(推荐)高二数学文科复数试题及答案
高二数学复数综合运算试题答案及解析
高二数学复数综合运算试题答案及解析1.已知，其中、为实数，则 .【答案】3【解析】由题意可得：，所以.【考点】复数的运算.2.是虚数单位，复数的共轭复数是A．2＋B．2－C．－1＋2D．－1－2【解析】,共轭复数为.【考点】复数的四则运算和共轭复数.3.已知复数z＝，则|z|＝________．【答案】【解析】∵z＝===，所以|z|==.考点:复数的运算，复数的模4.“a = 1”是“复数(,i为虚数单位)是纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由复数(,i为虚数单位)是纯虚数得，解得=1，故是充要条件，故选C.【考点】纯虚数的概念，充要条件5.已知i为虚数单位，复数，则复数在复平面上的对应点位于（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限【答案】B【解析】由复数的除法运算得==，所以=，在复平面上的对应点为（，位于第三象限，故选B【考点】复数的除法运算，共轭复数的概念，复数的点表示6.若则|z|=A．3B．4C．5D．7【答案】C【解析】复数的模长为,所以，故选C【考点】复数模长计算.7.已知为虚数单位，复数，则复数的虚部是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】，则复数的虚部是。
【考点】复数的除法运算复数的基本概念。
8.已知复数，则 .【答案】5【解析】.【考点】复数的模.9.若复数是纯虚数，则实数的值为（）A．1B．2C．1或2D．-1【答案】B【解析】当，时，复数为纯虚数，由解得或，又，所以．【考点】复数的分类．10.复数z满足是虚数单位)，若复数的实部与虚部相等，则等于（）A．12B．4C．D．l2【答案】D.【解析】∵，∴，∵复数的实部与虚部相等，∴.【考点】复数的计算.11.已知是方程的一个根(为实数)．（1）求的值；（2）试说明也是方程的根.【答案】（1）；（2）证明详见解析.【解析】（1）依题意将代入方程化简整理即可得到，然后根据复数相等的条件得到，进而求出即可；（2）根据（1）中确定的方程，将代入方程的左边，化简得到0，即可说明也是方程的一个根.（其实作为实系数的二次方程，若有虚根，则该二次方程的两根必互为共轭复数.）（1）因为是方程的根∴即∴，得∴的值为 5分（2）因为方程为把代入方程左边得，显然方程成立∴也是方程的一个根 10分【考点】1.复数的四则运算；2.两复数相等的条件.12.是虚数单位,复数在复平面上的对应点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】对于在复平面中对应的点为，,可知在平面上的对应点为，在第四象限．【考点】复数的四则运算，复数的几何意义．13.已知是复数，且，则的最大值为．【答案】6【解析】,在复平面中表示的是单位圆，为表示的点与表示的点距离，结合图象可知最大值为6．【考点】复数的几何意义，数形结合的数学思想．14.复数的虚部为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以复数的虚部为1，故选A.【考点】1.复数的运算；2.复数的基本概念.15.已知复数，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意【考点】复数的运算16.若是纯虚数，则实数的值是【答案】2【解析】因为是纯虚数，所以，解得【考点】纯虚数概念17.若复数满足，则等于【答案】【解析】设z=a+bi（a，b∈R），由得，，∴，解得a=3，b=4，故选B．【考点】1.复数相等的充要条件；2.复数求模．18.（本小题满分12分）已知复数.（1）实数为何值时，复数为纯虚数？（2）若，计算复数.【答案】（1）m=0；（2）.【解析】（1）若z为纯虚数，则z的实部不为0，虚部为0从而可以建立与m有关的方程与不等式，进而求得m的值；（2）当m=2时，z=2+i，代入计算即可求得.（1）复数z为纯虚数，则， 5分解得m=0 6分（2）若m=2，则z=2+i 7分∴ 12分．【考点】 1、纯虚数的概念；2、复数的计算.19.已知为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值是 .【答案】【解析】因为，所以若复数为纯虚数，则有.【考点】1.复数的基本概念；2.复数的四则运算.20.已知复数（为虚数单位），则 .【答案】【解析】因为，所以所以本题也可利用复数模的性质进行求解，即【考点】复数的模21.在复平面内，设(是虚数单位)，则复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】因为，所以，该复数对应点的坐标为，落在第一象限，所以选A.【考点】1.复数的四则运算；2.复数的几何意义.22.若复数 (为虚数单位，)是纯虚数，则复数的模是________．【答案】【解析】因为，由复数(为虚数单位，)是纯虚数可得，所以复数的模为.【考点】1.复数的四则运算；2.复数的基本概念.23. 已知a ，b ∈R ，a ＋bi ＝(1＋2i)(1－i) (i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为 ． 【答案】4【解析】根据复数乘法法则，将化为，再由两复数相等，它们实部与虚部分别相等得【考点】复数乘法法则，复数相等概念24. 已知复数z ＝1＋i ，求实数a ，b ，使az ＋2b ＝(a ＋2z )2. 【答案】或【解析】∵z ＝1＋i ，∴az ＋2b ＝(a ＋2b )＋(a －2b )i. 而(a ＋2z )2＝[(a ＋2)＋2i]2＝(a ＋2)2＋4(a ＋2)i ＋4i 2 ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i. ∵az ＋2b ＝(a ＋2z )2，∴解得或25. 已知复数z 1＝3和z 2＝－5＋5i 对应的向量分别为＝a ，＝b ，求向量a 与b 的夹角．【答案】【解析】设a ，b 的夹角为α，a ＝(3,0)，b ＝(－5,5)， 则cos α＝，∵0≤α≤π，∴α＝.26. 复数的共轭复数为 ( )．A ．－iB ．iC ．－iD ．i【答案】C 【解析】＝i ，其共轭复数为－i.27. 已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，复数z 2的虚 部为2，且z 1z 2为实数，求z 2及|z 2|. 【答案】 【解析】z 1＝＋2＝＋2＝＋2＝2－i ，设z 2＝a ＋2i(a ∈R)，则z 1z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i ， 由于z 1z 2为实数， ∴4－a ＝0.∴a ＝4. ∴z 2＝4＋2i |z 2|＝. 28.＝( )．A ．2－iB ．1－2iC ．－2＋iD ．－1＋2i【答案】C【解析】＝＝－2＋i.29.当z＝－时，z100＋z50＋1的值等于()．A．1B．－1C．i D．－i【答案】D【解析】根据题意，当z＝－时，z100＋z50＋1=的值等于-i，故选D.【考点】导数研究函数的单调性点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，易错点在于忽视函数的定义域，属于中档题30.在复数范围内解方程.(i为虚数单位)【答案】z=-±i.【解析】本试题主要考查了复数的运算的问题。
人教版高中数学文科选修1-2同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：47复数的概念与运算(文)
复数的概念与运算【学习目标】1．理解复数的有关概念：虚数单位i 、虚数、纯虚数、复数、实部、虚部等。
2．理解复数相等的充要条件。
3. 理解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数。
4. 会进行复数的加、减运算，理解复数加、减运算的几何意义。
5. 会进行复数乘法和除法运算。
【要点梳理】知识点一：复数的基本概念 1.虚数单位数叫做虚数单位，它的平方等于，即。
要点诠释：①是－1的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是；②可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立。
2. 复数的概念形如（）的数叫复数，记作：（）；其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位。
全体复数所成的集合叫做复数集，用字母 表示。
要点诠释：复数定义中，容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据. 3.复数的分类对于复数（）若b=0,则a+bi 为实数，若b≠0,则a+bi 为虚数，若a=0且b≠0，则a+bi 为纯虚数。
分类如下：用集合表示如下图：i i 1-21i =-i 21x =-21x =-i -i a bi +,a b R ∈z a bi =+,a b R ∈a b i C ,a b R ∈z a bi =+,a b R ∈4.复数集与其它数集之间的关系（其中为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，为复数集。
）知识点二：复数相等的充要条件两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.即：特别地：. 要点诠释：① 一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.② 根据复数a+bi 与c+di 相等的定义，可知在a=c ，b=d 两式中，只要有一个不成立，那么就有a+bi≠c+di （a ，b ，c ，d ∈R ）．③ 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小. 如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小.④ 复数相等的充要条件提供了将复数问题化归为实数问题来解决的途径，这也是本章常用的方法， 简称为“复数问题实数化”． 知识点三、复数的加减运算 1.复数的加法、减法运算法则：设，（），我们规定：要点诠释：（1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样。
高考文科数学复数 (答案详解)
1.（2012浙江卷）已知i 是虚数单位，则31i i+-= A ．1-2i B.2-i C.2+i D.1+2i2.（2012湖北）若3i i 1ib a b +=+-（a ，b 为实数，为虚数单位），则a b +=. 3.（2012山东）若复数z 满足(2)117i(i z i -=+为虚数单位)，则z 为（）A.3+5iB.3－5iC.－3+5iD.－3－5i4.（2012江苏）设复数i 满足i z i 23)1(+-=+（i 是虚数单位），则z 的实部是_________5.（2012福建）复数2)2(i +等于（）A ．i 43+B ．i 45+C ．i 23+D ．i 25+6.（2012安徽）复数z 满足：()2z i i i -=+；则z =（）A.1i --B.1i -C.i -1+3D.i 1-27.（2012北京）在复平面内，复数103i i +对应的点坐标为（） A ．（1,3）B ．（3,1） C ．(1,3-） D ．31-（，）8.（2012广东）设i 为虚数单位，则复数34i i+=( ) A.43i -- B.43i -+ C.i 4+3 D.i 4-3 9.（2012湖南）复数(1)z i i =+（i 为虚数单位）的共轭复数是（）A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i +10.（2012江西）若复数z=1+i (i 为虚数单位) z -是z 的共轭复数，则2z +z -²的虚部为A.0B.-1C.1D.-211.（2012辽宁）复数11i =+ A.1122i - B.1122i + C.1i - D.1i + 12.（2012陕西）设,a b R ∈，i 是虚数单位，则“0ab =”是“复数b a i +为纯虚数”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 13.（2012上海）计算：ii +-13=（i 为虚数单位）. 14.（2012天津）i 是虚数单位，复数534ii +-=A.1-iB.-1+iC.1+iD.-1-i15.（2012新课标）复数z ＝32i i-++的共轭复数是 A.2i + B.2i - C.1i -+ D.1i --答案1.【答案】D【命题意图】本题主要考查了复数的四则运算法则，通过利用分母实数化运算求解。
高二数学复数练习试题及答案
高二数学复数练习试题及答案考试是检测学生学习效果的重要手段和方法，考前需要做好各方面的知识储备。
下面是店铺为大家整理的高二数学复数练习试题，希望对大家有所帮助!高二数学复数练习试题及答案解析1.如果复数a+bi(a，b∈R)在复平面内的对应点在第二象限，则( )A.a>0，b<0B.a>0，b>0C.a<0，b<0D.a<0，b>0[答案] D[解析] 复数z=a+bi在复平面内的对应点坐标为(a，b)，该点在第二象限，需a<0且b>0，故应选D.2.(2010•北京文，2)在复平面内，复数6+5i，-2+3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( )A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i[答案] C[解析] 由题意知A(6,5)，B(-2,3)，AB中点C(x，y)，则x=6-22=2，y=5+32=4，∴点C对应的复数为2+4i，故选C.3.当23A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限[答案] D[解析] ∵230，m-1<0，∴点(3m-2，m-1)在第四象限.4.复数z=-2(sin100°-icos100°)在复平面内所对应的点Z位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限[答案] C[解析] z=-2sin100°+2icos100°.∵-2sin100°<0,2cos100°<0，∴Z点在第三象限.故应选C.5.若a、b∈R，则复数(a2-6a+10)+(-b2+4b-5)i对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限[答案] D[解析] a2-6a+10=(a-3)2+1>0，-b2+4b-5=-(b-2)2-1<0.所以对应点在第四象限，故应选D.6.设z=(2t2+5t-3)+(t2+2t+2)i，t∈R，则以下结论中正确的是( )A.z对应的点在第一象限B.z一定不是纯虚数C.z对应的点在实轴上方D.z一定是实数[答案] C[解析]∵2t2+5t-3=(t+3)(2t-1)的值可正、可负、可为0，t2+2t+2=(t+1)2+1≥1，∴排除A、B、D，选C.7.下列命题中假命题是( )A.复数的模是非负实数B.复数等于零的充要条件是它的模等于零C.两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件D.复数z1>z2的充要条件是|z1|>|z2|[答案] D若z1=z2，则有a1=a2，b1=b2，∴|z1|=|z2|反之由|z1|=|z2|，推不出z1=z2，如z1=1+3i，z2=1-3i时|z1|=|z2|，故C正确;④不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D错.8.已知复数z=(x-1)+(2x-1)i的模小于10，则实数x的取值范围是( )A.-45B.x<2C.x>-45D.x=-45或x=2[答案] A[解析] 由题意知(x-1)2+(2x-1)2<10，解之得-459.已知复数z1=a+bi(a，b∈R)，z2=-1+ai，若|z1|<|z2|，则实数b适合的条件是( )A.b<-1或b>1B.-1C.b>1D.b>0[答案] B[解析] 由|z1|<|z2|得a2+b2∴b2<1，则-110.复平面内向量OA→表示的复数为1+i，将OA→向右平移一个单位后得到向量O′A′→，则向量O′A′→与点A′对应的复数分别为( )A.1+i,1+iB.2+i,2+iC.1+i,2+iD.2+i,1+i[答案] C[解析] 由题意O′A′→=OA→，对应复数为1+i，点A′对应复数为1+(1+i)=2+i.二、填空题11.如果复数z=(m2+m-1)+(4m2-8m+3)i(m∈R)对应的点在第一象限，则实数m的取值范围为________________.[答案] -∞，-1-52∪32，+∞[解析] 复数z对应的点在第一象限需m2+m-1>04m2-8m+3>0解得：m<-1-52或m>32.12.设复数z的模为17，虚部为-8，则复数z=________.[答案] ±15-8i[解析] 设复数z=a-8i，由a2+82=17，∴a2=225，a=±15，z=±15-8i.13.已知z=(1+i)m2-(8+i)m+15-6i(m∈R)，若复数z对应点位于复平面上的第二象限，则m的取值范围是________.[答案] 3[解析] 将复数z变形为z=(m2-8m+15)+(m2-m-6)i∵复数z对应点位于复平面上的第二象限∴m2-8m+15<0m2-m-6>0解得314.若t∈R，t≠-1，t≠0，复数z=t1+t+1+tti的模的取值范围是________.[答案] [2，+∞)[解析] |z|2=t1+t2+1+tt2≥2t1+t•1+tt=2.∴|z|≥2.三、解答题15.实数m取什么值时，复平面内表示复数z=2m+(4-m2)i的点(1)位于虚轴上;(2)位于一、三象限;(3)位于以原点为圆心，以4为半径的圆上.[解析] (1)若复平面内对应点位于虚轴上，则2m=0，即m=0.(2)若复平面内对应点位于一、三象限，则2m(4-m2)>0，解得m<-2或0(3)若对应点位于以原点为圆心，4为半径的圆上，则4m2+(4-m2)2=4即m4-4m2=0，解得m=0或m=±2.16.已知z1=x2+x2+1i，z2=(x2+a)i，对于任意的x∈R，均有|z1|>|z2|成立，试求实数a的取值范围.[解析] |z1|=x4+x2+1，|z2|=|x2+a|因为|z1|>|z2|，所以x4+x2+1>|x2+a|高考数学不等式复习资料1.不等式的基本性质:性质1:如果a>b,b>c,那么a>c(不等式的传递性).性质2:如果a>b,那么a+c>b+c(不等式的可加性).性质3:如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么acb,c>d,那么a+c>b+d.性质4:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.性质5:如果a>b>0,n∈N,n>1,那么an>bn,且.例1:判断下列命题的真假,并说明理由. 若a>b,c=d,则ac2>bd2;(假) 若,则a>b;(真) 若a>b且ab<0,则;(假) 若a若,则a>b;(真) 若|a|b2;(充要条件) 命题A:a命题A:,命题B:0说明:本题要求学生完成一种规范的证明或解题过程,在完善解题规范的过程中完善自身逻辑思维的严密性. a,b∈R且a>b,比较a3-b3与ab2-a2b的大小.(≥) 说明:强调在最后一步中,说明等号取到的情况,为今后基本不等式求最值作思维准备.例2：设a>b,n是偶数且n∈N*,试比较an+bn与an-1b+abn-1的大小. 说明:本例条件是a>b,与正值不等式乘方性质相比在于缺少了a,b为正值这一条件,为此我们必须对a,b的取值情况加以分类讨论.因为a>b,可由三种情况(1)a>b≥0;(2)a≥0>b;(3)0>a>b.由此得到总有an+bn>an-1b+abn-1.通过本例可以开始渗透分类讨论的数学思想.练习: 1.若a≠0,比较(a2+1)2与a4+a2+1的大小.(>) 2.若a>0,b>0且a≠b,比较a3+b3与a2b+ab2的大小.(>) 3.判断下列命题的真假,并说明理由. (1)若a>b,则a2>b2;(假) (2)若a>b,则a3>b3;(真)(3)若a>b,则ac2>bc2;(假) (4)若,则a>b;(真) 若a>b,c>d,则a-d>b-c.(真).高考数学易错知识点易错点用错基本公式致误错因分析：等差数列的首项为a1、公差为d，则其通项公式an=a1+(n-1)d，前n项和公式Sn=na1+n(n-1)d/2=(a1+an)d/2;等比数列的首项为a1、公比为q，则其通项公式an=a1pn-1，当公比q≠1时，前n项和公式Sn=a1(1-pn)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)，当公比q=1时，前n项和公式Sn=na1。
2019年高二文科数学暑期系统复习3：复数(解析附后)
2019年高二文科数学暑期系统复习3：复数（解析附后） 经典例题例3.[2019·邯郸期中]设复数 （其中a ∈R ）， ．（1）若 是实数，求 的值；（2）若12z z 是纯虚数，求 ．【答案】（1）224i +；（2）152z =．【解析】（1）∵()1254z z a i +-+=是实数，∴4a =，124z i =+，∴()()122434224z z i i i ==+-+．（2）∵()()12643823425a a iz ai z i -+++==-是纯虚数，∴32a =，1322z i =+，故152z ==．经典集训一、单选题1．[2019·黄山质检]已知复数312a ii +-是纯虚数，则实数 为（ ）A ．6-B ．6C ．32-D ．322．[2019·福州质检]已知复数 满足 ，则 （） A ． B ． C ． D ． 23．[2019·洛阳统考]若复数 满足 ，则 的虚部为（） A ．4- B ．45- C ． D ．45i -4．[2019·玉山一中]已知复数12i z i-=，则 的共轭复数为（ ） A ． B ． C ．22i -+ D ．1122i -+ 5．[2019·双鸭山一中]已知复数21z i=-（ 是虚数单位），则共轭复数 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限6．[2019·汕头二模]已知复数 ，234z i =+，则 等于（ ） A ．254 B ．43i C ．25443i - D ．254i - 7．[2019·遵化期中]31i i+=+（ ） A ． B ．5 C ．3 D ．8．[2019·河南联考]已知复数121z i=+，()2z a i a =+∈R ，若 ， 在复平面中对应的向量分别为1OZ ，2OZ （ 为坐标原点），且122OZ OZ +=，则 （ ）A ．B ．C ．D ． 或9．[2019·河南质检]若复数 的共轭复数在复平面所对应的点的坐标是 ， ，则 （ ）A ．B ．C ．D ．10．[2019·宁德质检]复数 （a b ∈R ，）满足 ，则 （ ）A ．35-B ．15-C ．15D ．3511．[2019·芜湖模拟]设复数 满足1z i z+=，则下列说法正确的是（ ） A ． 为纯虚数 B ． 的虚部为12i -C ．在复平面内， 对应的点位于第二象限D ．z = 12．[2019·景德镇一中]设复数()()1,0z x yi x y =-+∈≥R ，若 ，则 的概率为（ ）A ．3142π+B ．1142π-C ．12π1+D ．12π1-二、填空题13．[2019·南通质检]已知复数 ， ，其中 为虚数单位，则复数 的实部为_______．14．[2019·南开模拟]若 为实数，且231ai i i+=++，则 ________． 15．[2019·北辰模拟]用 表示复数 的实部，用 表示复数 的虚部，若已知复数：满足 ，其中 是复数 的共轭复数，则 ______．16．[2019·福州期中]若 且 ，那么 的最小值为_________．三、解答题17．[2019·乐山联考]已知复数 （ 为正实数），且 为纯虚数．（1）求复数 ；（2）若2z w i=+，求复数 的模w ．18．[2019·徐州期中]已知复数 （m R）．（1）若复数z为纯虚数，求实数m的值；（2）若复数z在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围．一、单选题1．【答案】B【解析】∵()()()()()()31263231212125a i i a a i a i z i i i ++-+++===-+-为纯虚数， ∴605a -=，2305a +≠，∴6a =，故选B ． 2．【答案】D【解析】由 ，得()253425343425i z i i i --===-+， 所以 ，所以 ．故选D ．3．【答案】B【解析】由题得()()()()534534534343434255i i i z i i i +++====--+，所以3455z i =-， 所以 的虚部为45-，故选B ． 4．【答案】D【解析】因为111222i z i i -==--，所以1122z i =-+，故选D ． 5．【答案】D【解析】 ， ，对应点为 ， ，在第四象限，故选D ．6．【答案】A【解析】因为234z i =+，所以234z i =-， 又 ，所以()12392534334444z z i i i i ⎛⎫⋅=+-=-++= ⎪⎝⎭，故选A ． 7．【答案】A【解析】因为()()()()3134221112i i i i i i i i +-+-===-++-，所以321i i i+=-+ 故选A ．8．【答案】D【解析】由题意知()11,1OZ =-，()2,1OZ a =，因此()121,0OZ OZ a +=+，故 ，解得 或 ，故选D ．9．【答案】B【解析】因为复数 的共轭复数在复平面所对应的点的坐标是 ， ，所以 ，则 ，所以 ．故选B ．10．【答案】D【解析】∵z a bi =+，由()21z i z =-，得()()2211a bi i a bi b a i +=--=+-，∴221a b b a ==-⎧⎨⎩，解得15a =，25b =，∴35a b +=． 故选D ．11．【答案】D【解析】∵1z zi +=，设z a bi =+，则()1a bi b ai ++=-+，∴1a b a b +=-=⎧⎨⎩，解得1212a b ⎧⎪=-=-⎪⎨⎪⎪⎩， ∴1122z i =--，∴z =z 的虚部为12-， 复数z 在复平面内所对应的点的坐标为11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，在第三象限．故选D ．12．【答案】D【解析】∵复数()()1,z x yi x y =-+∈R 且 ， ∴1z =，即()2211x y -+≤， 又 ，∴点（x ，y ）在（1，0）为圆心1为半径的圆（在x 轴及x 轴的上半部分）及其内部， 而y x ≥表示直线y x =左上方的部分，（图中阴影弓形） ∴所求概率为弓形的面积与圆的面积一半的比， ∴所求概率2211π111114212π12πP ⋅⋅-⨯⨯==-⋅⋅，故选D ． 二、填空题13．【答案】3【解析】∵112z i =+，21z i =-，∴()()121213z z i i i +==+﹣， ∴复数12z z 的实部为3，故答案为3．14．【答案】4【解析】由题意可得： ，结合复数相等的充分必要条件可得： ．故答案为4．15．【答案】【解析】由题意得：()()()()73173410251112i i i i z i i i i ++++====+--+，25z i ∴=-， 则 ，本题正确结果 ．16．【答案】【解析】复数 满足 ，表示以 ， 为圆心，1为半径的圆， 表示圆上的点与点 ， 的距离．∵ ，∴ 的最小值是 ， 故答案为 ．三、解答题17．【答案】（1） ；（2） ．【解析】（1） ．，所以 ，又 为正实数，所以 ．所以 ，（2）()()()()323771222555i i i i w i i i i +⋅-+-====-++⋅-，所以w ． 18．【答案】（1） ；（2）()2,3．【解析】（1）因为复数 为纯虚数，所以256020m m m -+=-≠⎧⎨⎩， 解得， ．（2）因为复数 在复平面内对应的点在第二象限，所以256020m m m -+<->⎧⎨⎩， 解之得232m m <<>⎧⎨⎩，得 ．所以实数的取值范围为()2,3．。
