∴ ∠ADC +∠CDE =180°，∴ A 、D 、E 三点在同一条直线上.∴ AE =AD +DE .…………………………………………………………3分 又∵ ∠ACB =90°，∴ ∠ACB －∠DCB =∠DCE －∠DCB ，F EB CADF EBCA D MD A B C E即∠ACD=∠BCE．又∵AC=BC，CD=CE，∴△ACD≌△BCE．∴AD=BE．………………………………………………………………4分∵CD=CE，∠DCE=90°，CM⊥DE．∴DE=2CM．…………………………………………………………5分∴AE=BE+2CM．……………………………………………………6分（3）点A到BP 的距离为312-．…………………………………………7分6顺义（1）∵边BA绕点B顺时针旋转α角得到线段BP，∴BA= BP，∵α=60°，∴△ABP是等边三角形，..................................1分∴∠BAP=60º，AP= AC，又∵∠BAC=90°，∴∠P AC=30º，∠ACP=75º，∵PD⊥AC于点D，∴∠DPC=15º．....................................................................2分（2）结论：∠DPC=75º．..................................................3分（3）画图.............................................................................4分过点A作AE⊥BP于E．∴∠AEB=90º，∵∠ABP=150°，∴∠1=30º，∠BAE=60º，又∵BA= BP，∴∠2=∠3=15º，∴∠P AE=75º，∵∠BAC=90°，∴∠4=75º，∴∠P AE=∠4，∵PD⊥AC于点D，∴∠AEP=∠ADP =90º，∴△APE≌△APD，..............................................................5分∴AE= AD，在Rt△ABE中，∠1=30º，∴12AE AB=，又∵AB=AC，∴1122AE AD AB AC ===，∴AD=CD，又∵∠ADP=∠CDP=90º，4123EDBAC P321EAPCBD∴△ ADP ≌△CDP ，.............................................................6分 ∴∠DCP =∠4=75º， ∴∠DPC =15º．.......................................................................7分 另法：作平行，构造平行四边形．7西城．解：（1）CH=AB ． ………………………………… 1分 （2）结论成立．………………………………… 2分证明：如图11，连接BE ． 在正方形ABCD 中，AB=BC=CD=AD ，∠A=∠BCD=∠ABC=90°． ∵ DE=DF ， ∴ AF=CE ．在△ABF 和△CBE 中，,,,AB CB A BCE AF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ABF ≌△CBE ．∴ ∠1=∠2．……………………………………3分 ∵ EH ⊥BF ，∠BCE =90°，∴ H ，C 两点都在以BE 为直径的圆上． ∴ ∠3=∠2． ∴ ∠3=∠1． ∵ ∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC =90°， ∴ ∠4=∠HBC ．∴ CH=CB ．……………………………………… 5分 ∴ CH=AB ．…………………………………… 6分（3）323+．………………………………………………7分8丰台. 解：（1）°70ADE ∠=；…….1分 （2）①见右图；…….2分 ②EM EN =．…….3分证明：∵ABC AED α∠=∠=，BAC BAC ∠=∠．∴°902EDA ACB α∠=∠=-．∵BA BC =，E APCBD EDBACP图10图11∴ACB BAC ∠=∠，即EDA BAC ∠=∠． ∴EA ED = . …….4分∵E 是AC 中点，∴EA EC =． ∴EA EC ED ==．∴点,,A D C 在以AC 为直径的圆上．∴°90ADC ∠=．. …….5分 而°°°°180180(90)9022EAM EAD αα∠=-∠=--=+．∵点F 是BC 中点，∴FD FB =．∴FDB ABC α∠=∠=．∴°°909022EDN EDA ADN EDA FDB ααα∠=∠+∠=∠+∠=-+=+.∴EAM EDN ∠=∠．…….6分 ∵ ∠AED 绕点E 顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN ， ∴ ∠AED=∠MEN ， ∴∠AED - ∠AEN=∠MEN -∠AEN ，即 ∠MEA=∠NED ． ∴ ΔEAM ≌ΔEPN ． ∴ EM=EN ．…….7分9石景山．解：（1）正确画出图形；………………1分（2）延长EA 交OF 于点H ，交BF 于点G …2分 ∵O 为正方形ABCD 的中心， ∴OB OA =，∠AOB ＝90……3分 ∵OE 绕点O 逆时针旋转90角得到OF ∴OF OE =∴∠AOB ＝∠EOF ＝90∴∠EOA ＝∠FOB ……4分 在△EOA 和△FOB 中，OF OE =，OB OA =，∠EOA ＝∠FOB ， ∴△EOA ≌△FOB ∴BF AE =.……5分 ∴∠OEA ＝∠OFB∵∠OEA +∠OHA ∴∠OFB +∠FHG =90 ∴AE ⊥BF ……6分 （3）BH 的最大值为25+……8分10平谷．解：（1）∠D=80°， (1)∠C=130°； (2)（2）①如图2，连接BD，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB． (3)∵∠ABC=∠ADC，∴∠ABC﹣∠ABD=∠ADC﹣∠ADB．∴∠CBD=∠CDB．∴CB=CD． (4)（3）（Ⅰ）如图，当∠ADC=∠ABC=90°时，延长AD，BC相交于点E，∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=5，∴AE=10．∴DE=AE﹣AD=10﹣4═6． (5)∵∠EDC=90°，∠E=30°，∴CD =23．∴AC =27． (6)（Ⅱ）如图，当∠BCD=∠DAB=60°时，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，∵DM⊥AB，∠DAB=60°，AD=4，∴AM=2，DM =23．∴BM=AB﹣AM=5﹣2=3． (7)∵四边形BNDM是矩形，∴DN=BM=3，BN=DM =23．∵∠BCD=60°，∴CN =3．∴BC=CN+BN =33．∴AC =213． (8)即AC =27或213．11怀柔．解：（1）补全图形，如图1所示.………1分（2）延长DM交CE于点F.∵BD、CE分别垂直AP于点D、E.∴BD∥CE.，∴∠1= ∠2.∵M为BC边中点，∴BM=CM, 又∵∠DMB= ∠FMC,∴△DMB≌△FMC (ASA)，∴DM=FM.∵∠DEF=90°.∴EM=12 DF,∴MD=ME.……………………………4分（3）延长BD交AC于点G.………………… 5分∵BD⊥AP于点D，射线AP平分∠BAC,∴△A DB≌△ADG (ASA)，ECDBANMCDA B21FEDCBAPM图1图1PEDMAB C∴BD=DG,AB=AG.又∵△DMB ≌△FMC, ∴BD=CF ，DM=MF, ∴CF=DG, 又∵BG ∥CF,∴四边形DFCG 为平行四边形. ∴DF=CG, ∴2MD=CG, ∴2MD=AC-AB, ∴MD=12(AC-AB). ……………………………7分 12房山.（1）=BE CF ． ………………………………………………………………2分（2）证明：如图2，∵AB =BC ，∠ABC =90°，BD 为斜边中线 ∴BD =AD =CD =12AC ，BD ⊥AC∵ △EFD 是由△ABD 旋转得到的，∴DE =DF =DB =DC ，∠EDF =∠ADB =∠BDC =90° ∴∠EDF +∠BDF =∠BDC +∠BDF ，即∠BDE =∠FDC ∴△BDE ≌△FDC ∴BE =FC 且∠1=∠2 又∵∠3=∠4∴FHE FDE ︒==90∠∠ ,即BE CF ⊥…………………………………………3分 连接BF ，取BF 中点G ，连接MG 、NG . ∵M 为EF 中点，G 为BF 中点，N 为BC 中点 ∴MG ∥BE ，MG =12BE ；NG ∥FC ，NG =12FC又∵EB =FC ，BE ⊥FC ∴MG =NG ，∠MGN =90° ∴△MGN 为等腰直角三角形 ∴MN =22FC …………………………………………………………………5分 （3）222BF CE AC += ……………………………………………………………7分13通州.解：⑴在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 上的中线， ∴12CD AB =， ∴CD =BD ．∴∠BCE ＝∠ABC ．……………………………….(1分) ∵BE ⊥CD ，P GME DCBAF∴∠BEC＝90°，∴∠BEC＝∠ACB．……………………………….(2分)∴△BCE∽△ABC．∴E是△ABC的自相似点．………………………….(3分)⑵①作图略．（方法不唯一）……………………….(5分)②连接PB、PC．∵P为△ABC的内心，∴12PBC ABC∠=∠，12PCB ACB∠=∠．∵P为△ABC的自相似点，∴△BCP∽△ABC．∴∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC=2∠PBC =2∠A，∠ACB＝2∠BCP=4∠A．∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°．∴∠A+2∠A+4∠A＝180°．∴1807A∠=．∴该三角形三个内角的度数分别为1807、3607、7207．…………….(6分)。
