高中数学一元二次方程、不等式与函数-学生

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高一一元二次函数、方程和不等式串讲

高一一元二次函数、方程和不等式串讲高一数学：一元二次函数、方程和不等式串讲一元二次函数、方程和不等式是高中数学中的基础知识，它们在数学中起着重要的作用。

通过这篇文章，我将以人类的视角为你讲述一元二次函数、方程和不等式的概念和应用。

让我们来了解一元二次函数。

一元二次函数是指形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c是实数常数，且a不等于零。

这个函数的图像通常是一个抛物线，它可以开口向上或向下，取决于a的正负。

一元二次函数在物理、经济学等领域中有着广泛的应用，例如抛射运动和成本收益分析。

接下来，我们将探讨一元二次方程。

一元二次方程是指形式为ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b和c是实数常数，且a不等于零。

解一元二次方程的常用方法是配方法、因式分解和求根公式。

解方程的根可以是实数或复数，这取决于方程的判别式b^2 - 4ac的正负。

一元二次方程在数学中有着广泛的应用，例如几何学中的平面图形问题和物理学中的运动问题。

我们来讨论一元二次不等式。

一元二次不等式是指形式为ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0的不等式，其中a、b和c是实数常数，且a不等于零。

解一元二次不等式的方法与解一元二次方程类似，需要考虑不等号的方向。

一元二次不等式在实际问题中的应用也非常广泛，例如优化问题和约束条件下的最优解问题。

通过以上的串讲，我们对一元二次函数、方程和不等式有了更深入的了解。

它们是数学中的重要概念，对于我们理解数学和解决实际问题都非常重要。

希望通过这篇文章，你能够对一元二次函数、方程和不等式有更清晰的认识，并能够灵活应用于实际生活和学习中。

让我们继续努力，掌握更多数学知识，成为数学的行家！。

关于一元二次函数,一元二次方程,一元二次不等式及其关系

1. 一元二次函数函数 2y ax bx c =++ (0)a ¹叫做一元二次函数，其中,,a b c 是常数一般式2y ax bx c =++ ( 0a ¹)顶点式 ()2y a x h k =-+ (0a ¹),其中(),h k 为抛物线顶点坐标两点式()()12y a x x x x =-- ( 0a ¹), 其中12,x x 是抛物线与x 轴交点的横坐标。

1.1一元二次函数的基本性质1.1.1一元二次函数的定义域和值域一元二次函数2y ax bx c =++ ，(0)a ¹的R一元二次函数2y ax bx c =++ ，(0)a ¹ 的值域是0a >时一元二次函数的值域是24,4ac ba 轹-÷ê÷+ ÷ê÷øë 0a <时一元二次函数的值域是24,4acb a 纟-çú- ççúèû1.1.2一元二次函数的单调性1. 2y ax bx c =++ ， ()0a > 在区间,2ba 纟çú-?ççúèû上为单调减函数，在区间,2ba 轹÷ê-+ ÷÷êøë上为单调增函数。

当2b x a=-时 2min 44ac b y a-=， m ax y =无2. 2y ax bx c =++ ()0a <在区间,2ba 纟çú-?ççúèû上为单调增加函数，在区间,2ba轹÷ê-+ ÷÷êøë上为单调减函数。

新教材2023年高中数学第2章一元二次函数、方程和不等式 2

x≥5}．
题型三
解含有参数的一元二次不等式(对判别式的讨论)
典例3 解关于x的不等式2x2＋ax＋2>0. [分析] 二次项系数为2，Δ＝a2－16不是一个完全平方式，故不能确定根的个数，因此需对判别式Δ的符号进行讨论，确定根的个数．
[解析] 对于方程 2x2＋ax＋2＝0，其判别式 Δ＝a2－16＝(a＋4)(a－
[归纳提升] 注意已知条件的含义和根与系数关系的应用： (1)一元二次不等式解集的两个端点值是一元二次方程的两个根． (2)由一元二次方程根与系数的关系列方程组求参数．
【对点练习】 ❷ 若不等式 ax2 ＋ bx ＋ c≤0 的解集为 {x|x≤ － 3 或
x≥4}，求不等式bx2＋2ax－c－3b≥0的解集．
y＝ax2＋bx＋ c(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝ 0(a>0)的根
ax2＋bx＋ c>0(a>0)的解集
ax2＋bx＋ c<0(a>0)的解集
有两个不相等的实数根 x1，x2(x1<x2) {x|x>x2 或 x<x1}
{x|x1<x<x2}
有两个相等的实数根 x1＝x2＝－2ba x|x≠－2ba
(3)令x2＋6x＋10＝0，则方程无解，又由y＝x2＋6x＋10图象的开口方向朝上，故无论x为何值，函数值均大于0.
(4)令－3x2＋12x－12＝0，则x＝2，又由y＝－3x2＋12x－12图象的开口方向朝下，故x＝2时，函数的值等于0，当x≠2时，函数值小于0.
核心素养数学抽象直观想象数学抽象数学运算逻辑推理数学运算
第1课时二次函数与一元二次方程、不等式

第7讲二次函数与一元二次方程、不等式(学生版)-2023年新高一(初升高)暑期数学衔接(新人教版)