高二数学+复数测试题及答案解析
高二数学复数测试题一．选择题（共18小题）1．（2015•陕西模拟）定义运算，则符合条件=0的复数z的共轭复数对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（2015•钦州模拟）若复数（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣3 B．3C．﹣6 D．63．（2015•河南一模）如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（）D．2A．B．C．﹣4．（2015•福建模拟）复数i+i2等于（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i 5．（2015•兰州二模）已知复数z满足（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．（2015•南充一模）已知复数z=，则z的共轭复数为（）A．B．C．D．7．（2015•马鞍山一模）若复数z=（a2﹣4）+（a+2）i为纯虚数，则的值为（）A．1B．﹣1 C．i D．﹣i8．（2015•宝鸡一模）如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数z1•z2对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限9．（2015•安徽二模）复数z=的共轭复数在复平面上对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限10．（2015•商丘一模）若复数z满足（1+i）z=2﹣i，则|z+i|=（）A．B．C．2D．11．（2015•安徽一模）已知θ为实数，若复数z=sin2θ﹣1+i（cosθ﹣1）是纯虚数，则z的虚部为（）A．2B．0C．﹣2 D．﹣2i12．（2014春•元氏县校级期中）复数z满足条件：|2z+1|=|z﹣i|，那么z对应的点的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线13．（2014春•福建校级月考）在复平面上的平行四边形ABCD中，对应的复数是6+8i，对应的复数是﹣4+6i，则对应的复数是（）A．2+14i B．1+7i C．2﹣14i D．﹣1﹣7i 14．（2013春•肇庆期末）复数与在复平面上所对应的向量分别是，，O为原点，则这两个向量的夹角∠AOB=（）A．B．C．D．15．（2011春•固镇县校级期中）复数z=5+ai的模为13，则a的值为（）A．12 B．﹣12 C．12或﹣12 D．416．（2014•广东）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i17．（2013•北京）在复平面内，复数i（2﹣i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限18．（2012•黑龙江）下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为（），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4二．填空题（共7小题）19．（2015•上海模拟）若复数z满足z=i（2﹣z）（i是虚数单位），则|z|=．20．（2015•青浦区一模）若复数z=（i为虚数单位），则|z|=．21．（2014•上海模拟）在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．22．（2015•闸北区一模）复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为．23．（2015•成都模拟）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为．24．（2014•浙江校级一模）已知i是虚数单位，若，则ab 的值为．25．（2014•江苏）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为．三．解答题（共5小题）26．（2014•芙蓉区校级模拟）已知复数z=1﹣2i（i为虚数单位）（Ⅰ）把复数z的共轭复数记作，若•z1=4+3i，求复数z1；（Ⅱ）已知z是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根，求实数p，q的值．27．（2014•芙蓉区校级模拟）m取何值时，复数z=+（m2﹣2m﹣15）i（1）是实数；（2）是纯虚数．28．（2014秋•台江区校级期末）复数z1=+（10﹣a2）i，z2=+（2a﹣5）i，若+z2是实数，求实数a的值．29．（2014春•周口校级月考）已知复数z1=2﹣3i，z2=．求：（1）z1•z2；（2）．30．（2014春•新兴县校级月考）已知复数z=，若z2+az+b=1﹣i，（1）求z；（2）设W=a+bi 求|w|．高二数学复数测试题及答案参考答案与试题解析一．选择题（共18小题）1．（2015•陕西模拟）定义运算，则符合条件=0的复数z的共轭复数对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的基本概念．专题：计算题；新定义．分析：首先根据题意设出复数Z，再结合题中的新定义得到一个等式，然后求出复数Z的共轭复数进而得到答案．解答：解：设复数Z=a+bi由题意可得：定义运算，所以=Z（1+i）﹣（1+2i）（1﹣i）=0，代入整理可得：（a﹣b）+（a+b）i=3+i，解得：a=2，b=﹣1，所以Z=2﹣i，所以=2+i，所以复数z的共轭复数对应的点在第一象限．故选A．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握复数的有关概念与复数的几何意义，以及正确理解新定义，并且结合正确的运算．2．（2015•钦州模拟）若复数（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣3 B．3C．﹣6 D．6考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：利用两个复数相除，分子和分母同时除以分母的共轭复数，把复数化简到最简形式，根据实部等于0，虚部不等于0，求出，实数a的值．解答：解：∵==是纯虚数，∴a﹣3=0，a+3≠0，∴a=3，故选B．点评：本题考查纯虚数的定义，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时除以分母的共轭复数．3．（2015•河南一模）如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（）D．2A．B．C．﹣考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：复数分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，利用实部和虚部互为相反数，求出b．解答：解：==+i由=﹣得b=﹣．故选C．点评：本题考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题．4．（2015•福建模拟）复数i+i2等于（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i考点：虚数单位i及其性质．专题：数系的扩充和复数．分析：直接由虚数单位i的运算性质求得答案．解答：解：i+i2=i﹣1=﹣1+i．故选：C．点评：本题考查了虚数单位i的运算性质，是基础的会考题型．5．（2015•兰州二模）已知复数z满足（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：由复数的除法运算化简复数z，得到对应点的坐标得答案．解答：解：由，得=．∴z在复平面内对应的点的坐标为，是第一象限的点．故选：A．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．6．（2015•南充一模）已知复数z=，则z的共轭复数为（）A．B．C．D．考点：复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：根据共轭复数的定义即可求得答案．解答：解：∵，∴z的共轭复数为，故选：C．点评：本题考查了复数的基本概念，是基础的会考题型．7．（2015•马鞍山一模）若复数z=（a2﹣4）+（a+2）i为纯虚数，则的值为（）A．1B．﹣1 C．i D．﹣i考点：复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数的概念确定a的值，即可得到结论．解答：解：∵z=（a2﹣4）+（a+2）i为纯虚数，∴，即，解得a=2，则==﹣i，故选：D点评：本题考查复数的概念及运算，容易题．8．（2015•宝鸡一模）如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数z1•z2对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数的几何意义先求出z1，z2即可．解答：解：由复数的几何意义知z1=﹣2﹣i，z2=i，则z1z2=（﹣2﹣i）i=﹣2i﹣i2=1﹣2i，对应的点的坐标为（1，﹣2）位于第四象限，故选：D．点评：本题主要考查复数的几何意义以及复数的基本运算，比较基础．9．（2015•安徽二模）复数z=的共轭复数在复平面上对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：利用两个复数复数代数形式的乘除法求得z，可得它的共轭复数，可得共轭复数在复平面上对应的点的坐标，可得结论．解答：解：∵复数z====﹣+i，∴=﹣﹣i，它在复平面上对应的点为（﹣，﹣），在第三象限，故选C．点评：本题主要考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．10．（2015•商丘一模）若复数z满足（1+i）z=2﹣i，则|z+i|=（）A．B．C．2D．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则可得z，再利用复数模的计算公式即可得出．解答：解：∵复数z满足（1+i）z=2﹣i，∴（1﹣i）（1+i）z=（1﹣i）（2﹣i），化为2z=1﹣3i，∴z=，∴z+i=．∴|z+i|==．故选：B．点评：本题考查了复数的运算法则、复数模的计算公式，属于基础题．11．（2015•安徽一模）已知θ为实数，若复数z=sin2θ﹣1+i（cosθ﹣1）是纯虚数，则z 的虚部为（）A．2B．0C．﹣2 D．﹣2i考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的实部为0，虚部不为0，求出表达式，解得z的虚部的值．解答：解：θ为实数，若复数z=sin2θ﹣1+i（cosθ﹣1）是纯虚数，∴⇒⇒，（k∈Z），∴cosθ﹣1=﹣2，故选：C．点评：本题考查了复数运算法则和几何意义，属于基础题．12．（2014春•元氏县校级期中）复数z满足条件：|2z+1|=|z﹣i|，那么z对应的点的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线考点：复数求模；轨迹方程．专题：数系的扩充和复数．分析：设复数z=x+yi，x，y∈R，由模长公式化简可得．解答：解：设复数z=x+yi，x，y∈R，∵|2z+1|=|z﹣i|，∴|2z+1|2=|z﹣i|2，∴（2x+1）2+4y2=x2+（y﹣1）2，化简可得3x2+3y2+4x+2y=0，满足42+22﹣4×3×0=20＞0，表示圆，故选：A点评：本题考查复数的模，涉及轨迹方程的求解和圆的方程，属基础题．13．（2014春•福建校级月考）在复平面上的平行四边形ABCD中，对应的复数是6+8i，对应的复数是﹣4+6i，则对应的复数是（）A．2+14i B．1+7i C．2﹣14i D．﹣1﹣7i考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：利用复数的几何意义、向量的平行四边形法则即可得出．解答：解：由平行四边形法则可得：，解得，∴．故选D．点评：熟练掌握复数的几何意义、向量的平行四边形法则是解题的关键．14．（2013春•肇庆期末）复数与在复平面上所对应的向量分别是，，O为原点，则这两个向量的夹角∠AOB=（）A．B．C．D．考点：复数的代数表示法及其几何意义；数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题．分析：由条件求得||、||、的值，再由两个向量的夹角公式求得这两个向量的夹角∠AOB的值．解答：解：∵对应的复数为===﹣i，对应的复数为，∴||=1，||=2，=0+（﹣1）（﹣）=，设这两个向量的夹角∠AOB=θ，则cosθ===，∴θ=，故选A．点评：本题主要考查复数的代数表示及其几何意义，两个向量的夹角公式的应用，属于基础题．15．（2011春•固镇县校级期中）复数z=5+ai的模为13，则a的值为（）A．12 B．﹣12 C．12或﹣12 D．4考点：复数求模．专题：计算题．分析：根据题意求得复数的模，得到关于a的方程式，解之可求得结果．解答：解：复数z=5+ai的模为，所以=13．∴a=12或﹣12故选C．点评：本题考查复数代数形式的运算，复数的分类，是基础题．16．（2014•广东）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i考点：复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：根据题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得z的值．解答：解：∵复数z满足（3+4i）z=25，则z====3﹣4i，故选：A．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．17．（2013•北京）在复平面内，复数i（2﹣i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：首先进行复数的乘法运算，得到复数的代数形式的标准形式，根据复数的实部和虚部写出对应的点的坐标，看出所在的象限．解答：解：∵复数z=i（2﹣i）=﹣i2+2i=1+2i∴复数对应的点的坐标是（1，2）这个点在第一象限，故选A．点评：本题考查复数的代数表示法及其几何意义，本题解题的关键是写成标准形式，才能看出实部和虚部的值．18．（2012•黑龙江）下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为（），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4考点：复数的基本概念；命题的真假判断与应用．专题：计算题．分析：由z===﹣1﹣i，知，，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为﹣1，由此能求出结果．解答：解：∵z===﹣1﹣i，∴，，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为﹣1，故选C．点评：本题考查复数的基本概念，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．二．填空题（共7小题）19．（2015•上海模拟）若复数z满足z=i（2﹣z）（i是虚数单位），则|z|=．考点：复数求模；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：由题意可得（1+i）z=2i，可得z=，再利用两个复数代数形式的除法，虚数单位i 的幂运算性质求得z的值，即可求得|z|．解答：解：∵复数z满足z=i（2﹣z）（i是虚数单位），∴z=2i﹣iz，即（1+i）z=2i，∴z===1+i，故|z|=，故答案为．点评：本题主要考查两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质，求复数的模，属于基础题．20．（2015•青浦区一模）若复数z=（i为虚数单位），则|z|=．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则模的计算公式即可得出．解答：解：∵复数z====﹣1+2i．∴|z|=．故答案为：．点评：本题考查了复数的运算法则模的计算公式，属于基础题．21．（2014•上海模拟）在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．考点：复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的除法运算化简，得到该复数对应点的坐标，然后由两点间的距离公式求解．解答：解：==．∴复数对应的点为（），∴复数对应的点到原点的距离为．故答案为：．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，考查了两点间的距离公式，是基础的计算题．22．（2015•闸北区一模）复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为4．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：化简复数为a+bi（a，b∈R），然后由复数的实部等于零且虚部不等于0求出实数a的值．解答：解：=．∵复数是纯虚数∴，解得：a=4．故答案为：4．点评：本题考查了复数的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．23．（2015•成都模拟）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：首先求出|4+3i|，代入后直接利用复数的除法运算求解．解答：解：∵|4+3i|=．由（3﹣4i）z=|4+3i|，得（3﹣4i）z=5，即z=．∴z的虚部为．故答案为：．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．24．（2014•浙江校级一模）已知i是虚数单位，若，则ab的值为﹣3．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：把给出的等式的左边利用复数的除法运算化简，然后利用复数相等的条件求出a，b 的值，则答案可求．解答：解：由，得．所以b=3，a=﹣1．则ab=（﹣1）×3=﹣3．故答案为﹣3．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，是基础题．25．（2014•江苏）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为21．考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数的有关概念，即可得到结论．解答：解：z=（5+2i）2=25+20i+4i2=25﹣4+20i=21+20i，故z的实部为21，故答案为：21点评：本题主要考查复数的有关概念，利用复数的基本运算是解决本题的关键，比较基础．三．解答题（共5小题）26．（2014•芙蓉区校级模拟）已知复数z=1﹣2i（i为虚数单位）（Ⅰ）把复数z的共轭复数记作，若•z1=4+3i，求复数z1；（Ⅱ）已知z是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根，求实数p，q的值．考点：虚数单位i及其性质．专题：数系的扩充和复数．分析：（I）利用复数的运算法则即可得出；（II）利用实系数一元二次方程虚根成对原理、根与系数的关系即可得出．解答：解：（Ⅰ）由题意得=1+2i，∴z1====2﹣i．（Ⅱ）∵z是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根，则也是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根，∴=2=，=，解得p=﹣4，q=10．点评：本题考查了复数的运算法则、实系数一元二次方程虚根成对原理、根与系数的关系、共轭复数的定义，考查了计算能力，属于基础题．27．（2014•芙蓉区校级模拟）m取何值时，复数z=+（m2﹣2m﹣15）i（1）是实数；（2）是纯虚数．考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：（1）题目给出的复数的实部含有分式，要使给出的复数时实数，需要其虚部等于0，实部的分母不等于0；（2）要使给出的复数是纯虚数，需要虚部不等于0，实部的分子等于0，分母不等于0．解答：解（1）要使复数z=+（m2﹣2m﹣15）i是实数，则⇒．∴当m=5时，z是实数；（2）要使复数z=+（m2﹣2m﹣15）i是纯虚数，则⇒m=3或m=﹣2．∴当m=3或m=﹣2时，z是纯虚数．点评：本题考查复数的基本概念，关键是读懂题意，把问题转化为方程组求解，解答此题的关键是保证实部部分的分母有意义，此题虽是基础题但易出错．28．（2014秋•台江区校级期末）复数z1=+（10﹣a2）i，z2=+（2a﹣5）i，若+z2是实数，求实数a的值．考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：可求得+z2=+（a2+2a﹣15）i，利用其虚部为0即可求得实数a 的值．解答：解：∵z1=+（10﹣a2）i，z2=+（2a﹣5）i，∴+z2是=[+（a2﹣10）i]+[+（2a﹣5）i]=（+）+（a2﹣10+2a﹣5）i=+（a2+2a﹣15）i，∵+z2是实数，∴a2+2a﹣15=0，解得a=﹣5或a=3．又分母a+5≠0，∴a≠﹣5，故a=3．点评：本题考查复数的基本概念，考查转化思想与方程思想，属于中档题．29．（2014春•周口校级月考）已知复数z1=2﹣3i，z2=．求：（1）z1•z2；（2）．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数代数形式的乘除运算化简复数z2．（1）直接利用复数代数形式的乘法运算化简求值；（2）利用复数代数形式的除法运算化简求值．解答：解：z2===1﹣3i，又z1=2﹣3i．（1）z1•z2=（2﹣3i）（1﹣3i）=﹣7﹣9i；（2）===+i．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．30．（2014春•新兴县校级月考）已知复数z=，若z2+az+b=1﹣i，（1）求z；（2）设W=a+bi 求|w|．考点：复数代数形式的乘除运算；复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：（1）直接利用复数代数形式的乘除运算化简求z；（2）把z代入z2+az+b=1﹣i，整理后由复数相等的条件列式求得a，b的值，代入W=a+bi后由模的公式求模．解答：解：（1）z===；（2）由z2+az+b=1﹣i，得：（1+i）2+a（1+i）+b=1﹣i，整理得：（a+b）+（a+2）i=1﹣i，∴，解得：．∴W=﹣3+4i．则|w|=．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，训练了复数模的求法，是基础题．。