2013年春季学期几何光学作业2答案
解得
分别将 和 代入公式 ，可得 ，
对于薄透镜有 成立，故可得
即 ，
3、有一正薄透镜对某一物成倒立的实像，像高为物高的一半，今将物面向透镜移近100毫米，则所得像与物同大小，求该正薄透镜的焦距。
解：因为 ，
所以
（1）若d不变时， 变而 不变，则 。系统构成无焦系统，此时
（2）若 不变，d改变时而 不变，则 。即物位于第一个透镜的物方焦平面上。
5、一薄透镜焦距为100毫米，和另一焦距为50毫米的薄透镜组合，其组合焦距仍为100毫米，问两薄透镜的相对位置，并求基点位置，以图解法校核之。
Hale Waihona Puke 解：因为1、设一系统位于空气中，垂轴放大率为β=－10，共轭距离为7200毫米，物镜两焦点间距离为1140毫米。求该物镜焦距，并绘出基点位置图。
解：设系统结构如下图，HH’间的距离为d。
因系统位于空气中，故有 ，由已知条件可得如下方程组
解得 ， 。该系统的实际基点基面位置如下图所示。
2、一个薄透镜对某一物体成一实像，放大率为－1×，今以另一个薄透镜紧贴在第一透镜上，则见像向透镜方向移动20毫米，放大率为原先的3／4倍，求两块透镜的焦距为多少？
解：
由高斯公式有：
4、试推导透镜的焦距公式。
解：把透镜的两个折射球面看成两个独立的光组，利用单个折射球面的成像公式：
设透镜放在空气中，有 ，透镜材料折射率为 ,即 。
当 无穷大时， ，有：
当 时， ，有：
当 无穷大时， ，有：
当 时， ，有：
又有光学间隔 ，可得
高考数学二模专题试题2015年高三二模汇编——解析几何
2015年高三二模汇编——解析几何一、填空题1.（2015崇明二模文6理6）设直线0132=++y x 和圆22230x y x +--=相交于点A 、B ，则弦AB 的垂直平分线方程是 ． 【答案】0323=--y x ；2.（2015崇明二模文12理11）已知双曲线2212y x -=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上且120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r ，则点M 到x 轴的距离等于 ． 【答案】332； 3. （2015奉贤二模文6理6）以抛物线x y 42=的焦点F 为圆心，与抛物线的准线相切的圆的标准方程为__________．【答案】()4122=+-y x ；4. （2015奉贤二模理11）关于x 的实系数一元二次方程2240x px -+=的两个虚根1z 、2z ，若1z 、2z 在复平面上对应的点是经过原点的椭圆的两个焦点，则该椭圆的长轴长为__________．【答案】4；5. （2015奉贤二模文13）设12,F F 是曲线()0,012222>>=+n m ny m x 的两个焦点，曲线上一点与12,F F 构成的三角形的周长是16，曲线上的点到1F 的最小距离为2，则=n ____________．【答案】4或5；6. （2015虹口二模文8）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点在圆22(1)4x y -+=上，则p =________. 【答案】67. （2015虹口二模理11文11）如图所示，已知12,F F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，且122F F =，若以坐标原点O 为圆心，12F F 为直径的圆与该双曲线的左支相交于,A B角形，则双曲线的实轴长为__________.18. （2015虹口二模文13）已知直线1:125150l x y -+=和2:2,l x =-28P y x =点为抛物线上的动点，则1P l 点到直线2l 和直线的距离之和的最小值为_________.【答案】39．（2015黄浦二模文8理8）已知点(2,3)(1,4)A B --、，则直线AB 的点法向式方程是 ．【答案】7(2)3(3)0 7(1)3(4)0x y x y ++-=-++=也可以是；22246510第6题y xA O FB10．（2015黄浦二模文9理9）已知抛物线216y x =的焦点与双曲线2221(0)12x y a a -=>的一个焦点重合，则双曲线的渐近线方程是 ． 【答案】3y x =?；11．（2015静安二模文9）圆22420x y x y +-+=的圆心到直线3430x y ++=的距离为 ． 【答案】1；12.（2015静安二模理9）过圆0422=+-+my x y x 上一点)1,1(P 的切线方程为 ． 【答案】210x y -+=；13.（2015闵行二模理11文11）斜率为22的直线与焦点在x 轴上的椭圆2221(0)y x b b+=>交于不同的两点P 、Q .若点P 、Q 在x 轴上的投影恰好为椭圆的两焦点，则该椭圆的焦距为 .【答案】2；14.（2015闵行二模理13）如图，已知点(2,0)P ，且正方形ABCD 内接于O e ：221x y +=， M 、N 分别为边AB 、BC 的中点.当正方形ABCD 绕圆心O 旋转时，PM ON ⋅u u u u r u u u r的取值范围为 ． 【答案】2,2⎡⎤-⎣⎦；15．（2015浦东二模理6文6）已知直线0243=++y x 与圆()2221r y x =+-相切，则该圆的半径大小为 ． 【答案】116．（2015普陀二模理6文6）如图，若,66π∠=⋅=-u u u r u u u r OFB OF FB ，则以OA 为长半轴，OB 为短半轴，F 为左焦点的椭圆的标准方程为 ．【答案】22182x y +=；17．（2015徐汇二模理3文3）已知直线l 的一个法向量是()1,3n =-r，则此直线的倾斜角的大小为 ． 【答案】6π18．（2015徐汇二模理14文14）对于曲线C 所在平面上的定点0P ，若存在以点0P 为顶点的角α，使得0AP B α≥∠对于曲线C 上的任意两个不同的点B A ,恒成立，则称角α为曲线C 相对于点0P 的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线C 相对于点0P 的“确界角”．曲线⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+=)0(12)0(1:22x x x x y C 相对于坐标原ABDyCNMO是 ． 【答案】2π 19.（2015闸北二模文9理8）从双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于点P ，若M 是线段FP 的中点，O 为原点，则MO MT -的值是____________． 【答案】b a -20．（2015长宁二模文2理2）抛物线28x y =的焦点到准线的距离是______________． 【答案】4二、选择题1. （2015虹口二模理17）如图所示，PAB ∆所在平面α和四边形ABCD 所在的平面β互相垂直，且AD α⊥， BC α⊥，4AD =，8BC =，6AB =，若tan 2tan 1ADP BCP ∠-∠=，则动点P在平面α内的轨迹是（ ）A.线段B.椭圆的一部分C.抛物线D.双曲线的一部分【答案】D2. （2015虹口二模理18）已知F 为抛物线24y x =的焦点，,,A B C 为抛物线上的三点，O 为坐标原点， F 若为ABC ∆的重心，,,OFA OFB OFC ∆∆∆面积分别记为123,,S S S ， 则222123S S S ++的值为（ ）A.3B.4C.6D.9【答案】A3．（2015浦东二模理17文17）若直线30ax by +-=与圆223x y +=没有公共点，设点P 的坐标(,)a b ，则过点P 的一条直线与椭圆22143x y +=的公共点的个数为 ( ) )(A 0 )(B 1)(C 2 )(D 1或2 【答案】C4．（2015长宁二模文17）设双曲线12222=-by a x （0>a ，0>b ）的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为……………………………………………………………………………（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C三、解答题1.