第07讲二次函数与一元二次方程、不等式【学习目标】1.会结合一元二次函数的图像，判断一元二次方程实根的存在性及实根个数，了解函数的零点与方程根的关系．2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义，能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系【基础知识】一、一元二次不等式一般地，我们把只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0.二、二次函数的零点1.一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．2.二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．3.一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．三、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系【解读】(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间．(2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．四、解一元二次不等式的一般步骤1.通过对不等式变形，使二次项系数大于零；2.计算对应方程的判别式；3.求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；4.根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．【解读】(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标．(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c>0的x的值构成的；图象在x 轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c<0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．五、解含参数的一元二次不等式1.若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；2.若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；3.若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．六、简单分数不等式的解法1.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．七、不等式恒成立问题1.不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R>0，＝b2－4ac<0；2.一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R>0，＝b2－4ac≤0；3.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0<0，≤0.【考点剖析】考点一：一元二次不等式的解法例1．(2022学年新疆喀什市普通高中高一上学期期末)解下列不等式：(1)2430x x++>；(2)294604<-+-x x.考点二：三个二次关系的应用例2．(2020-2021学年安徽省滁州市定远中学高一上学期考试)已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()2,4-，则不等式20cx bx a -+<的解集是()A ．12x x ⎧<-⎨⎩∣或14x ⎫>⎬⎭B ．1142x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣C ．14x x ⎧<-⎨⎩∣或12x ⎫>⎬⎭D ．1124x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣考点三：含参数的一元二次不等式的解法例3．解关于x 的不等式2220ax x a +-+>考点四：简单分数不等式的解法例4．(多选)(2022学年湖南省怀化市高一上学期期末)集合201x A x x ⎧⎫-=<⎨⎬+⎩⎭也可以写成()A ．()(){}210x x x -+<B ．102x x x ⎧⎫+<⎨⎬-⎩⎭C ．{1x x <-或}2x >D ．()1,2-考点五：一元二次不等式恒成立问题例5．(2020-2021学年广东省江门市新会陈经纶中学高一上学期期中)已知关于x 的不等式2680kx kx k -++>对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是()A ．01k ≤≤B ．01k ≤<C ．0k <或1k >D ．0k ≤或1k >【真题演练】1．(2022学年浙江省强基联盟高一下学期5月联考)不等式()()220x x +->的解集是()A ．{2}x x >∣B ．{2}x x <-∣C ．{2∣<-x x 或2}x >D ．{22}x x -<<∣2.(2022学年浙江省“新高考名校联盟”高一下学期5月检测)一元二次不等式22(21)90kx k x +++>对一切实数x 恒成立，则k 的取值范围是()A ．(0,1)B ．1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(0,)+∞3.(2022学年重庆市石柱中学校高一上学期第一次月考)已知函数()()2245413y k k x k x =+-+-+的图象都在x 轴的上方，求实数k 的取值范围()A ．{}119k k ≤<B ．{}218k k ≤<C ．{}020k k <<D ．{}119k k -<<4.(多选)(2022学年江苏省盐城市大丰区新丰中学高一上学期期中)下列不等式的解集为R 的有()A ．x 2＋x ＋1≥0B ．x 2－C ．x 2＋6x ＋10>0D ．2x 2－3x ＋4<15.(多选)(2022学年江苏省南京市第一中学高一上学期10月月考)对于给定实数a ，关于x 的一元二次不等式()()110ax x -+<的解集可能是()A ．1|1x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．{}|1x x ≠-C ．1|1x x a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭D ．R6.(2022学年湖南省衡阳市田家炳实验中学高一上学期月考)已知二次函数2y x bx c =++图象如图所示.则不等式230bx cx -+≤的解集为_________.7.(2020-2021学年浙江省衢州五校高一上学期11月期中联考)(1)若不等式250x bx c -+<的解集为{}13x x -<<，求b c +的值.(2)不等式2504x x -≥+的解集为A ，求集合A .8.(2022学年广东省江门市广雅中学高一上学期月考)求下列不等式的解集．(1)214450x x -+-≥；(2)()()231x x x x >+-+【过关检测】1.(2022学年安徽省亳州市利辛县第一中学高一下学期4月联考)不等式22150x x -++≤的解集为()A ．532x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭B ．52x x ⎧≤-⎨⎩或}3x ≥C ．532x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭D ．{3x x ≤-或52x ⎫≥⎬⎭2.(2022学年陕西省西安市长安区高一下学期月考)若不等式22221463x mx m x x ++<++对一切实数x 均成立，则实数m 的取值范围是()A ．()1,3B ．(),1-∞C ．()(),13,-∞⋃+∞D ．()3,+∞3.(2022学年广东省化州市第三中学高一下学期3月考试)已知不等式220ax bx ++>的解集是()1,2-，则a b +的值为()．A ．1B ．1-C ．0D ．2-4.(2022学年甘肃省定西市高一下学期统一检测)若关于x 的不等式()2330x m x m -++<的解集中恰有3个整数，则实数m 的取值范围为()A ．(]6,7B ．[)1,0-C ．[)(]1,06,7-⋃D ．[]1,7-5.(多选)(2022学年福建省晋江市第一中学高一上学期月考)已知关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为{3x x ≤或}4x ≥，则下列结论中，正确结论的序号是()A ．0a >B ．不等式0bx c +>的解集为{}4x x <-C ．不等式20cx bx a -+<的解集为14x x ⎧<-⎨⎩或13x ⎫>⎬⎭D ．0a b c ++>6.(多选)(2022学年安徽省皖西地区高一下学期期中大联考)若不等式20ax bx c ++>的解集为()1,2-，则下列说法正确的是()A ．0a <B ．0a b c ++>C ．关于x 的不等式230bx cx a ++>解集为()3,1-D ．关于x 的不等式230bx cx a ++>解集为()(),31,-∞-⋃+∞7.(2022学年广东省梅州市梅江区梅州中学高一上学期月考)若不等式230ax ax ++≥在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是___________．8.(2022学年湖北省黄石市有色第一中学高一上学期期中)若不等式20ax bx c ++<的解集为()(),23,-∞-⋃+∞，则不等式20cx bx a ++>的解集是________．9.(2019-2020学年天津市红桥区高一上学期期中)求下列不等式的解集．．：(1)2280x x -->；(2)240x -≥.10.(2022学年北京市第五中学高一3月第一次阶段检测)请回答下列问题：(1)若关于x 的不等式()22320x x a a R -+>∈的解集为{|1x x <或}x b >，求a ，b 的值.(2)求关于x 的不等式()2325ax x ax a R -+>-Î的解集.。

高中数学学什么内容？

高中数学学什么内容？高中数学是学生接受高等教育的基础，它不仅为后续学习高等数学、物理、化学等学科打下良好基础，更能提升学生的逻辑思维能力、抽象思维能力和解决问题的能力。

那么，高中数学具体学什么内容呢？一、函数与方程函数是数学的核心概念之一，是解释变量之间关系的有力工具。

高中数学中，学生将学习多种函数类型，包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等，并掌握其性质和应用。