2023—2024学年陕西省咸阳市高二下学期期中数学(文科)试题(含答案)
2023-2024学年陕西省咸阳市高二下册期中数学（文）试题一、单选题1．复数23i z =-的虚部为（）A ．3B ．3-C ．3iD ．i3-【正确答案】B【分析】直接求出虚部即可.【详解】虚部为3-.故选：B.2．为了调查中学生近视情况，某校160名男生中有90名近视，150名女生中有75名近视，在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力（）A ．平均数B ．方差C ．回归分析D ．独立性检验【正确答案】D【分析】近视与性别时两类变量，根据分类变量的研究方法即可确定答案.【详解】解：近视与性别时两类变量，在检验两个随机事件是否相关时，最有说服力的方法时独立性检验.故选：D.3．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（）A ．14320r r r r <<<<B ．41320r r r r <<<<C ．42310r r r r <<<<D ．24130r r r r <<<<【正确答案】A【分析】根据题中给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据散点图的集中程度分析相关系数的大小【详解】解：由图可知，图2和图3是正相关，图1和图4是负相关，囷1和图2的点相对更加集中，所以相关性更强，所以1r 接近于1-，2r 接近1，所以14320r r r r <<<<，故选：A4．下列的三句话，若按照演绎推理的“三段论”模式，排列顺序正确的应是（）①()cos y x x R =∈是周期函数；②()cos y x x R =∈是三角函数；③三角函数是周期函数；A ．①②③B ．②①③C ．②③①D ．③②①【正确答案】D【分析】本题可根据“三段论”的相关性质得出结果.【详解】由“三段论”易知：三角函数是周期函数，()cos y x x R =∈是三角函数，()cos y x x R =∈是周期函数，故选：D.5．用反证法证明命题“a ，b ，R c ∈，若0a b c ++>，则a ，b ，c 中至少有一个正数”时，假设应为（）A ．a ，b ，c 均为负数B ．a ，b ，c 中至多一个是正数C ．a ，b ，c 均为正数D ．a ，b ，c 中没有正数【正确答案】D【分析】由反证法的概念判断即可.【详解】由题，“至少有一个”相对的情况就是“一个都没有”，故应假设a ，b ，c 中没有正数，故选：D6．已知x ，y 的取值如下表所示：x234y546如果y 与x 呈线性相关，且线性回归方程为72y bx =+，则b 等于（）A ．12-B ．12C ．110-D ．110【正确答案】B【分析】求出x 、y 的值，将点(),x y 的坐标代入回归直线方程，即可求得实数b 的值.【详解】由表格中的数据可得23433x ++==，54653y ++==，将点(),x y 的坐标代入回归直线方程得7352b +=，解得12b =.故选：B.7．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸到正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是（）A ．35B ．59C ．15D ．110【正确答案】B【分析】根据给定条件，以第一次摸到正品的事件为样本空间，利用古典概率公式计算作答.【详解】用A 表示事件“第一次摸到正品”，B 表示“第二次摸到正品”，在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率，相当于以A 为样本空间，事件B 就是积事件AB ，显然()9n A =，()5n AB =，所以在第一次摸到正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是()5(|)()9n AB P B A n A ==.故选：B8．设,R a b ∈，“复数i a b +是纯虚数”是“0a =”的（）A ．充分而不必要条件；B ．必要不充分条件；C ．充分必要条件；D ．既不充分也不必要条件.【正确答案】A【分析】根据纯虚数的定义，结合充分性、必要性的定义进行求解即可.【详解】当i a b +是纯虚数时，一定有0a =，但是当0a =时，只有当0b ≠时，i a b +才能是纯虚数，所以“复数i a b +是纯虚数”是“0a =”的充分而不必要条件，故选：A9．已知复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为()1,2A ，()1,3B -，则复数12z z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【正确答案】D【分析】由123,12i 1i =+=-+z z ，代入复数12z z ，利用复数的除法运算和几何意义可得答案.【详解】因为复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为()1,2A ，()1,3B -，所以123,12i 1i =+=-+z z ，则复数()()()()1212i 13i 12ii 3111213i 1i 23i +--+-+-+-=-==-z z ，在复平面内对应的点1122，⎛⎫- ⎪⎝⎭位于第四象限.故选：D.10．若实数,a b满足12a b+=ab 的最小值为AB ．2C．D ．4【正确答案】C【详解】121200a b ab a b a b +=∴=+≥=∴≥ ＞，＞，（当且仅当2b a =时取等号），所以ab的最小值为 C.基本不等式【名师点睛】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．11．如图所示的是某小朋友在用火柴拼图时呈现的图形，其中第1个图形用了3根火柴，第2个图形用了9根火柴，第3个图形用了18根火柴， ，按此规律，则第2022个图形用的火柴根数为（）A ．20192022⨯B ．20192023⨯C ．30332021⨯D ．30332023⨯【正确答案】D【分析】根据已知条件，进行归纳推理即可求解.【详解】由图可知第1个图形用了31(11)32⨯⨯+=根火柴第2个图形用了32(21)92⨯⨯+=根火柴，第3个图形用了33(31)182⨯⨯+=根火柴，……归纳得，第n 个图形用了3(1)3(123)2n n n +++++= 根火柴，当2022n =时，3(1)303320232n n +=⨯.故选：D.12．学校开设了多种体有类的校本选修课程，以更好的满足学生加强体有锻炼的需要.该校学生小明选择确定后，有三位同学根据小明的兴趣爱好，对他选择的体育类的校本课程进行猜测.甲说“小明选的不是游泳，选的是武术”，乙说“小明选的不是武术，选的是体操”，丙说“小明选的不是武术，也不是排球”，已知这三人中有两个人说的全对，有一个人只说对了一半，则由此推断小明选择的体育类的校本课程是（）A ．游泳B ．武术C ．体操D ．排球【正确答案】C【分析】根据题意，分别分析甲乙说的全对，甲丙全对，乙丙全对三种情况，分析即可得答案.【详解】若甲说的全对，则小明选的是武术，若乙说的全对，则小明选的是体操，矛盾，若甲说的全对，则小明选的是武术，若丙说的全对，则小明选的不是武术，矛盾，若乙说的全对，则小明选的是体操，若丙说的全对，不是武术也不是排球，满足题意，此时甲说的不是游泳正确，是武术错误，所以甲说的半对，满足题意，所以小明选择的是体操，故选：C 二、填空题13．若复数21iz =+，z 是其共轭复数，则z =_______.【正确答案】1i +/1i +【分析】根据复数的四则运算法则化简计算z ，再由共轭复数的概念写出z .【详解】化简()()()21i 222i 1i 1i 1i 1i 2z --====-++-，所以1i z =+.故1i+14．在等差数列{}n a 中，若50a =，则有1290a a a +++= 成立．类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若91b =，则存在的等式为______．【正确答案】12171b b b = 【分析】由29117n n b b b +-=⋅，利用类比推理即可得出.【详解】利用类比推理，借助等比数列的性质可知29117n n b b b +-=⋅，即291172168101b b b b b b b ===== ，可知存在的等式为12171b b b = .故12171b b b = 15．执行下面的程序框图，若输入的0k =，0a =，则输出的k 为_______.【正确答案】4【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出k 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求得答案.【详解】输入0k =，0a =，则第一次循环：1a =，1k =，不符合判断框条件，继续循环；第二次循环：3a =，2k =，不符合判断框条件，继续循环；第三次循环：7a =，3k =，不符合判断框条件，继续循环；第四次循环：15a =，4k =，此时满足判断框条件10a >，退出循环，输出4k =.故416．在复平面内，平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 对应的复数分别是1+3i,-i,2+i,则点D 对应的复数为_________【正确答案】3+5i【详解】试题分析：,,A B C 三点对应的复数分别是13,,2i i i +-+，(1,3),(0,1),(2,1)A B C ∴-，设(,)D x y ，则：(1,4),(2,1)AB DC x y =--=--，在平行四边形ABCD 中，有AB DC =，即(1,4)(2,1)x y --=--，213{{145x x y y -=-=∴⇒-=-=，即(3,5)D 对应的复数为.35i +故答案应填：35i +．复的几何意义．三、解答题17．计算：（1）(1)(1)(1)i i i +-+-+；（2）2020121()341i i i i+++--【正确答案】（1）1i +（2）4255i +【分析】（1）根据复数的运算法则可得结果；（2）根据复数的除法运算和乘法运算可得结果.【详解】（1）原式2111111i i i i =--+=+-+=+.（2）原式()()()()()()()2020212341343411i i i i i i i ⎛⎫+++ ⎪=+ ⎪-+-+⎝⎭()505451025ii -+=+12155i =-++4255i =+.18．当实数m 取何值时，在复平面内复数()()222334i z m m m m =--+--对应的点满足下列条件：(1)在实轴上；(2)z 是纯虚数.【正确答案】(1)1m =-或4m =(2)3m =【分析】（1）由虚部为0得出m 的值；（2）由纯虚数的定义得出m 的值.【详解】（1）复数z 在复平面内的坐标为22(23,34)m m m m ----因为复数z 对应的点在实轴上，所以2340m m --=，解得1m =-或4m =即1m =-或4m =（2）因为z 是纯虚数，所以2230m m --=且2340m m --≠，解得1m =-（舍）或3m =故3m =19．某机械厂制造一种汽车零件，已知甲机床的正品率是0.9，乙机床的次品率是0.2，现从它们制造的产品中各任意抽取一件.(1)求两件产品都是正品的概率；(2)求恰好有一件是正品的概率；(3)求至少有一件是正品的概率.【正确答案】(1)0.72(2)0.26(3)0.98【分析】（1）根据相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.（2）根据相互独立事件、互斥事件概率计算公式，计算出所求概率.（3）由（1）（2）求得至少有一件是正品的概率.【详解】（1）两件产品都是正品的概率为()0.910.20.72⨯-=.（2）恰好有一件是正品的概率为()()0.90.210.910.20.26⨯+-⨯-=.（3）由（1）（2）得至少有一件是正品的概率为0.720.260.98+=20．证明：(1)>(2)如果0,0,a b >>则ln ln ln22a b a b++≥.【正确答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由不等式的性质结合分析法证明即可；（2）由基本不等式结合ln y x =的单调性证明即可.【详解】（1>只需证22>即证1414+>+即证即证126>因为126>（2）当0,0a b >>时，a b +≥2a b+≥a b =时，等号成立ln y x = 在(0,)+∞上单调递增ln2a b+∴≥即11ln ln (ln ln )222a b ab a b +≥=+ln ln ln22a b a b ++∴≥21．甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别抽查了两台机床生产的产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品合计甲机床30乙机床40合计90200(1)请将上述22⨯列联表补充完整；(2)能否有99.9%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．()20P K k ≥0.100.050.0100.0050.001k 2.706 3.841 6.6357.87910.828【正确答案】(1)列联表见解析(2)有99.9%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异【分析】（1）直接计算补充列联表即可；（2）先计算2K ，再和10.828比较作出判断即可.【详解】（1）补充完整的22⨯列联表如下：一级品二级品合计甲机床3070100乙机床6040100合计90110200（2）∵()222003040706018.1810.82890110100100K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，∴有99.9%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异．22．“俯卧撑”是日常体能训练的一项基本训练，坚持做可以锻炼上肢､腰部及腹部的肌肉.某同学对其“俯卧撑”情况作了记录，得到如表数据.分析发现他能完成“俯卧撑”的个数y (个)与坚持的时间x (周)线性相关.x1245y5152535（1）求y 关于x 的线性回归方程y b x a ∧∧∧=+；（2）预测该同学坚持10周后能完成的“俯卧撑”个数.参考公式：121()()()niii nii x x y y b x x ∧==--=-∑∑，a y b x ∧∧=-，其中x ，y 表示样本平均值.【正确答案】（1）71y x ∧=-；（2）69个.【分析】（1）根据数据求得均值，代入公式求得回归方程；（2）令10x =代入预测出函数值.【详解】（1）由所给数据计算得1(1245)34x =⨯+++=，1(5152535)204y =⨯+++=，44211()()70,()10,i i i i i x x yy x x ==--=-=∑∑所以，41421()()70710()i i i i i x x y y b x x ∧==--===-∑∑1a yb x ∧∧=-=-故y 关于x 的线性回归方程是71y x ∧=-（2）令10x =，得710169,y ∧=⨯-=故预测该同学坚持10周后能完成69个“俯卧撑”.23．已知函数()ln 3f x a x x =+-．(1)若1a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)若()f x 的最小值为2-，求a 的值．【正确答案】(1)240x y --=(2)1a =-【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求得答案.（2）利用函数的导数判断函数的单调性，求得函数的最小值并令其等于-2，得到()1ln 10a a---=，构造函数()1ln 1x g x x =+-,利用导数确定a 的值.【详解】（1）∵()ln 3f x a x x =+-，∴()1a x a f x x x +'=+=,∴当1a =时，()12f =-，()12f '=,∴()221y x +=-,∴所求切线方程为240x y --=．（2）由（1）知，()x a f x x+'=，0x >．当0a ≥时，()0f x ¢>，()f x 在()0,∞+上单调递增，此时无最小值；当a<0时，令()0f x '=，得x a =-，当()0,x a ∈-时，()0f x '<；当(),x a ∈-+∞时，()0f x ¢>,∴()f x 在()0,a -上单调递减，在(),a -+∞上单调递增，∴()f x 的最小值为()()ln 32f a a a a -=---=-，则()1ln 10a a---=．令()1ln 1x g x x =+-，则()21x g x x -'=，∴当()0,1x ∈时，()0g x '<；当()1,x ∈+∞时，()0g x '>．∴()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，∵()10g =，∴()0g x =有一个根1x =，∴1a -=，即1a =-．。
高二数学复数试题答案及解析
高二数学复数试题答案及解析1.已知复数，（，是虚数单位）．（1）若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围；（2）若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先算出，再根据在复平面上对应的点落在第一象限，可得不等式组，从中求解即可得出的取值范围；（2）根据实系数的一元二次方程有一复数根时，则该方程的另一个根必为，且，从而可先求解出的值，进而求出的值.（1）由条件得 2分因为在复平面上对应点落在第一象限，故有 4分∴解得 6分（2）因为虚数是实系数一元二次方程的根，所以也是该方程的一个根根据二次方程根与系数的关系可得，即 10分把代入，则， 11分所以 14分.【考点】1.复数的几何意义；2.实系数的一元二次方程在复数范围内根与系数的关系；3.复数的运算.2.已知复数(),是实数，是虚数单位.（1）求复数z；（2）若复数所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围.【答案】（1）．(2) 时，复数所表示的点在第一象限．【解析】（1）．又是实数，,，即．(2) ，，,又复数所表示的点在第一象限，解得，即时，复数所表示的点在第一象限．【考点】复数的相等，复数的代数运算，复数的几何意义。
点评：中档题，复数的除法，通过分子分母同乘分母的共轭复数，实现“分母实数化”。
3.设为实数，复数【答案】1+3i【解析】根据题意，由于设为实数，复数（1-2i）(-1+i)=1+3i，故可知答案为1+3i.【考点】复数的运算点评：主要是考查了复数的运算，属于基础题。
4.在复平面内，复数＋(1＋)2对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】根据题意，由于复平面内，复数＋(1＋)2=，故可知实部虚部为正数，故可知对应的点在第一象限，故答案为A.【考点】复数的运算点评：主要是考查了复数的运算，属于基础题5.复数的值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】==，故选A。
高中数学复数专题 (含答案)
高考复数专题（1）姓名：1、若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a = 02、设i 是虚数单位，则复数32i i-= i.3、若复数()32z i i =- ( i 是虚数单位 )，则z = 23i -4、设复数z 满足11zz+-=i ，则|z|= 15、若复数R ∈i1ai1＋－，则实数a ＝ －16、复数()i 2i -= 12i +7、 i 为虚数单位，607i 的共轭复数．．．．为 i8、若复数z 满足1zi i =-，其中i 为虚数为单位，则z = 1i -9.设复数a +bi （a ，b ∈R，则（a +bi ）（a -bi ）=______3__.高考复数专题（1）作业 姓名：10.i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+ 是纯虚数，则实数a 的值为 2- .11.设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为12.已知()211i i z-=+（i 为虚数单位），则复数z = 1i --13.若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z12i + ． 14、复数3＋2i2－3i＝ i15、在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是 2＋4i16、若复数(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 表示的点在虚轴上，则实数m 的值是 －1和417已知复数z ＝11＋i，则z －·i 在复平面内对应的点位于第 二象限18、设i 是虚数单位，则复数21ii-在复平面内所对应的点位于第 二象限高考复数专题（2）姓名：1、复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1·z 2在复平面内对应的点位于第 四 象限2、已知复数a ＝3＋2i ，b ＝4＋xi (其中i 为虚数单位)，若复数a b ∈R ，则实数x 的值为 83 3、设z ＝1－i (i 是虚数单位)，则z 2＋2z ＝ 1－i4、在复平面内，复数21－i对应的点到直线y ＝x ＋1的距离是 225、设复数z 满足关系式z ＋|z －|＝2＋i ，则z 等于 34＋i6 、若复数z ＝a ＋i 1－2i(a ∈R ，i 是虚数单位)是纯虚数，则|a ＋2i |等于 227、若复数z 1＝a －i ，z 2＝1＋i (i 为虚数单位)，且z 1·z 2为纯虚数，则实数a 的值为 ________－18、若a 是复数z 1＝1＋i 2－i的实部，b 是复数z 2＝(1－i )3的虚部，则ab 等于________．－25 9、如果复数2－bi1＋2i(i 是虚数单位)的实数与虚部互为相反数，那么实数b 等于________． －23高考复数专题（2）作业 姓名：10、已知a R ∈，若(1)(32)ai i -+为纯虚数，则a 的值为 32-11、复数(3i －1)i 的共轭复数．．．．是 －3＋i12、已知复数z 满足()()12z i i i -⋅+=-，则z z ⋅=213、已知复数z 满足()1i 2i z -=+，则z 的共轭复数在复平面内对应的点在． 