（2015崇明二模理22文22）已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F 与x 轴不垂直的直线交椭圆于,P Q 两点． （1）求椭圆的方程；x y 2±=x y 2±=x y 22±=x y 21±=βαP BADC4（2）当直线l 的斜率为1时，求POQ ∆的面积；（3）在线段OF 上是否存在点(,0)M m ，使得以,MP MQ 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】解（1）设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x根据题意得1==c b 所以2222=+=c b a 所以椭圆方程为1222=+y x （2）根据题意得直线方程为1:-=x y l解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+11222x y y x 得Q P ,坐标为)31,34(),1,0(-计算324=PQ 点O 到直线PQ 的距离为22 所以，32=∆OPQ S（3）假设在线段OF 上存在点)10)(0,(<<m m M ，使得以,MP MQ 为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与x 轴不垂直，所以设直线的方程为)0)(1(≠-=k x k y ．Q P ,坐标为),(),,(2211y x y x 由⎩⎨⎧-==+)1(2222x k y y x 得，0224)21(2222=-+-+k x k x k 222212221212,214kk x x k k x x +=⋅+=+- 计算得：),(),,(2211y m x y m x -=-=，其中021≠-x x 由于以,MP MQ=计算得421x x m += 即2221214k k x x m +=+=，)0(≠k 所以210<<m2.（2015奉贤二模理21文21）平面直角坐标系中，点()0,2-A 、()0,2B ，平面内任意一点P 满足：直线PA 的斜率1k ，直线PB 的斜率2k ，4321-=k k ，点P 的轨迹为曲线1C ．双曲线2C 以曲线1C 的上下两顶点N M ,为顶点，Q 是双曲线2C 上不同于顶点的任意一点，直线QM 的斜率3k ，直线QN 的斜率4k ． （1）求曲线1C 的方程；(5分)（2）如果04321≥+k k k k ，分别求双曲线2C 的两条渐近线倾斜角的取值范围．(9分) 【答案】（1）()22123,1222443y y x y k k x x x =⋅=-∴+=≠±+-Q 5分 （2）设双曲线方程为()222103y x b b -=> 6分 ()00,Q x y 在双曲线上，所以()22002103y x b b-=>20342200033y k k x b -===Q 8分 2330,024b b∴-+≥∴<< 9分330,024b b-+≥∴<≤ 10分焦距是 12分∴ 14分3.（205虹口二模文22理22）已知圆()221:18F x y ++=，点()21,0F ，点Q 在圆1F 上运动，2QF 的垂直平分线交1QF 于点P .（1）求动点P 的轨迹的方程C ；（2）设,M N 分别是曲线C 上的两个不同点，且点M 在第一象限，点N 在第三象限，若122OM ON OF +=u u u u r u u u r u u u r ，O 为坐标原点，求直线MN 的斜率；（3）过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线l 交曲线C 于,A B 两点，在y 轴上是否存在定点T ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点T 的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】解：（1）因为2QF 的垂直平分线交1QF 于点P . 所以2PF PQ =，从而1211122,PF PF PF PQ FQ F F +=+==>= 所以，动点P 的轨迹C 是以点12F F 、为焦点的椭圆 设椭圆的方程为12222=+bya x ，则22,222==c a ，1222=-=c ab ， 故动点P 的轨迹C 的方程为 2212x y += ……5分（2）设1122(,),(,)M a b N a b 1122(0,0,0,0)a b a b >><<，则2222112222,22a b a b +=+= ①因为122OM ON OF +=u u u u r u u u r u u u r，则121222,20a a b b +=-+= ② 由①、② 解得112215,,,2448a b a b ===-=-……8分 所以直线MN 的斜率MNk 2121b b a a -==- . ……10分（3）设直线l 的方程为1,3y kx =-则由221312y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得229(21)12160,k x kx +--= 由题意知，点1(0,)3S -在椭圆C 的内部，所以直线l 与椭圆C 必有两个交点，设11(,)A x y 、 22(,)B x y ，则121222416,.3(21)9(21)k x x x x k k +==-++ ……12分6假设在y 轴上存在定点(0,)T m 满足题设，则1122(,),(,),TA x y m TB x y m =-=-u u r u u r因为以AB 为直径的圆恒过点T , 所以1122(,)(,)0,TA TB x y m x y m ⋅=-⋅-=u u r u u r即1212()()0()x x y m y m +--=*……14分 因为112211,,33y kx y kx =-=-故()*可化为2121212221212()121(1)()()339x x y y m y y m k x x k m x x m m +-++=+-+++++2222222216(1)1421()9(21)33(21)3918(1)3(325)9(21)k k k m m m k k m k m m k +=--+⋅+++++-++-=+由于对于任意的R k ∈,0,TA TB ⋅=u u r u u r 恒成立，故2210,3250m m m ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩ 解得 1m =. 因此，在y 轴上存在满足条件的定点T ，点T 的坐标为(0,1). …… 16分4.（2015黄浦二模理23）已知点()1F、)2F ，平面直角坐标系上的一个动点(),P x y 满足124PF PF +=u u u r u u u u r，设动点P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的轨迹方程；（2）点M 是曲线C 上的任意一点，GH 为圆()22:31N x y -+=的任意一条直径，求MG MH ⋅u u u u r u u u u r 的取值范围；（3）已知点,A B 是曲线C 上的两个动点，若OA OB ⊥u u u r u u u r（O 是坐标原点），试证明：直线AB 与某个定圆 恒相切，并写出定圆的方程．【答案】解(1)依据题意，动点(,)P x y4=.又12||4F F =，因此，动点(,)P x y 的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，且24,2a b c =⎧⎪=⎨=⎪⎩ 所以，所求曲线C 的轨迹方程是22142x y +=． (2) 设00(,)M x y 是曲线C 上任一点．依据题意，可得,MG MN NG MH MN NH =+=+u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r．Q GH 是直径，∴NH NG =-u u u u r u u u r ．又||=1NG u u u r，22=()()=()() =||||.MG MH MN NG MN GH MN NG MN NG MN NG ∴⋅+⋅++⋅--u u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u ru u u u r u u u r∴22200||(3)(0)MN x y =-+-u u u u r ＝201(6)72x --．由22142x y +=，可得22x -≤≤，即022x -≤≤．2221||25||||24MN MN NG ∴≤≤≤-≤u u u u r u u u u r u u u r ，0． ∴MG MH ⋅u u u u r u u u u r 的取值范围是024MG MH ≤⋅≤u u u u r u u u u r．(另解21||25MN ≤≤u u u u r ：结合椭圆和圆的位置关系，有||||||||||||OM ON MN OM ON -≤≤+(当且仅当M N O 、、共线时，等号成立)，于是有1||5MN ≤≤．)(3)证明 因A B 、是曲线C 上满足OA OB ⊥的两个动点，由曲线C 关于原点对称，可知直线AB 也关于原点对称．若直线AB 与定圆相切，则定圆的圆心必在原点．因此，只要证明原点到直线AB 的距离(d )是定值即可． 设12||,||OA r OB r ==，点11(cos ,sin )A r r θθ，则 2222(cos(),sin())(sin ,cos )22B r r r r ππθθθθ++=-． 利用面积相等，有11||||||22OA OB AB d ⋅=⋅，于是2221222122211111r r d r r r r ==++． 