同时，方程是函数的另一种表达形式，在高中数学中也扮演着重要角色。

学生将学习一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组等，并掌握其解法和应用。

二、几何与向量几何是研究图形性质和空间关系的学科，高中数学中，学生将学习平面几何和立体几何，并掌握基本图形的性质和定理。

向量是描述力、速度等物理量的重要工具，在高中数学中也占有重要地位。

学生将学习向量的概念、运算和应用，并用向量解决几何问题。

三、数列与不等式数列是研究数的排列规律的学科，高中数学中，学生将学习等差数列、等比数列、等差数列等，并掌握其性质和应用。

不等式是比较大小关系的有力工具，在高中数学中也发挥着重要作用。

学生将学习不等式的性质、解法和应用，并用不等式解决问题。

四、概率与统计概率与统计是研究随机现象的学科，高中数学中，学生将学习概率的基本概念、计算方法和应用，并掌握数据的收集、整理、分析和推断等统计方法。

五、导数与积分导数与积分是微积分的重要组成部分，也是高等数学的基础。

高中数学中，学生将学习导数的概念、性质和应用，包括定积分的概念和简单的应用。

六、数学建模与应用数学建模是指用数学方法解决生活中的实际问题，高中数学中，学生将学习基本的数学建模方法，并尝试将数学知识应用到解决实际问题中。

总而言之，高中数学的内容涵盖了函数、方程、平面几何、向量、数列、不等式、概率、统计、导数、积分等多个方面，是学生接受高等教育和未来发展的重要基础。

学习高中数学，不仅能提升学生的数学素养，更能培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

人教版高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式全套PPT课件

[解析] ，，又 , ，即 .又，，即．故，．
【变式探究】
已知且，求的取值范围．
[解析] 令，，则，．由解得 ,又，，，．
方法总结不等式具有可加性（需同向）与可乘性（需同正），但不能相减或相除，应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意等价变形．
方法总结应用基本不等式时，注意下列常见变形中等号成立的条件：
第二章一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
学习目标
1.会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.（数学建模）
2.会运用作差法比较两个数或式子的大小.（数学运算）
3.梳理等式的性质，掌握不等式的性质，会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题.（逻辑推理）
自主预习·悟新知
合作探究·提素养
（2）已知， .求证：．
②
[解析] （1）对于①，若，，，，则，①错误；对于②，对于正数，，，若，则，所以，所以，又，所以，②正确．综上，正确结论的序号是②．（2）因为，所以 .所以．又因为，所以 .所以，即，所以．
探究2 重要不等式
设，，记，，分别为，的算术平均数、几何平均数、调和平均数.古希腊数学家帕波斯于公元4世纪在其名著《数学汇编》中研究过时，，，的大小关系.
问题1：.你能探究，，的大小关系吗？
[答案] 能,因为，，，所以，即；，即 .所以 .所以，，中最大的为，最小的为 .
问题1：.小明的说法正确吗？用什么性质判断小明的说法是否正确？
[答案] 不正确，用等式的性质.当时，一定成立，反过来，当时，不能推出，如当时，成立，不成立.故“ 是成立的充要条件”是错误的.

高中数学人教A版必修第一册2.3二次函数与一元二次方程、不等式课件

1 3 1 3
2 a
b a
，解得
a b
12 2
，
所以 2x2 bx a 0 可化为 x2 x 6 0 ，即 (x 3)(x 2) 0 ，解得 2 x 3 ，
所以不等式 2x2 bx a 0 的解集为{x | 2 x 3} .
11.国家原计划以 2000 元/吨的价格收购某种农产品 m 吨.按规定，农户向国家纳税为：每收入 100 元纳税 8 元（称作税率为 8 个百分点，即 8%）.为了减轻农民负担，制定积极的收购政策.根据市场规律，税率降低 x 个百分点，收购量能增加 2x 个百分点. 试确定 x 的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的 54%.
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
教学目标
1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实数根的存在性及实数根的个数，了解二次函数的零点与一元二次方程根的关系. 2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集. 3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
ax2
bx
c
0
的两根，
2
2
3 3
c
b a
，则
b c
a 6a
，
a
则 a b c 6a 0 ，故 C 错误；
不等式 bx c 0 即 ax 6a 0 ，即 x 6 0 ，解得 x 6 ，故 B 正确；
不等式 cx2
bx
a
0
即 6ax2
ax
a
0
，即 6x2
x
1 0
，解得 x
a
|
2
a
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高中数学第二章一元二次函数方程和不等式等式与不等式1学生用书湘教版必修第一册