第 四 象限14、设复数z 满足关系i i z 431+-=⋅，那么z =__34i +_______,|z|=___54_______.15、设i 是虚数单位，复数=++iii 123 116、若i x x x )23()1(22+++- 是纯虚数，则实数x 的值是 117、已知复数11z i i=+-，则复数z 的模｜z ｜＝218、复数201511i i +⎛⎫⎪-⎝⎭＝ －i高考复数专题（3）姓名：1、复数21ii-等于 －1＋i 2、复数i215+的共轭复数为 1+2i3、已知i 是虚数单位，则复数3(12)z i i =⋅-+的虚部为4、设复数i z 431-=，i z 322+-=，则复数12z z -在复平面内对应的点位于第 二 象限5、若i 是虚数单位，则复数21i z i-=+的实部与虚部之积为 34-6、纯虚数z 满足23z -=，则z 为7、设m ∈R ，222(1)m m m i +-+-是纯虚数,其中i 是虚数单位，则m = 一28、复平面内，复数2)31(i +对应的点位于第 二 象限9、已知复数13i z =+，21i z =-，则复数12zz 在复平面内对应的点位于第 一 象限高考复数专题（3）作业 姓名：10、复数12z a i =+，22z i =-+，如果12||||z z <，则实数a 的取值范围是 11<<-a11、已知ni m i n m ni im+-=+则是虚数单位是实数其中,,,,11的虚部为 112、若)54(cos 53sin -+-=θθi z 是纯虚数，则θtan 的值为 43-13、设a 是实数，且211ii a +++是实数，则=a 114、200811i i +⎛⎫ ⎪-⎝⎭＝ 115、若复数iia 213++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数,则实数a 的值为 -616、已知复数z = (1 – i )(2 – i )，则| z |的值是 ． 1017、复数z 满足i i i z +=-2)(，则 z =i -118、复数z ＝－3+i2+i 的共轭复数是 －1－i高考复数专题（4）姓名：1、复数11i =+ 1122i -2、若复数i z +=1 （i 为虚数单位) z -是z 的共轭复数 ， 则2z +z -²的虚部为 03、复数z = i （i+1）（i 为虚数单位）的共轭复数是 -1-i4、若i bi -+13= a+b i （a ，b 为实数，i 为虚数单位），则a+b =____________.35、设i 为虚数单位，则复数34ii+= 43i -6、复数（2+i ）2等于 3+4i7、在复平面内，复数103ii+对应的点的坐标为 (1 ,3)8、i 是虚数单位，复数ii-+435= 1+i9、设a b ∈R ，，117ii 12ia b -+=-（i 为虚数单位），则a b +的值为 8 ．高考复数专题（4）作业 姓名：10、计算：31ii-=+ i 21-（i 为虚数单位）11、设1z i =+（i 是虚数单位），则22z z+= 1i +12、在复平面内，复数(12)z i i =+对应的点位于第 二象限13、复数31ii--等于 2i +14、复数8+15i 的模等于 1715、已知1iZ＋=2+i,则复数z= 1-3i16、i 是虚数单位，若17(,)2ia bi ab R i+=+∈-，则乘积ab 的值是 －317、i 是虚数单位，i(1+i)等于 -1+i18、若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为 1-高考复数专题（5）姓名：1、i 是虚数单位，52i i-= -1+2i2、复数 32(1)i i += 23、设a ∈R ，且2()a i i +为正实数，则a = 1-4、已知复数z=1－i, 则12-z z等于 25、若复数(1)(2)bi i ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数），则b = 26、复数211i ii +-+的值是 07、i 是虚数单位，32i 1i=-（ 1i - ）8、已知复数11i z =-，121i z z =+，则复数2z = i ．9、复数322ii +的虚部为____45__．高考复数专题（5）姓名：10、31i i -的共轭复数是 3322i --11、复数1ii+在复平面中所对应的点到原点的距离为 2212、复数()2化简得到的结果是 －l13、若a 为实数，i iai 2212-=++，则a 等于 2 214、若cos sin z i θθ=+（i 为虚数单位），则21z =-的θ值可能是 2π15、若i R b a i b i i a ,)2(∈+=+、，其中是虚数单位，则a+b = －116、2(1)i i += -217、设i 为虚数单位，则=⎪⎭⎫⎝⎛+20081i i 2100418、若复数()()22ai i --是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a = 4高考复数专题（6）姓名：1、复数312i i ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的虚部为________. －12、若复数()2i bi ⋅+是纯虚数，则实数b = 03、i i -210= -2+4i4、复数3223ii+=- i5、若(2)a i i b i -=+，其中i R b a ,,∈是虚数单位，则a ＋b ＝__________ 36、已知x ，y ∈R ，i 是虚数单位，且(x －1)i －y ＝2＋i ，则(1＋i )x －y 的值为 －47、若复数z 满足(2)117i(i z i -=+为虚数单位)，则z 为 3+5i8、已知i 是虚数单位，则31ii+-= 1+2i9、在复平面内，复数z=sin2+icos2对应的点位于第 四 象限10、 若复数12,z z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且i z -=21，则复数21z z = i 5453+-高考复数专题（6）姓名：11、已知复数z 满足28z z i +=+,其中i 为虚数单位,则z = 1712、设a ∈R ，且（a +i ）2i 为正实数，则a 等于 -113、若i3i34m m +-(m ∈R )为纯虚数，则)i 2i 2(m m -+ 2 008的值为 114、设复数z 1=1－2i, z 2=1+i, 则复数z =21z z 在复平面内对应的点位于第 三象限15、若(a －2i)i = b －i ，其中a 、b ∈R ,i 是虚数单位，则a 2+b 2等于 516、 |1|11|1|i ii i +++++＝ 217、设复数z 1=1+i, z 2=x －i(x ∈R ),若z 1·z 2为实数，则x 等于 118、若复数z 满足 Z =i （2－z ）（i 是虚数单位），则z = . 1+i19、复数3ii)2i)(1(+--的共轭复数是 . －3+i20、若复数()()i 2ai 1＋＋的实部和虚部相等，则实数a 等于 21。
复数试题及答案高中数学
复数试题及答案高中数学一、选择题1. 复数z = 3 + 4i的模是（）A. 5B. √5C. √(3² + 4²)D. 42. 已知z₁ = 2 - i，z₂ = 1 + 3i，求z₁z₂的值是（）A. 5 - iB. 5 + iC. 2 + 5iD. 2 - 5i3. 复数z = 1/(1 - i)的共轭复数是（）A. -1 - iB. -1 + iC. 1 - iD. 1 + i二、填空题4. 复数3 - 4i的实部是______，虚部是______。
5. 若复数z满足|z| = 5，且z的实部为3，则z的虚部可以是______。
三、解答题6. 求复数z = 2 + 3i的共轭复数，并计算|z|。
7. 已知复数z₁ = 2 + i，z₂ = 1 - 2i，求z₁ + z₂，z₁ - z₂，z₁z₂。
8. 证明：对于任意复数z，都有|z|² = z * z的共轭复数。
答案一、选择题1. C. √(3² + 4²) = 52. A. 5 - i （(2 - i)(1 + 3i) = 2 + 6i - i - 3 = 5 - i）3. D. 1 + i （1/(1 - i) = (1 + i)/2）二、填空题4. 3，-45. ±4 （因为|z|² = 3² + 虚部²，所以虚部² = 25 - 9 = 16，虚部= ±4）三、解答题6. z的共轭复数是2 - 3i，|z| = √(2² + 3²) = √13。
7. z₁ + z₂ = (2 + i) + (1 - 2i) = 3 - iz₁ - z₂ = (2 + i) - (1 - 2i) = 1 + 3iz₁z₂ = (2 + i)(1 - 2i) = 2 - 4i + i - 2i² = 4 - i8. 证明：设z = a + bi，其中a和b是实数，i是虚数单位。
人教版高中数学必修第二册第二单元《复数》测试题(含答案解析)
1．设 a R ，则复数 z 1 a2 2ai 所对应点组成的图形为（ ） 1 a2
A．单位圆
B．单位圆除去点 1,0
C．单位圆除去点
1, 0
D．单位圆除去点 1,0
2．在下列命题中，正确命题的个数是（ ）. ①两个复数不能比较大小；
②复数 z i 1对应的点在第四象限；
③若 x2 1 x2 3x 2 i 是纯虚数，则实数 x 1；
【点睛】
本题主要考查复数的乘法运算，考查复数相等的性质，属于基础题.
12．A
解析：A
【分析】
把两个复数都化为 a bi(a,b R) 形式，然后由共轭复数定义求a
i
bi
ia
i2
bi
b
ai
， 1 i2
2i
，又
a
bi 1
与 1 i2
互为共轭复数，所以
b 0 ， a 2 .则 a b 2 .
13．如果复数 2 bi 的实部和虚部互为相反数，那么实数 b 的值为__ 1 2i
14．下列命题（ i 为虚数单位）中：①已知 a,b R 且 a b ，则 (a b) (a b)i 为纯虚
数；②当 z 是非零实数时， z 1 2 恒成立；③复数 z (1 i)3 的实部和虚部都是－ z
②根据基本不等式的性质知 | z 1 | 2 恒成立； z
③化简复数 z ，得 z 的实部和虚部都是 2 ； ④根据模长公式得关于 a 的不等式，求解即可； ⑤根据复数代数运算法则，化简计算即可． 【详解】
解掌握水平.
14．②③④【分析】①当时不是纯虚数；②根据基本不等式的性质知恒成
立；③化简复数得的实部和虚部都是；④根据模长公式得关于的不等式求解
精选高中数学复数多选题专项训练专题复习含答案(5)
一、复数多选题1．已知i 为虚数单位，复数322i z i +=-，则以下真命题的是（ ） A ．z 的共轭复数为4755i - B ．z 的虚部为75i C ．3z = D ．z 在复平面内对应的点在第一象限 答案：AD【分析】先利用复数的除法、乘法计算出，再逐项判断后可得正确的选项.【详解】，故，故A 正确.的虚部为，故B 错，，故C 错，在复平面内对应的点为，故D 正确.故选：AD.【点睛】本题考解析：AD【分析】先利用复数的除法、乘法计算出z ，再逐项判断后可得正确的选项.【详解】()()32232474725555i i i i i z i ++++====+-，故4755i z =-，故A 正确.z 的虚部为75，故B 错，3z ==≠，故C 错， z 在复平面内对应的点为47,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：AD.【点睛】本题考查复数的概念、复数的运算以及复数的几何意义，注意复数(),z a bi a b R =+∈的虚部为b ，不是bi ，另外复数的除法运算是分子分母同乘以分母的共轭复数.2．复数21i z i+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．|z |=B ．z 的共轭复数为3122i +C ．z 的实部与虚部之和为2D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限答案：CD【分析】根据复数的四则运算，整理复数，再逐一分析选项，即得.【详解】由题得，复数，可得，则A 不正确；的共轭复数为，则B 不正确；的实部与虚部之和为，则C 正确；在复平面内的对应点为，位于第一解析：CD【分析】根据复数的四则运算，整理复数z ，再逐一分析选项，即得.【详解】 由题得，复数22(2)(1)13131(1)(1)122i i i i z i i i i i ++++====+--+-，可得||2z ==，则A 不正确；z 的共轭复数为1322i -，则B 不正确；z 的实部与虚部之和为13222+=，则C 正确；z 在复平面内的对应点为13(,)22，位于第一象限，则D 正确.综上，正确结论是CD.故选：CD【点睛】本题考查复数的定义，共轭复数以及复数的模，考查知识点全面.3．以下命题正确的是（ ）A ．0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件B ．满足210x +=的x 有且仅有iC ．“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件D ．已知()f x =()1878f x x '= 答案：AC【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式解析：AC【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程210x +=可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式可判断D 选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A 选项，若复数z a bi =+为纯虚数，则0a =且0b ≠，所以，0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件，A 选项正确；对于B 选项，解方程210x +=得x i =±，B 选项错误；对于C 选项，当(),x a b ∈时，若()0f x '>，则函数()f x 在区间(),a b 内单调递增， 即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇒“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.反之，取()3f x x =，()23f x x '=，当()1,1x ∈-时，()0f x '≥， 此时，函数()y f x =在区间()1,1-上单调递增，即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇐/“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.所以，“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件.C 选项正确；对于D 选项，()11172488f x x x ++===，()1878f x x -'∴=，D 选项错误. 故选：AC.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及充分条件与必要条件的判断、实系数方程的根以及导数的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.4．已知复数z a =+在复平面内对应的点位于第二象限，且2z = 则下列结论正确的是（ ）．A ．38z =B ．zC ．z 的共轭复数为1D ．24z = 答案：AB【分析】利用复数的模长运算及在复平面内对应的点位于第二象限求出 ，再验算每个选项得解.【详解】解：，且，复数在复平面内对应的点位于第二象限选项A:选项B: 的虚部是选项C:解析：AB【分析】利用复数2z =的模长运算及z a =+在复平面内对应的点位于第二象限求出a ，再验算每个选项得解.【详解】解：z a =+，且2z =224a +∴=，=1a ±复数z a =+在复平面内对应的点位于第二象限1a ∴=-选项A : 3323(1)(1)+3(1)+3())8-+=---+=选项B : 1z =-选项C : 1z =-的共轭复数为1z =--选项D : 222(1)(1)+2()2-+=--=--故选：AB ．【点睛】本题考查复数的四则运算及共轭复数，考查运算求解能力.求解与复数概念相关问题的技巧:复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即()a bi a b R ∈+，的形式，再根据题意求解．5．已知复数z 满足(2i)i z -=(i 为虚数单位)，复数z 的共轭复数为z ，则（ ）A ．3||5z = B ．12i 5z +=- C ．复数z 的实部为1- D ．复数z 对应复平面上的点在第二象限 答案：BD【分析】因为复数满足，利用复数的除法运算化简为，再逐项验证判断.【详解】因为复数满足，所以所以，故A 错误；，故B 正确；复数的实部为 ，故C 错误；复数对应复平面上的点在第二象限解析：BD【分析】因为复数z 满足(2i)i z -=，利用复数的除法运算化简为1255z i =-+，再逐项验证判断. 【详解】因为复数z 满足(2i)i z -=，所以()(2)1222(2)55i i i z i i i i +===-+--+所以z ==，故A 错误； 1255z i =--，故B 正确； 复数z 的实部为15- ，故C 错误； 复数z 对应复平面上的点12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限，故D 正确. 故选：BD【点睛】本题主要考查复数的概念，代数运算以及几何意义，还考查分析运算求解的能力，属于基础题.6．已知复数z 的共轭复数为z ，且1zi i =+，则下列结论正确的是（ ）A ．1z +=B ．z 虚部为i -C ．202010102z =-D ．2z z z += 答案：ACD【分析】先利用题目条件可求得，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由可得，，所以，虚部为；因为，所以，．故选：ACD ．【解析：ACD【分析】先利用题目条件可求得z ，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由1zi i =+可得，11i z i i+==-，所以12z i +=-==，z 虚部为1-；因为2422,2z i z =-=-，所以()5052020410102z z ==-，2211z z i i i z +=-++=-=．故选：ACD ．【点睛】本题主要考查复数的有关概念的理解和运用，复数的模的计算公式的应用，复数的四则运算法则的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题．7．已知复数z 满足（1﹣i ）z ＝2i ，则下列关于复数z 的结论正确的是（ ）A ．||z =B ．复数z 的共轭复数为z ＝﹣1﹣iC ．复平面内表示复数z 的点位于第二象限D ．复数z 是方程x 2+2x +2＝0的一个根答案：ABCD【分析】利用复数的除法运算求出，再根据复数的模长公式求出，可知正确；根据共轭复数的概念求出，可知正确；根据复数的几何意义可知正确；将代入方程成立，可知正确.【详解】因为（1﹣i ）z ＝解析：ABCD【分析】利用复数的除法运算求出1z i =-+，再根据复数的模长公式求出||z ，可知A 正确；根据共轭复数的概念求出z ，可知B 正确；根据复数的几何意义可知C 正确；将z 代入方程成立，可知D 正确.【详解】因为（1﹣i ）z ＝2i ，所以21i z i=-2(1)221(1)(1)2i i i i i i +-+===-+-+，所以||z ==A 正确； 所以1i z =--，故B 正确；由1z i =-+知，复数z 对应的点为(1,1)-，它在第二象限，故C 正确；因为2(1)2(1)2i i -++-++22220i i =--++=，所以D 正确.故选：ABCD.【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的模长公式，考查了复数的几何意义，属于基础题.8．已知复数1z =-(i 为虚数单位)，z 为z 的共轭复数，若复数z w z =，则下列结论正确的有（ ）A ．w 在复平面内对应的点位于第二象限B ．1w =C ．w 的实部为12-D ．w答案：ABC【分析】对选项求出，再判断得解；对选项，求出再判断得解；对选项复数的实部为，判断得解；对选项,的虚部为,判断得解.【详解】对选项由题得.所以复数对应的点为，在第二象限，所以选项正确解析：ABC【分析】对选项,A 求出1=2w -+，再判断得解；对选项B ，求出1w =再判断得解；对选项,C 复数w 的实部为12-，判断得解；对选项D ,w 判断得解. 【详解】对选项,A 由题得1,z =-221=422w -+∴===-+.所以复数w 对应的点为1(2-，在第二象限，所以选项A 正确；对选项B ，因为1w ==，所以选项B 正确； 对选项,C 复数w 的实部为12-，所以选项C 正确；对选项D ,w 的虚部为2,所以选项D 错误. 故选：ABC【点睛】 本题主要考查复数的运算和共轭复数，考查复数的模的计算，考查复数的几何意义，考查复数的实部和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．i 是虚数单位，下列说法中正确的有（ ）A ．若复数z 满足0z z ⋅=，则0z =B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数()z a ai a R =+∈，则z 可能是纯虚数D ．若复数z 满足234z i =+，则z 对应的点在第一象限或第三象限答案：ADA 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题解析：AD【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题中条件，求出复数，由几何意义，即可判断出结果.【详解】A 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则其共轭复数为(),z a bi a b R =-∈， 则220z z a b ⋅=+=，所以0a b ，即0z =；A 正确；B 选项，若11z =，2z i =，满足1212z z z z +=-，但12z z i =不为0；B 错；C 选项，若复数()z a ai a R =+∈表示纯虚数，需要实部为0，即0a =，但此时复数0z =表示实数，故C 错；D 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则()2222234z a bi a abi b i =+=+-=+， 所以22324a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩，则2z i =+或2z i =--， 所以其对应的点分别为()2,1或()2,1--，所以对应点的在第一象限或第三象限；D 正确. 故选：AD.10．下列说法正确的是（ ）A ．若2z =，则4z z ⋅=B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数z 的平方是纯虚数，则复数z 的实部和虛部相等D ．“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件 答案：AD【分析】由求得判断A ；设出，，证明在满足时，不一定有判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】若，则，故A 正确；设，则，而不一定为0，故B 错误；当时解析：AD【分析】 由z 求得z z ⋅判断A ；设出1z ，2z ，证明在满足1212z z z z +=-时，不一定有120z z =判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】 若2z =，则24z z z ⋅==，故A 正确；设()11111,z a bi a b R =+∈，()22222,z a b i a b R =+∈ 由1212z z z z +=-，可得()()()()222222121212121212z z a a b b z z a a b b +=+++=-=-+-则12120a a b b +=，而()()121122121212121212122z z a bi a b i a a bb a b i b a i a a a b i b a i =++=-++=++不一定为0，故B 错误；当1z i =-时22z i =-为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C 错误；若复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数，则210a -≠，即1a ≠± 所以“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件，故D 正确； 故选：AD【点睛】本题考查的是复数的相关知识，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题.11．已知复数12z =-+（其中i 为虚数单位，，则以下结论正确的是（ ）．A ．20zB ．2z z =C ．31z =D ．1z = 答案：BCD【分析】计算出，即可进行判断.【详解】，，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误；，故C 正确；，故D 正确.故选：BCD.本题考查复数的相关计算，属于基础题.解析：BCD【分析】 计算出23,,,z z z z ，即可进行判断.