又A B 、两点在曲线C 上，故222211222222cos sin 1,42sin cos 1.42r r r r θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 可得22212222cos sin 1,42sin cos 1.42r r θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩因此，22121134r r +=． 所以，243d =，即d为定值3．所以，直线AB 总与定圆相切，且定圆的方程为：2243x y +=． 5.（2015黄浦二模文23）已知点12(F F 、，平面直角坐标系上的一个动点(,)P x y 满足12||+||=4PF PF u u u r u u u u r．设动点P 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的轨迹方程；（2）点M 是曲线C 上的任意一点，GH 为圆22:(3)1N x y -+=的任意一条直径，求MG MH ⋅u u u u r u u u u r 的取值范围；（3）已知点A B 、是曲线C 上的两个动点，若OA OB ⊥u u u r u u u r(O 是坐标原点)，试证明：原点O 到直线AB 的距离是定值．【答案】解(1)依据题意，动点(,)P x y4=.又12||4F F =，因此，动点(,)P x y 的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，且24,2a b c =⎧⎪=⎨=⎪⎩ 所以，所求曲线C 的轨迹方程是22142x y +=． (2) 设00(,)M x y 是曲线C 上任一点．依据题意，可得,MG MN NG MH MN NH =+=+u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r．Q GH 是直径，∴NH NG =-u u u u r u u u r ．又||=1NG u u u r，22=()()=()() =||||.MG MH MN NG MN GH MN NG MN NG MN NG ∴⋅+⋅++⋅--u u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u ru u u u r u u u r∴22200||(3)(0)MN x y =-+-u u u u r ＝201(6)72x --．由22142x y +=，可得22x -≤≤，即022x -≤≤．2221||25||||24MN MN NG ∴≤≤≤-≤u u u u r u u u u r u u u r ，0．∴MG MH ⋅u u u u r u u u u r 的取值范围是024MG MH ≤⋅≤u u u u r u u u u r．8(另解21||25MN ≤≤u u u u r ：结合椭圆和圆的位置关系，有||||||||||||OM ON MN OM ON -≤≤+(当且仅当M N O 、、共线时，等号成立)，于是有1||5MN ≤≤．)(3)证明 设原点到直线AB 的距离为d ，且A B 、是曲线C 上满足OA OB ⊥的两个动点．01若点A 在坐标轴上，则点B 也在坐标轴上，有11||||||22OA OB AB d =⋅，即22233d a b==+．02若点(,)A A A x y 不在坐标轴上，可设1:,:OA y kx OB y x k==-．由221,42.x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩ 得222224,124.12A Ax k k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩设点(,)B B B x y ，同理可得，222224,24.2B B k x k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩于是，221||212k OA k +=+，221||22k OB k +=+，2222223(1)||(2)(12)k AB OA OB k k +=+=++ ． 利用11||||||22OA OB AB d =⋅，得23d =． 综合0012和可知，总有23d =，即原点O 到直线AB 的距离为定值233．(方法二：根据曲线C 关于原点和坐标轴都对称的特点，以及OA OB ⊥，求出A B 、的一组坐标，再用点到直线的距离公式求解，也可以得出结论)6.（2015静安二模理22）在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C 的方程为2218x y +=，设AB 是过椭圆C 中心O 的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线，M 是l 上与O 不重合的点． （1）求以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程；（2）若2MO OA =，当点A 在椭圆C 上运动时，求点M 的轨迹方程；（3）记M 是l 与椭圆C 的交点，若直线AB 的方程为(0)y kx k =>，当△AMB 面积取最小值时，求直线AB 的方程．【答案】解：（1）椭圆一个焦点和顶点分别为(7,0),(22,0)，………………………1分所以在双曲线22221y x a b-=中，27a =，28c =，2221b c a =-=， 因而双曲线方程为2217x y -=．……………………………………………………4分 （2）设()M x y ，，()A m n ，，则由题设知：2OM OA =u u u u r u u u r ，0OA OM ⋅=u u u r u u u u r．即22224()0x y m n mx ny ⎧+=+⎨+=⎩，，………5分 解得22221414m y n x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，．……………………7分因为点()A m n ，在椭圆C 上，所以2218m n +=，即…()()222182yx +=，亦即221432x y +=．所以点M 的轨迹方程为221432x y +=．…………………9分（3）（方法1）因为AB 所在直线方程为(0)y kx k =>．解方程组2218x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，得22818A x k =+，222818A k y k =+， 所以22222222888(1)181818A A k k OA x y k k k +=+=+=+++，222232(1)418k AB OA k +==+. 又22181x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，解得2228+8M k x k =，228+8M y k =，所以2228(1)+8k OM k +=．………… 11分 由于22214AMB S AB OM =⋅△2222132(1)8(1)418+8k k k k ++=⨯⨯+ 22222264(1)39225688(18)(+8)818658k k k k k+==-≥+++……………………………………………14分 或()2222264(1)18+82k k k +≥++222264(1)2568181(1)4k k +==+，当且仅当22188k k +=+时等号成立，即k ＝1时等号成立， 此时△AMB 面积的最小值是S △AMB ＝169．……………………………………… 15分AB 所在直线方程为y x =． ………………………………………………… 16分 （方法2）设()M x y ，，则()(0)A y x λλλλ-∈≠R ，，，因为点A 在椭圆C 上，所以222(8)8y x λ+=，即22288y x λ+=（i ）又2288x y +=（ii ）（i ）+（ii ）得()2228119x y λ+=+，………………………………………………11分所以()228116||()||99AMB S OM OA x y λλλ∆=⋅=+=+≥.……………………………14分当且仅当1λ=±（即1AB k =±）时，()min 169AMB S ∆=. 又0k > AB 所在直线方程为y x =．………………………………………………… 16分107.（2015静安二模文22）在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C 的方程为2218x y +=，设AB 是过椭圆C 中心O 的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线，M 是l上与O 不重合的点． （1）求以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程；（2）若2MO OA =，当点A 在椭圆C 上运动时，求点M 的轨迹方程；（3）记M 是l 与椭圆C 的交点，若直线AB 的方程为(0)y kx k =>，当△AMB 面积为4147时， 求直线AB 的方程．