第二章一元二次函数、方程和不等式2．1　相等关系与不等关系 2．1.1　等式与不等式最新课程标准学科核心素养1.能从等式的性质类比不等式的性质．(数学抽象)2．理解实数比较大小的基本事实，会比较两个实数的大小．(数学运算)3．掌握不等式的性质及其成立的条件，会利用不等式的性质．(逻辑推理)4．灵活运用不等式的基本性质解决求范围问题、证明不等式．(逻辑推理)1.梳理等式的性质．2．理解不等式的概念．3．掌握不等式的性质．第1课时　等式与不等式(1)教材要点要点一　不等式中的文字语言与符号语言之间的转换文字语言大于大于等于小于小于等于至多至少不少于不多于符号语言＞≥＜≤≤≥≥≤状元随笔　不等式a≥b 或a≤b 的含义(1)不等式a≥b 含义是指“a ＞b, 或者a ＝b”，等价于“a 不小于b”，即若a ＞b 或a ＝b 中有一个正确，则a≥b 正确．(2)不等式a≤b 含义是指“a ＜b ，或者a ＝b”，等价于“a 不大于b”，即若a ＜b 或a ＝b 中有一个正确，则a≤b 正确．要点二　比较两个实数a ，b 大小的依据1．文字叙述如果a －b 是________，那么a ＞b ；如果a －b ________，那么a ＝b ；如果a－b是________，那么a＜b，反之也成立．2．符号表示a－b＞0⇔a________b；a－b＝0⇔a________b；a－b＜0⇔a________b.状元随笔　比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a－b与0的大小关系，与差的具体数值无关．因此，比较两实数a，b的大小，其关键在于经过适当变形，能够确认差a－b的符号，变形的常用方法有配方、分解因式、通分等．基础自测1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种．( )(2)若ab＞1，则a＞b.( )(3)a与b的差是非负实数，可表示为a－b＞0.( )(4)因为∀a，b∈R，(a－b)2≥0，所以a2＋b2≥2ab.( )2．某路段竖立的的警示牌，是指示司机通过该路段时，车速v km/h应满足的关系式为( )A．v＜60B．v＞60C．v≤60D．v≥363．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是( )A．M＞N B．M＝NC．M＜N D．与x有关4．已知x＜1，则x2＋2与3x的大小关系是________．题型1　用不等式(组)表示不等关系例1　(1)某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个，才能在规定的时间内超额完成任务？求解此问题需要构建的不等关系为________．(2)某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm的两种钢管．按照生产的要求，600mm的钢管数量不能超过500mm钢管的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组呢？方法归纳用不等式(组)表示不等关系的步骤(1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等．(2)适当的设未知数表示变量．(3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式．此类问题的难点是如何正确地找出题中的隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围．跟踪训练1　(1)中国“神舟七号”宇宙飞船的飞行速度v不小于第一宇宙速度7.9km/s，且小于第二宇宙速度11.2km/s.表示为____________．(2)已知甲、乙两种食物的维生素A，B含量如下表：食物甲乙维生素A/(单位/kg)600700维生素B/(单位/kg)800400设用甲、乙两种食物各x kg，y kg配成混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.试用不等式表示x，y所满足的不等关系．题型2　实数(式)的比较大小例2　已知a＞0，试比较a与1a的大小．方法归纳用作差法比较两个实数大小的四步曲跟踪训练2　(1)已知a∈R，p＝(a－1)(a－3)，q＝(a－2)2，则p与q的大小关系为( )A．p＞q B．p≥qC．p＜q D．p≤q(2)已知b＞a＞0，m＞0，比较b+ma+m与ba的大小．题型3　不等关系的转化及应用例3　2021年5月1日某单位职工去瞻仰毛泽东纪念馆需包车前往．甲车队说：“如果领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．方法归纳现实生活中的许多问题能够用不等式解决，其解题思路是将解决的问题转化成不等关系，利用作差法比较大小，进而解决实际问题．跟踪训练3　甲、乙两家饭馆的老板一同去超市购买两次大米，这两次大米的价格不同，两家饭馆老板购买的方式也不同，其中甲每次购进100千克大米，而乙每次用去100元钱．问：谁的购买方式更合算？课堂十分钟1．(多选)下列说法正确的是( )A．某人月收入x不高于2000元可表示为“x＜2000”B．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x＞y”C．某变量x至少为a可表示为“x≥a”D．某变量y不超过a可表示为“y≤a”2．若m＝x2－1，n＝2(x＋1)2－4(x＋1)＋1，则m与n的大小关系是( )A．m＜n B．m＞nC．m≥n D．m≤n3．某学校为高一3班男生分配宿舍，如果每个宿舍安排3人，就会有6名男生没有宿舍住，如果每个宿舍安排5人，有一间宿舍不到5名男生，那么该学校高一3班的男生宿舍可能的房间数量是( )A．3或4B．4或5C．3或5D．4或64．若x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，则x与y的大小关系是____________．5．糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水．下列关于糖水浓度的问题，能提炼出一个怎样的不等式呢？(1)如果向一杯糖水里加点糖，糖水变甜了；(2)把原来的糖水(淡)与加糖后的糖水(浓)混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡．第二章　一元二次函数、方程和不等式2．1　相等关系与不等关系2．1.1　等式与不等式第1课时　等式与不等式(1)要点二1．正数　等于0　负数2．>　＝　<[基础自测]1．答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√2．答案：C3．解析：因为M－N＝x2＋x＋1＝(x+12)2＋34>0，所以M>N.故选A.答案：A4．解析：x2＋2－3x＝(x－1)(x－2)，又x＜1，∴x2＋2－3x＝(x－1)(x－2)＞0，即x2＋2＞3x.答案：x2＋2＞3x题型探究·课堂解透例1　解析：(1)设该车工3天后平均每天需加工x个零件，加工(15－3)天共加工12x个零件，15天里共加工(3×24＋12x)个零件，则3×24＋12x＞408.故不等关系表示为72＋12x＞408.(2)设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根．根据题意，应有如下的不等关系：①截得两种钢管的总长度不超过4 000 mm.②截得600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍．③截得两种钢管的数量都不能为负．要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：¿答案：(1)72＋12x＞408　(2)见解析跟踪训练1　解析：(1)“不小于”即大于或等于，故用不等式表示为：7.9≤v＜11.2.(2)x kg 甲种食物含有维生素A 600x 单位，含有维生素B 800x 单位，y kg 乙种食物含有维生素A 700y 单位，含有维生素B 400y 单位，则x kg 甲种食物与y kg 乙种食物配成的混合食物总共含有维生素A(600x ＋700y )单位，含有维生素B(800x ＋400y )单位，则有{600x +700y ≥56000，800x +400y ≥63000，x ≥0，y≥0，即{6x +7y≥560，4x +2y≥315，x ≥0，y≥0.答案：(1)7.9≤v ＜11.2　(2)见解析例2　解析：因为a －1a ＝a 2−1a＝(a −1)(a +1)a，a ＞0所以当a ＞1时，(a −1)(a +1)a＞0，有a ＞1a ；当a ＝1时，(a −1)(a +1)a ＝0，有a ＝1a ；当0＜a ＜1时，(a −1)(a +1)a＜0，有a ＜1a .综上，当a ＞1时，a ＞1a；当a ＝1时，a ＝1a；当0＜a ＜1时，a ＜1a.跟踪训练2　解析：(1)由题意，p ＝(a －1)(a －3)，q ＝(a －2)2，则p －q ＝(a －1)(a －3)－(a －2)2＝a 2－4a ＋3－(a 2－4a ＋4)＝－1<0，所以p －q <0，即p <q .故选C.(2)作差：b +m a +m −b a ＝ab +am−ab −bm a (a +m )＝m (a −b )a (a +m ).∵b >a >0，m >0，∴a －b <0，a ＋m >0，∴m (a −b )a (a +m )＜0，∴b +m a +m ＜ba .答案：(1)C (2)见解析例3　解析：设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车队的车需花y 1元，坐乙车队的车需花y 2元．由题意，得y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34nx ，y 2＝45nx .因为y 1－y 2＝14x ＋34nx －45nx ＝14x －120nx ＝14x (1−n 5)，当n ＝5时，y 1＝y 2；当n ＞5时，y 1＜y 2；当n ＜5时，y 1＞y 2，所以，当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．跟踪训练3　解析：设两次大米的价格分别为a 元/千克，b 元/千克(a ＞0，b ＞0，a ≠b ，)则甲两次购买大米的平均价格(元/千克)是：100(a +b )200＝a +b2.乙两次购买大米的平均价格(元/千克)是：200100a +100b ＝21a +1b ＝2aba +b ，因为a +b 2−2ab a +b ＝(a +b )2−4ab 2(a +b )＝(a −b )22(a +b )＞0，所以a +b 2＞2aba +b .所以乙饭馆的老板购买大米的方式更合算．[课堂十分钟]1．解析：对于A ，x 应满足x ≤2 000，故A 错；对于B ，x ，y 应满足x <y ，故B 不正确；CD 正确．故选CD.答案：CD2．解析：∵n －m ＝x 2≥0，∴n ≥m .故选D.答案：D3．解析：设宿舍房间数量为x ，男生人数为y ，则{y =3x +60＜y −5(x−1)＜5x ，y ∈N ∗，解得x ＝4，5.所以宿舍可能的房间数量为4或5.故选B.答案：B4．解析：因为x －y ＝(a ＋3)(a －5)－(a ＋2)(a －4)＝(a 2－2a －15)－(a 2－2a －8)＝－7<0，所以x <y .答案：x <y5．解析：(1)设糖水b克，含糖a克，易知糖水浓度为ab，加入m克糖后的糖水浓度为a+mb+m，则提炼出的不等式为：若b＞a＞0，m＞0，则ab＜a+mb+m.(2)设淡糖水b1，含糖a1克，浓糖水b2克，含糖a2克，易知淡糖水浓度为a1b1，浓糖水浓度为a2b2，则混合后的糖水浓度为a1+a2b1+b2，则提炼出的不等式为：若b1＞a1＞0，b2＞a2＞0，且a1b1＜a2b2，则a1b1＜a1+a2b1+b2＜a2b2.。