【详解】12z =-+， 221313i i=2222z z ，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误； 33131313i i i 1222222z ，故C 正确； 2213122z，故D 正确.故选：BCD.【点睛】 本题考查复数的相关计算，属于基础题.12．下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（ ）A ．若复数z R ∈，则z R ∈B ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈C ．若复数z 满足1R z ∈，则z R ∈D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则12z z = 答案：AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数，则，因为，所以，因此，即A 正确；B 选项，设复数，则，因为，所，若，则；故B 错；C 选项，设解析：AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则(i ,)z a b a b =-∈R ，因为z R ∈，所以0b =，因此z a R =∈，即A 正确；B 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则()22222z a bi a b abi =+=-+，因为2z ∈R ，所0ab =，若0,0a b =≠，则z R ∉；故B 错；C 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则22222211a bi a b i z a bi a b a b a b -===-++++， 因为1R z∈，所以220b a b =+，即0b =，所以z a R =∈；故C 正确； D 选项，设复数1(,)z a bi a b R =+∈，2(,)z c di c d R =+∈，则()()()()12z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，因为12z z R ∈，所以0ad bc +=，若11a b =⎧⎨=⎩，22c d =⎧⎨=-⎩能满足0ad bc +=，但12z z ≠，故D 错误.故选：AC.【点睛】本题主要考查复数相关命题的判断，熟记复数的运算法则即可，属于常考题型.13．已知复数z 满足220z z +=，则z 可能为（ ）A ．0B ．2-C ．2iD ．2i - 答案：ACD【分析】令代入已知等式，列方程组求解即可知的可能值.【详解】令代入，得：，∴，解得或或∴或或．故选：ACD【点睛】本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.解析：ACD【分析】令z a bi =+代入已知等式，列方程组求解即可知z 的可能值.【详解】令z a bi =+代入22||0z z +=，得：2220a b abi -+=，∴22020a b ab ⎧⎪-+=⎨=⎪⎩，解得0,0a b =⎧⎨=⎩或0,2a b =⎧⎨=⎩或0,2,a b =⎧⎨=-⎩ ∴0z =或2z i =或2z i =-．故选：ACD【点睛】本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.14．已知复数z 满足220z z +=，则z 可能为（ ）.A ．0B ．2-C ．2iD ．2i+1- 答案：AC【分析】令，代入原式，解出的值，结合选项得出答案．【详解】令，代入，得，解得，或，或，所以，或，或.故选：AC【点睛】本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．解析：AC【分析】令()i ,z a b a b R =+∈，代入原式，解出,a b 的值，结合选项得出答案．【详解】令()i ,z a b a b R =+∈，代入220z z +=，得222i 0a b ab -+=，解得00a b =⎧⎨=⎩，或02a b =⎧⎨=⎩，或02a b =⎧⎨=-⎩， 所以0z =，或2i z =，或2i z =-.故选：AC【点睛】本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．15．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位）下列说法正确的是（ ）A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．1z =D ．1z的虚部为sin θ 答案：BC【分析】分、、三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数，利用复数的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于AB 选项，当时，，，此时复数在复平面内的点解析：BC【分析】 分02θπ-<<、0θ=、02πθ<<三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数1z ，利用复数的概念可判断D 选项的正误. 【详解】对于AB 选项，当02θπ-<<时，cos 0θ>，sin 0θ<，此时复数z 在复平面内的点在第四象限；当0θ=时，1z R =-∈； 当02πθ<<时，cos 0θ>，sin 0θ>，此时复数z 在复平面内的点在第一象限.A 选项错误，B 选项正确；对于C 选项，1z ==，C 选项正确；对于D 选项，()()11cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin i i z i i i θθθθθθθθθθ-===-++⋅-， 所以，复数1z 的虚部为sin θ-，D 选项错误. 故选：BC.16．已知复数Z 在复平面上对应的向量(1,2),OZ =-则（ ）A ．z =-1+2iB ．|z |=5C ．12z i =+D ．5z z ⋅= 答案：AD【分析】因为复数Z 在复平面上对应的向量，得到复数，再逐项判断.【详解】因为复数Z 在复平面上对应的向量，所以，，|z|=，，故选：AD解析：AD【分析】因为复数Z 在复平面上对应的向量(1,2)OZ =-，得到复数12z i =-+，再逐项判断.【详解】因为复数Z 在复平面上对应的向量(1,2)OZ =-，所以12z i =-+，12z i =--，|z 5z z ⋅=，故选：AD17．下列关于复数的说法，其中正确的是（ ）A ．复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b =B ．复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数的充要条件是0b ≠C ．若1z ，2z 互为共轭复数，则12z z 是实数D ．若1z ，2z 互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于y 轴对称答案：AC【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于：复数是实数的充要条件是，显然成立，故正确；对于：若复数是纯虚数则且，故错误；对于：若，互为共轭复数解析：AC【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于A ：复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b =，显然成立，故A 正确；对于B ：若复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数则0a =且0b ≠，故B 错误；对于C ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所以()()2122222z a bi a bi a b b z i a =+-=-=+是实数，故C 正确； 对于D ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所对应的坐标分别为(),a b ，(),a b -，这两点关于x 轴对称，故D 错误；故选：AC【点睛】本题主要考查复数的有关概念的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．18．已知复数122z =-，则下列结论正确的有（ ）A ．1z z ⋅=B ．2z z =C ．31z =-D ．202012z =-+答案：ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为，所以A 正确；因为，，所以，所以B 错误；因为，所以C 正确；因为，所以，所以D 正确解析：ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为11131222244z z i ⎛⎫⎛⎫-+=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭=⎝⋅，所以A 正确；因为221122z ⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭=，122z =+，所以2z z ≠，所以B 错误；因为321112222z z z i ⎛⎫⎛⎫=⋅=---=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；因为6331z z z =⋅=，所以()2020633644311122zz z z z ⨯+⎛⎫===⋅=-⋅=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选：ACD.【点睛】 本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易.19．（多选题）已知集合{},n M m m i n N ==∈，其中i 为虚数单位，则下列元素属于集合M 的是（ ）A ．()()11i i -+B ．11i i -+C ．11i i +-D ．()21i - 答案：BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】根据题意，中，时，；时，；时，；时，，.选项A 中，；选项B 中，；选项C 中，；选项D 中，.解析：BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】 根据题意，{},n M m m i n N ==∈中， ()4n k k N =∈时，1n i =；()41n k k N =+∈时，n i i =；()42n k k N =+∈时，1n i =-；()43n k k N =+∈时，n i i =-，{}1,1,,M i i ∴=--.选项A 中，()()112i i M -+=∉；选项B 中，()()()211111i i i i i i M --==-+-∈+； 选项C 中，()()()211111i i i i i i M ++==-+∈-； 选项D 中，()212i i M -=-∉.故选：BC.【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解.20．已知i 为虚数单位，则下列选项中正确的是（ ）A ．复数34z i =+的模5z =B ．若复数34z i =+，则z （即复数z 的共轭复数）在复平面内对应的点在第四象限C ．若复数()()2234224m m m m +-+--i 是纯虚数，则1m =或4m =-D ．对任意的复数z ，都有20z答案：AB求解复数的模判断；由共轭复数的概念判断；由实部为0且虚部不为0求得值判断；举例说明错误．【详解】解：对于，复数的模，故正确；对于，若复数，则，在复平面内对应的点的坐标为，在第四解析：AB【分析】求解复数的模判断A ；由共轭复数的概念判断B ；由实部为0且虚部不为0求得m 值判断C ；举例说明D 错误．【详解】解：对于A ，复数34z i =+的模||5z ==，故A 正确；对于B ，若复数34z i =+，则34z i =-，在复平面内对应的点的坐标为(3,4)-，在第四象限，故B 正确；对于C ，若复数22(34)(224)m m m m i +-+--是纯虚数，则223402240m m m m ⎧+-=⎨--≠⎩，解得1m =，故C 错误； 对于D ，当z i 时，210z =-<，故D 错误．故选：AB ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，属于基础题．21．下列命题中，正确的是（ ）A ．复数的模总是非负数B ．复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应C ．如果复数z 对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限D ．相等的向量对应着相等的复数 答案：ABD【分析】根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项．【详解】设复数，对于A ，，故A 正确．对于B ，复数对应的向量为，且对于平面内以原点为起点的任一向量，其对应的复数为，故复数集与【分析】根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项．【详解】设复数(),z a bi a b R =+∈，对于A ，0z =≥，故A 正确．对于B ，复数z 对应的向量为(),OZ a b =，且对于平面内以原点为起点的任一向量(),m n α=，其对应的复数为m ni +， 故复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应，故B 正确． 对于B ，复数z 对应的向量为(),OZ a b =，且对于平面内的任一向量(),m n α=，其对应的复数为m ni +，故复数集中的元素与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合中的元素是一一对应，故B 正确．对于C ，如果复数z 对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点不一定在第一象限，故C 错．对于D ，相等的向量的坐标一定是相同的，故它们对应的复数也相等，故D 正确． 故选：ABD ．【点睛】本题考查复数的几何意义，注意复数(),z a bi a b R =+∈对应的向量的坐标为(),a b ，它与终点与起点的坐标的差有关，本题属于基础题．22．设()()2225322z t t t t i =+-+++，t ∈R ，i 为虚数单位，则以下结论正确的是（ ）A ．z 对应的点在第一象限B ．z 一定不为纯虚数C ．z 一定不为实数D ．z 对应的点在实轴的下方 答案：CD【分析】利用配方法得出复数的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论.【详解】，，所以，复数对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误 解析：CD【分析】利用配方法得出复数z 的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论.【详解】22549492532488t t t ⎛+⎫= ⎪⎝⎭+-->-，()2222110t t t ++=++>， 所以，复数z 对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误；当222530220t t t t ⎧+-=⎨++≠⎩，即3t =-或12t =时，z 为纯虚数，故B 错误； 因为2220t t ++>恒成立，所以z 一定不为实数，故C 正确；由选项A 的分析知，z 对应的点在实轴的上方，所以z 对应的点在实轴的下方，故D 正确. 故选：CD.【点睛】本题考查复数的几何意义与复数的概念相关命题真假的判断，解题的关键就是求出复数虚部和实部的取值范围，考查计算能力与推理能力，属于中等题.。
高二数学文科复数试题及复习资料
高二数学文科试题（复数3）一、选择题1．设,,,a b c R ∈则复数()()a bi c di ++为实数的充要条件是（ ）（A ）0ad bc -= （B ）0ac bd -= （C ）0ac bd += （D ）0ad bc +=2 ）A ．iB ．i -C iD i3．若复数z 满足方程022=+z ，则3z 的值为（ ） A.22± B. 22- C. i 22- D. i 22±4．对于任意的两个实数对（）和(),规定（）＝()当且仅当a ＝＝d;运算“⊗”为：),(),(),(ad bc bd ac d c b a +-=⊗，运算“⊕”为：),(),(),(d b c a d c b a ++=⊕，设R q p ∈,，若)0,5(),()2,1(=⊗q p 则=⊕),()2,1(q p （ ）A. )0,4(B. )0,2(C.)2,0(D.)4,0(-5．复数10(1)1i i+-等于（ ） A ．1i + B 。
1i -- C 。
1i - D 。
1i -+6．＝ ( )（A ）i （B ）－i （C ）i （D ）－i7．i 是虚数单位，=+ii 1（ ） A ．i 2121+ B ．i 2121+- C ．i 2121- D ．i 2121-- 8．如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m =（ ）A ．1B ．1-C ．9．已知复数z 3i ）z ＝3i ，则z ＝（ ）A ．32B. 34C. 32D.34 10．在复平面内，复数1i i +对应的点位于 ( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 二、填空题11．已知11m ni i=-+，m n i 其中，是实数，是虚数单位，m ni +=则 12．在复平面内，若复数z 满足|1|||z z i +=-，则z 所对应的点的集合构成的图形是 。
13. 设x 、y 为实数，且ii y i x 315211-=-+-，则x y . 14．若复数z 同时满足z －-z ＝2i ，-z ＝iz （i 为虚数单位），则z ＝ ．15．已知z =则501001z z ++的值为 16．非空集合G 关于运算⊕满足：（1）对任意,a b G ∈，都有a b G ⊕∈；（2）存在e G ∈，使得对一切a G ∈，都有a e e a a ⊕=⊕=，则称G 关于运算⊕为“融洽集”；现给出下列集合和运算：其中G 关于运算⊕为“融洽集”;（写出所有“融洽集”的序号）18．已知复数z 满足2||=z ，2z 的虚部为 2 ，（I ）求z ；（）设z ，2z ，2z z -在复平面对应的点分别为A ，B ，C ，求ABC ∆的面积.高二文科数学试题（复数）答案二、填空题11、2 12、直线 13、4 14、-115、i 16、①③三、解答题17、[解法一] i 2i 21i 34,i 34)i 21(-=++=∴+=+w w ， ……4分 i 3|i |i25+=-+-=∴z . ……8分 若实系数一元二次方程有虚根i 3+=z，则必有共轭虚根i 3-=z .∴ 所求的一个一元二次方程可以是01062=+-x x . ……10分[解法二] 设i b a w +=R)(∈b a 、得 ⎩⎨⎧-==-,23,24a b b a ∴ ⎩⎨⎧-==,1,2b a i 2-=∴w ， ……4分以下解法同[解法一].18、解：（I ）设(,)Z x yi x y R =+∈由题意得2222()2Z x y x y xyi =-=-+21(2)xy =∴=⎪⎩ 故()20,x y x y -=∴=将其代入（2）得2221x x =∴=±故11x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩故1Z i =+或1Z i =-- ……6分 （）当1Z i =+时，222,1Z i Z Z i =-=-所以(1,1),(0,2),(1,1)A B C -12,1212ABC AC S ∆∴==⨯⨯= 当1Z i =--时，222,13Z i Z Z i =-=--， 11212ABC S ∆=⨯⨯= ……10分。
2021年人教A版(2019)必修第二册数学第七章_复数单元测试卷含答案
2021年人教A版（2019）必修第二册数学第七章复数单元测试卷含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分，）1. 已知复数z满足iz=2+i（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. 在复平面内，设z=1+i(i是虚数单位)，则复数2z+z2对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 已知复数z=(1−i)22+i，则|z|=( )A.6 5B.45C.√2D.2√554. 设z¯=1+i（i是虚数单位），则在复平面内，z−+2|z¯|对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5. 复数21−i（i为虚数单位）的共轭复数是()A.1+iB.1−iC.−1+iD.−1−i6. 计算1−ii+3i=()A.1+2iB.1−2iC.−1+2iD.−1−2i7. 若复数z满足(3+4i)z=1+i，则z=( )A.7 5−15i B.725−125i C.−125−125i D.75+15i8. 已知复数z满足z(1−i2)=1+i(i为虚数单位)，则|z|为( )A.1 2B.√22C.√2D.19. 复数z的共轭复数为z¯，z+z¯=0是z为纯虚数的( )条件．A.充要B.充分不必要C.必要不充分D.既不充分也不必要10. z=11−i−i，则|z|=( )A.√102B.√22C.52D.1211. 若复数z满足(3−4i)z=|4+3i|，则z的虚部为( )A.−4B.−45C.4 D.4512. 已知复数z满足|z|=1，则|z+1−2i|的最小值为( )A.√5−1B.√5C.3D.2二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分，）13. 若z=4+3i，则z|z|=________.14. 复数1+i3+4i的共轭复数为________．15. i是虚数单位，复数2−i3−4i=________.16. 设复数z1，z2满足|z1|=|z2|=2，z1−z2=√3+i，则|z1+z2|=________.三、解答题（本题共计 6 小题，每题 11 分，共计66分，）17. 已知复数z=(m2+2m−8)+(m2−2m)i，m∈R，其中i为虚数单位．(1)若复数z是实数，求m的值；(2)若复数z是纯虚数，求m的值．18. 解答下面两个问题：（1）已知复数z=−12+√32i，其共轭复数为z¯，求|1z|+(z¯)2；（2）复数z1=2a+1+(1+a2)i，z2=1−a+(3−a)i，a∈R，若z1+z2¯是实数，求a的值．19. 已知复数z=2+i（i是虚数单位）是关于x的实系数方程x2+px+q=0在复数范围内的一个根．(1)求p+q的值；(2)复数w满足z⋅w是实数，且|w|=2√5，求复数w．20. 已知复数z=(m2+3m−10)+(2m2−3m−2)i(m∈R) .(1)若复数z是纯虚数，求m的值；(2)若复数z在复平面内对应的点在第二象限，求m的取值范围．21. 已知复数z1，z2满足(1+i)z1=−1+5i，z2=a−2−i，其中i为虚数单位，a∈R.(1)求z1；(2)若|z1−z2¯|<|z1|，求a的取值范围．22. 设复数z满足4z+2z¯=3√3+i，求复数z．参考答案与试题解析2021年人教A版（2019）必修第二册数学第七章复数单元测试卷含答案一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分）1.【答案】D【考点】复数代数形式的乘除运算复数的基本概念【解析】无【解答】解：∵iz=2+i，∴z=2+ii =(2+i)(−i)i(−i)=1−2i，∴z在复平面内对应点的坐标为(1,−2)，位于在第四象限．故选D．2.【答案】A【考点】复数代数形式的混合运算复数的代数表示法及其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】解：∵z=1+i，∴2z +z2=21+i+(1+i)2=2(1−i)(1+i)(1−i)+1+2i+i2=2(1−i)2+2i=1−i+2i=1+i，∴复数2z+z2对应的点的坐标为(1,1)，落在第一象限. 故选A.3.【答案】D【考点】复数的模复数代数形式的混合运算【解析】先利用复数的四则运算化简复数，再利用复数的模的公式求解. 【解答】 解：z =(1−i )22+i=−2i 2+i =−2i(2−i)(2+i)(2−i)=−25−4i5，故|z|=√(−25)2+(−45)2=2√55. 故选D .4. 