【答案】解：（1）椭圆一个焦点和顶点分别为(7,0),(22,0)，………………………1分所以在双曲线22221y x a b-=中，27a =，28c =，2221b c a =-=， 因而双曲线方程为2217x y -=．……………………………………………………4分 （2）设()M x y ，，()A m n ，，则由题设知：2OM OA =u u u u r u u u r ，0OA OM ⋅=u u u r u u u u r．即22224()0x y m n mx ny ⎧+=+⎨+=⎩，，……………5分 解得22221414m y n x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，．…………………7分因为点()A m n ，在椭圆C 上，所以2218m n +=，即…()()222182yx +=，亦即221432x y +=．所以点M 的轨迹方程为221432x y +=．…………………9分（3）因为AB 所在直线方程为(0)y kx k =>．解方程组2218x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，得22818A x k =+，222818A k y k =+， 所以22222222888(1)181818A A k k OA x y k k k +=+=+=+++，222232(1)418k AB OA k +==+. 又22181x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，解得2228+8M k x k =，228+8M y k =，所以2228(1)+8k OM k +=．………… 11分 由于22214AMB S AB OM =⋅△2222132(1)8(1)418+8k k k k ++=⨯⨯+222264(1)32(18)(+8)7k k k +==+……………14分解得22221(61)(6)066k k k k --=⇒==或即k k ==又0k >，所以直线AB方程为y =或y =………………………………… 16分8.（2015闵行二模理22）已知两动圆2221:(F x y r +=和2222:((4)F x y r +=-（04r <<），把它们的公共点的轨迹记为曲线C ,若曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，且曲线C 上的相异两点A B 、满足0MA MB ⋅=u u u r u u u r． （1）求曲线C 的方程；（2）证明直线AB 恒经过一定点，并求此定点的坐标； （3）求ABM △面积S 的最大值．【答案】[解]（1）设两动圆的公共点为Q ，则有：12124()QF QF F F +=>．由椭圆的定义可知Q 的轨迹为椭圆，2,a c ==C 的方程是：2214x y +=．…4分 （2）证法一：由题意可知：(0,1)M ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ,当AB 的斜率不存在时，易知满足条件0MA MB ⋅=u u u r u u u r 的直线AB 为：0x =过定点3(0,)5N -……………6分当AB 的斜率存在时，设直线AB ：y kx m =+，联立方程组：2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩①②，把②代入①有：222(14)8440k x kmx m +++-=……………8分 122814km x x k -+=+③，21224414m x x k -⋅=+④， 因为0MA MB ⋅=u u u r u u u r，所以有1212(1)(1)0x x kx m kx m ⋅++-+-=，221212(1)(1)()(1)0k x x k m x x m +⋅+-++-=，把③④代入整理：22222448(1)(1)(1)01414m km k k m m k k--++-+-=++，（有公因式m -1）继续化简得： (1)(53)0m m --=，35m -=或1m =（舍），综合斜率不存在的情况，直线AB 恒过定点3(0,)5N -． ………………………10分证法二：（先猜后证）由题意可知：(0,1)M ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ,如果直线AB 恒经过一定点，由椭圆的对称性可猜测此定点在y 轴上，设为(0,)N m ； 取特殊直线:1MA y x =+，则直线MB 的方程为1y x =-+，解方程组22141x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得点83(,)55A --，同理得点83(,)55B -，此时直线AB 恒经过y 轴上的点3(0,)5N -（只要猜出定点的坐标给2分）……2分下边证明点3(0,)5N -满足条件0MA MB ⋅=u u u r u u u r12当AB 的斜率不存在时，直线AB 方程为：0x =，点 A B 、 的坐标为(0,1)±，满足条件0MA MB ⋅=u u u r u u u r；………………………8分当AB 的斜率存在时，设直线AB ：35y kx =-，联立方程组：221435x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩①②，把②代入①得：222464(14)0525k k x x +--= 122245(14)k x x k +=+③，1226425(14)x x k -⋅=+④， 所以1212121288(1)(1)()()55MA MB x x y y x x kx kx ⋅=⋅+--=⋅+--u u u r u u u r21212864(1)()525k k x x x x =+-++2226482464(1)052525(14)5(14)k k k k k -=+⋅-⋅+=++………………………10分（3）ABM △面积MNA MNB S S S =+△△=1212MN x x -由第（2）小题的③④代入，整理得：2322514S k =⋅+……………………………12分 因N 在椭圆内部，所以k R ∈,可设2t ≥，23249t S t =+32(2)94t t t=≥+ ………………14分 Q 92542t t +≥，∴6425S ≤(0k =时取到最大值)．所以ABM △面积S 的最大值为6425． …………………………………………16分9.（2015闵行二模文22）已知两动圆2221:(F x y r +=和2222:((4)F x y r +=-（04r <<），把它们的公共点的轨迹记为曲线C ，若曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，且曲线C 上的相异两点A B 、满足：0MA MB ⋅=u u u r u u u r． （1）求曲线C 的方程；（2）若A 的坐标为(2,0)-，求直线AB 和y 轴的交点N 的坐标； （3）证明直线AB 恒经过一定点，并求此定点的坐标． 【答案】[解]（1）设两动圆的公共点为Q ，则有：12124()QF QF F F +=>．由椭圆的定义可知Q 的轨迹为椭圆，2,a c ==C 的方程是：2214x y +=．…4分 （2）由条件0MA MB ⋅=u u u r u u u r ，知道1MA MB k k =-,Q (0,1)M ，(2,0)A -∴MA k =12,MB k =2-,得直线MB : 21y x =-+, ………………………6分解方程组221421x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩可得1615(,)1717B -, ……………………………8分310AB k =-,直线AB :33105y x =--, 所以交点3(0,)5N -．………………………10分（3）证法一：由题意可知：(0,1)M ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ,当AB 的斜率不存在时，易知满足条件0MA MB ⋅=u u u r u u u r 的直线AB 为：0x =过定点3(0,)5N -……………12分当AB 的斜率存在时，设直线AB ：y kx m =+，联立方程组：2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩①②，把②代入①有：222(14)8440k x kmx m +++-=……………14分 122814km x x k -+=+③，21224414m x x k -⋅=+④， 因为0MA MB ⋅=u u u r u u u r，所以有1212(1)(1)0x x kx m kx m ⋅++-+-=，221212(1)(1)()(1)0k x x k m x x m +⋅+-++-=，把③④代入整理：22222448(1)(1)(1)01414m kmk k m m k k--++-+-=++，（有公因式m -1）继续化简得： (1)(53)0m m --=，35m -=或1m =（舍），综合斜率不存在的情况，直线AB 恒过定点3(0,)5N -． ………………………16分证法二：（先猜后证）由题意可知：(0,1)M ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ,如果直线AB 