高中数学第二章一元二次函数方程和不等式基本不等式的应用学生用书湘教版必修第一册

2．1.3　基本不等式的应用最新课程标准结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题．学科核心素养会用基本不等式解决实际问题．(逻辑推理、数学运算)教材要点要点　基本不等式与最值已知x ，y 都为正数，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，和x ＋y 有________；(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，积xy 有________．状元随笔　利用基本不等式求最值要牢记三个关键词：一正、二定、三相等．(1)一正：各项必须为正．(2)二定：各项之和或各项之积为定值．(3)三相等：必须验证取等号时条件是否具备．题型1　利用基本不等式求最值例1　(1)已知正数x ，y 满足x ＋y ＝4，求1x +2y的最小值．(2)已知1x +2y＝1(x >0，y >0)，求x ＋y 的最小值．方法归纳应用基本不等式解此类题的关键是“1”的整体代入的变形技巧．跟踪训练1　(1)若a>0，b>0，a＋3b＝1，则1a+13b的最小值为( )A．2B．2√2C．4D．3√2(2)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是________.题型2　利用基本不等式解决恒成立问题例2　已知a＞0，b＞0，若不等式2a+1b≥m2a+b恒成立，则m的最大值等于( )A．10B．9C．8D．7方法归纳恒成立问题常采用分离参数的方法求解，若a≤y恒成立，则a≤y min；若a≥y恒成立，则a≥y max.将问题转化为求y的最值问题，可能会用到基本不等式．跟踪训练2　已知两个正数x，y满足x＋y＝4，则使不等式1x+4y≥m恒成立的实数m的范围是________．题型2　利用基本不等式解决实际问题例3　某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量P万件满足P＝3－2x+1(其中0≤x≤2)．现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品P万件还需投入成本(10＋2P)万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为(4＋20P)万元/万件．(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；(2)当促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润．方法归纳利用基本不等式解决实际问题的步骤解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数．(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题．(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值．(4)正确写出答案．跟踪训练3　2016年11月3日20点43分我国长征运载火箭在海南文昌发射中心成功发射，它被公认为我国已从航天大国向航天强国迈进的重要标志．长征五号运载火箭的设计生产采用了很多新材料，甲工厂承担了某种材料的生产，并以x千克/时的速度匀速生产(为保证质量要求1≤x≤10)，每小时可消耗A材料kx2＋9千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克．(1)设生产m千克该产品，消耗A材料y千克，试把y表示为x的函数．(2)要使生产1000千克该产品消耗的A材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A材料最少为多少？(消耗的A材料＝生产时间×每小时消耗的A材料．)易错辨析　多次使用基本不等式求最值时忽略等号同时成立的条件例4　已知实数m>0，n>0，且满足2m＋n＝2，则1m+8n的最小值是________．解析：∵m>0，n>0，2m＋n＝2，∴m＋n2＝1.∴1m+8n＝(1m+8n)·(m+n2)＝5＋n 2m +8mn≥5＋2√n2m·8m n＝9.当且仅当n2m＝8m n，即m＝13，n＝43时取等号．答案：9易错警示课堂十分钟1．若正实数a，b满足a＋b＝1，则b3a+3b的最小值为( )A．193B．2√6C．5D．4√32．当x ＞1时，不等式x ＋1x −1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |a ≤2}B ．{a |a ≥2}C ．{a |a ≥3}D ．{a |a ≤3}3．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x 8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件4．已知y ＝4x ＋a x(x ＞0，a ＞0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.5．某呼吸机生产企业计划投资固定成本500万元引进先进设备，用于生产救治新冠患者的无创呼吸机，需要投入成本f (x )(单位：万元)与年产量x (单位：百台)的函数关系式为f (x )＝{5x 2+150x ，0<x <20301x +6400x−1700，x ≥20，据以往出口市场价格，每台呼吸机的售价为3万元，且依据国外疫情情况，预测该年度生产的无创呼吸机能全部售完．(1)求年利润g (x )(单位：万元)关于年产量x 的函数解析式(利润＝销售额－投入成本－固定成本)；(2)当年产量为多少时，年利润最大？并求出最大年利润．2．1.3　基本不等式的应用新知初探·课前预习要点　最小值2√p 最大值s24题型探究·课堂解透例1　解析：(1)1x +2y ＝(1x +2y )·x +y 4＝14(3+y x +2x y )≥3+2√24，当且仅当y x ＝2x y ，即x ＝4√2－4，y ＝8－4√2时取等号．(2)x ＋y ＝(x ＋y )·(1x +2y )＝3＋y x +2x y ≥3＋2√2，当且仅当y x ＝2xy ，即x ＝1＋√2，y ＝2＋√2时取等号．跟踪训练1　解析：(1)∵a >0，b >0，a ＋3b ＝1，∴1a +13b ＝(1a +13b )·(a ＋3b )＝2＋3b a +a 3b ≥2＋2√3b a ×a 3b＝2＋2＝4.当且仅当a ＝3b 时等号成立，所以1a +13b 的最小值为4.(2)∵x ＋3y ＝5xy ，x >0，y >0，∴15y +35x＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )·(15y +35x )＝135+3x 5y +12y 5x ≥135＋2√3x 5y ·12y 5x＝5，当且仅当3x 5y ＝12y5x，即x ＝2，y ＝1时取等号．答案：(1)C (2)5例2　解析：∵a ＞0，b ＞0∴2a +1b ≥m 2a +b 等价于(2a ＋b )(2a +1b )≥m又(2a +b )(2a +1b )＝5＋2b a +2ab ≥5＋2√2b a ·2a b＝9，当且仅当2b a ＝2a b，即a ＝b 时取等号．∴m ≤9.故选B.答案：B跟踪训练2　解析：∵x >0，y >0，x ＋y ＝4，∴1x +4y ＝(1x +4y )·14(x ＋y )＝14(5+y x +4x y )≥14(5+2√y x ·4xy)＝14(5＋4)＝94.当y x ＝4x y 即x ＝43，y ＝83时取等号，∴1x +4y 的最小值是94.∴m ≤94.答案：m ≤94例3　解析：(1)当促销费用为x 万元时，付出的成本是：x ＋10＋2(3−2x +1)销售收入是：(3−2x +1)×(4+203−2x +1)，故y ＝(3−2x +1)×(4＋203−2x +1)－[x +10+2(3−2x +1)]整理可得y ＝16－(x +4x +1)，0≤x ≤2.(2)根据(1)中所求，y ＝16－(x +1+4x +1−1)≤16－(2√(x +1)×4x +1－1)＝16－3＝13，当且仅当x ＝1时取得最大值．故当促销费用投入1万元时，厂家的利润最大，最大利润为13万元．跟踪训练3　解析：(1)由题意，得k ＋9＝10，即k ＝1.生产m 千克该产品需要的时间是mx.所以y ＝m x (x 2＋9)＝m (x +9x )，1≤x ≤10.(2)由(1)知，生产1 000千克该产品消耗的A 材料为：y ＝1 000(x +9x)≥1 000×2√9＝6 000(当且仅当x ＝9x，即x ＝3时等号成立)故工厂应选取3千克/时的生产速度，消耗的A 材料最少，最少为6 000千克．[课堂十分钟]1．解析：因为正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，所以b3a+3b＝b3a+3a+3bb＝b3a+3ab＋3≥2√b3a·3a b＋3＝5，当且仅当b＝3a＝34时，取等号，所以b3a+3b的最小值为5.故选C.答案：C2．解析：∵当x>1时，不等式x＋1x−1≥a恒成立，即a≤x＋1x−1对一切实数x>1均成立，由于x＋1x−1＝x－1＋1x−1＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝2时取等号，故x＋1x−1的最小值等于3，∴a≤3.故选D.答案：D3．解析：设每件产品的平均费用为y元，由题意得y＝800x+x8≥2√800x·x8＝20.当且仅当800x＝x8(x>0)，即x＝80时“＝”成立．故选B.答案：B4．解析：y＝4x＋ax≥2 √4x·a x＝4√a(x>0，a>0)，当且仅当4x＝a x，即x＝√a2时等号成立，此时y取得最小值4√a.又由已知x＝3时，y的最小值为4√a，所以√a 2＝3，即a＝36.答案：365．解析：(1)当0<x<20时，g(x)＝300x－(5x2＋150x)－500＝－5x2＋150x－500；当x≥20时，g(x)＝300x－(301x+6400x)＋1 700－500＝1 200－(x+6400x).所以g(x)＝{−5x2+150x−500,0<x<201200−(x+6400x),x≥20(2)当0<x<20时，g(x)＝－5x2＋150x－500＝－5×(x－15)2＋625，故当x＝15时，g(x)取得最大值g(15)＝－5×(15－15)2＋625＝625；当x≥20时，∵x＋6400x≥2√x·6400x＝160，当且仅当“x＝6400x”，即“x＝80”时等号成立，∴g(x)＝1 200－(x+6400x)≤1 200－160＝1 040，即当x＝80时，g(x)取得最大值g(80)＝1 040，综上所述：当年产量为8000台时，年利润最大，且最大年利润为1040万元．。

