考研数学习题

§1 一阶常系数线性差分方程的求解

形如1()0n n y ay f n ++= 的方程为一阶常系数线性非齐次差分方程，其中a 为非零常数，()f n 为已知函数，n 为非负整数；10n n y ay ++=为对应的齐次方程。 1. 10n n y ay ++=的通解可以由以下两种方法给出：

（1） 10n n y ay ++=对应的特征方程为0a l +=，则a l =-为特征根，从而其通解为()n

n n y C C a l

==-，于是0C y =，即通解为0()n n y a y =- 。

（2） 设0y 已知，将0,1,2,n =L 依次代入1n n y ay +=-中，得

10()y a y =-，220()y a y =-，L ，0()n n y a y =- 。

2. 设1()0n n y ay f n ++= (0)a ¹有一个特解n y ，则1()0n n y ay f n ++= 的通解为

()n n n y C a y =-+

其中()n

n y C a =-为对应齐次差分方程10n n y ay ++=的通解。

3. 关于1()0n n y ay f n ++= ，针对不同的()f n ，其特解的求取方法： （1） 设()f n 为关于n 的m 次已知多项式()m P n ，则特解为

()k n m y n R n =

其中()m R n 为n 的m 次待定多项式。若1a ?，

即1l ¹是特征根，则0k =；若1a =-，即1l =是特征根，则1k = 。

（2） 设()()n

m f n P n q =(1)q ¹，其中q 为已知的常数，()m R n 为n 的m 次待定多项式，则特解为

()k n n m y n R n q =

当q 不是特征根时，取0k =；当q 是特征根时，取1k = 。 （3） 设12()cos sin f n b n b n w w =+，则

12(cos sin )k n y n B n B n w w =+

其中12,B B 为待定系数，当cos sin i e i w

w w =+a ?

时，取0k =；当

c o s s i n i e i a w w w =+=-时，取1k = 。

例1 求差分方程12n

n n y y n +-= 的通解。

解 先求对应齐次方程10n n y y +-=的通解。其特征方程为10l -=，于是1l =，于是10n n y y +-=的通解为n

n y C C l

== 。

设12n

n n y y n +-= 的一个特解为()2n

n y an b =+，代入12n

n n y y n +-= ，得

1,2a b ==-，于是12n n n y y n +-= 的通解为

(2)2n n y C n =+-g 。

例2 求差分方程121050t t y y t ++-=的通解。

解 容易求得对应齐次差分方程的通解为(5)t

t y C =-，设原差分方程的特解为

*t y at b =+，代入原方程，得55

,1272a b =

=-，于是121050t t y y t ++-=的通解为 51

(5)()126

t t y C t =-+- 。

§2 二阶差分方程

若0a ¹，称120n n n aD bD cD --++=为二阶线性齐次差分方程，它对应的特征方程为

20ar br c ++= 。

（1） 若2

40b ac D =- ，则2

0ar br c ++=有不相等的根12,r r ，原差分方程的通解为

12n n n D Ar Br =+

其中,A B 可以由初始条件来确定。

注

通解也可以写成1112n n n D Ar Br --=+的形式，但是求出的系

数,A B 有变化，最终结果是一致的。

（2） 若240b ac D =-=，则2

0ar br c ++=有重根12r r =，原差分方程的通解为

1()n n D A nB r =+

其中,A B 可以由初始条件来确定。 通解也可以写成1

1()n n D A nB r -=+，但是求出的系数,A B 有变化，最终结仍然是一致

的。

例3 已知数列{}n x ：01121

,,(),22

n n n x a x b x x x n --===+ ，求lim n n x 。

解 方法一 1

112

1

1()()()2

2

n n n n n x x x x b a -----=--==--L ，于是 10x x b a -=-，

，

2321

()()2x x b a -=--，

111

()()2

n n n x x b a ---=--，

各式相加，得

21011111()()()()()()122212

n n x x b a b a n -⎡

⎤-=+-+-++--→-→∞⎢⎥⎣⎦+ ，

所以

2lim 3

n n a b

x →∞

+=

。 方法二 100

2lim ()131()2

n n n n n b a a b

x x x x a ∞

+→∞

=-+=

-+=

+=--∑ 。 方法三 差分方程121122n n n x x x --=

+的特征方程为211

022

r r --=，解之，得特征根121

1,2

r r ==-，于是差分方程的通解为

1

()12

n n n x A B =-+