恒经过一定点，由椭圆的对称性可猜测此定点在y 轴上，设为(0,)N m ； 取特殊直线:1MA y x =+，则直线MB 的方程为1y x =-+，解方程组22141x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得点83(,)55A --，同理得点83(,)55B -，此时直线AB 恒经过y 轴上的点3(0,)5N -（只要猜出定点的坐标给2分）……12分下边证明点3(0,)5N -满足条件0MA MB ⋅=u u u r u u u r当AB 的斜率不存在时，直线AB 方程为：0x =，点 A B 、 的坐标为(0,1)±，满足条件0MA MB ⋅=u u u r u u u r；………………………14分当AB 的斜率存在时，设直线AB ：35y kx =-，联立方程组：221435x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩①②，把②代入①得：222464(14)0525k k x x +--=14122245(14)k x x k +=+③，1226425(14)x x k -⋅=+④， 所以1212121288(1)(1)()()55MA MB x x y y x x kx kx ⋅=⋅+--=⋅+--u u u r u u u r21212864(1)()525k k x x x x =+-++2226482464(1)052525(14)5(14)k k k k k -=+⋅-⋅+=++………………………16分10．（2015浦东二模理22）已知直线l 与圆锥曲线C 相交于两点,A B ，与x 轴，y 轴分别交于D E 、两点，且满足1EA AD λ=u u u r u u u r 、2EB BD λ=u u u r u u u r．（1）已知直线l 的方程为24y x =-，抛物线C 的方程为24y x =，求12λλ+的值；（2）已知直线():11l x my m =+>，椭圆22:12x C y +=，求1211λλ+的取值范围；（3）已知双曲线()222122222:10,0,x y a C a b a b bλλ-=>>+=，试问D 是否为定点？若是，求点D 的坐标；若不是，说明理由．【答案】解：（1）将42-=x y ，代入x y 42=，求得点()2,1-A ，()4,4B ，又因为()0,2D ，()4,0-E …2分由AD EA 1λ= 得到，()()2,12,11λ=()112,λλ=，11=λ，同理由2λ=得，22-=λ所以21λλ+=1-.………………………………………4分（2）联立方程组：⎩⎨⎧=-++=022122y x my x 得()012222=-++my y m ，21,22221221+-=+-=+m y y m m y y ，又点()⎪⎭⎫ ⎝⎛-m E D 1,0,0,1， 由AD EA 1λ= 得到1111y m y λ-=+，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=11111y m λ， 同理由2λ= 得到2221y m y λ-=+，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=22111y m λ， 21λλ+=4212)(122121-=⎪⎭⎫⎝⎛⋅+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-m m y y y y m ，即21λλ+4-=，……………6分 2121411λλλλ-=+12144λλ+=()42421-+=λ, …………………………………………8分 因为1>m ，所以点A 在椭圆上位于第三象限的部分上运动，由分点的性质可知()0,221-∈λ，所以()2,1121-∞-∈+λλ.…………………………………………10分（3）假设在x 轴上存在定点)0,(t D ，则直线l 的方程为t my x +=，代入方程12222=-by a x 得到:()()0222222222=-++-b a t mty b y a m b()22222221222221,2a m b b a t y y a m b mtb y y ---=--=+, 2221211a t mty y --=+ （1） 而由AD EA 1λ=、2λ=得到：⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=+-2121112)(y y m t λλ （2） 22212ba =+λλ （3）……………………………………………………………………12分由（1）（2）（3）得到：2222222ba a t mt m t -=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+，22b a t +±=， 所以点)0,(22b a D +±，………………………………………………………………14分 当直线l 与x 轴重合时，a t a +-=1λ，a t a -=2λ，或者at a -=1λ，a t a +-=2λ，都有222222122ba a t a =-=+λλ 也满足要求，所以在x 轴上存在定点)0,(22b a D +±.……………………………16分11．（2015浦东二模文22）已知直线l 与圆锥曲线C 相交于两点,A B ，与x 轴，y 轴分别交于D E 、两点，且满足1EA AD λ=u u u r u u u r 、2EB BD λ=u u u r u u u r．（1）已知直线l 的方程为24y x =-，抛物线C 的方程为24y x =，求12λλ+的值； （2）已知直线():11l x my m =+>，椭圆22:12x C y +=，求1211λλ+的取值范围；（3）已知双曲线C ：1322=-y x ，621=+λλ，求点D 的坐标． 【答案】解：（1）将42-=x y ，代入x y 42=，求得点()2,1-A ，()4,4B ，又因为()0,2D ，()4,0-E …2分由AD EA 1λ= 得到，()()2,12,11λ=()112,λλ=，11=λ，同理由2λ=得，22-=λ所以21λλ+=1-.………………………………………4分（2）联立方程组：⎩⎨⎧=-++=022122y x my x 得()012222=-++my y m ，21,22221221+-=+-=+m y y m m y y ，又点()⎪⎭⎫ ⎝⎛-m E D 1,0,0,1， 由AD EA 1λ= 得到1111y m y λ-=+，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=11111y m λ， 同理由2λ= 得到2221y m y λ-=+，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=22111y m λ， 21λλ+=4212)(122121-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-m m y y y y m ，即21λλ+4-=，……………6分 2121411λλλλ-=+12144λλ+=()42421-+=λ, …………………………………………8分16因为1>m ，所以点A 在椭圆上位于第三象限的部分上运动，由分点的性质可知()0,221-∈λ，所以()2,1121-∞-∈+λλ.…………………………………………10分（3）直线l 的方程为t my x +=，代入方程1322=-y x 得到:()()0323222=-++-t mty y m .2（2）设,M a ka （），则(,)OM a ka =，(2,1),PM a ka =-- 6分由PM OM ⊥得0OM PM =u u u u r u u u u rg ,即(2)(1)0a a ka ka -+-=， 7分解得0a =（舍去），221ka k+=+，所以22222(,)11k k k M k k ++++ 8分S RP QDCBAO 22222001232211122111k k k k k kk k +-=+++++，2(21)(2)16215OPM k k S k -+==+V g 9分 ①若12k ≥，则2(21)(2)1215k k k -+=+，化简得2215220k k -+=，解得2k =或112k = 10分②若102k <<，则2(12)(2)1215k k k -+=+，化简得2221520k k ++=，解得12k =-或211k =-，均不合题意.综上①②可得，k 的值为2或112. 11分（3）设(,)(,)(,)(0,0)T x y M a ka N b kb a b ->>、、，根据题意可知：OM =ON =22sin 1kMON k ∠=+ 12分 11sin 2MON S OM ON MON k=∠=V g ，即21ab k =（*） 13分(),22a b k a b x y +-==，故22x a by a b k=+⎧⎪⎨=-⎪⎩， 14分变形得222444y x ab k -=（*） 将（*）带入（**）得，22221y x k k-=，即2221(0)k x y x -=> 15分故点T 的轨迹为双曲线2221k x y -=的右支. 16分12.（2015年徐汇二模文21理21）用细钢管焊接而成的花坛围栏构件如右图所示，它的外框是一个等腰梯形PQRS ，内部是一段抛物线和一根横梁．