高中数学必修第一册《一元二次函数、方程和不等式》期末复习专项训练(学生版+解析版)

高中数学必修第一册《一元二次函数、方程和不等式》期末复习专项训练一、单选题l. (2022·四川绵阳·高一期末〉下列结论正确的是（〉A.若的b，则。

c>bc c.若。

＞b，则。

＋c>b+cl I B.若α＞b，则－〉－a D D.着。

＞b，则。

2> b22.(2022·辽宁·新民市第一高级中学高一期末〉已知α＜b<O，则（〉A.a2 <abB.ab<b2C.a1 <b1D.a2 >b i3.(2022·陕西汉中·高一期末〉若关于工的不等式，咐2+2x+m>O的解集是R，则m的取值范围是（〉A.(I, +oo)B.(0, I〕C.( -J, I)D.(J, +oo)4.(2022·广东珠海高一期末〉不等式。

＋l)(x+3)<0的解集是（〉A.RB.②c.｛对－3<x<-I} D.{xi x<-3，或x>-l}5. (2022·四川甘孜·高一期末〉若不等式似2+bx-2<0的解集为｛xl-2<x<I｝，则。

÷b=( )A.-2B.OC.ID.26. (2022·湖北黄石·商一期末〉若关于X的不等式x2-ax’＋7＞。

在（2,7）上有实数解，则α的取值范围是（〉A.（唱，8)B.（叫8] c.（叫2./7) D.（斗）7.(2022·新疆乌市一中高一期末〉已知y=(x-m)(x-n)+2022(n> m），且α，β（α〈别是方程y=O的两实数根，则α，β，111,n的大小关系是（〉A.α＜m<n＜βC.m＜α〈β＜nB.m＜α＜n＜βD.α＜m＜β＜n8.(2022·浙江·杭州四中高一期末〉已失11函数y＝κ－4+...2....(x>-1），当x=a时，y取得最小值b，则。

一元二次方程、二次函数、一元二次不等式----知识归纳

一元二次方程、二次函数、一元二次不等式----知识归纳
高2017级（文科）数学一轮复习
《一元二次方程、二次函数、一元二次不等式》知识归纳
制卷：王小凤学生姓名：
一．一元二次方程
二．二次函数
三．二次函数在闭区间[]
n m ,上的最大、最小值问题探讨
设()()02
>++=a c bx ax x f ，则二次函数在闭区间[]n m ,上的最大、最小值有如下的分布情况：
a
2a
2a
2
一元二次方程、二次函数、一元二次不等式----知识归纳
五．一元二次方程根的分布
设方程()2
00ax bx c a ++=>的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为
()2f x ax bx c =++，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）
表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）
表二：（两根与k 的大小比较）
表三：（根在区间上的分布）
k
k
k。