【答案】 A【考点】复数代数形式的混合运算复数的代数表示法及其几何意义 【解析】由z ¯=1+i 求出|z ¯|，然后代入z ¯+2|z ¯|化简计算求出在复平面内对应的点的坐标，则答案可求． 【解答】 解：由z ¯=1+i ， 得|z ¯|=√2． 则z ¯+2|z|¯=1+i √2=1+√2+i ，∴ 在复平面内，z ¯+2|z ¯|对应的点的坐标为：(1+√2, 1)，位于第一象限．故选：A ． 5.【答案】 B【考点】 共轭复数复数代数形式的乘除运算【解析】化简已知复数z ，由共轭复数的定义可得． 【解答】解：21−i =2(1+i)(1−i)(1+i)=1+i ， 故共轭复数为1−i . 故选B . 6. 【答案】C【考点】复数代数形式的混合运算 【解析】利用复数的运算法则即可得出． 【解答】 解：原式=(1−i)i i 2+3i =−i −1+3i =−1+2i .故选C ． 7. 【答案】 B【考点】复数代数形式的乘除运算 【解析】【解答】解：由已知可得z =1+i3+4i =(1+i )(3−4i )25=725−125i .故选B ． 8.【答案】 B【考点】 复数的模复数代数形式的乘除运算 虚数单位i 及其性质 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：原式可化简为 (−2i)z =1+i ； 即z =1+i−2i =−12+i 2.|z|=√(−12)2+(12)2=√22. 故选B . 9.【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 复数的基本概念结合纯虚数的定义，利用充分条件和必要条件的定义进行判断． 【解答】解：若 z +z ¯=0 可以有 z =0 ，不是纯虚数， 若z 为纯虚数，则 z +z ¯=0 成立，所以"z +z ¯=0 "是“z 为纯虚数”的必要不充分条件. 故选C ． 10. 【答案】 B【考点】复数代数形式的混合运算 复数的模【解析】先化简复数，再利用复数的模进行求解即可. 【解答】解：z =11−i −i=1+i(1−i )(1+i )−i =12−12i ，则|z |=√(12)2+(−12)2=√22.故选B . 11.【答案】 D【考点】 复数的模复数代数形式的乘除运算 复数的基本概念 【解析】 由题意可得z =|4+3i|3−4i=53−4i，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为35+45i ，由此可得z 的虚部． 【解答】解：∵ 复数z 满足(3−4i)z =|4+3i|， ∴ z =|4+3i|3−4i=53−4i =5(3+4i)25=35+45i ，故z 的虚部等于45. 故选D ． 12. 【答案】 A复数的代数表示法及其几何意义两点间的距离公式复数的模【解析】此题暂无解析【解答】解：因为|z|=|x+yi|=√x2+y2=1，所以x2+y2=1，即z在复平面内表示圆O:x2+y2=1上的点；又|z+1−2i|=|(x+1)+(y−2)i|=√(x+1)2+(y−2)2，所以|z+1−2i|表示圆O上的动点到定点A(−1,2)的距离，所以|z+1−2i|min为|OA|−r=√5−1.故选A．二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13.【答案】4 5+3 5i【考点】复数的模复数的运算【解析】此题暂无解析【解答】解：已知z=4+3i，则|z|=√42+32=5，故z|z|=4+3i5=45+35i .故答案为：45+35i.14.【答案】7 25+1 25i【考点】复数代数形式的混合运算共轭复数【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵1+i3+4i =(1+i)(3−4i)(3+4i)(3−4i)=725−125i，∴z¯=725+125i．故答案为：725+125i.15.2 5+1 5i【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】此题暂无解析【解答】解：2−i3−4i =(2−i)(3+4i)(3−4i)(3+4i)=25+15i.故答案为：25+15i.16.【答案】2√3【考点】复数的模复数代数形式的加减运算【解析】【解答】解：设z1=a+bi，（a∈R，b∈R），z2=c+di，（c∈R，d∈R），∴z1−z2=a−c+(b−d)i=√3+i，∴{a−c=√3,b−d=1.又|z1|=|z2|=2，∴a2+b2=4，c2+d2=4，∴(a−c)2+(b−d)2=a2+c2+b2+d2−2(ac+bd)=4，∴ac+bd=2，∴|z1+z2|=|(a+c)+(b+di)|=√(a+c)2+(b+d)2=√8+2(ac+bd)=√8+4=2√3.故答案为：2√3.三、解答题（本题共计 6 小题，每题 11 分，共计66分）17.【答案】解：(1)若复数z是实数，则m2−2m=0，解得m=0或m=2．(2)若复数z是纯虚数，则{m2−2m≠0,m2+2m−8=0,解得m=−4．【考点】复数的基本概念【解析】无无解：(1)若复数z 是实数，则m 2−2m =0， 解得m =0或m =2． (2)若复数z 是纯虚数， 则{m 2−2m ≠0,m 2+2m −8=0, 解得m =−4． 18. 【答案】解：（1）∵ z =−12+√32i ，∴ z ¯=−12−√32i ． ∴ |1z |=|−12−√32i|=12)√32)=1．(z ¯)2=(−12−√32i)2=−12+√32i ， ∴ |1z |+(z ¯)2=1−12+√32i =12+√32i ； （2）z 1+z ¯2=2a +1+(1+a 2)i +1−a −(3−a)i =a +2+(a 2+a −2)i ∵ z 1+z ¯2是实数，∴ a 2+a −2=0，解得a =1，或a =−2， 故a =1，或a =−2． 【考点】复数代数形式的混合运算 【解析】（1）由复数z =−12+√32i ，求出|1z |和(z ¯)2，代入|1z |+(z ¯)2计算得答案；（2）把z 1，z 2¯代入z 1+z 2¯化简，再结合已知条件即可求出a 的值． 【解答】解：（1）∵ z =−12+√32i ，∴ z ¯=−12−√32i ． ∴ |1z |=|−12−√32i|=12)√32)=1．(z ¯)2=(−12−√32i)2=−12+√32i ， ∴ |1z |+(z ¯)2=1−12+√32i =12+√32i ； （2）z 1+z ¯2=2a +1+(1+a 2)i +1−a −(3−a)i =a +2+(a 2+a −2)i ∵ z 1+z ¯2是实数，∴ a 2+a −2=0，解得a =1，或a =−2， 故a =1，或a =−2． 19. 【答案】解：(1)∵ 在复数范围内实系数方程x 2+px +q =0的两个根是互为共轭复数的， ∴ 实系数方程x 2+px +q =0在复数范围内的另一个根是2−i ，故{2−i +(2+i )=−p,(2−i )(2+i )=q,解得{p =−4,q =5,∴ p +q =1．(2)设复数w =a +bi (a,b ∈R )，∴ z ⋅w =(2+i )⋅(a +bi )=(2a −b )+(a +2b )i ，∵ z ⋅w 是实数，∴ a +2b =0，即a =−2b ．①又∵ |w |=2√5，∴ a 2+b 2=20，②联立①②，解得{a =4,b =−2,或{a =−4,b =2,∴ 复数w =4−2i 或w =−4+2i ．【考点】复数的模复数代数形式的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)∵ 在复数范围内实系数方程x 2+px +q =0的两个根是互为共轭复数的， ∴ 实系数方程x 2+px +q =0在复数范围内的另一个根是2−i ，故{2−i +(2+i )=−p,(2−i )(2+i )=q,解得{p =−4,q =5,∴ p +q =1．(2)设复数w =a +bi (a,b ∈R )，∴ z ⋅w =(2+i )⋅(a +bi )=(2a −b )+(a +2b )i ，∵ z ⋅w 是实数，∴ a +2b =0，即a =−2b ．①又∵ |w |=2√5，∴ a 2+b 2=20，②联立①②，解得{a =4,b =−2,或{a =−4,b =2,∴ 复数w =4−2i 或w =−4+2i ．20.【答案】解：(1)由题意可得{m 2+3m −10=0，2m 2−3m −2≠0，即{(m +5)(m −2)=0,(2m +1)(m −2)≠0,解得m =−5 ．(2)由题意可知复数z 在复平面内对应的点为Z (m 2+3m −10,2m 2+3m −2) ， 则{m 2+3m −10<0，2m 2−3m −2>0，解得−5<m <−12 ，即m 的取值范围为(−5,−12). 【考点】复数的基本概念复数的代数表示法及其几何意义【解析】无无【解答】解：(1)由题意可得{m 2+3m −10=0，2m 2−3m −2≠0，即{(m +5)(m −2)=0,(2m +1)(m −2)≠0,解得m =−5 ．(2)由题意可知复数z 在复平面内对应的点为Z (m 2+3m −10,2m 2+3m −2) ， 则{m 2+3m −10<0，2m 2−3m −2>0，解得−5<m <−12 ， 即m 的取值范围为(−5,−12).21.【答案】解：(1)z 1=−1+5i 1+i =(−1+5i )(1−i )(1+i )(1−i )=2+3i .(2)由(1)得，|z 1|=√22+32=√13，又∵ |z 1−z 2¯|=|2+3i −(a −2+i )|=|4−a +2i|=√(4−a )2+4，∴ 由|z 1−z 2¯|<|z 1|，得√(4−a )2+4<√13 化简得a 2−8a +7<0， 解得1<a <7，故a 的取值范围是(1,7)．【考点】复数代数形式的混合运算 复数的模【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)z 1=−1+5i 1+i =(−1+5i )(1−i )(1+i )(1−i )=2+3i .(2)由(1)得，|z 1|=√22+32=√13， 又∵ |z 1−z 2¯|=|2+3i −(a −2+i )| =|4−a +2i|=√(4−a )2+4， ∴ 由|z 1−z 2¯|<|z 1|， 得√(4−a )2+4<√13 化简得a 2−8a +7<0， 解得1<a <7，故a 的取值范围是(1,7)． 22.【答案】解：设复数z =a +bi ，则z ¯=a −bi ， ∵ 4z +2z ¯=3√3+i ， ∴ 4a +4bi +2a −2bi =3√3+i ， 整理得：6a +2bi =3√3+i ， ∴ {6a =3√3,2b =1,即a =√32，b =12， ∴ 复数z =√32+12i ． 【考点】共轭复数复数相等的充要条件复数的基本概念【解析】通过设复数z =a +bi ，则z ¯=a −bi ，代入4z +2z ¯=3√3+i ，计算整理即可．【解答】解：设复数z =a +bi ，则z ¯=a −bi ，∵ 4z +2z ¯=3√3+i ， ∴ 4a +4bi +2a −2bi =3√3+i ， 整理得：6a +2bi =3√3+i ， ∴ {6a =3√3,2b =1,即a =√32，b =12，∴ 复数z =√32+12i。
高二数学复数乘除和乘方试题答案及解析
高二数学复数乘除和乘方试题答案及解析1.复数等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】,选B【考点】复数的运算2.若复数（a∈R，i为虚数单位位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．－2B．4C．－6D．6【答案】C【解析】因为==是纯虚数，所以且≠0，解得a=-6，故选C.考点:复数的概念，复数的运算3.（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【考点】复数的四则运算法则.4.复数( )A．B．C．D．【答案】C．【解析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，即，化简整理得即为所求．【考点】复数代数形式的乘除运算．5.已知复数名（为虚数单位），则_________．【答案】．【解析】先将复数展开化简得，再由复数的模的定义知．【考点】复数求模．6.已知复数名（为虚数单位），则_________．【答案】．【解析】先将复数展开化简得，再由复数的模的定义知．【考点】复数求模．7.已知复数（是虚数单位），则．【答案】.【解析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，．.【考点】复数的化简，复数求模的方法.8.复数z满足是虚数单位)，若复数的实部与虚部相等，则等于（）A．12B．4C．D．l2【答案】D.【解析】∵，∴，∵复数的实部与虚部相等，∴.【考点】复数的计算.9.复数的共轭复数是 .【答案】.【解析】，∴共轭复数为.【考点】复数的计算与共轭复数.10.复数的值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意，由于,故可知答案为B.【考点】复数的运算点评：主要是考查了复数的运算，属于基础题。
11.复数在复平面内表示的点在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】根据题意，由于复数,那么可知实部为-1，虚部为1，可知答案为点在第二象限，故选B.【考点】复数的运算点评：本题考查两个复数代数形式的乘除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，考查复数与复平面内对应点之间的关系，是一个基础题．12.若复数，则z等于A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，由于复数，根据复数相等可知，a=3,b=4,可知答案为D.【考点】复数的除法运算点评：主要是考查了复数的代数除法运算，属于基础题。
高二数学复数概念和向量表示试题答案及解析
高二数学复数概念和向量表示试题答案及解析1.复数i﹣1（i是虚数单位）的虚部是（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i【答案】A．【解析】直接由复数虚部的定义知，i-1的虚部是1，故选A．【考点】复数的基本概念．2.复数z满足方程＝4，那么复数z在复平面内对应的点P的轨迹方程____________【答案】【解析】设则由得，即，则，所以点的轨迹方程为【考点】复数模长的计算.3.已知复数，是实数，是虚数单位．（1）求复数；（2）若复数所表示的点在第一象限，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，化简.根据是实数，可得，求得的值，可得的值；（2）化简，根据该复数所表示的点在第一象限，可得，解不等式组求得实数的取值范围.试题解析：(1)因为，所以，又是实数，所以，即，所以.（2）由（1）得，所以，又因为复数所表示的点在第一象限，所以，得.所以实数的取值范围是.【考点】复数代数形式的混合运算；复数的基本概念．4.“”是“复数(,i为虚数单位)是纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C.【解析】复数是纯虚数，故是复数是纯虚数的充要条件.【考点】复数的概念.5.设复数为实数时，则实数的值是_________．【答案】【解析】因为复数为实数的充要条件为，所以依题意有．【考点】复数的基本概念．6.已知．（1）设，求；（2）如果，求实数的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）本小题包含了复数的加法、减法、乘方等运算，可将的值代入所求表达式，利用复数的运算法则即可求出所要求的值；（2）将代入等式的左端再根据复数的运算法则进行化简，最后利用复数相等的定义即可求出实数的值．（1）因为:所以 5分（2）由得:== 6分又因为，所以，=根据复数相等的定义可得，解得 10分．【考点】1．复数的四则运算；2．复数相等与共轭复数的概念．7.复数（为虚数单位）的共轭复数是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，所以。
高中数学《复数》基础知识及经典练习题(含答案解析)
高中数学《复数》基础知识及经典练习题（含答案解析）一、基础知识：复数题目通常在高考中有所涉及，题目不难，通常是复数的四则运算1、复数z 的代数形式为(),z a bi a b R =+∈，其中a 称为z 的实部，b 称为z 的虚部（而不是bi )，2、几类特殊的复数：（1）纯虚数：0,0a b =≠ 例如：5i ，i 等（2）实数： 0b =3、复数的运算：设()12,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈（1）21i =−（2）()()12z z a c b d i ±=+++（3）()()()()212z z a bi c di ac adi bci bdi ac bd ad bc i ⋅=+⋅+=+++=−++ 注：乘法运算可以把i 理解为字母，进行分配率的运算。
只是结果一方面要化成标准形式，另一方面要计算21i =−（4）()()()()()()1222a bi c di ac bd bc ad i z a bi z c di c di c di c d +−++−+===++−+ 注：除法不要死记公式而要理解方法：由于复数的标准形式是(),z a bi a b R =+∈，所以不允许分母带有i ，那么利用平方差公式及21i =的特点分子分母同时乘以2z 的共轭复数即可。
4、共轭复数：z a bi =−， 对于z 而言，实部相同，虚部相反5、复数的模：z = 2z z z =⋅ (22z z ≠) 6、两个复数相等：实部虚部对应相等7、复平面：我们知道实数与数轴上的点一一对应，推广到复数，每一个复数(),a bi a b R +∈都与平面直角坐标系上的点(),a b 一一对应，将这个平面称为复平面。
横坐标代表复数的实部，横轴称为实轴，纵轴称为虚轴。
8、处理复数要注意的几点：（1）在处理复数问题时，一定要先把复数化简为标准形式，即(),z a bi a b R =+∈（2）在实数集的一些多项式公式及展开在复数中也同样适用。
高二数学人教新版(2019)专题复习《复数》
复数一．选择题（共8小题）1．（2022春•鼓楼区校级期中）若复数z＝，则|z﹣i|＝（）A．2B．C．4D．52．（2022•鼓楼区校级模拟）在复平面内，复数z对应的点在第二象限，且|z|＝|z﹣i|＝1，则z＝（）A．+i B．﹣﹣i C．﹣﹣i D．﹣+i3．（2022•福州模拟）设复数z满足（1﹣i）z＝3+i，则复平面内与z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（2022春•福州期中）已知a，b∈R，“b≠0”是“复数a+bi为虚数”的（）A．必要非充分条件B．充分非必要条件C．充要条件D．既非充分条件也非必要条件5．（2022•福州模拟）若复数z满足z（1﹣i）＝4i，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．（2021秋•福州期末）已知z＝3﹣4i，则|z|+zi＝（）A．1+3i B．8﹣4i C．9+3i D．20+3i7．（2022春•仓山区校级期中）已知复数z满足z（1+2i）＝|4+3i|，（其中i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A．1B．i C．﹣2D．﹣2i8．（2020秋•福州月考）已知复数z＝1+i，为z的共轭复数，则＝（）A．B．C．D．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2022•鼓楼区校级三模）设复数z＝（a∈R），当a变化时，下列结论正确的是（）A．|z|＝||恒成立B．z可能是纯虚数C．可能是实数D．|z|的最大值为（多选）10．（2022春•鼓楼区校级期中）设z1，z2，z3为复数，z1≠0，下列命题中正确的是（）A．若|z1|＝|z2|，则|z1z3|＝|z2z3|B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3C．若z1＝，则＝z2D．若z12+z22＞0，则z12＞﹣z22（多选）11．（2022春•仓山区校级期中）设z1，z2是复数，则下列说法中正确的是（）A．若|z1|＝|z2|，则z12＝z22B．若|z1|＝|z2|，则z1＝±z2C．若z1z2＝0，则z1＝0或z2＝0D．若|z1﹣z2|＝0，则z1＝z2（多选）12．（2022春•花都区校级期中）设复数z满足z＝﹣1﹣2i，i为虚数单位，则下列命题正确的是（）A．B．复数z在复平面内对应的点在第四象限C．z的共轭复数为﹣1+2iD．复数z在复平面内对应的点在直线y＝﹣2x上三．填空题（共4小题）13．（2022春•福州期中）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+i＝1﹣bi，则（a+bi）2＝．14．（2021春•鼓楼区校级期中）z∈C，若，则z＝．15．（2021秋•福州期中）已知i为虚数单位，复数，在复平面中将z 1绕着原点逆时针旋转165°得到z2，则z2＝．16．（2022春•仓山区校级期中）在复数范围内，﹣4的所有平方根为，并由此写出﹣4的一个四次方根．四．解答题（共4小题）17．（2022春•鼓楼区校级期中）已知复数z＝a+bi（a，b∈R），若存在实数t，使＝﹣3ati成立．（1）求2a+b的值；（2）求|z﹣2|的最小值．18．（2022春•仓山区校级期中）已知复数z＝m﹣i（m∈R），且•（1+3i）为纯虚数（是z的共轭复数）．（1）求复数z的模；（2）复数z1＝在复平面对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．19．（2022春•项城市校级月考）当实数a取何值时，在复平面内与复数z＝（m2﹣4m）+（m2﹣m﹣6）i对应点满足下列条件？（1）在第三象限；（2）在虚轴上；（3）在直线x﹣y+3＝0上．20．（2021春•鼓楼区校级期中）已知复数z＝3+bi（b＝R），且（1+3i）•z为纯虚数．（1）求复数z；（2）若，求复数ω以及模|ω|．高二数学人教新版（2019）专题复习《复数》参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2022春•鼓楼区校级期中）若复数z＝，则|z﹣i|＝（）A．2B．C．4D．5【考点】复数的模．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出结论．【解答】解：复数z＝＝＝＝1﹣i，则|z﹣i|＝|1﹣2i|＝＝，故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．（2022•鼓楼区校级模拟）在复平面内，复数z对应的点在第二象限，且|z|＝|z﹣i|＝1，则z＝（）A．+i B．﹣﹣i C．﹣﹣i D．﹣+i【考点】复数的模；复数的运算．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．【解答】解：设z＝x+yi（x＜0，y＞0），∵|z|＝|z﹣i|＝1，∴，解得x＝，y＝，∴z＝．故选：A．【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题．3．（2022•福州模拟）设复数z满足（1﹣i）z＝3+i，则复平面内与z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】根据已知条件，先对z化简，再结合复数的几何意义，即可求解．【解答】解：∵（1﹣i）z＝3+i，∴，∴复平面内与z对应的点（1，2）位于第一象限．故选：A．【点评】本题主要考查复数的运算法则，以及复数的几何意义，属于基础题．4．（2022春•福州期中）已知a，b∈R，“b≠0”是“复数a+bi为虚数”的（）A．必要非充分条件B．充分非必要条件C．充要条件D．既非充分条件也非必要条件【考点】虚数单位i、复数；充分条件、必要条件、充要条件．【专题】对应思想；转化法；简易逻辑；数学运算．【分析】根据充分必要条件的定义以及虚数的定义判断即可．【解答】解：a，b∈R，若b≠0，则复数a+bi是虚数，是充分条件，反之，若复数a+bi为虚数，则b≠0，是必要条件，∴“b≠0”是“复数a+bi是虚数”的充分必要条件，故选：C．【点评】本题考查了充分必要条件和虚数的定义，是基础题．5．（2022•福州模拟）若复数z满足z（1﹣i）＝4i，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】方程思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即可求解．【解答】解：∵z（1﹣i）＝4i，∴，∴z在复平面内对应的点（﹣2，2）位于第二象限．故选：B．【点评】本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．6．