抛物线的顶点与梯形上底中点是焊接点O ，梯形的腰紧靠在抛物线上，两条腰的中点是梯形的腰、抛物线以及横梁的焊接点,A B ，抛物线与梯形下底的两个焊接点 为,C D ．已知梯形的高是40厘米，C D 、两点间的距离为40厘米．（1）求横梁AB 的长度; （2）求梯形外框的用料长度．（注:细钢管的粗细等因素忽略不计，计算结果精确到1厘米．）【答案】解：（1）如图，以O 为原点，梯形的上底所在直线为x 轴，建立直角坐标系 设梯形下底与y 轴交于点M ，抛物线的方程为：()220x py p =<由题意()20,40D -，得5p =-，210x y =-……….3’取20y x =-⇒=±()()20,20A B ---()28AB cm =≈ 答：横梁AB 的长度约为28cm ………………..6’（2）由题意，得梯形腰的中点是梯形的腰与抛物线唯一的公共点设(():200RQ l y k x k +=-<…..7’(()2220101002010y k x x kx x y ⎧+=-⎪⇒+-=⎨=-⎪⎩则()210040020k k ∆=+=⇒=-:20RQ l y =-+…………..10’18得()(),40Q R-OQ MR RQ ⇒===梯形周长为(()2141cm =≈答：制作梯形外框的用料长度约为141cm ……..14’13.（2015年杨浦文23理23） 已知抛物线x y C 4:2=的焦点F ，线段PQ 为抛物线C 的一条弦.（1）若弦PQ 过焦点F ，求证：11FP FQ+为定值； （2）求证:x 轴的正半轴上存在定点M ，对过点M 的任意弦PQ ，都有2211MP MQ +为定值； （3）对于（2）中的点M 及弦PQ ，设PM MQ λ=u u u u r u u u u r ，点N 在x 轴的负半轴上，且满足()NM NP NQ λ⊥-u u u u r u u u r u u u r，求N 点坐标.【答案】解：（1）证明：),(),,(,2:),0,2(2211y x Q y x P pmy x l p F PQ +=设； ,0222222=--⇒⎪⎩⎪⎨⎧+==∴p pmy y p my x pxypmy p my p x p x FQ FP +++=+++=+∴212111212111 pm p m p p y y mp y y m p y y m 2)1()1(2)(2)(22222121221=++=+++++= 6分（2）),(),,(,:),0)(0,(2211y x Q y x P a my x l a a M PQ +=>设；,022222=--⇒⎩⎨⎧+==∴pa pmy y a my x px y pa y y pm y y 2,22121-=⋅=+∴ 22222221************222212122221212122)1(1)(2)(11)11(11)(1)(1)(1)(111a m pa m p p y y y y y y m y y m y my y my y a x y a x MQ MP ⋅++⋅=⋅⋅-++=++=+++=+-++-=+∴2211MQ MP +Θ为定值 当a pp MQ MP m ⋅=+=2221110时， 当2222221111a pap p MQ MP m +⋅=+=时， 由p a a pap p a p p =+⋅=⋅得2222211 取)0,(p M 代入验证，则221212,2p y y pm y y -=⋅=+∴222222221)1()1(111p p m m p p MQ MP =⋅++⋅=+∴为定值，得证。
几何光学习题及解答.doc
几何光学习题及解答1．证明反射定律符合费马原理。
证明：费马原理是光沿着光程为最小值、最大值或恒定值的路径传播。
⎰=BAnds 或恒值max .min ，在介质n 与'n 的界面上，入射光A 遵守反射定律11i i '=,经O 点到达B 点，如果能证明从A 点到B 点的所有光程中AOB 是最小光程，则说明反射定律符合费马原理。
设C 点为介质分界面上除O 点以外的其他任意一点，连接ACB 并说明光程∆ ACB>光程∆AOB由于∆ACB 与∆AOB 在同一种介质里，所以比较两个光程的大小，实际上就是比较两个路程ACB 与AOB 的大小。
从B 点到分界面的垂线，垂足为o '，并延长O B '至 B ′，使B O B O '=''，连接 B O '，根据几何关系知B O OB '=，再结合11i i '=，又可证明∠180='B AO °，说明B AO '三点在一直线上，B AO ' 与AC 和B C '组成ΔB AC '，其中B C AC B AO '+〈'。
又∵CB B C AOB OB AO B O AO B AO ='=+='+=',ACB CB AC AOB =+〈∴即符合反射定律的光程AOB 是从A 点到B 点的所有光程中的极小值，说明反射定律符合费马原理。
2、根据费马原理可以导出在近轴光线条件下，从物点发出并会聚到像点的所有光线的光程都相等.由此导出薄透镜的物象公式。
证明：由QB A ～FBA 得：OF\AQ=BO\BQ=f\s 同理，得OA\BA=f '\s ',BO\BA=f\s由费马定理：NQA+NQ A '=NQQ '结合以上各式得：(OA+OB)\BA=1得证3．眼睛E 和物体PQ 之间有一块折射率为1.5的玻璃平板(见题3.3图),平板的厚度d 为30cm.求物PQ 的像 与物体PQ 之间的距离 为多少?解：.由题意知光线经两次折射后发生的轴向位移为：cmn d p p 10)321(30)11(=-=-='，即像与物的距离为cm 103．眼睛E 和物体PQ 之间有一块折射率为1.5的玻璃平板(见题3.3图),平板的厚度d 为30cm.求物PQ 的像 与物体PQ 之间的距离 为多少? 解：.由题意知光线经两次折射后发生的轴向位移为：cmn d p p 10)321(30)11(=-=-='，即像与物的距离为cm 10En=1题3.3图4．玻璃棱镜的折射棱角A 为60度,对某一波长的光其折射率为1.6.计算(1)最小偏向角;(2)此时的入射角;(3)能使光线从A 角两侧透过棱镜的最小入射角.解：由最小偏向角定义得 n=sin2A0+θ/sin 2A,得θ0=46゜１６′由几何关系知，此时的入射角为:i=2A0+θ=５３゜８′当在C 处正好发生全反射时：i 2’= sin-16.11 =38゜41′,i 2=A- i 2’=21゜19′∴i 1= sin -1(1.6sin 21゜19′)= 35゜34′ ∴ｉmin ＝３５゜３4′５．图示一种恒偏向棱角镜,它相当于一个30度-60-90度棱镜与一个45度-45度度棱镜按图示方式组合在一起.白光沿i 方向入射，我们旋转这个棱镜来改变1θ，从而使任意一种波长的光可以依次循着图示的路径传播，出射光线为r.求证：如果2sin 1n=θ则12θθ=，且光束i 与 r 垂直（这就是恒偏向棱镜名字的由来）． 解： i nsin sin 11=θ若θ1sin = 2n , 则 sini 1 = 21, i 1=30。
光学习题课1
几何光学习题课1基本知识在经典物理的范畴内，光是电磁播，其传播规律由麦克斯韦方程组来描述，但由于光的波长很短，在研究的问题中涉及到的尺度远大于光波波长时，光的波动性可以忽略，用光线来取代波线，由此建立起来的光传播理论就是所谓的几何光学。
几何光学在方法上是几何的，在物理上不涉及光的本质。
1. 折射率 几何光学的三个定律 全反射 折射率的定义：vc n =，c 是光在真空中的速度，v 是光在该种媒质中的传播速度；相对折射率的定义：1212n n n =。
光的直线传播定律：在均匀媒质中光沿直线传播。
光的反射和折射定律：（1）反射线和折射线都在入射面内，并分居在法线的两侧；（2）反射角等于入射角；（3）折射角与入射角的正弦比与入射角无关，是一个与媒质和光的波长有关的常数（相对折射率）。
（斯涅耳定律）全反射：当光线从光密媒质（2n ）射向光疏媒质（21n n <）时，当入射角等于或大于某一角度时（临界角121/sin n n i C -=），折射光线消失，光线全部反射的现象。
2.棱镜与色散 偏向角：'11i i +=δ，1i ：入射角，'1i ：出射角；最小偏向角产生的充要条件：'11i i =或'22i i =作用：用来测透明介质的折射率：)2sin(/)2sin(minαδα+=n 。
色散产生的原因：介质的折射率n 是光束波长的函数，)(λn n =棱镜可以用做光谱仪，进行光谱分离。
3.光程 费马原理 光程：⎰=PQndlQP)(，光程可以理解为在相同的时间内光线在真空中传播的距离。
注意，光程是一个非常重要的一个概念，在后面的课程中研究光的干涉、衍射、位相延迟时要经常用到。
费马原理：QP 两点间光线的实际路径是光程)(QP为平稳的路径。
数学表达式为：0=⎰PQndl δ注意：费马原理的实质是揭示光线在媒质中沿什么路径传播。
4.光的可逆性原理当光线的方向反转时，光线将沿着同一路径传播。
几何光学2
几何光学21、双镜面反射 1.1成像个数例1、用几何的方法不难证明：这三个虚像都位于以O 为圆心、OS 为半径的圆上。
用这个方法我们可以容易地确定较复杂的情况中复像的个数和位置。
解：两面平面镜AO 和BO 成60º角放置，用上述规律，很容易确定像的位置训练：两个平面镜之间的夹角为45º、60º、120º。
而物体总是放在平面镜的角等分线上。
试分别求出像的个数。
解：右图所示：1.2路程例2、α=15°OA=10cm ，A 点发出的垂直于L2的光线射向 L1后在两镜间反复反射，直到光线平行于某一镜面射出，则从A 点开始到最后一次反射点，光线所走的路程是多少？解：根据平面反射的对称性, BC ’=BC ∠ BOA=∠ BOC ’=α，上述ABC ’D ’均在一条直线上。