人教版高一数学上学期高频考点专题05 二次函数与一元二次方程、不等式

高一数学上学期高频考点专题05 二次函数与一元二次方程、不等式专题05 二次函数与一元二次方程、不等式考点1：二次函数与一元二次方程、不等式知识点一一元二次不等式的概念定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数知识点二一元二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．知识点三二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠－b2a Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅题型1：解不含参数的一元二次不等式例1解下列不等式：(1)－x2＋5x－6>0；(2)3x 2＋5x －2≥0； (3)x 2－4x ＋5>0.解 (1)不等式可化为x 2－5x ＋6<0.因为Δ＝(－5)2－4×1×6＝1>0，所以方程x 2－5x ＋6＝0有两个实数根：x 1＝2，x 2＝3. 由二次函数y ＝x 2－5x ＋6的图象(如图①)，得原不等式的解集为{x |2<x <3}．(2)因为Δ＝25－4×3×(－2)＝49>0，所以方程3x 2＋5x －2＝0的两实根为x 1＝－2，x 2＝13.由二次函数y ＝3x 2＋5x －2的图象(图②)，得原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－2或x ≥13. (3)方程x 2－4x ＋5＝0无实数解，函数y ＝x 2－4x ＋5的图象是开口向上的抛物线，与x 轴无交点(如图③)．观察图象可得，不等式的解集为R .变式解下列不等式： (1)4x 2－4x ＋1>0； (2)－x 2＋6x －10>0.解 (1)∵方程4x 2－4x ＋1＝0有两个相等的实根x 1＝x 2＝12.作出函数y ＝4x 2－4x ＋1的图象如图．由图可得原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠12.(2)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0， ∵Δ＝36－40＝－4<0，∴方程x 2－6x ＋10＝0无实根， ∴原不等式的解集为∅.题型2：三个“二次”间的关系及应用例2 已知二次函数y ＝ax 2＋(b －8)x －a －ab ，且y >0的解集为{x |－3<x <2}． (1)求二次函数的解析式；(2)当关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R 时，求c 的取值范围．解 (1)因为y >0的解集为{x |－3<x <2}，所以－3,2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两根，所以⎩⎨⎧－3＋2＝－b －8a，－3×2＝－a －aba，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝5，所以y ＝－3x 2－3x ＋18.(2)因为a ＝－3<0，所以二次函数y ＝－3x 2＋5x ＋c 的图象开口向下，要使－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R ，只需Δ≤0，即25＋12c ≤0，所以c ≤－2512. 所以当c ≤－2512时，－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R .变式已知关于x 的不等式ax 2＋5x ＋c >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13<x <12. (1)求a ，c 的值；(2)解关于x 的不等式ax 2＋(ac ＋2)x ＋2c ≥0.解 (1)由题意知，不等式对应的方程ax 2＋5x ＋c ＝0的两个实数根为13和12，由根与系数的关系，得⎩⎨⎧－5a ＝13＋12，c a ＝12×13，解得a ＝－6，c ＝－1.(2)由a ＝－6，c ＝－1知不等式ax 2＋(ac ＋2)x ＋2c ≥0可化为－6x 2＋8x －2≥0，即3x 2－4x＋1≤0，解得13≤x ≤1，所以不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13≤x ≤1.题型3：含参数的一元二次不等式的解法例3 设a ∈R ，解关于x 的不等式ax 2＋(1－2a )x －2>0.解 (1)当a ＝0时，不等式可化为x －2>0，解得x >2，即原不等式的解集为{x |x >2}． (2)当a ≠0时，方程ax 2＋(1－2a )x －2＝0的两根分别为2和－1a .①当a <－12时，解不等式得－1a<x <2，即原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1a<x <2； ②当a ＝－12时，不等式无解，即原不等式的解集为∅；③当－12<a <0时，解不等式得2<x <－1a，即原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2<x <－1a ； ④当a >0时，解不等式得x <－1a或x >2，即原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1a 或x >2.变式 (1)当a ＝12时，求关于x 的不等式x 2－⎝⎛⎭⎫a ＋1a x ＋1≤0的解集； (2)若a >0，求关于x 的不等式x 2－⎝⎛⎭⎫a ＋1a x ＋1≤0的解集．解 (1)当a ＝12时，有x 2－52x ＋1≤0，即2x 2－5x ＋2≤0，解得12≤x ≤2，故不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x ≤2. (2)x 2－⎝⎛⎭⎫a ＋1a x ＋1≤0⇔⎝⎛⎭⎫x －1a (x －a )≤0， ①当0<a <1时，a <1a ，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪a ≤x ≤1a ； ②当a ＝1时，a ＝1a＝1，不等式的解集为{1}；③当a >1时，a >1a ，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a ≤x ≤a .综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪a ≤x ≤1a ；当a ＝1时，不等式的解集为{1}；当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a≤x ≤a .考点1：练习题1．已知集合M ＝{x |－4<x <2}，N ＝{x |x 2－x －6<0}，则M ∩N 等于( ) A ．{x |－4<x <3} B ．{x |－4<x <－2} C ．{x |－2<x <2} D ．{x |2<x <3}答案 C解析 ∵N ＝{x |－2<x <3}，M ＝{x |－4<x <2}， ∴M ∩N ＝{x |－2<x <2}，故选C.2．若0<m <1，则不等式(x －m )⎝⎛⎭⎫x －1m <0的解集为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1m <x <m B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >1m 或x <m C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >m 或x <1m D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪m <x <1m 答案 D解析 ∵0<m <1，∴1m>1>m ，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪m <x <1m ，故选D. 3．二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为－2,3，如果a <0，那么ax 2＋bx ＋c >0的解集为( ) A ．{x |x >3或x <－2} B ．{x |x >2或x <－3} C ．{x |－2<x <3} D ．{x |－3<x <2}答案 C解析由题意知－2＋3＝－b a ，－2×3＝ca ，∴b ＝－a ，c ＝－6a ，∴不等式ax 2＋bx ＋c >0可化为ax 2－ax －6a >0，又a <0，∴x 2－x －6<0，∴(x －3)(x ＋2)<0， ∴－2<x <3，故选C.4．若不等式5x 2－bx ＋c <0的解集为{x |－1<x <3}，则b ＋c 的值是( )A ．5B ．－5C ．－25D ．10 答案 B解析由题意知－1,3为方程5x 2－bx ＋c ＝0的两根， ∴－1＋3＝b 5，－3＝c5，∴b ＝10，c ＝－15，∴b ＋c ＝－5.故选B.5．若关于x 的二次不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．{m |m ≤－2或m ≥2} B ．{m |－2≤m ≤2} C ．{m |m <－2或m >2} D ．{m |－2<m <2}答案 B解析 ∵x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ， ∴Δ＝m 2－4≤0，∴－2≤m ≤2，故选B. 6．不等式x 2－4x ＋4≤0的解集是________．答案 {2}解析原不等式可化为(x －2)2≤0，∴x ＝2. 7．不等式x 2＋3x －4<0的解集为________．答案 {x |－4<x <1}解析易得方程x 2＋3x －4＝0的两根为－4,1，所以不等式x 2＋3x －4<0的解集为{x |－4<x <1}．8．关于x 的不等式(mx －1)(x －2)>0，若此不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1m<x <2，则m 的取值范围是________．答案 {m |m <0}解析 ∵不等式(mx －1)(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1m<x <2， ∴方程(mx －1)(x －2)＝0的两个实数根为1m 和2，且⎩⎪⎨⎪⎧m <0，1m<2，解得m <0，∴m 的取值范围是m <0.9．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B . (1)求A ∩B ；(2)若不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为A ∩B ，求不等式ax 2＋x ＋b <0的解集．解 (1)由x 2－2x －3<0，得－1<x <3， ∴A ＝{x |－1<x <3}．由x 2＋x －6<0，得－3<x <2，∴B ＝{x |－3<x <2}，∴A ∩B ＝{x |－1<x <2}．。