（2021秋•福州期末）已知z＝3﹣4i，则|z|+zi＝（）A．1+3i B．8﹣4i C．9+3i D．20+3i【考点】复数的模．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】根据题意，求出|z|和zi的值，计算可得答案．【解答】解：根据题意，z＝3﹣4i，则|z|＝＝5，zi＝（3﹣4i）i＝4+3i，则|z|+zi＝9+3i，故选：C．【点评】本题考查复数的计算，注意复数的模，属于基础题．7．（2022春•仓山区校级期中）已知复数z满足z（1+2i）＝|4+3i|，（其中i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A．1B．i C．﹣2D．﹣2i【考点】复数的运算．【专题】方程思想；定义法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】推导出z＝1﹣2i，由此能求出复数z的虚部．【解答】解：∵复数z满足z（1+2i）＝|4+3i|，∴z＝＝＝＝＝1﹣2i，∴复数z的虚部为﹣2．故选：C．【点评】本题考查复数的虚部求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．（2020秋•福州月考）已知复数z＝1+i，为z的共轭复数，则＝（）A．B．C．D．【考点】复数的运算．【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】根据z，求出z的共轭复数，代入化简计算即可．【解答】解：∵z＝1+i，∴＝1﹣i，∴＝＝＝，故选：D．【点评】本题考查了复数的运算，考查转化思想，是一道基础题．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2022•鼓楼区校级三模）设复数z＝（a∈R），当a变化时，下列结论正确的是（）A．|z|＝||恒成立B．z可能是纯虚数C．可能是实数D．|z|的最大值为【考点】复数的模；虚数单位i、复数．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】首先根据得到z＝，再结合复数的定义和运算性质依次判断选项即可．【解答】解：z＝＝＝﹣，对于A，＝，|z|＝||＝，故A正确；对于B，z＝﹣，当a＝0时，z＝﹣是纯虚数，故B正确；对于C，z+＝＝（）+（2﹣）i，令2﹣＝0，即a2+3＝0无解，故C错误；对于D，|z|2＝+＝，当且仅当a＝0时，取等号，∴|z|的最大值为，故D正确．故选：ABD．【点评】本题考查复数的运算，考查复数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．（多选）10．（2022春•鼓楼区校级期中）设z1，z2，z3为复数，z1≠0，下列命题中正确的是（）A．若|z1|＝|z2|，则|z1z3|＝|z2z3|B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3C．若z1＝，则＝z2D．若z12+z22＞0，则z12＞﹣z22【考点】复数的模．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】根据已知条件，结合复数模的性质，共轭复数的定义，即可求解．【解答】解：对于A，由复数模的性质可得，|z1z3|＝|z1||z3|，|z2z3|＝|z2||z3|，∵|z1|＝|z2|，∴|z1z3|＝|z2z3|，故A正确，对于B，∵z1z2＝z1z3，∴z1（z2﹣z3）＝0，∵z1≠0，∴z2＝z3，故B正确，对于C，∵z 1＝，∴，故C正确，对于D，令，，满足z12+z22＞0，但z12＞﹣z22不成立，故D错误．故选：ABC．【点评】本题主要考查复数模的性质，共轭复数的定义，属于基础题．（多选）11．（2022春•仓山区校级期中）设z1，z2是复数，则下列说法中正确的是（）A．若|z1|＝|z2|，则z12＝z22B．若|z1|＝|z2|，则z1＝±z2C．若z1z2＝0，则z1＝0或z2＝0D．若|z1﹣z2|＝0，则z1＝z2【考点】复数的模．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】根据已知条件，结合复数的乘积运算法则，以及特殊值法，即可求解．【解答】解：对于A，令z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但，故A错误，对于B，令z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但z1≠±z2，故B错误，对于C，∵z1，z2是复数，z1z2＝0，∴由复数的乘积运算法则可知，z1＝0或z2＝0，故C正确，对于D，∵|z1﹣z2|＝0，∴z1﹣z2＝0，即z1＝z2，故D正确．故选：CD．【点评】本题主要考查复数的乘积运算法则，以及特殊值法，属于基础题．（多选）12．（2022春•花都区校级期中）设复数z满足z＝﹣1﹣2i，i为虚数单位，则下列命题正确的是（）A．B．复数z在复平面内对应的点在第四象限C．z的共轭复数为﹣1+2iD．复数z在复平面内对应的点在直线y＝﹣2x上【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；数学抽象；数学运算．【分析】根据复数的模、复数的几何意义、共轭复数等知识，逐一判断各选项即可．【解答】解：由z＝﹣1﹣2i，得，故A正确：复数z在复平面内对应的点的坐标为（﹣1，﹣2），在第三象限，故B不正确：z的共轭复数为﹣1+2i，故C正确：复数z在复平面内对应的点（﹣1，﹣2）不在直线y＝﹣2x上，故D不正确．故选：AC．【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，复数的模和共轭复数，属基础题．三．填空题（共4小题）13．（2022春•福州期中）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+i＝1﹣bi，则（a+bi）2＝﹣2i．【考点】复数的运算．【专题】方程思想；转化思想；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】利用复数相等的条件求得a与b的值，再由复数代数形式的乘除运算化简求解（a+bi）2．【解答】解：由a+i＝1﹣bi，得a＝1，b＝﹣1，∴（a+bi）2＝（1﹣i）2＝1﹣2i+i2＝﹣2i．故答案为：﹣2i．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．14．（2021春•鼓楼区校级期中）z∈C，若，则z＝．【考点】复数的运算．【专题】方程思想；定义法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】设z＝a+bi（a，b∈R），代入，整理后利用复数相等的条件求解a与b的值，则z可求．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），由，得，即，∴，解得，∴z＝，故答案为：．【点评】本题考查复数模的求法，考查复数相等的条件，是基础题．15．（2021秋•福州期中）已知i为虚数单位，复数，在复平面中将z 1绕着原点逆时针旋转165°得到z2，则z2＝﹣﹣i．【考点】复数的运算．【专题】对应思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】结合复数的几何意义，特殊角的三角函数值，即可得解．【解答】解：在复平面内对应的点为（1，），将其逆时针旋转165°后落在第三象限，且与x轴负半轴的夹角为45°，所以对应的点为（﹣，﹣），所以z2＝﹣﹣i．故答案为：﹣﹣i．【点评】本题考查复数的几何意义，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．16．（2022春•仓山区校级期中）在复数范围内，﹣4的所有平方根为±2i，并由此写出﹣4的一个四次方根1+i．【考点】虚数单位i、复数．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】由题意利用虚数单位i的运算性质，复数的开方运算，得出结论．【解答】解：在复数范围内，∵（±2i）2＝﹣4，故﹣4的所有平方根为±2i．∵﹣4＝4（cosπ+i sinπ），故它的四次方根为（cos+i sin），故它的一个四次方根（+i）＝1+i，故答案为：±2i；1+i．【点评】本题主要考查复数的开方运算，虚数单位i的运算性质，属于基础题．四．解答题（共4小题）17．（2022春•鼓楼区校级期中）已知复数z＝a+bi（a，b∈R），若存在实数t，使＝﹣3ati成立．（1）求2a+b的值；（2）求|z﹣2|的最小值．【考点】复数的运算；复数的模．【专题】方程思想；定义法；数系的扩充和复数；逻辑推理；数学运算．【分析】（1）由复数的运算化简，再由复数相等得到2a+b的值；（2）由模长公式结合二次函数的性质得出最值．【解答】解：（1）＝＝＝2+4i，＝，∴，∴，∴2a﹣6＝﹣b，解得2a+b＝6．（2）|z﹣2|＝|（a﹣2）+（6﹣2a）i|＝＝＝≥，∴|z﹣2|的最小值为．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18．（2022春•仓山区校级期中）已知复数z＝m﹣i（m∈R），且•（1+3i）为纯虚数（是z的共轭复数）．（1）求复数z的模；（2）复数z1＝在复平面对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数的运算．【专题】整体思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】（1）结合复数的四则运算进行化解，然后结合纯虚数概念可求m，进而可求；（2）先结合复数的四则运算进行化简，然后结合复数的几何意义可求．【解答】解：（1）•（1+3i）＝（m+i）（1+3i）＝m﹣3+（3m+1）i为纯虚数，则m＝3，z＝3﹣i，所以|z|＝；（2）z1＝＝＝＝在复平面对应的点在第一象限，所以3a+1＞0且a﹣3＞0，所以a＞3，故a的取值范围为（3，+∞）．【点评】本题主要考查了复数的四则运算及复数的几何意义的应用，属于基础题．19．（2022春•项城市校级月考）当实数a取何值时，在复平面内与复数z＝（m2﹣4m）+（m2﹣m﹣6）i对应点满足下列条件？（1）在第三象限；（2）在虚轴上；（3）在直线x﹣y+3＝0上．【考点】虚数单位i、复数．【专题】方程思想；转化思想；不等式的解法及应用；数系的扩充和复数．【分析】复数z＝（m2﹣4m）+（m2﹣m﹣6）i，对应点的坐标为Z（m2﹣4m，m2﹣m﹣6）．（1）点Z在第三象限，则，解得即可．（2）点Z在虚轴上，则，或m2﹣4m＝m2﹣m﹣6＝0，解得m即可．（3）点Z在直线x﹣y+3＝0上，则（m2﹣4m）﹣（m2﹣m﹣6）+3＝0，解出即可．【解答】解：复数z＝（m2﹣4m）+（m2﹣m﹣6）i，对应点的坐标为Z（m2﹣4m，m2﹣m﹣6）．（1）点Z在第三象限，则，解得，∴0＜m＜3．（2）点Z在虚轴上，则；或m2﹣4m＝m2﹣m﹣6＝0解得m＝0，或m＝4；无解；因此m＝0，或m＝4．（3）点Z在直线x﹣y+3＝0上，则（m2﹣4m）﹣（m2﹣m﹣6）+3＝0，即﹣3m+9＝0，∴m＝3．【点评】本题考查了复数的有关概念、复数相等、几何意义、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（2021春•鼓楼区校级期中）已知复数z＝3+bi（b＝R），且（1+3i）•z为纯虚数．（1）求复数z；（2）若，求复数ω以及模|ω|．【考点】复数的模．【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】（1）根据复数分类可解决此问题；（2）根据复数除法运算法则先求得复数ω，然后可求得|ω|．【解答】解：（1）∵z＝3+bi（b＝R），∴（1+3i）•z＝3﹣3b+（9+b）i，又∵（1+3i）•z为纯虚数，∴9+b≠0且3﹣3b＝0，解得b＝1，∴z＝3+i；（2）＝＝﹣i，∴|ω|＝＝．【点评】本题考查复数分类、复数运算，考查数学运算能力，属于基础题．考点卡片1．充分条件、必要条件、充要条件【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．2．虚数单位i、复数【虚数单位i的概念】i是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a＝0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b＝0叫做实数．复数的模为．【复数的运算】①复数的加法，若M＝a+bi，N＝c+di，那么M+N＝（a+c）+（b+d）i，即实部与实部相加，虚部与虚部相加．②复数的乘法，若M＝a+bi，N＝c+di，那么M•N＝（ac﹣bd）+（ad+bc）i，与多项式乘法类似，只不过要加上i．【例题解析】例：定义运算，则符合条件的复数z为．解：根据定义，可知1×zi﹣（﹣1）×z＝4+2i，即z（1+i）＝4+2i，∴z＝＝＝3﹣i．这个题很好地反应了复数的一般考法，也就是考查复数的运算能力，其中常常用到复数与复数相除．这个题的第一步先把复数当做一个整体进行运算，第二部相除，思路就是把分母变成实数，方法就是乘以它的共轭复数（虚数前面的符号变为相反既是）．处理这种方法外，有的时候还需要设出复数的形式为a+bi，然后在求出a和b，这种类型的题一般用待定系数法．【复数的概念】形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．2、复数相等：a+bi＝c+di⇔a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．3、共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．4、复数的模：的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|＝．3．复数的代数表示法及其几何意义【知识点的知识】1、复数的代数表示法建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量．2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．3、复数中的解题策略：（1）证明复数是实数的策略：①z＝a+bi∈R⇔b＝0（a，b∈R）；②z∈R⇔＝z．（2）证明复数是纯虚数的策略：①z＝a+bi为纯虚数⇔a＝0，b≠0（a，b∈R）；②b≠0时，z﹣＝2bi为纯虚数；③z是纯虚数⇔z+＝0且z≠0．4．复数的运算复数的加、减、乘、除运算法则5．复数的模【知识点的知识】1．复数的概念：形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．2、复数相等：a+bi＝c+di⇔a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．3、共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．4、复数的模：的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|＝．。
高二数学复数综合运算试题答案及解析
高二数学复数综合运算试题答案及解析1.设复数满足（为虚数单位），则的共轭复数．【答案】【解析】因为，则的共轭复数。
【考点】复数的除法运算与共轭复数的概念。
2.若是虚数单位，复数满足,则的虚部为_________．【答案】.【解析】，，则的虚部为.【考点】复数的除法.3.已知，其中为虚数单位，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】对整理得，所以a=-1,b=1,则b-a=2.故选D.【考点】复数的运算.4.设则复数为实数的充要条件是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由复数的运算律可知，当时复数为实数，当复数为实数时，，因此复数为实数的充要条件是，答案选D.【考点】复数的运算5.已知复数z=1﹣i（i是虚数单位）（Ⅰ）计算z2；（Ⅱ）若z2+a，求实数a，b的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】解题思路：（Ⅰ）利用两数差的完全平方公式求解即可；（Ⅱ）先代入化简等式的左边，再利用复数相等的定义列出关于的方程组即可.规律总结：复数的考查，以复数的代数形式运算（加、减、乘、除）为主，灵活正确利用有关公式和复数相等的定义进行求解.试题解析：（Ⅰ）;（Ⅱ）由得，即，所以，解得，.【考点】1.复数的运算；2.复数相等的定义.6.若x+yi=1+2xi（x，y∈R），则x﹣y等于（）A．0B．﹣1C．1D．2【答案】B【解析】∵x+yi=1+2xi（x，y∈R），∴，解得x=1，y=2，则x-y=-1．故选：B．【考点】复数相等．7.已知i为虚数单位，a∈R，若(a-1)(a+1+i)=a2-1+（a-1）i是纯虚数，则a的值为（）A．-1或1B．1C．3D．-1【答案】D【解析】由于为纯虚数,则且,因此,答案选D.【考点】复数的概念与分类8.计算：12|3＋4i|－10（i2010+i2011+i2012＋i2013）＝______ . （其中i为虚数单位）【答案】60【解析】∵，∴=-1-i+1+i=0，且|3+4i|=5，∴12×|3+4i|-10×（i2010+i2011+i2012+i2013）=60，故答案：60．【考点】虚数单位i及其性质．9.已知复数z＝，则|z|＝________．【答案】【解析】∵z＝===，所以|z|==.考点:复数的运算，复数的模10.设为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由于复数是纯虚数，所以，故选D．【考点】复数的概念及运算．11.若，则z的共轭复数的虚部为（）.A．i B．-i C．1D．-1【答案】C【解析】，，则z的共轭复数的虚部为1.【考点】复数的除法、共轭复数.12.已知复数，.（1）若为纯虚数，求实数的值；（2）当=1时，若，请问复数在复平面内对应的点在第几象限？【答案】（1）；（2）第四象限【解析】（1）弄清楚纯虚数的概念，纯虚数是实部为0，虚部不为0的复数。
新人教版高中数学必修第二册第二单元《复数》测试题(有答案解析)(1)
一、选择题1．已知复数1z ，2z 满足()1117i z i +=-+，21z =，则21z z -的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．62．设()()2225322z t t t t i =+-+++，其中t ∈R ，则以下结论正确的是（ ） A ．z 对应的点在第一象限 B ．z 一定不为纯虚数 C ．z 对应的点在实轴的下方D ．z 一定为实数3．复数()211i z i+=-，则z 的共轭复数在复平面内对应的点在 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知复数()()31z m m i m Z =-+-∈在复平面内对应的点在第二象限，则1z=（ ）A B ．2C D ．125．若复数z 满足232,z z i +=-其中i 为虚数单位，则z= A ．1+2i B ．1-2iC ．12i -+D ．12i --6．“复数3iia z -=在复平面内对应的点在第三象限”是“0a ≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．若C z ∈，且22i 1z +-=，则22i z --的最小值是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．58．设313iz i+=-，则232020z z z z ++++=（ ）A ．1B ．0C ．1i --D ．1i +9．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由著名数学家欧拉发明的，他将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式，若将2i e π表示的复数记为z ，则(12)z i +的值为（ ） A ．2i -+ B ．2i --C ．2i +D ．2i -10．若实系数一元二次方程20z z m ++=有两虚数根αβ、，且3αβ=-，那么实数m 的值是（ ） A ．52B ．1C ．1-D ．52-11．已知复数 1cos isin z αα=+ 和复数2cos isin z ββ=+，则复数12z z ⋅的实部是( ) A ．()sin αβ-B ．()sin αβ+C ．()cos αβ-D ．()cos αβ+12．复数z 满足(1i)2i z -=，则z = A ．1i - B ．1i -+ C ．1i --D ．1i +二、填空题13．已知复数z 满足||1z =，则|i ||i |z z ++-的最大值是__________.14．已知i 为虚数单位，计算：12cos sin 233i ππ⎛⎫⎡⎤⎛⎫÷-= ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭_________. 15．若复数72aiz i+=-的实部为3，其中a 是实数，i 是虚数单位，则2z 的虚部为______. 16．已知复数2i -（i 为虚数单位）是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一个根，则b c +=_____.17．已知复数1z =，i 为虚数单位，则34z i -+的最小值为_________. 18．已知a 为实数，i 为虚数单位，若复数2(1)(1)z a a i =-++为纯虚数，则20001a i i+=+______. 19．若复数(3)(12)z i i =--，则z 的共轭复数z 的虚部为_____20．已知复数集合{i |1,1,,}A x y x y x y R =+≤≤∈221133{|(i),}44B z z z z A ==+∈，其中i 为虚数单位，若复数z A B ∈，则z 对应的点Z 在复平面内所形成图形的面积为________三、解答题21．已知复数z 满足：||13z i z =+-，求22(1)(34)2i i z++的值．22．已知复数z 满足|z |=z 的实部、虚部均为整数，且z 在复平面内对应的点位于第四象限. （1）求复数z ；（2）若()22m m n i z --=，求实数m ，n 的值.23．当实数m 为何值时，复数()22656z m m m m i =--+++分别是 （1）虚数； （2）纯虚数； （3）实数. 24．计算下列各题：(1)55(1)(1)11i i i i +-+-+；(2)201920191111i i i i +-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭；；(4) 23201920202320192020i i i i i +++++.25．设复数12,z z 满足12122210z z iz iz +-+=. （1）若12,z z 满足212z z i -=，求12,z z .（2）若1z =k ，使得等式24z i k -=恒成立？若存在，试求出k 的值；若不存在，请说明理由.26．i 是虚数单位，且2(1)2(5)3i i a bi i-+++=+（,a b ∈R ）.（1）求,a b 的值；（2）设复数1()z yi y R =-+∈，且满足复数()a bi z +⋅在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，求||z .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先求得1z ，设出2z ，然后根据几何意义求得21z z -的最大值. 【详解】 由()()()()11711768341112i i i iz i i i i -+--++====+++-，令2z x yi =+，x ，y R ∈，由222||11z x y =⇒+=，()()2134z z x y i -=-+-=2z 对应点在单位圆上，所以21z z -表示的是单位圆上的点和点()3,4的距离，()3,4到圆心()0,05=，单位圆的半径为1，所以21max 516z z -=+=. 故选：D 【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数模的最值的计算.2．C解析：C 【分析】根据()2222110t t t ++=++>，2253t t +-可正可负也可为0，即可判定. 【详解】()2222110t t t ++=++>，z ∴不可能为实数，所以D 错误；z ∴对应的点在实轴的上方，又z 与z 对应的点关于实轴对称，z 对应的点在实轴的下方，所以C 正确；213,25302t t t -<<+-<，z 对应的点在第二象限，所以A 错误；21,25302t t t =+-=，z 可能为纯虚数，所以B 错误； ∴C 项正确.