因此，光线在 L1和L2间反复反射跟光线沿ABC ’直线传播等效 设N ’为第n 次反射的入射点，则n 满足关系：a n na )1(900+<<n 〈6取n=5 ∠N ’OA=75°总路程 ：cm a OA AN 3.375tan `==例3 如图所示，AB 表示一平直的平面镜，P1 P2是水平放置的米尺（有刻度的一面朝着平面镜）MN 是屏，三者相互平行，屏MN 上的ab 表示一条竖直的缝（即ab 之间是透光的）。
某人眼睛紧贴米尺上的小孔S （其位置如图所示），可通过平面镜看到米尺的一部分刻度。
试在本题图上用三角板作图求出可看到的部位，并在 P1 P2上把这部分涂以标志。
2、全反射全反射光从密度媒质1射向光疏媒质2，当入射角大于临界角α=sin -1n21 ，光线将发生全反射。
例4、图是光导纤维的示意图。
AB 为其端面，纤维内芯材料的折射率 n1=1.3,n2=1.2,试问入射角在什么范围内才能确保光在光导纤维内传播？解：r 表示光第一次折射的折射角，β表示光第二次的入射角，只要β大于临界角，光在内外两种材料的界面上发生全反射，光即可一直保持在纤维内芯里传播。
光学(3)——几何光学(II)
光瞳不过是孔径光阑的像
入射光瞳(Entrance Pupil)
就是从物体上的一个轴点通 过那些设在光阑前的元件观 察时看到的孔径光阑的像。
出射光瞳(Exit Pupil)
就是从像上面的一个轴点通 过插在中间的透镜（如果有 的话）观察时看到的孔径光 阑的像。
引自Hecht, Optics
eecs-chenzhy 26
Optics
相对孔径和光圈数
PEKING
UNIVERSITY
透镜（或反射镜）从远距离光源
的某一小区域收集的能量数量将
直接与透镜的面积成正比，或更
一般地说，与入射光瞳的面积成
正比。
f/2
f/4
像平面上，通量密度按(D/f )2发生 变化。
焦距比或光圈数，经常记为f/#，
即
f # f
D
其中f/#应该理解为单个符号。
eecs-chenzhy 10
PEKING
UNIVERSITY
Optics 单个球面折射旁轴成像(3)
像距s'=x, 常用表达式 n n n n
(1)
s s r
像方(后)焦距f' 定义
n n n n f r
物方(前)焦距f 定义
n n n n f r
焦距
1 f
1 f
(nl
1)
1 r1
1 r2
11 1 s1 s2 f
高斯透 镜公式
eecs-chenzhy 13
Optics
薄凸透镜聚焦
PEKING
UNIVERSITY
摄于Smithsonian National Air and Space Museum(华盛顿)
第一章 几何光学基本定律与成像概念习题
一：选择题（可以有多选）1、下面关于几何光学的几本定律陈述正确的是（BCD ）A：光是沿直线传播方向传播的，“小孔成像”即是运用这一定律的很好例子。
B：不同光源发出的光在空间某点相遇时，彼此不影响各光束独立传播。
C：在反射定律中，反射光线和入射光线位于法线两侧，且反射角与入射角绝对值相等。
D：光的全反射中，光线是从光密介质向光疏介质入射。
2、下列关于单个折射面成像，说法错误的是（D ）A：垂轴放大率仅取决于共轴面的位置。
B：折射球面的轴向放大率恒为正。
C：角放大率表示折射球面将光束变宽或是变细的能力。
D：α、γ、β三者之间的关系为γβ=α。
3、一个物体经单个折射球面成像时，其垂轴放大率β>1，且已知n<n’，则（ABC ）A：物像位于该折射球面的同侧。
B：角放大率γ>0。
C：像高大于物高。
D：该折射球面能把入射光束变宽。
4.一个物体经单个反射球面成像时，其垂轴放大率β>0，则（BD ）A：物象位于系统的同侧。
B：物象虚实性质相反。
C：角放大率γ>0。
D：轴向放大率α<0。
二、填空题1、与平面波对应的光束称为平行光束；与球面波对应的光速称为同心光束；与任意曲面波对应的光束称为像散光束；2、光学系统成完善像应满足的三个等价条件分别是○1入射波面是球面波时，出射波面也是球面波；○2入射光是同心光束时，出射光也是同心光束；○3物点及其像点之间任意两条光路的光程相等。
3、在子午面内，光线的位置由物方截距，物方孔径角确定。
4、一束平行细光束入射到一半径r=30mm、折射率为1.5的玻璃球上，经左侧球面折射后形成像A’1，则像方截距为mm，成像是（填“实像”或“虚像”）；经右侧球面再次成像A’2，则像方截距为mm，成像是（填“实像”或“虚像”）。
成像过程如图1-4所示平行细光束入射到玻璃球上，经左侧球面折射后形成中间像A ’1 ，它又是右侧球面的物A 2 ，经右侧球面再次成像于A ’2mm mm n n r n 905.0305.1''l'rn'-n l n -l'n'mm 30r 5.1'n 1n -l 111111111=⨯=-=====∞=得成像公式代入单个折射球面，，，将为实像虚实相反，即与像物此时所以公式得代入单个折射球面成像再次将为虚物。
几何光学练习题
几何光学练习题几何光学练习题几何光学练习题一、填空题1．光的直线传播定律指出光在介质中沿直线传播。
2．全反射的条件是大于，光从光密介质射向光疏介质产生全反射。
3．虚物点是的的交点。
4．光学系统的物方焦点的共轭象点在，象方焦点的共轭点在。
5．某种透明物质对于空气的临界角为45°，该透明物质的折射率等于。
6．半径为r的球面，置于折射率为n的介质中，系统的焦距与折射率关，光焦度与折射率关。
7．共轴球面系统主光轴上，物方无限远点的共轭点定义为；象方无限远的共轭点定义为。
8．几何光学的三个基本定律是，和。
9．光学系统在成象过程中，其β=-1.5，则所成的象为的象。
10．在符号法则中（光线从左向右入射）规定：主光轴上的点的距离从量起，左负右正；轴外物点的距离上正下负；角度以为始边，顺时针旋转为正，反之为负，且取小于π/2的角度；在图上标明距离或角度时，必须用。
11．当光从光密媒质射向媒质时，且满足入射角大于，就可以发生全反射现象。
12．当物处于主光轴上无穷远处，入射光线平行于主光轴，得到的象点称为，薄透镜成象的高斯公式是。
13．主平面是理想光具组的一对共轭平面；节点是理想光具组的一对共轭点。
14．在几何光学系统中，唯一能够完善成象的是系统，其成象规律为。
15．理想成象的条件是和。
16．曲率半径为R的球面镜的焦距为，若将球面镜浸入折射率为n的液体内，该系统的焦距为。
17．通过物方主点的光线，必通过象方，其横向放大率为。
18．将折射率n=1.5的薄透镜浸没在折射率为n'=1.33的水中，薄透镜的焦距等于空气中焦距的倍。
19．实象点是的光束的交点。
20．实物位于凹球面镜的焦点和曲率中心之间，象的位置在与之间。
21．筒内装有两种液体，折射率分别为n1和n2，高度分别为h1和h2，从空气（n=1）中观察到筒底的像似深度为。
22．在符号法则中，反射定律的数学式为。
23．薄透镜置于介质中，物、象方焦距分别为f和f'，光线通过薄透镜中心方向不变的条件是。
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M B D A B’’ M A’’
12、名词解释： （1）光学间隔
（2）光楔
（3）镜像
（4）共轭距ຫໍສະໝຸດ 42015 年春季学期《几何光学》作业（二）姓名：
学号：
班级：
1、由正、负两薄透镜组合成 f’=1.2m 的光学系统， 2、一个薄透镜对某一物体成一实像，垂轴 该系统对无限远物体成像，像面离正透镜 700mm，离 放大率为－1，今以另一个薄透镜紧贴在第 负透镜 400mm,。求正、负透镜的焦距，并在光路图中 一透镜上，则见像向透镜方向移动 20 毫米， 标出该系统的像方主点 H’ 、焦点 F’和焦距 f’ 。 放大率为原先的 3／4，求两块透镜的焦距。
9、请描述道威棱镜的旋转特性，并运用棱 镜系统的成像方向判断方法对其进行图解。 7、给出二次反射等腰直角棱镜的展开图，并计算光 轴长度和棱镜常数。
3
2015 年春季学期《几何光学》作业（二）姓名：
学号：
班级：
10、一光学系统由一透镜和平面镜组成，如图。平面 11、试以图解方式说明远摄型光组与反远距 镜 MM 与透镜光轴垂直交于 D 点，透镜前方离平面镜 型光组的区别。 600mm 有一物体 AB，经透镜和平面镜后，所成虚象 A//B//至平面镜的距离为 150mm， 且象高为物高的一半， 试分析透镜焦距的正负，确定透镜的位置和焦距，并 画出光路图。
1
2015 年春季学期《几何光学》作业（二）姓名：
学号：
班级：
3、近视镜片前后表面的光焦度分别为 6D 和－11D， 5、一薄透镜焦距为 100 毫米，和另一焦距 折射率为 1.5，按薄透镜考虑，求该镜片的焦距和曲 为 50 毫米的薄透镜组合，其组合焦距仍为 率半径。 100 毫米，问两薄透镜的相对位置，并求基 点位置，以图解法校核之。
4、曲率半径为 50mm，折射率为 1.5 的双凹薄透镜， 位于空气中的像方焦距和光焦度分别为多少？浸入 折射率为 1.33 的水中时的像方焦距是多少？
2
2015 年春季学期《几何光学》作业（二）姓名：
学号：
班级：
6、试以两个薄透镜组按下列要求组成光学系统： （1） 8、图中的正透镜对实物成实象。请根据物 两透镜组间间隔不变， 物距任意改变而倍率不变； （2） 的坐标系给出最后像的坐标系，并说明理 物距不变，两透镜组间间隔任意改变，而倍率不变。 由。 问该两薄透镜组焦距间关系，求组合焦距的表达式。