新人教版高中数学必修第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式

其中，，都是常数且 ≠ 0.
1.“一元”指的是只有一个未知数，不代表只有一个字母，如，，等；
2.“二次”指的是未知数的最高次必须存在并且是2，并且最高次系数不为0.
二次函数的零点
在初中，我们学习了从一次函数的观点看一元一次次方程、一元一次不等式的思想
方法.类似的，能否从二次函数的观点来看一元二次不等式，进而得到
因为Δ的正负未知，故需要分类讨论：
③当 = −4时， Δ = 0，2 2 + + 2 = 0有两个相等实根1 = 2 = 1,
所以原不等式的解集为{| ≠ 1}
④当−4 < < 4时， Δ < 0，方程2 2 + + 2 = 0无解
所以原不等式的解集为R
【三个“二次”的关系】
1
1
【解】根据题意得： 180 2 + 20 > 39.5，整理得：
2 + 9 − 7110 > 0，方程 2 + 9 − 7110 = 0有两个实数
−9− 28521
= −88， 2
2
结合图像可知 2 + 9 − 7110
根1 =
=
−9+ 28521
2

= 80，
> 0的解集为
计算 = − 的值
>
=
方程 + + =
方程 + + =
有两个不等实根，
有两个相等实根，
( < )
原不等式的解集为
{| < 或 > ｝
<
( = = −

没有实根
)

一元二次方程二次函数一元二次不等式知识归纳

一元二次方程二次函数一元二次不等式知识归纳一元二次方程、二次函数和一元二次不等式知识归纳一元二次方程、二次函数和一元二次不等式是高中数学中的重要内容，掌握了这些知识可以帮助我们解决实际问题和推导数学关系。

本文将对一元二次方程、二次函数和一元二次不等式进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和掌握这些知识。

一、一元二次方程一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0（其中a ≠ 0）的方程，其中x 表示未知数。

解一元二次方程的常用方法有因式分解法、配方法和求根公式法。

1. 因式分解法当一元二次方程可以因式分解为两个一次因子相乘时，我们可以通过将方程两边置零，将每个因子等于零来求解。

例如，对于方程x^2 -5x + 6 = 0，我们可以将其因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0，从而得到x = 2和x = 3两个解。

2. 配方法当一元二次方程无法直接因式分解时，我们可以通过配方法将方程转化为完全平方式，然后再进行求解。

例如，对于方程x^2 - 5x + 6 = 0，我们可以通过将常数项进行拆分，得到x^2 - 2x - 3x + 6 = 0，进而变为(x(x - 2) - 3(x - 2) = 0，再经过合并同类项和提取公因式的步骤得到(x -2)(x - 3) = 0，进而求得x = 2和x = 3两个解。

3. 求根公式法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以通过求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)来求解。

其中，±表示两个相反的解，而√表示平方根。

这种方法适用于所有一元二次方程的求解，包括没有实数解的情况。

二、二次函数二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是实数且a ≠ 0。

二次函数的图像通常是一个开口朝上或朝下的抛物线。

掌握了二次函数的性质和图像特点可以帮助我们分析函数的变化趋势和解决实际问题。

2.3二次函数与一元二次方程、不等式(学生版)

2.3.1二次函数与一元二次方程、不等式例1 求不等式2560x x -+>的解集．【变式】解下列不等式．(1)2450x x -->； (2)22570x x -++≥．例2 求不等式29610x x -+>的解集．【变式2】已知关于x 的不等式221x x a -->，R a ∈. (1)当2a =时，求不等式221x x a -->的解集；(2)若“不等式221x x a -->的解集为R ”为假命题，求a 的取值范围.例3 求不等式2230x x -+->的解集．【变式3】已知关于x 的不等式()220R x x a a a -+++>∈．(1)若此不等式的解集是()1,2-，求a 的值； (2)讨论此不等式的解集．选择性拔高题型一：不含参一元二次不等式的解法【练习1】解下列不等式：(1)－2x 2＋x －6<0； (2)－x 2＋6x －9≥0； (3)x 2－2x －3>0.题型二：含参一元二次不等式的解法【练习2】已知a ∈R ，关于x 的不等式2322(2)x a a a a x +-<+- （1）当3a =时，求x 的解集.（2）当a ∈R 时，求x 的解集(用a 来表示).题型三：三个“二次”之间对应关系的应用【练习3】二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如表所示：则关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是________．2.3.2一元二次不等式的应用例4 一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x （单位：辆）与创造的价值y （单位：元）之间有如下的关系：2202200y x x =-+．若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？【变式】某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0＜x ＜1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ．已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式．(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？例5 某种汽车在水泥路面上的刹车距离s （单位：m ）和汽车刹车前的车速v （单位：km /h ）之间有如下关系：21120180s v v =+．在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m ，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少（精确到1 km /h ）？【变式】某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s m和汽车刹车前的车速x km/h有如下关系：s＝－2x＋118x2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于22.5 m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？选择性拔高题型一：简单方式不等式的解法【练习1】解下列不等式：(1)x＋1x－3≥0；(2)5x＋1x＋1<3.题型二：二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用【练习2】已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集．题型三：一元二次不等式的实际应用【练习3】某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a 万担．政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x (x >0)个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点． (1)写出降税后税收y (万元)与x 的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调整后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围．题型四：一元二次不等式恒成立问题【练习4】(1). 如果方程20ax bx c ++=的两根为2-和3且0a <，那么不等式20ax bx c ++>的解集为____________．(2).已知关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是（） A ．01k ≤≤ B ．01k <≤ C ．k 0<或1k > D ．0k ≤或1k >跟踪练习：已知关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是（） A ．01k ≤≤B ．01k <≤C ．k 0<或1k >D ．0k ≤或1k >。

高中数学必修第一册第2章一元二次函数、方程和不等式

第2章一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
1 不等关系及其表示
在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、
大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过和不
少于等。类似于这样的问题反映在数量关系上就是相等和不相等，相等用等
式表示不等用不等式表示。
【等式】指的是用等号“=”连接起来的式子
【不等式】指的是用不等号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”
连接起来的式子
1 不等关系及其表示
【问题1】你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？
（1）某路段限速；40 Τℎ；
设该路段行驶的汽车速度为，则0 < ≤ 40
（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋
> ⇒− >0
− + − >0
> ⇒− >0
⇒− >0⇒ >
如果传递的时候两个不等式只有一个带等号，那么等号是传递
不过去的.只有两个不等式都带等号，等号才能传递过去.例如：
如果a ≥ b且 > ，那么只能得到 > ，无法得到 ≥ ；
如果a > b且 ≥ ，那么只能得到 > ，无法得到 ≥ ；
事实上，利用完全平方公式也可以得到这个不等式：
因为∀a, b∃R, a − b
2
≥ 0,当且仅当a = b时，等号成立.所以a2 + b2 ≥ 2ab
因此，由两个实数大小关系的基本事实，我们得到：
+ ≥ ，当且仅当 = 时，等号成立.
≥ ⇔ − ≥ ； < ⇔ − ≤
要用到关于两个实数大小关系的基本事实.