故选：C 【点睛】此题考查复数概念的辨析，关键在于准确求出实部和虚部的取值范围.3．C解析：C 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，求出z 在复平面内对应的点的坐标得答案． 【详解】()()()()212121,1,1111i i i iz i z i i i i i +⋅+====-+∴=-----⋅+ 即z 的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限 . 故选C. 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．4．C解析：C 【解析】分析：由题意得到关于m 的不等式组，求解不等式组确定m 的范围，然后结合题意即可求得最终结果.详解：由题意可得：3010x m m Z -<⎧⎪->⎨⎪∈⎩，即13m <<且m Z ∈，故2m =，则：1z i =-+，由复数的性质112z z ===.本题选择C 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的综合运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．B解析：B 【解析】试题分析：设i z b a =+，则23i 32i z z a b +=+=-，故，则12i z =-，选B.【考点】注意共轭复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时对复数的运算与概念、复数的几何意义等进行综合考查，也是考生必定得分的题目之一.6．A解析：A 【详解】因为33aiz a i i-==--，所以由题设可得00a a -<⇒>，因此0a >是0a ≥的充分不必要条件，故应选答案A ．7．B解析：B 【分析】由复数的模的几何意义，可得z 在复平面的轨迹是以()2,2-为圆心，以1为半径的圆，根据圆的几何性质可得结果. 【详解】设i z x y =+(),x y ∈R ，则()22i 22i 1z x y +-=++-=， 所以()()22221x y ++-=，表示圆心为()2,2-，半径为1r =的圆.()()()()2222i 22i 22z x y x y --=-+-=-+-，表示点(),x y 和()2,2之间的距离，故()min 22i 22413z r --=---=-=. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的模的几何意义，考查圆的性质，考查学生的计算求解能力，属于中档题.8．B解析：B 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z ，再由等比数列的前n 项和公式及虚数单位i 的运算性质求解． 【详解】 3(3)(13)1013(13)(13)10i i i iz i i i i +++====--+， 20202020232020(1)(1)(11)0111z z i i i z z z zz i i---∴+++⋯+====---．故选：B ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位i 的运算性质，训练了等比数列前n 项和的求法，是基础题．9．A解析：A 【分析】根据欧拉公式求出2cos sin22iz e i i πππ==+=，再计算(12)z i +的值.【详解】 ∵2cossin22iz e i i πππ==+=，∴(12)(12)2z i i i i +=+=-+. 故选：A. 【点睛】此题考查复数的基本运算，关键在于根据题意求出z .10．A解析：A 【分析】根据实系数方程有两虚数根，利用求根公式解得：12z -±=，由此可得αβ-的m 表示形式，根据3αβ-=即可求得m 的值. 【详解】因为20z z m ++=，所以z =，又因为3αβ-=，所以3=，所以419m -=，解得：52m =. 故选A. 【点睛】实系数一元二次方程()200++=≠ax bx c a ，有两虚根为,αβ，注意此时的240b ac ∆=-<，因此在写方程根时应写成：2b x -±=而不能写成了x =11．D解析：D 【解析】分析：利用复数乘法运算法则化简复数，结合两角和的正弦公式、两角和的余弦公式求解即可. 详解：()()12cos cos cos cos z z isin isin ααββαβ⋅=++=()()2cos cos cos i sin isin i sin sin isin αβαβαβαβαβ+++=+++，∴实部为()cos αβ+,故选D.点睛：本题主要考查的是复数的乘法，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++运算的准确性，否则很容易出现错误.12．B解析：B 【解析】因为()1i 2i z -=，所以()2i111iz i i i ==+=-+-,选B. 二、填空题13．【分析】设则化简可得；然后分类讨论去绝对值在根据三角函数的性质即可求出结果【详解】设则当时所以的最大值是；当时所以的最大值是；当时所以综上的最大值是故答案为：【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何解析：【分析】设cos sin (,0)2z i θθθπ=+≤<，则化简可得coscos2222z i z i θθθθ++-=++-；然后分类讨论去绝对值，在根据三角函数的性质，即可求出结果． 【详解】设cos sin (,0)2z i θθθπ=+≤< ．则z i z i ++-===coscos2222θθθθ=++-．02θπ≤<，02θπ∴≤<．当0,24θπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0sin cos 122θθ≤≤≤≤，所以2z i z i θ+-=+，z i z i ++-的最大值是当3,244θππ∈⎛⎤⎥⎝⎦时，cos sin 12222θθ-≤<<≤，所以2z i z i θ++-=，z i z i ++-的最大值是；当3,24θππ∈⎛⎫⎪⎝⎭时，1cos sin 2222θθ-<<-<<，所以sin cos 22θθ<，2z i z i θ++-=-，z i z i ++-<．综上，z i z i ++-的最大值是故答案为： 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义,考查复数模的求法,训练了利用三角函数求最值,是中档题．14．【分析】先把转化为再利用复数三角形式的除法运算法则即可求出答案【详解】解：原式故答案为：【点睛】本题主要考查由复数的代数形式转化为复数三角形式以及复数三角形式的除法运算法则属于基础题解析：14-+【分析】先把12+转化为cos sin 33i ππ+，再利用复数三角形式的除法运算法则即可求出答案.【详解】 解：原式cossin2cos sin 3333i i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+÷⨯- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ cos sin 2cos 3333i isin ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+÷-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1cos sin 23333i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦14=-+.故答案为：144-+. 【点睛】本题主要考查由复数的代数形式转化为复数三角形式以及复数三角形式的除法运算法则，属于基础题.15．6【分析】化简复数实部为3求出a 进而求出【详解】解：由题意知的虚部为6故答案为：6【点睛】本题考查复数的基础知识和含参复数的运算属于基础题解析：6 【分析】化简复数，实部为3,求出a ，进而求出2z . 【详解】 解：7(7)(2)2(2)(2)ai ai i z i i i +++==--+(14)(72)1472555a a i a ai -++-+==+. 由题意知1435a-=，1a ∴=-， 3z i ∴=+，286z i ∴=+， 2z ∴的虚部为6. 故答案为：6. 【点睛】本题考查复数的基础知识和含参复数的运算，属于基础题.16．1【分析】的共轭复数是实系数一元二次方程的一个根利用一元二次方程的根与系数的关系求【详解】解:因为是实系数一元二次方程的一个根所以是实系数一元二次方程的一个根所以因此故答案为：1【点睛】本题考查了一解析：1 【分析】2i -的共轭复数2i +是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一个根，利用一元二次方程的根与系数的关系求b 、c .【详解】解:因为2i -是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一个根， 所以2i +是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一个根， 所以[(2)(2)]4b i i =--++=-，(2)(2)5c i i =-⋅+=， 因此451b c +=-+=. 故答案为：1. 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，属于基础题.17．4【分析】利用复数的几何意义转化求解即可【详解】解:复数z 满足为虚数单位复数z 表示：复平面上的点到(00)的距离为1的圆的几何意义是圆上的点与的距离所以其最小值为：故答案为：4【点睛】本题考查复数的解析：4 【分析】利用复数的几何意义，转化求解即可. 【详解】解:复数z 满足1z =，i 为虚数单位， 复数z 表示：复平面上的点到(0，0)的距离为1的圆.34z i -+的几何意义是圆上的点与()34-，的距离，14-= . 故答案为：4. 【点睛】本题考查复数的几何意义，复数的模的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.18．【分析】利用纯虚数的定义复数的运算法则即可求出【详解】解：为纯虚数且解得故答案为：【点睛】本题考查了复数的运算法则纯虚数的定义考查了推理能力与计算能力属于基础题 解析：1i -【分析】利用纯虚数的定义、复数的运算法则即可求出. 【详解】 解：2(1)(1)z a a i =-++为纯虚数，210a ∴-=，且10a +≠，解得1a =20001112(1)111(1)(1)i i i i i i i ++-∴===-+++-.故答案为：1i -. 【点睛】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.19．7【分析】利用复数乘法运算化简为的形式由此求得共轭复数进而求得共轭复数的虚部【详解】故虚部为【点睛】本小题主要考查复数乘法运算考查共轭复数的概念考查复数虚部的知识解析：7 【分析】利用复数乘法运算化简z 为a bi +的形式，由此求得共轭复数，进而求得共轭复数的虚部. 【详解】()()31217z i i i =--=-，17z i =+，故虚部为7.【点睛】本小题主要考查复数乘法运算，考查共轭复数的概念，考查复数虚部的知识.20．【分析】先由复数的几何意义确定集合所对应的平面区域再确定集合所对应的平面区域由复数可得复数对应的点在复平面内所形成图形即为集合与集合所对应区域的重叠部分结合图像求出面积即可【详解】因为复数集合所以集 解析：72【分析】先由复数的几何意义确定集合A 所对应的平面区域，再确定集合B 所对应的平面区域，由复数z A B ∈⋂，可得复数z 对应的点Z 在复平面内所形成图形即为集合A 与集合B 所对应区域的重叠部分，结合图像求出面积即可.【详解】 因为复数集合{i |1,1,,}A x y x y x y R =+≤≤∈，所以集合A 所对应的平面区域为1x =±与1y =±所围成的正方形区域； 又221133{|,}44B z z i z z A ⎛⎫==+∈ ⎪⎝⎭，设1z a bi =+，且1a ≤, 1b ≤, ,a b R ∈， 所以()()()21333333444444z i z i a bi a b a b i ⎛⎫⎛⎫=+=++=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设2z 对应的点为(),x y ， 则()()3434x a b y a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，所以3232a x y b y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，又1a ≤, 1b ≤，所以33223322x y y x ⎧-≤+≤⎪⎪⎨⎪-≤-≤⎪⎩， 因为复数z A B ∈⋂，z 对应的点Z 在复平面内所形成图形即为集合A 与集合B 所对应区域的重叠部分，如图中阴影部分所示，由题意及图像易知：阴影部分为正八边形，只需用集合A 所对应的正方形区域的面积减去四个小三角形的面积即可. 由321x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得112B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，由321x y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得112C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 所以11172242222S =⨯-⨯⨯⨯=阴影. 故答案为72【点睛】本题主要考复数的几何意义，以及不等式组所表示平面区域问题，熟记复数的几何意义，灵活掌握不等式组所表示的区域即可，属于常考题型.三、解答题21．34i +【分析】先根据复数相等解得z ，再根据复数运算法则求解【详解】设,(,)z a bi a b R =+∈，而||13z i z =+- 22130a b i a bi +-++= 则22410{{,43330a ab a z i b b =-+-=⇒=-+=-= 所以2222(1)(34)2(34)2(34)3422(43)2(34)i i i i i i i z i i i ++++===+-++ 【点睛】本题考查复数相等以及复数运算法则，考查基本分析求解能力，属基础题.22．(1) 12z i =-或2i z =-.(2) 3m =±，5n =.【分析】（1）利用已知条件，设出复数z ，通过225(,)a b a b +=∈Z 及所对点所在位置求出即可复数z ；（2）利用（1），结合复数的乘法运算求解m ，n 的值【详解】（1）设(,)z a bi a b =+∈Z ，则225(,)a b a b +=∈Z ，因为z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以0a >，0b <，所以12a b =⎧⎨=-⎩或21a b =⎧⎨=-⎩， 所以12z i =-或2i z =-.（2）由（1）知12z i =-或2i z =-，当12z i =-时，234z i =--；当2i z =-时234z i =-.因为()22m m n i z --=，所以234m m n =±⎧⎨-=⎩，解得3m =±，5n =. 【点睛】 本题考查复数的模长公式，考查复数的乘法运算，考查计算能力，是基础题23．（1）m≠-2且m≠ -3; （2）m=3； （3）m=-2或m=-3.【分析】由已知条件分别得到（1）虚数：得到 256m m ++≠0；（2）纯虚数：得到 26m m --＝0并且256m m ++≠0（3）实数；2 56m m ++=0；分别解之即可．【详解】复数()22656z m m m m i =--+++是：（1）虚数：得到 256m m ++≠0，解得m≠-2且m≠ -3;（2）纯虚数： 得到 26m m --＝0并且256m m ++≠0解得m=3（3）实数：2 56m m ++=0解得m=-2或m=-3故答案为m≠-2且m≠ -3; m=3； m=-2或m=-3.【点睛】本题考查了复数的基本概念；关键是由题意，得到复数的实部和虚部的性质．24．(1)0；(2)2i -；(3)516；(4)10101010i - 【分析】根据复数的乘除运算法则及乘方运算，即可计算出(1)(2)的值；利用复数模的运算性质可求出(3)的值；利用分组求和及i 的运算性质可求出(4)的值.【详解】 (1) 5566232322(1)(1)(1)(1)[(1)][(1)]11(1)(1)(1)(1)11i i i i i i i i i i i i i i +-+-+-+=+=+-+-++--- 3333(2)(2)44022i i i i -=+=-=. (2)因为21(1)21(1)(1)2i i i i i i i ++===--+，21(1)21(1)(1)2i i i i i i i ---===-++-， 所以20192019201945043201920319111(22221)i i i i i i i i i i ⨯+-=--==+-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-+=⎝⎭=-⎝⎭.==5454845252516⨯====⨯. (4) 23201920202320192020i i i i i +++++(234)(5678)(2017201820192020)i i i i i i =--++--+++--+(22)(22)(22)+i i i =-+-+-505(22)i =⨯- 10101010i =-.【点睛】本题主要考查复数的乘除运算，乘方运算，复数的模的运算性质及i 的运算性质，属于中档题.25．（1）123,5z i z i ==-或12,z i z i =-=-. （2）存在，k =【分析】（1）由条件可得211230z iz --=，设1z a bi =+，即可算出（2）由条件得212212iz z z i -=+，然后22212iz z i -=+22427z i -= 【详解】（1）由212z z i -=，可得212z z i =-， 代入已知方程得()()1111222210z z i iz i z i -+--+=， 即211230z iz --=.令()1,z a bi a b =+∈R ， 所以()22230a b i a bi +---=， 即()222320a b b ai +---=， 所以2223020a b b a ⎧+--=⎨-=⎩，解得03a b =⎧⎨=⎩或01a b =⎧⎨=-⎩. 所以123,5z i z i ==-或12,z i z i =-=-.（2）由已知得212212iz z z i-=+，又1z =所以22212iz z i-=+22222132iz z i -=+， 所以()()()()22222121322iz iz z i z i ---=+-，整理得()()224427z i z i -+=，所以22427z i -=，即24z i -=，所以存在常数k =，使得等式24z i k -=恒成立.【点睛】设()1,z a bi a b =+∈R ，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法.26．（1）3,1a b ==-（2【解析】分析：（1）由复数的四则运算可化简复数，再由复数相等可知实部与虚部都要相等，可求得,a b ．（2）由复数的乘法运算可化简复数式为标准式，再由复数在第一、三象限的角平分线上可知复数实部等于虚部，求得参数y,再由复数模公式求得复数模．详解：（1）∵()()21253i i a bi i -+++=+ 1033i i==-+ ， 又∵,a b R ∈ ∴3,1a b ==-（2）()()()31a bi z i yi +⋅=--+()()331y y i =-+++由题意可知：331y y -+=+，解得2y =-∴z ==点睛：本题主要考查复数四则运算与乘方综合运算和复数相等，及复数与坐标对应关系，及复数的模．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高二数学文科试题（复数3）
一、选择题
1．设,,,a b c R ∈则复数()()a bi c di ++为实数的充要条件是（ ）
（A ）0ad bc -= （B ）0ac bd -= （C ）0ac bd += （D ）0ad bc +=
2
）
A ．i
B ．i -
C i
D i
3．若复数z 满足方程022=+z ，则3z 的值为（ ） A.22± B. 22- C. i 22- D. i 22± 4．对于任意的两个实数对（a ,b ）和(c,d),规定（a ,b ）＝(c,d)当且仅当a ＝c,b ＝d;运算“⊗”为：),(),(),(ad bc bd ac d c b a +-=⊗，运算“⊕”为：
),(),(),(d b c a d c b a ++=⊕，设R q p ∈,，若)0,5(),()2,1(=⊗q p 则=⊕),()2,1(q p （ ）
A. )0,4(
B. )0,2(
C.)2,0(
D.)4,0(-
5．复数10(1)1i i
+-等于（ ） A ．1i + B 。
1i -- C 。
1i - D 。
1i -+
6．3(1－i )2＝ ( ) （A ）32i （B ）－32
i （C ）i （D ）－i 7．i 是虚数单位，
=+i
i 1（ ） A ．i 2121+ B ．i 2121+- C ．i 2121- D ．i 2
121-- 8．如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m =（ ）
A ．1
B ．1-
C ．
9．已知复数z 3i ）z ＝3i ，则z ＝（ ）
A ．32
B. 34
C. 32
D.34 10．在复平面内，复数1i i +对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
二、填空题
11．已知11m ni i
=-+，m n i 其中，是实数，是虚数单位，m ni +=则__________ 12．在复平面内，若复数z 满足|1|||z z i +=-，则z 所对应的点的集合构成的图形
是 。
13. 设x 、y 为实数，且i
i y i x 315211-=-+-，则x +y =__________. 14．若复数z 同时满足z －-z ＝2i ，-z ＝iz
（i 为虚数单位），则z ＝ ． 15．已知
z =则501001z z ++的值为________________ 16．非空集合G 关于运算⊕满足：（1）对任意,a b G ∈，都有a b G ⊕∈；
（2）存在e G ∈，使得对一切a G ∈，都有a e e a a ⊕=⊕=，则称G 关于运算⊕为“融洽集”；现给出下列集合和运算：
①{},G =⊕非负整数为整数的加法 ②{},G =⊕偶数为整数的乘法 ③{},G =⊕平面向量为平面向量的加法 ④{},G =⊕二次三项式为多项式的加法
⑤{},G =⊕虚数为复数的乘法
其中G 关于运算⊕为“融洽集”_______________;（写出所有“融洽集”的序号）
18．已知复数z 满足2||=z ，2z 的虚部为 2 ，
（I ）求z ；
（II ）设z ，2z ，2z z -在复平面对应的点分别为A ，B ，C ，求ABC ∆的面积.
高二文科数学试题（复数）答案
一、选择题
二、填空题
11、2+i 12、直线y= -x
13、4 14、-1+i
15、i 16、①③
三、解答题
17、[解法一] i 2i 21i 34,i 34)i 21(-=++=
∴+=+w w ， ……4分 i 3|i |i 25+=-+-=
∴z . ……8分 若实系数一元二次方程有虚根i 3+=z ，
则必有共轭虚根i 3-=z .
10,6=⋅=+z z z z ，
∴ 所求的一个一元二次方程可以是01062=+-x x . ……10分
[解法二] 设i b a w +=R)(∈b a 、
b a b a 2i 2i 34i +-=-+，
得 ⎩⎨⎧-==-,23,24a b b a ∴ ⎩⎨⎧-==,1,2b a
i 2-=∴w ， ……4分
以下解法同[解法一].
18、解：（I ）设(,)Z x yi x y R =+∈
由题意得2222
()2Z x y x y xyi =-=-
+21
(2)xy =∴=⎪⎩ 故()2
0,x y x y -=∴=将其代入（2）得2221x x =∴=±
故11x y =⎧⎨=⎩或11
x y =-⎧⎨=-⎩
故1Z i =+或1Z i =-- ……6分
（II ）当1Z i =+时，222,1Z i Z Z i =-=-
所以(1,1),(0,2),(1,1)A B C -12,1212
ABC AC S ∆∴==⨯⨯=
当1Z i =--时， 222,13Z i Z Z i =-=--，
(1,1),(0,2),(1,3)A B C ---
11212ABC S ∆=⨯⨯= ……10分
（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。
可复制、编制，期待你的好评与关注！）。